Chapitre 5 structures hierarchiques (arbres)

CHAPITRE V:
Université Saad Dahlab de Blida
Faculté des Sciences
Département d’Informatique
Licence d’Informatique
Semestre 4 (2ème année)
Algorithmique et Structures de Données
CHAPITRE V:
STRUCTURES HIÉRARCHIQUES
Mme AROUSSI
2014-2015
Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-aroussi/

Introduction
Définitions et Terminologies
Topologie
PLAN DU CHAPITRE V
Topologie
Les Arbres Binaires
Les Arbres Binaires de Recherche (ABR)
Les Arbres AVL
Les TAS
Les Arbres m-aire
2

Dans les tableaux, nous avons :
Un accès direct par indice (rapide)
L’insertion et la suppression nécessitent des décalages
Dans les Listes Linéaires Chaînées, nous avons :
Un accès séquentiel lent
INTRODUCTION
3
Un accès séquentiel lent
L’insertion et la suppression se font uniquement par modification de
chaînage
Les arbres représentent un compromis entre les deux :
Un accès relativement rapide à un élément à partir de sa clé
L’insertion et la suppression non coûteuses

De plus, les arbres sont des structures de données
fondamentales en informatique, très utilisés dans tous les
domaines, parce qu’ils sont bien adaptés à la
représentation naturelle d’informations homogènes
INTRODUCTION
4
représentation naturelle d’informations homogènes
organisées, et d’une grande commodité et rapidité de
manipulation.

Leur usage est multiple, car il capte l’idée de hiérarchie; à
titre d’exemples, nous pouvons citer:
Découpage d’un livre en parties, chapitres, sections,
paragraphes…,
INTRODUCTION
5
paragraphes…,
Livre
C1 C2 C3
S1.1 S1.2 S2.1 S2.2 S2.3
S2.1.1 S2.1.2

Hiérarchies de fichiers,
INTRODUCTION
6

Expressions Arithmétiques
INTRODUCTION
-
7
-
A *
+ F
B *
C -
D E
L’expression A - (B + C * (D - E)) * F
se représente facilement par un arbre
où apparaît clairement la priorité des
opérations:

DÉFINITION & TERMINOLOGIES
Un arbre est une structure de données (souvent dynamique)
représentant un ensemble de valeurs organisées
hiérarchiquement (non linéaire). Chaque valeur est stockée dans
un nœud. Les nœuds sont connectés entre eux par des arêtes
qui représentent des relations parent/fils.
8
A
C DB
E G HF I
LKJ
NœudsArêtes

Racine: est le nœud qui n'a
pas de prédécesseur (parent) et
possède zéro ou plusieurs fils. La
racine constitue la caractéristique
d'un arbre.
A
C DB
E G HF I
Racine
Nœud interne
9
Feuille : est un nœud qui n'a
pas de successeur (fils). Une
feuille est aussi appelée un nœud
externe.
Nœud interne : est tout nœud
qui admet au moins un
successeur (fils).
E G HF I
LKJ
Feuilles

Sous arbre : est une portion
de l'arbre. Dans l'exemple, le
nœud G avec ces deux fils J et K
constituent un sous arbre.
Une branche est une suite de
A
C DB
11
nœuds connectés de père en fils
(de la racine à une feuille).
A-B-E
A-C
A-D-F
A-D-G-J
…..
E G HF I
LKJ

Descendants d’un nœud :
sont tous les nœuds du sous arbre
de racine nœud. Dans l'exemple,
les descendants de D sont D, F,
G, H, I, J, K et L.
A
C DB
12
Ascendants d’un nœud :
sont tous les nœuds se trouvant
sur la branche de la racine vers
ce nœud. Dans l'exemple, les
ascendants de J sont G, D et A.
Les ascendants de E sont B et A.
E G HF I
LKJ

Taille d’un arbre: est le
nombre de nœuds qu’il possède.
Taille de l’arbre ci contre = 12
Un arbre vide est de taille
égale à 0.
Degré d’un nœud : est le
A
C DB
13
Degré d’un nœud : est le
nombre de ses fils. Dans
l'exemple, le degré de B est 1, le
degré de D est 4.
Degré d’un arbre : est le
degré maximum de ses nœuds.
Degré de l’arbre ci contre = 4
E G HF I
LKJ

Le niveau d'un nœud: est la distance qui le sépare de la
racine:
Le niveau de la racine = 0
Le niveau de chaque nœud est égale au niveau de son père plus 1
Le niveau du nœud contenant ‘G' est égal à 2.
RacineNiveaux
14
Racine
…..…………..…………………………………………….......
………………..…………………………………………….......
……………………………….......
.…………………………………………….......
A
C DB
E G HF I
LKJ
Niveaux
0
1
2
3

Forêt : est un ensemble d'arbres.
A
C DB
16
E
G
HF I
L
KJ

Définition récursive
Cas particulier: NIL est un arbre vide, contenant zéro nœud
Racine
Racine de T1
Cas général: SI n est un
nœud et si T1, T2, ...Tm sont
des arbres, ALORS on peut
17
T1
T’1
Racine de T’1
construire un nouvel arbre en
connectant T1, T2, ...Tm
comme des fils à n.
Chaque Ti est définit de la
même manière (récursivement).
T1, T2, ...Tm sont alors des
sous- arbres de n.

TYPOLOGIE
Arbre m-aire : un arbre m-aire d’ordre n est un arbre ou le
degré maximum d’un nœud est égal à n.
B-Arbre : Un arbre B d’ordre n est un arbre où :
la racine a au moins 2 fils
chaque nœud, autre que la racine, a entre n/2 et n fils
tous les nœuds feuilles sont au même niveau
18
tous les nœuds feuilles sont au même niveau
Arbre binaire : c’est un arbre où le degré maximum d’un
nœud est égal à 2.
Arbre de Recherche Binaire : c’est un arbre binaire où la clé
de chaque nœud est supérieure à celles de ses descendants
gauche, et inférieure à celles de ses descendants droits.
……

PARTIE II:PARTIE II:
ARBRES BINAIRES

DÉFINITION
Un arbre binaire est un arbre où chaque nœud est connecté à
deux sous-arbres (un sous-arbre gauche et un sous-arbre droit).
Donc, un arbre binaire est un arbre de degré 2, c’est-à-dire que
chaque nœuds a au plus deux fils. Ainsi, le premier fils d'un nœud
n est appelé Fils-Gauche (FG) et le deuxième fils est appelé Fils-
21
Droit (FD). A
B
C KG
F
H I
J
racine
D
NIL

DÉFINITION
Un arbre binaire est dit strictement binaire si chaque nœud
interne (non feuille) a exactement 2 fils différents de NIL.
Si un arbre strictement binaire a n feuilles Alors :
le nombre total de ses nœuds = 2n-1.
le nombre de ses nœuds non feuilles (nœuds internes) = n-1
22
A
B
C KG
F
H I
J
racine
D
M
Le nombre de feuilles : n=6
(C, D,H, M, J, K)
Le nombre total de nœuds :
2n-1=11
Le nombre de nœuds
internes: n-1=5 (A, B, F, G, I)

DÉFINITION
Un arbre binaire complet est un arbre strictement binaire où
toutes les feuilles sont au même niveau.
Dans un arbre binaire complet de profondeur « d » :
le nombre total de nœuds n = 20 + 21 + 22 + ... 2d = 2d+1-1
ainsi, d = log2(n+1) – 1
le nombre de nœuds internes =
23
le nombre de nœuds internes = 2d-1
le nombre de feuilles = 2d
le nombre de nœuds dans le niveau i = 2i
racine
D
A
B
C KG
F

DÉFINITION
Un arbre binaire complet est un arbre strictement binaire où
toutes les feuilles sont au même niveau.
Dans l’exemple ci dessous:
d = 2
le nombre total de nœuds n = 23-1 = 7
le nombre de nœuds internes =
24
le nombre de nœuds internes = 22-1 = 3
le nombre de feuilles = 22 = 4
le nombre de nœuds dans le niveau 1 = 2
racine
D
A
B
C KG
F

MODÈLE
L'arbre est implémenté souvent de manière dynamique
comme un ensemble de maillons (nœuds) chaînés entre eux.
La structure d'un nœud de l'arbre est la suivante :
25
Structure de Données
TYPE Tnoeud = STRUCTURE
Info : Typeqq
FG : * Tnoeud
FD : * Tnoeud
FIN
VAR Arbre : * Tnoeud

PARCOURS
Le parcours d’un arbre consiste à passer par tous ses
nœuds.
Les parcours permettent d’effectuer tout un ensemble de
traitement sur les arbres.
On distingue deux types de parcours :
27
On distingue deux types de parcours :
Des parcours en profondeur (depth-first) explorent
l'arbre branche par branche. Parmi lesquels: le Préordre,
l‘Inordre et le Postordre.
Des parcours en largeur (breadth-first) explorent
l'arbre niveau par niveau

PARCOURS EN PROFONDEUR
Dans un parcours en profondeur, on descend le plus
profondément possible dans l’arbre puis, une fois qu’une
feuille a été atteinte, on remonte pour explorer les autres
branches en commençant par la branche « la plus basse »
parmi celles non encore parcourues.
28
parmi celles non encore parcourues.
Le parcours en profondeur peut se faire en :
Préordre (Préfixe) : où on affiche la racine avant ses fils (Racine
FG FD),
Inordre (Infixe) : où on affiche le fils gauche avant sa racine et
son frère droit (FG Racine FD),
Postordre(Postfixe) : où on affiche les fils avant leur racine (FG
FD Racine).

Ces parcours (préordre, inordre et postordre) sont des
parcours simples à définir et à programmer (en récursif).
Soit R un arbre binaire (pouvant être vide : R=NIL).
S'il n'est pas vide (n pointe le nœud racine), alors il a la forme
suivante (avec T1 et T2 des sous arbres définis de la même manière
29
que n) :
R
T1 T2
Sous arbre gauche G Sous arbre droit D

PARCOURS PREORDRE
Le parcours préordre de R (s'il n'est pas vide) consiste à
visiter le nœud racine (R) ensuite parcourir récursivement
en préordre les sous arbres T1 (sous arbre gauche) puis T2
(sous arbre droit) ce qui donne : [ R , T1 , T2 ou RGD]
30
R
T1 T2

PARCOURS PREORDRE
en préordre les sous arbres T1 (sous arbre gauche) puis T2
(sous arbre droit) ce qui donne : [ R , T1 , T2 ou RGD]
31
A
B C
E GD F
H I
HID EB FGA CRésultat de parcours:

PARCOURS PREORDRE
La procédure (récursive) qui affiche les valeurs en
parcours préordre d’un arbre de racine R est :
Procédure Préordre( R:* Tnoeud )
Début
SI R ≠ NIL
32
SI R ≠ NIL
ecrire( Info(R) )
Préordre( FG(R) )
Préordre( FD(R) )
FSI
fin

PARCOURS INORDRE
Le parcours inordre de R (s'il n'est pas vide) consiste
d'abord à parcourir récursivement en inordre le sous arbre
gauche T1, puis visiter le nœud racine (R) ensuite parcourir
récursivement en inordre le sous arbre droit T2 ce qui donne
[ T1 , R , T2 ou GRD ]
33
[ T1 , R , T2 ou GRD ]
R
T1 T2

PARCOURS INORDRE
Le parcours inordre de R (s'il n'est pas vide) consiste
d'abord à parcourir récursivement en inordre le sous arbre
gauche T1, puis visiter le nœud racine (R) ensuite parcourir
récursivement en inordre le sous arbre droit T2 ce qui donne
[ T1 , R , T2 ou GRD ]
34
[ T1 , R , T2 ou GRD ]
A
B C
E GD F
H I
Résultat de parcours: H ID EB F GA C

PARCOURS INORDRE
parcours inordre d’un arbre de racine R est :
Procédure Inordre( R:*Tnoeud )
Début
SI R ≠ NIL
35
SI R ≠ NIL
Inordre( FG(R) )
ecrire( Info(R) )
Inordre( FD(R) )
FSI
fin

PARCOURS POSTORDRE
Le parcours postordre de R (s'il n'est pas vide) consiste
d'abord à parcourir récursivement en postordre les sous
arbres T1 puis T2 ensuite visiter le nœud racine (R) ce qui
donne [ T1 , T2 , R ou GDR]
36
R
T1 T2

PARCOURS POSTORDRE
Le parcours postordre de R (s'il n'est pas vide) consiste
d'abord à parcourir récursivement en postordre les sous
arbres T1 puis T2 ensuite visiter le nœud racine (R) ce qui
donne [ T1 , T2 , R ou GDR]
37
A
B C
E GD F
H I
Résultat de parcours: HIDEBFG AC

PARCOURS POSTORDRE
parcours postordre d’un arbre de racine R est :
Procédure Postordre( R: *Tnoeud)
Début
SI R≠NIL
38
SI R≠NIL
Postordre( FG(R) )
Postordre( FD(R) )
ecrire( Info(R) )
FSI
fin

On peut faire ces trois parcours sans utiliser la
récursivité. Il faudra alors un moyen pour pouvoir remonter
dans les branches de l'arbre:
On pourra par exemple utiliser une structure de pile pour
sauvegarder les adresses des nœuds par lesquels on est descendu et
les dépiler quand on en aura besoin pour remonter.
39
les dépiler quand on en aura besoin pour remonter.
On peut aussi enrichir la structure des nœuds en incluant un
pointeur vers le nœud père.
Il existe d'autres types de parcours en profondeur, comme
par exemple:
Le préordre inverse (R T2 T1 ou RDG),
L'inordre inverse (T2 R T1 ou DRG),
Le postordre inverse (T2 T1 R ou DGR).

PARCOURS EN LARGEUR
Dans le parcours par niveau, tous les nœuds d’un même
niveau sont traités avant de descendre au niveau suivant
Résultat de parcours:A
HIDEB FGA C
40
B C
E GD F
H I
HIDEB FGA C

PARCOURS EN LARGEUR
Procédure parcours_largeur( R:* Tnoeud )
Var F:filed’attente; P: *Tnoeud;
Debut
P←R;
41
P←R;
Si R ≠ NIL Alors
Enfiler(F,P);
TQ (Non FileVide(F))
Defiler(F,P);
écrire(info(P));
Si FG(P) ≠ NIL Alors Enfiler(F,FG(P));
Si FD(P) ≠ NIL Alors Enfiler(F,FD(P));
FTQ
Fin

REPRÉSENTATION CONTIGÜE
On peut présenter les arbres de manière statique en
utilisant les tableaux.
Représentation Standard:
Chaque élément du tableau possède quartes champs: un pour
l'information, un pour le fils gauche, un pour le fils droit et un champ
42
l'information, un pour le fils gauche, un pour le fils droit et un champ
de type booléen pour indiquer si la case est libre ou occupée.
TYPE Tnoeud= STRUCTURE
Info : Typeqq
FG : entier
FD : entier
vide: booléen
FIN

Représentation Standard:
Si la racine de l’arbre est toujours à la position 1 du tableau,
l’arbre sera défini comme suit:
VAR Arbre = TABLEAU[0..M-1] de Tnoeud
Indice Tnoeud
43
Indice Tnoeud
Vide FG Info FD
0 F 1 a 4
1 F 2 b 3
2 F -1 c -1
3 F -1 d -1
4 F -1 e -1
… V ? ? ?
M-1 V ? ? ?

Représentation Séquentielle :
Dans cette représentation, on élimine les pointeurs entiers (FG,
FD et éventuellement Père), en associant à chaque nœud de l'arbre
une position fixe prédéfinie dans le tableau:
La case d’indice 0 sera toujours vide
La case d'indice 1 sera toujours réservée au nœud racine de l'arbre,
45
La case d'indice 1 sera toujours réservée au nœud racine de l'arbre,
La case d'indice 2 sera toujours réservée au FG de la racine,
La case d'indice 3 sera toujours réservée au FD de la racine,
En général, le FG de la case i se trouvera toujours à l'indice 2i et le fd
de la case i se trouvera toujours à l'indice 2i+1, alors que le père de la
case i il sera toujours positionné à la case i div 2.
i div 2 i 2i 2i+1
Père …. Nœud …. FG FD ….

Représentation Séquentielle :
TYPE Tnoeud= STRUCTURE
Info : Typeqq
vide: booléen
FIN
46
Indice 0 1 2 3 4 5
Info - a b e c d
Vide V F F F F F
Chaque nœud à l’indice i a pour:
nœud à l’indice (2i) = fils de gauche.
nœud à l’indice (2i+1) = fils de droite.
nœud à l’indice (i div 2) = père.

EXEMPLES D’APPLICATION
Représentation des Expressions Arithmétiques :
Les expressions arithmétiques peuvent êtres représentées sous
forme d'arbre binaire. Les nœuds internes contiennent des
opérateurs, alors que les feuilles contiennent des valeurs
(opérandes).
47
Exemple: l'expression (a-b)*((c+d)/e) sera représentée par l'arbre
suivant :
c
e
*
- /
+
d
ba

Les différentes formes de représentation d’une expression
arithmétiques peuvent être trouvés en parcourant l’arbre:
Le parcours en préordre (RGD) donne la forme polonaise préfixée,
Le postordre (GDR) donne la forme postfixée
Le parcours inordre (GRD) donne la forme infixée (forme normale
48
Le parcours inordre (GRD) donne la forme infixée (forme normale
sans parenthèses)
c
e
*
- /
+
d
ba

L’évaluation d’une expression arithmétiques peuvent se faire en
utilisant les différentes formes (préordre, postordre et inordre) et les
deux fonctions suivantes:
La fonction Opérande(T) qui retourne vrai si T est un
opérande, sinon elle retourne faux.
49
opérande, sinon elle retourne faux.
La fonction Calcul qui permet de calculer l’opération
arithmétique entre deux opérandes

Fonction Eval_inordre(A: *Tnoeud): réel
SI (A= Null) alors
Retourner (0)
SINON
SI Operande(A) alors
Retourner (Info(A))
SINON
50
c
e
*
- /
+
d
ba
SINON
Eval ← Calcul(Eval(Fg(A)), Info(A), Eval(Fd(A)))
FSI

Représentation d’une Liste Linéaire Chaînée (LLC):
On peut représenter une liste linéaire chaînée par un arbre binaire
de la façon suivante :
Les éléments de la liste sont au niveau des feuilles.
Chaque nœud qui n'est pas une feuille contient le nombre de
feuilles de son sous arbre gauche.
51
feuilles de son sous arbre gauche.
Exemple: Transformer cette LLC en un arbre
a b c d e f g
Présentation statique sous forme
d’un tableau
a b c d e f g

Fonction LLCToArbreB (Tab: Tableau, Deb, Fin: entier) : * Tnoeud
Var x:Typeqcq; P:*Tnoeud; Mil: entier
Debut
Si Deb = Fin alors
x.Nbr_F 0
x.Val Tab[Deb]
Type Typeqcq = Structure
Nbr_F: entier
Val: caractère
Fin
53
x.Val Tab[Deb]
P CreerNoeud(x)
Sinon
Mil (Deb+Fin) div 2
x.Nbr_F Mil + 1
x.Val ’’
P CreerNoeud(x)
Aff_FG(P, LLCToArbreB(Tab, Deb, Mil))
Aff_FD(P, LLCToArbreB(Tab, Mil+1, Fin))
Retourner (P)
Fin
Type Tnoeud = Structure
Info: Typeqcq
FG: *Tnoeud
FD: *Tnoeud
Fin
Fin

Cette représentation répond avec efficacité au problème de la
recherche du Kème élément.
Si la position recherchée est inférieure ou égale à l'information
du nœud interne on descend à gauche, sinon on descend à droite
et en retranche à la position recherchée l'information du nœud.
54
et en retranche à la position recherchée l'information du nœud.
Exemple:
a. Rechercher le 3ème élément de la liste
b. Rechercher le 6ème élément de la liste
c. Rechercher le 9ème élément de la liste (n’existe pas!)
a b c d e f g
3ème 6ème

4
22
3
3
6
6 – 4 = 2
9
9 – 4 = 5
55
1
e f
g1 1
a b c d
3ème 6ème
3- 2 = 1
1
2
2 – 1 = 1
5 - 2 = 3!!!

Fonction Rechercher_Pos (R:*Tnoeud, K: entier) : * Tnoeud
Debut
TQ non Feuille (R) faire
Si Info (R).Nbr_F ≤ K alors
R FG(R)
Sinon
Fonction Feuille (R:*Tnoeud): booléen
Debut
56
Sinon
K K- Info (R).Nbr_F
R FD(R)
FTQ
Si K = 1 alors
Retourner (R)
Sinon
Retourner (Null)
Fin
Debut
Si R ≠ Null alors
Si FG(R) = Null et et FD (R) = Null alors
Retourner (vrai)
FSI
Retourner (Faux)
Fin

Définition
Complexité
PLAN DE LA PARTIE III
Parcours
Opérations de Recherche et de mise à jours (Insertion et
Suppression)
Exemples d’application: Tri par ABR
58

DÉFINITION
Un Arbre Binaire de Recherche (ABR) est un arbre
binaire ordonné tel que pour tout nœud n:
Toutes les valeurs du sous-arbe gauche de n sont strictement
inférieures à la valeur de n, et
Toutes les valeurs du sous-arbre droit de n sont supérieures ou
59
égales à la valeur de n.

DÉFINITION
Un Arbre Binaire de Recherche (ABR) est un arbre
binaire ordonné tel que pour tout nœud « i »:
Toutes les valeurs du sous-arbre gauche de « i » sont strictement
inférieures à la clé de « i », et
Toutes les valeurs du sous-arbre droit de « i » sont supérieures ou
60
égales à la clé de « i ».
Intérêt de cette propriété : diminuer la complexité
temporel de recherche, d’insertion et de suppression dans
l’arbre

COMPLEXITÉ
Intérêt de cette propriété : diminuer la complexité
temporel de recherche, d’insertion et de suppression dans
l’arbre
87 ?
61
O (n)
O (h) tel que h = log2(n) dans un
arbre équilibré

PARCOURS
Voici un exemple d’un ARB contenant des valeurs
entières, appliquer les différents parcours vus sur les
arbres binaires. 20
15 59
5 27 71
62
5
3 10
27 71
33
8
55
52
Le parcours inordre de cet arbre donne la liste ordonnée
suivante : 3, 5, 8, 10, 15, 20, 27, 33, 52, 55, 59, 71

OPÉRATION DE RECHERCHE
La recherche est dichotomique, à chaque étape, un sous
arbre est éliminé:
Rechercher (55)
Rechercher (FD(20))
Rechercher (FG(59))
20
55 ?
63
Rechercher (FG(59))
Rechercher (FD(27))
Rechercher (FD (33))
Élément trouvé
15 59
5
3 10
27 71
33
8
55
52

Fonction RechercherABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudFonction RechercherABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Debut
Si R = Null alors
Retourner (Null)
Sinon
Si Info (R) = x alors
64
Fin
Retourner (R)
Sinon
Si Info(R)>x alors
Retourner (RechercherABR_rec(FG(R), x))
Sinon
Retourner (RechercherABR_rec(FD(R), x))
Fin

Fonction RechercherABR _iter(R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudFonction RechercherABR _iter(R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Debut
TQ R ≠ Null faire
Retourner (R)
Sinon
65
Fin
Si Info(R)>x alors
R FG(R)
Sinon
R FD(R)
FTQ
Retourner (Null)
Fin

OPÉRATION D’INSERTION
L'insertion d'un élément se fait toujours au niveau d'une
feuille. Cette insertion dans un ABR doit maintenir la
propriété des arbres de recherche, ainsi:
1. Rechercher la position d’insertion
66
1. Rechercher la position d’insertion
2. Raccorder le nouveau nœud à son parent

20
15 59
5
3 10
27 71
33
+ 25
25
67
RechercherPosition (25)
Rechercher (FD(20))
Rechercher (FG(59))
Position trouvé pour l’insertion, le père est le nœud 27
Insérer 25 au niveau de la feuille dont le père est 27
3 10
8
55
52
25

Fonction InsererABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Debut
Si R = Null alors
R CreerNoeud(x)
Sinon
68
Si Info(R)>x alors
Aff_FG(R, InsererABR_rec(FG(R), x))
Sinon
Aff_FD(R, InsererABR_rec(FD(R), x))
Retourner (R)
Fin

Fonction InsererABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Var P, Q: *Tnoeud
Debut
P CreerNoeud(x)
Si R = Null alors
R P
Sinon
Q R
69
Q R
TQ (Q≠Null) faire
Si Info(Q)>x alors
Si FG(Q) = Null alors Aff_FG(Q, P)
Q FG(Q)
Sinon
Si FD(Q)=Null alors Aff_FD(Q, P)
Q FD(Q)
Retourner (R)
Fin

OPÉRATION DE SUPPRESSION
Pour supprimer le nœud « i » d’un ARB, il faudra le
rechercher. Une fois le nœud « i » trouvé, on se trouve
dans une des situations suivantes :
70

Cas 1: Suppression d'une feuille
Il suffit de l'enlever de l'arbre vu qu'elle n'a pas de fils.
Exemple: supprimer le nœud i qui contient la valeur 8
1. Rechercher(8)
2. Libérer le nœud « i » 20
71« i »
15 59
5
3 10
27 71
33
8
55
52
12

Cas 2: Suppression d'un nœud avec un fils
Il faut l'enlever de l'arbre en le remplaçant par son fils.
1. Rechercher(10)
2. Chainer le père de i avec le FD(i) 20
72
3. Libérer le nœud « i »
« i »
15 59
5
3 10
27 71
33
12 55
52

Cas 2: Suppression d'un nœud avec un fils
Il faut l'enlever de l'arbre en le remplaçant par son fils.
1. Rechercher(10)
2. Chainer le père de i avec le FG(i) 20
73
3. Libérer le nœud « i »
« i »
15 59
5
3 10
27 71
33
55
52
8

Cas 3: Suppression d'un nœud avec deux fils
Etape 1: On échange le nœud à supprimer avec son successeur
le plus proche (le nœud le plus à gauche du sous-arbre droit) ou
son plus proche prédécesseur (le nœud le plus à droite du
sous-arbre gauche). Cela permet de garder une structure d'arbre
binaire de recherche. 34
74
binaire de recherche. 34
66
50
56
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32
Le plus proche
prédécesseur
Le plus proche
successeur

Etape 1 Cas A: On échange le nœud à supprimer avec son
successeur le plus proche (le nœud le plus à gauche ou le plus
petit du sous-arbre)
Racine: 71
La plus petite valeur : 69
75
34
66
50
56
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32

successeur le plus proche (le nœud le plus à gauche ou le plus
petit du sous-arbre)
Racine: 71
76
34
66
50
56
55
71
70
69
81
Fonction Successeur (R: *Tnoeud): *Tnoeud
Fin
Fonction Successeur (R: *Tnoeud): *Tnoeud
Debut
R FD(R)
Si R≠Null alors
TQ FG(R)≠Null faire R FG(R)
Retourner (R)
Fin

plus proche prédécesseur (le nœud le plus à droite ou le plus
grand du sous-arbre gauche).
Racine: 50
77
34
66
50
56
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32

plus proche prédécesseur (le nœud le plus à droite ou le plus
grand du sous-arbre gauche).
Racine: 50
78
34
66
50
56
55
71
70
69
Fonction Predecesseur (R: *Tnoeud): *Tnoeud
Fin
Fonction Predecesseur (R: *Tnoeud): *Tnoeud
Debut
R FG(R)
Si R≠Null alors
TQ FD(R)≠Null faire R FD(R)
Retourner (R)
Fin

Etape 2: on applique à nouveau la procédure de suppression qui
est maintenant une feuille ou un nœud avec un seul fils.
Ainsi, si on choisit d’échanger le nœud « 66 » avec son plus proche
successeur « 69 », on obtient
34
79
34
66
50
56
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32
69

Puis on applique à nouveau la procédure de suppression qui est
maintenant une feuille ou un nœud avec un seul fils.
Ainsi, si on choisit d’ échanger le nœud « 66 » avec son plus proche
prédécesseur « 56 », on obtient
34
80
34
66
50
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32
56

Fils d’un nœud : sont ses
successeurs. Dans l'exemple, F,
G, H, et I sont les fils du nœud D.
Frères : sont les successeurs
ou les fils issus d'un même nœud
A
C DB
10
(parent direct). Dans l'exemple,
B, C et D sont des frères.
Père : est un nœud qui admet
au moins un successeur (fils).
Dans l'exemple, D est le père des
nœuds F, G, H et I.
E G HF I
LKJ

Fonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Var P, Q: *Tnoeud
Debut
RechercherABR (R, x, Q, P) Procedure RechercherABR (R: *Tnoeud, x:
entier, Var Q: *Tnoeud, Var Père: *Tnoeud)
Père Null; Q Null;
TQ R ≠ Null faire
Cette procédure
retourne l’adresse du
82
Q R
Sinon
Père R
Si Info(R)>x alors
R FG(R)
Sinon
R FD(R)
FTQ
retourne l’adresse du
nœud contenant x
(soit Q) ainsi que
l’adresse de son père
(soit Père)

Fonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Var P, Q: *Tnoeud
Debut
RechercherABR (R, x, Q, P)
Si Q ≠ Null alors
// l’élément x existe dans Q
Si FG(Q) = Null alors
Si FD(Q) = Null alors
//Cas n°1: Q est une feuille
83
Chaîner (R, P, Null, x)
Sinon //Cas n°2: Q possède un FD
Chaîner (R, P, FD(Q), x)
Sinon
//Cas n°2: Q possède un FG
Chaîner (R, P, FG(Q), x)
Cette procédure
permet de chaîne le
père de Q (P) avec le
Fil de Q selon la
valeur de x

Var P, Q: *Tnoeud
Debut
Si Q ≠ Null alors
// l’élément x existe dans Q
Procedure Chaîner (Var R:
*Tnoeud , PèreQ: *Tnoeud,
FilsQ: *Tnoeud, x: entier)
84
Sinon
//Cas n°2: Q possède un FG
FilsQ: *Tnoeud, x: entier)
Si PèreQ = Null alors
R FilsQ
Sinon
Si Info(P)>x alors
Aff_FG(P, FilsQ)
Sinon
Aff_FD(P, FilsQ)

Var P, Q: *Tnoeud
Debut
Si Q ≠ Null alors // l’élément x existe dans Q
Si FD(Q) = Null alors //Cas n°1: Q est une feuille
85
Sinon
Si FD(Q) = Null alors //Cas n°2: Q possède un FG
Sinon // Cas n°3: Q possède deux fils
Successeur (Q, S, PS)
Cette procédure retourne l’adresse du successeur
de Q (S) ainsi que l’adresse de son père (PS)

Si Q ≠ Null alors // l’élément x existe dans Q
Fin faux
TQ non fin faire
Si FD(Q) = Null alors //Cas n°1: Q est une feuille
Chaîner (R, P, Null, x); Fin vrai
Chaîner (R, P, FD(Q), x); Fin vrai
Sinon
87
Chaîner (R, P, FG(Q), x); Fin vrai
Sinon // Cas n°3: Q possède deux fils
Successeur (Q, S, P)
Aff_Info (Q, Info(S))
Q S; P PS; x Info(S)
FTQ
LibérerNoeud(Q)
FSI
Retourner (R)

Fonction SupprimerABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Debut
Si R = Null alors
Retourner (R)
Sinon
Si Info(R)>x alors
Aff_FG(R, SupprimerABR_rec(FG(R), x))
88
Aff_FG(R, SupprimerABR_rec(FG(R), x))
Retourner (R)
Sinon
Si Info(R)<x alors
Aff_FD(R, SupprimerABR_rec(FD(R), x))
Retourner (R)
Sinon // Info(R) = x
Retourner (SupprimerRacine (R))
Fin

Fonction SupprimerRacine (R:*Tnoeud) : * Tnoeud
Debut
Si FG(R) = Null alors
Si FD(R) = Null alors //Cas n°1: R est une feuille
LibérerNoeud(R)
Retourner (Null)
Sinon //Cas n°2: R possède un FD
D FD(R)
LibérerNoeud(R)
Retourner (D)
89
Retourner (D)
Sinon
Si FD(Q) = Null alors //Cas n°2: R possède un FG
G FG(R)
LibérerNoeud(R)
Retourner (G)
Sinon // Cas n°3: R possède deux fils
S Successeur (R)
Aff_Info (R, Info(S))
Aff_FD(R, SupprimerABR_rec(DF(R), Info(S)))
Retourner (R)
Fin

EXEMPLE D’APPLICATION: TRI PAR ABR
Étant donné un tableau d’entiers T (n: sa taille), dire
comment peut on trier ce tableau en utilisant un Arbre
Binaire de Recherche (ABR)?
Exemple:
90
Exemple:
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

2. Parcourir l’ABR en inordre : GRD
20
15 35
10 25 40
923 5 7 10 12 13 15 16 19 20 25 35 38 40
10
19
5 13
3 7 12
25 40
38
16

Procedure Tri_ARB(Var T: Tableau, n: entier)
Debut
R Null
Pour i 0 à n-1 faire R InsererABR (R, T[i]).
Inordre (R, T); //Parcours Infixe
93
Fin
Indice est une variable globale initialisée à 0
Procedure Inordre (R: *Tnœud, Var T: Tableau)
Si ( R ≠ Null) alors //Arbre n’est pas vide
Inordre(FG(R), T))
T[indice] Info(R) //Écrire la valeur dans le tableau
indice++
Inordre(FD(R), T)

PARTIE IV:
ARBRES BINAIRES DE
R ÉRECHERCHE ÉQUILIBRÉS
(ARBRES AVL)

Introduction
Définition
PLAN DE LA PARTIE IV
Techniques d’équilibrage
Opérations de Base: Recherche, Insertion et
Suppression
95

INTRODUCTION
87 ?
ABR Equilibré Filiformes
97
O (n)O (h) tel que h = log2(n)

DÉFINITION
Les arbres AVL ont été introduits par les finlandais Adelson-
Velskii et Landis dans les années 60.
Un arbre AVL est un ABR équilibré dont:
la différence de hauteur (ou profondeur) entre le sous-
arbre gauche et le sous-arbre droit d'un nœud « R » diffère
d'au plus 1.
98
d'au plus 1.
|Profondeur(FG(R) ) – Profondeur(FD(R)) | ≤ 1
les arbres gauches et droits d'un nœud sont des arbres
AVL.
Un champs supplémentaire est ajouté à tous les nœuds: c’est le
facteur de déséquilibre (appelé aussi facteur de balance «
Bal ») qui est calculé après chaque insertion/suppression.

EXEMPLE
100
50 200
Exemple: soit l’ABR suivant. Est-il un arbre AVL?
+1
+1 +1
Notons:
qu’une feuille est un
arbre de hauteur 0,
et que l’arbre vide a la
hauteur −1.
99
30 80
10
150
40
0 0 0
0
hauteur −1.
L’arbre vide et l’arbre
réduit à une feuille,
sont des arbres AVL
Cet arbre est un arbre AVL
À vérifier pour chaque nœud R, on a:
| Profondeur(FG(R) ) – Profondeur(FD(R)) | <= 1

EXEMPLE
Exemple: Cet ABR est un arbre AVL avant insertion
Insérer la valeur 5 100
50 200
+1
+1 +1
100
30 80
10
150
40
0 0 0
0 0

EXEMPLE
Insérer la valeur 5 100
50 200+1+2Après insertion, calculer le
facteur de déséquilibre de
101
30 80
10
150
40
Cet arbre n’est pas un arbre AVL après insertion de 5
arbre déséquilibré
50
+1
+1
0
0 0
facteur de déséquilibre de
chaque nœud.

EXEMPLE
Insérer la valeur 45
100
50 200+1+2
103Cet arbre n’est pas un arbre AVL après insertion de 45
arbre déséquilibré
30 80
10
150
40
450
0
-1
-1
0 0

TECHNIQUES D’ÉQUILIBRAGE
L’opération d’équilibrage, appelée rotation, s’applique à tous les
arbres binaires.
Le but des rotations est de pouvoir rééquilibrer un ABR.
On opère donc une rotation gauche lorsque l’arbre est
«déséquilibré à droite», i.e. son sous-arbre droit est plus haut
que son sous-arbre gauche.
104
que son sous-arbre gauche.
On opère une rotation droite dans le cas contraire à savoir son
sous-arbre gauche est plus haut que son sous-arbre droit.
Les rotations ne sont donc définies que pour les arbres binaires non
vides dont le sous-arbre gauche (pour rotation gauche) et sous-arbre
droit (pour rotation droite) n’est pas vide.
Les rotations préservent l’ordre des données d’un ABR (parcours
inordre).

Rotation simple : Rotation droite
Soit A=(B, R, Z) un arbre binaire tel que B=(X, P, Y).
La rotation droite est l’opération:
((X, P, Y), R, Z) → (X, P, (Y, R, Z))
+2
105
R
P
X
(hauteur
h+1)
Déséquilibre gauche
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h)
P
R
X
(hauteur
h+1)
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h)
+1
+2
0
0
Rotation droite

Rotation simple : Rotation droite
Soit A=(B, R, Z) un arbre binaire tel que B=(X, P, Y).
La rotation droite est l’opération:
((X, P, Y), R, Z) → (X, P, (Y, R, Z))
+2
106
R
P
X
(hauteur
h)
Déséquilibre gauche
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h-1)
P
R
X
(hauteur
h)
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h-1)
0
+2
-1
+1
Rotation droite

La profondeur d'un arbre (ou sa hauteur) : est le plus
grand niveau, c-à-d la distance entre la racine et la feuille la plus
lointaine. Dans l'exemple, la profondeur de l'arbre est égal à 3
RacineNiveaux
15
Racine
…..…………..…………………………………………….......
………………..…………………………………………….......
……………………………….......
.…………………………………………….......
A
C DB
E G HF I
LKJ
Niveaux
0
1
2
3

Rotation simple : Rotation gauche
Soit A=(X, R, B) un arbre binaire tel que B=(Y, P, Z).
La rotation gauche est l’opération:
( X, R, (Y, P, Z)) → ((X, R, Y), P, Z)
-2 Rotation gauche
108
P
R
X
(hauteur h-1)
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h)
R
P
Déséquilibre droit
X
(hauteur
h-1)
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h)
0
-2
-1
+1Rotation gauche

Rotation double : double rotation gauche-droite
C’est une rotation gauche sur le sous arbre-gauche du nœud r
suivie d’une rotation droite sur le nœud r
R R
Rotation gauche Rotation droite
Q
+2
0+2
109
P
Q
D
(h)
C
(h)
B
(h)
A
(h)
Q
P D
(h)
C
(h)
B
(h)
A
(h)
P R
D
(h)
C
(h)
B
(h)
A
(h)
((((A,A, P,P, ((B,B, Q,Q, CC)))),, R,R, D)D) →→ ((((((A,A, P,P, BB)),, Q,Q, CC)),, R,R, D)D) →→ ((((A,A, P,P, BB)),, Q,Q, ((C,C, R,R, DD))))
0
0
-1
0
+1
0
0+2

R R
Q
+2
0
110
P
Q
D
(h)
C
(h-1)
B
(h)
A
(h)
Q
P D
(h)
C
(h-1)
B
(h)
A
(h)
P R
D
(h)
C
(h-1)
B
(h)
A
(h)
0
+1
-1
0
+2
-1
0+2

R R
Q
+2
0+2
111
P
Q
D
(h)
C
(h)
B
(h-1)
A
(h)
Q
P D
(h)
C
(h)
B
(h-1)
A
(h)
P R
D
(h)
C
(h)
B
(h-1)
A
(h)
+1
-1
-1
+1
+1
0
0+2

Rotation double : double rotation droite-gauche
C’est une rotation droite sur le sous arbre-droit du nœud r suivie
d’une rotation gauche sur le nœud r
Rotation droite Rotation gauche
R-2 R
-2
Q
0
113
(A,(A, R,R, ((((B,B, Q,Q, CC)),, P,P, DD)))) →→ (A,(A, R,R, ((B,B, Q,Q, ((C,C, P,P, DD)))))) →→ ((((A,A, R,R, BB)),, Q,Q, ((C,C, P,P, DD))))
P
Q
A
(h)
+1
+1
B
(h)
C
(h-1)
D
(h)
Q
P
-1
-1A
(h)
B
(h)
C
(h-1)
D
(h)
R P
0 -1
0
A
(h)
B
(h)
C
(h-1)
D
(h)

Rotation double : double rotation droite-gauche
C’est une rotation droite sur le sous arbre-droit du nœud r suivie
d’une rotation gauche sur le nœud r
Rotation droite Rotation gauche
R-2 R
-2
Q
0
114
(A,(A, R,R, ((((B,B, Q,Q, CC)),, P,P, DD)))) →→ (A,(A, R,R, ((B,B, Q,Q, ((C,C, P,P, DD)))))) →→ ((((A,A, R,R, BB)),, Q,Q, ((C,C, P,P, DD))))
P
Q
A
(h)
-1
+1
B
(h-1)
C
(h)
D
(h)
Q
P
0
-2A
(h)
B
(h-1)
C
(h)
D
(h)
R P
1 0
0
A
(h)
B
(h-1)
C
(h)
D
(h)

OPERATIONS DE BASE
La recherche est identique à celui des ABR car les
arbres AVL sont avant tout des ABR équilibrés.
L’insertion d’un élément dans un arbre AVL peut
provoquer un déséquilibre. Donc, pour rétablir l’équilibre
(rééquilibrer) de l’arbre après une insertion, une seule
115
rotation ou double rotation suffit.
La suppression d’un élément dans un arbre AVL peut
provoquer un déséquilibre. Donc pour rétablir l’équilibre
(rééquilibrer) de l’arbre après une suppression, il faut
jusqu’à h rotations (h est la hauteur de l’arbre) ou double
rotations.

INSERTION
L’ajout d’un nœud se fait toujours au niveau d’une feuille,
puis on rééquilibre l’arbre AVL si l’insertion a
déséquilibré l’arbre.
Le déséquilibre est rencontré lorsque le facteur
d’équilibrage d’un nœud de l’arbre égale à ± 2.
116
d’équilibrage d’un nœud de l’arbre égale à ± 2.

INSERTION
Exemple: soit la série de nombres à insérer dans un
arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )
2 10 12 4 16 8 6 14 2 10 12 4 16 8 6 14
118
10
122
4 0
-1 0
1
10
122
4 16 00
-1-1
0

INSERTION
arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )
2 10 12 4 16 8 6 14
10 1
10 0
119
122
4 16
8 0
-1
-2
0
-1
Rotation
simple
10
124
8 1620 0
0
-10
0

INSERTION
arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )
2 10 12 4 16 8 6 14
10 1
120
124
8 162
6 0
10
-1
0
-1

INSERTION
arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )
2 10 12 4 16 8 6 14
10 0 10
1
121
124
8 162
6 14
0
0
1
-2
10
-1
Rotation
double
144
8 162
6
12
0
1
0 0
0-1
0

INSERTION
Exemple 2: soit l’arbre ci-dessus, donner le résultat
après insertion de 7
10
144 0-1
2
8
0
Rotation
1230
144
8 162
6
12
-1
1
0 0
1
10
9 0
7
Nœud inséré
10
14
4
16
2 6
12
-1
0
0
1
-1
10
9
07 0
0
0
Rotation
double

INSERTION
R
h h
RR
R
hh+1
R
R
h h+1
0
+1
+1
+2
-1
0
AvantAprès insertion à gauche Après insertion à droite
Cas A
124
hh+1
R
h h+1
hh+2
R
h+1h+1
R
h h+2
h+1 h+1
-10 -2 Cas B

INSERTION
Remarques:
Après une insertion, seules les nœuds qui sont sur le chemin du
point d’insertion à la racine sont susceptibles d’être déséquilibrés.
Cas A: L’arbre devient non équilibré quand le nouveau nœud
inséré est un descendant gauche d’un nœud qui avait un facteur
125
d’équilibrage égal à 1
Cas B: L’arbre devient non équilibré quand le nouveau nœud
inséré est un descendant droit d’un nœud qui avait un facteur
d’équilibrage égal à -1

INSERTION
R
hh+2
+2
R
h
+1
P0
Cas A
+2
Avant
126
hh
Si insertion dans le sous-arbre
gauche du fils gauche alors
Rotation Simple à droite
Si insertion dans le sous-arbre droit
du fils gauche alors Rotation
Double Gauche-Droite
R
h
+2
P
h
+1
h+1
R
h
+2
P
h
-1
h+1

INSERTIONR
h h+2
-2 Cas B
R
h
-1
P
hh
0
Avant
127
R
h
P
h
-2
+1
h+1
R
h
P
hh
-2
-1
Si insertion dans le sous-arbre
droit du fils droit alors Rotation
Simple à gauche
Si insertion dans le sous-arbre gauche
du fils droit alors Rotation Double
Droite-Gauche

SUPPRESSION
Le principe de la suppression d’un élément dans un arbre
AVL est le même que dans un ABR, c.à.d. recherche de
l’élément à supprimer, suppression et remplacement, le
cas échéant, par l’élément qui lui immédiatement
128
inférieur ou supérieur.
Après la première phase de la suppression, la hauteur de
l’arbre est diminué de 1. Le problème est que cet arbre
n’est plus forcément un arbre AVL. Il faut donc le
rééquilibrer.

SUPPRESSION
S’il y a déséquilibre, la rotation appliquée peut diminuer
à son tour la hauteur de l’arbre et générer un nouveau
déséquilibre. En fait les rotations peuvent s’enchainer en
cascade depuis l’élément supprimé jusqu’à la racine.
129
cascade depuis l’élément supprimé jusqu’à la racine.
Ainsi, on peut faire jusqu’à h simple rotations ou double
rotations (h est la hauteur de l’arbre initial).

SUPPRESSION
Exemple: soit l’arbre suivant. Donner le résultat après la
suppression de 8:
4
8
0
0
4
9
0
0
131
12
14
4
16
2 6 -1
-1
1
-1
10
9
0
7 0
0
0
12
14
4
16
2 6 -1
-1
1
-2
10 0
7 0
0

SUPPRESSION
suppression de 8:
4
9
0
0
144
9
00
1
RSG
132
12
14
4
16
2 6 -1
-1
1
-2
10 0
7 0
0
14
12
4
162 6 -1
0
1
0
10 0
7
0
0

SUPPRESSION
suppression de 12 puis 16:
144
9
00
1
9
+2
133
14
12
4
162 6 -1
0
1
0
10 0
7
0
0
144
2 6 -1
1
0
10 0
7
0

SUPPRESSION
suppression de 12 puis 16:
9
+2
4
-1
RSD
134
144
2 6 -1
1
0
10 0
7
0
9
14
2
6 -1
1 1
1 0
0
7
0

Définition
Modèle
PLAN DE LA PARTIE II
Parcours
Représentation contigüe
Exemples d’application
20

SUPPRESSION
suppression de 30:
40
50
+1+2
-1
100
RDG-D
20
50
0
-2
136
40
300
10
-1
-1
20
80
60
+1
9070
+1
100
200
0
0
0
0
20
300
10
-1
+1
40 80
60
0
0
+1
9070+1
100
200
0 0
0
0

SUPPRESSION
suppression de 30:
RDD-G
20
50
+10
-2
80
50
0
0
137
20
300
10
-1
+1
40 80
60
0
0
+1
9070+1
100
200
0 0
0
0
20
30010
-1
-1
40
50
60
0
9070
+1
100
200
0
0 0 0
0
0

PARTIE V:
A B ÉARBRES BINAIRES ÉQUILIBRÉS
(TAS)

Définition
Hauteur
PLAN DE LA PARTIE V
Opérations de Base: Insertion, Recherche et
Suppression
Implémentation
Exemples d’Application
139

DÉFINITION
Exemple d’un TASmin
Clé (père) ≤ Clè (fils)
Le minimum se trouve toujours à la racine
Minimum4
141
Maximum
5 6
207
811
915
2516 1214

DÉFINITION
Exemple d’un TASmax
Clé (père) ≥ Clè (fils)
Le maximum se trouve toujours à la racine
Maximum40
142
Minimum
35 26
2017
811
1915
131 1214

HAUTEUR
Théorème: Un TAS de n nœud a une hauteur O(log2 n)
Démonstration
Soit h, la hauteur d’un tas de n nœud
Au niveau i≠h, ni=2i
143
i
Donc n = 20 + 21 + 22 + ....+ 2h-1 + c tel que , 0≤c<2h
n = 2h + c ≥ 2h⇒ h ≤ log2 n ⇒ O(h) = O(log2 n).
Conséquence: Les opérations proportionnelles à h sont
O (log2 n)

INSERTION
Pour insérer une valeur « v » dans un TASmin [ou
TASmax]
1. Insérer la valeur « v » à la fin du dernier niveau de
l’arbre.
Tant que la valeur du père de « v » est plus grande
144
2. Tant que la valeur du père de « v » est plus grande
[petite] que « v », échanger la valeur du père de v
avec « v ».
L’étape 1 permet de vérifier la propriété structurelle et
l’étape 2 permet de vérifier la propriété de l’ordre.

INSERTION
Exemple: Soit le TASmin suivant.
Insertion 5
4
6
146
9
6
207
811
1015
2516 1214 5

INSERTION
Insertion 17
4
5
147
9
5
67
811
1015
2516 1214 20 17

INSERTION
Insertion 3
4
5
148
9
5
67
811
1015
2516 1214 20 17
3

INSERTION
Insertion 18
3
5
149
4
5
67
811
109
2515 1214 20 17
16 18

INSERTION
Solution: Construire un TASmin à partir des valeurs
suivantes:
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38
20 15 10 10
151
15 20 10 20 15
35 19
19 15
35 20 13
10
19 13
35 20 15 5
5
19 10
35 20 15 13
3
3
5 10
19 20 15 13
35 12

INSERTION
Solution: Construire un TASmin à partir des valeurs
suivantes:
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38
152
3
5 10
12 20 15 13
35 19 7
3
5 10
12 7 15 13
35 19 20 16 40 25 38

INSERTION
Solution: Construire un TASmax à partir des valeurs
suivantes:
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38
20
35
153
15 10 20 10
15 19
13
35

INSERTION
suivantes:
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38
35
154
20 13
15 19
10 5
3 12 7 16 40
40
20 35
15 19 13 5
3 12 7 16 10
25

INSERTION
suivantes:
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38
40
156
40
20 38
15 19 25 35
3 12 7 16 10
13 5

INSERTION
L’insertion d’une valeur « v » peut nécessiter O(h) =
O(log2(n)) opérations où h est la hauteur du TAS et n est
son nombre des nœuds.
En effet, au pire des cas, l’échange peut se remonter à la racine
157
En effet, au pire des cas, l’échange peut se remonter à la racine
dans le cas où « v » est inférieure à la valeur de la racine, ainsi, il
devient le nouveau minimum

RECHERCHE
Pour rechercher une valeur « v » dans un TASmin [ou
TASmax], on doit parcourir l’arbre en largeur (niveau par
niveau)
On passera au niveau « i » si seulement si la valeur « v
158
On passera au niveau « i » si seulement si la valeur « v
» est supérieure [inférieure] à la valeur de l’un des
nœuds de niveau « i-1 ».

RECHERCHE
7 ?
4
6
159
9
6
207
811
1015
2516 1214
La valeur existe, fin de recherche

RECHERCHE
3 ?
4
6
161
9
6
207
811
1015
2516 1214
La valeur n’existe pas , fin de recherche

RECHERCHE
30 ?
4
6
162
9
6
207
811
1015
2516 1214
Fin de recherche, la valeur n’existe pas

RECHERCHE
La recherche d'une valeur « v » dans un TAS peut
nécessiter O(n) opérations où n est le nombre des nœuds.
Pire des cas: Si « v » est supérieure à la valeur maximale du
TASmin [ou inférieure à la valeur minimale du TASmax],
alors on doit descendre jusqu’au dernier niveau en parcourant
163
tous les nœuds pour vérifier que la valeur recherchée n’existe pas.
La recherche étant un pré-requis à la suppression d'une
valeur « v », une suppression peut nécessiter O(n)
opérations aussi.

SUPPRESSION
Pour supprimer une valeur « v » dans un TASmin [ou
TASmax]
1. Rechercher la valeur « v », si elle existe on passe à
l’étape suivante, sinon stop.
Soit « P » le nœud contenant la valeur « v »,
164
2. Soit « P » le nœud contenant la valeur « v »,
remplacer la valeur de « P » par la valeur du dernier
nœud du dernier niveau (soit « Q » ce nœud et « x » sa
valeur). Cela permet de vérifier la propriété
structurelle.

SUPPRESSION
Pour supprimer une valeur « v » dans un TASmin [ou TASmax]
3. Vérifier la propriété d’ordre:
a. Tant que la valeur « x » est inférieure [supérieure] à
celle du père, échanger la valeur « x » avec celle du
165
celle du père, échanger la valeur « x » avec celle du
père.
b. Tant que la valeur « x » est supérieure [inférieure] à
celle de l’un de ses fils, échanger la valeur « x » avec
celle du plus petit [grand] de ses fils.

SUPPRESSION
Exemple: Soit le TASmin suivant. Donner le résultat
après la suppression de 9, 16, 6 et 4.
4
6
166
9
6
207
811
1015
2516 1214

MODÈLE
On définit le modèle (machine abstraite) suivant d’un arbre
binaire:
Fonction Rôle
Info(p) permet d'accéder à l'information du nœud p
FG(p) permet d'accéder à l'information de fils gauche du nœud p
FD(p) permet d'accéder à l'information de fils droit du nœud p
26
FD(p) permet d'accéder à l'information de fils droit du nœud p
Aff_info(p, x) permet de modifier l'information du nœud p
Aff_FG(p, x) permet de modifier l'information de fils gauche du nœud p
Aff_FD(p, x) permet de modifier l'information de fils droit du nœud p
Créer_noeud(x)
permet de créer un nœud avec x comme information et
retourne la référence du nœud. Le nœud créé a Nil comme fils
gauche et droit.
Liberer_noeud(p) permet de libérer le nœud référencé par p.

SUPPRESSION
Suppression de 9, 16.
4
6
168
8
6
207
11
1015
2516 1214

SUPPRESSION
Suppression de 16.
4
6
169
8
6
2071015
2511 1214

SUPPRESSION
Suppression de 6.
4
6
170
8
6
2071011
2515 1214

SUPPRESSION
Suppression de 6.
4
12
171
8
12
2071011
2515 14

SUPPRESSION
Suppression de 4.
14
7
173
8
7
20121011
2515

SUPPRESSION
Suppression de 4.
7
12
174
8
12
20141011
2515

IMPLÉMENTATION
Un TAS se représente naturellement par un tableau:
Les sommets sont numérotés par un parcours en largeur, de
gauche à droite.
Le sommet « i » est rangé dans la case d’indice i du tableau.
41
2 3
175
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11 8
5
6
207
811
915
2516 1214
2 3
4 5 6 7
8 9
10 11 12 13

IMPLÉMENTATION
On parle ici de la représentation statique
séquentielle d’un arbre binaire
La case 0 est vide
Indice(racine)=1
Indice(FG)=2*Indice(Père)
176
Indice(FG)=2*Indice(Père)
Indice(FD)=2*Indice(Père)+1
Indice(Père)= [Indice (Fils)/2]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
?? 4 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11 8

IMPLÉMENTATION
STRUCTURE DE DONNÉES
TYPE Tarbre = STRUCTURE
T : TABLEAU[0..Max-1] d’entier
Dernier: ENTIER // indice sur la dernière case remplie du
T (initialisé à 0)
178
T (initialisé à 0)
FIN
VAR R : Tarbre

IMPLÉMENTATION
MODÈLE
Entête Corp
Procédure CreerNoeud (Var R:
Tarbre, x: entier)
R.dernier++
R.T[dernier] x
Fonction Info (R: Tarbre,
i:entier): entier
Retourner (R.T[i])
Procédure Aff_Info (Var R: R.T[i] x
179
Procédure Aff_Info (Var R:
Tarbre, i: entier, x: entier)
R.T[i] x
Fonction FG (R: Tarbre,
i:entier): entier
Si (2*i ≤R.dernier) alors Retourner (2*i)
Sinon Retourner (-1)
Fonction FD (R: Tarbre,
i:entier): entier
Si (2*i + 1≤R.dernier) alors Retourner (2*i + 1)
Fonction Père (R: Tarbre,
i:entier): entier
Si (i div 2>0) alors Retourner (i div 2)

INSERTION (EXEMPLE ILLUSTRATIF)
4 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11 8 3
4
5
6
207
811
915
2516 1214 3
4 5 6 15 9 7 3 16 25 14 12 11 8 20
4
5
6
37
811
915
2516 1214 20
180
4 5 3 15 9 7 6 16 25 14 12 11 8 20
4
5
3
67
811
915
2516 1214 20
3 5 4 15 9 7 6 16 25 14 12 11 8 20
3
5
4
67
811
915
2516 1214 20

IMPLÉMENTATION
INSERTION (ALGORITHME)
Procédure Inserer_TASmin(Var R: Tarbre, x: entier)
Var P, i: entier
Début
CreerNoeud (R, x);
i R.dernier
P Père(R, i)
181
P Père(R, i)
TQ ((P≠-1) et (Info (R, P) > x)) faire // Info (R, P) <x dans le cas TASmax
Permuter (R, i, P)
i P
P Père (R, i)
FTQ
Fin
Procédure Permuter (Var R: Tarbre, i,j: entier)
Var tmp: entier
Tmp Info (R, i)
Aff_Info (R, i, Info (R, j))
Aff_Info (R, j, Tmp)

IMPLÉMENTATION
RECHERCHE (ALGORITHME)
Fonction Rechercher_TAS(R: Tarbre, x: entier): entier
Var i: entier;
Début
On peut aussi faire une simple recherche
séquentielle dans le tableau T comme suit:
183
Pour i 1 à R.dernier faire
Si Info (R, i) = x alors retourner (i)
Retourner (-1)
Fin

SUPPRESSION (EXEMPLE ILLUSTRATIF (CAS A))
2 8 4 15 9 5 20 26 25 14 12 11 6
2
8
4
205
611
915
2526 1214
2
8
4
205
11
915
256 1214
2 8 4 15 9 5 20 6 25 14 12 11
184
5
8
4
205
11
96
2515 1214
2 8 4 6 9 5 20 15 25 14 12 11
2
6
4
205
11
98
2515 1214
2 6 4 8 9 5 20 15 25 14 12 11

SUPPRESSION (EXEMPLE ILLUSTRATIF (CAS B))
4 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11 26
4
5
6
207
2611
915
2516 1214
26
5
6
207
11
915
2516 1214
26 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11
185
5
26
6
207
11
915
2516 1214
5 26 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11
5
9
6
207
11
2615
2516 1214
5 9 6 15 26 7 20 16 25 14 12 11

SUPPRESSION (EXEMPLE ILLUSTRATIF (CAS B))
5
26
6
207
11
915
2516 1214
5 26 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11
5
9
6
207
11
2615
2516 1214
5 9 6 15 26 7 20 16 25 14 12 11
186
5
9
6
207
11
2615
2516 2614
5 9 6 15 12 7 20 16 25 14 26 11

IMPLÉMENTATION
SUPPRESSION (ALGORITHME)
Procédure Supprimer_TASmin (Var R: Tarbre, x: entier)
Var P, G, D, min: entier
Début
……..
Sinon
//Etape 3: cas B
min i; fin faux
188
Répéter
G FG(R, i)
D FD (R, i)
Si ((G≠ -1) et (Info (R, min)> Info (R, G)) alors min G
Si ((D≠ -1) et (Info (R, min)> Info (R, D)) alors min D
Si min ≠ i alors Permuter (R, i, min); i min
Sinon fin vrai
Jusqu’à (fin)
Fsi
Fin

Malgré que la recherche et la suppression dans un TAS
sont plus coûteuses que dans un ABR ou un AVL, les TAS
sont très utiles entre autre pour le tri et pour
implémenter les files de priorité.
189
implémenter les files de priorité.

Étant donné un tableau d’entiers T (n: sa taille), dire
comment peut on trier (ordre croissant) ce tableau en
utilisant un TASmin ou TAS max?
EXEMPLE D’APPLICATION
TRI PAR TAS
190
Exemple:
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

1. Transformer le tableau en un TASMIN
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38
TRI PAR TAS
191
3
5 10
12 7 15 13
35 19 20 16 40 25 38

2. Extraire n fois le minimum du TASMIN :
7
12 10
TRI PAR TAS
1933 5 7 10
19 16 15 13
35 25 20 38 40
10
12 13
19 16 15 40
35 25 20 38

12
16 13
19 20 15 40
13
16 15
19 20 38 40
TRI PAR TAS
194
3 5 7 10 12 13 15
35 25 38
35 25
15
16 25
19 20 38 40
35

16
19 25
35 20 38 40
19
20 25
35 40 38
TRI PAR TAS
195
3 5 7 10 12 13 15 16 19 20 25 35 38 40
20
35 25
38 40
25
35 40
38
35
38 40
38
40
40

TRI PAR TAS
Tri_TASmin (Tab: Tableau, n: entier)
Var R: Tarbre
Début
R.Dernier 0;
//Construire le TAS
196
//Construire le TAS
Pour i 0 à n-1 faire Insérer_TASmin (R, Tab[i])
// Extraire les minimums
Pour i 0 à n-1 faire
Tab[i] R.T[1]
Supprimer_TASmin (R, R.T[1]) // supprimer la valeur de la racine
FPour
Fin

Modèle Implémentation
Créerfile(F) F.dernier←0
File_Attente_priorité = TAS
F: Tarbre
IMPLÉMENTATION D’UNE FILE AVEC PRIORITÉ
198
Filevide(F) Filevide ← (F. dernier = 0)
Filepleine(F) Filepleine ← (F. dernier = Max-1)
Enfiler (F, X) Inserer_TASmin (F, X)
Defiler(F,X) X F.T[1]
Supprimer_TASmin (F, X) // extraire le minium

PARTIE VI:PARTIE VI:
ARBRES M-AIRE

Définition
Parcours
PLAN DE LA PARTIE VI
Implémentation
Exemples d’Application
200

DÉFINITION
Un arbre m-aire d'ordre d est un arbre où chaque nœud
peut avoir un nombre de fils compris entre 0 et d.
Si l'ordre n'est pas connu, on dit alors simplement un
arbre m-aire. Dans ce cas, le nombre de fils est
théoriquement illimité.
201
théoriquement illimité.
NœudsArêtes
a
b c d
e f g h i
j k l
0
1
2
3
Niveaux racine
Feuilles
Profondeur
Arbre d’ordre 4

PARCOURS
De même que les arbres binaires, on distingue deux types
de parcours :
Des parcours en profondeur qui explorent l'arbre
branche par branche:
Préordre : où on affiche le père avant ses fils,
202
Préordre : où on affiche le père avant ses fils,
Postordre : où on affiche les fils avant leur père.
Le parcours en largeur (breadth-first) qui explore
l'arbre niveau par niveau

PARCOURS PREORDRE
en préordre les sous arbres F1, F2, … jusqu’à Fd, ce qui
donne : [ R F1 F2 ….. Fd]
R
R
203
R
F2F1
Fd
…
a
b c d
e f g h i
j k l
a b e c d f g j k h i l

PARCOURS POSTORDRE
Le parcours postordre de R (s'il n'est pas vide) consiste à
parcourir récursivement en postordre les sous arbres F1, F2,
… jusqu’à Fd ensuite visiter le nœud racine (R), ce qui donne
: [F1 F2 ….. Fd R ]
R
R
204
R
F2F1
Fd
…
a
b c d
e f g h i
j k l
e b c f j k g h l i d a

PARCOURS EN LARGEUR
a0
Niveaux R
205
a b c d e f g h i j k l
b c d
e f g h i
j k l
1
2
3

REPRÉSENTATION DYNAMIQUE
on distingue deux cas:
Cas 1: Si l’ordre de l’arbre est connu alors on crée un
nœud avec deux champs (information et un tableau de d
pointeurs pour représenter les fils du nœud).
207
pointeurs pour représenter les fils du nœud).
TYPE TnoeudM = STRUCTURE
Info : Typeqq
Fils : TABLEAU[0..d-1] DE * TnoeudM
FIN
VAR R : * TnoeudM

on distingue deux cas:
Cas 2: Si l’ordre de l’arbre est inconnu alors au niveau
de chaque nœud, on ne représente que l'adresse du fils le
plus à gauche et celle du frère immédiatement à droite.
208
plus à gauche et celle du frère immédiatement à droite.
Info : Typeqq
FilsG, FrèreD : * TnoeudM
FIN
VAR R : * TnoeudM
a
b c d
e f g h i
j k l

La deuxième représentation dynamique est la plus
générale car elle peut être utilisée aussi dans le cas où le
degré de l’arbre est connu.
a
209
Info : Typeqq
FilsG, FrèreD : * TnoeudM
FIN
VAR R : * TnoeudM
b c d
e f g h i
j k l

REPRÉSENTATION STATIQUE
Dans la représentation statique,
Chaque case du tableau représente un nœud de l’arbre
La racine se trouve toujours dans la première case du tableau
De même que la représentation dynamique, on distingue
deux cas:
210
deux cas:
Cas 1: Si l’ordre de l’arbre est connu alors chaque case du tableau
est composé d'un champ information et d'un champ tableau qui
contient les indices des fils du nœud.
Cas 2 (plus général): Si l’ordre de l’arbre est inconnu alors au
niveau de chaque nœud, on ne représente que deux indices : l'indice
du fils le plus à gauche et l'indice de son frère immédiatement à
droite.

REPRÉSENTATION STATIQUE
a 1 -1
b 4 2
c -1 3
d 5 -1
0
1
2
3
R
Info : Typeqq
FilsG, FrèreD : entier
FIN
VAR R : TABLEAU [0..Max-1] DE * TnoeudM
Info FiG FrD
212
e -1 -1
f -1 6
g 9 7
h -1 8
i 11 -1
j -1 10
k -1 -1
l -1 -1
4
5
6
7
8
9
10
11
a
b c d
e f g h i
j k l

MODÈLE
Pour manipuler ce type d'arbres, on défini un modèle
formé par les opérations suivantes :
Module Rôle
CreerNoeud(x)
Créer un nœud isolé contenant x comme
information
LibererNoeud(P) Détruire le nœud P
213
Info(P)
Retourner l'information stockée dans le
nœud P
Fils(P, i) retourner le ième fils du nœud P
Aff-info(P, x)
affecter x dans le champ « info » du nœud
P
Aff-Fils(P, Q, i)
affecter l’adresse du nœud Q au fils i du
nœud P

MODÈLE
Exercice: Donner l’implémentation de ce modèle pour
chaque présentation de l’arbre (statique/dynamique dans le
cas où le degré de l’arbre est connu ou pas)
Module Rôle
214
CreerNoeud(x)
information
Info(P) Retourner l'information stockée dans le nœud P
Fils(P, i) retourner le ième fils du nœud P
Aff-info(P, x) affecter x dans le champ « info » du nœud P
Aff-Fils(P, Q, i) affecter l’adresse du nœud Q au fils i du nœud P

Transformation d’un arbre m-aire en arbre binaire
1. Etape 1: Lier les frères dans une liste linéaire
chaînée
2. Etape 2: Faire une rotation de 45 ° dans le sens des
aiguilles d’une montre
215
a
b c d
e f g h i
j k l
R

2. Etape 2: Faire une rotation
de 45 ° dans le sens des
a
b
e
c d
c
d
Transformation d’un arbre m-aire en arbre
binaire
217
a
b c d
e f g h i
j k l
f
j k
l
d
g
h
i
g h i
k

Arbres M-aire de Recherche (AMR)
C'est une généralisation des Arbres Binaire de
Recherche (ABR) pour être utilisés en mémoire
secondaire où les E/S sont « bufférisées ». Elle est aussi
218
secondaire où les E/S sont « bufférisées ». Elle est aussi
utilisée pour l’ organisation de fichiers (les indexes des
articles)

Chaque nœud renferme un tableau de (d-1) valeurs
ordonnées et un tableau de d fils, car dans un AMR
d'ordre d, le nombre de fils d'un nœud (le degré) est
toujours égal au nombre de valeur stockées + 1.
219
toujours égal au nombre de valeur stockées + 1.
s1 k1 s2 ….. kj-1 sj kj …... kd-1 sd
ki des données tq: k1 < k2 ....< kd-1

s1 k1 s2 ….. kj-1 sj kj …... kd-1 sd
ki des données tq: k1 < k2 ....< kd-1
(Éléments du s1) < k1 (Éléments du s ) > k
220
s11 k11 s12 k12 ....... s1(d-1) k1(d-1) s1d
sj1 kj1 sj2 kj2 ....... sj(d-1) kj(d-1) sjd
sd1 kd1 sd2 kd2 ....... sd(d-1) kd(d-1) sdd
(Éléments du s1) < k1 (Éléments du sd) > kd-1
kj-1 < (Éléments du sj) < kj
(j=2,3, ...d-1)

La structure de l’arbre ARM est la suivante:
Type TnœudAMR = Structure
Info : Tableau[0..d-2] d’entier
221
Fils : Tableau[0..d-1] de *TnoeudAMR
Degré : entier
Fin

Exemple : soit l’arbre m-aires de recherche AMR
d’ordre 4
222

Pour écrire des algorithmes sur ce type d'arbres, le
modèle doit être formé des opérations suivantes :
CreerNoeud(x) LibererNoeud(P)
223
Info(P, i)
Fils (P, i)
Degré(P)
Aff_info(P, x, i)
Aff_fils(P, Q, i)
Aff_Degré(P, n)

La recherche dans un AMR ressemble beaucoup à
celle effectuée dans un ABR, excepté qu’au lieu de
prendre à chaque nœud une décision de branchement
224
prendre à chaque nœud une décision de branchement
binaire (Fils gauche ou droit), on prend une décision à
options multiples, selon le nombre de fils du nœud.
La complexité de cette recherche est O(logdegré(n) ).

Exemple: Rechercher l’élément 68.
225On récupère l’adresse du nœud (nœud P) ainsi la position
dans le nœud (soit pos = 2) où l’élément 68 doit exister.

Exemple: Insérer les éléments suivants: 1, 40, 68,
170.
227
1 6 10 37 40
68
170

On distingue deux types de suppression:
1. Suppression logique:
Laisser la clé au niveau du nœud et le marquer comme
supprimé
228
Le nœud reste utilisé pour l'algorithme de recherche
L’insertion d’un nœud supprimé consiste à le marquer
comme non supprimé
2. Suppression physique: Technique similaire à celle
des ABR

2. Suppression physique:
a. Si l’élément à supprimer est le seul élément dans le nœud
alors libérer le nœud.
Exemple: supprimer 37 ou 110
229

Si l’élément à supprimer a un sous arbre gauche ou droit vide
alors supprimer l’élément, ensuite tasser le nœud (décalage
dans le nœud + changer l’adresse du fils).
Exemple: la suppression du 65 entraîne le décalage de 69 à la
230
Exemple: la suppression du 65 entraîne le décalage de 69 à la
position de 65 ainsi le déplacement du fils droit de 65.
68
62 69
68

b. Si l’élément à supprimer a un sous arbre gauche ou droit vide
alors supprimer l’élément, ensuite tasser le nœud (décalage
dans le nœud + changer l’adresse du fils).
Exemple: la suppression du 120 entraîne le décalage de 150 à
231
Exemple: la suppression du 120 entraîne le décalage de 150 à
la position de 120.
68
100 120
110

c. Si l’élément à supprimer a des sous arbres gauche et droit
tous les deux non vides alors remplacer l’élément à
supprimer par son successeur/prédécesseur, ensuite
supprimer ce successeur/prédécesseur
232
supprimer ce successeur/prédécesseur
Exemple: la suppression du 85 entraîne le remplacement du
85 par 100 , ensuite la suppression du 100
120 150
110
12 50 100

SOURCES DE CE COURS
N. EL-ALLIA , Cours d’Algorithmique et Structures de données dynamiques, Ecole
nationale Supérieure d’Informatique (ESI), 2014.
Djamel Eddine ZEGOUR, Cours de Structures de Données, Ecole nationale
Supérieure d’Informatique (ESI), Disponible sur
http://zegour.esi.dz/Cours/Cours_sdd.htm
W. K. Hidouci, Cours Structures De Données et Fichiers, École nationale Supérieure
d’Informatique, Disponible sur hidouci.esi.dz/algo/
B. Boutoumi, Cours d’Algorithmique et Structures de données, Université Saad
Dahlab de Blida, 2014, Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-
aroussi/algorithmique-et-structure-de-donnees/nouveau-programme .
A. Aroussi, Cours d’Algorithmique Avancé, Université Saad Dahlab de Blida, 2013,
Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-aroussi/Algorithmique/annee-
universitaire-2013-2014-3gsi 233

Chapitre 5 structures hierarchiques (arbres)

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