On the Dynamics and Synchronization of a Class of Nonlinear High Frequency Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication

Table des matières
Introduction
Analyse dynamique des oscillateurs de type Colpitts
Synchronisation des oscillateurs de type Colpitts
Application aux communications sécurisées par chaos
Conclusion et perspectives
On the Dynamics and Synchronization of a
Class of Nonlinear High Frequency Chaotic
Oscillators: Analysis and Applications to
Communication
Par:
KAMDOUM TAMBA Victor
(M.Sc. en Physique/Electronique)
En vue de l’obtention du Doctorat/Ph.D en Physique/Electronique
sous la direction de :
FOTSIN Hilaire Bertrand
(Maître de Conférences )
KAMDOUM TAMBA Victor Dynamics and Synchronization of Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication 1 / 63

Table des matières
Introduction
1 Introduction
Contexte de la thèse
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
Questions de recherche
2 Analyse dynamique des oscillateurs de type Colpitts
Réponse à la question de recherche 1
3 Synchronisation des oscillateurs de type Colpitts
4 Application aux communications sécurisées par chaos
5 Conclusion et perspectives

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
Applications des générateurs de signaux chaotiques haute fréquence :
Les systèmes de télédetection
génération des signaux RADAR utilisés pour la détection, l’esti-
mation et la classiﬁcation ;
Les systèmes de génération des nombres/bits aléatoires
cryptographie digitale, processus d’authentiﬁcation et la modéli-
sation stochastique ;
Les systèmes de télécommunication
communications sécurisées par chaos large bande.

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
Problème de sécurité : conﬁdentialité, authenticité, et intégrité.
FIGURE 1 : Principe de la communication
Dans ce contexte, ce n’est pas seulement l’utilisateur autorisé (des-
tinaire B) qui peut accéder à l’information mais le pirate aussi. Pour
empêcher l’accès au pirate, la protection de l’information est une né-
cessité absolue.

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
FIGURE 2 : Système optique et opto-électronique
Y Chembo, thèse de doctorat, University of the Balearic Islands 2006
Avantages :
Grande pureté spectrale ;
Large bande fréquentielle
(s’étalant sur plusieurs GHz) ;
Signal chaotique de très grande
complexité (chaos de grande
dimension).
Inconvénients :
Très coûteux ;
Très sensibles aux ﬂuctuations
environnementales ;
Relativement difﬁcile à
implémenter.

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
Oscillateurs électroniques
Les composants sont disponibles et bon marché ;
Compacts et stables ;
Facile réaliser.
Oscillateurs de type Colpitts
La possibilité de faire varier la fréquence de la gamme des kHz
aux GHz selon la technologie choisie ;
La non linéarité est intrinsèque (obtenue par le BJT) ;
Le système est non symétrique et par conséquent générique.
IL ressort que générer les signaux chaotiques haute fréquence à
partir des oscillateurs de type Colpitts présente un grand intérêt.

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
FIGURE 3 : Principe de sécurisation des communications par chaos
http ://picasso.di.uoa.gr. Photonic Integrated Components Applied to Secure Chaos Encoded Optical Communications Systems

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
Etat de l’art (1)
A. Tamasevicius et al., Elec. Lett. 40, 1569 (2004).
S. Bumeliene et al., Nonlinear Dyn. 44, 167 (2006).
Points forts
Génération d’onde chaotique dans la gamme MHz au GHz ;
Simulations analogiques (PSPICE).
Limites
Modélisation mathématique limitée (Modèle linéaire continu par
morceau (PWL) dont l’exploitation est plus délicate) ;
Manque d’analyse de la stabilité et des bifurcations (transitions
vers le chaos) ;
Or la maîtrise de tous ces éléments est indispensable pour une bonne
exploitation technologique de ces oscillateurs.

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
Etat de l’art (2)
H. B. Fotsin et al., Phys. Lett. A 339, 304 (2005).
J. Kengne, Ph.D. Thesis, Univ. of Dschang, Sept. (2011).
Points forts
Modélisation mathématique, analyse de la stabilité et des bifurca-
tions, synchronisation avec identiﬁcation des paramètres ;
Application au masquage chaotique des communications.
Limites
Etudes Restreintes uniquement en basse fréquence ;
Pas de prise en compte des perturbations internes et externes
dans le processus de communication ;
Restriction sur l’amplitude du messages à transmettre et faible
niveau de sécurité.

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
Etat de l’art (3)
J. Effa et al., Nonlinear Dyn. 58, (2008).
Points forts
Synchronisation utilisant les contrôleurs non linéaires ;
Vériﬁcation de la faisabilité par des simulations numériques.
Limites
Modélisation mathématique une fois de plus limitée (Modèle li-
néaire continu par morceau (PWL)) ;
Pas de prise en compte des perturbations (internes et externes)
dans le processus de synchronisation ;
Pas d’implémentation réelle du processus de synchronisation.
Or dans la réalité, les perturbations existent et peuvent inﬂuencer consi-
dérablement la qualité des communications.
KAMDOUM TAMBA Victor Dynamics and Synchronization of Chaotic Oscillators: Analysis and Applications to Communication10 / 63

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
Motivations
La volonté d’étudier les générateurs de signaux chaotiques dans
leurs configurations haute fréquence afin d’optimiser leurs perfor-
mances ;
L’ambition d’analyser en détail la dynamique (théoriquement et
expérimentalement) de ces générateurs afin de proposer des élé-
ments technologiques pouvant permettre aux ingénieurs de télé-
communication de mieux choisir et dimensionner leurs systèmes ;
Le souci de renforcer la sécurité des systèmes de communication
afin de garantir la confidentialité, l’authenticité et l’intégrité.

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
Objectifs
Etudier en détail la dynamique des oscillateurs de type Colpitts
aﬁn de mieux les caractériser et permettre la bonne compréhen-
sion des phénomènes complexes présentés par ces oscillateurs ;
Développer de nouvelles techniques de synchronisation basées
sur des fonctions projectives en tenant compte de différents sce-
narios qui peuvent exister en pratique (perturbations internes et
externes) ;
Exploiter ces techniques de synchronisation dans les systèmes
de communications sécurisées par chaos.

Table des matières
Introduction
Etat de l’art
Motivations
Objectifs
1 Quelles sont les potentialités d’une modélisation mathématique
et d’une implémentation concrète des oscillateurs électroniques
haute fréquence de type Colpitts ?
2 Quelle est la précision et la robustesse des techniques de syn-
chronisation basées sur les fonctions projectives développées dans
ce travail ?
3 Les techniques développées dans ce travail sont telles fondamen-
tales pour la conception et la réalisation des architectures (circuits
électroniques) de sécurisation des communications ?

Table des matières
Introduction
Oscillateur amélioré de Colpitts
FIGURE 4 : Oscillateur amélioré de Colpitts (a) et modèle du BJT (b)
A. Tamasevicius et al., Elec. Lett. 40, 1569 (2004)

Table des matières
Introduction
Equations d’état Colpitts amélioré
RcC1
dVc1
dt
= V0 − Vc1
− Vc2
− RcIL − Rcf(VBE ), (1a)
RcC2
dVc2
dt
= V0 − Vc1
− Vc2
− RcI0 + RcIL, (1b)
C3
dVc3
dt
= IL − (1 − αF )f(VBE ), (1c)
L
dIL
dt
= −RbIL − Vc1
− Vc2
− Vc3
. (1d)
où :
f(VBE ) =
φpwl , modèle continu par morceau
φEXP. modèle exponentiel
(2)

Table des matières
Introduction
Equations d’état normalisées
˙x1 = σ1(−x1 − x2) + x4 − γφpwl(x1, x3), (3a)
˙x2 = 1σ1(−x1 − x2) + 1x4, (3b)
˙x3 = 2 (x4 − (1 − αF )γφpwl(x1, x3)) , (3c)
˙x4 = −x1 − x2 − x3 − σ2x4. (3d)
où
φpwl(x1, x3) =
x1 + x3, x1 + x3 ≤ 1
1. x1 + x3 > 1
(4)
et
φexp(x1, x3) = exp(x1 + x3) − 1 (5)

Table des matières
Introduction
Variables et paramètres
xi VT = Vci
− V0
ci
(i = 1, 2, 3), x4VT = ρ(IL − I0
L ), (6a)
t = τ LC1, ρ = L/C1, 1 = C1/C2, 2 = C1/C3, (6b)
σ1 = ρ/Rc, σ2 = Rb/ρ, γ = ρI0/VT . (6c)
où
V0
c1
= V0 + VT ln(1 + I0/Is) + ((1 − αF )Rb − αF Rc)I0, (7a)
V0
c2
= −(1 − αF )RbI0 − VT ln(1 + I0/Is), (7b)
V0
c3
= −V0 − ((1 − αF )Rb − αF Rc)I0, (7c)
I0
L = (1 − αF )I0. (7d)

Table des matières
Introduction
Comparaison des modèles PWL et EXP
FIGURE 5 : Comparaison des modèles PWL et EXP
Le modèle EXP est de classe C∞
alors que le modèle PWL est de
classe C0
. Le modèle PWL est une approximation du premier ordre du
modèle EXP. Il est donc incapable de ressortir tous les comportements
dynamiques présentés par le circuit réel.

Table des matières
Introduction
Analyse de la stabilité
MJ/0 =




−σ1 − γ −σ1 −γ 1
− 1σ1 − 1σ1 0 1
− 2(1 − αF )γ 0 − 2(1 − αF )γ 2
−1 −1 −1 −σ2



 (8)
1 = 0.85, 2 = 20.00, σ1 = 1.490, (9a)
σ2 = 0.872, γ = 40.00, αF = 255/256 (9b)
λ1 = −44.0667, λ2 = −3.6578, λ3,4 = 0.4855 ± 2.4597i (10)
Comme il existe des valeurs propres à parties réelles positives,
l’unique point d’équilibre est instable. Alors le système peut osciller
chaotiquement (oscillations auto-excitées).

Table des matières
Introduction
Diagramme des paramètres
FIGURE 6 : Diagramme des paramètres dans le plan σ1- 2.
V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, Elie B. Megam Ngouonkadi and P.K. Talla, Int. J. Dynam. Control (2016)

Table des matières
Introduction
Transition vers le chaos
FIGURE 7 : Transition vers le chaos suivant γ (gauche) et 1 (droite)

Table des matières
Introduction
Portraits de phase
FIGURE 8 : Portraits de phase numériques (gauche) et analogiques (droite)

Table des matières
Introduction
Hystérésis et coexistence des attracteurs
FIGURE 9 : Hystérésis et coexistence des attracteurs

Table des matières
Introduction
Bassin d’attraction
FIGURE 10 : Bassin d’attraction illustrant plusieurs attracteurs

Table des matières
Introduction
Chaos transitoire
FIGURE 11 : Chaos transitoire

Table des matières
Introduction
Oscillateurs de Colpitts à deux étages
FIGURE 12 : Oscillateurs de Colpitts à deux étages
V. Kamdoum Tamba, H. B. Fotsin, J. Kengne, F. Kapche Tagne, and P. K. Talla, Journal of chaos (2014)

Table des matières
Introduction
Equations d’état Colpitts à deux étages
C1
dVc1
dt
= I1 − αF1
f(VBE1
), (11a)
C2
dVc2
dt
= I1 − I0 + (1 − αF1
)f(VBE1
) + (1 − αF2
)f(VBE2
), (11b)
C3
dVc3
dt
= IL + (1 − αF1
)f(VBE1
) − αF2
f(VBE2
), (11c)
L1L2 − M2
L2
dI1
dt
= V0 − Vc1 − Vc2 − Vc3 − RI1 −
M
L2
RLI2, (11d)
L1L2 − M2
M
dI2
dt
= V0 − Vc1 − Vc2 − Vc3 − RI1 −
L1
M
RLI2. (11e)
où
f(VBEi
) = Is exp(
VBEi
VT
) − 1 (i = 1, 2) (12)

Table des matières
Introduction
Equations d’état normalisées
˙x1 = σ1(x4 − γφ(x2 + x3)), (13a)
˙x2 = x4, (13b)
˙x3 = σ2(x4 − γφ(x2)), (13c)
˙x4 = σ3(−x1 − x2 − x3 − x4 − αx5), (13d)
˙x5 = σ4(−x1 − x2 − x3 − x4 − µαx5). (13e)
où
φ(y) = exp(−y) − 1 (14)

Table des matières
Introduction
Variables et paramètres
xi VT = Vci
− V0
ci
(i = 1, 2, 3), xj VT = ρ(Ij − I0
j ) (j = 1, 2), (15a)
t = τ L2C2, ρ = L1/C2, σ1 = C2/C1, σ2 = C2/C3, (15b)
σ3 = L1L2/(L1L2 − M2
), σ4 = L1M/(L1L2 − M2
), (15c)
γ = ρI0/VT , = R/ρ, µ = L1L2/M2
, α = RLM/L2ρ. (15d)
où
V0
c1
= V0 − V1 − RI0 + VT ln(1 + I0/Is), (16a)
V0
c2
= −VT ln(1 + I0/Is), (16b)
V0
c3
= V1, (16c)
I0
1 = I0, (16d)
I0
2 = 0. (16e)

Table des matières
Introduction
Analyse de la stabilité
MJ/0 =





0 γσ1φ(x20 + x30) γσ1φ(x20 + x30) σ1 0
0 0 0 1 0
0 γσ2φ(x20) 0 σ2 0
−σ3 −σ3 −σ3 −σ3 −σ3α
−σ4 −σ4 −σ4 −σ4 −σ4µα





(17)
σ1 = 1.2, σ2 = 1.0, σ3 = 2.7, σ4 = 1.8, = 0.8, µ = 1.5, γ = 2.6, α = 1.6
(18)
λ1,2 = −1.050 ± 0.458i, λ3 = −5.701, λ4,5 = 0.373 ± 2.332i. (19)
Comme il existe des valeurs propres à parties réelles positives, le
O(0, 0, 0, 0) est un point d’équilibre instable. Alors le système peut
osciller chaotiquement (oscillations auto-excitées).

Table des matières
Introduction
Transition vers le chaos
FIGURE 13 : Transition vers le chaos

Table des matières
Introduction
Circuit d’implémentation
FIGURE 14 : Circuit d’implémentation

Table des matières
Introduction
Portraits de phase
FIGURE 15 : Portraits de phase numériques (a) et expérimentaux (b)

Table des matières
Introduction
Synchronisation projective et ses variantes
synchronisation projective fonctionnelle commutée
e(t) = xi (t) − m(t)yj (t) (20)
où i = j et m(t) = diag(m1, m2, ..., mn)
Si i = j on a la synchronisation projective fonctionnelle
Si i = j et m(t) = I on a la synchronisation projective
Avantages de la méthode
Dans les méthodes classiques de synchronisation, i = j et m(t) = I
Le fait de considérer que i = j et que m(t) est une matrice diago-
nale d’ordre n rend le processus de synchronisation plus complexe et
augmente le nombre de clés dans le processus de communication.
Ces considérations supplémentaires compliquent la tâche aux pirates
et augmentent le degré de sécurité des communications.

Table des matières
Introduction
Position du problème
Considérons les systèmes maître et esclave déﬁnis respectivement
par les relations(21) et (22)
˙x = F1(t, xi ) + G1(t, xi )φ + D (t) (21)
˙y = F2(t, yj ) + G2(t, yj )θ + D (t) + u(t, xi , yj ) (22)
où :
xi et yi : variables d’état
F1(t, xi ), G1(t, xi ), F2(t, yj ) et G2(t, yj ) : fonctions continues non
lineaires
φ∈ Rp
et θ∈ Rq
: vecteurs des paramètres inconnus
D (t) = (d11, d12, ...d1n)T
et D (t) = (d21, d22, ...d2n)T
∈ Rn
:
représentent les perturbations externes appliquées aux systèmes et
u(t, xi , yj ) la fonction de commande.

Table des matières
Introduction
Objectif de la méthode
Objectif
L’objectif ici est de trouver la fonction de commande u(t, xi , yj ) qui
assure la synchronisation projective commutée entre les systèmes
maître (21) et esclave (22) avec l’identiﬁcation des parametres incon-
nus φ∈ Rp
et θ∈ Rq
et en présence des perturbations externes D (t)
et D (t).
c’est à dire limt→∞ e(t) = limt→∞ xi − m(t)yj = 0 (i = j)

Table des matières
Introduction
Modèles des systèmes maître-esclave
Colpitts à deux étages couplés comme systèmes maître et esclave
˙x1 = a1x4 − b1φ(x2 + x3) + d11(t), (23a)
˙x2 = x4 + d12(t), (23b)
˙x3 = c1x4 − d1φ(x2) + d13(t), (23c)
˙x4 = −x1 − x2 − x3 − 1x4 + d14(t). (23d)
˙y1 = a2y4 − b2φ(y2 + y3) + u1(t, x, y) + d21(t), (24a)
˙y2 = y4 + u2(t, x, y) + d22(t), (24b)
˙y3 = c2y4 − d2φ(y2) + u3(t, x, y) + d23(t), (24c)
˙y4 = −y1 − y2 − y3 − 2y4 + u4(t, x, y) + d24(t). (24d)

Table des matières
Introduction
Combinaisons des erreurs
Les différentes combinaisons des erreurs de synchronisation sont
données par l’expression :
n(A0) =n! − n( ¯A0) = [1 − 1 +
1
2!
−
1
3!
+
1
4!
− ... + (−)n 1
n!
]n!
=n!
n
p=2
(−1)p 1
p!
(n ≥ 3)
(25)
Pour notre système de dimension 4, la relation (25) donne :
n(A0) = 4!(
1
2!
−
1
3!
+
1
4!
) = 9 (26)
Cela signiﬁe que nous avons au total 9 possibilités de synchronisation
représentées dans le tableau suivant.

Table des matières
Introduction
Possibilités de synchronisation
e1 = x1 − m1(t)y2 e1 = x1 − m1(t)y3 e1 = x1 − m1(t)y4
V. Kamdoum Tamba, H. B. Fotsin, J. Kengne, P. K. Talla and T. Fozin Fonzin, Far East J. of Dynamical Systems (2013)

Table des matières
Introduction
Fonctions de commande
u1(t, x, y) =
1
m4(t)
− x1 − x2 − x3 − 1x4 − m4(t)[ˆa2y4 − ˆb2φ(y2 + y3)]
− ˙m4(t)y1 + k4e4 + γ14 tanh(m4(t)e4) − m4(t)λ21 tanh(m4(t)e4) ,
u2(t, x, y) =
1
m1(t)
a1x4 − b1φ(x2 + x3) − m1(t)y4 − ˙m1(t)y2 + k1e1
+ γ11 tanh(m1(t)e1) − m1(t)λ22 tanh(m1(t)e1) ,
u3(t, x, y) =
1
m2(t)
x4 − m2(t)[ˆc2y4 − ˆd2φ(y2)] − ˙m2(t)y3 + k2e2
+ γ12 tanh(m2(t)e2) − m2(t)λ23 tanh(m2(t)e2) ,
u4(t, x, y) =
1
m3(t)
c1x4 − d1[φ(x2)] − m3(t)(−y1 − y2 − y3 − ˆ2y4)
− ˙m3(t)y4 + k3e3 + γ13 tanh(m3(t)e3) − m3(t)λ24 tanh(m3(t)e3) .

Table des matières
Introduction
Lois d’adaptation des paramètres
˙ˆa2 = y4e1, (28a)
˙ˆb2 = −φ(y2 + y3)e1, (28b)
˙ˆc2 = y4e3, (28c)
˙ˆd2 = −φ(y2)e3, (28d)
˙ˆ2 = −y4e4. (28e)
où ki (i = 1, 2, 3, 4), sont des constantes positives à choisir de façon
judicieuse et ˆa2, ˆb2, ˆc2, ˆd2, ˆ2 sont les estimations des paramètres in-
connus.

Table des matières
Introduction
Expressions des perturbations
d1i =




d11 = 0.3 sin(10πt) + g(t)
d12 = 0.1 cos(10πt) + g(t)
d13 = 0.2 sin(10πt) + g(t)
d14 = 0.2 cos(10πt) + g(t)




(29)
d2i =




d21 = sin(10πt)
d22 = cos(10πt)
d23 = − sin(10πt)
d24 = − cos(10πt)




(30)
g(t) = 10(rand + 0.5) (31) FIGURE 16 : Bruit blanc et histogramme

Table des matières
Introduction
Résultats de la synchronisation
FIGURE 17 : Résultats de la synchronisation sans (gauche) et avec perturba-
tions (droite)

Table des matières
Introduction
Position du problème
Considerons le système déﬁni par :
˙x = f(x) (32)
où x = (x1, x2, x3, x4) est le vecteur des variables d’état.
Divisons le système (32) en deux parties données par :
˙v = f(v, x4), (33a)
˙x4 = g(v, x4). (33b)
le système couplé maître-esclave est donné par :
˙vm = f(vm, x4), (34a)
˙x4 = g(vm, x4), (34b)
˙vs = g(vs, x4) + ui . (34c)
où x4 est la variable de couplage et ui la fonction de commande.

Table des matières
Introduction
Objectif de la stratégie
Objectif
L’objectif est de déterminer la fonction de commande ui (i = 1, 2, 3, 4)
qui assure la synchronisation projective des systèmes maître (34a) et
maître (34c) avec n’importe quelle matrice Λi (t) et en présence des
perturbations externes
c’est à dire limt→∞ e(t) = limt→∞ vs − Λi (t)vm = 0
pour atteindre cet objectif, nous considérons deux oscillateurs amélio-
rés de Colpitts nommés (S1) et (S2) comme systèmes maître et es-
clave pour construire l’émetteur et le récepteur.

Table des matières
Introduction
Diagramme de la communication sécurisée par chaos
FIGURE 18 : Diagramme de la communication sécurisée par chaos

Table des matières
Introduction
Le modèle des systèmes couplés (S1) et (S2) est donné par :
˙x1m = a(−x1m − x2m) + x4 − bφ(x1m, x3m), (35a)
˙x2m = c(−x1m − x2m) + dx4, (35b)
˙x3m = x4 − fφ(x1m, x3m), (35c)
˙x4 = −x1m − x2m − x3m − gx4, (35d)
˙x1s = a(−x1s − x2s) + x4 − bφ(x1s, x3s) + u1, (35e)
˙x2s = c(−x1s − x2s) + dx4 + u2, (35f)
˙x3m = x4 − fφ(x1s, x3s) + u3. (35g)
où φ(x1s, x3s) = exp(x1s + x3s) − 1 et ui (i=1,2,3) est la fonction de
commande à déterminer.

Table des matières
Introduction
Fonctions de commande
Les systèmes maître (S1) et esclave (S2) synchronisent avec les
fonctions de commande ui (i=1,2,3) déﬁnie par :
u1 = ae2 − (1 − Λ1(t))x4 + bφ(x1s, x3s) − Λ1(t)bφ(x1m, x3m)
+ ˙Λ1(t)x1m − k1e1, (36a)
u2 = ce1 − d(1 + Λ2(t))x4 − ˙Λ2(t)x2m − k2e2, (36b)
u3 = − (1 − Λ3(t))x4 + fφ(x1s, x3s) − Λ3(t)fφ(x1m, x3m) + ˙Λ3(t)x3m − k3e3.
(36c)
où les ki (i = 1, 2, 3, 4) sont des constantes positives qui doivent être
choisis judicieusement pour assurer la bonne synchronisation des sys-
tèmes S1 et S2.

Table des matières
Introduction
Messages et perturbations
Matrice diagonale Λi (t) et messages :
Λi (t) = ∆i (2+sin(2πt)), ∆i = [1, −1, 1] (37)
m(t) = 3+2 sin(t), m(t) = 2sgn(sin(t)) (38)
Perturbations :
d1i =


d11 = cos(5πt) + g11
d12 = − cos(10πt) + g12
d13 = sin(15πt) + g13

 (39)
d2i =


d21 = 0.5 cos(5πt) + g21
d22 = −0.3 cos(10πt) + g22
d23 = 0.4 sin(15πt) + g23


(40)
gij =
√
−2 ln α cos(2πα) (41)
FIGURE 19 : Bruit blanc gaussien et
histogramme

Table des matières
Introduction
Codage et décodage des messages
FIGURE 20 : Sécurisation des communications par chaos sans perturbations

Table des matières
Introduction
Codage et décodage des messages
FIGURE 21 : Sécurisation des communications par chaos avec perturbations

Table des matières
Introduction
Circuits d’implémentation de la synchronisation
FIGURE 22 : Circuits d’implémentation

Table des matières
Introduction
Le modèle du système maître est donné par
˙x1m = x3m − αF γφ(x2m), (42a)
˙x2m = (x3m + (1 − αF )γφ(x2m)), (42b)
˙x3m = σ1(−x1m − x2m − ηx3m − αx4m), (42c)
˙x4m = σ2(−x1m − x2m − ηx3m − µαx4m). (42d)
Et celui du système esclave par
˙x1s = x3s − αF γφ(x2s) + k(x2s − x2m), (43a)
˙x2s = (x3s + (1 − αF )γφ(x2s)) (43b)
˙x3s = σ1(−x1s − x2s − ηx3s − αx4s), (43c)
˙x4s = σ2(−x1s − x2s − ηx3s − µαx4s). (43d)
V. Kamdoum Tamba, H. B. Fotsin, J. Kengne, F. Kapche Tagne, and P. K. Talla, Eur. Phys. J. Plus (2015)

Table des matières
Introduction
Synchronisation expérimentale
FIGURE 23 : Etat de non synchronisation et de synchronisation

Table des matières
Introduction
Modules expérimentaux
FIGURE 24 : Modules expérimentaux de sécurisation des communications

Table des matières
Introduction
Codage et décodage d’un message analogique
FIGURE 25 : Codage et décodage d’un message analogique

Table des matières
Introduction
Codage et décodage d’un message numérique
FIGURE 26 : Codage et décodage d’un message numérique

Table des matières
Introduction
Conclusion (1)
La modélisation des oscillateurs haute fréquence de type Colpitts
a été faite en utilisant des modèles mathématiques appropriés
permettant de mieux rendre compte des phénomènes réels pré-
sentés par ces oscillateurs ;
Les outils de caractérisation du chaos (diagramme de bifurcation,
exposant de Lyapunov, spectre de puissance) ont été utilisés pour
étudier en détail la dynamique complexe des différents oscilla-
teurs ;
De nouveaux phénomènes tels que : la coexistence des attrac-
teurs, le dédoublement de période inverse, le chaos transitoire et
bien d’autres ont été observés ;
Les résultats théoriques, numériques et expérimentaux sont en
accord ;

Table des matières
Introduction
Conclusion (2)
Nous avons synchronisé ces oscillateurs en présence des pertur-
bations internes et externes en utilisant des méthodes basées sur
les fonctions projectives ;
Les simulations numériques ont montré la faisabilité et la robus-
tesse méthodes proposées ;
Une exploitation de ces techniques de synchronisation a été faite
dans le domaine des communications sécurisées par chaos ;
Le caractère imprédictible des matrices et la commutation des
variables d’état dans le processus de synchronisation ont permit
d’augmenter la complexité et le niveau de sécurité des communi-
cations par rapport aux méthodes classiques ;
Les méthodes développées ont présenté moins de contraintes sur
l’amplitude, le nombre et la nature du message.

Table des matières
Introduction
Perspectives
Utiliser des équipements appropriés pour mener des investiga-
tions expérimentales avancées telles que : l’analyse spectrale,
l’analyse des bifurcations et les sections de Poincaré. Cela nous
permettra de faire une comparaison avec les résultats théoriques
obtenus dans cette thèse ;
Adaptater les méthodes de synchronisation qui ont été élaborées
dans cette thèse pour des systèmes chaotiques continus aux cas
des systèmes chaotiques discrets.
Appliquer nos différents modèles à la génération des bits aléa-
toires, qui sont très utilisés pour des applications telles que : cryp-
tographie digitale, processus d’authentiﬁcation, modélisation sto-
chastique et la loterie.

Table des matières
Introduction
Liste des publications
Publications issues de la thèse
1 V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, Elie B. Megam Ngouonkadi, and P.K. Talla,
Emergence of complex dynamical behaviors in improved Colpitts oscillators : antimonotoni-
city, coexisting attractors, and metastable chaos. International Journal of Dynamical and
Control (2016) DOI. : 10.1007/s40435-016-0223-4.
2 V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, F Kapche Tagne, and P.K. Talla, Coupled
inductors-based chaotic Colpitts oscillators : mathematical modeling and synchronization is-
sues. European Physical Journal Plus 130 (2015) DOI. : 10.1140/epjp/i2015-15137-x.
3 V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, F. Kapche Tagne, and P.K. Talla, Complex dyna-
mical behavior of a two-stage Colpitts oscillator with magnetically coupled inductors. Journal
of Chaos. DOI. : 10.1155/2014/945658.
4 V. Kamdoum Tamba, H.B. Fotsin, J. Kengne, P.K. Talla and T. Fozin Fonzin, Complete swit-
ched adaptive modiﬁed function projective synchronization of two-stage chaotic Colpitts oscil-
lators with uncertain parameters and external disturbances. Far East Journal of dynamical
systems 21(2) (2013) 93-114.

Table des matières
Introduction
Autres publications
1 Elie B. Megam Ngouonkadi, H.B. Fotsin, P. Louodop Fotso, V. Kamdoum Tamba and Hilda A.
Cerdeira, Bifurcations and multistability in the extended Hindmarsh-Rose neuronal oscillator.
Chaos Solitons and Fractals DOI. : 10.1016/j.chaos.2016.02.001 (2016).
2 J. Kengne, Z. Tabeboueng, V. Kamdoum Tamba and A. Nguomkam Negou, Periodicity, chaos
and multiple attractors in a memristor-based Shinriki’s circuit. Chaos AIP 25, 103126 DOI. :
10.1063/1.4934653 (2015).
3 Elie B. Megam Ngouonkadi, Martial Kabong Nono, V. Kamdoum Tamba and H. B. Fotsin,
Phase synchronization of bursting neural networks with electrical and delayed dynamic che-
mical couplings. European Physical Journal B. DOI. : 10.1140/epjb/e2015-60505-7 (2015).
4 G.B. Nkamgang, E. Foadieng, V. Kamdoum Tamba, P.K. Talla and A. Fomethe, A Model
for a Thin Magnetostrictive Actuator in Nonlinear Dynamics. Research Journal of Applied
Sciences, Engineering and Technology 11(11) :1245-1256 (2015).
5 J. Kengne, J.C. Chedjou, M. Kom, K. Kyamakya, and V. Kamdoum Tamba, Regular oscilla-
tions, chaos, and multistability in a system of two coupled van der Pol oscillators : numerical
and experimental studies. Nonlinear Dynamics DOI. : 10.1007/s11071-013-1195-y (2014).
6 J. Kengne, F. Kenmogne and V. Kamdoum Tamba, Experiment on bifurcation and chaos in
coupled anisochronous self-excited systems : case of two coupled van der Pol-Dufﬁng oscil-
lators.Journal of Nonlinear Dynamics. DOI. : 10.1155/2014/815783 (2014).

Table des matières
Introduction
Remerciements
L’administration de l’Université de Dschang pour toutes les facili-
tés accordées pendant cette thèse ;
Tous les membres du Jury pour avoir accepté évaluer ce travail ;
SCP, EMA, ICTP et CIMPA pour l’opportunité qu’ils nous ont donné
de présenter quelques parties de ce travail lors de leurs diffé-
rentes conférences internationales ;
Toute ma famille pour le soutien incommensurable ;
Toute l’assistance pour votre aimable attention.

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