1. ECE 5 : CONCOURS BLANC 2008
EPREUVE ECRICOME
1 Exercice
 
b a b
1. Soit l’ensemble E = {a b a, (a, b) ∈ R2 }.
b a b
(a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R).
(b) D´terminer une base de E et la dimension de E.
e
2. On introduit l’application f : M3,1 (R) →  3,1 (R)
  M 
x 2x + y + 2z
y  →  x + 2y + z .
z 2x + y + 2z
(a) Montrer que f est un endomorphisme de M3,1 (R).
(b) D´terminer sa matrice M associ´e et v´rifier que M ∈ E.
e e e
(c) D´terminer le noyau de f et sa dimension.
e
(d) D´terminer l’image de f et sa dimension.
e
(e) V´rifier le th´or`me du rang.
e e e
2 Exercice : ESLSCA 2006
3 2
Soit la matrice A = .
2 3
1. Trouver la matrice J ∈ M2 (R) telle que A = I + J.
2. Montrer que ∀k ≥ 1, J k = 4k−1 J. Que vaut J 0 ?
n
k
3. (a) Soit n ≥ 1. Calculer n
4k−1 .
k=1
5n − 1
n
(b) Montrer que pour tout n ≥ 1, A = I + J.
4
4. On dispose de deux boˆ U et V :
ıtes
U contient 3 boules blanches et 2 boules noires
V contient 2 boules blanches et 3 boules noires
On tire des boules une ` une, chaque boule ´tant remise imm´diatement dans la boˆ d’o` elle
a e e ıte u
provient avant le tirage suivant. La premi`re boule est tir´e de U. Si elle est blanche, la seconde
e e
boule est tir´e de U ; si la premi`re boule tir´e est noire, la seconde boule est tir´e de V. A chaque
e e e e
´tape si le n-i`me tirage donne une boule blanche alors le (n + 1)-i`me tirage s’effectuera dans U,
e e e
alors que si le n-i`me tirage donne une boule noire alors le (n + 1)-i`me tirage s’effectuera dans V.
e e
On d´finit les ´v´nements suivants, pour tout entier n 1 :
e e e
Bn : «le n-i`me tirage donne une boule blanche »
e
Nn : « le n-i`me tirage donne une boule noire »
e
pn
On pose pn = P (Bn ), qn = P (Nn ) et Xn = .
qn
(a) Donner les valeurs de p1 et q1 .
1

2. (b) Calculer, par une m´thode clairement justifi´e, p2 et q2 .
e e
(c) Pour tout n, exprimer pn+1 et qn+1 en fonction de pn et qn .
1
(d) Montrer que Xn+1 = 5 AXn . En d´duire Xn en fonction de n, A et X1 .
e
(e) En d´duire le calcul de pn et qn . (utiliser la question 3.b))
e
5. On consid`re encore la suite de tirage de la question 3. On d´finit la variable al´atoire T ´gale au
e e e e
temps d’attente de la premi`re boule blanche : pour tout n 1, l’´v´nement (T = n) signifie que
e e e
la premi`re boule blanche est apparue au n-i`me tirage.
e e
(a) Montrer que P (T = 1) = 3 puis que pour tout n ≥ 2, P (T = n) = ( 5 )2 ( 3 )n−2 .
5
2
5
(b) V´rifier que la somme des probabilit´s des ´v´nements (T = n) vaut bien 1.
e e e e
(c) Montrer que T admet une esp´rance et la calculer.
e
3 Exercice : Ecricome 2007
Soucieux d’am´liorer le flux de sa client`le lors du passage en caisse, un g´rant de magasin a r´alis´
e e e e e
les observations suivantes :
1. L’´tude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis d’´tablir les probabilit´s
e e e
suivantes :
P [S = 0 ∩ U = 0] = 0.4
P [S = 0 ∩ U = 1] = 0.3
P [S = 1 ∩ U = 0] = 0.2
P [S = 1 ∩ U = 1] = 0.1
o` S repr´sente la variable al´atoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inf´rieur ou
u e e e
´gal ` 50 euros, prenant la valeur 1 sinon, et U la variable al´atoire prenant la valeur 0 si la somme
e a e
est r´gl´e par carte bancaire, prenant la valeur 1 sinon.
e e
(a) D´terminer les lois de S et U et v´rifier que la probabilit´ que le client r`gle par carte bancaire
e e e e
3
est ´gale ` p = .
e a
5
(b) Calculer la covariance du couple (S, U ). On rappelle que Cov(S, U ) = E(SU ) − E(S)E(U ).
(c) Quelle est la probabilit´ que la somme r´gl´e soit sup´rieure strictement ` 50 euros sachant
e e e e a
que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
2. On suppose de plus que les modes de r`glement sont ind´pendants entre les individus.
e e
Une caissi`re re¸oit n clients dans sa journ´e (n 2).
e c e
On d´finit trois variables al´atoires Cn , L1 , L2 par :
e e
-Cn comptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire.
-L1 (resp.L2 ) est ´gale au rang du 1er (resp.du 2eme ) client utilisant la carte bancaire comme moyen
e `
de paiement, s’il y en a au moins un (resp.au moins deux) et ` z´ro sinon.
a e
(a) Reconnaˆ la loi de Cn , rappeler la valeur de l’esp´rance et de la variance de cette variable
ıtre e
al´atoire.
e
(b) D´terminer la loi de L1 . (on distinguera le cas L1 = 0)
e
(c) V´rifier que :
e
n
P [L1 = k] = 1
k=0
(d) D´terminer la loi du couple (L1 , L2 ).
e
(e) En d´duire la loi marginale de L2 . (traiter le cas L2 = 0 ` part)
e a
2

3. 4 Exercice : EML 2007
Pr´liminaire
e
On donne : 0, 69 < ln 2 < 0, 70.
On consid`re l’application :
e
g : ]0; +∞[ → R, x → g (x) = x2 + ln x
(a) Montrer que g est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[ et d´terminer les limites de
e
g en 0 et en +∞
(b) Montrer que l’´quation g (x) = 0, d’inconnue x ∈ ]0; +∞[, admet une solution et une seule.
e
On note α l’unique solution de cette ´quation.
e
1
(c) Montrer : 2
<α<1
Partie A
1
On note I = 2
,1 et on consid`re l’application :
e
1 1
f : I → R, x → f (x) = x − x2 − ln x
4 4
(a) i. Montrer que f est strictement croissante sur I.
ii. Montrer : 2 < f 1 < f (1) < 1.
1
2
iii. En d´duire : ∀x ∈ I, f (x) ∈ I.
e
(b) On consid`re la suite r´elle (un )n∈N d´finie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ).
e e e
i. Calculer u1
ii. Montrer : ∀n ∈ N, un ∈ I
iii. Montrer que la suite (un )n∈N est d´croissante.
e
iv. Montrer que la suite (un )n∈N converge et que sa limite est le r´el α.
e
Partie B
On consid`re l’application :
e
F : R∗ × R → R,
+ (x, y) → F (x, y) = x ey + y ln x
(a) Calculer les d´riv´es partielles premi`res de F en tout point (x, y) de R∗ × R.
e e e +
(b) Montrer que F admet un point critique et un seul que l’on exprimera ` l’aide du r´el α.
a e
Partie C
e
On pose pour tout entier n ∈ N, In = 1 (ln x)n dx.
(a) Calculer I0 et I1 .
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, In ≥ 0.
(c) Etablir que pour tout n ∈ N, In+1 = e − (n + 1)In .
e
(d) En d´duire que 0 ≤ In ≤ n+1 . Quelle est la limite de la suite (In ) ?
e
e
(e) A l’aide de la question c), montrer que In ∼ n .
3