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  1. 1. Probabilités. Variable aléatoire. Loi binomiale. Echantillonnage 1VOCABULAIREUn sac contient 7 numéros: 4 rouges R1 , R 2 , R 3 ,R 4 et 3 blancs B 5 , B 6 , B 7 .On tire au hasard un numéro du sac. Vocabulaire Signification ExemplesExpérience aléatoire Expérience dont le résultat n’est pas Tirer un numéro du sac ou épreuve prévisible parmi des résultats possibles Eventualité Issue possible de l’épreuve Tirer R 3 Univers Ω Ensemble de toutes les éventualités Ω = {R1 ,R 2 ,R 3 ,R 4 ,B 5 , B 6 , B 7 } issues de l’épreuve Evénement Ensemble des éventualités liées à une A: ‘‘ Obtenir un numéro impair ’’ action, une situation. C’est une partie A= {R1 , R 3 , B 5 , B 7 } de l’univers B: ‘‘ Obtenir un numéro rouge ’’ B = { R1 , R2, R3 , R4 } Evénement Evénement n’ayant qu’une seule C: ‘‘ Obtenir le numéro 7 ’’ élémentaire éventualité C = { B7 } Evénement certain Evénement contenant toutes les D: ‘‘ Obtenir un numéro inférieur à 10 ’’ éventualités de l’épreuve D= Ω Evénement Evénement qui ne se réalise jamais E: ‘‘ Obtenir un numéro vert ’’ impossible E= ∅ Intersection d’ Evénement formé par l’ensemble des A ∩ B: ‘‘ Obtenir un numéro impair et événements éventualités communes à A et à B rouge ’’ A∩B A ∩ B = {R1 , R 3 } Réunion d’ Evénement formé par l’ensemble des A ∪ B: ‘‘ Obtenir un numéro impair ou événements éventualités de A ou de B rouge ’’ A∪B A ∪ B = {R1 ,R 2 ,R 3 ,R 4 ,B 5 ,B 7 } Evénements Evénements n’ayant aucune éventualité F: ‘‘ Obtenir un numéro blanc’’ incompatibles commune. Leur intersection est vide G: ‘‘ Obtenir R 3 ’’ ( ou disjoints ) F∩G = ∅ Evénements Evénements incompatibles dont la A : ‘‘ Obtenir un numéro pair ’’ contraires réunion forme l’univers A= { R2, R4, B6 } A et A
  2. 2. Probabilités. Variable aléatoire. Loi binomiale. Echantillonnage 2PROBABILITESDéfinitionDéfinir une loi de probabilité, liée à une épreuve sur un univers Ω , c’est associer à chaque événement unnombre compris entre 0 et 1 tel que:• la somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1• La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.PropriétésSoit A et B deux événements de Ω .• p ( A) = 1 - p ( A )• p( ∅ )=0• p (Ω ) = 1• Si A ⊂ B alors p ( A ) ≤ p ( B )• p ( A∪B ) = p ( A ) + p ( B ) - p ( A∩B )• Si A et B sont incompatibles p (A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B )Loi de probabilité et distribution des fréquences : loi des grands nombresPour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité, les distributions desfréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de la loi de probabilité quand n devientgrand.Autrement dit : plus le nombre de répétitions de la même expérience est grand, plus la fréquence observéed’apparition d’un résultat se rapproche de la probabilité théorique d’apparition de ce résultat.( Lorsqu’on lance une pièce de monnaie et que l’on calcule la fréquence d’apparition de pile, plus lenombre de lancers sera grand, plus la fréquence se rapprochera de 0,5 )EquiprobabilitéLors d’une épreuve, si toutes les éventualités ont la même chance d’apparaître, on est en situationd’équiprobabilité. nombre de cas favorables Nombre d éléments de ADans le cas d’ équiprobabilité : p(A)= = nombre de cas possibles Nombre d éléments de
  3. 3. Probabilités. Variable aléatoire. Loi binomiale. Echantillonnage 3VARIABLE ALÉATOIRE.Définition.Ω étant l’univers associé à une épreuve aléatoire, définir une variable aléatoire sur Ω c’est associer unréel à chaque éventualité de Ω .( Attention, une variable aléatoire est une fonction ).Loi de probabilité d’une variable aléatoire.X étant une variable aléatoire définie sur un univers fini Ω , définir la loi de probabilité de X, c’estassocier à chaque valeur x i prise par X, la probabilité p ( X = x i )ExempleUne roue de loterie est partagée en 12 secteurs égaux : 6 bleus, 3 verts, 2 jaunes et 1 rose .Lors d’une partie, on fait tourner la roue et un repère fixe désigne la couleur obtenue à l’arrêt.Le joueur gagne 50 euros si la roue s’arrête sur la zone rose, 10 si la roue s’arrête sur la zone jaune, 0 si laroue s’arrête sur la zone verte et il perd 10 euros si la roue s’arrête sur la zone bleue.Définir une variable aléatoire correspondant à cette épreuve et déterminer sa loi de probabilité. Eventualités Réel associé x i Probabilité Variable Loi de p ( X = x i ). → → Arrêt sur bleu aléatoire – 10 probabilité 1/2 Arrêt sur vert 0 1/4 Arrêt sur jaune 10 1/6 Arrêt sur rose 50 1/12Ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire :X = { –10, 0, 10, 50 }Loi de probabilité de X xi –10 0 10 50 p ( X = x i ). 1/2 1/9 1/4 1/12
  4. 4. Probabilités. Variable aléatoire. Loi binomiale. Echantillonnage 4Espérance mathématique d’une variable aléatoire, Variance, Ecart-type.Soit { x 1 , x 2 , ... , x n } l’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X.Pour tout nombre entier i tel que 1 ≤ i ≤ n on pose p i = p ( X = x i ).On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre réel noté E ( X ) défini par: n E ( X ) = ∑ xi pi = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n i=1Si E ( X ) = 0 , on dit que X est une variable centrée.On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel positif noté V ( X ) défini par: n n V(X)= ∑ pi ( x i - E ( X ) ) 2 = ∑ pi x i 2 - E ( X )2 i=1 i=1Si V ( X ) = 1 , on dit que X est une variable réduite.On appelle écart-type de la variable aléatoire X le nombre réel positif noté σ ( X ) défini par: σ( X ) = V(X)Propriétés : Soit a et b deux réels : E ( aX + b) = a E( X ) + b et V ( aX ) = a 2 V( X )EXPERIENCES IDENTIQUES ET INDEPENDANTES.DéfinitionSoit n ( n étant un entier naturel) expériences aléatoires identiques successives.Ces expériences aléatoires identiques sont dites indépendantes lorsque la réalisation de l’une quelconqued’entre elles ne dépend pas de la réalisation des autres expériences.Calcul de probabilité lors d’une répétition d’expériences identiques et indépendantes.Dans le cas d’une répétition d’expériences identiques et indépendantes, une issue est une liste de résultatsissus de cette répétition, et la probabilité de la liste est le produit des probabilités de chacun des résultats.Dans le cas d’une répétition d’expériences identiques et indépendantes, on peut modéliser le calcul par unarbre pondéré.
  5. 5. Probabilités. Variable aléatoire. Loi binomiale. Echantillonnage 5LOI DE BERNOULLIEpreuve de Bernoulli.C’est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues possibles, que l’on nomme souvent succès etéchec.Si p est la probabilité du succès, alors q = 1 – p est celle de l’échec.Loi de Bernoulli.Dans une épreuve de Bernoulli on considère la variable aléatoire X qui associe 1 au succès et 0 à l’échec.La loi de probabilité de X, appelée loi de Bernoulli xi 1 0de paramètre p est: p ( X = xi ) p 1– pPropriétés. Soit une variable aléatoire X suivant la loi de Bernoulli de paramètre p :E ( X ) = p ; V ( X ) = p (1 – p) ; σ ( X ) = p(1 − p)LOI BINOMIALE.Schéma de Bernoulli.On appelle schéma de Bernoulli l’expérience aléatoire consistant à effectuer successivement n épreuvesde Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès p.Loi Binomiale. Soit X une variable aléatoire indiquant le nombre de succès dans le cas d’un schémade Bernoulli. Cette variable X suit la loi binomiale B ( n , p ) de paramètres n et p, où n est un nombreentier naturel représentant le nombre d’épreuves de Bernoulli effectuées et p est la probabilité du succès. nPour tout nombre entier naturel k tel que 0 ≤ k ≤ n : p ( X = k ) =   pk qn-k k  avec q = 1 – p .   nLe nombre   est appelé coefficient binomial. k   Il indique dans l’arbre pondéré le nombre de chemins réalisant k succès parmi les n épreuves de Bernoulli.Propriétés. Soit une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B ( n , p ) :E ( X ) = np ; V ( X ) = npq ; σ ( X ) = npq
  6. 6. Probabilités. Variable aléatoire. Loi binomiale. Echantillonnage 6Propriétés des coefficients binomiauxn  n  n ( n -1 ) ( n - 2 ) ... ( n - k + 1 ) n!  = 1 et pour 1 ≤ k ≤ n,   =0 k  =    1 × 2 × ... × k k!(n − k)!Par convention 0! = 1 n nOn a également :   = n , et   = 1 1  n      n + 1 n n  n n Pour 0 ≤ k ≤ n,   k + 1 =   + k    k + 1 et  k  =     n − k            Triangle de Pascal n k 0 1 2 3 4 5 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1
  7. 7. Probabilités. Variable aléatoire. Loi binomiale. Echantillonnage 7EchantillonnageEchantillon : Lorsque dans une population, on prélève au hasard, successivement et avec remise nindividus, on obtient un échantillon de taille n.Nature du problèmeIl s’agit de vérifier une information donnée sur une population d’effectif important à partir de l’étude d’unéchantillon de quelques dizaines d’unités. Ce type de situation se rencontre fréquemment dans le mondeindustriel, car le plus souvent il n’est pas possible d’étudier la population entière.Considérons une population où l’on supposequ’une proportion p d’individus présente un certaincaractère.La méthode consiste à observer sur un échantillonde taille n issu de cette population la proportion fd’individus présentant le caractère donné.On considère que l’échantillon prélevé est représentatif de la population.Dans ce cas si la proportion observée dans l’échantillon est trop éloignée de l’hypothèse, on considère quel’hypothèse de départ n’est pas correcte et on la rejette. Si la proportion observée dans l’échantillon estproche de l’hypothèse on ne peut pas la rejeter. Le but est donc de définir les valeurs limites permettant deprendre la décision.
  8. 8. Probabilités. Variable aléatoire. Loi binomiale. Echantillonnage 8Intervalle de fluctuation à 95%Lorsqu’on observe un individu de l’échantillon, soit cet individu présente le caractère recherché ( succès)soit il ne le présente pas (échec). L’observation d’un individu est donc une épreuve de Bernoulli.L’hypothèse de départ étant à priori considérée comme bonne, la probabilité du succès correspond à laproportion p d’individus présentant le caractère dans la population.On répète cette épreuve n fois. Les épreuves sont identiques et indépendantes. On est donc dans le casd’un schéma de Bernoulli et la loi de probabilité est donc la loi binomiale B(n,p) a bL’intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence observée f est l’intervalle  ;  où : n nn est l’effectif de l’échantillona est le plus petit entier tel que p ( X ≤ a ) > 2,5%b est le plus petit entier tel que p ( X ≤ b) ≥ 97,5%On a donc p (a ≤ X ≤ b) ≥ 95% d’où le nom d’intervalle de fluctuation à 95%Cela signifie que si l’hypothèse de départ est correcte, on a une probabilité de 95% que la proportion f a bd’individus présentant le caractère dans l’échantillon tiré au hasard soit dans l’intervalle  ;  . n nRègle de décision : a bSi f ∈  ;  , on ne peut pas rejeter l’hypothèse de n ndépart selon laquelle la proportion d’individusprésentant le caractère donné dans la population est p. a bSi f ∉  ;  , on rejette l’hypothèse de départ selon n nlaquelle la proportion d’individus présentant lecaractère donné dans la population est p.On dit qu’on rejette l’hypothèse au risque de 5% car ilse pourrait que l’échantillon ne soit pas représentatif etque l’hypothèse soit en fait bonne. On prend donc lerisque de 5% de se tromper.Remarque :Lorsque n > 25 ( n étant l’effectif de l’échantillon ) et 0,2 < p < 0,8 ( p étant la proportion, dans la  1 1population, du caractère étudié) l’intervalle de fluctuation est proche de  p − ;p+   n n

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