Licence Professionnel Optronique                   Année 2004 - 2005                Rappels Traitement du Signal          ...
1 GENERALITES                              41.1 INTRODUCTION                           41.2 DEFINITIONS                   ...
4 TRAITEMENT DU SIGNAL NUMERIQUE                         224.1 TRANSFORMEE DE FOURIER DUN SIGNAL DISCRET           224.1.1...
Chapitre1 Généralités                                                                                                  11....
1.3 Classification des signauxOn peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriété...
On obtient donc 4 classes de signaux :            Les signaux analogiques dont lamplitude et le temps sont continus       ...
1.4.5 Impulsion de Dirac                                                                          δ(t)Limpulsion de Dirac ...
1.4.6 Peigne de DiracOn appelle peigne de Dirac une succession périodique                                δT(t)d’impulsions...
Chapitre2 Traitement du signal analogique                                                                                 ...
∞                                                                           avec                              An         ...
Si cette transformée existe, la transformée de Fourier inverse est donnée par :                                           ...
2.2.3 ExempleCalculons la transformée de Fourier d’un signal sinusoïdale :                          s(t) = Scos ω0 t      ...
2.3.2 Transformée de FourierPar définition :                                                        +∞                   ...
Remarques :             Parfois, on préfère définir un filtre par rapport à l’atténuation qu’il amène sur la grandeur     ...
2.5 Notion de Modulation2.5.1 Principe      Le principe de modulation d’un signal est essentiellement utilisé pour la tran...
M(f)    m(t)                                                                                  Um/2    Um                  ...
Chapitre3 Numérisation                                                                                                    ...
Remarques :            On voit sur le spectre du signal échantillonné qu’il est possible de restituer le signal originalpa...
L’expression du signal d’échantillonnage devient donc :                                    +∞                             ...
Remarques :                                                                 - jπ f τ           Le spectre est identique au...
VPEAlors VPE = 2 × ∆                ∆=              n                        et                                          2...
Chapitre4 Traitement du signal numérique                                                                                  ...
4.2 Transformée de Fourier discrète4.2.1 Fenêtrage         Avec un ordinateur, il est impossible de calculer la transformé...
Remarques :           On constate que le fait de tronquer le signal tend à élargir les raies contenues dans lespectre. Plu...
Ainsi, suivant le choix de ∆f, plusieurs cas peuvent se présenter lors de la reconstitution dusignal dans le domaine tempo...
4.3 Notion de transformée de Fourier rapide       Pour obtenir une valeur particulière de XT[k], il faut par exemple :Pour...
Annexe 1 : Transformée de Fourier d’un peigne de Dirac           +∞δT (t)=   ∑ δ(t- kT)          k →- ∞La décomposition en...
Annexe 2 : Transformée de Fourier de la fonction porte                  t 1          1 pour T < 2      t rect ( )=    ...
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  1. 1. Licence Professionnel Optronique Année 2004 - 2005 Rappels Traitement du Signal Note de cours T.Dumartin
  2. 2. 1 GENERALITES 41.1 INTRODUCTION 41.2 DEFINITIONS 41.2.1 SIGNAL 41.2.2 BRUIT 41.2.3 RAPPORT SIGNAL SUR BRUIT 41.2.4 SYSTEME 41.3 CLASSIFICATION DES SIGNAUX 51.3.1 CLASSIFICATION PHENOMENOLOGIQUE 51.3.2 CLASSIFICATION ENERGETIQUE 51.3.3 CLASSIFICATION MORPHOLOGIQUE 51.4 SIGNAUX PARTICULIERS 61.4.1 FONCTION SIGNE 61.4.2 FONCTION ECHELON 61.4.3 FONCTION RAMPE 61.4.4 FONCTION RECTANGULAIRE 61.4.5 IMPULSION DE DIRAC 71.4.6 PEIGNE DE DIRAC 81.4.7 FONCTION SINUS CARDINAL 81.5 REPRESENTATION FREQUENTIELLE 82 TRAITEMENT DU SIGNAL ANALOGIQUE 92.1 SERIE DE FOURIER 92.1.1 DEFINITION 92.1.2 DEVELOPPEMENT EN TERMES COMPLEXES 102.1.3 PROPRIETES 102.2 TRANSFORMEE DE FOURIER 102.2.1 DEFINITION 102.2.2 PROPRIETES 112.2.3 EXEMPLE 122.3 CONVOLUTION 122.3.1 DEFINITION 122.3.2 TRANSFORMEE DE FOURIER 132.4 NOTION DE FILTRAGE 132.4.1 FONCTION DE TRANSFERT 132.4.2 FILTRE REEL – GABARIT 142.5 NOTION DE MODULATION 152.5.1 PRINCIPE 152.5.2 MODULATION D’AMPLITUDE 153 NUMERISATION 173.1 ECHANTILLONNAGE 173.1.1 DEFINITION 173.1.2 ECHANTILLONNAGE IDEAL 173.1.3 ECHANTILLONNAGE REEL 183.1.4 ECHANTILLONNAGE-BLOCAGE 193.2 QUANTIFICATION 203.2.1 DEFINITION 203.2.2 QUANTIFICATION UNIFORME 203.3 CODAGE 21
  3. 3. 4 TRAITEMENT DU SIGNAL NUMERIQUE 224.1 TRANSFORMEE DE FOURIER DUN SIGNAL DISCRET 224.1.1 DEFINITION 224.1.2 PROPRIETES 224.2 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE 234.2.1 FENETRAGE 234.2.2 ECHANTILLONNAGE EN FREQUENCE 244.3 NOTION DE TRANSFORMEE DE FOURIER RAPIDE 264.3.1 PRESENTATION A L’ALGORITHME DE COOLEY-TUCKEY 26Annexe 1 : Transformée de Fourier d’un peigne de DiracAnnexe 2 : Transformée de Fourier de la fonction porte
  4. 4. Chapitre1 Généralités 11.1 Introduction Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet lélaborationou linterprétation des signaux porteurs dinformations. Son but est donc de réussir à extraire unmaximum dinformation utile sur un signal perturbé par du bruit en sappuyant sur les ressources delélectronique et de linformatique.1.2 Définitions1.2.1 Signal Un signal est la représentation physique de linformation, quil convoie de sa source à sondestinataire. La description mathématique des signaux est lobjectif de la théorie du signal. Elle offreles moyens danalyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de linformation.1.2.2 Bruit Un bruit correspond à tout phénomène perturbateur gênant la transmission ou linterprétationdun signal.Remarque :Les notions de signal et bruit sont très relatives. Pour un technicien des télécommunications quiécoute un émetteur lointain relayé par un satellite, le signal provenant d’une source astrophysique(soleil, quasar) placée malencontreusement dans la même direction est un bruit. Mais pourl’astronome qui s’intéresse à la source astrophysique, c’est le signal du satellite qui est un bruit.1.2.3 Rapport signal sur bruit Le rapport signal sur bruit mesure la quantité de bruit contenue dans le signal. Il sexprime parle rapport des puissances du signal (PS) et du bruit (PN). Il est souvent donné en décibels (dB). S PS   = 10log  N dB PN1.2.4 Système Un système est un dispositif représenté par un modèle mathématique de type Entrée/Sortiequi apporte une déformation au signal (Ex: modulateur, filtre, etc…). Entrée Système Sortie
  5. 5. 1.3 Classification des signauxOn peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés.1.3.1 Classification phénoménologique On considère la nature de lévolution du signal en fonction du temps. Il apparaît deux types designaux : Les signaux déterministes : ou signaux certains, leur évolution en fonction du temps peut être parfaitement modéliser par une fonction mathématique. On retrouve dans cette classe les signaux périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires, etc… Les signaux aléatoires : leur comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel à leurs propriétés statistiques pour les décrire. Si leurs propriétés statistiques sont invariantes dans le temps, on dit quils sont stationnaires.1.3.2 Classification énergétique On considère lénergie des signaux. On distingue : Les signaux à énergie finie : il possède une puissance moyenne nulle et une énergie finie. Les signaux à puissance moyenne finie : il possède une énergie infinie et sont donc physiquement irréalisable.Rappels : +∞ ∫ 2Energie dun signal x(t) ⇒ Wx = x(t) dt -∞ T/ 2 1 T →∞ T ∫ 2Puissance dun signal x(t) ⇒ Px = lim x(t) dt -T/ 21.3.3 Classification morphologique On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceuxdont lamplitude est discrète ou continue. Amplitude Continue Discrète x(t) x(t) Continu échantillonnage t t Temps x[n] x[n] Discret n n quantification
  6. 6. On obtient donc 4 classes de signaux : Les signaux analogiques dont lamplitude et le temps sont continus Les signaux quantifiés dont lamplitude est discrète et le temps continu Les signaux échantillonnés dont lamplitude est continue et le temps discret Les signaux numériques dont lamplitude et le temps sont discrets1.4 Signaux particuliers Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemmentrencontrés en traitement du signal dispose dune modélisation propre.1.4.1 Fonction signe sgn(t) 1 -1 pour t<0sgn(t)=  t +1 pour t>0 -1Par convention, on admet pour valeur à lorigine : sgn (t) =0 pour t=0.1.4.2 Fonction échelon u(t) 1 0 pour t<0u(t)=  1 pour t>0 tPar convention, on admet pour valeur à lorigine: u (t) = ½ pour t=0.Dans certains, il sera préférable de lui donner la valeur 1.1.4.3 Fonction rampe r(t)r(t) = t . u(t) t 1 = ∫ u ( τ ) dτ -∞ t 11.4.4 Fonction rectangulaire rec(t/T)  t 1 t  1 pour T < 2 1rect ( )=  T  t 1 0 pour > t   T 2 -T/2 T/2On lappelle aussi fonction porte.Elle sert de fonction de fenêtrage élémentaire.
  7. 7. 1.4.5 Impulsion de Dirac δ(t)Limpulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont lalargeur T tendrait vers 0 et dont laire est égale à 1. 1 ∞ pour t = 0 δ(t)=  t 0 pour t ≠ 0 1δ (t) ne peut être représentée graphiquement. On la schématise par le symboleAttention: le 1 marqué sur la flèche pleine représente l’aire de cette impulsion (et non la hauteur del’impulsion). du(t)On peut encore considérer δ (t) comme la dérivée de la fonction échelon : δ(t) = . dt Propriétés :Intégrale+∞∫ δ(t) dt = 1−∞+∞∫ x(t).δ(t) dt = x(0)−∞+∞∫ x(t).δ(t − t−∞ 0 ) dt = x(t 0 )Produitx(t).δ(t) = x(0).δ(t) = x(0)x(t).δ(t − t 0 ) = x(t 0 ).δ(t − t 0 ) = x(t 0 )Identitéx(t) ∗ δ(t) = x(t)Translationx(t) ∗ δ(t − t 0 ) = x(t − t 0 )x(t − t1 ) ∗ δ(t − t 0 ) = x(t − t1 − t 0 )Changement de variable −1 1δ(a .t) = a δ(t) avec en particulier δ(ω) = δ(t) 2π fRemarque :Un signal physique y(t) correspondant au passage d’un état (1) vers un état (2) pourra être considérécomme un impulsion chaque fois que son temps de montée tm sera négligeable devant les autrestemps mis en jeu dans le circuit. Il en est de même pour un échelon.
  8. 8. 1.4.6 Peigne de DiracOn appelle peigne de Dirac une succession périodique δT(t)d’impulsions de Dirac. +∞δT (t)= ∑ δ(t- kT) k →- ∞ -KT -2T -T T 2T KT tT est la période du peigne.Cette suite est parfois appelée train dimpulsions ou fonction déchantillonnage.Ce type de signal est principalement utilisé en échantillonnage .1.4.7 Fonction sinus cardinal sinc(t) 1 sin ( πt )sinc(t) = πt t -3 -2 -1 1 2 3Cette fonction joue un rôle très important en traitement du signal. Propriétés :+∞∫ sinc(t) dt = 1-∞+∞∫ sinc (t) dt = 1 2-∞1.5 Représentation fréquentielle On a pour habitude de décrire les signaux en fonction de la variable temporelle t car notreperception des phénomènes physiques nous y incite. En électronique, la connaissance des propriétésspectrales dun signal est primordiale. Ainsi, on utilise souvent une représentation en fonction de lafréquence pour caractériser un signal ou un système. Les outils de traitement des signaux nous aidentdans cette tâche.Exemple : le support de transmission du téléphone à une bande passante de 3kHz alors que la bandepassante des signaux audibles est de 20kHz. Ceci explique pourquoi un signal audio de haute qualitétransmis par voie téléphonique sera perçu comme de mauvaise qualité par le récepteur.
  9. 9. Chapitre2 Traitement du signal analogique 22.1 Série de Fourier2.1.1 Définition La décomposition en série de Fourier permet de décomposer un signal en somme desinusoïdes. On utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques. Ellespermettent ainsi de passer facilement du domaine temporel au domaine fréquentiel. Pour pouvoir êtredécomposable, un signal doit être à variations bornées (Dirichlet).Pour tout signal s(t) réel où s(t) = s(t+T0), on peut écrire : ∞  2π  s(t) = S0 +∑  A n cos ( nω0 t ) +Bn sin ( nω0 t )     ω0 =  n=1  T0 avec 1 S0 = T0 ∫ s(t) dt (T0 ) 2 An = T0 ∫ s(t) cos ( n ω t ) dt ( t0 ) 0 2 Bn = T0 ∫ s(t) sin ( n ω t ) dt (T0 ) 0Remarques :On appelle le signal de pulsation ω0 le fondamental.On appelle les signaux de pulsation n.ω0 les harmoniques de rang n.La valeur de S0 représente la valeur moyenne de s(t).Autre expression : Lécriture précédentes des séries de Fourier présente en fait peu dintérêt physique, en effet sila fonction f(t) subit une simple translation suivant laxe des temps alors les coefficients An et Bn serontmodifiés. En conséquence, on cherche donc une nouvelle écriture des séries de Fourier dans laquellela puissance est conservée après une translation suivant laxe des temps et où cette translationapparaîtra sous la forme d’un déphasage. Cette nouvelle écriture sobtient en posant :A n = Cn sin Φ nBn = Cn cos Φ nainsi, en remplaçant An et Bn dans : ∞ s(t) = S0 +∑  A n cos ( nω0 t ) +Bn sin ( nω0 t )    n=1 ∞ s(t) = S0 +∑ Cn sin Φ n cos ( nω0 t ) + cos Φ n sin ( nω0 t )    n=1
  10. 10. ∞ avec  An s(t) = S0 +∑ C n sin ( nω0 t+Φ n ) Φ n = arctan B n=1  n C 2 = A 2 + B 2  n n n!! Attention !!Si l’on intervertit la place des paramètres Bn et An (An devant sin et Bn devant cos) dans ladécomposition en série de Fourier, il ne faut pas oublier de les intervertir dans la définition de φn aussi.2.1.2 Développement en termes complexes En introduisant la notation complexe de cos(nω0t) et sin(nω0t), il est possible dobtenir uneécriture complexe de la série de Fourier. e jn ω0 t + e − jn ω0 t e jn ω0 t − e − jn ω0 tOn pose cos ( n ω0 t ) = et sin ( n ω0 t ) = 2 2jOn obtient alors : +∞ T0 / 2 1 s(t) = ∑S -∞ n e jnω0 t avec Sn = T0 ∫ s(t) e − jn ω0 t dt -T0 / 2Les coefficients complexes Sn sont reliés aux coefficients An et Bn par les relations suivantes :  A n − jBn Sn =  2  ∀n>0 S = A n + jBn  -n  2Remarques :Dans les deux formes précédentes, chaque composante de fréquence était représentée par deuxcoefficients. Lécriture complexe ne fait apparaître quun seul coefficient Sn complexe mais quicomprend bien entendu un module et une phase.2.1.3 PropriétésSi s(t) est paire Bn = 0 et Sn = S-nSi s(t) est impaire An = 0 et Sn = -S-n2.2 Transformée de Fourier C’est une généralisation de la décomposition de série de Fourier à tous les signauxdéterministes. Elle permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale) de cessignaux. Elle exprime la répartition fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de lapuissance) des signaux considérés.2.2.1 DéfinitionSoit s(t) un signal déterministe. Sa transformée de Fourier est un fonction, généralement complexe, dela variable f et définie par : +∞ S(f) = TF [s(t) ] = ∫ s(t) e − j2π ft dt -∞
  11. 11. Si cette transformée existe, la transformée de Fourier inverse est donnée par : +∞ s(t) = TF−1 [S(f)] = ∫ S(f) e j2π ft df -∞Remarque :On appelle spectre de s le module de la transformée de Fourier de s.2.2.2 Propriétés s(t) S(F) Linéarité α.s(t) + β.r(t) α.S(f) + β.R(f) Translation s(t- t 0 ) e −2 jπ f t0 S(f) e 2 jπ f0 t s(t) S(f- f 0 ) Conjugaison s∗ (t) S∗ (-f) d n s(t) ( j2πf ) n Dérivation S( f ) dt n 1 f Dilatation s(at) avec a ≠ 0 S( ) a a Convolution s(t) ∗ r(t) S(f)iR(f) s(t)ir(t) S(f) ∗ R(f) Dualité S(t) s(-f)Transformée de Fourier de Dirac : TFs(t) S(f)δ(t) 1δ(t-τ) e −2 jπfτe −2 jπf0 t δ(f+ f 0 )Egalité de Parceval :Pour un signal d’énergie finie, l’énergie du signal est identique dans les domaines temporel etfréquentiel. +∞ 2 +∞ 2 ∫ s(t) −∞ dt = ∫ S(f) −∞ df
  12. 12. 2.2.3 ExempleCalculons la transformée de Fourier d’un signal sinusoïdale : s(t) = Scos ω0 t +∞ +∞ e j2π f0 t + e−2π f0 tS(f) = ∫ s(t) e− j2π ft dt = S ∫ cos ( 2π f 0 t ) e− j2π ft dt avec cos ( 2π f 0 t ) = -∞ -∞ 2 S  +∞ +∞ +∞ e j2π f0 t + e −2π f0 t − j2π ftS(f) = S ∫ e dt =  ∫ e j2π f0 t ie − j2π ft dt + ∫ e − j2π f0 t ie− j2π ft dt  -∞ 2 2  -∞ -∞ S(f) = S 2 ( TF  e j2π f0 t  + TF e − j2π f0 t      ) S d’où TF [Scos 2π f 0 t ] = [ δ(f- f 0 )+δ(f+ f 0 )] 2 S(f) s(t) S/2 S TF t f T0 -f0 f0Remarques : La transformée de Fourier d’une fonction sinusoïdale de fréquence f0 est représentée pardeux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0. Bien entendu, l’impulsion centrée sur f0n’a pas d’existence physique. Le spectre d’une décomposition en série de Fourier sera donc un spectre discontinu deraies aux fréquences des sinusoïdes présentes dans la décomposition.2.3 Convolution2.3.1 DéfinitionLe produit de convolution d’un signal s(t) par un autre h(t) est donné par : +∞ s(t) * h(t) = ∫ s(k) h(t- k) d k -∞Remarque : s(t) Le signal de sortie d’un système linéaire causal invariant dans le y(t) H temps est donné par le produit de convolution du signal d’entrée et d’une fonction h(t) appelée réponse impulsionnelle.La valeur du signal de sortie à l’instant t est ainsi obtenue par la sommation des valeurs passées dusignal d’excitation, pondérées par la réponse du système.
  13. 13. 2.3.2 Transformée de FourierPar définition :  +∞ +∞  − j2π ft TF [ a(t) ∗ b(t)] = ∫  −∞ a(k) b(t- k) dk e dt ∫ −∞   +∞  +∞  = ∫ a(k)  ∫ b(t- k)e − j2π ft dt  dk −∞  −∞ Si on pose : t - k = u alors t=u+k: +∞  +∞  TF [ a(t) ∗ b(t) ] = ∫ a(k)e − j2π f k  ∫ b(u)e − j2π f u d u  dk −∞  −∞ D’où : TF [ a(t) ∗ b(t)] = A(f)iB(f)Remarque :TF [ h(t) ∗ δ(t)] = TF [ h(t) ]iTF [ δ(t) ] = TF [ h(t) ] = H(f)d’où h(t) ∗ δ(t) = h(t) : Le Dirac est l’élément neutre de la convolution2.4 Notion de Filtrage Le filtrage est une forme de traitement de signal qui modifie le spectre de fréquence et/ou laphase du signal présent en entrée du filtre et donc par conséquent sa forme temporelle. Il peut s ‘agirsoit : - d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences parasites indésirables - d’isoler dans un signal complexe la ou les bandes de fréquences utiles.On classe les filtres en deux grandes familles : - les filtres numériques réalisés à partir de structure intégrée microprogrammable (DSP). - les filtres analogiques réalisés à partir de composants passifs (résistance, inductance, condensateur) ou actifs (AIL).2.4.1 Fonction de transfert Le comportement d’un filtre est défini par l’étude VE(t) VS(t) fréquentielle de la fonction de transfert entre la tension de sortie et H la tension d’entrée du filtre. On le caractérise par l’amplification et le déphasage qu’il apporte sur les différents harmoniques dusignal d’entrée. VS (jω) H(jω ) = VE (jω) VS H dB = 20 log ϕ = Arg [ H(jω) ] VE
  14. 14. Remarques : Parfois, on préfère définir un filtre par rapport à l’atténuation qu’il amène sur la grandeur 1d’entrée : A(jω) = . H(jω) On définie aussi le temps de propagation de groupe plutôt que le déphasage. Il caractérise le dϕretard apporté par le filtre sur les différents harmoniques du signal d’entrée : τ= dω H est la réponse impulsionnelle du filtre : VS (t) = VE (t) * h(t) et TF [ VS (t) ] = VE (f)i h(f)Autrement dit, le spectre du signal de sortie est égale au produit du spectre du signal d’entrée par laréponse en fréquence du filtre.2.4.2 Filtre réel – gabarit Un filtre idéal présente : - un affaiblissement nul dans la bande de fréquence que l’on désire conserver (Bande passante) - un affaiblissement infini dans la bande que l’on désire éliminer (Bande atténuée)Il est impossible pratiquement de réaliser de tels filtres. Aussi se contente-t-on d’approcher cetteréponse idéale en : - conservant l’atténuation A inférieure à Amax dans la bande passante - conservant l’atténuation supérieure à Amin dans la bande atténuéeCela conduit ainsi à définir un gabarit définissant des zones interdites et des zones dans lesquellesdevront impérativement se situer les graphes représentant l’atténuation du filtre en fréquence. Suivantle type de réponse que l’on désire obtenir, on est amené à définir 4 familles de filtres : Passe-bas Passe-hautA(dB) A(dB) Amin Amin Amax Amax f f fc fa fa fc Passe-bande Coupe-bandeA(dB) A(dB) Amin Amin Amax Amax f f fa- fc- fc+ fa+ fc- fa- fa+ fc+ Lorsque l’on veut dimensionner un filtre, on ne sait calculer analytiquement qu’un petit nombrede fonctions caractéristiques convenant à la réalisation d’un gabarit. Ces différentes fonctions fixerontles propriétés physiques du filtre (Butterworth, Tchebycheff, Bessel, Cauer).
  15. 15. 2.5 Notion de Modulation2.5.1 Principe Le principe de modulation d’un signal est essentiellement utilisé pour la transmission dessignaux. Il permet d’adapter le message à transmettre au canal de transmission. Par exemple, en radio, le message transmis par voie hertzienne est un message audio dont lespectre sera compris dans la bande [20Hz, 20kHz]. La réception dun tel signal nécessite desantennes dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que la longueur donde du signal (engénéral de lordre de ½ ). c λ= fExemple : 3 ⋅108Pour f = 20kHz : λ = 3 = 1.5 ⋅104 m = 15 km !!!!!!! 20.10 Ainsi, l’objectif est de se servir d’un signal de fréquence importante pour transmettre lemessage afin de réduire à des proportions raisonnable la taille des antennes. Le but de la modulationest donc de translater le spectre dun signal basses fréquences (BF) vers les hautes fréquences (HF).La radio , la télévision , les lignes téléphoniques utilisent le procédé de modulation. Le signal HFutilisé pour transporter le message est appelé la porteuse. Le message, dont on se sert pour modulerune des caractéristiques de la porteuse, est appelé le modulant. Si la porteuse est de formesinusoïdale, elle accepte comme expression : s p (t) = U p cos(ωp t+ ϕ ) avec ωp >> 0Pour transporter le message, on ne peut donc jouer que sur deux paramètres : - l’amplitude Up : on effectue alors une modulation d’amplitude - la phase ϕ : on effectue alors une modulation angulaire (phase ou fréquence).Remarques :La démodulation est l’opération inverse de la modulation. Elle consiste à reconstruire le signalmodulant à partir du signal modulé. La qualité d’une modulation est déterminée par la facilité àrécupérer le signal modulant et par son immunité aux bruits.2.5.2 Modulation d’amplitude Le principe consiste à moduler l’amplitude de la porteuse sp(t) par le signal message m(t) : s m (t) = m(t) ⋅ U p cos ωp tDans le cas d’école où le message à une forme sinusoïdale : s m (t) = U m cos ωm t⋅ U p cos ωp t {cos ( ω } Um Up s m (t) = m − ωp ) t  + cos ( ωm + ωp ) t     2Son amplitude sera donc comprise entre +Um.Up et -Um.Up.Le spectre du signal modulé est donc : Um Up Sm (f) = δ(f- f m + f p )+δ(f- f m - f p )+δ(f+ f m - f p )+δ(f+ f m + f p )    4
  16. 16. M(f) m(t) Um/2 Um TF t f -fm fm Tm Sp(f) sp(t) Up/2 Up t f -fp fp Sp(f) Sm(t) BP Um.Up/4 Up.Um t f -fp-fm -fp+fm fp-fm fp+fm La modulation d’amplitude réalise donc une transposition en fréquence du signal message.Elle est réalisée à partir d’une simple multiplication. A noter que si l’on veut transmettre un signal defréquence fm, la bande passante nécessaire est de 2.fm. La récupération du message pardémodulation implique de réaliser l’opération inverse. Il faut donc multiplier le signal modulé par laporteuse pour refaire une transposition en fréquence puis isoler le message par filtrage. m(t) m(t) sp(t) sm(t) sp(t)Mais fabriquer une porteuse de fréquence strictement identique est très difficile. Une solution consistedonc à transmettre la porteuse avec le message pour pouvoir facilement la reconstruire à la réception.On l’appelle la modulation avec porteuse et l’expression du signal modulé devient : s m (t) = [ k .m(t) + 1] U p cos ωp tk est le taux de modulation.C’est ce principe qui est retenu en radiodiffusion (AM, GO et PO).Remarques :On peut aussi : - récupérer la partie résiduelle de la porteuse (qui, pour des raisons techniques, n’est jamais supprimée à 100 %) et amplifier celle-ci. - transmettre périodiquement une information représentant la porteuse - transmettre un multiple ou un sous-multiple de la fréquence de la porteuse
  17. 17. Chapitre3 Numérisation 3 L’importance des systèmes numériques de traitement de l’information ne cessede croître (radio, télévision, téléphone, instrumentation…). Ce choix est souvent justifié par desavantages techniques tels que la grande stabilité des paramètres, une excellente reproductibilité desrésultats et des fonctionnalités accrues. Le monde extérieur étant par nature ‘’analogique’’, uneopération préliminaire de conversion analogique numérique est nécessaire. La conversion analogiquenumérique est la succession de trois effets sur le signal analogique de départ : - l’échantillonnage pour rendre le signal discret - la quantification pour associer à chaque échantillon une valeur - le codage pour associer un code à chaque valeur.3.1 Echantillonnage3.1.1 Définition L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, lesvaleurs instantanées d’un signal. Le signal analogique s(t), continu dans le temps, est alorsreprésenter par un ensemble de valeur discrètes : se(t) = s(n.Te) avec n entier Te : période d’échantillonnage.Cette opération est réalisée par un échantillonneur souvent symbolisé par un interrupteur.s(t) se(t) 1 t fe = Te t T Te3.1.2 Echantillonnage idéal L’échantillonnage idéal est modélisé par la multiplication du signal continu s(t) et d’un peignede Dirac de période Te. +∞ +∞ s e (t) = s(t) ⋅ δTe (t)= s(t) ∑ δ(t- n Te ) = s(n Te ) ∑ δ(t- n Te ) n →- ∞ n →- ∞Le spectre du signal échantillonné est donc le suivant : +∞ +∞ 1 1 Se (f) = Te ∑ n →- ∞ S(f) ∗ δ(f- nf e ) Se (f) = Te ∑ S(f- nf ) n →- ∞ e (voir Annexe 1)On obtient donc un spectre infini qui provient de la périodisation du spectre du signal d’origine autourdes multiples de la fréquence d’échantillonnage. S(f) Se(f) TF -fM -fm fm fM f -2fe -fe -fe/2 fe/2 fe 2fe f
  18. 18. Remarques : On voit sur le spectre du signal échantillonné qu’il est possible de restituer le signal originalpar un simple filtrage passe-bas. Si fM, la fréquence maximale du spectre du signal à échantillonner, est supérieure à fe/2, larestitution du signal original sera impossible car il va apparaître un recouvrement spectrale lors del’échantillonnage. On dit qu’on est en sous-échantillonnage. Se(f) -2fe -fe fe 2fe f recouvrementLe théorème de SHANNON montre que la reconstitution correcte d’un signal nécessite que lafréquence d’échantillonnage fe soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des fréquencesfM du spectre du signal : fe > 2 fM Lorsqu’il y a recouvrement spectrale, nous avons vu quil était impossible de reconstruirecorrectement le signal. Pourtant dans la plupart des situations, le spectre du signal à échantillonnersétale sur tout le domaine des fréquences (tout en diminuant du coté des hautes fréquences), mais ilnexiste pas une fréquence fmax au-delà de laquelle lénergie est nulle. Il y a donc un problème pourchoisir la fréquence déchantillonnage. On se fixe donc en pratique une fmax à partir de laquelle onestime la représentation de notre signal satisfaisante pour les applications que l’on veut en faire. Puison effectue un filtrage passe-bas (à fmax) avant l’échantillonnage afin de remédier aux repliements despectre. On appelle ce filtre un filtre antirepliement.Exemple : cest par exemple le cas de la parole. Le spectre des sons audibles sétend jusquà environ20kHz. Dans le cas des CD audio, le signal est échantillonné à 44.1 kHz alors que dans le cas dutéléphone numérique le signal est échantillonné à 8 kHz seulement. En effet, en téléphonie, on estimeque le message est compréhensible pourvu que les composantes basses fréquences soienttransmises correctement alors que l’on veut conserver tous les harmoniques pour avoir un son dequalité en audio. On limite ainsi le spectre à 22.05 kHz pour un CD audio et à 4 kHz pour la téléphonie(3.4kHz en pratique). Si fe>2fc, il y a sur-échantillonnage. Alors les motifs successifs obtenus par périodisation duspectre sont disjoints et éloignés l’un de l’autre. Le filtrage passe-bas pour la récupération du signalest facilité. Plus on prendra d’échantillons par période, plus le signal sera facile à reconstruire.3.1.3 Echantillonnage réel En pratique, l’échantillonnage s’effectue en commandant un interrupteur par un traind’impulsions étroites. Il est donc impossible d’obtenir des échantillons de durée quasiment nulle. Lamodélisation de l’échantillonnage par un peigne de Dirac est donc erronée. En fait, chaque impulsionva avoir une durée très courte τ. L’échantillonnage peut donc être modélisé par la multiplication dusignal par une suite de fonction rectangle (ou porte) de largeur τ. y(t) y(t) 1 1 t t -2Te -Te Te 2Te -τ/2 τ/2
  19. 19. L’expression du signal d’échantillonnage devient donc : +∞ +∞ t-kTe t y(t) = ∑ k →- ∞ rect ( τ ) = rect ( ) ∗ ∑ δ(t − kTe ) τ k →- ∞Et par conséquent, sa transformée de Fourier est égale à : +∞ 1 Y(f) = τ sinc(τ f) ⋅ Te ∑ δ(f − k f ) k →- ∞ e (voir Annexe 1 et 2)Comme l’expression du signal échantillonné est : s e (t) = s(t) ⋅ y (t)Sa transformée de Fourier devient : +∞ τ Se (f) = S(f)× Y(f) = S(f) ∗ Te ∑ sinc(τ f) ⋅ δ(f- k f ) k →- ∞ e +∞ τ Se (f) = sinc(τ f) ⋅ ∑ S(f- k f e ) Te k →- ∞On retrouve la même allure de spectre modulé en amplitude par une fonction en sinus cardinale. S(f) |Se(f)| TF -fM -fm f m fM f -2fe -1 -fe fe 1 2fe f τ τRemarques : Pour se rapprocher d’un échantillonnage idéal et qu’ainsi le signal soit facilementreconstructible, il faut que τ soit le plus petit possible. Dans le cas où τ est du même ordre de grandeur que fe, il faudra fe >> 2fM.3.1.4 Echantillonnage-blocage En pratique, on néchantillonne pas un signal pour le reconstruire juste après.Léchantillonnage est utilisé pour prélever le signal à des instants multiples de Te et ensuite convertirles échantillons sous forme dun code binaire (8, 12, 16 bits, ...). Cette conversion est effectuée parl’intermédiaire d’un convertisseur analogique-numérique (CAN). Cette conversion n’est pasinstantanée. Si le signal à convertir varie trop rapidement, il est nécessaire de procéder au blocagedu signal pour avoir une conversion sans erreur. On utilise donc un échantillonneur-bloqueur quimémorise la tension à convertir et la maintient constante pendant toute la durée de conversion. L’effet de blocage peut être modélisé par une fonction porte décalée de τ/2 : y(t)  τ   τ  t- 2 -kTe   t- 2  +∞ 1 +∞ y(t) = ∑ rect   = rect   ∗ ∑ δ(t − kTe ) k →- ∞  τ   τ  k →-∞ τ t    L’échantillonnage-blocage consiste donc à la multiplication du signal par y(t). La transformée deFourier du signal échantillonné est donc : +∞ τ Se (f) = sinc(τ f) ⋅ ∑ S(f- k f e ) ⋅ e- jπ f τ Te k →- ∞
  20. 20. Remarques : - jπ f τ Le spectre est identique au précédent. Le terme en e traduit un déphasage entre le signalinitial et le signal échantillonné. En principe, on maintient la valeur de l’échantillon sur toute la périoded’échantillonnage donc τ = Te. Ainsi, pour f = fe, on a un déphasage de -π.3.2 Quantification3.2.1 Définition La quantification consiste à associer à une valeur réelle x quelconque, une autre valeur xqappartenant à un ensemble fini de valeurs et ce suivant une certaine loi : arrondi supérieur, arrondi leplus proche, etc… L’écart entre chaque valeur xq est appelé pas de quantification. Le fait d’arrondire la valeur de départ entraîne forcément une erreur de quantification que l’onappelle le bruit de quantification.3.2.2 Quantification uniforme La loi de quantification uniforme utilise un pas de quantification (∆) constant entre chaquevaleur xq. xq Loi idéale 3∆ nq=xq-x 2∆ ½∆ ∆ x x -∆ -½ ∆ -2∆ -3∆Le bruit de quantification nq est dans ce cas un signal aléatoire. Ces caractéristiques sont doncdéfinies par ses propriétés statistiques. On peut alors démontrer que la puissance du bruit dequantification est égale à : ∆2 Pn q = (si sa densité de probabilité est uniforme) 12Le rapport signal sur bruit dû à la quantification est donc égale à : S PS   = 10 log  N dB Pn qLa puissance du signal à quantifier est égale à sa valeur efficace au carré (voir remarque) : S   V 2    = 10 log 12  seff    N dB   ∆    Si l’on décompose la plage de variation VPE du signal à quantifier en 2n intervalles de largeur ∆ (avec nle nombre de bits utilisés pour coder le signal quantifié).
  21. 21. VPEAlors VPE = 2 × ∆ ∆= n et 2nAinsi : S  n Vseff   Vseff    = 10 log12 + 20 log  2  = 10 log12 + 20 log 2 + 20 log  n   N dB  VPE   VPE  S  Vseff    ≈ 6.02 n+10.8 + 20 log    N dB  VPE Ainsi, dans le cas d’un convertisseur analogique-numérique, chaque fois que l’on rajoutera un bit dansle résultat de conversion, on améliorera le rapport signal sur bruit dû à la quantification d’environ 6dB.Remarque :En traitement du signal, on considère la puissance d’un signal aux bornes d’une résistance de 1Ω. Lapuissance est donc égale au carré de la valeur efficace.Exemple :Si l’on veut numériser une sinusoïde et que l’on fixe VPE = 2.Vmax Vmax S  Vmax Dans ce cas, VSeff = et   ≈ 6.02 n+10.8 + 20 log  2 2V   2  N dB  max  S   ≈ 6.02 n+1.77  N dB3.3 Codage Le codage consiste à associer à un ensemble de valeurs discrètes un code composéd’éléments binaires.Les codes les plus connus : code binaire naturel, code binaire décalé, code complément à 2, codeDCB, code Gray.Exemple sur 4 bits :Nbre Binaire Binaire décalé DCB Gray Complément à 2 -8 / 0000 / / 1000 -3 / 0101 / / 1101 0 0000 1000 0000 0000 0000 1 0001 0001 0001 0001 0001 5 0101 0101 0101 0111 0101 10 1010 / 0001 0000 1111 / 15 1111 / 0001 0101 1000 /
  22. 22. Chapitre4 Traitement du signal numérique 4 Le traitement numérique de l’information apporte de nombreux avantagestechniques ainsi qu’une flexibilité accrue dans beaucoup de domaine. Le traitement du signal partransformée de Fourier pose cependant un certain nombre de problèmes. En effet un ordinateur nepeut traiter que des signaux numériques, ceux-ci sont obtenus après un échantillonnage et unequantification. Leur étude devra tenir compte des effets induits sur le spectre par ces deux techniques.De plus, un calcul de transformée de Fourier est une somme d’une infinité d’échantillons. Le tempsnécessaire ainsi que la mémoire de l’ordinateur vont forcément emmener certaines contraintes à ceniveau.4.1 Transformée de Fourier dun signal discret4.1.1 Définition Un signal discret est défini par une suite d’échantillons espacés entre eux d’une période Te. Latransformée de Fourier appliquée à un signal discret x[n] devient donc : +∞ nf -2 jπ X(f) = ∑ x[n] ⋅ e n →- ∞ FeSi cette série converge, la transformée de Fourier inverse est définie par : Fe / 2 nf 1 2 jπ ∫ X(f) ⋅ e Fe x[n] = Fe − Fe / 2Remarques : On vérifie bien que X(f) est une fonction périodique de période Fe (à cause del’échantillonnage). Si on remplace f par ( f + k.Fe ) : n ( f+k.Fe ) nf nk.Fe nf -2 jπ -2 jπ -2 jπ -2 jπ e Fe =e Fe +e Fe =e Fe4.1.2 Propriétés x[n] X(F) Linéarité α.x(n) + β.y(n) α.X(f) + β.Y(f) kf −2 jπ Translation x(n- k ) e Fe X(f) e 2 jπ nf0 x(n) X(f- f 0 ) Convolution x(n) ∗ y(n) S(f)iR(f) s(t)ir(t) S(f) ∗ R(f)
  23. 23. 4.2 Transformée de Fourier discrète4.2.1 Fenêtrage Avec un ordinateur, il est impossible de calculer la transformée de Fourier d’un signal discret.En effet il faudrait un temps et une mémoire infinis Pour ces raisons, on est toujours amené à travailleravec un nombre fini de points N. Cela revient à dire que les signaux exploités numériquement sonttoujours une troncation de signaux réels. On construira donc un signal tronqué xT[n]. Il résulte de la multiplication des échantillons dex[n] par une fenêtre danalyse (ou encore fenêtre de troncature) qui limitera xT[n] à N échantillons. Enpratique, on calcule donc : N-1 nf -2 jπ X T (f) = ∑ x T [n] ⋅ e Fe n =0La fenêtre d’analyse est définie par une suite d’échantillons y[n] tels que :  x T [n] = y[n].x[n] pour 0 ≤ n ≤ ( N-1)   x T [n] = 0 pour n < 0 et n > ( N-1)Mais le fait de tronquer un signal peut notablement affecter son spectre.Exemple : troncation d’une sinusoïde par un fenêtrage rectangulaire. tSoit x(t) = S cos ( 2πf 0 t ) et y(t) = rect   T SOn sait que X ( f ) = [ δ(f- f 0 )+δ(f+ f 0 )] et que y ( f ) = T sinc(Tf) 2Donc si on effectue la troncation de x(t) sur une durée T : xT ( t ) = x ( t ) ⋅ y ( t ) XT ( f ) = X ( f ) ∗ Y ( f ) X(f) x(t) S/2 S TF f T0 t -f0 f0 y(t) Y(f) T 1 t f -T/2 T/2 -3 -2 -1 1 2 3 T T T T T T XT(f) xT(t) 1/T TS/2 S t f -f0 f0
  24. 24. Remarques : On constate que le fait de tronquer le signal tend à élargir les raies contenues dans lespectre. Plus la fenêtre sera large, plus les raies seront étroites et tendront vers les Dirac originaux.On le conçoit aisément dans le domaine temporel puisque plus la fenêtre est large et plus le signaltronqué se rapproche du signal d’origine. Si on ne conserve qu’une période (environ) de la sinusoïde, les deux sinus cardinaux sechevaucheront bien avant d’avoir atteint des amplitudes négligeables. Ainsi, plus on voudra unerésolution importante en fréquence plus il faudra conserver un nombre important de périodestemporelles du signal à analyser… La qualité de la représentation spectrale sera dautant plus grandeque la période dacquisition T sera longue. La fenêtre rectangulaire nest pas forcément la meilleure. Dans le domaine temporel, elleinterrompt brusquement le signal à ces extrémités générant artificiellement des hautes fréquences.Dans le domaine fréquentiel, la fonction sinc a des lobes non négligeables loin de f = 0 qui déforme lespectre. Afin de compenser ces défauts, toute une série de fenêtres ont été imaginées. Aucune nestidéale, toutes ont leurs qualités et défauts suivant les applications voulues. Par exemple, la fenêtre de Hanning présente dans le domaine fréquentiel des lobessecondaires qui deviennent vite négligeables, mais au prix dun lobe principal plus large. Ainsi, lespectre sera moins précis au voisinage de f0 mais moins bruité dans les hautes fréquences. y(t) Y(f) T 1 TF t f -T/2 T/2 -3 -2 -1 1 2 3 T T T T T T4.2.2 Echantillonnage en fréquence En fait, lorsque l’on veut pouvoir représenter le spectre XT(f), il faut calculer XT(f) pour toutesles valeurs de f (f est une variable continue). Ceci est impossible avec un ordinateur ou un DSP qui nepeuvent traiter que des valeurs de f discrètes. Comme XT(f) est périodique de période Fe, on découpedonc cet intervalle en M parties égales et on ne calcule XT(f) que pour les multiples de Fe/M : oneffectue un échantillonnage fréquentiel de pas ∆f = Fe/M. On remplace donc f par ∆f et le calcul de la transformée de Fourier devient : N-1 n.k.∆ f -2 jπ X T [ k ] = ∑ x T [n] ⋅ e Fe pour k = [0, 1, 2,…., M-1] n =0 N-1 n.k X T [ k ] = ∑ x T [n] ⋅ e -2 jπ M pour k = [0, 1, 2,…., M-1] n =0On vient ainsi dintroduire la transformée de Fourier discrète. Le problème réside dans le choix du pas d’échantillonnage en fréquence et donc du choix deM. En effet, le fait d’échantillonner en fréquence revient à périodiser dans le domaine temporel lapartie du signal qui a été tronquée : +∞ TF-1 +∞  r  XT [ k ] = ∑ X T (f).δ ( f − k .∆ f ) ∑x T (t).δ  t-  k →−∞ r →−∞  ∆f 
  25. 25. Ainsi, suivant le choix de ∆f, plusieurs cas peuvent se présenter lors de la reconstitution dusignal dans le domaine temporel à partir de son spectre échantillonné : ∆f > 1/T : La résolution spectrale ∆f est trop grande. On a un recouvrement dans le domaine temporel. Cest un peu Shannon à lenvers : si on choisit une résolution spectrale trop grande, on ne peut pas reconstituer le signal dans le domaine temporel correctement. xT(t) 1 T t ∆f recouvrement ∆f < 1/T : Il n’y aura plus de repliement temporel, mais des intervalles durant lesquels le signal dont on calcule le spectre sera nul… xT(t) 1 ∆f T t ∆f = 1/T : On a un signal périodique idéal. On périodise la fenêtre temporelle choisie avant le calcul spectral. xT(t) T t 1 ∆fEn pratique, on choisira donc toujours ∆f de telle sorte à avoir ∆f = 1/T. Fe F 1Comme T = N.Te et ∆ f = , on en déduit que e = ⇒M=N : M M N.TeAinsi, la définition de la transformée de Fourier discrète devient : N-1 n.k X T [ k ] = ∑ x T [n] ⋅ e -2 jπ N pour k = [0, 1, 2,…., N-1] n =0Remarques : A Fe fixe, plus la durée d’acquisition sera longue et plus la résolution en fréquence sera fine. A N fixe, plus Fe sera importante et plus la condition de Shannon sera respectée mais moinsla résolution en fréquence sera fine et la durée d’acquisition longue.
  26. 26. 4.3 Notion de transformée de Fourier rapide Pour obtenir une valeur particulière de XT[k], il faut par exemple :Pour n = 0 :X T [ k ] = ( x T [0] • cos ( 0 ) - x T [0] • jsin ( 0 ) )2 produits complexes et 1 somme complexesPour n = 1 :   2πk   2πk  X T [ k ] = ( x T [0] • cos ( 0 ) - x T [0] • jsin ( 0 ) ) +  x T [1] • cos   - x T [1] • jsin     N   N 4 produits complexes et 3 sommes complexesPour n = N-1 :2N produits complexes et 2(N-1) sommes complexes Ainsi, pour obtenir les N valeurs de XT[k] il faut donc 2N2 multiplications et 2(N-1)N additions.Par exemple, un signal où N=1024 échantillons (soit 1ko en mémoire si chaque échantillon est codésur 8 bits), le nombre de multiplications est de 2 097 152 et celui des additions de 2 095 104 !!!! Onarrive très vite à des temps de calcul très longs. Si ces durées ne sont pas gênantes pour destraitement en temps différé, il n’en est pas de même en temps réel. En effet, plus le temps de calculsera important et plus la fréquence maximale du signal à analyser sera réduite (Shannon). Pour pouvoir utiliser la transformée de Fourier discrète en temps réel, on dispose d’algorithmesde calcul permettant d’obtenir les résultats beaucoup plus rapidement sous certaines conditions. Cesalgorithmes sont connus sous le nom de Transformée de Fourier Rapide (TFR) ou Fast FourierTransform (FFT). Lalgorithme le plus connu est celui de Cooley-Tuckey.4.3.1 Présentation à l’algorithme de Cooley-TuckeyOn pose : N-1 -2 jπ X [ k ] = ∑ x[n].WN nk avec WN = e N n =0Propriétés de WN : -2 jπnk WN k = e 2n N/ 2 = WN/k2 n -2 jπ(nk+N/2) WN 2 = e nk+N/ N = − WN k nLa condition d’utilisation est d’avoir un nombre d’échantillons puissance de 2 : N=2mSi on effectue un dédoublement temporel en séparant les indices paires et impaires :  x1 [ n ] = x [ 2 n ]    x 2 [ n ] = x [ 2 n+1] En exploitant les propriétés de WN, on trouve alors :  X [ k ] = X1[ k ] + WN .X 2 [ k ] k N  Pour 0 ≤ k ≤ -1  N 2  X  k +  = X1[ k ] − WN .X 2 [ k ] k    2Remarques :Le coût de calcul passe de l’ordre de N2 à N log2 (N).
  27. 27. Annexe 1 : Transformée de Fourier d’un peigne de Dirac +∞δT (t)= ∑ δ(t- kT) k →- ∞La décomposition en série de Fourier donne : +∞ +∞ t Te / 2 jn 2π 1SdF δTe (t)  = ∑ Sn e   jn 2π f e t = ∑ Sn e Te avec Sn = ∫ s(t) e − jn 2π fe t dt -∞ -∞ Te -Te / 2 Te / 2 +∞ 1 ∫ ∑ δ(t- kT ) ⋅ e − jn 2π f e t d’où Sn = e dt Te -Te / 2 k →- ∞ -T T sur  e , e  , δ T (t)=1 pour t = 0 et 0 ailleurs.  2 2 1 − jn 2π fe t 1donc Sn = e = Te t =0 Tedonc la décomposition en série de Fourier du peigne de Dirac vaut : +∞ +∞ 1 jn 2π fe t 1SdF δTe (t)  = ∑   e = ∑e jn 2π f e t -∞ Te Te -∞Comme TF  e  = δ(f+ f 0 ) : −2 jπf 0 t   +∞ 1 TF [ δT (t) ] = ∑ δ(f- k f ) e Te k →- ∞La transformée de Fourier dun peigne de Dirac (en temps) est un peigne de Dirac (enfréquence). δTe(t) TF[δTe(t)] 1 1/Te TF t f -3Te -2Te -Te Te 2Te 3Te -3fe -2fe -fe fe 2fe 3fe
  28. 28. Annexe 2 : Transformée de Fourier de la fonction porte  t 1 1 pour T < 2 t rect ( )=  T  t 1 0 pour >   T 2La transformée de Fourier donne : +∞ T/ 2  t  tTF  rect( )  = ∫ rect( ) ⋅ e− j2π ft dt = ∫ e− j2π ft dt  T  -∞ T -T/ 2 T/ 2  t   1  1 d’où TF  rect( )  =  ⋅ e − j2π f t  =  e j2π f T/ 2 − e − j2π f T/ 2   T   - j2π f  -T/ 2 j2π f    t  1  e − jπ f T − e jπ f T  1 TF  rect( )  =  = sin(π f T)  T  πf  2j  πf sin ( πt )comme sinc(t) = πt  t  TF  rect( )  = T sinc(Tf)  T La transformée de Fourier d’une fonction porte est un sinus cardinal. rec(t/T) Tsinc(Tf) 1 T TF t f -T/2 T/2 -3 -2 -1 1 2 3 T T T T T T

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