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SYNTHESE
FIABILITE

 0
/
)
( N
ni
t
F
0
/
)
(
)
(
1
)
( N
t
N
t
F
t
R 


0
/
)
( N
ni
t
f 
t
t
N
ni
t 
 ).
(
/
)
(

Formulaire:
Probabilité de défaillance:
Fiabilité:
Distribution de la défaillance:
Taux de défaillance:
  
 





0 1
)
(
.
)
(
.
).
(
n
i
i
ti
R
t
t
f
t
dt
t
R
MTBF MTBF:
Tracer la fonction de fiabilité
Suite à un essai de durée de vie d’un composant et à partir des estimateurs
empiriques, on vous demande déterminer les indicateurs de fiabilité d’un
composant.
Estimation empirique des paramètres de
fiabilité
t N(t)
0 40
100 33
200 25
300 16
400 9
500 0
100,0%
82,5%
62,5%
40,0%
22,5%
0,0%
0,0%
100,0%
0 100 200 300 400 500 600
R(t)
t N(t) R(t)
0 40 100
100 33 82.5
200 25 62.5
300 16 40
400 9 22.5
500 0 0
0
/
)
(
)
(
1
)
( N
t
N
t
F
t
R 


Tracer le taux de défaillance
Taux de défaillance
0,0018
0,0024
0,0036
0,0044
0,0100
-
0,0020
0,0040
0,0060
0,0080
0,0100
0,0120
[0;100[ [100;200[ [200;300[ [300;400[ [400;500[
Le taux de défaillance est croissant, les défaillances sont dépendantes du
temps.
Calculer la MTBF
MTBF = 100* (1 + 0,825 + 0,625 + 0,4 + 0,225) = 307,5 h
t ni λ(t)
0;100 7 0.0018
100;200 8 0.0024
200;300 9 0.0036
300;400 7 0.0044
400;500 9 0.01
t
t
N
ni
t 
 ).
(
/
)
(

t N(t) R(t)
0 40 100
100 33 82.5
200 25 62.5
300 16 40
400 9 22.5
500 0 0
  
 





0 1
)
(
.
)
(
.
).
(
n
i
i
ti
R
t
t
f
t
dt
t
R
MTBF
Estimation empirique des paramètres de
fiabilité
Loi
Exponentielle
Un composant suit une loi de fiabilité définie par la relation suivante :
t
e
t
R .
005
,
0
)
( 
 loi exponentielle
Le modèle est exponentiel, le taux de défaillance est constant donc
les défaillances sont aléatoires.
Calculer la MTBF MTBF = 1/ = 1/0,005 = 200 h
Quelle est la probabilité d’être encore en bon fonctionnement pendant une durée
d’utilisation de 500h.
R(500) = e -0,005.500 = 0,082 soit 8,2 %
Déterminer la durée de vie associée à une fiabilité de 0,9.

)
(
ln t
R
t


t = -ln(0,9)/0,005 = 21,07 h
Fiabilité
Loi de
Weibull



)
(
)
(



t
e
t
R
Loi de fiabilité: Taux de défaillance:
1
)
(
)
( 

 





t
t
Fonction de répartition:



)
(
1
)
(




t
e
t
F
Densité de probabilité:







 )
(
1
)
(
)
(






t
e
t
t
f
MTBF (Mean time between failures):

 

 A
MTBF
Durée de vie associée à un seuil de
fiabilité:












1
)
(
1
ln
t
R
t
Définition de la loi de Weibüll :
C’est une loi de fiabilité à 3 paramètres qui permet de prendre en compte pour un composant
défini, les périodes où le taux de défaillance n’est pas constant (jeunesse et vieillesse).
Cette loi permet :
1) Une estimation de la MTBF
2) Les calculs de λ(t) et de R(t) et leurs représentations graphiques
3) Grâce au paramètre de forme β d’orienter un diagnostic, car β peut être caractéristique de
certains modes de défaillance.
Les 3 paramètres de la loi sont :
β  Paramètre de forme > 0 sans dimension:
Si β>1, le taux de défaillance est croissant, caractéristique de la zone de vieillesse.
Si β=1, le taux de défaillance est constant, caractéristique de la zone de maturité.
Si β<1, le taux de défaillance est décroissant, caractéristique de la zone de jeunesse.
η  Paramètre d’échelle > 0 qui s’exprime dans l’unité utilisée (temps, poids, volume…).
Ce paramètre permet la détermination de la MTBF et de l’écart type de la distribution à l’aide de
tables numériques qui fournissent A et B tels que : MTBF = A+  et  = B
γ  paramètre de position, - < γ < +, qui s’exprime dans la même unité que la MTBF et dépend
de la forme de la courbe. Si droite γ =0 :
γ>0 : survie totale sur l’intervalle de temps [0, γ] aucune défaillance entre t=0 et t = 
γ=0 : les défaillances débutent à l’origine des temps; historique dès la mise en service.
γ<0 : les défaillances ont débuté avant l’origine des temps ; ce qui montre que la mise en service
de l’équipement étudié a précédé la mise en historique des TBF.
AXE A
AXE A
AXE B
AXE a
AXE b
Ln t
t
Papier d’Alan PLAIT.
Préparation des données :
1. Détermination des couples (ti, Fi) par les rangs moyens ou les rangs
médians.
2. Tracé du nuage de points.
3. Tracé de la droite de Weibull.
4. Détermination de β, η, γ.
5. Détermination des équations de la loi de Weibull.
6. Calcul de la MTBF.
7. Exploitation des données issues de la loi.
Panne 1 Panne 2 Panne 3 Panne 4 Panne 5 Panne 6
TBF 740 515 165 330 1320 915
Préparation des données :
Détermination des couples (ti, Fi) par les rangs moyens ou les rangs
médians.
Ordre i TBF Fi
1
2
3
4
5
6
165
330
515
740
915
1320
Ordre i TBF Fi
1
2
3
4
5
6
165
330
515
740
915
1320
Ordre
de
rang
Taille de l'échantillon
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 50,000 29,289 20,630 15,910 12,945 10,910 9,428 8,300 7,412 6,697
2 70,711 50,000 38,573 31,381 26,445 22,849 20,113 17,962 16,226
3 79,370 61,427 50,000 42,141 36,412 32,052 28,624 25,857
4 84,090 68,619 57,859 50,000 44,015 39,308 35,510
5 87,055 73,555 63,588 55,984 50,000 45,169
6 89,090 77,151 67,948 60,691 54,831
7 90,572 79,887 71,376 64,490
8 91,700 82,038 74,142
9 92,587 83,774
10 93,303
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 6,107 5,613 5,192 4,830 4,516 4,240 3,995 3,778 3,582 3,406
2 14,796 13,598 12,579 11,702 10,940 10,270 9,678 9,151 8,677 8,251
3 23,578 21,669 20,045 18,647 17,432 16,365 15,422 14,581 13,827 13,147
4 32,380 29,758 27,528 25,608 23,939 22,474 21,178 20,024 18,988 18,055
5 41,189 37,853 35,016 32,575 30,452 28,589 26,940 25,471 24,154 22,967
6 50,000 45,951 42,508 38,544 36,967 34,705 32,704 30,921 29,322 27,880
7 58,811 54,049 50,000 46,515 43,483 40,823 38,469 36,371 34,491 32,795
8 67,620 62,147 57,492 53,485 50,000 46,941 44,234 41,823 39,660 37,710
9 76,421 70,242 64,984 60,456 56,517 53,059 50,000 47,274 44,830 42,526
10 85,204 78,331 72,472 67,425 63,033 59,177 55,766 52,725 50,000 47,542
11 93,893 86,402 79,955 74,392 69,548 65,295 61,531 58,177 55,170 52,458
12 94,387 87,421 81,353 76,061 71,411 67,296 63,629 60,340 57,374
13 94,808 88,298 82,568 77,525 73,060 69,079 65,509 62,289
14 95,169 89,060 83,635 78,821 74,529 70,678 67,205
15 95,484 89,720 84,578 79,976 75,846 72,119
16 95,760 90,322 85,419 81,011 77,033
17 96,005 90,849 86,173 81,945
18 96,222 91,322 86,853
19 96,418 91,749
20 96,594
Table des
rangs
médians
11
26
42
58
73
89
Ordre i TBF Fi
1 165 11
2 330 26
3 515 42
4 740 58
5 915 73
6 1320 89
2. Tracé du nuage de points.
3. Tracé de la droite de Weibull.
4. Détermination de β, η, γ.
  1,4
  780
On a une droite =>   0
On trace une
parallèle à la droite
qui passe par 1
1 1
1 1 1
( ) ln ( ) ln ln . ln
( ) ( ) ( )
t
t t t
R t e R t t
R t R t R t

 
  
   
 
  
 

 
 
       
  
          
       
       
1 1
( ) ( ) 1
( ) . . . ( ) .
( ) 1 ( )
t
t
f t f t t t
t e t
R t F t
e


 




   
 
   
 
 

 
 
 

 
 
   
 
    
   
    
5 Détermination des équations de la loi de Weibull.
  1,4
  780
On a une droite =>   0
 > 1, on est dans la zone de vieillesse.
} MTBF  A 
 A B  A B  A B
0,50 2,0000 4,470 1,50 0,9027 0,613 3,00 0,8930 0,325
0,55 1,7024 3,350 1,55 0,8994 0,593 3,10 0,8943 0,316
0,60 1,5046 2,650 1,60 0,8966 0,574 3,20 0,8957 0,307
0,65 1,3663 2,180 1,65 0,8942 0,556 3,30 0,8970 0,299
0,70 1,2638 1,850 1,70 0,8922 0,540 3,40 0,8984 0,292
0,75 1,1906 1,610 1,75 0,8906 0,525 3,50 0,8997 0,285
0,80 1,1330 1,430 1,80 0,8893 0,511 3,60 0,9011 0,278
0,85 1,0880 1,290 1,85 0,8882 0,498 3,70 0,9025 0,272
0,90 1,0522 1,770 1,90 0,8874 0,486 3,80 0,9038 0,266
0,95 1,0234 1,080 1,95 0,8867 0,474 3,90 0,9051 0,260
1,00 1,0000 1,000 2,00 0,8862 0,463 4,00 0,9064 0,254
1,05 0,9803 0,934 2,10 0,8857 0,443 4,10 0,9077 0,249
1,10 0,9649 0,878 2,20 0,8856 0,425 4,20 0,9089 0,244
1,15 0,9517 0,830 2,30 0,8859 0,409 4,30 0,9102 0,239
1,20 0,9407 0,787 2,40 0,8865 0,393 4,40 0,9114 0,235
1,25 0,9314 0,750 2,50 0,8873 0,380 4,50 0,9126 0,230
1,30 0,9236 0,716 2,60 0,8882 0,367 4,60 0,9137 0,226
1,35 0,9170 0,687 2,70 0,8893 0,355 4,70 0,9149 0,222
1,40 0,9114 0,660 2,80 0,8905 0,344 4,80 0,9160 0,218
1,45 0,9067 0,635 2,90 0,8917 0,334 4,90 0,9171 0,214
Table des
valeurs de A
et B en
fonction de 
MTBF  A   0,9114 x 780 + 0 = 710
6 Calcul de la MTBF.
7 Exploitation des données issues de la loi.
Dans l’unité de la MTBF (heures, jours
Tonnes, Kms…).
Loi de Weibull
 Détermination des paramètre de la loi : papier Weibull
1- Préparation des données:
2- Tracé du nuage de points :
3- Tracé de la droite de Weibull
4- Équation de la loi
4
,
1
)
770
(
)
(
t
e
t
R


5- Détermination MTBF
β
η
 = 0
MTBF = A. + 
165h
11%
η= 770h
Loi de Weibull
 Optimisation de la période d’intervention systémique :
1- détermination du ration économique:
•Le coût « p » du correctif
•Le coût indirect « P »
r =P/p ratio de « criticité économique »
2- détermination période optimale :
𝜽𝟎 = .𝑿𝟎
Soit un changement systématique à :
𝜽𝟎= 770.0,38 = 292h
r=10
L’étude de Weibull a permis de
trouver un =1,4 et =770h
Avec un r = 10
X0=0,38

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  • 1. SYNTHESE FIABILITE   0 / ) ( N ni t F 0 / ) ( ) ( 1 ) ( N t N t F t R    0 / ) ( N ni t f  t t N ni t   ). ( / ) (  Formulaire: Probabilité de défaillance: Fiabilité: Distribution de la défaillance: Taux de défaillance:           0 1 ) ( . ) ( . ). ( n i i ti R t t f t dt t R MTBF MTBF:
  • 2. Tracer la fonction de fiabilité Suite à un essai de durée de vie d’un composant et à partir des estimateurs empiriques, on vous demande déterminer les indicateurs de fiabilité d’un composant. Estimation empirique des paramètres de fiabilité t N(t) 0 40 100 33 200 25 300 16 400 9 500 0 100,0% 82,5% 62,5% 40,0% 22,5% 0,0% 0,0% 100,0% 0 100 200 300 400 500 600 R(t) t N(t) R(t) 0 40 100 100 33 82.5 200 25 62.5 300 16 40 400 9 22.5 500 0 0 0 / ) ( ) ( 1 ) ( N t N t F t R   
  • 3. Tracer le taux de défaillance Taux de défaillance 0,0018 0,0024 0,0036 0,0044 0,0100 - 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0120 [0;100[ [100;200[ [200;300[ [300;400[ [400;500[ Le taux de défaillance est croissant, les défaillances sont dépendantes du temps. Calculer la MTBF MTBF = 100* (1 + 0,825 + 0,625 + 0,4 + 0,225) = 307,5 h t ni λ(t) 0;100 7 0.0018 100;200 8 0.0024 200;300 9 0.0036 300;400 7 0.0044 400;500 9 0.01 t t N ni t   ). ( / ) (  t N(t) R(t) 0 40 100 100 33 82.5 200 25 62.5 300 16 40 400 9 22.5 500 0 0           0 1 ) ( . ) ( . ). ( n i i ti R t t f t dt t R MTBF Estimation empirique des paramètres de fiabilité
  • 4. Loi Exponentielle Un composant suit une loi de fiabilité définie par la relation suivante : t e t R . 005 , 0 ) (   loi exponentielle Le modèle est exponentiel, le taux de défaillance est constant donc les défaillances sont aléatoires. Calculer la MTBF MTBF = 1/ = 1/0,005 = 200 h Quelle est la probabilité d’être encore en bon fonctionnement pendant une durée d’utilisation de 500h. R(500) = e -0,005.500 = 0,082 soit 8,2 % Déterminer la durée de vie associée à une fiabilité de 0,9.  ) ( ln t R t   t = -ln(0,9)/0,005 = 21,07 h
  • 5. Fiabilité Loi de Weibull    ) ( ) (    t e t R Loi de fiabilité: Taux de défaillance: 1 ) ( ) (          t t Fonction de répartition:    ) ( 1 ) (     t e t F Densité de probabilité:         ) ( 1 ) ( ) (       t e t t f MTBF (Mean time between failures):      A MTBF Durée de vie associée à un seuil de fiabilité:             1 ) ( 1 ln t R t
  • 6. Définition de la loi de Weibüll : C’est une loi de fiabilité à 3 paramètres qui permet de prendre en compte pour un composant défini, les périodes où le taux de défaillance n’est pas constant (jeunesse et vieillesse). Cette loi permet : 1) Une estimation de la MTBF 2) Les calculs de λ(t) et de R(t) et leurs représentations graphiques 3) Grâce au paramètre de forme β d’orienter un diagnostic, car β peut être caractéristique de certains modes de défaillance. Les 3 paramètres de la loi sont : β  Paramètre de forme > 0 sans dimension: Si β>1, le taux de défaillance est croissant, caractéristique de la zone de vieillesse. Si β=1, le taux de défaillance est constant, caractéristique de la zone de maturité. Si β<1, le taux de défaillance est décroissant, caractéristique de la zone de jeunesse. η  Paramètre d’échelle > 0 qui s’exprime dans l’unité utilisée (temps, poids, volume…). Ce paramètre permet la détermination de la MTBF et de l’écart type de la distribution à l’aide de tables numériques qui fournissent A et B tels que : MTBF = A+  et  = B γ  paramètre de position, - < γ < +, qui s’exprime dans la même unité que la MTBF et dépend de la forme de la courbe. Si droite γ =0 : γ>0 : survie totale sur l’intervalle de temps [0, γ] aucune défaillance entre t=0 et t =  γ=0 : les défaillances débutent à l’origine des temps; historique dès la mise en service. γ<0 : les défaillances ont débuté avant l’origine des temps ; ce qui montre que la mise en service de l’équipement étudié a précédé la mise en historique des TBF.
  • 7. AXE A AXE A AXE B AXE a AXE b Ln t t Papier d’Alan PLAIT.
  • 8. Préparation des données : 1. Détermination des couples (ti, Fi) par les rangs moyens ou les rangs médians. 2. Tracé du nuage de points. 3. Tracé de la droite de Weibull. 4. Détermination de β, η, γ. 5. Détermination des équations de la loi de Weibull. 6. Calcul de la MTBF. 7. Exploitation des données issues de la loi.
  • 9. Panne 1 Panne 2 Panne 3 Panne 4 Panne 5 Panne 6 TBF 740 515 165 330 1320 915 Préparation des données : Détermination des couples (ti, Fi) par les rangs moyens ou les rangs médians. Ordre i TBF Fi 1 2 3 4 5 6 165 330 515 740 915 1320
  • 10. Ordre i TBF Fi 1 2 3 4 5 6 165 330 515 740 915 1320 Ordre de rang Taille de l'échantillon 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 50,000 29,289 20,630 15,910 12,945 10,910 9,428 8,300 7,412 6,697 2 70,711 50,000 38,573 31,381 26,445 22,849 20,113 17,962 16,226 3 79,370 61,427 50,000 42,141 36,412 32,052 28,624 25,857 4 84,090 68,619 57,859 50,000 44,015 39,308 35,510 5 87,055 73,555 63,588 55,984 50,000 45,169 6 89,090 77,151 67,948 60,691 54,831 7 90,572 79,887 71,376 64,490 8 91,700 82,038 74,142 9 92,587 83,774 10 93,303 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 6,107 5,613 5,192 4,830 4,516 4,240 3,995 3,778 3,582 3,406 2 14,796 13,598 12,579 11,702 10,940 10,270 9,678 9,151 8,677 8,251 3 23,578 21,669 20,045 18,647 17,432 16,365 15,422 14,581 13,827 13,147 4 32,380 29,758 27,528 25,608 23,939 22,474 21,178 20,024 18,988 18,055 5 41,189 37,853 35,016 32,575 30,452 28,589 26,940 25,471 24,154 22,967 6 50,000 45,951 42,508 38,544 36,967 34,705 32,704 30,921 29,322 27,880 7 58,811 54,049 50,000 46,515 43,483 40,823 38,469 36,371 34,491 32,795 8 67,620 62,147 57,492 53,485 50,000 46,941 44,234 41,823 39,660 37,710 9 76,421 70,242 64,984 60,456 56,517 53,059 50,000 47,274 44,830 42,526 10 85,204 78,331 72,472 67,425 63,033 59,177 55,766 52,725 50,000 47,542 11 93,893 86,402 79,955 74,392 69,548 65,295 61,531 58,177 55,170 52,458 12 94,387 87,421 81,353 76,061 71,411 67,296 63,629 60,340 57,374 13 94,808 88,298 82,568 77,525 73,060 69,079 65,509 62,289 14 95,169 89,060 83,635 78,821 74,529 70,678 67,205 15 95,484 89,720 84,578 79,976 75,846 72,119 16 95,760 90,322 85,419 81,011 77,033 17 96,005 90,849 86,173 81,945 18 96,222 91,322 86,853 19 96,418 91,749 20 96,594 Table des rangs médians 11 26 42 58 73 89
  • 11. Ordre i TBF Fi 1 165 11 2 330 26 3 515 42 4 740 58 5 915 73 6 1320 89 2. Tracé du nuage de points.
  • 12. 3. Tracé de la droite de Weibull.
  • 13. 4. Détermination de β, η, γ.   1,4   780 On a une droite =>   0 On trace une parallèle à la droite qui passe par 1
  • 14. 1 1 1 1 1 ( ) ln ( ) ln ln . ln ( ) ( ) ( ) t t t t R t e R t t R t R t R t                                                             1 1 ( ) ( ) 1 ( ) . . . ( ) . ( ) 1 ( ) t t f t f t t t t e t R t F t e                                                       5 Détermination des équations de la loi de Weibull.
  • 15.   1,4   780 On a une droite =>   0  > 1, on est dans la zone de vieillesse. } MTBF  A   A B  A B  A B 0,50 2,0000 4,470 1,50 0,9027 0,613 3,00 0,8930 0,325 0,55 1,7024 3,350 1,55 0,8994 0,593 3,10 0,8943 0,316 0,60 1,5046 2,650 1,60 0,8966 0,574 3,20 0,8957 0,307 0,65 1,3663 2,180 1,65 0,8942 0,556 3,30 0,8970 0,299 0,70 1,2638 1,850 1,70 0,8922 0,540 3,40 0,8984 0,292 0,75 1,1906 1,610 1,75 0,8906 0,525 3,50 0,8997 0,285 0,80 1,1330 1,430 1,80 0,8893 0,511 3,60 0,9011 0,278 0,85 1,0880 1,290 1,85 0,8882 0,498 3,70 0,9025 0,272 0,90 1,0522 1,770 1,90 0,8874 0,486 3,80 0,9038 0,266 0,95 1,0234 1,080 1,95 0,8867 0,474 3,90 0,9051 0,260 1,00 1,0000 1,000 2,00 0,8862 0,463 4,00 0,9064 0,254 1,05 0,9803 0,934 2,10 0,8857 0,443 4,10 0,9077 0,249 1,10 0,9649 0,878 2,20 0,8856 0,425 4,20 0,9089 0,244 1,15 0,9517 0,830 2,30 0,8859 0,409 4,30 0,9102 0,239 1,20 0,9407 0,787 2,40 0,8865 0,393 4,40 0,9114 0,235 1,25 0,9314 0,750 2,50 0,8873 0,380 4,50 0,9126 0,230 1,30 0,9236 0,716 2,60 0,8882 0,367 4,60 0,9137 0,226 1,35 0,9170 0,687 2,70 0,8893 0,355 4,70 0,9149 0,222 1,40 0,9114 0,660 2,80 0,8905 0,344 4,80 0,9160 0,218 1,45 0,9067 0,635 2,90 0,8917 0,334 4,90 0,9171 0,214 Table des valeurs de A et B en fonction de  MTBF  A   0,9114 x 780 + 0 = 710 6 Calcul de la MTBF. 7 Exploitation des données issues de la loi. Dans l’unité de la MTBF (heures, jours Tonnes, Kms…).
  • 16. Loi de Weibull  Détermination des paramètre de la loi : papier Weibull 1- Préparation des données: 2- Tracé du nuage de points : 3- Tracé de la droite de Weibull 4- Équation de la loi 4 , 1 ) 770 ( ) ( t e t R   5- Détermination MTBF β η  = 0 MTBF = A. +  165h 11% η= 770h
  • 17. Loi de Weibull  Optimisation de la période d’intervention systémique : 1- détermination du ration économique: •Le coût « p » du correctif •Le coût indirect « P » r =P/p ratio de « criticité économique » 2- détermination période optimale : 𝜽𝟎 = .𝑿𝟎 Soit un changement systématique à : 𝜽𝟎= 770.0,38 = 292h r=10 L’étude de Weibull a permis de trouver un =1,4 et =770h Avec un r = 10 X0=0,38