L'exercice 23 examine la probabilité d'une bonne réponse avec des estimations d'effectifs fondées sur la loi binomiale. En calculant le χ2 et en comparant avec la valeur critique, il est conclu que l'hypothèse nulle (H0) est acceptée, indiquant que l'échantillon suit une loi binomiale avec un risque de 5%. Le chi carré calculé est inférieur à la valeur critique, consolidant cette conclusion.

1. Exercice 23
La probabilité d’une bonne réponse est :
ni xi 2520
p= = = 0, 6
840 × 5 4200
H0 : Les fréquences suivent une loi binomiale.
H1 : Les fréquences ne suivent pas une loi binomiale.
Effectifs estimés :
e1 = (5; 0.6; 0) × 840 = 8, 6016 e4 = (5; 0.6; 3) × 840 = 290, 304
e2 = (5; 0.6; 1) × 840 = 64, 512 e5 = (5; 0.6; 4) × 840 = 217, 728
e3 = (5; 0.6; 2) × 840 = 193, 536 e6 = (5; 0.6; 5) × 840 = 65, 3184
Calcul de χ 2 :
(10 − 8, 6016)2 (69 − 65, 3184)2
χ2 = + ··· + 0, 979
8, 6016 65, 3184

2. Exercice 23 (suite..)
Comme on a estimé qu’un seul paramètre «p», on calcule χd,α avec
2
d = 6 − 1 − 1 = 4 et α = 0, 05
χd,α = 9, 488
2
Comme χ 2 < χd,α , on accepte H0
2
L’échantillon observé provient certainement d’une loi binomiale au
risque de 5%.