Le document explique comment factoriser un polynôme du second degré en fonction des solutions de l'équation associée. Si l'équation a deux solutions, elle se factorise sous la forme a(x - x1)(x - x2), tandis qu'une solution double se factorise sous a(x - x1)². En cas de discriminant négatif, le polynôme ne peut pas se factoriser, illustré par trois exemples avec des calculs de discriminants et de solutions.

1. Si l'équation a x² + b x +c = 0 a deux solutions x1 et x2 ,
le polynôme du second degré a x² + b x +c peut se factoriser sous la forme:
a x² + b x +c = a (x -x1)(x-x2)
Si l'équation a x² + b x +c = 0 a une solution double x1 ,
le polynôme du second degré a x² + b x +c peut se factoriser sous la forme:
a x² + b x +c = a (x -x1)²
Si l'équation a x² + b x +c = 0 n'a pas de solution,
le polynôme du second degré a x² + b x +c ne peut pas se factoriser

2. Exemple 1 : Résoudre l'équation 3x²- 6x + 4 = 0
Nous avons a = 3 b = (-6 ) c = 4
Nous calculons donc ∆ = b² - 4 ac = (-6)²- 4×3×4 = -12
Comme le discriminant est strictement négatif , il n'y a pas de solution.
3x²- 6x + 4 ne peut pas se factoriser

3. Exemple 2 : Résoudre l'équation x²- 2x + 1 = 0
Nous avons a = 1 b = (-2) c = 1
Nous calculons donc ∆ = b² - 4 ac = (-2)²- 4×1×1 = 0
Comme le discriminant est nul , il y a une solution double
x1=x2=
−b
2a
=
−−2
2×1
=1
x²- 2x + 1 = 1×(x-1)²

4. Exemple 3 : Résoudre l'équation x² + 4x + 3 = 0
Nous avons a = 1 b = 4 c = 3
Nous calculons donc ∆ = b² - 4 ac = 4²- 4×1×3 = 4
Comme le discriminant est strictement positif , il y a deux solutions
distinctes
x1=
−b 
2a
=
−4 4
2×1
=−1 x2=
−b− 
2a
=
−4− 4
2×1
=−3
x² + 4x + 3 = 1×(x-(-1))(x-(-3))
x² + 4x + 3 = 1×(x+1)(x+3)