Etude d'optimisation, corps d'égale résistance

1. Etudes Numériques et Méthodes
d’Analyse Optimale d’une Structure
Réduite de la Tour Eiffel
PROJET METHODES NUMERIQUES
Travail Réalisé par : - Mohamed EL-YAHYAOUI
Encadré par les enseignants chercheurs :
- Adinel GAVRUS
- Fabrice BERNARD
- Franck LOMINE

2. P a g e 1 | 13
INTRODUCTION
Un solide est dit d’égale résistance lorsque le rapport de la résistance à l’effort qui tend à la vaincre
est constant pour tous les points de la longueur du solide.
Ainsi, un corps (solide) qui supporte, au moins son poids propre, sa section doit augmenter
progressivement pour compenser l’augmentation croissante de son poids propre.
Cette considération sur les solides d’égale résistance est la loi constante à laquelle la nature parait
s’être assujettie d’approprier chacun de ses ouvrages à l’objet auquel il est destiné. Tels sont
probablement les tiges et les branches des végétaux exposés aux vents, les dents et les défenses de
certains animaux, la charpente osseuse des nageoires et les arrêtes des poissons. Aussi, l’être humain
a donné naissance à de magnifiques ouvrages comme la Tour Eiffel, une parure, résultat d’une
excellente optimisation de l’acier.
Dans ce projet, on va essayer d’étudier la topologie optimale d’une structure réduite de la tour Eiffel.
En fait, l’optimisation topologique consiste à distribuer, d’une manière optimale, la matière. Ainsi, une
première partie sera-t-elle consacrée à l’étude analytique de l’optimalité de la tour, on va montrer que
l’optimisation topologique de la tour revient à la considérer une structure d’égale résistance dont la
forme est exponentiellement décroissante vers le haut, pour bien visualiser cela, j’ai développé un
logiciel de calcul topologique en différences finis adapté pour note structure et que je vais y mettre
d’autres fonctionnalités par la suite. La deuxième partie fera l’objet d’une optimisation d’une structure
en treillis équivalente utilisant ABAQUS et un couplage entre OPTPAR et CAST3M.
ETUDE PREPARATOIRE :
1) EQUATION D’EQUILIBRE :
On considère la tranche horizontale entre z et z+dz soumise à son poids propre, au poids propre des
tranches supérieures et la charge verticale transmise du sommet σn(H) :
Equilibre mécanique de la tranche :
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( z
A
z
dz
z
A
dz
z
A
dz
z V
J
V
Or, )
(
)
(
)
( z
d
z
dz
z V
V
V
et
)
(
)
(
)
( z
dA
z
A
dz
z
A
Alors, en négligeant le terme d’ordre 2 ,
dz
z
d
dz
z
dA )
(
)
( V
, on obtient :
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( z
A
z
z
A
dz
z
d
z
A
dz
z
dA
z
z
A
z V
J
V
V
V
D’où : 0
γA(z)
dz
(z)
d
A(z)
dz
dA(z)
σ(z)
V
Equation 1
Si σ(z)=constant (i.e. structure d’égale résistance) l’équation devient : 0
γA(z)
dz
dA(z)
σ(z)
Donc ¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
n
z
A
V
J
exp
)
0
(
A(z)
Remarque : Dans la suite, on note )
(
'
)
(
z
dz
z
d
V
V
et )
(
'
)
(
z
A
dz
z
dA
z+d
z
A(z+dz)
A(z)

3. P a g e 2 | 13
2) Une condition nécessaire et suffisante pour que la structure soit d’égale résistance est :
Cte
z)
(
V C.-à-d. 0
)
(
dz
z
dV
donc la solution du problème est de trouver )
(z
V vérifiant le
minimum de la fonctionnelle : ³³³ ³
¸
¹
·
¨
©
§ H
dz
z
A
dVol
dz
z
d
0
2
2
)
(
'
)
(
V
V
Equation 2
Or, d’après l’équation 1 :
³
z
y
dy
z
A
z
A
0
0
0
)
)
(
exp(
)
(
)
(
V
J
V
V Avec A0= A(0) et σ0=σ(0)
En outre, On peut écrire le développement en séries entières : ¦
f
0
)
(
1
k
k
k z
a
z
V
. En effet, si
)
(
1
z
V
n’est pas développable en séries entières, alors, d’après le développement de Taylor au voisinage de
0, il existe une approximation suffisante de
)
(
1
z
V
vérifiant :
¦
#
N
k
k
k z
a
z 0
)
(
1
V
et ¦
¦³
³
#
#
N
k
k
N
k
z
k
k
z
z
k
a
dy
y
a
y
dy
0
1
0
0
0 1
)
(
V
@
H
z ˜
˜
˜

0
En remplaçant dans l’équation 2, on trouve :
³ ¦
³ ¸
¹
·
¨
©
§
u
u
u
¸
¹
·
¨
©
§ f
H
k
k
k
H
dz
z
k
a
z
z
A
dz
z
A
dz
z
d
0
0
1
2
0
2
1
exp
)
(
)
(
'
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
J
V
V
V
V
Posons : ¸
¹
·
¨
©
§
u
u
¦
f
0
1
2
1
exp
)
(
)
(
'
)
0
(
)
0
(
)
'
,
,
(
k
k
k
z
k
a
z
z
A
z J
V
V
V
V
V
La condition nécessaire d’extrémalité d’Euler-Poisson s’écrit alors : 0
' w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
V
V
dz
d
On a ¸
¹
·
¨
©
§
u
u
w
w
¦
f
0
1
2
2
1
exp
)
(
)
(
'
)
0
(
)
0
(
)
(
)
'
,
,
(
k
k
k
z
k
a
z
z
A
z
z
J
V
V
V
V
V
V
V
Et ¸
¹
·
¨
©
§
u
»
¼
º
«
¬
ª
u
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¦
¦
f
f
0
1
0
2
2
1
exp
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
'
)
0
(
)
0
(
2
' k
k
k
k
k
k z
k
a
z
a
z
z
z
z
z
z
A
dz
d
J
V
V
J
V
V
V
V
V
V
On remplaçant dans l’équation d’Euler-Poisson, sachant que
)
(
1
0 z
z
a
k
k
k
V
¦
f
, on trouve :
0
)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
'
2 2
2
2
2
»
¼
º
«
¬
ª
u
u
z
z
z
z
z
z
z
V
V
V
J
V
V
V
V
Après simplification, on trouve : 0
)
(
)
(
'
2
)
(
)
(
'
'
2
)
(
'
2
2
u
u
u
u
z
z
z
z
z V
V
V
V
V Equation 3
Une solution triviale de l’équation différentielle est la fonction constante )
0
(
tan
)
( V
V te
cons
z
z
. C’est une solution maximale alors c’est l’unique solution de ce problème non linéaire de Cauchy
Remarque : une méthode de résolution plus évidente consiste à poser
³
z
y
dy
z
0 )
(
)
(
V
M

4. P a g e 3 | 13
Ainsi, on a les relations suivantes :
)
(
1
)
(
)
(
'
z
dz
z
d
z
V
M
M )
'²(
)
(
'
)
²(
)
(
'
²
)
(
²
)
(
'
' z
z
z
z
dz
z
d
z M
V
V
V
M
M
D’où, en remplaçant dans l’équation 2, on trouve ɐሺœሻ qui minimise ³
H
dz
z
A
z
0
2
)
(
)
(
'
V est équivalent à
trouver )
(z
M qui minimise a fonctionnelle : ³
H
dz
z
0
)
,
'
,
,
( M
M
M
Où z
Z
Z
A
z JM
M
M
V
M
M
M
c
c
c
exp
)
,
'
,
,
(
2
0
0
La condition d’extrémalité d’Euler-Poisson s’écrit : 0
' 2 ¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
w
w
V
V
V dz
d
dz
d
On retrouve alors, après simplification, la même équation trouvée précédemment.
On peut Aussi approximer
³
z
y
dy
z
A
z
A
0
0
0
)
)
(
exp(
)
(
)
(
V
J
V
V à l’aide de la fonction erreur
dt
t
z
erf
z
³
0
2
exp
2
)
(
S
et utilisons une approximation de premier ordre de erf(z) on obtiendra
une solution approchée de la solution d’égale résistance.
3) L’OPTIMISATION TOPOLOGIQUE d’une structure consiste à minimiser le rapport
௠
ఙሺ௭ሻ
c.-à-d. la
minimisation de la masse (distribution optimale de la matière) et la maximation de la résistance
dans chaque point de la structure (distribution la plus uniforme que possible). On va montrer que :
σ réalise le minimum de
࢓
࣌ሺࢠሻ
équivalent à σ est constante dans la structure.
³
H
dz
z
A
m
0
)
(
U Donc
³
H
dz
z
A
z
z
m
0
)
(
)
(
)
( V
U
V
Or, d’après 2)
³
z
y
dy
z
A
z
A
0
0
0
)
)
(
exp(
)
(
)
(
V
J
V
V Avec A0= A(0) et σ0=σ(0)
³ ³
H z
dz
y
dy
z
A
z
z
m
0 0
0
0
)
)
(
exp(
)
(
)
(
)
( V
J
V
V
V
U
V
= ³ ³ »
¼
º
«
¬
ª
H z
dz
y
dy
dz
d
z
A
0 0
0
0
)
)
(
exp(
)
( V
J
J
V
U
V
Finalement : »
¼
º
«
¬
ª
³
H
z
dz
z
A
z
m
0
0
0
)
)
(
exp(
1
)
(
)
( V
J
J
V
U
V
V
Donc, on doit minimiser
J
V
U
V
)
(
0
0
z
A
et ³
H
z
dz
0
)
)
(
exp(
1
V
J C.-à-d. on doit maximiser σ(z) et ³
H
z
dz
0 )
(
V
Une condition nécessaire d’extrémalité est : 0
dz
dV
[Euler] et
V
V w
w
w
w
'
dz
d
[Euler-Ostrogradski]
où
)
(
1
=
)
'
,
(z,
z
V
V
V
Réciproquement, si n
z V
V )
( z
, Alors :

5. P a g e 4 | 13
))
exp(
1
(
)
(
)
( 0
H
z
m
z
m
n
V
J
V
V
»
¼
º
«
¬
ª
0
)
( »
¼
º
«
¬
ª
z
m
V
Où
g
A
z
m 0
0
)
( »
¼
º
«
¬
ª
V
est le rapport masse résistance
pour la structure initiale considérée à section carrée constante A0
Donc une condition nécessaire et suffisante pour minimiser
)
(z
m
V
est n
cte
z V
V )
( z
Logiciel OPTOP : Numériquement, j’ai développé un mini-logiciel dédié à l’optimisation topologique
de la structure étudiée que je vais essayer après de le développer pour prendre en compte d’autres
contraintes et d’autres conditions aux limites.
Image : Interface graphique du logiciel d’optimisation topoogique OPTOP
L’interface graphique du logiciel est constituée de trois parties principales :
- Déonnées de la structure de base : Hauteur et Largeur.
- Parametres de calcul en Différences finies : Nombre de tranches ou de dicrésitisations,
Tolérance et la décrémentation Delat_A.
- Affichage Graphique : Affichage de la forme initiale, forme optimisée et contraintes.
L’idée de base du logiciel est de supprimer, progressivement, la matière qui travaille faiblement
et de maximiser la contrainte compression et la rendre uniforme dans la structure.
Vue la symétrie architecturale et géométrique demandée pour la tour, j’ai fait une modélisation en 2D.
Par conséquent, je vais confondre largeur L et surface A. L’algorithme est traduit sous le langage
C/C++ et joint dans le fichier numérique, ci-dessous l’idée de l’algorithme en détail :

6. P a g e 5 | 13
Le logiciel peut etre installé à partir de setup-optop.exe, sinon on peut exécuter directement la version
portable Optimisation Topoligique.exe présent sur le fichier OPTOP2018.
NB : J’ai adapté le logiciel seulement pour les versions de windows 64 bits
INPUT :
- Structure initiale (A0, H, n
V , J )
- Le pas de discrétisation : h
- Tolérance : η
- Le pas de la suppression de la matière : δA
ITERATIONS :
- Discrétisation de la structure en tranches d’égale épaisseur h
N
H u
Ÿ
→ N tranches, chaque tranche a une contrainte )
(i
V et une surface )
(i
A
- Initialisation des contraintes et des surfaces :
]
;
1
[ N
i
0
)
( A
i
A et H
i
N
i n )
(
)
(
J
V
V
- ¦
N
i N
i
MOY
1
)
(
V
La moyenne des résistances dans les tranches i
- ¦ u
N
i MOY
N
MOY
i
ERREUR
1
2
2
)
)
(
(V
La distance quadratique moyenne entre le vecteur
Contrainte et la contrainte moyenne
Tant que (ERREUR η) Faire :
Pour i variant de 1 à N
Si ( )
(i
V MOY et )
(i
V lim
V ) Alors
-Supprimer de matière dans la tranche i : )
(i
A ← )
(i
A - δA
-Recalculer les contraintes )
(i
V utilisant une discrétisation en
différences finis de l’équation d’équilibre Aσ’+A’σ+γA=0
-Recalculer la moyenne MOY
-Recalculer la distance ERREUR
Fin Si
Fin Pour
Fin tant que
OUTPUT
Afficher la forme optimisée : A(i)
Afficher les contraintes : )
(i
V

7. P a g e 6 | 13
Une fois le calcul terminé, un rapport graphique est disponible en cliquant sur « Rapport ».
Un exemple de Rapport Graphique d'optimisation pour une tolérance de 10-4
:
On vérifie que la contrainte est effectivement constante
tout au long de la hauteur sauf quelques petites
perturbations négligeables en z=0 et pour z entre 45 et 48
m dues au pas de discrétisation utilisé,
MPa
i n 6
)
( V
V ]
;
1
[ N
i 
Pour obtenir une expression mathématique de la courbe,
j’ai tracé le nuage de points d’OPTOP sur Excel (figure ci-
contre) :
La variation de La largeur est exponentielle, avec z = -
78,29ln(L) + 323,33. Donc L≈60 exp(-z/78.29) et cela
vérifie bien la forme obtenu pour une structure d’égale résistance de la question 1) .
Remarque : la discrétisation en différences finis de l’équation de l’équilibre
Cette discrétisation est utilisée pour calculer numériquement la contrainte en chaque point de la
structure utilisant la contrainte initiale connue dans la couche N : MPa
N 6
)
(
V
0
γA(z)
dz
(z)
d
A(z)
dz
dA(z)
σ(z)
V
Or h
z
A
h
z
A
dz
z
dA )
(
)
(
)
(
et h
z
h
z
dz
z
d )
(
)
(
)
( V
V
V
y = -78,29ln(x) + 323,33
R² = 1
0
50
100
150
200
250
300
350
-100 -50 0 50 100
Hauteur
en
m
Largeur en m

8. P a g e 7 | 13
Alors
h
z
z
A
h
z
A
h
z J
V
V
»
¼
º
«
¬
ª
)
(
)
(
2
Cette équation est la base du calcul d’optimisation topologique d’OPTOP.
4) LES COORDONNEES GEOMETRIQUES DES NŒUDS EN M :
On a ¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
n
z
A
V
J
exp
)
0
(
A(z) Avec L(z)
L(z)
A(z) u
Donc ¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
n
z
L
V
J
2
exp
)
0
(
L(z) où 120
)
0
(
L
Ainsi, 0
;
60
0
;
2
0
¸
¹
·
¨
©
§
L
A 0
;
60
0
;
2
0
¸
¹
·
¨
©
§ L
D
0
;
20
0
;
6
0
¸
¹
·
¨
©
§
L
B 0
;
20
0
;
6
0
¸
¹
·
¨
©
§ L
C
Or, 71
.
31
2
2
100
exp
120
2
100 ¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
n
z
L V
J
Alors
100
;
71
.
31
100
;
2
100
¸
¹
·
¨
©
§
L
E 100
;
0
F 100
;
71
.
31
100
;
2
100
¸
¹
·
¨
©
§ L
G
De même on a 76
.
16
2
200
z
L
et 86
.
8
2
300
z
L
Donc 150
;
0
H 200
;
76
.
16
200
;
2
200
¸
¹
·
¨
©
§
L
I 200
;
76
.
16
200
;
2
200
¸
¹
·
¨
©
§ L
J
300
;
86
.
8
300
;
2
300
¸
¹
·
¨
©
§
L
K et 300
;
86
.
8
300
;
2
300
¸
¹
·
¨
©
§ L
L
5) ALGORITHME DE DIFFERENCES FINIES
Le principe de la technique des différences finies est l’approximation suivante :
h
z
A
h
z
A
dz
z
dA )
(
)
(
)
(
Quand h tend vers 0.
Or 0
γA(z)
dz
dA(z)
σ(z) Alors, 0
γA(z)
)
(
)
(
σn
¸
¹
·
¨
©
§
h
z
A
h
z
A
Donc )
(
)
(
)
( z
A
h
z
A
h
z
A
n
V
J
Ainsi, à partir de cette dernière équation qu’on calcul itérativement A(z) pour z=100 et 200m.
On fait varier le pas de discrétisation DH on trouve les surfaces et les erreurs suivants :

9. P a g e 8 | 13
DH (m) A100 (m²) A200 (m²) ERREUR1 (%) ERREUR2 (%)
10 3680,2 940,53 8,5013 16,292
5 3855,3 132,2 4,1466 8,1351
4 3889,4 1050,5 3,2996 6,5045
2 3956,6 1087,1 1,6287 3,2454
1 3989,7 1105,4 0,80442 1,6172
0,5 4006,2 1114,6 0,39505 0,80349
On constate une convergence asymptotique de ERREUR=f(1/DH) vers une erreur limite nulle :
En plus, l’erreur de calcul de A200 et pratiquement le double de celui de A100, cela est dû à
l’accumulation de l’erreur. En effet, pour calculer A200, on commence avec A100 déjà calculé avec
l’erreur ERREUR1. Le programme sur CAST3M est joint en Annexe1.
ETUDE NUMERIQUE :
1. CONDITION AUX LIMITES
Soit N=12 le nombre de nœuds dans la structure, B=23 le nombre de barres et E le nombre de
composantes des réactions d’appui inconnues (nombre de liaisons avec l’extérieur).
Le treillis plan sera stable (iso-statiquement ou hyper-statiquement) si et seulement si B+E ≥ 2N, c.à.d.
E ≥ 1. Si E = 1 le système est isostatique, si E 1 le système est hyperstatique de degré h=E-1. On peut
alors, par exemple, considérer un appui double (Blocage de Ux et Uz) en A, B et C et un appui simple
(Blocage de Uz) en D. Sinon on prend un appui double en A, B, C et D.
Si intersection KJ et IL est prise en compte alors N=13 et B=25 et On a toujours la stabilité si et
seulement si E ≥ 1. Ainsi, la prise en compte de l’intersection de KJ et IL n’influence pas la stabilité de
la structure.
2. SIMULATION A L’AIDE DE CAST3M :
J’ai modélisé la structure sur CAST3M choisissant un modèle composé des barres de section S = 0.01m²
et en considérant que les déplacements sont bloqués en A, B, C et D.
Avant d’entamer cette question, j’ai choisis de faire la modélisation sur un logiciel que je maitrise
parfaitement, Robot RSA2018, pour s’assurer des résultats du nouveau logiciel. Le modèle Robot RSA
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 0,5 1 1,5 2 2,5
ERREUR
EN
%
1/DH
Variation de l'erreur en fonction de 1/DH
ERREUR1
ERREUR2

10. P a g e 9 | 13
est joint dans le fichier numérique. Le fichier de la modélisation sur CAST3M est joint en annexe 2, tous
les résultats seront exposés dans la question 4.
3. SIMULATION A L’AIDE D’ABAQUS :
Pareil que CAST3M, j’ai fait la modélisation sur ABAQUS.
Sauf que, pendant la création du modèle, un nœud a été
créé à l’intersection entre les diagonales de l’étage
supérieur de la Tour. L’introduction de ce nœud conduit,
inévitablement, à des résultats sensiblement différents.
Pour retirer ce nœud, je l’ai supprimé directement du
fichier de données job-1.inp.
Le fichier Job-1.inp, Job-1_modif.inp, Tour-eiffel.cae
Job-1.odb et Job-1_modif.odb ainsi que tous autres
fichiers nécessaires pour la visualisation des efforts et
des contraintes sont joint en fichier numérique.
Les résultats et les comparaisons entre différents
logiciels sont abordés dans la question suivante.
4. COMPAIASON DES RESULTATS :
CAST3M ABAQUS ROBOT
AB 0 0 0
BC 0 0 0
CD 0 0 0
AE -271,5 -270,895 -271,917186
BE -271,8 -271,175 -272,198766

11. P a g e 10 | 13
BF 6,10E-14 -6,13E-11 0
FC -6,095E-14 6,13E-11 0
CG -271,8 -271,175 -272,198766
GD -271,5 -270,895 -271,917186
EF 141,7 139,4 139,925153
FG 141,7 139,4 139,925153
EH -250,05 -250,089 -251,032223
GH -250,05 -250,089 -251,032223
HJ -223,3 -222,746 -223,586456
HI -223,3 -222,746 -223,586456
IJ 109,9 109,562 109,975713
IL -260,2 -259,59 -260,569852
JK -260,2 -259,59 -260,569852
KL 42,55 42,4222 42,5823004
EI -323,1 -322,346 -323,562628
GJ -323,1 -322,346 -323,562628
IK -280,1 -279,399 -280,453717
JL -280,1 -279,399 -280,453717
On constate que les résultats sont identiques entre les deux logiciels de calcul en éléments finis :
5. COUPLAGE CAST3M-OPTPAR ET OPTIMISATION TOPOLOGIQUE :
5.1 la section minimale des barres pour que la valeur maximale des contraintes normales dans les
barres soit égale à 250 MPa.
D’après la question 4 on observe qu’il y a 12 barres avec une contrainte supérieure à 250 MPa à
savoir AE ; BE ;CG ;GD ;EH ;GH ;IL ;JK ;IK ;JL ;EI ;GJ et parmi ces barres EI et GJ ont la contrainte plus
élevée . Ainsi, on va diviser les barres en 3 types selon la section préconisée en fonction des
contraintes :
ƒ S1=0.01 m² : AB ;BC ;CD ;BF ;FC ;EF ;FG ;HI ;HJ ;KL ;IJ (σ est déjà 250 MPa)
ƒ S2=X : AE ; BE ;CG ;GD ;EH ;GH ;IL ;JK ;IK ;JL ( X à chercher pour que σ soient 250 MPa)
ƒ S3=Y : EI ; GJ ( Y à chercher pour que σ soient 250 MPa)
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
AB BC CD AE BE BF FC CG GD EF FG EH GH HJ HI IJ IL JK KL EI GJ IK JL
CONTRAINTE
*0,02
MPA
LES BARRES
Comparaison des résultats EF ABAQUS ET CAST3M CAST3M
ABAQUS

12. P a g e 11 | 13
Pour trouver X et Y je vais procéder comme suit :
Optimisation 1 :
- par un couplage OPTPAR-CAST3M je vais trouver S2=X la section optimale pour que les barres
AE ; BE ; CG ; GD ; EH ; GH ; IL ; JK ; IK ; JL aient une contrainte inférieure ou égale à 250 MPa.
- Pour chaque itération je vais prendre S3=X
Optimisation 2 :
Certainement, après l’optimisation 1, les contraintes dans les barres EI et GJ seront supérieures à 250
MPa, donc la deuxième optimisation vise à trouver S3=Y optimale, en gardant pour S2 la valeur déjà
calculée pendant optimisation 1, pour que la valeur des contraintes dans EI et GJ soient inférieures à
250 MPa.
En fin, on trouve les résultats suivants pour le calcul de S2
Et pour S3 on trouve :
En Annexe 3 le fichier de couplage OPTPAR-CAST3m pour S3, celui pour S2 est mis dans le fichier
numérique.

13. P a g e 12 | 13
5.2 Les coordonnées de H pour que les contraintes dans les barres IH, JH, EH et GH soient égale à
235 MPa
On peut voir le problème comme un problème d’analyse inverse où le vecteur paramètre est
z
x H
H
P à identifier.
¸
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
¨
©
§
2350
-
2350
-
2350
-
2350
-
exp
M Le vecteur des efforts expérimentaux nous chercherons z
x H
H
P de telle
sorte que P
F
M
exp
soit minimale avec
¸
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
¨
©
§
GH
EH
JH
IH
P
F
c
c
c
c
V
V
V
V
le vecteur des efforts normaux
calculés dans les barres IH JH EH et GH.
Le fichier d’optimisation et les deux fichiers data et données sont joint en annexe 4
Le résultat obtenu est le suivant :
On trouve alors après identification 23
.
163
0
P et 1067
.
0
exp
P
F
M
5.3 Etude de sensibilité
On utilise la méthode des différences finies pour calculer S :
@
P
P
F
P
P
F
dP
P
dF
S
'
'
)
(
(Voir diapotive numéro 35 du cours d’analyse inverse)
Pour la valeur optimale du paramètre, on utilise les itérations 2 et 3 pour calculer @
S

14. P a g e 13 | 13
@
¸
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
¨
©
§
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
©
§
32
.
0
48
.
11
63
.
3
11
.
17
163.17
-
163.23
(-2116.23)
-
2115.66
-
163.17
-
163.23
(-2503.38)
-
2503.95
-
163.17
-
163.23
(-2725.96)
-
2725.77
-
163.17
-
163.23
(-2170.62)
-
2171.48
-
T
S
@ @
¸
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
¨
©
§
10
.
0
71
.
3
17
.
1
53
.
5
71
.
3
86
.
131
67
.
41
45
.
196
17
.
1
67
.
41
17
.
13
08
.
62
53
.
5
45
.
196
08
.
62
67
.
292
S
S
T
On a @ @ 0
10
025
,
1
det 43
|
˜
S
S
T
Pour la valeur initiale de P on utilise l’itération 0 et l’itération 1 pour un calcul en différences finies on
trouve @ @ 0
det S
S
T
Donc ce problème n’est pas identifiable. Pour le rendre identifiable, on peut adimensialiser le vecteur
paramètre
CONCLUSION :
Ce projet s’est révélé très enrichissant dans la mesure où il a consisté en une approche concrète du
métier de chercheur scientifique. En effet, la prise d’initiative, le respect des délais seront des aspects
essentiels de notre futur métier.
De plus, il m’a permis d’appliquer mes connaissances en mathématiques et informatique à un domaine
pratique, l’optimisation, qui se révèle aujourd’hui d’intérêt général.
En parallèle avec le projet, j’ai développé un logiciel d’optimisation topologique pour les structures
simples et que je pense le développer encore plus dans le futur.

15. ********************************************************
* PROJET MASTER MGC - UE3A - ANNEXE 1
*CALCUL DES SURFACES EN EG ET IJ PAR DIFFERENCES FINIS
* Author: - MED. ELYAHYAOUI
********************************************************
*
********************DONNEES*****************************
SIGN=6.E6;
GAMA=76518 ;
HF=300 ;
A0=14400 ;
A100T=4022.096;
A200T=1123.59;
****************DISCRETISATION**************************
DH=0.5;
NH=ENTI(HF/3/DH);
HVAR=0 ;
********************************************************
*CALCUL DE A100 ET L'ERREUR COMMISE
********************************************************
A=A0 ;
REPETER BOUCLE1 NH ;
HVAR1=HVAR+DH;
ADH=-1*(GAMA/SIGN)*A;
AH=A+(ADH*DH);
HVAR=HVAR1;
A=AH;
FIN BOUCLE1;
A100=AH;
ERREUR1=ABS((A100-A100T)/A100T);
ERREUR1=ERREUR1*100;
********************************************************
*CALCUL DE A200 ET L'ERREUR COMMISE
********************************************************
HVAR=0 ;
A=A100 ;
REPETER BOUCLE2 NH ;
HVAR1=HVAR+DH;
ADH=-1*(GAMA/SIGN)*A;
AH=A+(ADH*DH);
HVAR=HVAR1;
A=AH;
FIN BOUCLE2;
A200=AH;
ERREUR2=ABS((A200-A200T)/A200T);
ERREUR2=ERREUR2*100;
********************************************************
*AFFICHAGE DES RESULTATS
********************************************************
MESS 'A100=' A100;
MESS 'A200=' A200;
MESS'Erreur100=' ERREUR1;
MESS'Erreur200=' ERREUR2;

16. ********************************************************
* ANNEXE2
*PROJET MASTER MGC - UE3A - MODELISATION DE LA TOUR
* Author: - MED. ELYAHYAOUI
********************************************************
*
*
********************************************************
OPTI echo 0;
OPTI DIME 2 ELEM SEG2;
OPTI MODE PLAN CONT;
TITRE 'PROJET M2MGC - UE3A - TOUR EIFFEL';
*-------------------------------------------------------------------------------
* DEFINITION DES POINTS
*-------------------------------------------------------------------------------
A = -60. 0.;
B = -20. 0.;
C = 20. 0.;
D = 60. 0.;
E = -31.71 100.;
F = 0. 100.;
G = 31.71 100.;
H = 0. 150.;
I = -16.76 200.;
J = 16.76 200.;
K = -8.86 300.;
L = 8.86 300.;
*-------------------------------------------------------------------------------
*DEFINITION DES BARRES
*-------------------------------------------------------------------------------
S=0.01;
AB = DROITE 1 A B;
BC = DROITE 1 B C;
CD = DROITE 1 C D;
AE = DROITE 1 A E;
BE = DROITE 1 B E;
BF = DROITE 1 B F;
FC = DROITE 1 F C;
CG = DROITE 1 C G;
GD = DROITE 1 G D;
EF = DROITE 1 E F;
FG = DROITE 1 F G;
EH = DROITE 1 E H;
GH = DROITE 1 G H;
HJ = DROITE 1 H J;
HI = DROITE 1 H I;
IJ = DROITE 1 I J;
IL = DROITE 1 I L;
JK = DROITE 1 J K;
KL = DROITE 1 K L;
EI = DROITE 1 E I;
GJ = DROITE 1 G J;
IK = DROITE 1 I K;

17. JL = DROITE 1 J L;
L1 = AB et BC et CD et AE et BE et BF et FC et CG et GD et EF et FG;
L2 = EI et GJ et EH et GH et HJ et HI et IJ;
L3 = IL et JK et IK et JL et KL;
LT = L1 et L2 et L3;
*-------------------------------------------------------------------------------
*LE MODELE ET MATERIAU
*-------------------------------------------------------------------------------
MO1=MODE LT MECANIQUE ELASTIQUE ISOTROPE BARR;
MAT1=MATE MO1 YOUN 2.1E11 NU 0.25 RHO 7.8E+3 SECT S;
CAR1=CARA MO1 SECT S;
MAT2=MAT1 ET CAR1;
*-------------------------------------------------------------------------------
*CONDITION AUX LIMITES
*-------------------------------------------------------------------------------
CL1=BLOQ UX UY A;
CL2=BLOQ UX UY B;
CL3=BLOQ UX UY C;
CL4=BLOQ UX UY D;
CL=CL1 ET CL2 ET CL3 ET CL4;
*-------------------------------------------------------------------------------
*CHARGEMENT
*-------------------------------------------------------------------------------
FORC1=FORC FY -5.316E6 K;
FORC2=FORC FY -5.316E6 L;
FORCT=FORC1 ET FORC2;
*-------------------------------------------------------------------------------
*MATRICES DE RIGIDITE
*-------------------------------------------------------------------------------
RIG1=RIGI MAT1 MO1;
RIGT=RIG1 ET CL;
*-------------------------------------------------------------------------------
*RESOLUTION
*-------------------------------------------------------------------------------
DEPO=RESO RIGT FORCT;
*-------------------------------------------------------------------------------
*DEFINITION DES RESULTATS
*-------------------------------------------------------------------------------
REA1=REAC RIG1 DEPo;
EPSI1=EPSI MO1 MAT1 DEPo;
SIGM1=SIGM MO1 MAT1 DEPo;
*-------------------------------------------------------------------------------
*EXTRACTION DES RESULTATS ET POST-TRAITEMENT
*-------------------------------------------------------------------------------
DEF0 = DEFO LT DEPO 0. VERT;
DEF1 = DEFO LT DEPO 6. ROUGE;
mess'CONTRAINTE Normal dans chaque barre';
SIGM2=SIGM1/1.E4;
LIST SIGM2;
TRACE LT (DEF0 et DEF1);

18. *********************ANNEXE 3*********************
* PROJET MASTER MGC - UE3A - Optimisation Sections S3
* Author: - MED. ELYAHYAOUI
********************************************************
*
*
*
********************************************************
GRAPH='O';
SAUT PAGE;
OPTI echo 0;
OPTI DIME 2 ELEM SEG2;
OPTI MODE PLAN CONT;
TITRE 'PROJET M2MGC - UE3A - OPTIMISATION';
*----------------------------------------------------------------------------------------------------------
*couplage avec OPTPAR au niveau de lecture de valeurs de parametres a identifier
*----------------------------------------------------------------------------------------------------------
OPTION ACQUERIR PARAMETRES;
ACQUERIR II*ENTIER X*FLOTTANT;
* DEFINITION DES POINTS
*----------------------------------------------------------------------------------------------------------
A = -60. 0.;
B = -20. 0.;
C = 20. 0.;
D = 60. 0.;
E = -31.71 100.;
F = 0. 100.;
G = 31.71 100.;
H = 0. 150.;
I = -16.76 200.;
J = 16.76 200.;
K = -8.86 300.;
L = 8.86 300.;
*---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*SECTIONS
*---------------------------------------------------------------------------------------------------------
S1=0.01;
S2=X;
S3=X;
*---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*DEFINITION DES BARRES
*----------------------------------------------------------------------------------------------------------
AB = DROITE 1 A B;
BC = DROITE 1 B C;
CD = DROITE 1 C D;
AE = DROITE 1 A E;
BE = DROITE 1 B E;
BF = DROITE 1 B F;
FC = DROITE 1 F C;
CG = DROITE 1 C G;
GD = DROITE 1 G D;
EF = DROITE 1 E F;
FG = DROITE 1 F G;
EH = DROITE 1 E H;
GH = DROITE 1 G H;
HJ = DROITE 1 H J;
HI = DROITE 1 H I;

19. IJ = DROITE 1 I J;
IL = DROITE 1 I L;
JK = DROITE 1 J K;
KL = DROITE 1 K L;
EI = DROITE 1 E I;
GJ = DROITE 1 G J;
IK = DROITE 1 I K;
JL = DROITE 1 J L;
*---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*ZONE MAILLAGE;
*---------------------------------------------------------------------------------------------------------
L1 = AB et BC et CD et BF et FC et EF et FG et HI et HJ et KL et IJ;
L2 = AE et BE et CG et GD et EH et GH et IL et JK et IK et JL;
L3 = EI et GJ;
LT = L1 et L2 et L3;
*---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*DEFINITION LE MODELE ET MATERIAU
*----------------------------------------------------------------------------------------------------------
MO1=MODE L1 MECANIQUE ELASTIQUE ISOTROPE BARR;
MO2=MODE L2 MECANIQUE ELASTIQUE ISOTROPE BARR;
MO3=MODE L3 MECANIQUE ELASTIQUE ISOTROPE BARR;
MOT=MO1 ET MO2 ET MO3;
MAT1=MATE MO1 YOUN 2.1E11 NU 0.25 RHO 7.8E+3 SECT S1;
MAT2=MATE MO2 YOUN 2.1E11 NU 0.25 RHO 7.8E+3 SECT S2;
MAT3=MATE MO3 YOUN 2.1E11 NU 0.25 RHO 7.8E+3 SECT S3;
MATT=MAT1 ET MAT2 ET MAT3;
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*DEFINITION DES CONDITION AUX LIMITES
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
CL1=BLOQ UX UY A;
CL2=BLOQ UX UY B;
CL3=BLOQ UX UY C;
CL4=BLOQ UX UY D;
CL=CL1 ET CL2 ET CL3 ET CL4;
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*DEFINITION DES CHARGEMENT
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
FORC1=FORC FY -5.316E6 K;
FORC2=FORC FY -5.316E6 L;
FORCT=FORC1 ET FORC2;
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*DEFINITION DES MATRICES DE RIGIDITE
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
RIG1=RIGI MAT1 MO1;
RIG2=RIGI MAT2 MO2;
RIG3=RIGI MAT3 MO3;
RIGT=RIG1 ET RIG2 ET RIG3 ET CL;
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*RESOLUTION DU SYSTEME EQUATION LINEAIRE
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
DEPO=RESO RIGT FORCT;
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*DEFINITION DES RESULTAT
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
REA1=REAC RIGT DEPO;
EPSI1=EPSI MOT MATT DEPO;
SIGM1=SIGM MO1 MAT1 DEPO;

20. SIGM2=SIGM MO2 MAT2 DEPO;
SIGM3=SIGM MO3 MAT3 DEPO;
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*EXTRACTION DES RESULTATS
* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
I12=1;
EF_AE = EXTR SIGM2 1 I12 1 EFFX;
EF_AE = EF_AE/(S2*1.E6);
list EF_AE;
I13=1;
EF_BE = EXTR SIGM2 1 I13 1 EFFX;
EF_BE = EF_BE/(S2*1.E6);
list EF_BE;
I14=1;
EF_CG = EXTR SIGM2 1 I14 1 EFFX;
EF_CG = EF_CG/(S2*1.E6);
list EF_CG;
I15=1;
EF_GD = EXTR SIGM2 1 I15 1 EFFX;
EF_GD = EF_GD/(S2*1.E6);
list EF_GD;
I16=1;
EF_EH = EXTR SIGM2 1 I16 1 EFFX;
EF_EH = EF_EH/(S2*1.E6);
list EF_EH;
I17=1;
EF_GH = EXTR SIGM2 1 I17 1 EFFX;
EF_GH = EF_GH/(S2*1.E6);
list EF_GH;
I18=1;
EF_IL = EXTR SIGM2 1 I18 1 EFFX;
EF_IL = EF_IL/(S2*1.E6);
list EF_IL;
I19=1;
EF_JK = EXTR SIGM2 1 I19 1 EFFX;
EF_JK = EF_JK/(S2*1.E6);
list EF_JK;
I20=1;
EF_IK = EXTR SIGM2 1 I20 1 EFFX;
EF_IK = EF_IK/(S2*1.E6);
list EF_IK;
I21=1;
EF_JL = EXTR SIGM2 1 I21 1 EFFX;
EF_JL = EF_JL/(S2*1.E6);
list EF_JL;
*---------------------------------------------------------------------------------------------------------
*couplage avec OPTPAR au niveau de l'ecriture de valeurs des observables

21. *---------------------------------------------------------------------------------------------------------
CC1 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'1. EF_AE;
CC2 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'2. EF_BE;
CC3 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'3. EF_CG;
CC4 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'4. EF_GD;
CC5 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'5. EF_EH;
CC6 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'6. EF_GH;
CC7 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'7. EF_IL;
CC8 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'8. EF_JK;
CC9 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'9. EF_IK;
CC10 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)'10. EF_JL;
DEBPROC @stock FICHEXT*'MOT';
ii = vale impr;
OPTI IMPR 10 IMPR FICHEXT;
MESSAGE CC1;
MESSAGE CC2;
MESSAGE CC3;
MESSAGE CC4;
MESSAGE CC5;
MESSAGE CC6;
MESSAGE CC7;
MESSAGE CC8;
MESSAGE CC9;
MESSAGE CC10;
OPTI IMPR II;
FINPROC;
@stock OBSERVABLES
Fin;
Fin;

22. ********************ANNEXE 4*********************
* PROJET MASTER MGC - UE3A - Optimisation Hx-HZ
* Author: - MED. ELYAHYAOUI
********************************************************
*
*
*
********************************************************
OPTION ECHO 0;
GRAPH='O';
SAUT PAGE;
TITRE 'PROJET M2MGC - UE3A - OPTIMISATION';
OPTION DIME 2 ELEM SEG2;
OPTI MODE PLAN CONT;
S = 0.01;
MYoung = 2.1E11;
CPoiss = 0.25;
Mvol = 7.8E3;
*---------------------------------------------------------------------------------
* couplage avec OPTPAR au niveau de lecture de valeurs de parametres a identifier
*---------------------------------------------------------------------------------
OPTION ACQUERIR PARAMETRES;
ACQUERIR II*ENTIER HX*FLOTTANT HZ*FLOTTANT;
*------------------------------------------------------
* definition de la geometrie
*------------------------------------------------------
*--- Definition des noeuds par etage
A = -60. 0.;
B = -20. 0.;
C = 20. 0.;
D = 60. 0.;
E = -31.71 100.;
F = 0. 100.;
G = 37.71 100.;
H = 0. 150.;
I= -16.76 200.;
J=16.76 200.;
K=-8.86 300.;
L=8.86 300.;
H = HX HZ;
*------------------------------------------
*--- definition des segments
*------------------------------------------
N1 = 1;
AB = DROITE N1 A B;
AE = DROITE N1 A E;
BC = DROITE N1 B C;
BF = DROITE N1 B F;
CD = DROITE N1 C D;
CG = DROITE N1 C G;
EB = DROITE N1 E B;
EF = DROITE N1 E F;
EH = DROITE N1 E H;

23. EI = DROITE N1 E I;
FC = DROITE N1 F C;
FG = DROITE N1 F G;
GD = DROITE N1 G D;
GH = DROITE N1 G H;
GJ = DROITE N1 G J;
HI = DROITE N1 H I;
HJ = DROITE N1 H J;
IJ = DROITE N1 I J;
IK = DROITE N1 I K;
IL = DROITE N1 I L;
JK = DROITE N1 J K;
JL = DROITE N1 J L;
KL = DROITE N1 K L;
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*--- definition du treillis comme une zone compose des trois etages
*---- chaque barre a une rang I entiere dans cette zone
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SUR1 = AB et AE et EB et BF et EF et FC et BC et FG et CG et CD et GD;
SUR2 = EI et HI et EH et HJ et GH et GJ;
SUR3 = IK et JK et IJ et IL et JL et KL;
SURT = SUR1 ET SUR2 ET SUR3;
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* definition du modele
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MOT = MODE SURT MECANIQUE ELASTIQUE ISOTROPE BARR;
MATT = MATE MOT YOUN MYoung NU CPoiss RHO Mvol SECT S;
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* Definition des conditions aux limites
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CL1 = BLOQ 'DEPL' A;
CL2 = BLOQ 'DEPL' B;
CL3 = BLOQ 'DEPL' C;
CL4 = BLOQ 'DEPL' D;
CL = CL1 ET CL2 ET CL3 ET CL4;
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* calcul de rigidite
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RIG1 = RIGI MOT MATT;
RIGI1 = RIG1 ET CL;
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* chargement
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F1=FORC FY -5.316E6 K;
F2=FORC FY -5.316E6 L;
FT = F1 ET F2;
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* résolution
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DEPN = RESO RIGI1 FT;
SIGMB = SIGM MOT MATT DEPN;
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* Extraction des resultats et post-traitement:
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* extraction de la force axiale de la barre HI
IB = 13;
EFB13 = EXTR SIGMB 1 IB 1 EFFX;

24. MESS'EFF1 CASTEM 'EFB13;
* extraction de la force axiale de la barre EH
IB = 14;
EFB14 = EXTR SIGMB 1 IB 1 EFFX;
MESS'EFF1 CASTEM 'EFB14;
* extraction de la force axiale de la barre HJ
IB = 15;
EFB15 = EXTR SIGMB 1 IB 1 EFFX;
MESS'EFF1 CASTEM 'EFB15;
* extraction de la force axiale de la barre GH
IB = 16;
EFB16 = EXTR SIGMB 1 IB 1 EFFX;
MESS'EFF1 CASTEM 'EFB16;
* on va mettre l'effort en KN et les contraintes en MPa;
EFB13=EFB13/1000.;
EFB14=EFB14/1000.;
EFB15=EFB15/1000.;
EFB16=EFB16/1000.;
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* couplage avec OPTPAR au niveau de l'ecriture de valeurs des observables
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CC1 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)' 1. EFB13;
CC2 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)' 2. EFB14;
CC3 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)' 3. EFB15;
CC4 = CHAINE FORMAT '(1PE20.8)' 4. EFB16;
DEBPROC @stock FICHEXT*'MOT';
ii=vale impr;
OPTI IMPR 10 IMPR FICHEXT;
MESSAGE CC1;
MESSAGE CC2;
MESSAGE CC3;
MESSAGE CC4;
OPTI IMPR II;
FINPROC;
@stock OBSERVABLES;
Fin;
Fin;