Le document traite de l'enseignement du théorème de Thalès, en mettant en lumière ses énoncés, ses applications et les variations des configurations au fil des ans. Il aborde les approches pédagogiques et les changements dans les manuels scolaires, notamment l'intégration de l'homothétie et du calcul vectoriel. La conclusion souligne l'importance de diversifier les applications tout en reconnaissant les limites imposées par de nouvelles méthodes d'enseignement.

1. La version du théorème de
Thalès enseignée actuellement
Journées de l’ATSM. 18-21 Décembre 2005

2. Plan
Introduction
Les trois points étudiés
 Les énoncés du théorème de Thalès
 Les applications du théorème de Thalès
 L’espace de variation des configurations de
Thalès
Le théorème de Thalès en 9ème année de base
Le théorème de Thalès en 1ère année secondaire
 La version de 2002
 La version de 2003
Remarques
Conclusion

3. Introduction
Le théorème de Thalès
• Un point fort qui a traversé toutes les réformes
• Il permet de rencontrer tôt les problèmes où le
géométrique et le numérique se rencontrent.
• Un concept auquel sont associés des énoncés
différents
• Il se place au carrefour de plusieurs concepts
enseignés actuellement.

4. Les trois points observés
• Les énoncés du théorème de Thalès :
Duperret (1995)
 L’aspect « projection » permet le passage d’une droite à
l’autre
 L’aspect « homothétie » privilégie le passage d’un
triangle à l’autre.

5. La projection (Brousseau, 1995)
La conservation des La conservation du
abscisses rapport de projection
AB AC AB AB '
= =
AB ' AC ' AC AC '

6. Jaffrot (1995)
Longueurs sur (d) OA AC OC HE …
Longueurs sur (d') OB BD OD GF …
AC BD OA OC OE OH OC OD CD
= ; = = = ; = =
OA OB OB OD OF OG OA OB AB

7. • L’espace de variation des configurations
de Thalès
J. et F. Cordier (1991)
 certaines configurations, appelées typiques,
sont les plus préférées par les élèves
 Une enquête menée en 2002 : le même phénomène est
retrouvé chez les enseignants
 le nombre de parallèles envisagées
 l’angle des deux sécantes (aigu ou obtus)
 la disposition des parallèles

8. • Les applications du théorème de Thalès
 cas de similitude de triangles
 Les relations métriques dans les triangles rectangles
 le théorème de Pythagore
 L’introduction des notions trigonométriques
 le calcul de la puissance d’un point par rapport à un
cercle
 Les applications caractérisées par un aspect
utilitaire:
- L’exemple typique de la mesure de la hauteur
d’un arbre
- la mesure d’objets inaccessibles de l’espace

9. Le théorème de Thalès en 9ème année de base
Le programme officiel (1997)
 un objectif essentiel : calculer des distances
 Le statut des énoncés est fixé: il est indiqué
d’appliquer le théorème au triangle et au trapèze.
 Diviser un segment en parties égales ou en parties
de longueurs proportionnelles à des réels donnés
Le manuel scolaire
 Le «Thalès dans un triangle » est traité comme
conséquence d’un énoncé supposé plus général.
 Il est le plus souvent mobilisé dans les applications.
 L’énoncé donné ne propose que l’égalité d’un seul
rapport.

10.  un champ d’applications assez réduit, dominé par des
questions calculatoires
Le théorème de Thalès en 1ère année secondaire
La version de 2002
Le programme de 1998
 L’arrivée du sens réciproque du théorème
 Construire le point M de la droite (AB) tel que
uuuu
r uuu
r
AM = KAB où K ∈ IR *
 Faire un retour sur l’énoncé vu dans la classe
précédente

11. Le manuel de 2002
Le sens direct
- Un unique énoncé est rappelé: la conservation des abscisses
- L’aspect «homothétie » est le plus utilisé dans les applications
Le sens réciproque
1- Difficulté d’ordre logique
- à partir de 1991, l'enseignement formel de la logique a
disparu des programmes.
- dans le cours, aucune initiation à l’apprentissage de la
réciproque d’une propriété n’apparaît.
2- l’utilisation des mesures algébriques:
 Avantage: éviter d'indiquer l’ordre des points
 Difficulté: n'attribuer à l’énoncé qu'un seul dessin
3 - l’absence d’un énoncé de la réciproque relatif à l’approche
« homothétie »

12. Les applications du théorème de Thalès:
- Construire le point M de la droite (AB) tel que
uuuu
r uuur
AM = KAB où K ∈ IR *
- Construction de la 4ème proportionnelle et partage
de segments en parties isométriques
- La fréquence élevée des applications avec les
mesures algébriques.
- Les relations Thalès-trigonométrie et Thalès-
vecteurs sont faibles

13. La version de 2003
Le programme de 2003
 Il est organisé sous forme de compétences
 Deux nouvelles orientations
- Une importance particulière est accordée aux
démonstrations à l’apprentissage de la démarche et
du raisonnement mathématique
Les élèves distinguent entre une implication et une
équivalence
- Contribution des mathématiques au développement
de la société

14. Les applications du théorème de Thalès
 Ils [les élèves] trouvent une quatrième
proportionnelle
 Ils partagent un segment en parties
isométriques
 Ils déterminent l’effet de la multiplication
d’une dimension d’un solide par un nombre
donné sur son aire et son volume
 Ils résolvent des problèmes de […]
reproduction de figures.
 Ils mesurent des longueurs et des angles en
utilisant le théorème de Thalès et sa
réciproque…

15. Le manuel de 2003
Des différences de forme
 Un nombre d’activités impressionnant
 Les différents éléments du cours sont séparés
 L’introduction de l’outil informatique, et de la
dimension historique du concept
 Des indications précisant la stratégie de résolution
 Des exercices d’auto-évaluation
La leçon sur le théorème de Thalès
Une nouvelle place: les vecteurs sont renvoyés au
chapitre 4, après la leçon sur les rapports
trigonométriques qui suit celle sur le théorème de
Thalès.

16. Le sens direct
 Le nouveau manuel redonne la vie à l’approche
« homothétie »
 L’approche « projection » est totalement absente
Le sens réciproque
 L’approche « homothétie » est encore dominante
 L’absence des mesures algébriques
 Nécessité de préciser que, sur les deux côtés, les
points sont choisis dans le même ordre
 l’existence de trois énoncés relatifs au sens
réciproque du théorème

17. Les applications du théorème de Thalès
 la construction d’un point M de (AB) tel que
uuuu
r uuu
r
AM = KAB où K ∈IR *
limitée au cas où k est un réel positif
 le partage d’un segment en parties isométriques
disparaît et est remplacé par le partage d’un
segment dans une proportion donnée.
 Un nouveau champ d’applications:
les problèmes d’agrandissement et de réduction
La propriété des (k ; k2) : "dans un phénomène
d' « agrandissement-réduction », quand les
longueurs sont multipliées par un réel k, les aires
le sont par k2"
 un apprentissage de reproduction de figures et de
comparaison des aires

18. Dans les trois manuels
 L’un des deux aspect est dominant
 Les applications du théorème de Thalès sont limitées
au contexte mathématique (3 sur 28 en 9ème, 1 sur 21
en 2002 et 1 sur 15 en 2003)
 Les variables de la figure sont peu mobilisées
 Le nombre de parallèles est au plus 3
 La dominance des cas où:
 L’angle des sécantes est aigu
 Le point d’intersection des sécantes est
du même côté par rapport aux parallèles

19. Quelques remarques :
1. Une réelle « hésitation » entre les deux approches
du théorème de Thalès
 L’approche « homothétie »
 passage des figures semblables aux proportions
 plus proche de l’environnement de l’enfant et du
sens historique du théorème
 dans la majorité des applications on a recours
rapidement au triangle
 l’aspect projectif du théorème : l’exemple des « petits
bouts » (Duperret ,1995)

20. x b
la « projection » : =
a c
L’« homothétie »: un calcul plus compliqué
Un Thalès dynamique
Situation A, l'invariant : la "projection » ,le variant : l"homothétie".
Situation B, l'invariant : l'"homothétie",le variant : la "projection".

21. 2. Le phénomène d’agrandissement-réduction: un
rôle plus important (A. et C. Massot, 1995)
- Dans un agrandissement ou une réduction les
angles sont conservés
- En général, la réciproque est fausse
- La réciproque est vraie dans le cas des triangles
- Dans les triangles ABC et ADE , les angles sont
respectivement égaux
- Ces triangles sont agrandis ou réduits l’un de l’autre.
- Leurs côtés sont donc proportionnels (approche
«homothétie »)

22. (Monfront, 1995)
- Les deux triangles rectangles ont un angle aigu
égal, donc ils sont agrandis ou réduits l’un de l’autre
- Leurs côtés sont donc proportionnels
- Ces rapports sont indépendants des triangles
- Introduction du cosinus, sinus et tangente d’un
angle aigu
3. La nouvelle place de la leçon sur les vecteurs:
un rétrécissement de la niche écologique du théorème
de Thalès

23. Relation Thalès-vecteur
- Introduction du théorème de Thalès
Brousseau (1995)
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
si AB ' = α AB alors AC ' = α AC (conservation des abscisses)
uuuuur uuu
r uuuu
r uuu
r
si B ' C ' =αBC alors AB ' =α AB (homothétie)
r u r r u
r
- Etablir la relation λ (U + V ) = λ U + λ V
- Préparer le terrain pour l’avènement de l’homothétie
et du barycentre.

24. 4- Les limites des configurations typiques
(J. et F. Cordier, 1991)
Les configurations typiques: une source de biais cognitif
 Elles permettent d’économiser le temps et les
erreurs dans le repérage des éléments
caractéristiques d’une figure
 Elles sont des points de référence caractérisés par
un temps de traitement de l’information rapide
Illusion: la catégorie logique est visible à travers
sont objet prototypique
 L’élève peut fonder son raisonnement sur des
propriétés figuratives inutiles au problème
 Il peut rejeter des situations pertinentes à cause
de leur non adéquation avec ses représentations
Connaissance prototypique
Connaissance conceptuelle

25. Conclusion
Le nouveau manuel: des lacunes comblées
- Par la réapparition de l’approche « homothétie »
- Par l’introduction de nouveaux champs d’applications
- Par des exercices plus variés (calcul et comparaison
d’aires et de périmètres, recherche d’un ensemble de
points)
La nouvelle place des vecteurs a réduit l’environnement
du théorème de Thalès.
Quel est l’impact de l’arrivée des transformations et du
calcul vectoriel sur l’application du théorème de Thalès?