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1
CHAPITRE 1 LES SYSTEMES A BIELLES ET MANIVELLES
Supports de cours :
- Texte
- Schémas [2]
i) définition des éléments principaux des systèmes à bielle et manivelle
ii) courbes des espaces, des vitesses et des accélérations du pied de bielle
iii) forme des bielles
iv) Montage des bielles
v) Pistons et glissières
vi) Vilebrequins et manivelles
- Plan de cours
I. FORMULE DE STRUCTURE DES MECANISMES
1. Définition des chaînes cinématiques
I.1. Liaisons élémentaires et liaisons simples
1.2. Liaisons composées et liaisons équivalentes
1.3. Couples cinématiques et schémas cinématiques
1.4. Schéma cinématique
1.5. Degré de liberté et de liaison d’un solide dans un mécanisme
1.6. Etude de la mobilité d’un système mécanique
1.6.1. Notion d’Indice de mobilité
a) Formule de Maleushev
b) Formule de Tchébychev-Artobolevski : mouvements purement
plans ou purement sphériques
c) Formule de Dobrovolsky: quatre restrictions générales
imposées au mécanisme
1.6.2. Mobilité utile et mobilité interne (ou locale)
1.6.3. Degré de statisme d’un mécanisme
1.6.4. Définition du degré de mobilité d’un mécanisme
a) Liaisons surabondantes
b) Mobilité locale (indépendante ou superflue)
1.7. Exemple
1.8. Mobilité locale (indépendante ou superflue)
2. Analyse de la mobilité des mécanismes
2.1. Graphe des liaisons du mécanisme
Définitions
a) Le Graphe des liaisons du mécanisme
b) Notion de nombre de cycles
2.2. Approche cinématique
a) Nombre d’équations scalaires issues des équations de
fermetures cinématiques
b) Nombre d’inconnues cinématiques issues des équations
c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme
d) Définition du degré de mobilité m du mécanisme
e) Définition du degré de statisme du mécanisme
f) Relation entre les indicateurs de la mobilité
g) En résumé
2
2.3 Approche dynamique
a) Nombre d’équations scalaires issues des équations
d’équilibre des éléments mobiles
b) Nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles
issues des équations
c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme
d) Isostatisme hyperstatisme
e) Définition du degré de mobilité m du mécanisme
f) Définition du degré de statisme du mécanisme
g) Relation entre les indicateurs de la mobilité
h) En résumé
II. ETUDE GENERALE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE
1. La bielle
2. La manivelle
3. La coulisse
III. SYTEME BIELLE MANIVELLE COURANT [3]
1. Fonction
2. Emploi
3. Composition
4. Etude cinématique
4.1. Courbe des espaces du pied de la bielle
a) Recherche du CIR de la bielle I est le point d'intersection des
normales ou trajectoires:
5. Etude des forces
6. Construction des systèmes bielles manivelles courants
6.1. Bielle
6.2. Manivelle
6.3. Vilebrequin
6.4. Piston
6.5. Coulisseau et glissière
7. Etude des liaisons
7.1. Assemblage bras-maneton
7.2. Assemblage poignée tournante-manivelle
7.3. Assemblage bielle-manivelle (voir chapitres " Guidage en rotation et
Articulation ")
IV. EQUILIBRAGE DES MACHINES ET DES MECANISMES
SUR LA FONDATION [1]
1. Position du problème
2. Classification des cas de déséquilibre des systèmes mécaniques
3. Equilibrage des rotors
4. Classification de cas de déséquilibre des rotors.
4.1. Le déséquilibre statique
4.2. Le déséquilibre des moments
4.3. Le déséquilibre dynamique
V. METHODES GRAPHIQUES D’INTEGRATION ET DE
DIFFERENTIATION DES COURBES [2]
3
1. Différentiation graphique
1.1. Position du problème
1.3. Unité de l’échelle
1.4. Méthode des cordes
1.5. Echelle des courbes obtenues
2. Intégration graphique
VI. METHODE ANALYTIQUE DE CALCUL DES FONCTIONS DE
TRANSMISSION DES MECANISMES PLANS, APPLICATION AU
SYSTEME BIELLE MANIVELLE COURANT
1. Exemple N°1 : Système bielle manivelle
2. Exemple N°2 : Mécanisme à quadrilatère articulé
2.1. Etude analytique
2.2. Recherche des vitesses
2.3. Recherche des accélérations angulaires ε4 et ε3
3. Exemple N°3 : Mécanisme à coulisse
VII. SYNTHESE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE [4]
1. problème
2. Exemple
VIII. ETUDE GRAPHO-ANALYTIQUE
1. Epure de vitesses et des accélérations
1.1. Définition
1.2. Construction de l’épure des vitesses
1.3. Construction de l’épure des accélérations
1.4. Formules de construction
2. Exemple 1 : Système bielle manivelle courant
3. Exemple 2
IX. METHODE VECTORIELLE D’ANALYSE CINEMATIQUE DES
MECANISMES PLANS ET TRIDIMENSIONNELLES, APPLICATION
AU MANIPULATEUR DE ROBOT [2]
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Exemple 3 :
REFERENCES
4
FORMULE DE STRUCTURE DES MECANISMES
1. Définition des chaînes cinématiques
1.1. Liaisons élémentaires et liaisons simples
On définit comme surfaces élémentaires le plan, le cylindre et la sphère. Nous entendrons
par liaison élémentaire une liaison définie entre deux surfaces élémentaires en contact. Ainsi,
on distinguera : les liaisons appui plan, pivot glissant, rotule, linéaire rectiligne, ponctuelle,
linéaire annulaire.
Les liaisons encastrement (liaisons totale ou complète), pivot (formée par une association
de liaisons pivot glissant et appui plan), glissière (association de liaisons élémentaires) et
glissière hélicoïdale forment avec les liaisons élémentaires un ensemble de liaisons dites
simples représentées conventionnellement par des symboles normalisés.
1.2. Liaisons composées et liaisons équivalentes
Un certain nombre de pièces liées entre elle par des liaisons simples peuvent être utilisées
pour produire un effet équivalent à une liaison simple entre deux solides. Ainsi dans un
schéma cinématique, un élément ne correspond pas toujours à une pièce, mais quelquefois à
un groupe de pièces : un roulement par exemple est formé au minimum de plusieurs éléments
roulants et de deux bagues, mais ensemble tous ces éléments réalise une seule des trois
liaisons simples que sont les liaisons pivot, pivot glissant et rotule.
1.3. Couples cinématiques et schémas cinématiques
Un couple cinématique est un ensemble de deux éléments (ou pièces) mobiles en contact.
Parallèlement aux liaisons dites simples, on distingue les couples cylindriques, sphériques,
plans, annulaires,…
Une chaîne cinématique est un ensemble de pièces en contact l’une avec l’autre. Pour tout
système mécanique, le bâti est l’ensemble des pièces qui forment un système rigide et
immobile.
Chaînes élémentaires, chaînes composées : une chaîne cinématique est dite élémentaire
lorsque chacun de ses éléments ne forme que deux couples cinématiques au maximum avec
les autres éléments de la chaîne, ou composée s’il existe des éléments formant plus de deux
couples cinématiques avec d’autres éléments ?
Chaînes ouvertes et chaînes fermées : dans une chaîne cinématique fermée, chaque pièce
est liée au moins à deux autres pièces ; dans une chaîne cinématique ouverte un certain
nombre d’éléments possèdent moins de deux liaisons avec les pièces voisines.
On appelle nombre de cycles (ou nombre cyclomatique), le nombre de chaînes
cinématiques fermées nécessaires pour décrire un graphe
1.4. Schéma cinématique
Dans un mécanisme, il existe un ou plusieurs éléments dont le mouvement est donné : ce
sont les éléments d’entrée. Le mouvement de ces éléments implique des mouvements définis
de manière unique de tous les autres éléments. Un ou plusieurs éléments du mécanisme
produisent le mouvement requis : ce sont les éléments de sortie.
Dans l’étude du mouvement d’un mécanisme, on est amené à établir son schéma
cinématique. Celui-ci permet d’inventorier l’ensemble des éléments isolés et d’analyser les
liaisons existant entre ceux-ci, c’est-à-dire les classes d’équivalence des couples cinématiques
du mécanisme liées par la relation « est immobile par rapport à : » définie entre les pièces du
mécanisme pour l’action de l’élément d’entrée (appelé dans ce cas aussi élément de départ)
considérée.
5
1.5. Degré de liberté et de liaison d’un solide dans un mécanisme
C’est le nombre de mouvements simples (translations ou rotations) indépendants qu’il
peut effectuer librement dans l’espace. Il est de 6 (3 translations et trois rotations) pour un
élément totalement libre dans l’espace et de zéro pour un élément fixe (totalement contraint
dans l’espace).
1.6. Mobilité des systèmes mécaniques
1.6.1. Indice de mobilité
a) Formule de Maleushev
Soit n, le nombre total d’éléments d’un mécanisme. Soit p1, p2, …, p6 les nombres de
liaisons simples indépendantes que forment sur le schéma cinématique deux éléments
quelconques en supprimant respectivement 1, 2, …, 6 degrés de liberté. Sachant qu’un solide
complètement libre dans l’espace possède 6 degrés de liberté, on peut calculer l’indice de
mobilité du mécanisme à l’aide de la formule suivante :
W=6.n-6p6-5.p5-…-1.p1=6.n-(Σ i.pi)
or, dans un schéma cinématique un seul élément forme le groupe fixe c’est-à-dire que p6=1.
Cela permet de re-écrire cette formule sous la forme
W=6.n-6.1-5.p5…1.p1 =6.(n-1)-5.p5…p1 =
soit, k est le nombre de pièces mobiles
W=6.k-5.p5…p1
b) Formule de Tchébychev-Artobolevski: mouvements purement plans ou purement
sphériques
La restriction plane réduit l’ensemble des couples cinématiques par la suppression de 3
degrés de liberté. On peut utiliser la formule de Tchébychev suivante :
W=(6-3).k-(5-3).p5-(4-3).p4
soit : W=3.k-2.p5-1.p4
Cette même formule a été proposée par Artobolevski pour les mécanismes à couples
cinématiques exclusivement sphériques.
c) Formule de Dobrovolsky: quatre restrictions générales imposées au mécanisme
Certains mécanismes plans ne comportent que des couples de translation dont les axes de
mouvement sont parallèles à un plan commun quelconque. Les éléments d’un tel mécanisme
ne peuvent pas tourner autour d’un axe perpendiculaire au plan de leur mouvement, c’est-à-
dire qu’ils n’ont que deux degrés de liberté. Le mécanisme le plus élémentaire de ce type est
le mécanisme à coin (fig. b): on peut citer aussi le mécanisme à 3 vis (fig. b). On calcule
parfois l’indice de mobilité de ces systèmes à l’aide de la formule :
W=2.n+p5
6
1.6.2. Mobilité utile et mobilité interne (ou locale)
On définit par mobilité utile mu, le nombre de mouvements indépendants faisant intervenir
au moins un des paramètres d’entrée-sortie. Par contre, la mobilité interne mi ne modifie pas
les paramètres d’entrée-sortie du mécanisme
1.6.3. Degré de statisme d’un mécanisme
C’est le nombre de degrés de liberté nécessaire et suffisant pour garantir un montage et un
fonctionnement sans contrainte du mécanisme.
1.6.4. Définition du degré de mobilité d’un mécanisme
a) Liaisons surabondantes
En pratique, dans l’ensemble des liaisons, peut rentrer un certain nombre h de liaisons
« répétitives » dites surabondantes doublant d’autres liaisons sans diminuer l’indice de
mobilité du mécanisme: dans ce cas, on a:
m=(6.n-Σ i.pi)+ h= W+h
soit
m= W + h est le degré de mobilité (ou mobilité) du mécanisme
Discussion :
- pour h=0, le mécanisme est déterminé ou isostatique
- pour h>0, le mécanisme est hyperstatique (ou indéterminé). Généralement, l’équation
ci-dessus est difficile à résoudre parce qu’elle a plusieurs inconnues.
Remarques :
- Un couple cinématique est formé par deux éléments en contact. On sait qu’un arbre se
fixe sur deux paliers ; mais, pour augmenter la rigidité de l’arbre, il peut arriver qu’on
augmente le nombre de roulement dans l’un des paliers. Le roulement du second palier
fera du mécanisme un système hyperstatique : il impose une précision de coaxialité
élevée et une difficulté de fabrication, mais permet d’obtenir la rigidité et la résistance
nécessaires.
- Dans une chaîne cinématique Liaison surabondante, ces liaisons devraient être
éliminées en partie ou totalement si possible, car elles compliquent la construction et
amènent d’autres défaillances
b) Mobilité locale (indépendante ou superflue)
3
1
1
B
A
2
3
a) b)
A A
2
Figure 1.1.
7
Considérons la variante du quadrilatère articulé ci-dessous :
Calculons son indice de mobilité :
W= 6.3-2.5-3.2=2
Admettons que le fonctionnement prévu correspond à un seul mouvement d’entrée. Son
indice de mobilité m égale à 2. Elle est la somme
- d’une quantité mi appelée mobilité locale et correspondant à la rotation indépendante
possible de l’élément BC autour de son axe égale au degré de mobilité
- d’une quantité mu appelée mobilité utile correspondant au mouvement d’entrée imposé
de la manivelle. visiblement
W-mi =(6.n-Σ i.pi)-mi = mu
soit W = mi +mu
avec m =mi +mu
On a alors mi = mu =1
1.7. Exemple
Pour le mécanisme à quadrilatère articulé (Fig. 3a), on aura suite à l’imprécision de
fabrication, le non parallélisme des axes A et D. Il sera difficile d’assembler les pièces 1 et 2
sans déformer les systèmes de coordonnées. On impose comme indice degré de mobilité la
mobilité utile. La mobilité interne est égale à 0 :
m=mu=1
h=m-W=m-(6.k−Σ i.pi) =1-6.3+5.4=3
soit 3 liaisons surabondantes à supprimer.
A
B C
D
D
A
Figure 1.2. Mécanisme à quadrilatère articulé
8
On obtiendrait un système statiquement indépendant en remplaçant respectivement les
couples cylindrique B(R) et C(R) par un couple sphérique B(3R) et un pivot glissant C(2R)
(Fig. 3b); alors :
h=1-6.3+5.2+4.1+3.1=0
A remarquer que d’autres solutions peuvent être proposées avec d’autres liaisons simples.
1.8. Mobilité locale (indépendante ou superflue)
2. Analyse de la mobilité des mécanismes
2.1. Graphe des liaisons du mécanisme
3
1
1
Z
Y
X
a)
b)
A
B
C
D
A
B C
D
D
A
Figure 1.3.
B
A
2
3
a) b)
A A
2
Figure 1.4.
9
Définitions
a) Le Graphe des liaisons du mécanisme est un dessin sur lequel les sommets représentent
les éléments. Ces sommets sont reliés entre eux par des lignes (ou arcs) symbolisant les
liaisons entre les éléments
b) Notion de nombre de cycles
C’est le nombre de chaînes fermées indépendantes µ nécessaires pour décrire un graphe.
2.2. Approche cinématique
Soit NL et NP respectivement les nombres de liaisons et de sommet (éléments ou pièces) d’un
graphe de liaisons. On a :
µ=NL-NP+1
c) Nombre d’équations scalaires issues des équations de fermetures cinématiques
Chacune des chaînes fermées dont est constitué le graphe des liaisons permet d’écrire 6
équations scalaires issue des équations de fermeture cinématique ; par exemple, supposons la
chaîne composé de sommet notés 1, 2 …n et notons par vij la vitesse de l’élément de rang i
par rapport à celle de l’élément j, l’équation tensorielle correspondante est de la forme :
vin=vi1+v12+…+vn-1n
De ce qui précède, on a : Ec=6.µ
c) Nombre d’inconnues cinématiques issues des équations
Le nombre d’inconnues Ic est égal à la somme des degrés de liberté de chacune des NL
liaisons. 6
Ic=p5+2.p4+3P3+4P2+5p1 = Σ i.p6-i
i=1
où i est le nombre de sommet à pi degrés de liaison
c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme
C’est la différence entre le nombre d’inconnues et le nombre d’équations scalaires :
Wc=Ic-Ec
c) Définition du degré de mobilité m du mécanisme
C’est la différence entre le nombre d’inconnues Ic des équations et le rang rc du système
d’équations scalaire de fermeture des boucles: en pratique, c’est le nombre d’inconnues que
l’on doit passer au second membre des équations.
m=Ic-rc
d) Définition du degré de statisme du mécanisme
h=Ec-rc
C’est la quantité d’équations ne servant pas à la résolution, le plus souvent de la forme (0=0)
10
e) Relation entre les indicateurs de la mobilité
m=Ic-rc
=> m-h=Ic-Ec
h=Ec-rc
f) En résumé
On peut représenter le système d’équations scalaires sous la forme :
Ic (nombre d’inconnues cinématiques): colonnes
0
.
.
Ec .
(lignes) = .
0
2.3. Approche dynamique
a) Nombre d’équations scalaires issues des équations d’équilibre des éléments mobiles
Dans l’approche dynamique, on étudie l’équilibre de chacune des pièces du mécanisme,
chaque sommet du graphe des liaisons. Puisque le mouvement de toutes les pièces est
considéré relativement à une pièce fixe prise comme référentiel, Np-1 éléments sont à
considérer.
A chacun des éléments (ou pièce) du graphe des liaisons correspond 6 équations scalaires
décrivant son comportement sous l’influence des actions mécaniques qui lui sont appliquées ;
par exemple, en isolant un élément i supposons-le soumis aux charges venant d’un ensemble
d’élément j et dont la résultante constitue le torseur des actions mécanique transmissible Tij.
L’équation dynamique s’écrit :
Tij = 0
D’où le nombre d’équations scalaires :
Es=6.(NP-1)
b) Nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles issues des équations
Le nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles Is est égal à la somme des
nombres de paramètres d’actions mécaniques transmissibles sur chacune de NL liaisons.
6
Is=5.p5+4.p4+3p3+2p2+p1 = Σ i.pi
i=1
c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme
On a :
Ic-Ec=(6.NL-Ic)-6..(NL-Np+1)=6.(Np-1)-Is=Es-Is
Ic
m
(degré de mobilité)
h (degré de statisme)
rc
(rang)
11
Il s’en suit que l’indice de mobilité du mécanisme peut être définie comme la différence entre
le nombre d’inconnues et le nombre d’équations scalaires :
Ws=Es-Is
d) Isostatisme hyperstatisme
Un mécanisme est isostatique si en absence d’actions mécaniques extérieures, toutes,
toutes les inconnues d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons sont nulles
Un mécanisme est hyperstatique si en absence d’actions mécaniques extérieures, il existe
des inconnues d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons non (indéterminées).
Remarque : Notons que l’hyperstatisme peut être un choix : dans ce cas, la raideur du système
est plus grande mais son coût élevée.
e) Définition du degré de mobilité m du mécanisme
C’est le nombre d’équations ne servant pas à la détermination des actions mécaniques de
liaisons, de la forme 0=0 pour l’équation homogène associée. De la dualité entre les deux
approches –cinématique et dynamique, là où il n’existe aucune composante d’actions
mécanique, il y a une possibilité de mouvement.
m=Is-rs
f) Définition du degré de statisme du mécanisme
C’est le nombre d’inconnues qu’il faut passer au second membre du système d’équations.
h=Is-rs
g) Relation entre les indicateurs de la mobilité
m=Ic-rc
=> m-h=Ic-Ec
h=Ec-rc
h) En résumé
On peut représenter le système d’équations scalaires de l’approche dynamique sous la
forme :
Is (nombre d’inconnues d’action mécaniques transmissibles): colonnes
second
Es
(lignes) = .
membre
Is
h
(degré de statisme)
m degré de mobilité
rs
(rang)
12
3. Conclusion
Approche cinématique Approche dynamique
Nbre de pièces d’un mécanisme Np
Nbre de liaisons d’un mécanisme NL
Nbre de cycles µ=NL-NP+1
Nbre d’équations Ec=6.µ Es=6(NP-1)
Nbre d’inconnues Ic Is
Indice de mobilité (W) Ic-Ec Es-Is
Degré de mobilité m=Ic-rc m= Es-rs
Degré de statisme h = Ec-rc h = Is- rs
Approche globale Ic-Ec = m-h Es-Is = m-h
II. ETUDE GENERALE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE
1. La bielle
On considère deux pièces mobiles guidées 1 et 2. Pour assurer leur interdépendance, on
réalise au point A de 1 et B de 2 des liaisons articulées avec une barre rigide 3. On donnera à
la barre rigide le nom de bielle. Exemple :
2
1
B
3
Fig. 2.1 a) Système bielle manivelle courant ; b) Système avec
pièces guidées en translation ; c) Quadrilatère articulé
a)
b)
2
1
3
2
1
ω
3
ω
O
A
B
c)
A
A
B
13
2. La manivelle
C’est une barre rigide guidée en rotation autour d’un axe passant par l’une de ses
extrémités et munie à la seconde extrémité d’une articulation, le plus souvent cylindrique,
parfois sphérique. Les pièces 1 des figures a) et c) sont des manivelles.
3. La coulisse
On se propose de commander en translation une tige T par le levier L dont le point
d’appui est A et qui est articulé en B sur T. B ayant un mouvement de rotation par rapport à
A, décrit dans son mouvement un arc de cercle. Le problème peut être résolu par l’emploi des
biellettes permettant le déplacement du point A ou du point B (Fig. 2 b, c).
Une autre solution consiste en l’utilisation d’une coulisse permettant le glissement du point A
sur le point A’ ou de B sur B’. Un tel mécanisme porte le nom de levier à coulisse (Fig. 3).
A
B
B’
A’
Fig.2.2 : Définition de la coulisse : Levier à coulisse
L
a)
A
ω
B
d)
T
L
b)
A
B T
B’
L
c)
B
A
14
Autres applications :
La manivelle à coulisse (Fig. 2.3a) permet d’obtenir un mouvement sinusoïdal exact. Elle est
voisine de l’excentrique (Fig.2.3 b).
Le balancier à coulisse permet de transformer un mouvement circulaire continu en
mouvement rectiligne alternatif. Ce type de mouvement est observé chez les étaux-limeurs,
les mortaiseuses, les raboteuses, etc., avec un retour rapide de l’élément de sortie. Le
balancier est un levier articulé en C et attaqué par le bouton d’une manivelle se déplaçant dans
une coulisse. Le rapport aller retour est environ de 2/3.
A
2
B
2
Fig.2.3 a) manivelle à coulisse ; b) excentrique à cadre ;
c, d) balancier (ou bielles) à coulisse
a)
1
C
c)
1
ω
A
3
a)
1
A
3
D
B
d)
ω
A
D
A C
15
Exercice : Vérifier que la valeur de l’indice de mobilité de chacun des mécanismes décrits ci-
dessus correspond à la valeur indiquée.
III. SYTEME BIELLE MANIVELLE COURANT [3]
1. Fonction
Transmettre la puissance entre un organe moteur et un organe récepteur avec
transformation du mouvement circulaire continu du premier en mouvement rectiligne
alternatif du second. La transformation inverse est possible dans certains cas.
3. Emploi
Pompes et compresseurs, presses hydrauliques et mécaniques, etc.
4. Composition
Manivelle, bielle, coulisseau, glissière. Dans certains mécanismes courant le couple
coulisseau-glissière est réalisé par un vérin hydraulique; cependant l'ensemble piston-cylindre
peut être insuffisant soit parce que moins rigide, soit parce que n'aboutissant pas à la précision
voulue; on adjoint alors une liaison glissière supplémentaire.
5. Etude cinématique
Courbe des espaces du pied de la bielle
Notons par O l'axe de rotation du pied de la manivelle OB animé dans le plan vertical
d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire ω; repérons les positions A0 ,
A1i A2,..., Ai du pied de bielle, correspondant aux positions B0, B1, B2,...,Bi de la tête de
bielle aux instants t0 , t1…ti, La manivelle et la bielle font avec l'horizontal les angles
respectifs α i et βi.
a) La courbe des espaces (courbe des déplacements) est la représentation graphique
des déplacements OAi du pied de bielle A en fonction du temps (ou de la position
angulaire de la manivelle ); on admet ici que la vitesse angulaire de la manivelle est
constante: α = ω . t.
Expression de la courbe des espaces du pied de bielle:
En projetant sur les axes Ox et Oy: avec R=OB, on a:
A0A1 = B0B1 = 2 . R
O
ω
B
B0
L
αi
R
Ai
B1
O
y
βi
Figure 3.1.: schéma du système bielle-
manivelle courant
16
R . cos αi + L cos βi = AiO
R . sin αi - L sin βi = 0
=> A0Ai = ( R + L ) - [ R cos αi + L . ( 1 - R2
/ L2
sin2
αi)1/2
]
Posons L / R = λ:
A0Ai = R . ( 1 - cos αi ) + L - ( L2
- R2
. sin2
αi)1/2
A0Ai = R . ( 1 - cos αi ) + L [ 1 - ( 1 - sin2
αi / λ2
)1/2
;
Habituellement λ ≅ 4, valeur apparemment très petit; ce qui permet d'écrire:
( 1 - sin2
αi / λ2
)1/2
≅ 1 – 1/2 sin2
αi / λ2
;
alors: A0Ai ≅ R . [ 1 - cos αi + sin2
αi / ( 2 . λ) ]
A0Ai ≅
≅
≅
≅ R . (1 - cos α
α
α
αi ) + [ 1 / ( 4 . λ
λ
λ
λ ) ] . [ 1 - cos (2 . α
α
α
αi) ]
]
]
]
b) Courbe des vitesses et des accélérations
- Vitesse:
vA = d A0Ai / dt = ω . R . [ sin αi + sin 2αi / (2 . λ )]
- Accélération: γA = d vA / dt = ω2
. R . ( cos αi + cos 2αi / λ )
c) Recherche du CIR de la bielle I est le point d'intersection des normales ou trajectoires:
O
ω
B
B0
L
R
vA B1
O
y
βi
vB
I
H
Figure 3.2: Recherche du CIR
du mouvement de la bielle
x
17
d) vA = ω* . IA, vB = ω* . IB = ω . R => vA / vB = IA / IB = OH / OB
=> vA = vB . OH / OB = ω
ω
ω
ω . R . OH / R = ω
ω
ω
ω . OH
- Propriétés
• La course du coulisseau est égale au double du rayon de la manivelle
• La courbe des espaces est symétrique
• La courbe n'est pas une sinusoïde; mais elle a l'allure sinusoïdale; elle se
rapproche d'autant plus de la sinusoïde que l'inclinaison de la bielle est plus
faible
• v = 0 en fin de cours ( aux points morts )
• la courbe de vitesse a un point de symétrie
• Le mouvement est accéléré à l'aller puis retardé au retour ( ou le contraire ).
5. Etude des forces
β
F1
F1'
Figure 3.3: Isolement de la bielle
β
F1
F1'
Figure 3.3: poussée de la manivelle
R
H
F3
O
K
F4
Figure 3.4: Influence de l'inertie
B
O
G
γ
γ
γ
γN
Fic
I γ
γ
γ
γT
FiT
A
A
B
A
B
18
- Supposons les frottements nuls: la bielle se voit soumise à la compression ou à
l'extension par 2 forces ayant pour support la ligne d'axe l'axe AB et appliquée à ses
extrémités ; On observe 2 points morts ( points B0 et B1 où OK = OH = 0 ).
En marche, l'arc-boutement est vaincu à l'aide de l'inertie des masses en mouvement.
- Influence des frottements: les frottements augmentent la difficulté de démarrage et
de passage aux points morts; un volant d'inertie faciliterait le mouvement.
- Influence de l'inertie: elle a lieu aux grandes vitesses: .
- Conséquences:
• Nécessité d'équilibrage statique
Σmasse_gauche . ω
2
. r_gauche = Σmasse_droite . ω
2
. r_droite
• Nécessité d'équilibrage dynamique
ΣM(F) =0 pendant le mouvement.
• Section de la manivelle en H ou tubulure pour les grandes vitesses, carré pour
les petites vitesses
.
6. Construction des systèmes bielles manivelles courants
6.1. Bielle
- Les problèmes de construction de la tête de bielle et du pied de bielle sont les mêmes
que pour les paliers.
- La bielle peut être en acier moulé, forgé, en fonte malléable.
- 3 sections sont utilisées: constante, galbée et croissante du pied vers la tête ( schéma ).
- L'articulation de la bielle avec la manivelle peut être en porte-à-faux ou à chape.
- La bielle doit être résistante, légère et rigide.
6.2. Manivelle
- Elle est soumise à la compression et à l'extension alternée, et à la flexion - phénomène
de fatigue -; en porte-à-faux, elle subit une contrainte de torsion; pour réduire les effets
de la force d'inertie (flexion, vibrations, etc.), on a intérêt à l'équilibrer.
- L'assemblage avec la bielle relève des problèmes habituels de guidage.
- La forme se rapproche à celle d'égale résistance à la flexion. Ainsi elle est décroissante
du moyeu vers la tête, soit la variation de la largeur seule, soit celle simultanée de la
largeur et de l'épaisseur; la face située du coté de la bielle est plane.
Elle peut avoir la forme coudée rendue agréable si la poignée est tournante, du
vilebrequin, d’un plateau manivelle, de manivelle à rayon variable par rainure, d’un
volant muni de poignée souvent amovible.
- Pour ramener le centre de gravité sur l'axe de rotation, on prévoit quelquefois une
masse opposée au maneton, calculée de façon à équilibrer une partie de la masse de la
bielle.
6.3. Vilebrequin
- Avantages
• suppression du porte-à-faux
• meilleur guidage de l'arbre ( 2 paliers )
• possibilité de recevoir plusieurs coudes
• possibilité d'un bon équilibrage; on réalise des trous à des endroits
convenablement choisis
• réduction des contraintes de flexion, l'effort étant supporté par plusieurs bras.
- Inconvénients
Difficulté de montage: la tête de bielle doit être obligatoirement de type ouvert ou du
type palier.
- Matériau
19
Fonte à graphite sphéroïdal, fonte au nickel, fonte malléable, acier alliés, acier moulé,
etc.
- Graissage
Le graissage est réalisé grâce aux canalisations forées à travers le vilebrequin.
6.4. Piston
- Problèmes de construction
• résistance
• étanchéité
• guidage en translation
• Problèmes thermiques ( formes coniques pour les pistons à simple effet )
• Réduction des forces d'inertie
- Matériau
Fonte, acier forgé
6.5. Coulisseau et glissière
- Forme: plane, cylindrique, en T, à queue d'aronde, etc.
- Matériau: (voir : matériaux des surfaces de glissement): fonte, PTFE, bronze, etc. Pour
les coulisseaux, acier pour les glissières; les surfaces de glissement sont le plus
souvent rapportées; prévoir le dispositif de réglage des jeux rapportées.
7. Etude des liaisons
7.1. Assemblage bras-maneton :
Conditions nécessaires: position relative: précision requise dans la distance des axes,
maintien de contact: emmanchement forcé et rivetage, emmanchement cylindrique,
conique serré par écrou ou par clavette; un maneton vissé avec centrage peut être
envisagé.
7.2. Assemblage poignée tournante-manivelle
Positionnement angulaire nécessaire assuré correctement par clavetage ( rainure du
côté du bras de la manivelle ); dans, certains cas, un réglage de la position angulaire
est prévu.
- Possibilité de démontage: difficile à concilier avec une grande rigidité: exemple:
clavette forcé ou clavette vélo.
7.3. Assemblage bielle-manivelle ( voir chapitres " Guidage en rotation et Articulation ")
L'articulation est un œil de la barre, pour diminuer le frottement et localiser l'usure, on
ajoutera une bague en bronze et un trou graisseur.
Coussinet seul en 1 ou 2 parties, tête en 1 ou 2 parties pour faciliter l'assemblage.
Centrage par boulon des têtes en 2 parties.
IV. EQUILIBRAGE DES MACHINES ET DES MECANISMES
SUR LA FONDATION [1]
1. Position du problème
Le fonctionnement des mécanismes est caractérisé par le mouvement de ses éléments. Ce
mouvement se traduit en général par l’apparition des charges dynamiques supplémentaires
dans les couples cinématiques par suite des forces d’inertie. Le bâti étant l’élément fixe,
porteur, subit ces charges et les transmet à la fondation. Les charges supplémentaires sont à
l’origine des forces de frottement supplémentaires dans les couples cinématiques, des
vibrations, des éléments de la fondation, des contraintes supplémentaires dans certains
éléments du mécanisme.
20
C’est pourquoi lorsqu’on conçoit les mécanismes et lorsqu’on décide d’améliorer un
mécanisme existant, on mène des actions visant à supprimer totalement ou partiellement les
charges dynamiques nées au cours du fonctionnement. Le calcul des charges dynamiques sont
faits de préférence à l’aide des méthodes cinétostatiques. L’équilibrage des forces d’inertie
pose deux problème indépendants : celui de l’équilibrage des charges dynamiques sur la
fondation et celui de l’équilibrage des charges dynamiques dans les couples cinématiques.
Rappelons que tout système de forces agissant sur un solide peut être réduit à un vecteur
principal du système de force et à un moment principal.
2. Classification des cas de déséquilibre des systèmes mécaniques
Soit Fii, Mi, Fii, respectivement la résultante des forces et de moment des forces
extérieurs ; Fi et MFi , la résultante des forces d’inertie et de moment des forces d’inertie
sollicitant l’élément i appartenant à un système mécanique donné. Admettons que l’élément
menant A effectue un mouvement de rotation de vitesse ϖ constante autour d’un axe passant
par un point A. Réduisons tout le système des forces d’inertie et des moments des forces
d’inertie au point A et écrivons :
ΦS=ΣΦi, MΦΣ=ΣMΦi+ΣMA(Φi)
Le bâti étant l’élément numéro 0, on a :
F0Φ= ΦS
M0Φ= ΜΦS
Lorsque ΦS ≠0, c’est-à-dire F0Φ≠0, le mécanisme est dit statiquement déséquilibré.
Si au contraire, MΦΣ ≠0 , mais ΦS =0, il s’agit du déséquilibre des moments. Les
dispositions prises pou atteindre ΦS =0 portent le nom d’équilibrage statique. Ainsi, un
mécanisme équilibré statiquement n’a aucun effet dynamique sur sa fondation.
D’autre part, la force d’inertie est le produit de la masse par l’accélération :
Φ=m.a
Elle est nul si l’accélération est nulle, dont pour un système statiquement équilibré, le centre
des masses des éléments mobiles devient fixe.
3. Equilibrage des rotors
Y
Z
X
XS
YS
XB
YB
XA
YA
S
O
Figure 4.1: Vecteur balourd d’un solide en rotation autour d’un
21
On sait que la pression des corps en rotation sur leur appuis est la somme de deux
composantes : statique due à l’action des forces agissantes et dynamique due au mouvement
accéléré des particules dont se compose le corps en rotation (c’est-à-dire le rotor).
Lorsque la composante dynamique est différente de zéro, le rotor est dit non équilibré. Pour
une rotation uniforme autour de son axe OZ, la projection de la composante dynamique se
détermine de la manière suivante :
XA+XB=FX, YA+YB=FY
-XA.a+XB.b=MFy, YA.a-YB.b=MFx
On a: Fx=ω2
.m.(XS
2
+YS
2
)1/2
=ω2
.mYs, MFx=-ω2
.Jyz; MFy=-ω2
.Jxzs ,
Où est los est le rayon vecteur du centre des masses occasionnant sa position excentrée et étant
la masse excentrée du rotor.
La quantité Dst=m.est porte le nom de vecteur résultant des balourds du rotor.
Evidemment, F=ω2
.Dst.
On a :
MΦ=ω2
.(Jyz
2
+Jxz
2
)1/2
=ω2
. MD
4. Classification de cas de déséquilibre des rotors.
4.1. Le déséquilibre statique
Le déséquilibre statique caractérise le rotor dont le centre des masses est écarté du centre
de rotation, mais dont l’axe d’inertie principal est parallèle à l’axe de rotation. Dans ces
conditions est=0 ; Jxz=Jyz=0. Par conséquent, le déséquilibre statique s’exprime parle vecteur
Dst des balourds dirigé radialement tournant ensemble avec le rotor. Eliminer le déséquilibre
statique serait possible si l’on fixait sur le rotor une masse corrective telle que :
Dc=m.ec=-Dst
L’équilibrage statique n’est pas parfois réalisable possible au moyen d’une masse ; par
exemple, le vilebrequin est équilibré par 2 masses situées dans deux plans. En général, le
FB
M
Z
I
I
ω
S
A
B
FB
O
Dst
N
Figure 4.2: Balourd du déséquilibre statique d’un vilebrequin à un coude
22
nombre de masses et de positions sont choisis en fonction de la construction et l’utilisation du
rotor.
4.2. Le déséquilibre des moments
Le déséquilibre des moments a lieu lorsque le centre des masses se trouve sur l’axe de
rotation et le moment d’inertie et le moment d’inertie incliné sur l’axe de rotation du rotor
d’un angle g (fig. b). Dans ce cas est=0 ; Jxz≠Jyz≠0. Dans ce cas, il s’exprime par un couple
de balourds DM1 et DM2.
4.3. Le déséquilibre dynamique
Le déséquilibre dynamique est la présence simultanée du déséquilibre statique et du
déséquilibre des moments. Par conséquent, il s’exprime par les deux vecteurs D1 et D2 situés
dans des plans de correction perpendiculaires à l’axe de rotation.
FB
FB
’
FA
’
S
h
I
I
FB
DM1
DM2
N
Z
A
S
A
B
FA
O
ω
M
Figure 4.3: Balourd du déséquilibre des moments d’un vilebrequin à un coude
I
I
FB
’
DM1
DM2
N
Z
A A
B
FA
’’
ω
Figure 4.4: Balourd du déséquilibre dynamique d’un vilebrequin à
deux coude à disque excentré
Dst
FA
23
Conclusion :
Le terme déséquilibre statique ne signifie pas que le déséquilibre en question concerne
l’état statique de la machine ou du mécanisme à équilibrer. A l’époque actuelle, il existe des
machines de haute précision qui permettent de déterminer le déséquilibre statique en régime
dynamique.
Eliminer les déséquilibres statique et dynamique d’un rotor revient à faire coïncider son
axe de rotation avec l’axe d’inertie principal.
V. METHODES GRAPHIQUES D’INTEGRATION ET DE
DIFFERENTIATION DES COURBES [2]
1. Différentiation graphique
1.1. Position du problème
Soit Cζ la courbe décrite par une fonction ζ(t). Il s’agit d’obtenir graphiquement la courbe Cv
donnée par la dérivée de ζ(t) dans un système d’axes de coordonnées (Ox, Oy) :
v(t)=dζ(t)/dt
1.2. Définition de l’échelle d’une courbe représentée graphiquement
En notant par yζ la valeur de ζ(t) mesurée sur le dessin, définissons l’échelle µζ par la
formue :
ζ(t).µz=yζ
soit
µζ=yζ(t)/ζ(t)
1.3. Unité de l’échelle :
[µζ]=[yζ(t)]/[ζ(t)]=[yζ]/[ζ]
1.4. Méthode des cordes
Adoptons les notations suivantes :
Yζ, yv, xt, - valeurs respectives des fonctions ζ,, v et t mesurées sur le dessin ;
Mζ, µv et µt les échelles correspondantes.
On peut écrire :
v=dζ/dt=d(yζ/µζ) / d(xt/µt)=(µt/µζ).dyζ/dxt=µt/dxt=(µt/µζ).tgΨ
RESUME
1 : Fin=m.ω2
. (x+y2
)1/2
=> est=(x+y2
)1/2
, Dst=m.est => équilibrage statique
(1)+(2) :=>équilibrage dynamique
2 : Min=m.ω2
. (Jxz
2
+Jyz
2
)1/2
=> DM= m. (Jxz
2
+Jyz
2
)1/2
=> équilibrage des moments
24
Posons v≈∆v/∆t. En divisant l’axe des abscisses xt en intervalles égaux ∆x, choisissons un
point K convenable sur l’axe xt. Joignons chaque point d’abscisse xi au point d’abscisse xi+1 et
mesurons l’angleΨi que fait chaque segment obtenu avec l’axe xt, il vient :
∆ζi/∆xi=tgΨi
Ψi
xi
xi
i’
i’’
1
8
5
3
0 4 6 7
2
1
K Xt
0 2 3 4 5 6 7
Xt
yζ
yv
Figure 5.1: Différenciation graphique des courbes
Ψ1
Ψ2
2
Ψ2
Ψ1
1
i’
Ψi
25
Enfin : v=(µζ/µxt).tg Ψ
Retrouvons les points i’’ tels que l’angle <OK, Ki’’> de l’axe des ordonnées soit égaux à
Ψ i , vi est donnée par le point de coordonnées (xi, i’’). En joignant les points vi, on obtient la
courbe cherchée.
vi=(µt/µζ)..∆ζi/∆xt=(µt/µζ).tgΨi
On obtient une précision acceptable en pratique en appliquant cette méthode aux courbes
des espaces, des vitesses et des accélérations. Cette précision est considérable avec l’aide de
l’outil informatique.
1.5. Echelle des courbes obtenues
On a:
vi=(µt/µζ).tgΨi=(µt/µζ).(K/K). tgΨi=[µt/(µζ .K)].K.tgΨi
=[µt/(µζ .K)].yvi = yvi /[µt/(µζ.K)]
=> µv=µτ/(µζ.K)
De la même façon,
ζi=∫vi.dt=∫ (yvi /µv). dxt /µt=∫ (yvi. dxt /µv) /µt
=∫ (yvi. dxt) /(µv.µt)
= yζ /(µv.µt)
soit: µζ=µv.µt
2. Intégration graphique
Il suffit de faire l’opération inverse de la précédente en commençant par le choix d’un
segment OK sur l’axe des abscisses de la courbe donnée en reportant les angles obtenus dans
l’espace graphique attaché au repère choisi pour la courbe intégrée.
VI. METHODE ANALYTIQUE DE CALCUL DES FONCTIONS DE
TRANSMISSION DES MECANISMES PLANS, APPLICATION AU
SYSTEME BIELLE MANIVELLE COURANT
Les méthodes graphiques sont évidentes et universelles, mais elles ne permettent pas
toujours d’obtenir le degré de précision nécessaire dans certains problèmes concret d’analyse
des mécanismes.
Le rôle des méthodes analytiques d’analyse des mécanismes a une importance particulière
parce que disposant des relations analytiques entre les principaux paramètres cinématiques et
structuraux du mécanisme, on peut établir un programme de calcul sur ordinateur et obtenir
les résultats voulus.
Illustrons la marche à suivre dans la méthode des contours vectoriels l’analyse du système
bielle manivelle et du mécanisme à quadrilatère articulé et du mécanisme à coulisse.
26
1. Exemple N°1 : Système bielle manivelle
Considérons le système bielle manivelle (Fig. ) composé d’une bielle, d’une bielle et d’un
guidage en translation dont le plan du déplacement du coulisseau fait une distance a avec
l’axe de rotation de la manivelle.
1) On divise le contour fermé du mécanisme en figures géométriques, de préférence en
triangles dont les côtés sont parallèlement formés par ses éléments.
=> les triangles OAC et ABC dont les côtés l2, l3 et a sont connus.
2) On écrit pour les contours les équations vectorielles :
=> Contour 1 : triangle <OAC> :
a-xc+u=0
=> Contour 2 : triangle <ABC> :
l2+l3+u=0
Ces 2 équations peuvent en former une :
a + l2+l3= xc
3) Projeter les vecteurs des équations sur les axes de coordonnées
=>Par rapport à OX et OY:
l24
l2
l3
C
ϕ2
A
2
1
4
3
xc
X
a
B
ϕ3
Figure: Mécanisme bielle manivelle à axe de rotation de la manivelle
éloigné du plan de déplacement du coulisseau
27
l2.cosϕ2+ l3.cosϕ3 = xc (*)
a+ l2.sinϕ2+ l3.sinϕ3=0 (**)
4) Résoudre les équations obtenues
=> sinϕ3=-(l2.sinϕ2 +a)/(- l3)
(notons que l3 et ϕ3 sont toujours positifs
- de l’équation (*), il vient :
xc= l2.cosϕ2+ l3..[ 1-(l2.sinϕ2 +a)/ l3)2
]1/2
- l’espace parcouru est donc :
x=OC0-xc =[(l2+ l3)2
-a2
)]1/2
- l2.cosϕ2- l3..[ 1-( l2.sinϕ2 +a)/ l3)2
]1/2
5) Rechercher les vitesses et les accélérations en dérivant les équations vectorielles des
contours fermés projetés sur les axes.
=> pour déduire les équations des vitesses angulaires et des accélérations angulaires,
procédons par une double dérivation des équations du système ci-dessus :
-l2.sinϕ2. dϕ2/dt- l3.sinϕ3 dϕ3/dt= dxc/dt
-l2.cosϕ2. dϕ2/dt+ l3.cosϕ3 dϕ3/dt= 0,
D’où -l2.sinϕ2- i32.sinϕ3 dϕ3= vcϕ
-l2.cosϕ2+ i32 l3..cosϕ3 = 0
(***)
Où i32= (dϕ3/dt)/(dϕ2/dt) = et vcϕ = dxc/ dϕ2
D’autre par : i32=ω3/ω2 = -l2.cosϕ2/ l3..cosϕ3 et vcϕ = l2.sin(ϕ3- ϕ2)/cosϕ3
On trouve l’accélération en dérivant une 2ème fois les équations (**) :
-l2.cosϕ2 - i32
2
l3..cosϕ3 – i32’. l3.. sinϕ3= acϕ
-l2.sinϕ2 - i32
2
l3..sinϕ3 – i32’. l3.. cosϕ3= 0
Où i32’= d i32/dϕ2 et acϕ = dvc/ dϕ2
si a=0, xc= l2.cosϕ2+ l3..[ 1-( l2
2
/l3)2
).sin2
ϕ2]1/2
x= l2+ l3-l2.cosϕ2-l3..[ 1-( l2
2
/l3)2
).sin2
ϕ2]1/2
En pratique, on pose parfois λ=l2/l3 et l’on développe en série le radical de l’équation :
[ 1-( l2
2
/l3)2
).sin2
ϕ2]1/2
=(1- λ 2
.sin2
ϕ2)1/2
=1-(1/2).λ 2
.sin2
ϕ2- (1/8).λ 4
.sin4
ϕ2-…
Bornons-nous aux deux premiers termes et tenons compte du fait que sin2
ϕ2= (1/2). (1-
cos2ϕ2)
x= l2.[1+ λ /4)-(cosϕ2+( λ /4). cos2ϕ2)]
d’où vcϕ= l2.[sinϕ2+( λ /2). sin2ϕ2]
acϕ= l2. (cosϕ2+ λ . cos2ϕ2)
28
2. Exemple N°2 : Mécanisme à quadrilatère articulé
2.1. Etude analytique
- 2 contours vectoriels ABD et BCD
- Equations vectorielles :
Contour ABD : l2+s-l1=0 ; l3-l4-s=0
Contour BCD : l3-l4-s =0 ; l3-l4-s=0
- Projection des équations sur les axes Ax et Ay:
l2.cosϕ2+s.cosϕs-l1=0
l2.sinϕ2+s.sinϕs=0
=> tgϕs=(-l2.sinϕ2)/(-l2.cosϕ2+ l1); s= (l1
2
+ l2
2
-2.l1.l2.cosϕ2)1/2
ϕ4s
ϕ3
D
y
C
ϕ3s
ϕ4
3
A
2
4
1
x
B
ϕ2
b)
Figure:5.1 a) Mécanisme à quadrilatère articulé ; b) Formation des contours
vectoriels
C
l3
ϕ3
l4
ϕ4
3
l2
l1
D
A
2
4
1
x
B
ϕ2
a)
29
Du triangle BCD,on a:
l3
2
=l4
2
+s2
+2.l4.s.cosϕ4s (*)
l4
2
=l3
2
+s2
-2.l3.s.cosϕ3s (**)
(*) et (**) => ϕ4s=Arc cos(l2
2
-l4
2
-s2
)/(2.l4.s)
ϕ2s=Arc cos(l3
2
-l4
2
+s2
)/(2.l3.s)
=> ϕ4s =ϕ4-ϕs , ϕ3s =ϕ3-ϕs
Soit
ϕ4=(l3
2
+l4
2
-l2
2
+2.l1.l2.cosϕ2)/[2.l4.(l1
2
+l2
2-
+s2
-2.l1.l2.cosϕ2)]1/2
+artg(-l2.sinϕ2)/[-l2.cosϕ2+l1]
2.2. Recherche des vitesses
- Equations vectorielles:
l1+l2+ l3=l4
- Projection sur les axes :
-l1+ l2. cosϕ2+ l3.cosϕ3 = l4.cosϕ4
l2. sinϕ2+ l3.sinϕ3 = l4.sinϕ4
=>
-l2. sinϕ2- l3.sinϕ3.dϕ3/dϕ2= -l4. sinϕ4 dϕ4/dϕ3
l2. cosϕ2+l3.cosϕ3.dϕ3/dϕ2=l4.cosϕ4 dϕ4/dϕ3
=> l2. sinϕ2- i32.l3.sinϕ3= i42.l4. sinϕ4
l2. cosϕ2+ i32.l3.cosϕ3= i42.l4.cosϕ4
soit en retranchant dans (***) l’angle commun ϕ3
=> l2. sin(ϕ2-ϕ3)=i42.l4. sin(ϕ4-ϕ3)
Soit
i42=l2. sin(ϕ2-ϕ3)/[l4. sin(ϕ4-ϕ3)]
De la même façon,on obtient :
I32= -l2. sin(ϕ2-ϕ4)/[l4. sin(ϕ3-ϕ4)]
2.3. Recherche des accélérations angulaires ε4 et ε3
Dérivons (***) par ϕ2 :
l2. cosϕ2+ i32
2
.l3.cosϕ3+ i32. l3. sinϕ3= i42
2
.l4.cosϕ4+i42.l4. sinϕ4
-l2.sinϕ2- i32
2
.l3.sinϕ3+ i32’. l3.cosϕ3= i42
2
.l4.sinϕ4+i42’.l4. sinϕ4
Où i32 et i42 , respectivement i32’ et i42’ sont les dérivées premières et secondes des
déplacements angulaires des éléments 3 et 4 en fonction de ϕ2 .
De la même façon que dans le paragraphe précédent, on obtient sans difficulté les relations :
i42’= l2. cos(ϕ2-ϕ3)+ i32
2
.l3+ i42
2
.l4.cos(ϕ4-ϕ3)/ [l4. sin(ϕ4-ϕ3)]
i32’= l2. cos(ϕ2-ϕ4)+ i42
2
.l4+ i32
2
.l4.cos(ϕ3-ϕ4)/ [l2. sin(ϕ3-ϕ4)]
Remarque: ω3=ω2.i32: ω4=ω2.i42; ε3=ω2.i32’+ε2.i32; ε4=ω2.i42’+ε2.i42;
3. Exemple N°3 : Mécanisme à coulisse
30
O
O
B
y
A
2
a)
D
ϕ2
A
2
D
ϕ2
ϕ2
c)
d)
B
31
VI. SYNTHESE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE [4]
1. problème
Après l’établissement et l’analyse du schéma cinématique, l’étape suivante du projet est la
synthèse. On détermine les paramètres des éléments : pour ce faire, on fixe les certaines
conditions d’exploitation : il peut s’agir de donner des valeurs décrivant l’état du système
mécanique pour des positions (vitesses ou accélérations) linéaires x1i ou angulaires ϕ1i
choisies des organes d’entrée et de sortie aux instants ti. On peut aussi donner
- le coefficient de variation de la vitesse moyenne de l’élément de sortie s=ta/tr, où ta et
tr sont les durées respectives des déplacements de l’élément de sortie à l’allée et au
retour ;
- le rapport l1/l2 des longueurs de deux éléments ;
- l’angle de pression de travail, etc.
Les paramètres à calculer peuvent être les longueurs des éléments ou les angles définissant
les directions fixes imposées entre les éléments du mécanisme. Cette relation porte le nom de
l’« équation des espaces parcourus ».Ensuite, on recherche une relation liant ces paramètres
aux coordonnées d’entrée et de sortie. Enfin, on forme le système d’équation dont les
inconnues sont ces paramètres en substituant dans l’équation des espaces parcourus les
données sur les conditions d’exploitation.
2. Exemple
Considérons le quadrilatère articulé plan ci-dessous de côtés a, b, c et d. Admettons que d soit
et porte l’axe des abscisses Ax . A l’instant ti, a, b et c forment avec Ax les angles respectifs
ai, bi et ci fixe ;
D
D
e) f
32
Posons lb=b/a, lc=c/a et ld=d/a
On a : a+b+c=0
la.cosαi+b.cosδi=c.cosϕi+d λb.cosδi = λd + λc.cosϕi-b.cosαi
=> =>
lb.sinαi+b.sinδi=c.sinϕi+d λb.sinδi = λc.sinϕi- sinαi
En élevant au carré, on obtient :
cosαi = λc.cosϕi-(λc/λd). cos(ϕi-αi) + (λd
2
+ λc
2
+1-λb
2
)/(2.λd)
En notant p0=λc, p1=-λc/λd, p2=(λd
2
+ λc
2
+1-λb
2
)/(2.λd)
on obtient l’équation des espaces parcourus :
cosαi = p0.cosϕi- p1. cos(ϕi-αi) + p2
En substituant dans cette équation les angles α1, α2, α3 et ϕ1, ϕ2, ϕ3 correspondant à 3
positions de la manivelle, on obtient le système d’équation suivante à partir duquel on peut
calculer aisément les paramètres λb, λc et λd.
cosα1 = p0.cosϕ1 p1. cos(ϕ1-α1) + p2
cosα2 = p0.cosϕ2- p1. cos(ϕ2-α2) + p2
cosα3= p0.cosϕ3- p1. cos(ϕ3-α3) + p2
Ensuite, ayant choisi une valeur convenable de a, on calcule les grandeurs b, c et et on peut
réaliser l’analyse cinématique en déterminant les déplacements, les vitesses et le accélérations
de touts les points du mécanisme.
δi
4
αi
C
b
c
ϕi
y
3
a
l1
D
A
1
x
B
a)
Figure 6.1: Détermination des paramètres du quadrilatère articulé
33
VII. ETUDE GRAPHO-ANALYTIQUE
1. Epure de vitesses et des accélérations
1.1. Définition
Les représentations graphiques des vecteurs vitesses et accélérations des éléments du
mécanisme à une échelle donnée sont dénommées respectivement épure des vitesses et épure
des accélérations.
1.2. Construction de l’épure des vitesses
A partir d’un point p, représentons les vecteurs vitesses du mécanisme à l’échelle donnée.
Le vecteur pa représente la vitesse du point A, pb la vitesse du point B et ab la vitesse de B
par rapport à A, etc.
1.3. Construction de l’épure des accélérations
A partir d’un point π, représentons les vecteurs accélérations du mécanisme à l’échelle
donnée. Le vecteur π
π
π
πa’ représente la vitesse du point A, π
π
π
πb’ la vitesse du point B et a’b’ la
vitesse de B par rapport à A, etc.
aA=µ
µ
µ
µa.pa’, aB=µ
µ
µ
µa.pa’, aB=µ
µ
µ
µa.pa’
1.4. Formules de construction
- des vitesses : vA=vB+vAB (vAO=vOA+vAB)
où vA est perpendiculaire à OA et vAB perpendiculaire à AB, etc.
- des accélérations :
aA=aB+aAB= aB+aAB
n
+ aAB
τ
τ
τ
τ
, aB = +aB
n
+ aB
τ
τ
τ
τ
ou
aA=aB+ aAB
cor
+aAB
rel
avec aAB
cor
=2.ω
ω
ω
ωx vAB
où aAB
n
, aAB
τ
τ
τ
τ
, aAB
cor
et +aAB
rel
dénotent respectivement les normales, tangentielles, de
Coriolis et relative.
Remarque :
- Dans ce qui suit le soulignement d’un trait signifiera que le vecteur concerné n’est que
partiellement connu. Deux trait indiquera que le vecteur est complètement connu. Le symbole
T renversé indique la perpendicularité avec le vecteur du premier membre de l’équation.
- Pour trouver la vitesse ou l’accélération d’un point quelconque E, on écrit les équations
vectorielles du mouvement relatif par rapport à deux points de vitesses connues appartenant à
deux éléments ; par exemple pour le point E (fig), on peut résoudre le système d’équations
vectorielles suivantes:
VE = vA + vAE
⊥OA(connu) ⊥AE
VE = vB + vEB
//connu) ⊥BE
2. Exemple 1 : Système bielle manivelle courant
On donne l2=lAB et l1= lOA ; on demande de trouver la vitesse et l’accélération en tous
points.
34
Solution :
- Vitesses : vB = vA + vBA => vA=ω1.l1 vBA=ωBA.l2
//xx ⊥OA
-Accélérations : aB = aA + aBA = aA + aBA
n
+ aBA
τ
//xx //OA //xx //BA
aA=ω1
2
.l1 aBA=ωBA
2
.l2
3. Exemple 2⊥OA : mécanisme à coulisse
On donne l2=lAB et l1= lOA ; on demande de trouver la vitesse et l’accélération en tous
points.
a’
⊥AB
⊥OA
//OA
π
1
b’ //xx
⊥AB
⊥OA
a
//OA
p b //xx
ω
xx
ϕ2
O
2
3
A
Figure 7.1: Mécanisme bielle manivelle à axe de rotation de la manivelle
éloigné du plan de déplacement du coulisseau
E
B
35
Solution :
- Vitesses : vB3 = vB2 + vB3A2 vB2=ω1.lAB vBA=ωBA.l2 ωBA=vB3/BC
⊥BC ⊥AB //CB
(=vB1)
- Accélérations : aB3 = aB2 + aB3B2 = aB2 + aB3B2
(rel)
+ aB3B2
(cor)
//AB //CB ⊥ vB3B2
aB3 = aB3
n
+ aB3
τ
//CB
aB3
n
=ω3
2
.lCB
aB2=ω2
.lAB
aB3B2
(cor)
=ω3
2
.vB3B2
Note: aB3B2
(rel)
⊥ vB3B2 aB3
τ
= daB2/dt =lCB1.ε3 => ε3= aB3/ lCB1
aB3B2
(cor)
b2’
aB3B2
(rel) //BC
b3’
2
3
//AB
//BC
π
b2
b3
⊥AB
p
//BC
C
⊥BC
ω
1
B2B3
A
B
//AB
⊥BC
36
VIII. METHODE VECTORIELLE D’ANALYSE CINEMATIQUE DES
MECANISMES PLANS ET TRIDIMENSIONNELLES, APPLICATION AU
MANIPULATEUR DE ROBOT [2]
Considérons deux repères d’axes de coordonnées orthogonales OXaYaZa et OXbYbZb
d’origine commune O. Un vecteur quelconque de l’espace se décompose respectivement dans
les deux repères comme suit :
ζ=ia.ζ1
(a)
+ja.ζ 2
(a)
+ka.ζ3
(a)
=ib.ζ1
(b)
+jb.ζ1
(a)
+kb.ζ3
(a)
(1)
En projetant sur les axes du système de coordonnées OXbYbZb, on a:
ζ1
(b)
=ib.ζ =ib.ia.ζ1
(a)
+ib.ja.ζ2
(a)
+ib.ka.ζ(a)
ζ2
(b)
=jb.ζ =jb.ia.ζ1
(a)
+jb.ja.ζ2
(a)
+jb.ka.ζ(a)
ζ3
(b)
=kb.ζ =kb.ia.ζ1
(a)
+kb.ja.ζ2
(a)
+kb.ka.ζ(a)
(2)
Mais
ia.ib=cos(Xb, Xa) ib.ja=cos(Xb, Ya) ib.ka=cos(Xb ,Za) (3)
(3) On introduit les matrice colonnes ζ(b)
et ζ(b)
tel que :
ζ(b)
=Mba.ζ(a)
Avec
ζ(a)
=(ζ1
(a)
, ζ1
(a)
, ζ1
(a)
)T
, ζ(b)
=(ζ1
(b)
, ζ1
(b)
, ζ1
(b)
)T
ϕ21
ϕ43
Xb
ϕ32 Za
Zb
Ya
Yb
Xa
37
On a :
ib.ia ib.ja ib.ka cos(Xb,Xa) cos(Xb,Ya) cos(Xb,Za)
Mba= jb.ia jb.ja jb.ka = cos(Yb,Xa) cos(Yb,Ya) cos(Yb,Za)
kb.ia kb.ja kb.ka cos(Zb,Xa) cos(Zb,Ya) cos(Zb,Za)
une matrice d’ordre 3.
Ainsi connaissant les coordonnées du vecteur ζ dans le système de coordonnée OXaXaZa,
il est facile de calculer ses coordonnées dans le système de coordonnée OXbXbZb de même
origine par simple multiplication de matrice.
Remarque : Mba comme un produit de matrices élémentaires définissant des rotations des axes
du système de coordonnées initial. En effet, l’origine étant supposée fixe, le nouveau repère
est obtenu à partir d’une suite de rotations autour des axes.
- Rotation autour de l’axe OXa
1 0 0
M21
x1
= 0 cos ϕ12 sin ϕ12 (5)
0 - sin ϕ12 cos ϕ12
Rotation autour de l’axe OYa
cos ϕ32 0 - sin ϕ23
M32
y1
= 0 1 0 (6)
sin ϕ32 0 cos ϕ32
Rotation autour de l’axe OZa
cos ϕ43 sin ϕ43 0
M43
y1
= - sin ϕ43 cos ϕ43 0 (7)
0 0 1
Conséquences : Pour déterminer les coordonnées d’un point quelconque ζ(a)dans le repère lié
à b, on peut opérer des rotations successives faisant intervenir le produits des matrices :
M1m =M12. M23. M34… Mm-1 m= ΠMi-1 i.
Prise en compte de la variation de l’origine
Soit rDe le rayon vecteur d’un point quelconque D dans le système de coordonnées
absolu. Définissons par e1, e2, …en-1, en et par L01, L02, … L0n , les distances séparant les
couples cinématiques formés par ces éléments. On a :
rD
e
=e1.L01+e2.L12+…+en-1 .Ln-2 n-1+en.Ln-1n=
M01.L01+M02.L12+…+ M0n-2.Ln-2 n-1 +M0n.Ln-1 n =Σ M0i.Li-1i
D’autre part, on a:
38
M02=M01.M12
M03=M01.M12.M23
…
M0n=M01.M12.M23… Mn-2 n-1.Mn-1 n
d’où M0n=M01.[ Lo1+M12.[M12… Mn-2 n-1.Mn-1 n]…]
Formule générale de la transformation des coordonnées
Soit Mba la matrice des cosinus directeurs dans transformation par rotation des directions
des axes du système de coordonnée (a) en système de coordonnées (b). La formule de
transformation générale est :
a11 a12 … a1n-1 a1n
Mba = a21 a22…………….. (5)
. ……………………
an1 an2 … ann-1 ann0
La relation entre les e rayons vecteurs d’un point exprimé dans les deux système de
coordonnées s’écrit :
r1
(a)
=r1
(b)
+lba
x1
(a)
x1
(a)
lbax
r1
(a)
= y1
(a)
r1
(b)
= y1
(a)
lba= lbay
z1
(a)
z1
(a)
lbaz
or r1
(b)
= Mba . r1
(a)
+ lba (*)
En introduisant la matrice Tab de dimension n+1xn+1 te que
a11 a12 … a1n-1 a1n lbax
Mba lba a21 a22………… lbay
Tab= = . ……………………
an1 an2 … ann-1 ann lbaz
O 1 0 0 … 0 0 1
(*) prend la forme:
r1
(b)
= Tab r1
(a)
1
Il est facile d’observer que :
T1n=T12.T23.T34...Tn-1n=ΠTij
39
Exemple 1 :
Rechercher les coordonnées d’un point A(ζ1, ζ2, ζ3) dans un repère obtenu en faisant tourner
le système d’axe OXaYaZa autour de l’axe OZa et en déplaçant ce système en translation le
long de l’axe OZ d’une distance de Ls(L1, L2, L3).
Réponse :
cos ϕ43 - sin ϕ43 0
ζ(b)= cos ϕ43 cos ϕ43 0 =M21.(ζ(a)
+La)
0 0 1
Exemple 2 :
De la position initiale avec les coordonnées linéaires et angulaires généralisées l1=l2=0,5m,
l3’=l3’’=0,1m, j10=30°, le bras manipulateur de la figure ci-dessous se déplace à la position de
coordonnées généralisées l2*=0,6m, j10*=60°, j32=90°. Dans ces conditions, comme le montre
le schéma, l1=l3’ et l3’’ ne varient pas. Déterminer la plus courte distance DD* entre la
position finale de la pince du manipulateur.
Réponse :
Sous la forme générale, l’équation matricielle pour la détermination des coordonnées du point
D dans le système X0Y0Z0 est de la forme :
RD0
0
=A01
0
.(A23
0
.rD3+L12
0
)+L01
0
cos ϕ10 sin ϕ10 0 0,866 -0,5 0
A01
0
= - sin ϕ10 cos ϕ10 0 = 0,5 0,866 0
0 0 1 0 0 1
O
La
Xa
Xb
Za
Zb
Yb
ϕ
ϕ
Ya
Xa
0
40
1 0 0 1 0 0
A23 = 0 cos ϕ32 - sin ϕ32 = 0 0,5 -0,866
0 sin ϕ10 cos ϕ32 0 0,866 0,5
-l2 -0,5 -l3* -0,1
L01
0
= 0 = 0 , rD3= 0 = 0
0 0 l3’ 0,1
La position finale du bras manipulateur est décrite par les matruces:
cos ϕ10* - sin ϕ32* 0 0,5 -0,866 0
A01 = - sin ϕ32 * cos ϕ10* 0 = 0,866 0,5 0
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
A21 = 0 cos ϕ32* - sin ϕ32* = 0 0 -1
0 sin ϕ10 * cos ϕ32* 0 0,866 0
-l2 * -0,6 -l1* -0,1
L01
0
= 0 = 0 , rD3= 0 = 0
0 0 l3’ 0,1
XDD 0,2129
D’où DD*= rD0*-rDO = YDD 0,2812
ZDD -0,05
Soit
= DD*= (XD0*2
+ XD0*2
+ XD0*2
)1/2
=0,3562m
Exemple 3 :
On considère le manipulateur de l’exemple précédent. Il comprend 3 éléments mobile en
translation A, C et en rotation B formant des couples cinématiques de degré de liaison 5. Leur
position dans l’espace ainsi que la position du point Dde la pince est caractérisée par les
coordonnées généralisées linéaires et angulaires : l1=l2=0,5m, l3’=l3’’=0,2 : ϕ10=30°, ϕ32=60°.
On connaît les vitesses relatives et les accélérations ; v12=0,5m.sec. Déterminer les vitesses
angulaires de tous les éléments du bras manipulateur, ainsi que les vitesses et les accélérations
linéaires des points B, C et D.
41
Réponse :
La projection des vecteurs unitaires ε
ε
ε
εA et ε
ε
ε
εC correspondant aux articulations A et C sur
lesa xes des systèmes de coordonnées peut être décrit par les matrices suivantes :
0 cos ϕ10 0,866
ε
ε
ε
εA= 0 ε
ε
ε
εC= sin ϕ10 0,5
1 0 0
D* Y3
v21
Z0
3
ε32
ω32
ϕ32
90°
l3‘’
90°
D l3‘
2
l2
ε0
ω0
1
Z2
A
O
lx
Xa
Xb
Z1
X0
ϕ
ϕ10
X0
Y0
X1, X2, X3
a21
42
Pour l’élément 1 déterminons les vecteurs vitesse et accélération angulaires :
0 0
ω1 = 0 = 0 sec.-1
ω10 0,5
0 0
ε
ε
ε
ε1= 0 = 0 sec.-1
ε10 0,2
Pour l’élément vitesse et l’accélération angulaire se déterminent è l’aide de l’équation
vectorielle :
ω
ω
ω
ω2=ω
ω
ω
ω1+ω
ω
ω
ω21 ε
ε
ε
ε 2= ε
ε
ε
ε 1+ ε
ε
ε
ε 21+ω
ω
ω
ω1 Λ
Λ
Λ
Λ ω
ω
ω
ω21
Or
ω21=0 ε 21=0
D’où
ω
ω
ω
ω1=ω
ω
ω
ω2
Les vecteurs vitesse et accélération angulaire relatives se caractérisent par la loi de la rotation
de l’élément 3 par rapport à l’élément 2. On les calcule à l’aide de la formule suivante :
ω
ω
ω
ω32=eC.| ω
ω
ω
ω32| ε
ε
ε
ε 32= eC.| ε
ε
ε
ε32|
Et les matrices correspondantes :
ω32 .cos ϕ10 0,433
ω
ω
ω
ω32= ω32 .sin ϕ10 = 0,25
0 0
ε32 .cos ϕ10 0,173
ε
ε
ε
ε32= ε32 .sin ϕ10 = 0,1
0 0
Pour obtenir la vitesse angulaire de l’élément 3, on compose les équations vectorielles
suivantes :
ω
ω
ω
ω3=ω
ω
ω
ω2+ω
ω
ω
ω32 =ω
ω
ω
ω1+ω
ω
ω
ω21 ε
ε
ε
ε 3= ε
ε
ε
ε 2+ ε
ε
ε
ε 32+ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
Λω
ω
ω
ω32= ε
ε
ε
ε 1+ ε
ε
ε
ε 21+ω
ω
ω
ω1Λ
Λ
Λ
Λ ω
ω
ω
ω21
Dans ces dernières équations, on trouve le produit ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
Λ ω
ω
ω
ω32 , qui comme le produit de tous
deux vecteur anΛ
Λ
Λ
Λam décrits par les matrices
43
xn xm
an yn et am ym
zn zm
Sous la forme générale on a:
xn.zm- zn.ym
anΛ
Λ
Λ
Λam = yn.xm- xn.zm
zn.ym- yn.xm
(1), (2) et (3) donne :
-ω10 . ω32 .sin ϕ10 -0,125
ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
Λω
ω
ω
ω32= ω10 . ω32 .cos ϕ10 = 0,2165 (5)
0 0
De 1, 2 et 3 on a :
- ω32 .cos ϕ10 0,433
ω
ω
ω
ω3= ω10.sin ϕ10 = 0,25
ϕ10 0,5
- ε32 .cos ϕ10 - ω10 ω32 .sin ϕ10 0,0482
ε
ε
ε
ε3= ω10 . ε32.cos ϕ10 + ω10 ω32.cos ϕ10 = 0,3165 (6)
??? 0,2
D’où |ω |=0,707 sec.-1
, ε3 =0,3778 sec.-1
Pour déterminer les projections des vecteurs OB, BC et CD sur les axes de coordonnées
X0Y0Z0, on écrit les équations matricielles :
OB=L01, BC=A01.L12, CD=A01.(A21.rD3)
XD3 -l3’’ -0,1
rD3 = YD3 = 0 = 0 (8)
ZD3 l3’ 0,1
0 0 -L2
Avec L01 = 0 = 0 L12 = 0 (9)
L1 0,5 0
44
cos ϕ10 -sin ϕ10 0 0,866 -0,5 0
A01= sin ϕ10 cos ϕ10 0 = 0,5 0,866 0 (10)
0 0 1 0 0 1
1 0 0,866- 1 0 0
A23= 0 cos ϕ32 sin ϕ32 = 0 -0,5 0,8 (10)
0 sin ϕ12 cos ϕ32 1 0,8 0,5
En substituant (8) dans (11), on a:
0 0
OB= 0 = 0
l1 0,5
-l2. cos ϕ10 0,433
BC= -l2. sin ϕ10 = 0,25
0 0
-l3‘’.cos ϕ10+ l3’. cos ϕ10.cos ϕ32 -0,0433
CD= -l2‘’. cos ϕ10+ l3’. cos ϕ10.cos ϕ32 = -0,125
-l3‘’. cos ϕ32 0
Soit |OB|=0,5m [BC|=0,5m |CD|=0,1414m.
Puisque l’angle entre les vecteurs w1 et QB est nul, alors vB=0. Pour déterminer la vitesse en
m/sec., du point C on utilise l’équation vectorielle :
vC=vB+vCB=v21+ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
ΛBC
ici v21=-eC.|v21|
d’où
- v21.cos ϕ10 -0,433
v21= - - v21.sin ϕ10 = -0,25 (10)
0 0
45
De (1), (4) et (12) on tire :
ω10.l2. sin ϕ10 -0,125
ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
ΛBC = - ω10.l2. cos ϕ10 = 0,2165
0 0
En susbstituant (14) et (15) dans (13), on a:
- v21.cos ϕ10 + v10.l2.cos ϕ10 -0,3080
vC = - v21.sin ϕ10 - ω10.l2.cos ϕ10 = -0,4665 (10)
0 0 0
Soit |vC|=0,5580m/sec.
La vitesse du point D
vD=vC+vDC=vC+ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
ΛCD
En utilisant (4), (6)n (12) et (17),
l1’.(ω32. sin ϕ10. cos ϕ10+.ω10. cos ϕ10. sin ϕ32)+ l2’’.ω10. cos ϕ10 -0,0730
ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
ΛCD = l1’.(ω12. sin ϕ10. cos ϕ10+.ω10. cos ϕ10. sin ϕ32)+ l2’’.ω10. cos ϕ10 = -0,0433
- l1’.ω12. sin ϕ32 0
-0,0730
vD= -0,0433
0
Soit |vD|`=0,5622m/sec.
L’accélération du point B :
aB= ω
ω
ω
ω1Λ
Λ
Λ
Λ(ω
ω
ω
ω1+OB) +ε
ε
ε
ε1Λ
Λ
Λ
ΛOB
Le vecteur et l’angle entre les vecteurs et sont nuls, par conséquent,
L’accélération du point C :
aD = aB + aCB = a21 +ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
ΛBC) +ε
ε
ε
ε2Λ
Λ
Λ
ΛBC +2.( ε
ε
ε
ε2Λ
Λ
Λ
Λv21)
ici, a21=eC. |a21|
d’où la matrice
- a21.cos ϕ10 -0,0866
a21= - a21.sin ϕ10 = -0,05 (20)
0 0
A partir des relations (1), (4) et (12), on a :
46
ω10
2
.l2.cos ϕ10 0,1082
ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
Λ(ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
ΛB) = ω10
2
.l2.sin ϕ10 = 0,0625
0 0
avec
ε10.l2.sin ϕ10 0,5
ε
ε
ε
ε2Λ
Λ
Λ
ΛBC = -ε10.l2.cos ϕ10 = -0,0866
0 0
L’accélération de Coriolis s’ubtient à partir de (1), (4) et (14)
2.ω10.l2. sin ϕ10 0,25
2.(ω
ω
ω
ω2Λ
Λ
Λ
Λv21) = - 2.ω10.l2. cos ϕ10 = -0,4330
0 0
En additionnant (20) et (23) on obtient :
0,4948
aC= -0,4071
0
Soit
aD = aC + aDC = aC+ω
ω
ω
ω3Λ
Λ
Λ
Λ(ω
ω
ω
ω3Λ
Λ
Λ
ΛCD) + ε
ε
ε
ε3Λ
Λ
Λ
ΛCD
(4), (5), (12) et (18) donnent:
0,018
ω3Λ(ω3ΛCD) = 0,0562
0
0,0408
ε
ε
ε
ε2Λ
Λ
Λ
ΛCD = 0,0111
0,0077
0,5464
aD = -0,3620
-0,0298
aD=0,6561m.sec-2
Références
47
[1] Frolov K.B.(1987), Théorie des mécanismes et des machines, Manuel de cours des
Enseignements techniques supérieures, Moscou, vishaya shkola 1987.
[2] Artobolevski I., Théorie des mécanismes et des machines, Edition Mir, Moscou 1977.
[3] Norbert M., Philippe R., Boyer H., Technologie de construction mécanique, T.2, La
Capitelle S.A.(1984), Editions Uzes (Gard).
[4] Youdin V.A., Barsov G.A., Tshupine Y.N(1982) Recueuil d’exercices de la Théorie des
mécanismes et des machines, Vishaya schola, Moscou.

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  • 1. 1 CHAPITRE 1 LES SYSTEMES A BIELLES ET MANIVELLES Supports de cours : - Texte - Schémas [2] i) définition des éléments principaux des systèmes à bielle et manivelle ii) courbes des espaces, des vitesses et des accélérations du pied de bielle iii) forme des bielles iv) Montage des bielles v) Pistons et glissières vi) Vilebrequins et manivelles - Plan de cours I. FORMULE DE STRUCTURE DES MECANISMES 1. Définition des chaînes cinématiques I.1. Liaisons élémentaires et liaisons simples 1.2. Liaisons composées et liaisons équivalentes 1.3. Couples cinématiques et schémas cinématiques 1.4. Schéma cinématique 1.5. Degré de liberté et de liaison d’un solide dans un mécanisme 1.6. Etude de la mobilité d’un système mécanique 1.6.1. Notion d’Indice de mobilité a) Formule de Maleushev b) Formule de Tchébychev-Artobolevski : mouvements purement plans ou purement sphériques c) Formule de Dobrovolsky: quatre restrictions générales imposées au mécanisme 1.6.2. Mobilité utile et mobilité interne (ou locale) 1.6.3. Degré de statisme d’un mécanisme 1.6.4. Définition du degré de mobilité d’un mécanisme a) Liaisons surabondantes b) Mobilité locale (indépendante ou superflue) 1.7. Exemple 1.8. Mobilité locale (indépendante ou superflue) 2. Analyse de la mobilité des mécanismes 2.1. Graphe des liaisons du mécanisme Définitions a) Le Graphe des liaisons du mécanisme b) Notion de nombre de cycles 2.2. Approche cinématique a) Nombre d’équations scalaires issues des équations de fermetures cinématiques b) Nombre d’inconnues cinématiques issues des équations c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme d) Définition du degré de mobilité m du mécanisme e) Définition du degré de statisme du mécanisme f) Relation entre les indicateurs de la mobilité g) En résumé
  • 2. 2 2.3 Approche dynamique a) Nombre d’équations scalaires issues des équations d’équilibre des éléments mobiles b) Nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles issues des équations c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme d) Isostatisme hyperstatisme e) Définition du degré de mobilité m du mécanisme f) Définition du degré de statisme du mécanisme g) Relation entre les indicateurs de la mobilité h) En résumé II. ETUDE GENERALE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE 1. La bielle 2. La manivelle 3. La coulisse III. SYTEME BIELLE MANIVELLE COURANT [3] 1. Fonction 2. Emploi 3. Composition 4. Etude cinématique 4.1. Courbe des espaces du pied de la bielle a) Recherche du CIR de la bielle I est le point d'intersection des normales ou trajectoires: 5. Etude des forces 6. Construction des systèmes bielles manivelles courants 6.1. Bielle 6.2. Manivelle 6.3. Vilebrequin 6.4. Piston 6.5. Coulisseau et glissière 7. Etude des liaisons 7.1. Assemblage bras-maneton 7.2. Assemblage poignée tournante-manivelle 7.3. Assemblage bielle-manivelle (voir chapitres " Guidage en rotation et Articulation ") IV. EQUILIBRAGE DES MACHINES ET DES MECANISMES SUR LA FONDATION [1] 1. Position du problème 2. Classification des cas de déséquilibre des systèmes mécaniques 3. Equilibrage des rotors 4. Classification de cas de déséquilibre des rotors. 4.1. Le déséquilibre statique 4.2. Le déséquilibre des moments 4.3. Le déséquilibre dynamique V. METHODES GRAPHIQUES D’INTEGRATION ET DE DIFFERENTIATION DES COURBES [2]
  • 3. 3 1. Différentiation graphique 1.1. Position du problème 1.3. Unité de l’échelle 1.4. Méthode des cordes 1.5. Echelle des courbes obtenues 2. Intégration graphique VI. METHODE ANALYTIQUE DE CALCUL DES FONCTIONS DE TRANSMISSION DES MECANISMES PLANS, APPLICATION AU SYSTEME BIELLE MANIVELLE COURANT 1. Exemple N°1 : Système bielle manivelle 2. Exemple N°2 : Mécanisme à quadrilatère articulé 2.1. Etude analytique 2.2. Recherche des vitesses 2.3. Recherche des accélérations angulaires ε4 et ε3 3. Exemple N°3 : Mécanisme à coulisse VII. SYNTHESE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE [4] 1. problème 2. Exemple VIII. ETUDE GRAPHO-ANALYTIQUE 1. Epure de vitesses et des accélérations 1.1. Définition 1.2. Construction de l’épure des vitesses 1.3. Construction de l’épure des accélérations 1.4. Formules de construction 2. Exemple 1 : Système bielle manivelle courant 3. Exemple 2 IX. METHODE VECTORIELLE D’ANALYSE CINEMATIQUE DES MECANISMES PLANS ET TRIDIMENSIONNELLES, APPLICATION AU MANIPULATEUR DE ROBOT [2] Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : REFERENCES
  • 4. 4 FORMULE DE STRUCTURE DES MECANISMES 1. Définition des chaînes cinématiques 1.1. Liaisons élémentaires et liaisons simples On définit comme surfaces élémentaires le plan, le cylindre et la sphère. Nous entendrons par liaison élémentaire une liaison définie entre deux surfaces élémentaires en contact. Ainsi, on distinguera : les liaisons appui plan, pivot glissant, rotule, linéaire rectiligne, ponctuelle, linéaire annulaire. Les liaisons encastrement (liaisons totale ou complète), pivot (formée par une association de liaisons pivot glissant et appui plan), glissière (association de liaisons élémentaires) et glissière hélicoïdale forment avec les liaisons élémentaires un ensemble de liaisons dites simples représentées conventionnellement par des symboles normalisés. 1.2. Liaisons composées et liaisons équivalentes Un certain nombre de pièces liées entre elle par des liaisons simples peuvent être utilisées pour produire un effet équivalent à une liaison simple entre deux solides. Ainsi dans un schéma cinématique, un élément ne correspond pas toujours à une pièce, mais quelquefois à un groupe de pièces : un roulement par exemple est formé au minimum de plusieurs éléments roulants et de deux bagues, mais ensemble tous ces éléments réalise une seule des trois liaisons simples que sont les liaisons pivot, pivot glissant et rotule. 1.3. Couples cinématiques et schémas cinématiques Un couple cinématique est un ensemble de deux éléments (ou pièces) mobiles en contact. Parallèlement aux liaisons dites simples, on distingue les couples cylindriques, sphériques, plans, annulaires,… Une chaîne cinématique est un ensemble de pièces en contact l’une avec l’autre. Pour tout système mécanique, le bâti est l’ensemble des pièces qui forment un système rigide et immobile. Chaînes élémentaires, chaînes composées : une chaîne cinématique est dite élémentaire lorsque chacun de ses éléments ne forme que deux couples cinématiques au maximum avec les autres éléments de la chaîne, ou composée s’il existe des éléments formant plus de deux couples cinématiques avec d’autres éléments ? Chaînes ouvertes et chaînes fermées : dans une chaîne cinématique fermée, chaque pièce est liée au moins à deux autres pièces ; dans une chaîne cinématique ouverte un certain nombre d’éléments possèdent moins de deux liaisons avec les pièces voisines. On appelle nombre de cycles (ou nombre cyclomatique), le nombre de chaînes cinématiques fermées nécessaires pour décrire un graphe 1.4. Schéma cinématique Dans un mécanisme, il existe un ou plusieurs éléments dont le mouvement est donné : ce sont les éléments d’entrée. Le mouvement de ces éléments implique des mouvements définis de manière unique de tous les autres éléments. Un ou plusieurs éléments du mécanisme produisent le mouvement requis : ce sont les éléments de sortie. Dans l’étude du mouvement d’un mécanisme, on est amené à établir son schéma cinématique. Celui-ci permet d’inventorier l’ensemble des éléments isolés et d’analyser les liaisons existant entre ceux-ci, c’est-à-dire les classes d’équivalence des couples cinématiques du mécanisme liées par la relation « est immobile par rapport à : » définie entre les pièces du mécanisme pour l’action de l’élément d’entrée (appelé dans ce cas aussi élément de départ) considérée.
  • 5. 5 1.5. Degré de liberté et de liaison d’un solide dans un mécanisme C’est le nombre de mouvements simples (translations ou rotations) indépendants qu’il peut effectuer librement dans l’espace. Il est de 6 (3 translations et trois rotations) pour un élément totalement libre dans l’espace et de zéro pour un élément fixe (totalement contraint dans l’espace). 1.6. Mobilité des systèmes mécaniques 1.6.1. Indice de mobilité a) Formule de Maleushev Soit n, le nombre total d’éléments d’un mécanisme. Soit p1, p2, …, p6 les nombres de liaisons simples indépendantes que forment sur le schéma cinématique deux éléments quelconques en supprimant respectivement 1, 2, …, 6 degrés de liberté. Sachant qu’un solide complètement libre dans l’espace possède 6 degrés de liberté, on peut calculer l’indice de mobilité du mécanisme à l’aide de la formule suivante : W=6.n-6p6-5.p5-…-1.p1=6.n-(Σ i.pi) or, dans un schéma cinématique un seul élément forme le groupe fixe c’est-à-dire que p6=1. Cela permet de re-écrire cette formule sous la forme W=6.n-6.1-5.p5…1.p1 =6.(n-1)-5.p5…p1 = soit, k est le nombre de pièces mobiles W=6.k-5.p5…p1 b) Formule de Tchébychev-Artobolevski: mouvements purement plans ou purement sphériques La restriction plane réduit l’ensemble des couples cinématiques par la suppression de 3 degrés de liberté. On peut utiliser la formule de Tchébychev suivante : W=(6-3).k-(5-3).p5-(4-3).p4 soit : W=3.k-2.p5-1.p4 Cette même formule a été proposée par Artobolevski pour les mécanismes à couples cinématiques exclusivement sphériques. c) Formule de Dobrovolsky: quatre restrictions générales imposées au mécanisme Certains mécanismes plans ne comportent que des couples de translation dont les axes de mouvement sont parallèles à un plan commun quelconque. Les éléments d’un tel mécanisme ne peuvent pas tourner autour d’un axe perpendiculaire au plan de leur mouvement, c’est-à- dire qu’ils n’ont que deux degrés de liberté. Le mécanisme le plus élémentaire de ce type est le mécanisme à coin (fig. b): on peut citer aussi le mécanisme à 3 vis (fig. b). On calcule parfois l’indice de mobilité de ces systèmes à l’aide de la formule : W=2.n+p5
  • 6. 6 1.6.2. Mobilité utile et mobilité interne (ou locale) On définit par mobilité utile mu, le nombre de mouvements indépendants faisant intervenir au moins un des paramètres d’entrée-sortie. Par contre, la mobilité interne mi ne modifie pas les paramètres d’entrée-sortie du mécanisme 1.6.3. Degré de statisme d’un mécanisme C’est le nombre de degrés de liberté nécessaire et suffisant pour garantir un montage et un fonctionnement sans contrainte du mécanisme. 1.6.4. Définition du degré de mobilité d’un mécanisme a) Liaisons surabondantes En pratique, dans l’ensemble des liaisons, peut rentrer un certain nombre h de liaisons « répétitives » dites surabondantes doublant d’autres liaisons sans diminuer l’indice de mobilité du mécanisme: dans ce cas, on a: m=(6.n-Σ i.pi)+ h= W+h soit m= W + h est le degré de mobilité (ou mobilité) du mécanisme Discussion : - pour h=0, le mécanisme est déterminé ou isostatique - pour h>0, le mécanisme est hyperstatique (ou indéterminé). Généralement, l’équation ci-dessus est difficile à résoudre parce qu’elle a plusieurs inconnues. Remarques : - Un couple cinématique est formé par deux éléments en contact. On sait qu’un arbre se fixe sur deux paliers ; mais, pour augmenter la rigidité de l’arbre, il peut arriver qu’on augmente le nombre de roulement dans l’un des paliers. Le roulement du second palier fera du mécanisme un système hyperstatique : il impose une précision de coaxialité élevée et une difficulté de fabrication, mais permet d’obtenir la rigidité et la résistance nécessaires. - Dans une chaîne cinématique Liaison surabondante, ces liaisons devraient être éliminées en partie ou totalement si possible, car elles compliquent la construction et amènent d’autres défaillances b) Mobilité locale (indépendante ou superflue) 3 1 1 B A 2 3 a) b) A A 2 Figure 1.1.
  • 7. 7 Considérons la variante du quadrilatère articulé ci-dessous : Calculons son indice de mobilité : W= 6.3-2.5-3.2=2 Admettons que le fonctionnement prévu correspond à un seul mouvement d’entrée. Son indice de mobilité m égale à 2. Elle est la somme - d’une quantité mi appelée mobilité locale et correspondant à la rotation indépendante possible de l’élément BC autour de son axe égale au degré de mobilité - d’une quantité mu appelée mobilité utile correspondant au mouvement d’entrée imposé de la manivelle. visiblement W-mi =(6.n-Σ i.pi)-mi = mu soit W = mi +mu avec m =mi +mu On a alors mi = mu =1 1.7. Exemple Pour le mécanisme à quadrilatère articulé (Fig. 3a), on aura suite à l’imprécision de fabrication, le non parallélisme des axes A et D. Il sera difficile d’assembler les pièces 1 et 2 sans déformer les systèmes de coordonnées. On impose comme indice degré de mobilité la mobilité utile. La mobilité interne est égale à 0 : m=mu=1 h=m-W=m-(6.k−Σ i.pi) =1-6.3+5.4=3 soit 3 liaisons surabondantes à supprimer. A B C D D A Figure 1.2. Mécanisme à quadrilatère articulé
  • 8. 8 On obtiendrait un système statiquement indépendant en remplaçant respectivement les couples cylindrique B(R) et C(R) par un couple sphérique B(3R) et un pivot glissant C(2R) (Fig. 3b); alors : h=1-6.3+5.2+4.1+3.1=0 A remarquer que d’autres solutions peuvent être proposées avec d’autres liaisons simples. 1.8. Mobilité locale (indépendante ou superflue) 2. Analyse de la mobilité des mécanismes 2.1. Graphe des liaisons du mécanisme 3 1 1 Z Y X a) b) A B C D A B C D D A Figure 1.3. B A 2 3 a) b) A A 2 Figure 1.4.
  • 9. 9 Définitions a) Le Graphe des liaisons du mécanisme est un dessin sur lequel les sommets représentent les éléments. Ces sommets sont reliés entre eux par des lignes (ou arcs) symbolisant les liaisons entre les éléments b) Notion de nombre de cycles C’est le nombre de chaînes fermées indépendantes µ nécessaires pour décrire un graphe. 2.2. Approche cinématique Soit NL et NP respectivement les nombres de liaisons et de sommet (éléments ou pièces) d’un graphe de liaisons. On a : µ=NL-NP+1 c) Nombre d’équations scalaires issues des équations de fermetures cinématiques Chacune des chaînes fermées dont est constitué le graphe des liaisons permet d’écrire 6 équations scalaires issue des équations de fermeture cinématique ; par exemple, supposons la chaîne composé de sommet notés 1, 2 …n et notons par vij la vitesse de l’élément de rang i par rapport à celle de l’élément j, l’équation tensorielle correspondante est de la forme : vin=vi1+v12+…+vn-1n De ce qui précède, on a : Ec=6.µ c) Nombre d’inconnues cinématiques issues des équations Le nombre d’inconnues Ic est égal à la somme des degrés de liberté de chacune des NL liaisons. 6 Ic=p5+2.p4+3P3+4P2+5p1 = Σ i.p6-i i=1 où i est le nombre de sommet à pi degrés de liaison c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme C’est la différence entre le nombre d’inconnues et le nombre d’équations scalaires : Wc=Ic-Ec c) Définition du degré de mobilité m du mécanisme C’est la différence entre le nombre d’inconnues Ic des équations et le rang rc du système d’équations scalaire de fermeture des boucles: en pratique, c’est le nombre d’inconnues que l’on doit passer au second membre des équations. m=Ic-rc d) Définition du degré de statisme du mécanisme h=Ec-rc C’est la quantité d’équations ne servant pas à la résolution, le plus souvent de la forme (0=0)
  • 10. 10 e) Relation entre les indicateurs de la mobilité m=Ic-rc => m-h=Ic-Ec h=Ec-rc f) En résumé On peut représenter le système d’équations scalaires sous la forme : Ic (nombre d’inconnues cinématiques): colonnes 0 . . Ec . (lignes) = . 0 2.3. Approche dynamique a) Nombre d’équations scalaires issues des équations d’équilibre des éléments mobiles Dans l’approche dynamique, on étudie l’équilibre de chacune des pièces du mécanisme, chaque sommet du graphe des liaisons. Puisque le mouvement de toutes les pièces est considéré relativement à une pièce fixe prise comme référentiel, Np-1 éléments sont à considérer. A chacun des éléments (ou pièce) du graphe des liaisons correspond 6 équations scalaires décrivant son comportement sous l’influence des actions mécaniques qui lui sont appliquées ; par exemple, en isolant un élément i supposons-le soumis aux charges venant d’un ensemble d’élément j et dont la résultante constitue le torseur des actions mécanique transmissible Tij. L’équation dynamique s’écrit : Tij = 0 D’où le nombre d’équations scalaires : Es=6.(NP-1) b) Nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles issues des équations Le nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles Is est égal à la somme des nombres de paramètres d’actions mécaniques transmissibles sur chacune de NL liaisons. 6 Is=5.p5+4.p4+3p3+2p2+p1 = Σ i.pi i=1 c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme On a : Ic-Ec=(6.NL-Ic)-6..(NL-Np+1)=6.(Np-1)-Is=Es-Is Ic m (degré de mobilité) h (degré de statisme) rc (rang)
  • 11. 11 Il s’en suit que l’indice de mobilité du mécanisme peut être définie comme la différence entre le nombre d’inconnues et le nombre d’équations scalaires : Ws=Es-Is d) Isostatisme hyperstatisme Un mécanisme est isostatique si en absence d’actions mécaniques extérieures, toutes, toutes les inconnues d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons sont nulles Un mécanisme est hyperstatique si en absence d’actions mécaniques extérieures, il existe des inconnues d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons non (indéterminées). Remarque : Notons que l’hyperstatisme peut être un choix : dans ce cas, la raideur du système est plus grande mais son coût élevée. e) Définition du degré de mobilité m du mécanisme C’est le nombre d’équations ne servant pas à la détermination des actions mécaniques de liaisons, de la forme 0=0 pour l’équation homogène associée. De la dualité entre les deux approches –cinématique et dynamique, là où il n’existe aucune composante d’actions mécanique, il y a une possibilité de mouvement. m=Is-rs f) Définition du degré de statisme du mécanisme C’est le nombre d’inconnues qu’il faut passer au second membre du système d’équations. h=Is-rs g) Relation entre les indicateurs de la mobilité m=Ic-rc => m-h=Ic-Ec h=Ec-rc h) En résumé On peut représenter le système d’équations scalaires de l’approche dynamique sous la forme : Is (nombre d’inconnues d’action mécaniques transmissibles): colonnes second Es (lignes) = . membre Is h (degré de statisme) m degré de mobilité rs (rang)
  • 12. 12 3. Conclusion Approche cinématique Approche dynamique Nbre de pièces d’un mécanisme Np Nbre de liaisons d’un mécanisme NL Nbre de cycles µ=NL-NP+1 Nbre d’équations Ec=6.µ Es=6(NP-1) Nbre d’inconnues Ic Is Indice de mobilité (W) Ic-Ec Es-Is Degré de mobilité m=Ic-rc m= Es-rs Degré de statisme h = Ec-rc h = Is- rs Approche globale Ic-Ec = m-h Es-Is = m-h II. ETUDE GENERALE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE 1. La bielle On considère deux pièces mobiles guidées 1 et 2. Pour assurer leur interdépendance, on réalise au point A de 1 et B de 2 des liaisons articulées avec une barre rigide 3. On donnera à la barre rigide le nom de bielle. Exemple : 2 1 B 3 Fig. 2.1 a) Système bielle manivelle courant ; b) Système avec pièces guidées en translation ; c) Quadrilatère articulé a) b) 2 1 3 2 1 ω 3 ω O A B c) A A B
  • 13. 13 2. La manivelle C’est une barre rigide guidée en rotation autour d’un axe passant par l’une de ses extrémités et munie à la seconde extrémité d’une articulation, le plus souvent cylindrique, parfois sphérique. Les pièces 1 des figures a) et c) sont des manivelles. 3. La coulisse On se propose de commander en translation une tige T par le levier L dont le point d’appui est A et qui est articulé en B sur T. B ayant un mouvement de rotation par rapport à A, décrit dans son mouvement un arc de cercle. Le problème peut être résolu par l’emploi des biellettes permettant le déplacement du point A ou du point B (Fig. 2 b, c). Une autre solution consiste en l’utilisation d’une coulisse permettant le glissement du point A sur le point A’ ou de B sur B’. Un tel mécanisme porte le nom de levier à coulisse (Fig. 3). A B B’ A’ Fig.2.2 : Définition de la coulisse : Levier à coulisse L a) A ω B d) T L b) A B T B’ L c) B A
  • 14. 14 Autres applications : La manivelle à coulisse (Fig. 2.3a) permet d’obtenir un mouvement sinusoïdal exact. Elle est voisine de l’excentrique (Fig.2.3 b). Le balancier à coulisse permet de transformer un mouvement circulaire continu en mouvement rectiligne alternatif. Ce type de mouvement est observé chez les étaux-limeurs, les mortaiseuses, les raboteuses, etc., avec un retour rapide de l’élément de sortie. Le balancier est un levier articulé en C et attaqué par le bouton d’une manivelle se déplaçant dans une coulisse. Le rapport aller retour est environ de 2/3. A 2 B 2 Fig.2.3 a) manivelle à coulisse ; b) excentrique à cadre ; c, d) balancier (ou bielles) à coulisse a) 1 C c) 1 ω A 3 a) 1 A 3 D B d) ω A D A C
  • 15. 15 Exercice : Vérifier que la valeur de l’indice de mobilité de chacun des mécanismes décrits ci- dessus correspond à la valeur indiquée. III. SYTEME BIELLE MANIVELLE COURANT [3] 1. Fonction Transmettre la puissance entre un organe moteur et un organe récepteur avec transformation du mouvement circulaire continu du premier en mouvement rectiligne alternatif du second. La transformation inverse est possible dans certains cas. 3. Emploi Pompes et compresseurs, presses hydrauliques et mécaniques, etc. 4. Composition Manivelle, bielle, coulisseau, glissière. Dans certains mécanismes courant le couple coulisseau-glissière est réalisé par un vérin hydraulique; cependant l'ensemble piston-cylindre peut être insuffisant soit parce que moins rigide, soit parce que n'aboutissant pas à la précision voulue; on adjoint alors une liaison glissière supplémentaire. 5. Etude cinématique Courbe des espaces du pied de la bielle Notons par O l'axe de rotation du pied de la manivelle OB animé dans le plan vertical d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire ω; repérons les positions A0 , A1i A2,..., Ai du pied de bielle, correspondant aux positions B0, B1, B2,...,Bi de la tête de bielle aux instants t0 , t1…ti, La manivelle et la bielle font avec l'horizontal les angles respectifs α i et βi. a) La courbe des espaces (courbe des déplacements) est la représentation graphique des déplacements OAi du pied de bielle A en fonction du temps (ou de la position angulaire de la manivelle ); on admet ici que la vitesse angulaire de la manivelle est constante: α = ω . t. Expression de la courbe des espaces du pied de bielle: En projetant sur les axes Ox et Oy: avec R=OB, on a: A0A1 = B0B1 = 2 . R O ω B B0 L αi R Ai B1 O y βi Figure 3.1.: schéma du système bielle- manivelle courant
  • 16. 16 R . cos αi + L cos βi = AiO R . sin αi - L sin βi = 0 => A0Ai = ( R + L ) - [ R cos αi + L . ( 1 - R2 / L2 sin2 αi)1/2 ] Posons L / R = λ: A0Ai = R . ( 1 - cos αi ) + L - ( L2 - R2 . sin2 αi)1/2 A0Ai = R . ( 1 - cos αi ) + L [ 1 - ( 1 - sin2 αi / λ2 )1/2 ; Habituellement λ ≅ 4, valeur apparemment très petit; ce qui permet d'écrire: ( 1 - sin2 αi / λ2 )1/2 ≅ 1 – 1/2 sin2 αi / λ2 ; alors: A0Ai ≅ R . [ 1 - cos αi + sin2 αi / ( 2 . λ) ] A0Ai ≅ ≅ ≅ ≅ R . (1 - cos α α α αi ) + [ 1 / ( 4 . λ λ λ λ ) ] . [ 1 - cos (2 . α α α αi) ] ] ] ] b) Courbe des vitesses et des accélérations - Vitesse: vA = d A0Ai / dt = ω . R . [ sin αi + sin 2αi / (2 . λ )] - Accélération: γA = d vA / dt = ω2 . R . ( cos αi + cos 2αi / λ ) c) Recherche du CIR de la bielle I est le point d'intersection des normales ou trajectoires: O ω B B0 L R vA B1 O y βi vB I H Figure 3.2: Recherche du CIR du mouvement de la bielle x
  • 17. 17 d) vA = ω* . IA, vB = ω* . IB = ω . R => vA / vB = IA / IB = OH / OB => vA = vB . OH / OB = ω ω ω ω . R . OH / R = ω ω ω ω . OH - Propriétés • La course du coulisseau est égale au double du rayon de la manivelle • La courbe des espaces est symétrique • La courbe n'est pas une sinusoïde; mais elle a l'allure sinusoïdale; elle se rapproche d'autant plus de la sinusoïde que l'inclinaison de la bielle est plus faible • v = 0 en fin de cours ( aux points morts ) • la courbe de vitesse a un point de symétrie • Le mouvement est accéléré à l'aller puis retardé au retour ( ou le contraire ). 5. Etude des forces β F1 F1' Figure 3.3: Isolement de la bielle β F1 F1' Figure 3.3: poussée de la manivelle R H F3 O K F4 Figure 3.4: Influence de l'inertie B O G γ γ γ γN Fic I γ γ γ γT FiT A A B A B
  • 18. 18 - Supposons les frottements nuls: la bielle se voit soumise à la compression ou à l'extension par 2 forces ayant pour support la ligne d'axe l'axe AB et appliquée à ses extrémités ; On observe 2 points morts ( points B0 et B1 où OK = OH = 0 ). En marche, l'arc-boutement est vaincu à l'aide de l'inertie des masses en mouvement. - Influence des frottements: les frottements augmentent la difficulté de démarrage et de passage aux points morts; un volant d'inertie faciliterait le mouvement. - Influence de l'inertie: elle a lieu aux grandes vitesses: . - Conséquences: • Nécessité d'équilibrage statique Σmasse_gauche . ω 2 . r_gauche = Σmasse_droite . ω 2 . r_droite • Nécessité d'équilibrage dynamique ΣM(F) =0 pendant le mouvement. • Section de la manivelle en H ou tubulure pour les grandes vitesses, carré pour les petites vitesses . 6. Construction des systèmes bielles manivelles courants 6.1. Bielle - Les problèmes de construction de la tête de bielle et du pied de bielle sont les mêmes que pour les paliers. - La bielle peut être en acier moulé, forgé, en fonte malléable. - 3 sections sont utilisées: constante, galbée et croissante du pied vers la tête ( schéma ). - L'articulation de la bielle avec la manivelle peut être en porte-à-faux ou à chape. - La bielle doit être résistante, légère et rigide. 6.2. Manivelle - Elle est soumise à la compression et à l'extension alternée, et à la flexion - phénomène de fatigue -; en porte-à-faux, elle subit une contrainte de torsion; pour réduire les effets de la force d'inertie (flexion, vibrations, etc.), on a intérêt à l'équilibrer. - L'assemblage avec la bielle relève des problèmes habituels de guidage. - La forme se rapproche à celle d'égale résistance à la flexion. Ainsi elle est décroissante du moyeu vers la tête, soit la variation de la largeur seule, soit celle simultanée de la largeur et de l'épaisseur; la face située du coté de la bielle est plane. Elle peut avoir la forme coudée rendue agréable si la poignée est tournante, du vilebrequin, d’un plateau manivelle, de manivelle à rayon variable par rainure, d’un volant muni de poignée souvent amovible. - Pour ramener le centre de gravité sur l'axe de rotation, on prévoit quelquefois une masse opposée au maneton, calculée de façon à équilibrer une partie de la masse de la bielle. 6.3. Vilebrequin - Avantages • suppression du porte-à-faux • meilleur guidage de l'arbre ( 2 paliers ) • possibilité de recevoir plusieurs coudes • possibilité d'un bon équilibrage; on réalise des trous à des endroits convenablement choisis • réduction des contraintes de flexion, l'effort étant supporté par plusieurs bras. - Inconvénients Difficulté de montage: la tête de bielle doit être obligatoirement de type ouvert ou du type palier. - Matériau
  • 19. 19 Fonte à graphite sphéroïdal, fonte au nickel, fonte malléable, acier alliés, acier moulé, etc. - Graissage Le graissage est réalisé grâce aux canalisations forées à travers le vilebrequin. 6.4. Piston - Problèmes de construction • résistance • étanchéité • guidage en translation • Problèmes thermiques ( formes coniques pour les pistons à simple effet ) • Réduction des forces d'inertie - Matériau Fonte, acier forgé 6.5. Coulisseau et glissière - Forme: plane, cylindrique, en T, à queue d'aronde, etc. - Matériau: (voir : matériaux des surfaces de glissement): fonte, PTFE, bronze, etc. Pour les coulisseaux, acier pour les glissières; les surfaces de glissement sont le plus souvent rapportées; prévoir le dispositif de réglage des jeux rapportées. 7. Etude des liaisons 7.1. Assemblage bras-maneton : Conditions nécessaires: position relative: précision requise dans la distance des axes, maintien de contact: emmanchement forcé et rivetage, emmanchement cylindrique, conique serré par écrou ou par clavette; un maneton vissé avec centrage peut être envisagé. 7.2. Assemblage poignée tournante-manivelle Positionnement angulaire nécessaire assuré correctement par clavetage ( rainure du côté du bras de la manivelle ); dans, certains cas, un réglage de la position angulaire est prévu. - Possibilité de démontage: difficile à concilier avec une grande rigidité: exemple: clavette forcé ou clavette vélo. 7.3. Assemblage bielle-manivelle ( voir chapitres " Guidage en rotation et Articulation ") L'articulation est un œil de la barre, pour diminuer le frottement et localiser l'usure, on ajoutera une bague en bronze et un trou graisseur. Coussinet seul en 1 ou 2 parties, tête en 1 ou 2 parties pour faciliter l'assemblage. Centrage par boulon des têtes en 2 parties. IV. EQUILIBRAGE DES MACHINES ET DES MECANISMES SUR LA FONDATION [1] 1. Position du problème Le fonctionnement des mécanismes est caractérisé par le mouvement de ses éléments. Ce mouvement se traduit en général par l’apparition des charges dynamiques supplémentaires dans les couples cinématiques par suite des forces d’inertie. Le bâti étant l’élément fixe, porteur, subit ces charges et les transmet à la fondation. Les charges supplémentaires sont à l’origine des forces de frottement supplémentaires dans les couples cinématiques, des vibrations, des éléments de la fondation, des contraintes supplémentaires dans certains éléments du mécanisme.
  • 20. 20 C’est pourquoi lorsqu’on conçoit les mécanismes et lorsqu’on décide d’améliorer un mécanisme existant, on mène des actions visant à supprimer totalement ou partiellement les charges dynamiques nées au cours du fonctionnement. Le calcul des charges dynamiques sont faits de préférence à l’aide des méthodes cinétostatiques. L’équilibrage des forces d’inertie pose deux problème indépendants : celui de l’équilibrage des charges dynamiques sur la fondation et celui de l’équilibrage des charges dynamiques dans les couples cinématiques. Rappelons que tout système de forces agissant sur un solide peut être réduit à un vecteur principal du système de force et à un moment principal. 2. Classification des cas de déséquilibre des systèmes mécaniques Soit Fii, Mi, Fii, respectivement la résultante des forces et de moment des forces extérieurs ; Fi et MFi , la résultante des forces d’inertie et de moment des forces d’inertie sollicitant l’élément i appartenant à un système mécanique donné. Admettons que l’élément menant A effectue un mouvement de rotation de vitesse ϖ constante autour d’un axe passant par un point A. Réduisons tout le système des forces d’inertie et des moments des forces d’inertie au point A et écrivons : ΦS=ΣΦi, MΦΣ=ΣMΦi+ΣMA(Φi) Le bâti étant l’élément numéro 0, on a : F0Φ= ΦS M0Φ= ΜΦS Lorsque ΦS ≠0, c’est-à-dire F0Φ≠0, le mécanisme est dit statiquement déséquilibré. Si au contraire, MΦΣ ≠0 , mais ΦS =0, il s’agit du déséquilibre des moments. Les dispositions prises pou atteindre ΦS =0 portent le nom d’équilibrage statique. Ainsi, un mécanisme équilibré statiquement n’a aucun effet dynamique sur sa fondation. D’autre part, la force d’inertie est le produit de la masse par l’accélération : Φ=m.a Elle est nul si l’accélération est nulle, dont pour un système statiquement équilibré, le centre des masses des éléments mobiles devient fixe. 3. Equilibrage des rotors Y Z X XS YS XB YB XA YA S O Figure 4.1: Vecteur balourd d’un solide en rotation autour d’un
  • 21. 21 On sait que la pression des corps en rotation sur leur appuis est la somme de deux composantes : statique due à l’action des forces agissantes et dynamique due au mouvement accéléré des particules dont se compose le corps en rotation (c’est-à-dire le rotor). Lorsque la composante dynamique est différente de zéro, le rotor est dit non équilibré. Pour une rotation uniforme autour de son axe OZ, la projection de la composante dynamique se détermine de la manière suivante : XA+XB=FX, YA+YB=FY -XA.a+XB.b=MFy, YA.a-YB.b=MFx On a: Fx=ω2 .m.(XS 2 +YS 2 )1/2 =ω2 .mYs, MFx=-ω2 .Jyz; MFy=-ω2 .Jxzs , Où est los est le rayon vecteur du centre des masses occasionnant sa position excentrée et étant la masse excentrée du rotor. La quantité Dst=m.est porte le nom de vecteur résultant des balourds du rotor. Evidemment, F=ω2 .Dst. On a : MΦ=ω2 .(Jyz 2 +Jxz 2 )1/2 =ω2 . MD 4. Classification de cas de déséquilibre des rotors. 4.1. Le déséquilibre statique Le déséquilibre statique caractérise le rotor dont le centre des masses est écarté du centre de rotation, mais dont l’axe d’inertie principal est parallèle à l’axe de rotation. Dans ces conditions est=0 ; Jxz=Jyz=0. Par conséquent, le déséquilibre statique s’exprime parle vecteur Dst des balourds dirigé radialement tournant ensemble avec le rotor. Eliminer le déséquilibre statique serait possible si l’on fixait sur le rotor une masse corrective telle que : Dc=m.ec=-Dst L’équilibrage statique n’est pas parfois réalisable possible au moyen d’une masse ; par exemple, le vilebrequin est équilibré par 2 masses situées dans deux plans. En général, le FB M Z I I ω S A B FB O Dst N Figure 4.2: Balourd du déséquilibre statique d’un vilebrequin à un coude
  • 22. 22 nombre de masses et de positions sont choisis en fonction de la construction et l’utilisation du rotor. 4.2. Le déséquilibre des moments Le déséquilibre des moments a lieu lorsque le centre des masses se trouve sur l’axe de rotation et le moment d’inertie et le moment d’inertie incliné sur l’axe de rotation du rotor d’un angle g (fig. b). Dans ce cas est=0 ; Jxz≠Jyz≠0. Dans ce cas, il s’exprime par un couple de balourds DM1 et DM2. 4.3. Le déséquilibre dynamique Le déséquilibre dynamique est la présence simultanée du déséquilibre statique et du déséquilibre des moments. Par conséquent, il s’exprime par les deux vecteurs D1 et D2 situés dans des plans de correction perpendiculaires à l’axe de rotation. FB FB ’ FA ’ S h I I FB DM1 DM2 N Z A S A B FA O ω M Figure 4.3: Balourd du déséquilibre des moments d’un vilebrequin à un coude I I FB ’ DM1 DM2 N Z A A B FA ’’ ω Figure 4.4: Balourd du déséquilibre dynamique d’un vilebrequin à deux coude à disque excentré Dst FA
  • 23. 23 Conclusion : Le terme déséquilibre statique ne signifie pas que le déséquilibre en question concerne l’état statique de la machine ou du mécanisme à équilibrer. A l’époque actuelle, il existe des machines de haute précision qui permettent de déterminer le déséquilibre statique en régime dynamique. Eliminer les déséquilibres statique et dynamique d’un rotor revient à faire coïncider son axe de rotation avec l’axe d’inertie principal. V. METHODES GRAPHIQUES D’INTEGRATION ET DE DIFFERENTIATION DES COURBES [2] 1. Différentiation graphique 1.1. Position du problème Soit Cζ la courbe décrite par une fonction ζ(t). Il s’agit d’obtenir graphiquement la courbe Cv donnée par la dérivée de ζ(t) dans un système d’axes de coordonnées (Ox, Oy) : v(t)=dζ(t)/dt 1.2. Définition de l’échelle d’une courbe représentée graphiquement En notant par yζ la valeur de ζ(t) mesurée sur le dessin, définissons l’échelle µζ par la formue : ζ(t).µz=yζ soit µζ=yζ(t)/ζ(t) 1.3. Unité de l’échelle : [µζ]=[yζ(t)]/[ζ(t)]=[yζ]/[ζ] 1.4. Méthode des cordes Adoptons les notations suivantes : Yζ, yv, xt, - valeurs respectives des fonctions ζ,, v et t mesurées sur le dessin ; Mζ, µv et µt les échelles correspondantes. On peut écrire : v=dζ/dt=d(yζ/µζ) / d(xt/µt)=(µt/µζ).dyζ/dxt=µt/dxt=(µt/µζ).tgΨ RESUME 1 : Fin=m.ω2 . (x+y2 )1/2 => est=(x+y2 )1/2 , Dst=m.est => équilibrage statique (1)+(2) :=>équilibrage dynamique 2 : Min=m.ω2 . (Jxz 2 +Jyz 2 )1/2 => DM= m. (Jxz 2 +Jyz 2 )1/2 => équilibrage des moments
  • 24. 24 Posons v≈∆v/∆t. En divisant l’axe des abscisses xt en intervalles égaux ∆x, choisissons un point K convenable sur l’axe xt. Joignons chaque point d’abscisse xi au point d’abscisse xi+1 et mesurons l’angleΨi que fait chaque segment obtenu avec l’axe xt, il vient : ∆ζi/∆xi=tgΨi Ψi xi xi i’ i’’ 1 8 5 3 0 4 6 7 2 1 K Xt 0 2 3 4 5 6 7 Xt yζ yv Figure 5.1: Différenciation graphique des courbes Ψ1 Ψ2 2 Ψ2 Ψ1 1 i’ Ψi
  • 25. 25 Enfin : v=(µζ/µxt).tg Ψ Retrouvons les points i’’ tels que l’angle <OK, Ki’’> de l’axe des ordonnées soit égaux à Ψ i , vi est donnée par le point de coordonnées (xi, i’’). En joignant les points vi, on obtient la courbe cherchée. vi=(µt/µζ)..∆ζi/∆xt=(µt/µζ).tgΨi On obtient une précision acceptable en pratique en appliquant cette méthode aux courbes des espaces, des vitesses et des accélérations. Cette précision est considérable avec l’aide de l’outil informatique. 1.5. Echelle des courbes obtenues On a: vi=(µt/µζ).tgΨi=(µt/µζ).(K/K). tgΨi=[µt/(µζ .K)].K.tgΨi =[µt/(µζ .K)].yvi = yvi /[µt/(µζ.K)] => µv=µτ/(µζ.K) De la même façon, ζi=∫vi.dt=∫ (yvi /µv). dxt /µt=∫ (yvi. dxt /µv) /µt =∫ (yvi. dxt) /(µv.µt) = yζ /(µv.µt) soit: µζ=µv.µt 2. Intégration graphique Il suffit de faire l’opération inverse de la précédente en commençant par le choix d’un segment OK sur l’axe des abscisses de la courbe donnée en reportant les angles obtenus dans l’espace graphique attaché au repère choisi pour la courbe intégrée. VI. METHODE ANALYTIQUE DE CALCUL DES FONCTIONS DE TRANSMISSION DES MECANISMES PLANS, APPLICATION AU SYSTEME BIELLE MANIVELLE COURANT Les méthodes graphiques sont évidentes et universelles, mais elles ne permettent pas toujours d’obtenir le degré de précision nécessaire dans certains problèmes concret d’analyse des mécanismes. Le rôle des méthodes analytiques d’analyse des mécanismes a une importance particulière parce que disposant des relations analytiques entre les principaux paramètres cinématiques et structuraux du mécanisme, on peut établir un programme de calcul sur ordinateur et obtenir les résultats voulus. Illustrons la marche à suivre dans la méthode des contours vectoriels l’analyse du système bielle manivelle et du mécanisme à quadrilatère articulé et du mécanisme à coulisse.
  • 26. 26 1. Exemple N°1 : Système bielle manivelle Considérons le système bielle manivelle (Fig. ) composé d’une bielle, d’une bielle et d’un guidage en translation dont le plan du déplacement du coulisseau fait une distance a avec l’axe de rotation de la manivelle. 1) On divise le contour fermé du mécanisme en figures géométriques, de préférence en triangles dont les côtés sont parallèlement formés par ses éléments. => les triangles OAC et ABC dont les côtés l2, l3 et a sont connus. 2) On écrit pour les contours les équations vectorielles : => Contour 1 : triangle <OAC> : a-xc+u=0 => Contour 2 : triangle <ABC> : l2+l3+u=0 Ces 2 équations peuvent en former une : a + l2+l3= xc 3) Projeter les vecteurs des équations sur les axes de coordonnées =>Par rapport à OX et OY: l24 l2 l3 C ϕ2 A 2 1 4 3 xc X a B ϕ3 Figure: Mécanisme bielle manivelle à axe de rotation de la manivelle éloigné du plan de déplacement du coulisseau
  • 27. 27 l2.cosϕ2+ l3.cosϕ3 = xc (*) a+ l2.sinϕ2+ l3.sinϕ3=0 (**) 4) Résoudre les équations obtenues => sinϕ3=-(l2.sinϕ2 +a)/(- l3) (notons que l3 et ϕ3 sont toujours positifs - de l’équation (*), il vient : xc= l2.cosϕ2+ l3..[ 1-(l2.sinϕ2 +a)/ l3)2 ]1/2 - l’espace parcouru est donc : x=OC0-xc =[(l2+ l3)2 -a2 )]1/2 - l2.cosϕ2- l3..[ 1-( l2.sinϕ2 +a)/ l3)2 ]1/2 5) Rechercher les vitesses et les accélérations en dérivant les équations vectorielles des contours fermés projetés sur les axes. => pour déduire les équations des vitesses angulaires et des accélérations angulaires, procédons par une double dérivation des équations du système ci-dessus : -l2.sinϕ2. dϕ2/dt- l3.sinϕ3 dϕ3/dt= dxc/dt -l2.cosϕ2. dϕ2/dt+ l3.cosϕ3 dϕ3/dt= 0, D’où -l2.sinϕ2- i32.sinϕ3 dϕ3= vcϕ -l2.cosϕ2+ i32 l3..cosϕ3 = 0 (***) Où i32= (dϕ3/dt)/(dϕ2/dt) = et vcϕ = dxc/ dϕ2 D’autre par : i32=ω3/ω2 = -l2.cosϕ2/ l3..cosϕ3 et vcϕ = l2.sin(ϕ3- ϕ2)/cosϕ3 On trouve l’accélération en dérivant une 2ème fois les équations (**) : -l2.cosϕ2 - i32 2 l3..cosϕ3 – i32’. l3.. sinϕ3= acϕ -l2.sinϕ2 - i32 2 l3..sinϕ3 – i32’. l3.. cosϕ3= 0 Où i32’= d i32/dϕ2 et acϕ = dvc/ dϕ2 si a=0, xc= l2.cosϕ2+ l3..[ 1-( l2 2 /l3)2 ).sin2 ϕ2]1/2 x= l2+ l3-l2.cosϕ2-l3..[ 1-( l2 2 /l3)2 ).sin2 ϕ2]1/2 En pratique, on pose parfois λ=l2/l3 et l’on développe en série le radical de l’équation : [ 1-( l2 2 /l3)2 ).sin2 ϕ2]1/2 =(1- λ 2 .sin2 ϕ2)1/2 =1-(1/2).λ 2 .sin2 ϕ2- (1/8).λ 4 .sin4 ϕ2-… Bornons-nous aux deux premiers termes et tenons compte du fait que sin2 ϕ2= (1/2). (1- cos2ϕ2) x= l2.[1+ λ /4)-(cosϕ2+( λ /4). cos2ϕ2)] d’où vcϕ= l2.[sinϕ2+( λ /2). sin2ϕ2] acϕ= l2. (cosϕ2+ λ . cos2ϕ2)
  • 28. 28 2. Exemple N°2 : Mécanisme à quadrilatère articulé 2.1. Etude analytique - 2 contours vectoriels ABD et BCD - Equations vectorielles : Contour ABD : l2+s-l1=0 ; l3-l4-s=0 Contour BCD : l3-l4-s =0 ; l3-l4-s=0 - Projection des équations sur les axes Ax et Ay: l2.cosϕ2+s.cosϕs-l1=0 l2.sinϕ2+s.sinϕs=0 => tgϕs=(-l2.sinϕ2)/(-l2.cosϕ2+ l1); s= (l1 2 + l2 2 -2.l1.l2.cosϕ2)1/2 ϕ4s ϕ3 D y C ϕ3s ϕ4 3 A 2 4 1 x B ϕ2 b) Figure:5.1 a) Mécanisme à quadrilatère articulé ; b) Formation des contours vectoriels C l3 ϕ3 l4 ϕ4 3 l2 l1 D A 2 4 1 x B ϕ2 a)
  • 29. 29 Du triangle BCD,on a: l3 2 =l4 2 +s2 +2.l4.s.cosϕ4s (*) l4 2 =l3 2 +s2 -2.l3.s.cosϕ3s (**) (*) et (**) => ϕ4s=Arc cos(l2 2 -l4 2 -s2 )/(2.l4.s) ϕ2s=Arc cos(l3 2 -l4 2 +s2 )/(2.l3.s) => ϕ4s =ϕ4-ϕs , ϕ3s =ϕ3-ϕs Soit ϕ4=(l3 2 +l4 2 -l2 2 +2.l1.l2.cosϕ2)/[2.l4.(l1 2 +l2 2- +s2 -2.l1.l2.cosϕ2)]1/2 +artg(-l2.sinϕ2)/[-l2.cosϕ2+l1] 2.2. Recherche des vitesses - Equations vectorielles: l1+l2+ l3=l4 - Projection sur les axes : -l1+ l2. cosϕ2+ l3.cosϕ3 = l4.cosϕ4 l2. sinϕ2+ l3.sinϕ3 = l4.sinϕ4 => -l2. sinϕ2- l3.sinϕ3.dϕ3/dϕ2= -l4. sinϕ4 dϕ4/dϕ3 l2. cosϕ2+l3.cosϕ3.dϕ3/dϕ2=l4.cosϕ4 dϕ4/dϕ3 => l2. sinϕ2- i32.l3.sinϕ3= i42.l4. sinϕ4 l2. cosϕ2+ i32.l3.cosϕ3= i42.l4.cosϕ4 soit en retranchant dans (***) l’angle commun ϕ3 => l2. sin(ϕ2-ϕ3)=i42.l4. sin(ϕ4-ϕ3) Soit i42=l2. sin(ϕ2-ϕ3)/[l4. sin(ϕ4-ϕ3)] De la même façon,on obtient : I32= -l2. sin(ϕ2-ϕ4)/[l4. sin(ϕ3-ϕ4)] 2.3. Recherche des accélérations angulaires ε4 et ε3 Dérivons (***) par ϕ2 : l2. cosϕ2+ i32 2 .l3.cosϕ3+ i32. l3. sinϕ3= i42 2 .l4.cosϕ4+i42.l4. sinϕ4 -l2.sinϕ2- i32 2 .l3.sinϕ3+ i32’. l3.cosϕ3= i42 2 .l4.sinϕ4+i42’.l4. sinϕ4 Où i32 et i42 , respectivement i32’ et i42’ sont les dérivées premières et secondes des déplacements angulaires des éléments 3 et 4 en fonction de ϕ2 . De la même façon que dans le paragraphe précédent, on obtient sans difficulté les relations : i42’= l2. cos(ϕ2-ϕ3)+ i32 2 .l3+ i42 2 .l4.cos(ϕ4-ϕ3)/ [l4. sin(ϕ4-ϕ3)] i32’= l2. cos(ϕ2-ϕ4)+ i42 2 .l4+ i32 2 .l4.cos(ϕ3-ϕ4)/ [l2. sin(ϕ3-ϕ4)] Remarque: ω3=ω2.i32: ω4=ω2.i42; ε3=ω2.i32’+ε2.i32; ε4=ω2.i42’+ε2.i42; 3. Exemple N°3 : Mécanisme à coulisse
  • 31. 31 VI. SYNTHESE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE [4] 1. problème Après l’établissement et l’analyse du schéma cinématique, l’étape suivante du projet est la synthèse. On détermine les paramètres des éléments : pour ce faire, on fixe les certaines conditions d’exploitation : il peut s’agir de donner des valeurs décrivant l’état du système mécanique pour des positions (vitesses ou accélérations) linéaires x1i ou angulaires ϕ1i choisies des organes d’entrée et de sortie aux instants ti. On peut aussi donner - le coefficient de variation de la vitesse moyenne de l’élément de sortie s=ta/tr, où ta et tr sont les durées respectives des déplacements de l’élément de sortie à l’allée et au retour ; - le rapport l1/l2 des longueurs de deux éléments ; - l’angle de pression de travail, etc. Les paramètres à calculer peuvent être les longueurs des éléments ou les angles définissant les directions fixes imposées entre les éléments du mécanisme. Cette relation porte le nom de l’« équation des espaces parcourus ».Ensuite, on recherche une relation liant ces paramètres aux coordonnées d’entrée et de sortie. Enfin, on forme le système d’équation dont les inconnues sont ces paramètres en substituant dans l’équation des espaces parcourus les données sur les conditions d’exploitation. 2. Exemple Considérons le quadrilatère articulé plan ci-dessous de côtés a, b, c et d. Admettons que d soit et porte l’axe des abscisses Ax . A l’instant ti, a, b et c forment avec Ax les angles respectifs ai, bi et ci fixe ; D D e) f
  • 32. 32 Posons lb=b/a, lc=c/a et ld=d/a On a : a+b+c=0 la.cosαi+b.cosδi=c.cosϕi+d λb.cosδi = λd + λc.cosϕi-b.cosαi => => lb.sinαi+b.sinδi=c.sinϕi+d λb.sinδi = λc.sinϕi- sinαi En élevant au carré, on obtient : cosαi = λc.cosϕi-(λc/λd). cos(ϕi-αi) + (λd 2 + λc 2 +1-λb 2 )/(2.λd) En notant p0=λc, p1=-λc/λd, p2=(λd 2 + λc 2 +1-λb 2 )/(2.λd) on obtient l’équation des espaces parcourus : cosαi = p0.cosϕi- p1. cos(ϕi-αi) + p2 En substituant dans cette équation les angles α1, α2, α3 et ϕ1, ϕ2, ϕ3 correspondant à 3 positions de la manivelle, on obtient le système d’équation suivante à partir duquel on peut calculer aisément les paramètres λb, λc et λd. cosα1 = p0.cosϕ1 p1. cos(ϕ1-α1) + p2 cosα2 = p0.cosϕ2- p1. cos(ϕ2-α2) + p2 cosα3= p0.cosϕ3- p1. cos(ϕ3-α3) + p2 Ensuite, ayant choisi une valeur convenable de a, on calcule les grandeurs b, c et et on peut réaliser l’analyse cinématique en déterminant les déplacements, les vitesses et le accélérations de touts les points du mécanisme. δi 4 αi C b c ϕi y 3 a l1 D A 1 x B a) Figure 6.1: Détermination des paramètres du quadrilatère articulé
  • 33. 33 VII. ETUDE GRAPHO-ANALYTIQUE 1. Epure de vitesses et des accélérations 1.1. Définition Les représentations graphiques des vecteurs vitesses et accélérations des éléments du mécanisme à une échelle donnée sont dénommées respectivement épure des vitesses et épure des accélérations. 1.2. Construction de l’épure des vitesses A partir d’un point p, représentons les vecteurs vitesses du mécanisme à l’échelle donnée. Le vecteur pa représente la vitesse du point A, pb la vitesse du point B et ab la vitesse de B par rapport à A, etc. 1.3. Construction de l’épure des accélérations A partir d’un point π, représentons les vecteurs accélérations du mécanisme à l’échelle donnée. Le vecteur π π π πa’ représente la vitesse du point A, π π π πb’ la vitesse du point B et a’b’ la vitesse de B par rapport à A, etc. aA=µ µ µ µa.pa’, aB=µ µ µ µa.pa’, aB=µ µ µ µa.pa’ 1.4. Formules de construction - des vitesses : vA=vB+vAB (vAO=vOA+vAB) où vA est perpendiculaire à OA et vAB perpendiculaire à AB, etc. - des accélérations : aA=aB+aAB= aB+aAB n + aAB τ τ τ τ , aB = +aB n + aB τ τ τ τ ou aA=aB+ aAB cor +aAB rel avec aAB cor =2.ω ω ω ωx vAB où aAB n , aAB τ τ τ τ , aAB cor et +aAB rel dénotent respectivement les normales, tangentielles, de Coriolis et relative. Remarque : - Dans ce qui suit le soulignement d’un trait signifiera que le vecteur concerné n’est que partiellement connu. Deux trait indiquera que le vecteur est complètement connu. Le symbole T renversé indique la perpendicularité avec le vecteur du premier membre de l’équation. - Pour trouver la vitesse ou l’accélération d’un point quelconque E, on écrit les équations vectorielles du mouvement relatif par rapport à deux points de vitesses connues appartenant à deux éléments ; par exemple pour le point E (fig), on peut résoudre le système d’équations vectorielles suivantes: VE = vA + vAE ⊥OA(connu) ⊥AE VE = vB + vEB //connu) ⊥BE 2. Exemple 1 : Système bielle manivelle courant On donne l2=lAB et l1= lOA ; on demande de trouver la vitesse et l’accélération en tous points.
  • 34. 34 Solution : - Vitesses : vB = vA + vBA => vA=ω1.l1 vBA=ωBA.l2 //xx ⊥OA -Accélérations : aB = aA + aBA = aA + aBA n + aBA τ //xx //OA //xx //BA aA=ω1 2 .l1 aBA=ωBA 2 .l2 3. Exemple 2⊥OA : mécanisme à coulisse On donne l2=lAB et l1= lOA ; on demande de trouver la vitesse et l’accélération en tous points. a’ ⊥AB ⊥OA //OA π 1 b’ //xx ⊥AB ⊥OA a //OA p b //xx ω xx ϕ2 O 2 3 A Figure 7.1: Mécanisme bielle manivelle à axe de rotation de la manivelle éloigné du plan de déplacement du coulisseau E B
  • 35. 35 Solution : - Vitesses : vB3 = vB2 + vB3A2 vB2=ω1.lAB vBA=ωBA.l2 ωBA=vB3/BC ⊥BC ⊥AB //CB (=vB1) - Accélérations : aB3 = aB2 + aB3B2 = aB2 + aB3B2 (rel) + aB3B2 (cor) //AB //CB ⊥ vB3B2 aB3 = aB3 n + aB3 τ //CB aB3 n =ω3 2 .lCB aB2=ω2 .lAB aB3B2 (cor) =ω3 2 .vB3B2 Note: aB3B2 (rel) ⊥ vB3B2 aB3 τ = daB2/dt =lCB1.ε3 => ε3= aB3/ lCB1 aB3B2 (cor) b2’ aB3B2 (rel) //BC b3’ 2 3 //AB //BC π b2 b3 ⊥AB p //BC C ⊥BC ω 1 B2B3 A B //AB ⊥BC
  • 36. 36 VIII. METHODE VECTORIELLE D’ANALYSE CINEMATIQUE DES MECANISMES PLANS ET TRIDIMENSIONNELLES, APPLICATION AU MANIPULATEUR DE ROBOT [2] Considérons deux repères d’axes de coordonnées orthogonales OXaYaZa et OXbYbZb d’origine commune O. Un vecteur quelconque de l’espace se décompose respectivement dans les deux repères comme suit : ζ=ia.ζ1 (a) +ja.ζ 2 (a) +ka.ζ3 (a) =ib.ζ1 (b) +jb.ζ1 (a) +kb.ζ3 (a) (1) En projetant sur les axes du système de coordonnées OXbYbZb, on a: ζ1 (b) =ib.ζ =ib.ia.ζ1 (a) +ib.ja.ζ2 (a) +ib.ka.ζ(a) ζ2 (b) =jb.ζ =jb.ia.ζ1 (a) +jb.ja.ζ2 (a) +jb.ka.ζ(a) ζ3 (b) =kb.ζ =kb.ia.ζ1 (a) +kb.ja.ζ2 (a) +kb.ka.ζ(a) (2) Mais ia.ib=cos(Xb, Xa) ib.ja=cos(Xb, Ya) ib.ka=cos(Xb ,Za) (3) (3) On introduit les matrice colonnes ζ(b) et ζ(b) tel que : ζ(b) =Mba.ζ(a) Avec ζ(a) =(ζ1 (a) , ζ1 (a) , ζ1 (a) )T , ζ(b) =(ζ1 (b) , ζ1 (b) , ζ1 (b) )T ϕ21 ϕ43 Xb ϕ32 Za Zb Ya Yb Xa
  • 37. 37 On a : ib.ia ib.ja ib.ka cos(Xb,Xa) cos(Xb,Ya) cos(Xb,Za) Mba= jb.ia jb.ja jb.ka = cos(Yb,Xa) cos(Yb,Ya) cos(Yb,Za) kb.ia kb.ja kb.ka cos(Zb,Xa) cos(Zb,Ya) cos(Zb,Za) une matrice d’ordre 3. Ainsi connaissant les coordonnées du vecteur ζ dans le système de coordonnée OXaXaZa, il est facile de calculer ses coordonnées dans le système de coordonnée OXbXbZb de même origine par simple multiplication de matrice. Remarque : Mba comme un produit de matrices élémentaires définissant des rotations des axes du système de coordonnées initial. En effet, l’origine étant supposée fixe, le nouveau repère est obtenu à partir d’une suite de rotations autour des axes. - Rotation autour de l’axe OXa 1 0 0 M21 x1 = 0 cos ϕ12 sin ϕ12 (5) 0 - sin ϕ12 cos ϕ12 Rotation autour de l’axe OYa cos ϕ32 0 - sin ϕ23 M32 y1 = 0 1 0 (6) sin ϕ32 0 cos ϕ32 Rotation autour de l’axe OZa cos ϕ43 sin ϕ43 0 M43 y1 = - sin ϕ43 cos ϕ43 0 (7) 0 0 1 Conséquences : Pour déterminer les coordonnées d’un point quelconque ζ(a)dans le repère lié à b, on peut opérer des rotations successives faisant intervenir le produits des matrices : M1m =M12. M23. M34… Mm-1 m= ΠMi-1 i. Prise en compte de la variation de l’origine Soit rDe le rayon vecteur d’un point quelconque D dans le système de coordonnées absolu. Définissons par e1, e2, …en-1, en et par L01, L02, … L0n , les distances séparant les couples cinématiques formés par ces éléments. On a : rD e =e1.L01+e2.L12+…+en-1 .Ln-2 n-1+en.Ln-1n= M01.L01+M02.L12+…+ M0n-2.Ln-2 n-1 +M0n.Ln-1 n =Σ M0i.Li-1i D’autre part, on a:
  • 38. 38 M02=M01.M12 M03=M01.M12.M23 … M0n=M01.M12.M23… Mn-2 n-1.Mn-1 n d’où M0n=M01.[ Lo1+M12.[M12… Mn-2 n-1.Mn-1 n]…] Formule générale de la transformation des coordonnées Soit Mba la matrice des cosinus directeurs dans transformation par rotation des directions des axes du système de coordonnée (a) en système de coordonnées (b). La formule de transformation générale est : a11 a12 … a1n-1 a1n Mba = a21 a22…………….. (5) . …………………… an1 an2 … ann-1 ann0 La relation entre les e rayons vecteurs d’un point exprimé dans les deux système de coordonnées s’écrit : r1 (a) =r1 (b) +lba x1 (a) x1 (a) lbax r1 (a) = y1 (a) r1 (b) = y1 (a) lba= lbay z1 (a) z1 (a) lbaz or r1 (b) = Mba . r1 (a) + lba (*) En introduisant la matrice Tab de dimension n+1xn+1 te que a11 a12 … a1n-1 a1n lbax Mba lba a21 a22………… lbay Tab= = . …………………… an1 an2 … ann-1 ann lbaz O 1 0 0 … 0 0 1 (*) prend la forme: r1 (b) = Tab r1 (a) 1 Il est facile d’observer que : T1n=T12.T23.T34...Tn-1n=ΠTij
  • 39. 39 Exemple 1 : Rechercher les coordonnées d’un point A(ζ1, ζ2, ζ3) dans un repère obtenu en faisant tourner le système d’axe OXaYaZa autour de l’axe OZa et en déplaçant ce système en translation le long de l’axe OZ d’une distance de Ls(L1, L2, L3). Réponse : cos ϕ43 - sin ϕ43 0 ζ(b)= cos ϕ43 cos ϕ43 0 =M21.(ζ(a) +La) 0 0 1 Exemple 2 : De la position initiale avec les coordonnées linéaires et angulaires généralisées l1=l2=0,5m, l3’=l3’’=0,1m, j10=30°, le bras manipulateur de la figure ci-dessous se déplace à la position de coordonnées généralisées l2*=0,6m, j10*=60°, j32=90°. Dans ces conditions, comme le montre le schéma, l1=l3’ et l3’’ ne varient pas. Déterminer la plus courte distance DD* entre la position finale de la pince du manipulateur. Réponse : Sous la forme générale, l’équation matricielle pour la détermination des coordonnées du point D dans le système X0Y0Z0 est de la forme : RD0 0 =A01 0 .(A23 0 .rD3+L12 0 )+L01 0 cos ϕ10 sin ϕ10 0 0,866 -0,5 0 A01 0 = - sin ϕ10 cos ϕ10 0 = 0,5 0,866 0 0 0 1 0 0 1 O La Xa Xb Za Zb Yb ϕ ϕ Ya Xa 0
  • 40. 40 1 0 0 1 0 0 A23 = 0 cos ϕ32 - sin ϕ32 = 0 0,5 -0,866 0 sin ϕ10 cos ϕ32 0 0,866 0,5 -l2 -0,5 -l3* -0,1 L01 0 = 0 = 0 , rD3= 0 = 0 0 0 l3’ 0,1 La position finale du bras manipulateur est décrite par les matruces: cos ϕ10* - sin ϕ32* 0 0,5 -0,866 0 A01 = - sin ϕ32 * cos ϕ10* 0 = 0,866 0,5 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 A21 = 0 cos ϕ32* - sin ϕ32* = 0 0 -1 0 sin ϕ10 * cos ϕ32* 0 0,866 0 -l2 * -0,6 -l1* -0,1 L01 0 = 0 = 0 , rD3= 0 = 0 0 0 l3’ 0,1 XDD 0,2129 D’où DD*= rD0*-rDO = YDD 0,2812 ZDD -0,05 Soit = DD*= (XD0*2 + XD0*2 + XD0*2 )1/2 =0,3562m Exemple 3 : On considère le manipulateur de l’exemple précédent. Il comprend 3 éléments mobile en translation A, C et en rotation B formant des couples cinématiques de degré de liaison 5. Leur position dans l’espace ainsi que la position du point Dde la pince est caractérisée par les coordonnées généralisées linéaires et angulaires : l1=l2=0,5m, l3’=l3’’=0,2 : ϕ10=30°, ϕ32=60°. On connaît les vitesses relatives et les accélérations ; v12=0,5m.sec. Déterminer les vitesses angulaires de tous les éléments du bras manipulateur, ainsi que les vitesses et les accélérations linéaires des points B, C et D.
  • 41. 41 Réponse : La projection des vecteurs unitaires ε ε ε εA et ε ε ε εC correspondant aux articulations A et C sur lesa xes des systèmes de coordonnées peut être décrit par les matrices suivantes : 0 cos ϕ10 0,866 ε ε ε εA= 0 ε ε ε εC= sin ϕ10 0,5 1 0 0 D* Y3 v21 Z0 3 ε32 ω32 ϕ32 90° l3‘’ 90° D l3‘ 2 l2 ε0 ω0 1 Z2 A O lx Xa Xb Z1 X0 ϕ ϕ10 X0 Y0 X1, X2, X3 a21
  • 42. 42 Pour l’élément 1 déterminons les vecteurs vitesse et accélération angulaires : 0 0 ω1 = 0 = 0 sec.-1 ω10 0,5 0 0 ε ε ε ε1= 0 = 0 sec.-1 ε10 0,2 Pour l’élément vitesse et l’accélération angulaire se déterminent è l’aide de l’équation vectorielle : ω ω ω ω2=ω ω ω ω1+ω ω ω ω21 ε ε ε ε 2= ε ε ε ε 1+ ε ε ε ε 21+ω ω ω ω1 Λ Λ Λ Λ ω ω ω ω21 Or ω21=0 ε 21=0 D’où ω ω ω ω1=ω ω ω ω2 Les vecteurs vitesse et accélération angulaire relatives se caractérisent par la loi de la rotation de l’élément 3 par rapport à l’élément 2. On les calcule à l’aide de la formule suivante : ω ω ω ω32=eC.| ω ω ω ω32| ε ε ε ε 32= eC.| ε ε ε ε32| Et les matrices correspondantes : ω32 .cos ϕ10 0,433 ω ω ω ω32= ω32 .sin ϕ10 = 0,25 0 0 ε32 .cos ϕ10 0,173 ε ε ε ε32= ε32 .sin ϕ10 = 0,1 0 0 Pour obtenir la vitesse angulaire de l’élément 3, on compose les équations vectorielles suivantes : ω ω ω ω3=ω ω ω ω2+ω ω ω ω32 =ω ω ω ω1+ω ω ω ω21 ε ε ε ε 3= ε ε ε ε 2+ ε ε ε ε 32+ω ω ω ω2Λ Λ Λ Λω ω ω ω32= ε ε ε ε 1+ ε ε ε ε 21+ω ω ω ω1Λ Λ Λ Λ ω ω ω ω21 Dans ces dernières équations, on trouve le produit ω ω ω ω2Λ Λ Λ Λ ω ω ω ω32 , qui comme le produit de tous deux vecteur anΛ Λ Λ Λam décrits par les matrices
  • 43. 43 xn xm an yn et am ym zn zm Sous la forme générale on a: xn.zm- zn.ym anΛ Λ Λ Λam = yn.xm- xn.zm zn.ym- yn.xm (1), (2) et (3) donne : -ω10 . ω32 .sin ϕ10 -0,125 ω ω ω ω2Λ Λ Λ Λω ω ω ω32= ω10 . ω32 .cos ϕ10 = 0,2165 (5) 0 0 De 1, 2 et 3 on a : - ω32 .cos ϕ10 0,433 ω ω ω ω3= ω10.sin ϕ10 = 0,25 ϕ10 0,5 - ε32 .cos ϕ10 - ω10 ω32 .sin ϕ10 0,0482 ε ε ε ε3= ω10 . ε32.cos ϕ10 + ω10 ω32.cos ϕ10 = 0,3165 (6) ??? 0,2 D’où |ω |=0,707 sec.-1 , ε3 =0,3778 sec.-1 Pour déterminer les projections des vecteurs OB, BC et CD sur les axes de coordonnées X0Y0Z0, on écrit les équations matricielles : OB=L01, BC=A01.L12, CD=A01.(A21.rD3) XD3 -l3’’ -0,1 rD3 = YD3 = 0 = 0 (8) ZD3 l3’ 0,1 0 0 -L2 Avec L01 = 0 = 0 L12 = 0 (9) L1 0,5 0
  • 44. 44 cos ϕ10 -sin ϕ10 0 0,866 -0,5 0 A01= sin ϕ10 cos ϕ10 0 = 0,5 0,866 0 (10) 0 0 1 0 0 1 1 0 0,866- 1 0 0 A23= 0 cos ϕ32 sin ϕ32 = 0 -0,5 0,8 (10) 0 sin ϕ12 cos ϕ32 1 0,8 0,5 En substituant (8) dans (11), on a: 0 0 OB= 0 = 0 l1 0,5 -l2. cos ϕ10 0,433 BC= -l2. sin ϕ10 = 0,25 0 0 -l3‘’.cos ϕ10+ l3’. cos ϕ10.cos ϕ32 -0,0433 CD= -l2‘’. cos ϕ10+ l3’. cos ϕ10.cos ϕ32 = -0,125 -l3‘’. cos ϕ32 0 Soit |OB|=0,5m [BC|=0,5m |CD|=0,1414m. Puisque l’angle entre les vecteurs w1 et QB est nul, alors vB=0. Pour déterminer la vitesse en m/sec., du point C on utilise l’équation vectorielle : vC=vB+vCB=v21+ω ω ω ω2Λ Λ Λ ΛBC ici v21=-eC.|v21| d’où - v21.cos ϕ10 -0,433 v21= - - v21.sin ϕ10 = -0,25 (10) 0 0
  • 45. 45 De (1), (4) et (12) on tire : ω10.l2. sin ϕ10 -0,125 ω ω ω ω2Λ Λ Λ ΛBC = - ω10.l2. cos ϕ10 = 0,2165 0 0 En susbstituant (14) et (15) dans (13), on a: - v21.cos ϕ10 + v10.l2.cos ϕ10 -0,3080 vC = - v21.sin ϕ10 - ω10.l2.cos ϕ10 = -0,4665 (10) 0 0 0 Soit |vC|=0,5580m/sec. La vitesse du point D vD=vC+vDC=vC+ω ω ω ω2Λ Λ Λ ΛCD En utilisant (4), (6)n (12) et (17), l1’.(ω32. sin ϕ10. cos ϕ10+.ω10. cos ϕ10. sin ϕ32)+ l2’’.ω10. cos ϕ10 -0,0730 ω ω ω ω2Λ Λ Λ ΛCD = l1’.(ω12. sin ϕ10. cos ϕ10+.ω10. cos ϕ10. sin ϕ32)+ l2’’.ω10. cos ϕ10 = -0,0433 - l1’.ω12. sin ϕ32 0 -0,0730 vD= -0,0433 0 Soit |vD|`=0,5622m/sec. L’accélération du point B : aB= ω ω ω ω1Λ Λ Λ Λ(ω ω ω ω1+OB) +ε ε ε ε1Λ Λ Λ ΛOB Le vecteur et l’angle entre les vecteurs et sont nuls, par conséquent, L’accélération du point C : aD = aB + aCB = a21 +ω ω ω ω2Λ Λ Λ ΛBC) +ε ε ε ε2Λ Λ Λ ΛBC +2.( ε ε ε ε2Λ Λ Λ Λv21) ici, a21=eC. |a21| d’où la matrice - a21.cos ϕ10 -0,0866 a21= - a21.sin ϕ10 = -0,05 (20) 0 0 A partir des relations (1), (4) et (12), on a :
  • 46. 46 ω10 2 .l2.cos ϕ10 0,1082 ω ω ω ω2Λ Λ Λ Λ(ω ω ω ω2Λ Λ Λ ΛB) = ω10 2 .l2.sin ϕ10 = 0,0625 0 0 avec ε10.l2.sin ϕ10 0,5 ε ε ε ε2Λ Λ Λ ΛBC = -ε10.l2.cos ϕ10 = -0,0866 0 0 L’accélération de Coriolis s’ubtient à partir de (1), (4) et (14) 2.ω10.l2. sin ϕ10 0,25 2.(ω ω ω ω2Λ Λ Λ Λv21) = - 2.ω10.l2. cos ϕ10 = -0,4330 0 0 En additionnant (20) et (23) on obtient : 0,4948 aC= -0,4071 0 Soit aD = aC + aDC = aC+ω ω ω ω3Λ Λ Λ Λ(ω ω ω ω3Λ Λ Λ ΛCD) + ε ε ε ε3Λ Λ Λ ΛCD (4), (5), (12) et (18) donnent: 0,018 ω3Λ(ω3ΛCD) = 0,0562 0 0,0408 ε ε ε ε2Λ Λ Λ ΛCD = 0,0111 0,0077 0,5464 aD = -0,3620 -0,0298 aD=0,6561m.sec-2 Références
  • 47. 47 [1] Frolov K.B.(1987), Théorie des mécanismes et des machines, Manuel de cours des Enseignements techniques supérieures, Moscou, vishaya shkola 1987. [2] Artobolevski I., Théorie des mécanismes et des machines, Edition Mir, Moscou 1977. [3] Norbert M., Philippe R., Boyer H., Technologie de construction mécanique, T.2, La Capitelle S.A.(1984), Editions Uzes (Gard). [4] Youdin V.A., Barsov G.A., Tshupine Y.N(1982) Recueuil d’exercices de la Théorie des mécanismes et des machines, Vishaya schola, Moscou.