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  1. 1. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ TRIGONOMÉTRIE RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE 1. Rappels sur les angles associés Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes : Démonstration : Les relations cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x s'obtiennent immédiatement par symétrie par rapport à l'axe des abscisses. (On dit que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire). Supposons tout d'abord que x est un angle aigu : x Î 0 ; 2 pé ù -ê ú ë û Montrons les relations : cos 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = sin x et sin 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = cos x (Les autres se démontrent de manière analogue) Notons I, J, M et N les points du cercle trigonométrique correspondants aux angles de 0, p 2 , x et p 2 - x radians respectivement. Notons H (resp. K) le projeté orthogonal de M (resp. N) sur l'axe des abscisses (resp. ordonnées). D'après la relation de Chasles sur les angles : ( ),OI OJ uur uuur = ( ),OI ON uur uuur + ( ),ON OJ uuur uuur [2p] p 2 = p 2 - x + ( ),ON OJ uuur uuur [2p] ( ),ON OJ uuur uuur = x [2p] (On pouvait s'en douter vu la symétrie de la figure et la présence de triangles isométriques) 2 x p + cos(–x) = cos x sin(–x) = –sin x p–x p+x x –x cos(p – x) = –cos x sin(p – x) = sin x cos(p + x) = –cos x sin(p + x) = –sin x p 2 - x cos 2 x pæ ö+ç ÷ è ø = -sin x sin 2 x pæ ö+ç ÷ è ø = cos x cos 2 x pæ ö-ç ÷ è ø = sin x sin 2 x pæ ö-ç ÷ è ø = cos x N J M I 1 1 x x K HO
  2. 2. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Les coordonnées du point M sont : M( )cos ; sinx x Celles du point N sont : N cos ; sin 2 2 x x æ p p öæ ö æ ö - -ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø Comme x est un angle aigu, toutes ces coordonnées sont positives et : cos 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = KN et sin 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = OK Mais par ailleurs, d'après les relations métriques dans le triangle ONK rectangle en K, on a : cos x = OK et sin x = KN D'où les relations : cos 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = sin x et sin 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = cos x Les autres relations se démontrent de manière analogue. Si x n'est pas un angle aigu, on se ramène à ce cas par changement de variable. Par exemple, si x appartient à ; 0 2 pé ù -ê ú ë û , on pose y = -x. Comme y est maintenant un angle aigu, on a par exemple, en utilisant ce qui précède : cos 2 y pæ ö -ç ÷ è ø = sin y et cos 2 y pæ ö +ç ÷ è ø = -sin y C'est-à-dire : cos 2 x pæ ö +ç ÷ è ø = sin(-x) = -sin(x) et cos 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = -sin(-x) = sin x De même, si x appartient à 3 ; 2 2 p pé ù ê ú ë û , alors on pose y = p - x et on utilise les formules précédentes. 2. Le point de départ de toutes les formules de trigonométrie Étudions la quantité cos(a – b) où a et b sont deux nombres réels. Dans un repère orthonormé (O, r r i j, ), considérons deux vecteurs u ® et v ® unitaires, tels que : ( i ® , u ® ) = a et ( i ® , v ® ) = b Une première expression du produit scalaire donne : u ® . v ® = cos( u ® , v ® ) ( u ® et v ® sont des vecteurs unitaires) En outre, d'après la relation de Chasles, on a : ( u ® , v ® ) = ( u ® , i ® ) + ( i ® , v ® ) = b – a donc u ® . v ® = cos(b – a) = cos(a – b) car la fonction cosinus est paire. D'autre part, d'après la définition du cosinus et du sinus, on a : u ® cos sin a a et v ® cos sin b b D'après l'expression du produit scalaire avec les coordonnées (xx' + yy'), on obtient alors : u ® . v ® = cos a cos b + sin a sin b Ce qui nous donne une première formule de trigonométrie : cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b j ® i ® v ® u ® O b – a b a
  3. 3. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Autre méthode n'utilisant pas le produit scalaire : Étudions cette fois-ci la quantité cos(a + b) où a et b sont deux nombres réels. Toujours dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère le cercle de centre O et de rayon 1, puis sur ce cercle, le point A tel que ( ),OI OA uur uuur = a, le point M tel que ( ),OA OM uuur uuuur = b et le point A' tel que ( ),OA OA¢ uuur uuur = p 2 . D'après la relation de Chasles pour les angles, on a : ( ),OI OM uur uuuur = ( ),OI OA uur uuur + ( ),OA OM uuur uuuur = a + b [2p] Donc : OM uuuur = cos(a + b)OI uur + sin(a + b)OJ uuur Mais en se plaçant maintenant dans le repère orthonormé (O ; A, A'), on a : OM uuuur = cos(b) OA uuur + sin(b) OA¢ uuur Et en exprimant les coordonnées des vecteurs OA uuur et OA¢ uuur dans le repère (O ; I, J), on a : OA uuur = cos(a) OI uur + sin(a) OJ uuur et OA¢ uuur = cos 2 a pæ ö +ç ÷ è ø OI uur + sin 2 a pæ ö +ç ÷ è ø c= -sin(a) OI uur + cos(a) OJ uuur Finalement, cela donne : OM uuuur = cos(b) cos(a) OI uur + cos(b) sin(a) OJ uuur - sin(b) sin(a) OI uur + sin(b) cos(a) OJ uuur OM uuuur = [cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)] OI uur + [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)] OJ uuur Et par unicité des coordonnées d'un vecteur dans un repère, il vient les deux relations : cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) et sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) A' M J A I O b a
  4. 4. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 3. Formules de trigonométrie Formules d'addition cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2 a sin(2a) = 2 sin a cos a Formules de linéarisation cos2 a = )+1 cos(2 2 a sin2 a = )-1 cos(2 2 a Démonstrations Formules d'addition On en a déjà démontré trois plus haut. Néanmoins, une seule suffit à retrouver les autres, montrons comment. Partons de cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b. · En remplaçant b par –b, il vient : cos(a + b) = cos a cos (–b) + sin a sin (–b) = cos a cos b – sin a sin b. · En remplaçant b par p 2 – b, il vient : cos 2 a b æ p öæ ö - -ç ÷ç ÷ è øè ø = cos ( ) 2 a b pæ ö - +ç ÷ è ø = cos a cos 2 b pæ ö -ç ÷ è ø + sin a sin 2 b pæ ö -ç ÷ è ø Ce qui donne (voir les rappels) : sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b = sin a cos b + cos a sin b · En remplaçant b par –b dans cette dernière formule, il vient : sin(a – b) = sin a cos(–b) + cos a sin(–b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2 a – sin2 a sin(2a) = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a. Formules de linéarisation Rappelons ici une formule fondamentale : (conséquence du théorème de Pythagore) cos2 x + sin2 x = 1 quelque soit le réel x Donc cos(2a) = cos2 a – (1 – cos2 a) = 2 cos2 a – 1, d'où : cos2 a = 1 cos(2 ) 2 a+ De même cos(2a) = (1 – sin2 a) – sin2 a = 1 – 2sin2 a, d'où sin2 a = 1 cos(2 ) 2 a- Curiosité : cos4 x - sin4 x = (cos2 x - sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = cos2 x - sin2 x = cos(2x) Info : ce qui est noté cos2 a désigne (cos a)2 .
  5. 5. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Applications classiques : calcul des valeurs exactes du cosinus et du sinus de p 8 et de p 12 : En utilisant les formules de linéarisation : cos2 p 8 = 1 4 2 + cos p = 1 2 2 2 + = 2 2 4 + , et comme cos p 8 > 0, il vient : cos p 8 = 2 2 2 + sin2 p 8 = 1 4 2 - cos p = 1 2 2 2 - = 2 2 4 - , et comme sin p 8 > 0, il vient : sin p 8 = 2 2 2 - D'où : tan p 8 = 2 2 2 2 - + Or : 2 2 2 2 - + = ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 - - + = 6 4 2 4 2 - - = 3 - 2 2 = 1 - 2 2 + 2 = (1 - 2 )2 D'où : tan p 8 = |1 - 2 | = 2 - 1 En utilisant les formules d'addition : cos p 12 = cos 3 4 p pæ ö -ç ÷ è ø = cos p 3 cos p 4 + sin p 3 sin p 4 = 1 2 ´ 2 2 + 3 2 ´ 2 2 = 6 2 2 + sin p 12 = sin 3 4 p pæ ö -ç ÷ è ø = sin p 3 cos p 4 – cos p 3 sin p 4 = 3 2 ´ 2 2 – 1 2 ´ 2 2 = 6 2 2 - D'où : tan p 12 = 6 2 6 2 - + = ( ) ( )( ) 6 2 6 2 6 2 2 - + - = 8 2 12 6 2 - - = 2 - 3 Remarque : on peut retrouver tan p 8 et tan p 12 avec la relation : tan x = )2sin( )2cos(1 x x- pour x Î 0 ; 2 pù é ú ê û ë . 4. Relations métriques dans le triangle quelconque Dans tout ce paragraphe, on considère un triangle ABC. S désigne son aire, a, b et c désignent le côtés opposés à A, B et C respectivement. On notera (par abus) cos A au lieu de cos ¶A etc . On a alors les trois relations fondamentales suivantes : Formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A Formule de l'aire du triangle : S = 1 2 bc sin A Formule des sinus : a Asin = b Bsin = c Csin A S c b a CB
  6. 6. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 6 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Démonstrations : Formule d'Al-Kashi À l'aide du produit scalaire, c'est immédiat : a2 = BC ® 2 = ( BA ® + AC ® )2 = ( AC ® – AB ® )2 = AC2 + AB2 – 2 AC ® . AB ® = b2 + c2 – 2bc cos A Variante : on peut faire une démonstration différente en utilisant le théorème de Pythagore : Notons H et K les pieds des hauteurs issues de B et C respectivement. Notons h = BH, k = CK, x = AH et y = AK. Cas d'un triangle ABC acutangle Dans le triangle AHB rectangle en H, on a : x = c cos qA Dans le triangle AKC rectangle en C, on a : y = b cos qA D'où : bx + cy = 2bc cos qA (S) D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K : a2 = k2 + (c - y)2 = b2 - y2 + (c - y)2 = b2 + c2 - 2cy D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H : a2 = h2 + (b - x)2 = c2 - x2 + (b - x)2 = c2 + b2 - 2bx En additionnant ces deux dernières relations : 2a2 = 2b2 + 2c2 - 2(bx + cy) a2 = b2 + c2 - (bx + cy) Et tenant compte de (S) : a2 = b2 + c2 - 2bc cos qA Cas d'un triangle ABC obtusangle Dans le triangle AHB rectangle en H, on a : x = c cos(p - qA) = - c cos qA Dans le triangle AKC rectangle en C, on a : y x b c a k h K H CB qA A
  7. 7. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 7 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ y = b cos(p - qA) = -b cos qA D'où : bx + cy = -2bc cos qA (S) D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K : a2 = k2 + (c + y)2 = b2 - y2 + (c + y)2 = b2 + c2 + 2cy D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H : a2 = h2 + (b + x)2 = c2 - x2 + (b + x)2 = c2 + b2 + 2bx En additionnant ces deux dernières relations : 2a2 = 2b2 + 2c2 + 2(bx + cy) a2 = b2 + c2 + (bx + cy) Et tenant compte de (S) : a2 = b2 + c2 - 2bc cos qA Formule de l'aire du triangle L'aire du triangle ABC est donnée par : S = 1 2 AB ´ CH Or CH = AC sin A (situation 1) ou CH = AC sin(p – A) = AC sin A (situation 2). Dans les deux situations, on a : S = 1 2 AB ´ AC sin A = 1 2 bc sin A Formule des sinus D'après ce qui précède, on a : S = 1 2 bc sin A = 1 2 ac sin B = 1 2 ab sin C En multipliant tout par 2 abc , on obtient 2S abc = sin A a = sin B b = sinC c ou encore (passage à l'inverse, les sinus sont non nuls car les angles le sont) : abc S2 = a Asin = b Bsin = c Csin BH A CC BHA Situation 2 (Triangle obtusangle) Situation 1 (Triangle acutangle) x y bc a h k H K CB qA A
  8. 8. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 8 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Autres formules : si on note R (respectivement r) le rayon du cercle circonscrit (respectivement inscrit) au triangle ABC et p le demi périmètre (2p = a + b + c) on a : a Asin = b Bsin = c Csin = 2R S = abc R4 = pr Démonstration : D'après le théorème de l'angle au centre : 1 2 ·BOC = ·BAC si A est sur le grand arc 1 2 ·BOC = p - ·BAC (p) si A est sur le petit arc On a donc, dans tous les cas : sin A = sin ·BAC = sin 1 2 ·BOC Comme le triangle BOC est isocèle, on a : sin 1 2 ·BOC = 1 2 BC R = 1 2 a R D'où : sin A = 1 2 a R et a Asin = 2R Tenant compte de la relation S = 1 2 bc sin A, il vient S = 1 2 bc ´ 1 2 a R d'où : S = abc R4 Et enfin, en décomposant le triangle ABC en trois triangles, BOC, AOC, AOB dont les aires sont respectivement, 1 2 ar, 1 2 br et 1 2 cr, il vient : S = 1 2 (a + b + c)r = pr 5. Exemples d'applications On considère trois carrés disposés comme dans la figure ci-dessous. Montrer que a = b + g. Naturellement, a = p 4 . Montrons donc que b + g = p 4 . D'après une formule d'addition : cos(b + g) = cos b cos g – sin b sin g Or, si l'on note a la longueur des côtés des carrés, on a (d'après le théorème de Pythagore et les relations du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle) : bg a A O RR I B C
  9. 9. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 9 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ cos b = 2 5 a a = 2 5 ; cos g = 3 10 a a = 3 10 ; sin b = a a5 = 1 5 ; sin g = a a10 = 1 10 Donc : cos(b + g) = 2 5 ´ 3 10 – 1 5 ´ 1 10 = 5 5 10 = 5 5 5 2 = 1 2 = 2 2 Et comme 0 < b + g < p (puisque 0 < b < p 2 et 0 < g < p 2 ) on a b + g = p 4 . Remarque : on peut retrouver ce résultat avec la configuration suivante : On montre facilement que le triangle ABC est rectangle isocèle en A, ce qui entraîne bien b + g = p 4 . ABC est un triangle avec a = 2, b = 3 et c = 4. Calculer la valeur exacte de l'aire S de ABC. D'après la formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Donc : cos A = b c a bc 2 2 2 2 + - Ce qui donne : cos A = 9 16 4 24 + - = 7 8 Or, cos2 A + sin2 A = 1, donc : sin2 A = 1 – 49 64 = 15 64 Or, ABC étant un triangle, l'angle A est compris entre 0 et p rad donc son sinus est positif. D'où : sin A = 15 8 Enfin, d'après la formule de l'aire du triangle, on obtient : S = 1 2 bc sin A = 3 15 4 ABC est un triangle avec b = 3, c = 8 et A = 60°. Calculer la valeur exacte de a ainsi que B et C (en degrés à 10-1 près). D'après la formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 9 + 64 - 48 ´ 1 2 = 49 D'où : a = 7 Déterminons cos B à l'aide de la formule d'Al-Kashi : cos B = a c b ac 2 2 2 2 + - = 13 14 On a cos B > 0 et ABC triangle donc B Î ]0 ; 90[. On calcule donc B = arccos 13 14  21,8°. On peut calculer C avec la relation A + B + C = 180. Cependant, à titre de vérification, procédons comme précédemment : déterminons cos C à l'aide de la formule d'Al-Kashi : A B C
  10. 10. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 10 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ cos C = a b c ab 2 2 2 2 + - = - 1 7 On a cette fois cos C < 0 et ABC triangle donc C Î ]90 ; 180[. On calcule C = arccos 1 7 æ ö -ç ÷ è ø  98,2°. On vérifie bien A + B + C = 180. ABC est un triangle avec b = 6 2 , A = 105° et C = 45°. Calculer les valeurs exactes de a et c. D'après la formule des sinus : a Asin = b Bsin = c Csin D'où : c = b C B sin sin = 6 2 45 30 sin sin = 12 On ne peut pas calculer a avec la formule des sinus car on "ignore" la valeur exacte de sin A. En fait si ! 105° correspond à 7 12 p et sin 7 12 p peut se calculer puisque 7 12 p = p 2 + p 12 : sin 7 12 p = sin 2 12 p pæ ö +ç ÷ è ø = cos p 12 = 6 2 2 + (voir ci-dessus) Mais l'énoncé ne semble pas nous inciter à faire ce calcul ... Utilisons plutôt une formule d'Al-Kashi : c2 = a2 + b2 - 2ab cos C D'où une équation du second degré d'inconnue a : a2 - 2ab cos C + b2 - c2 = 0 C'est-à-dire : a2 - 12a - 72 = 0 On trouve, tous calculs faits : a = 6 + 6 3 ou a = 6 - 6 3 Et comme a est une distance : a = 6 + 6 3 = 6(1 + 3 ) Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un cercle. Soit C un cercle de rayon 1 cm. Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle C ? Notons O le centre du cercle et fixons I et K deux points diamétralement opposés. Soit M un point mobile sur le cercle et notons x une mesure en radian de l'angle ( ),OI OM uur uuuur . Enfin, on note M' le point diamétralement opposé à M.
  11. 11. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 11 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ D'après la formule de l'aire d'un triangle exprimée avec un sinus : Aire(MOI) = 1 2 OM ´ OI sin x Comme le rayon du cercle est égal à 1 : Aire(MOI) = 1 2 sin x Enfin, les diagonales d'un rectangle partagent celui-ci en quatre triangles de même aire (puisque la médiane dans un triangle partage celui-là en deux triangles de même aire) donc : Aire(MKM'I) = 2 sin x L'aire du rectangle inscrit dans le cercle est donc maximale lorsque le sinus l'est, à savoir pour x = p 2 , c'est-à- dire lorsque le rectangle est un carré ; l'aire maximale est alors 2 cm2 . La formule de Héron : Soit ABC un triangle de demi-périmètre p (p est défini par la relation 2p = a + b + c) L'aire S de ABC est donnée par : S = p p-a p-b p-c( )( )( ) D'après la formule d'Al-Kaschi, on a : a2 = b2 + c2 – 2bc cos ¶A cos ¶A = b c a bc 2 2 2 2 + - 1 – cos ¶A = 1 2 2 2 2 - + -b c a bc = a b bc c bc 2 2 2 2 2 - - +( ) = a b c bc 2 2 2 - -( ) = ( )( )a b c a b c bc - + + - 2 1 + cos ¶A = 1 2 2 2 2 + + -b c a bc = ( )b bc c a bc 2 2 2 2 2 + + - = ( )b c a bc + -2 2 2 = ( )( )b c a b c a bc + - + + 2 sin2 ¶A = 1 – cos2 ¶A = (1 – cos ¶A )(1 + cos ¶A ) = ( )( )( )( )a b c a b c b c a a b c b c - + + - + - + + 4 2 2 4b2 c2 sin2 ¶A = (2p – 2b)(2p – 2c)(2p – 2a)(2p) = 16p(p – a)(p – b)(p – c) En outre S2 = 1 4 b2 c2 sin2 A Ù = p(p – a)(p – b)(p – c) M xO K I M'
  12. 12. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 12 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ D'où la formule de Héron : S = p p-a p-b p-c( )( )( ) Inégalités dans le triangle ABC est un triangle. On note a = BC, b = AC et c = AB. Démontrer que : |b - c|  a  b + c D'après la formule d'Al-Kaschi, on a : a2 = b2 + c2 – 2bc cos ¶A cos ¶A = b c a bc 2 2 2 2 + - On en déduit l'encadrement : -2bc  a2 - b2 - c2  2bc D'où : (b - c)2  a2  (b + c)2 Par croissance de l'application t a t sur [0, +¥[, nous obtenons : |b - c|  |a|  |b + c| Et comme a, b et c sont des quantités positives : |b - c|  a  b + c On a des relations analogues avec les autres côtés. Retrouver les longueurs des côtés d'un triangle à partir des longueurs des hauteurs. ABC est un triangle. On note a = BC, b = AC et c = AB. On note ha, hb, et hc les hauteurs issues respectivement de A, B et C. On donne ha = 3, hb = 4 et hc = 5. Calculer a, b et c. En exprimant l'aire S du triangle relativement à chaque base, on a : S = aha = bhb = chc On a donc égalité des rapports suivants : a b = b a h h et c b = b c h h Par ailleurs, on a : hc = b sin ¶A (Ceci même si le triangle est obtus car un angle et son supplémentaire ont le même sinus) Pour calculer b, il suffit donc de connaître sin ¶A , ce qui est possible via la formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 - 2bc cos ¶A En divisant par b2 : 2 2 a b = 1 + 2 2 c b - 2 c b cos ¶A Et d'après les égalités de rapports avec les hauteurs : 2 2 b a h h = 1 + 2 2 b c h h - 2 b c h h cos ¶A A hc hb ha c b a CB
  13. 13. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 13 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Appliquons numériquement, il vient : cos ¶A = - 31 360 (Le triangle est donc légèrement obtus) cos2 ¶A = 961 129600 sin2 ¶A = 128639 129600 sin ¶A = 128639 360 (Le sinus d'un angle géométrique est toujours positif) D'où : b = ¶sin ch A = 1800 128639 128639  5,019 à 10-3 près Il vient ensuite : a = b a bh h = 2400 128639 128639  6,692 à 10-3 près c = b c bh h = 1440 128639 128639  4,015 à 10-3 près

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