tipemoadvf-180412122350.pdf

Travaux d’Initiative Personnelle Encadrés (TIPE)
Thème : Structures – Organisation, Complexité, Dynamique
ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Enseignement Supérieur,
de la Recherche Scientifique et de la
Formation des Cadres
Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment :
Cas d’Effet Sismique
Réalisé par :
EL BAHLOULI Moad Etudiant en 2ème Année CPGE - MP
Encadré par :
Pr. BOUSTANI Lhoussaine Professeur de Physique-Chimie (CPGE)

Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment :
Cas d’Effet Sismique
Structures : Organisation, Complexité, Dynamique
EffortsDynamiqueslatérales?
DegrésdeLibertés?

Plan du TIPE
Contexte
général
du travail
Motivations
Problématique
Introduction /
Mise en situation

Equation de Mouvement
AXE 1 : REPONSE
DYNAMIQUE SISMIQUE
D’UN BATIMENT
Valeurs Propres
Intégrale de Duhamel
∫
[⍂]

AXE 2: ETUDE DE CAS
PRATIQUE
Calcul Matriciel Manuel
d’un Bâtiment à 2 étages
Simulation Numérique
par Excel

Contexte général
du travail
Introduction
et mise en situation
Problématique Motivations

Introduction et mise en situation
8
L’augmentation d’une unité correspond à une énergie sismique multipliée par 10
Echelle de Richter
Il s’agit d’une échelle ouverte qui, à ce jour, ne comprend que 9 degrés.
MAGNITUDE SUR
L’ÉCHELLE DE RICHTER
EFFETS DU TREMBLEMENT DE TERRE
Moins de 3,5 Le séisme est non ressenti, mais enregistré par les sismographes.
De 3,5 à 5,4 Il est souvent ressenti, mais sans dommage.
De 5,4 à 6
Légers dommages aux bâtiments bien construits, mais peut causer
des dommages majeurs à d’autres bâtisses.
De 6,1 à 6,9 Peut être destructeur dans une zone de 100 km à la ronde.
De 7 à 7,9
Tremblement de terre majeur. Il peut causer de sérieux dommages
sur une large surface.
Au-dessus de 8
C’est un très grand séisme pouvant causer de très grands
dommages dans des zones de plusieurs centaines de kilomètres.

9
Tremblement de Terre « El Centro », Californie, Etats-Unis, 1940
 Magnitude : 6,3
 Echelle Mercalli : X (extrême)
 Profondeur : 16 km
 Dommages matériels : 6 M$
(80% des bâtiments détruits)
 Dommages humains : 9 morts
20 blessés

10
Tremblement de Terre Al Hoceima, Maroc, 2004

11
Déformation
horizontale
Force d’inertie
sismique
résultante
Déformation
horizontale
Force sismique
principale

Problématique
12
Détermination du
Comportement Dynamique
Etude Physique et
Mathématique
Structure de
Bâtiment face à une
charge sismique
Système à
plusieurs degrés
de libertés
Formulation
mathématique
Résolution d’une
équation complexe
Enseignements
à tirer
Programmation
Numérique Excel
TIPE
c2
c1
s2 (t)
s1 (t)
k2/2 k2/2
k1/2 k1/2
s (t)

Objectifs visés et démarche adoptée
2-
Catalyseur
historique
Avoir survécu un
évènement sismique
de Rabat en 2001
(3,1 Mw)
3-
Programmation
Appliquée InG.
Outils de calcul / de
simulation par
Excel
1-
Enrichissement
Technique
Tendance pour la
compréhension de
la résistance
parasismique des
bâtiments
Motivations
13

AXE 1 : REPONSE
DYNAMIQUE SISMIQUE
D’UN BATIMENT
Equation de
Mouvement
Valeurs Propres Intégrale de Duhamel
[⍂] ∫

Equation de Mouvement [⍂] ∫
y2
y1
c2
c1
c2
c1
s2 (t)
s1 (t)
k2/2 k2/2
k1/2 k1/2
fI2
fI1
f(i)d2/2
f(i)d1/2
f(s)d1/2
s2 (t)
s1 (t)
f(i)e2/2
f(i)e2/2
f(i)e1/2
f(i)e1/2
f(s)e1/2
f(s)e1/2
)
.(
.
f
f
f 2
1
2
1
1
(s)
e1
(i)
e1
e1 y
y
k
y
k 




)
.(
f
f 1
2
2
(i)
e2
e2 y
y
k 


Forces élastiques
)
.(
.
f
f
f 2
1
2
1
1
(s)
d1
(i)
d1
d1 y
y
c
y
c 

 




)
.(
f
f 1
2
2
(i)
d2
d2 y
y
c 
 


Forces d’amortissement
1
1
I1 .
f y
m 


Forces d’inertie
2
2
I2 .
f y
m 


)
(
f
f
f 1
d1
e1
I1 t
s



)
(
f
f
f 2
d2
e2
I2 t
s



Equations d’équilibre des masses
16
s (t)
s (t)
s (t)

y2
y1
c2
c1
c2
c1
s2 (t)
s1 (t)
k2/2 k2/2
k1/2 k1/2
s2 (t)
s1 (t)
fI2
fI1
f(i)e2/2
f(i)e2/2
f(i)d2/2
f(i)e1/2
f(i)e1/2
f(i)d1/2
f(s)e1/2
f(s)e1/2
f(s)d1/2
17
Equation de Mouvement Couplée ?
     













2
1
2
1
I .
0
0
.
f
y
y
m
m
Y
M






       
)
(
f
f
f e
d
I t
S



Equation Matricielle
     
















2
1
2
2
2
2
1
d .
.
f
y
y
c
c
c
c
c
Y
C



     
















2
1
2
2
2
2
1
e .
.
f
y
y
k
k
k
k
k
Y
K
avec :
          
)
(
.
.
. t
S
Y
K
Y
C
Y
M 

 


  






)
(
)
(
S(t)
2
1
t
s
t
s
[⍂] ∫
s (t)

18
Accélérogramme du Séisme
    )
(
.
)
( t
y
M
t
S g




Historique de l’accélération
du sol due au tremblement
de terre
  













)
(
.
)
(
.
)
(
)
(
S(t)
2
1
2
1
t
y
m
t
y
m
t
s
t
s
g
g




[⍂] ∫

Valeurs Propres [⍂] ∫
19
Pulsations propres et Modes propres : K.ϕ = λ.ϕ
Les structures sont considérées comme soumises à un faible taux d'amortissement.
► De ce fait, l'on peut obtenir les pulsations propres ωj par l'équation caractéristique :
≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
      0
.
. 
 Y
K
Y
M 

Equation de Mouvement Matriciel devient :
     


 .
. 2
M
K j

   
  0
det 2

 M
K j

)
(
.
)
( 

 
 t
f
t
y
  0
.
.
2

 j
j M
K 

Pour chaque mode propre j :
Pulsations propres de vibration
Modes propres de vibration

Valeurs Propres
[⍂]
20
Vers des Equations de Mouvement Découplées !
► Changement de variable :
)
(
.
)
(
.
)
(
.
2
)
( 2
t
y
m
t
u
t
u
t
u g
i
i
i
i
i
i
i
i








 



    
)
(
.
)
( t
U
t
Y 

Equations découplées
           )
(
.
.
.
. t
y
M
Y
K
Y
C
Y
M g




 



 T


    
       
       
      
 
)
(
.
.
.
. t
y
M
U
K
U
C
U
M g
T
T
T
T




 










 
M  
C  
K  

  i
T
i
i M
m 


  )
(
.
)
(
. t
y
t
y
M
s g
i
g
T
i
i



 
 


  
M
T
i
i .

 
Avec :
où :
► Masse et chargement généralisés
relatifs à chaque mode
► Réponse modale pour les systèmes
peu amortis
  







d
t
e
y
t
D i
t
t
g
i
i
i
i
).
(
sin
.
1
)
( )
.(
.
0


 

 

)
(
.
)
( t
D
m
t
u i
i
i
i

 avec :
► Réponse dynamique totale de la
structure (vecteur des déplacements) )
(
.
.
)
(
.
)
( t
D
m
t
u
t
y i
i
i
i
i
i
i


 
       









 )
(
.
.
)
(
.
)
( t
D
m
t
U
t
Y i
i
i

et :
∫

Intégrale de Duhamel [⍂] ∫
21
Résolution Numérique par la méthode des Trapèzes
)
(t
p
)
(t
D
 
t
t
B
t
t
A
t
D
d
t
e
p
m
t
D
D
D
D
t
t
D










cos
)
(
sin
)
(
)
(
).
(
sin
.
1
)
( )
.(
.
0



 


► Force de Réponse Impulsionnelle (FRI) ► Intégrale de Duhamel
  







d
e
p
m
t
B D
t
t
D
.
sin
.
1
)
( )
.(
.
0




  







d
e
p
m
t
A D
t
t
D
.
cos
.
1
)
( )
.(
.
0




► Evaluation Numérique incrémentale
 
n
n
D
n
n p
e
p
m
e
A
A 


 












 .
.
1
.
.
1 .
2
.
n
D
n
n t
p
p 
cos
.

 
n
n
D
n
n p
e
p
m
e
B
B 


 












 .
.
1
.
.
1 .
2
.
n
D
n
n t
p
p 
sin
.


AXE 2 : Etude de Cas Pratique
Bâtiment à 2 étages avec une
accélération sismique d’El Centro
Calcul Matriciel Manuel
d’un Bâtiment à 2 étages
Simulation Numérique
par Excel

Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
Données
t
kg
m 20
000
20 

* Masse de chaque étage :
m
N
k /
10
.
18 6

* Rigidité latérale totale par étage :
%
2

c
* Amortissement totale par étage :
Etape 1 : Modélisation de la structure
Etape 2 : Mise en Equation Matricielle
Modèle de masse concentrée et rigidités équivalente des poteaux
y2
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
m
  m
N
k
k
k
k
k
k
K /
1
1
1
2
10
.
18
1
1
1
2
. 6
2
2
2
2
1




























* Matrice de masse :
* Matrice de rigidité :
  kg
m
m
M 













1
0
0
1
10
.
20
0
0 3
2
1
  


























 
1
1
1
2
10
.
2
1
1
1
2
. 2
2
2
2
2
1
c
c
c
c
c
c
C
* Matrice d’amortissement :
s (t)
24

y2
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
m
Etape 3 : Détermination des pulsations propres de vibration
          
)
(
.
.
. t
S
Y
K
Y
C
Y
M 

 


















































 
)
(
)
(
.
1
1
1
2
10
.
18
.
1
1
1
2
10
.
2
.
1
0
0
1
10
.
20
2
1
2
1
6
2
1
2
2
1
3
t
s
t
s
y
y
y
y
y
y






* Equation de Mouvement Matriciel :
      0
.
. 
 Y
K
Y
M 

     


 .
. 2
M
K 
   
  0
10
.
18
10
.
20
1
1
1
10
.
18
10
.
20
2
10
.
18
det
2
6
3
2
6
3
6
2







































 M
K
> Déterminant de l’équation caractéristique pour la détermination des valeurs propres / naturelles
900
/
:
0
1
3
2
2





x
avec
x
x







s
rad
s
rad
/
54
,
48
/
54
,
18
2
1


s (t)
25

Etape 4 : Détermination des modes propres de vibration
      0
.
. 
 Y
K
Y
M 

  0
.
.
2


 j
j M
K 
> Pour chaque valeur propre naturelle de fréquence :
;
/
76941
,
343
: 2
1 s
rad
pour 

Pour chaque mode propre j :
:
1
: 21 

fixant
en
et
 
 
0
1
.
38197
,
0
1
1
1
38197
,
0
2 11
















 
61803
,
0
11 

;
/
23059
,
2356
: 2
2 s
rad
pour
même
de 
 :
1
: 22 

fixant
en
et
 
 
0
1
.
61803
,
2
1
1
1
61803
,
2
2 12
















 
61803
,
1
12 


y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
26

y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
Etape 4 : Détermination des modes propres de vibration
s (t)
618
,
0
11 

000
,
1
21 

1er mode propre
de vibration
618
,
1
12 


000
,
1
22 

2ème mode propre
de vibration
    




 



00000
,
1
00000
,
1
61803
,
1
61803
,
0
2
1 

y2
27

Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
    




 



000
,
1
000
,
1
618
,
1
618
,
0
2
1 

       









7
,
72360
0
0
3
,
27639
M
M
T
Hypothèses pour conditions initiales : s
m
y
et
m
y /
0
0
)
0
(
02
,
0
02
,
0
)
0
( 












 
Valeurs modales associés aux conditions initiales : ;
/
0
)
0
( s
m
ui 

i
T
i
i
m
y
M
u
et
)
0
(
.
.
)
0
(


 
m
u
donc 023416
,
0
3
,
27639
02
,
0
02
,
0
.
20000
0
0
20000
.
000
,
1
618
,
0
)
0
(
1 













 
m
u
et 003416
,
0
7
,
72360
02
,
0
02
,
0
.
20000
0
0
20000
.
000
,
1
618
,
1
)
0
(
2 














y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
28

y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
Réponse dynamique d’un système en un seul degré de liberté :
t
u
t
u
t
u i
i
i
i
i
i 


cos
).
0
(
sin
.
)
0
(
)
( 


mm
t
t
t
u
t
u














2
1
2
1
cos
.
416
,
3
cos
.
416
,
23
)
(
)
(


Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :
    
)
(
.
)
( t
u
t
Y 

  mm
t
t
t
t
t
t
t
Y
i
i





















 

2
1
2
1
cos
.
416
,
3
cos
.
416
,
23
cos
.
527
,
5
cos
.
471
,
14
cos
.
416
,
3
cos
.
416
,
23
.
000
,
1
000
,
1
618
,
1
618
,
0
)
(













s
rad
s
rad
avec
/
54
,
48
/
54
,
18
:
2
1


29

  mm
t
t
t
t
t
Y 








2
1
2
1
cos
.
416
,
3
cos
.
416
,
23
cos
.
527
,
5
cos
.
471
,
14
)
(











s
rad
s
rad
avec
/
54
,
48
/
54
,
18
:
2
1


mm
t
y 20
)
0
(
2 

mm
t
y 20
)
0
(
1 

-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
20.00
30.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5
Déplacement
yi
(mm)
Temps t(s)
Réponse dynamique de chaque étage de la structure
y1 (mm)
y2 (mm)
30

y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
> 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration
Accélérogramme du séisme d’El Centro :
  g
yg .
348
,
0
max



  )
(
.
)
( t
y
M
t
S g




Historique de l’accélération du sol due
au tremblement de terre d’El Centro
31

y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
Utilisation de la méthode de la superposition modale :
Facteurs de participation modale :
      






























 
95
,
45
64
,
194
1
0
0
1
10
.
20
37175
,
0
60150
,
0
60150
,
0
37175
,
0
10
ˆ 3
2
2
1
M
T


m
t
D
t
D
t
D
t
y
t
y
)
(
.
17076
,
1
72357
,
0
)
(
.
64
,
194
60150
,
0
37175
,
0
10
)
(
.
.
ˆ
)
(
)
(
1
1
2
1
1
1
21
11






















 

Mode 1 : Déplacements des degré de liberté 1 et 2
m
t
D
t
D
t
D
t
y
t
y
)
(
.
17082
,
0
27639
,
0
)
(
.
95
,
45
37175
,
0
60150
,
0
10
)
(
.
.
ˆ
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
22
12
























 

Mode 2 : Déplacements des degré de liberté 1 et 2
  )
(
.
)
( t
y
M
t
S g




32

Simulation Numérique par Excel
Calcul de l’Intégrale de Duhamel :
  







d
t
e
y
t
D i
t
t
g
i
i
i
i
).
(
sin
.
1
)
( )
.(
.
0


 

 

Evaluation numérique par la
méthode des Trapèzes
33
-6.000E-03
-4.000E-03
-2.000E-03
0.000E+00
2.000E-03
4.000E-03
6.000E-03
0
0.075
0.15
0.225
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
0.75
0.825
0.9
0.975
1.05
1.125
1.2
1.275
1.35
1.425
1.5
1.575
1.65
1.725
1.8
1.875
1.95
D1(T)
TEMPS T(S)
MODE 1 : INTÉGRALE DE DUHAMEL
D1(T)
D1(t)

Simulation Numérique par Excel
-6.000E-06
-4.000E-06
-2.000E-06
0.000E+00
2.000E-06
4.000E-06
6.000E-06
0
0.075
0.15
0.225
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
0.75
0.825
0.9
0.975
1.05
1.125
1.2
1.275
1.35
1.425
1.5
1.575
1.65
1.725
1.8
1.875
1.95
Déplacements
totaux
(mm)
Temps t(s)
Mode 1 : Réponse Dynamique Totale de la Structure
y11(t)
y21(t)
-1.500E-06
-1.000E-06
-5.000E-07
0.000E+00
5.000E-07
1.000E-06
1.500E-06
0
0.075
0.15
0.225
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
0.75
0.825
0.9
0.975
1.05
1.125
1.2
1.275
1.35
1.425
1.5
1.575
1.65
1.725
1.8
1.875
1.95
Déplacements
totaux
(mm)
Temps t(s)
Mode 2 : Réponse Dynamique Totale de la Structure
y12(t)
y22(t)
34

Déplacements
max.
Ymax < 4%O.H
=24mm
Conception des
bâtiments
parasismiques
Autres
dispositions
Jouer sur les
paramètres de
rigidités
CONCLUSION: NOS ABOUTISSEMENTS [⍂]
∫
35

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