1. M7 : CALCUL VECTORIEL.
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CALCUL VECTORIEL.
I : Opérations.
A
B
θ
1°) Produit scalaire.
. . .cos( )A Bp A B θ= = soit p = AxBx + AyBy + AzBz
2°) Produit vectoriel
. .sin( )B A B n= ∧ =C A θ
x x
y y
z z
A B
B = A B
A B
∧
x
y
z
e
e
e
= AC
A
B
θ
C
n
.
qui donne :
x xy y x x
x y z
y yz z z z
A BA B A B
C e e e
A BA B A B
= − + .
A
B
C
C n'est défini que dans un espace affine euclidien orienté (dans lequel on a
choisi une base orthonormée directe).
Cette orientation est donné par la règle dite des "3 doigts de la main droite":
La règle de la main droite permet également de trouver le sens de la
normale "positive" à un contour Γ orienté comme l'indique la figure ci-
contre :
3°) Double produit vectoriel.
C'est le vecteur D défini par : ( ) ( ) ( ). .D A B C AC B A B C= ∧ ∧ = −
n +
Γ
.
Les parenthèses sont indispensables car le double produit vectoriel n'est pas associatif.
4°) Produit mixte.
C'est le scalaire noté , ,A B C⎡ ⎤⎣ ⎦ : ( ) ( ) (, , . . . )A B C A B C C A B B C A⎡ ⎤ = ∧ = ∧ = ∧⎣ ⎦ ,.
Le produit mixte représente le volume d'un parallélépipède d'arêtes A , B et C .
Propriété: le produit mixte est invariant par permutation circulaire des vecteurs.
II : Angles solides.
L'angle solide Ω est l’angle sous lequel on voit une surface S depuis un point O. Cet angle
ne dépend pas de la surface S, mais uniquement du contour Γ sur lequel s’appuie la surface
S.
L’unité d’angle solide est le stéradian (symbole sr) : nombre « pur » sans dimension
physique. L’angle solide est un scalaire axial.
Expression.
Soit un élément de surface dS, de normale n orientée, situé à la distance r de O, vu suivant
la direction définie par le vecteur unitaire er . Alors : 2
..
r
dSne
d r
=Ω .
L’angle solide apparaît ainsi comme le flux du champ vectoriel er / r2
à
travers la surface S orientée.

2. M7 : CALCUL VECTORIEL.
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Valeurs particulières.
O à l’intérieur d’une
surface fermée.
O à l’extérieur d’une
surface fermée.
O au sommet d’un cône de
révolution de demi-angle θ au
sommet
Ω = 4π Ω = 0 ( ))cos(1.2 θπ −=Ω
III : Dérivées vectorielles.
1°) Distributivités.
Opération: A + B p.A A . B A ^ B
Différentielle: dA + dB p dA + A dp (dA ).B + A .(dB ) (dA)^B + A^(dB)
2°) Fonction composée.
Avec p et q fonctions de la variable m :
dm
dq
q
A
dm
dpA
qpA
∂
∂
∂
∂
+
p
=),(
dm
d
.
Plus généralement, pour toute fonction F(u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z)), on a :
F F u F v F w
x u x v x w x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
n
n ^A
A
θ
er
dA/dθ
u
Dérivation par rapport à l'angle polaire.
Avec n , vecteur unitaire normal au plan ( u , A), orienté par le
sens de rotation de A, on a : r
dA dA
= e n A
d d
+ ∧
θ θ
.
3°) Le repère de Frenet.
Le repère de Frenet est défini en un point M (repéré par
son abscisse curviligne s) d'une courbe C par les trois
vecteurs unitaires suivants:
La tangente
ds
rd
=et , tangent à la courbe C en M,
orienté dans le sens des s croissants. (convention
différente des mathématiciens !).
La normale
αd
ed
= t
ne , normale à C, dirigé vers la
concavité de la courbe (où dα est l'angle élémentaire entre deux tangentes voisines.
O
M
et
en
r = OM
courbe C
ds
dα
Le plan (M, et ,en ) est appelé plan osculateur, la binormale b = ete ∧ ne complétant le
trièdre.
On note
ds
R
dα
= , appelé rayon de courbure en M.