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  1. 1. ECE 5 : CONCOURS BLANC 2008 EPREUVE ECRICOME1 Exercice   b a b 1. Soit l’ensemble E = {a b a, (a, b) ∈ R2 }. b a b (a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R). (b) D´terminer une base de E et la dimension de E. e 2. On introduit l’application f : M3,1 (R) →  3,1 (R)   M  x 2x + y + 2z y  →  x + 2y + z . z 2x + y + 2z (a) Montrer que f est un endomorphisme de M3,1 (R). (b) D´terminer sa matrice M associ´e et v´rifier que M ∈ E. e e e (c) D´terminer le noyau de f et sa dimension. e (d) D´terminer l’image de f et sa dimension. e (e) V´rifier le th´or`me du rang. e e e2 Exercice : ESLSCA 2006 3 2 Soit la matrice A = . 2 3 1. Trouver la matrice J ∈ M2 (R) telle que A = I + J. 2. Montrer que ∀k ≥ 1, J k = 4k−1 J. Que vaut J 0 ? n k 3. (a) Soit n ≥ 1. Calculer n 4k−1 . k=1 5n − 1 n (b) Montrer que pour tout n ≥ 1, A = I + J. 4 4. On dispose de deux boˆ U et V : ıtes U contient 3 boules blanches et 2 boules noires V contient 2 boules blanches et 3 boules noires On tire des boules une ` une, chaque boule ´tant remise imm´diatement dans la boˆ d’o` elle a e e ıte u provient avant le tirage suivant. La premi`re boule est tir´e de U. Si elle est blanche, la seconde e e boule est tir´e de U ; si la premi`re boule tir´e est noire, la seconde boule est tir´e de V. A chaque e e e e ´tape si le n-i`me tirage donne une boule blanche alors le (n + 1)-i`me tirage s’effectuera dans U, e e e alors que si le n-i`me tirage donne une boule noire alors le (n + 1)-i`me tirage s’effectuera dans V. e e On d´finit les ´v´nements suivants, pour tout entier n 1 : e e e Bn : «le n-i`me tirage donne une boule blanche » e Nn : « le n-i`me tirage donne une boule noire » e pn On pose pn = P (Bn ), qn = P (Nn ) et Xn = . qn (a) Donner les valeurs de p1 et q1 . 1
  2. 2. (b) Calculer, par une m´thode clairement justifi´e, p2 et q2 . e e (c) Pour tout n, exprimer pn+1 et qn+1 en fonction de pn et qn . 1 (d) Montrer que Xn+1 = 5 AXn . En d´duire Xn en fonction de n, A et X1 . e (e) En d´duire le calcul de pn et qn . (utiliser la question 3.b)) e 5. On consid`re encore la suite de tirage de la question 3. On d´finit la variable al´atoire T ´gale au e e e e temps d’attente de la premi`re boule blanche : pour tout n 1, l’´v´nement (T = n) signifie que e e e la premi`re boule blanche est apparue au n-i`me tirage. e e (a) Montrer que P (T = 1) = 3 puis que pour tout n ≥ 2, P (T = n) = ( 5 )2 ( 3 )n−2 . 5 2 5 (b) V´rifier que la somme des probabilit´s des ´v´nements (T = n) vaut bien 1. e e e e (c) Montrer que T admet une esp´rance et la calculer. e3 Exercice : Ecricome 2007 Soucieux d’am´liorer le flux de sa client`le lors du passage en caisse, un g´rant de magasin a r´alis´ e e e e eles observations suivantes : 1. L’´tude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis d’´tablir les probabilit´s e e e suivantes : P [S = 0 ∩ U = 0] = 0.4 P [S = 0 ∩ U = 1] = 0.3 P [S = 1 ∩ U = 0] = 0.2 P [S = 1 ∩ U = 1] = 0.1 o` S repr´sente la variable al´atoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inf´rieur ou u e e e ´gal ` 50 euros, prenant la valeur 1 sinon, et U la variable al´atoire prenant la valeur 0 si la somme e a e est r´gl´e par carte bancaire, prenant la valeur 1 sinon. e e (a) D´terminer les lois de S et U et v´rifier que la probabilit´ que le client r`gle par carte bancaire e e e e 3 est ´gale ` p = . e a 5 (b) Calculer la covariance du couple (S, U ). On rappelle que Cov(S, U ) = E(SU ) − E(S)E(U ). (c) Quelle est la probabilit´ que la somme r´gl´e soit sup´rieure strictement ` 50 euros sachant e e e e a que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ? 2. On suppose de plus que les modes de r`glement sont ind´pendants entre les individus. e e Une caissi`re re¸oit n clients dans sa journ´e (n 2). e c e On d´finit trois variables al´atoires Cn , L1 , L2 par : e e -Cn comptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire. -L1 (resp.L2 ) est ´gale au rang du 1er (resp.du 2eme ) client utilisant la carte bancaire comme moyen e ` de paiement, s’il y en a au moins un (resp.au moins deux) et ` z´ro sinon. a e (a) Reconnaˆ la loi de Cn , rappeler la valeur de l’esp´rance et de la variance de cette variable ıtre e al´atoire. e (b) D´terminer la loi de L1 . (on distinguera le cas L1 = 0) e (c) V´rifier que : e n P [L1 = k] = 1 k=0 (d) D´terminer la loi du couple (L1 , L2 ). e (e) En d´duire la loi marginale de L2 . (traiter le cas L2 = 0 ` part) e a 2
  3. 3. 4 Exercice : EML 2007Pr´liminaire eOn donne : 0, 69 < ln 2 < 0, 70.On consid`re l’application : e g : ]0; +∞[ → R, x → g (x) = x2 + ln x (a) Montrer que g est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[ et d´terminer les limites de e g en 0 et en +∞ (b) Montrer que l’´quation g (x) = 0, d’inconnue x ∈ ]0; +∞[, admet une solution et une seule. eOn note α l’unique solution de cette ´quation. e 1 (c) Montrer : 2 <α<1Partie A 1On note I = 2 ,1 et on consid`re l’application : e 1 1 f : I → R, x → f (x) = x − x2 − ln x 4 4 (a) i. Montrer que f est strictement croissante sur I. ii. Montrer : 2 < f 1 < f (1) < 1. 1 2 iii. En d´duire : ∀x ∈ I, f (x) ∈ I. e (b) On consid`re la suite r´elle (un )n∈N d´finie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ). e e e i. Calculer u1 ii. Montrer : ∀n ∈ N, un ∈ I iii. Montrer que la suite (un )n∈N est d´croissante. e iv. Montrer que la suite (un )n∈N converge et que sa limite est le r´el α. ePartie BOn consid`re l’application : e F : R∗ × R → R, + (x, y) → F (x, y) = x ey + y ln x (a) Calculer les d´riv´es partielles premi`res de F en tout point (x, y) de R∗ × R. e e e + (b) Montrer que F admet un point critique et un seul que l’on exprimera ` l’aide du r´el α. a ePartie C eOn pose pour tout entier n ∈ N, In = 1 (ln x)n dx. (a) Calculer I0 et I1 .(b) Montrer que pour tout n ∈ N, In ≥ 0. (c) Etablir que pour tout n ∈ N, In+1 = e − (n + 1)In . e(d) En d´duire que 0 ≤ In ≤ n+1 . Quelle est la limite de la suite (In ) ? e e (e) A l’aide de la question c), montrer que In ∼ n . 3

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