R´epublique Alg´erienne D´emocratique et Populaire
Minist`ere de l’Enseignement Sup´erieure et de la Recherche Scientifique...
Je d´edie ce modeste travail aux mes parents, mes amis, et sp´ecialement mes enseignants
(les math´ematiciens d’universit´...
Remerciement
Tout d’abord
Je remercie Allah pour m’avoir guid´e vers le chemin du savoir et de la lumi`ere.
Pour m’avoir d...
Table des mati`eres
Remerciement ii
Introduction v
1 G´en´eralit´es sur les espaces de Hilbert 1
1.1 Forme sesquilin´eaire...
TABLE DES MATI`ERES iv
3.3 Repr´esentation de Riesz et th´eor`eme de Stampacchia . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 M´ethode...
Introduction
Ce travail consiste `a voir que dans les espaces de Hilbert, on peut d´efinir l’orthogona-
lit´e et que la pro...
Chapitre 1
G´en´eralit´es sur les espaces de
Hilbert
1
1.1. Forme sesquilin´eaire 2
Dans tout ce chapitre K d´esigne ou bien le corps des nombres r´eels R ou bien le corps
des n...
1.2. Produit scalaire et propri´et´es 3
On remarque dans les ´egalit´es (1.1) et (1.2) que ϕ(x + y, x + y), ϕ(ix + y, ix +...
1.2. Produit scalaire et propri´et´es 4
On d´efinit pour tout x et y de 2 le produit scalaire
x, y :=
n∈N
xnyn
Exemple 1.2....
1.3. Espace pr´e-hilbertien 5
1.2.2 In´egalit´e de Minkowski
Proposition 1.2.2 Soit V un K-espace vectoriel, avec le produ...
1.3. Espace pr´e-hilbertien 6
La norme d´efinie dans la proposition 1.3.1 est appel´ee la norme induite par un produit
scal...
1.4. Espace de Hilbert 7
Donc, l’espace (C([0, 1], K), · 2) est un espace pr´e-hilbertien.
Dans mˆeme espace, la norme
f ∞...
1.4. Espace de Hilbert 8
ce qui prouve que la suite (xn) est suite de Cauchy.
D´efinition 1.4.2 (Espace complet)
On dit qu’...
1.4. Espace de Hilbert 9
Exemple 1.4.2
L’espace 2 (exemple 1.2.2) est un espace de Hilbert.
Exemple 1.4.3
L’espace L2(Ω) (...
Chapitre 2
Orthogonalit´e & Projection
10
2.1. Orthogonalit´e 11
2.1 Orthogonalit´e
Une des cons´equences les plus importantes qui d´ecoule du produit scalaire est ...
2.1. Orthogonalit´e 12
Th´eor`eme 2.1.1 (Pythagore) Soit H un espace de Hilbert, on a :
∀x, y ∈ H : x ⊥ y ⇐⇒


...
2.1. Orthogonalit´e 13
2.1.2 Orthogonale d’une partie
D´efinition 2.1.2
Soit F une partie de H, et x un vecteur de H.
On di...
2.2. Projection sur un convexe ferm´e 14
d’o`u x − y ≥ x .
⇐=) On suppose que
x − y ≥ x , ∀y ∈ X et x /∈ X⊥
Soit y ∈ X, on...
2.2. Projection sur un convexe ferm´e 15
de b n’est pas certaine.
Par exemple, si on consid`ere l’ensemble S = Sa,r avec a...
2.2. Projection sur un convexe ferm´e 16
On a 1
2(yn + ym) ∈ A par la convexit´e de A, alors
a −
1
2
(yn + ym) ≥ d, ∀m, n ...
2.2. Projection sur un convexe ferm´e 17
1. D est non vide.
2. D est ferm´e, car elle contient tous les valeurs adh´erents...
2.3. Suppl´ementaire orthogonale d’un sous-espace 18
d’o`u
a − b 2
≤ (a − b) − t(y − b) 2
= a − b 2
− 2t a − b, y − b + t2...
2.3. Suppl´ementaire orthogonale d’un sous-espace 19
D´emonstration.
Si x ∈ A, il est claire que la d´ecomposition est x =...
2.3. Suppl´ementaire orthogonale d’un sous-espace 20
{r1, r2, · · · , rk} ⊂ R t.q. z = k
i=1 riei, on a
x − y, z = x, z − ...
Chapitre 3
Quelques applications du
th´eor`eme de la projection
21
3.1. Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt 22
3.1 Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
Cet proc´ed´...
3.1. Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt 23
b) Supposons que Fk =< b0, b1, · · · , bk >, et montrons que Fk+1...
3.1. Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt 24
3.1.2 Polynˆomes orthogonaux
La construction des polynˆomes ortho...
3.2. Meilleur approximation 25
t2
, 1 =
1
−1
t2
dt =
2
3
t2
, t =
1
−1
t3
dt = 0
L2 = t2
−
1
3
En g´en´erale :
Ln =
1
2nn!...
3.2. Meilleur approximation 26
est juste l’op´eration de recherche de la projection de f sur Rn[x].
La projection sur Rn[x...
3.2. Meilleur approximation 27
3.2.2 Approximation par des polynˆomes trigonom´etriques
Soit l’espace L2([−π, π], R), muni...
3.3. Repr´esentation de Riesz et th´eor`eme de Stampacchia 28
Maintenant, on pose
Fn = vect < A >= vect < 1, cos t, sin t,...
3.3. Repr´esentation de Riesz et th´eor`eme de Stampacchia 29
Th´eor`eme 3.3.1 (repr´esentation de Riesz-Fr´echet)
∀f ∈ H ...
3.3. Repr´esentation de Riesz et th´eor`eme de Stampacchia 30
D´efinition 3.3.2
On dit qu’une forme bilin´eaire B : H × H →...
3.4. M´ethode de Projection pour les syst`emes lin´eaires 31
3.4 M´ethode de Projection pour les syst`emes lin´eaires
L’id...
Bibliographie
[1] Brezinski C. Projection methods for systems of equations. ELSEVIER B.V, 1997.
[2] Brezis H. Analyse fonc...
Pour cette
m´emoire
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  1. 1. R´epublique Alg´erienne D´emocratique et Populaire Minist`ere de l’Enseignement Sup´erieure et de la Recherche Scientifique ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ Universit´e Dr. Yahia Far`es De M´ed´ea Facult´e des Sciences et de la Technologies M´EMOIRE pr´esent´e en vue de l’obtention du Diplˆome de Licence en Math´ematiques et Informatique Sp´ecialit´e : Math´ematiques Appliqu´ees Titre : La projection dans les espaces de Hilbert Th´eorie et Applications par Zemirni Mohamed Amine Composition du Jury : Pr´esident : Leghmizi Mohamed lamine Maˆıtre de Conf´erences Rapporteur : Hamza A. Younes Maˆıtre Assistant Examinateur : Benchaa Mohamed Maˆıtre Assistant Invit´e : Boutaghou Amer Maˆıtre de Conf´erences Date de soutenance : 24 Juin 2012 Promotion : 2011/2012
  2. 2. Je d´edie ce modeste travail aux mes parents, mes amis, et sp´ecialement mes enseignants (les math´ematiciens d’universit´e de M´ed´ea) !
  3. 3. Remerciement Tout d’abord Je remercie Allah pour m’avoir guid´e vers le chemin du savoir et de la lumi`ere. Pour m’avoir donn´e courage et volont´e pour pouvoir r´ealiser ce modeste travail. Je ne peux exprimer par les mots Le sens de mes remerciements pour ma m`ere et mon p`ere : que serais-je sans leurs per- manents soutiens dans ma vie. Je remercie ensuite Mr Hamza Younes pour sa patience et ses conseils pour la r´ealisation de ce m´emoire. Que mes profondes reconnaissances vont vers lui. Mes gratitudes et mes remerciements Pour le docteur M.L.Leghmizi, pour avoir accepter de pr´esider le Jury de la soutenance. Mes vifs remerciements Pour les membres du Jury : Mr Benchaa Mohamed, Dr Boutaghou Amer. Ainsi que pour L’ensemble des enseignants qui m’ont encadr´e soutenus et encourag´es durant ma forma- tion et par qui j’ai appris `a appr´ecier les math´ematiques. Merci `a Toute personne m’ayant aid´e, soutenue, ou encourag´e de pr´es ou de loin. ii
  4. 4. Table des mati`eres Remerciement ii Introduction v 1 G´en´eralit´es sur les espaces de Hilbert 1 1.1 Forme sesquilin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Produit scalaire et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 In´egalit´e de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 In´egalit´e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Espace pr´e-hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Norme induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Orthogonalit´e & Projection 10 2.1 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Les vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Orthogonale d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Projection sur un convexe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Suppl´ementaire orthogonale d’un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Quelques applications du th´eor`eme de la projection 21 3.1 Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.1 Pr´esentation Algorithmique du proc´ed´e de Gram-Schmidt . . . . . . 23 3.1.2 Polynˆomes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Meilleur approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1 Approximation par des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.2 Approximation par des polynˆomes trigonom´etriques . . . . . . . . . 27 iii
  5. 5. TABLE DES MATI`ERES iv 3.3 Repr´esentation de Riesz et th´eor`eme de Stampacchia . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 M´ethode de Projection pour les syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . 31 Bibliographie 32 Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  6. 6. Introduction Ce travail consiste `a voir que dans les espaces de Hilbert, on peut d´efinir l’orthogona- lit´e et que la projection orthogonale est le point qui r´ealise le distance minimale. Puis on verra comment le concept de la projection orthogonale et `a la base de plusieurs th´eor`emes importants en math´ematiques. Le premier chapitre est une introduction aux espaces de Hilbert. C’est le monde o`u se r´ealise ce m´emoire. On d´efinit ce qu’est une forme hermitienne, un produit scalaire, et un espace de Hilbert. Puis on donne les principales propri´et´es qui se r´ealisent dans un espace de Hilbert tel que l’in´egalit´e de Cauchy-Shwarz, l’identit´e du parall´elogramme et la caract´erisation des normes induites par un produit scalaire. On citera entre autre un exemple d’espace fonctionnel o`u la norme ne peut ˆetre induite par un produit scalaire. Dans le second chapitre on introduit le concept d’orthogonalit´e, principe qui diff´erencie un espace de Hilbert d’un espace norm´e (dont la norme ne peut ˆetre induite par un produit scalaire). Puis on d´emontre l’existence et l’unicit´e de la projection sur un convexe ferm´ee dans un espace de Hilbert, puis on en donnera une caract´erisation. Dans le troisi`eme chapitre on ´etudie diff´erentes applications du th´eor`eme de la projec- tion dans diff´erents domaines des math´ematiques, tel que le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt, la meilleure approximation d’une fonction par des polynˆomes, le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz-Fr´echet, et le th´eor`eme de Stampacchia. v
  7. 7. Chapitre 1 G´en´eralit´es sur les espaces de Hilbert 1
  8. 8. 1.1. Forme sesquilin´eaire 2 Dans tout ce chapitre K d´esigne ou bien le corps des nombres r´eels R ou bien le corps des nombres complexes C. 1.1 Forme sesquilin´eaire D´efinition 1.1.1 Soit V un espace vectoriel sur le corps K. Une forme sesquilin´eaire sur V , est toute application ϕ: V × V → K, telle que, pour tout y ∈ V , l’application x → ϕ(x, y) soit lin´eaire i.e. ∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ K : ϕ(αx + βz, y) = αϕ(x, y) + βϕ(z, y) et telle que, pour tout x ∈ V , l’application y → ϕ(x, y) soit antilin´eaire (ou semilin´eaire) i.e. ∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ K : ϕ(x, αy + βz) = αϕ(x, y) + βϕ(x, z) On dit que la forme sesquilin´eaire ϕ est hermitienne si : ∀x, y ∈ V : ϕ(x, y) = ϕ(y, x) Dans le cas r´eel (K = R), une forme sesquilin´eaire est une forme bilin´eaire et une forme hermitienne est une forme bilin´eaire sym´etrique. Cons´equences imm´ediates. Toute forme sesquilin´eaire ϕ sur l’espace V , v´erifie : ∀x, y ∈ V : ϕ(x, 0V ) = ϕ(0V , y) = 0K V´erification. ϕ(x, 0V ) = ϕ(x, 0 · y) = 0 · ϕ(x, y) = 0 et ϕ(0V , y) = ϕ(0 · x, y) = 0 · ϕ(x, y) = 0. Proposition 1.1.1 Si ϕ une forme sesquilin´eaire sur un espace vectoriel V , alors ϕ hermitienne ⇐⇒ ∀x ∈ V : ϕ(x, x) ∈ R D´emonstration. =⇒ ) ϕ hermitienne =⇒ ∀x ∈ V : ϕ(x, x) = ϕ(x, x) ⇐⇒ ∀x ∈ V : ϕ(x, x) ∈ R. ⇐=) On a ϕ(x + y, x + y) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) + ϕ(x, y) + ϕ(y, x) (1.1) ϕ(ix + y, ix + y) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) + i ϕ(x, y) − ϕ(y, x) (1.2) Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  9. 9. 1.2. Produit scalaire et propri´et´es 3 On remarque dans les ´egalit´es (1.1) et (1.2) que ϕ(x + y, x + y), ϕ(ix + y, ix + y), ϕ(x, x) et ϕ(y, y) sont des r´eels par hypoth`ese. Alors a = ϕ(x, y) + ϕ(y, x) ∈ R b = i ϕ(x, y) − ϕ(y, x) ∈ R D’o`u ϕ(x, y) = 1 2(a − ib) et ϕ(y, x) = 1 2(a + ib) donc, ϕ(x, y) = ϕ(y, x). Proposition 1.1.2 (Identit´e de polarisation) Dans un C-espace vectoriel, toute forme sesquilin´eaire ϕ v´erifie : ϕ(x, y) = 1 4 ϕ(x + y, x + y) − ϕ(x − y, x − y) + iϕ(x + iy, x + iy) − iϕ(x − iy, x − iy) et dans un R-espace vectoriel, toute forme bilin´eaire ϕ v´erifie : ϕ(x, y) = 1 4 ϕ(x + y, x + y) − ϕ(x − y, x − y) D´efinition 1.1.2 On dit qu’une forme hermitienne ϕ est positive sur espace vectoriel V si : ∀x ∈ V : ϕ(x, x) ≥ 0 et l’on appelle d´efinie positive si elle est positive et ∀x ∈ V : ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0 1.2 Produit scalaire et propri´et´es D´efinition 1.2.1 On appelle produit scalaire sur un espace vectoriel V toute forme hermitienne d´efinie positive (ou bien, forme hermitienne non d´eg´en´er´ee), et l’on note par ·, · := ϕ(·, ·). Exemple 1.2.1 L’ensemble Kn, est une espace vectoriel sur K. Soient x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Kn et y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Kn. On d´efinit le produit scalaire sur Kn par (x, y) → x, y := n i=1 xiyi Exemple 1.2.2 On d´efinit l’espace 2 par 2 := x = (xn)n∈N ⊂ K : n∈N |xn|2 < ∞ Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  10. 10. 1.2. Produit scalaire et propri´et´es 4 On d´efinit pour tout x et y de 2 le produit scalaire x, y := n∈N xnyn Exemple 1.2.3 Soit C([a, b], R) l’ensemble des fonction continues de [a, b] ⊂ R (a < b) dans R. On d´efinit sur C([a, b], R) le produit scalaire f, g := b a f(t)g(t)dt , ∀f, g ∈ C([a, b], R) Exemple 1.2.4 Soit Ω ⊂ Rn un ouvert dans Rn. On d´efinit sur l’espace L2 (Ω) := f : Ω → R : f mesurable et Ω |f(t)|2 dt < ∞ le produit scalaire f, g := Ω f(t)g(t)dt , ∀f, g ∈ L2 (Ω) 1.2.1 In´egalit´e de Cauchy-Schwarz Proposition 1.2.1 Soit V un K-espace vectoriel, muni du produit scalaire ·, · , on a ∀x, y ∈ V : | x, y |2 ≤ x, x y, y (1.3) D´emonstration. On rappelle que pour tout x dans V , la quantit´e x, x est toujours r´eelle (Proposition 1.1.1). Si x ou y est nul, alors l’in´egalit´e (1.3) est valide. Maintenant, on suppose que x, y sont non nuls, et poser λ = e−iθ o`u θ = arg x, y , alors λ| x, y | = x, y . Pour tout t ∈ R, on a : λtx − y, λtx − y = t2 x, x − λt x, y − λt y, x + y, y ≥ 0 = t2 x, x − 2t| x, y | + y, y ≥ 0 Donc, le discriminant de P(t) = t2 x, x −2t| x, y |+ y, y soit n´egatif ou nul car x, x ≥ 0, d’o`u l’in´egalit´e (1.3). Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  11. 11. 1.3. Espace pr´e-hilbertien 5 1.2.2 In´egalit´e de Minkowski Proposition 1.2.2 Soit V un K-espace vectoriel, avec le produit scalaire ·, · , on a ∀x, y ∈ V : x + y, x + y ≤ x, x + y, y (1.4) D´emonstration. On a x + y, x + y = x, x + y, y + x, y + y, x = x, x + y, y + 2 x, y ≤ x, x + y, y + 2| x, y | ≤ x, x + y, y + 2 x, x y, y Par l’in´egalit´e (1.3). = x, x + y, y 2 D’o`u l’in´egalit´e (1.4). 1.3 Espace pr´e-hilbertien D´efinition 1.3.1 Un espace pr´e-hilbertien est un K-espace vectoriel muni d’un produit scalaire ·, · . Dans l’exemple (1.2.1), l’espace Kn est un espace pr´e-hilbertien, est aussi appel´e espace euclidien si K = R, et espace hermitien si K = C. L’espace vectoriel 2 avec le produit scalaire d´efini dans l’exemple (1.2.2) est un espace pr´e-hilbertien. Les espaces L2(Ω) et C([a, b]) (exemple 1.2.3, exemple 1.2.4) sont aussi des espaces pr´e-hilbertiens. 1.3.1 Norme induite Proposition 1.3.1 Soit V un espace pr´e-hilbertien. L’application · : V → R+ d´efinie par x := x, x , est une norme sur V . D´emonstration. 1. x := x, x = 0 ⇐⇒ x, x = 0 ⇐⇒ x = 0. 2. λx = λx, λx = λλ x, x = |λ|2 x, x = |λ| x, x = |λ| x 3. Par l’in´egalit´e de Minkowski (1.4), on a x + y := x + y, x + y ≤ x, x + y, y = x + y . Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  12. 12. 1.3. Espace pr´e-hilbertien 6 La norme d´efinie dans la proposition 1.3.1 est appel´ee la norme induite par un produit scalaire (ou bien, la norme induite), avec cette nouvelle d´efinition, l’in´egalit´e de Cauchy- Schwarz (1.3) devient | x, y | ≤ x y (1.5) et cette d´efinition de norme induite nous permet de consid´erer tous les espaces pr´e- hilbertiens comme des espaces norm´es. Mais, la question est de savoir si chaque espace norm´e est pr´e-hilbertien, Autrement dit, peut-on d´efinir un produit scalaire `a partir de n’importe quelle norme ? Proposition 1.3.2 (´Egalit´e du Parall´elogramme) 1 Pour tout x, y d’un espace pr´e- hilbertien V , on a : x + y 2 + x − y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 (1.6) D´emonstration. On a x + y 2 = (x + y|x + y) = x 2 + y 2 + 2 (x|y) x − y 2 = (x − y|x − y) = x 2 + y 2 − 2 (x|y) en ajoutant ces deux ´egalit´es, on trouve l’´egalit´e (1.6). L’identit´e (1.6) dit que la somme des carr´es des diagonales d’un parall´elogramme est ´egale `a la somme des carr´es de ses cˆot´es. Cette propri´et´e est bien connue en g´eom´etrie plane. Th´eor`eme 1.3.3 Toute norme · donn´ee qui v´erifie l’identit´e de parall´elogramme (1.6) est induite par un produit scalaire i.e. il existe un produit scalaire ·, · tel que x := x, x , pour tout x. D´emonstration. Voir [10. page 39], [12. page 218]. Exemple 1.3.1 Dans l’espace C([0, 1], K), la norme f 2 := 1 0 |f(t)|2 dt 1/2 est une norme induite par le produit scalaire f, g = 1 0 f(t)g(t)dt 1. Cette in´egalit´e est aussi connue par l’in´egalit´e d’Apollonius. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  13. 13. 1.4. Espace de Hilbert 7 Donc, l’espace (C([0, 1], K), · 2) est un espace pr´e-hilbertien. Dans mˆeme espace, la norme f ∞ := max t∈[0,1] |f(t)| n’est pas induite, car elle ne v´erifie pas l’´egalit´e de parall´elogramme (1.6). Pour montrer que la norme · ∞ n’est pas induite, on pose f(t) = 1 et g(t) = t o`u t ∈ [0, 1] On obtient f + g 2 + f − g 2 = 4 + 1 = 5 2 f 2 + 2 g 2 = 2 + 2 = 4 Donc, l’espace (C([0, 1]), · ∞) ne peut ˆetre espace pr´e-hilbertien. Voir [3], [4], [10]. Noter que la distance entre les vecteurs x et y est donn´ee par d(x, y) := x − y Ainsi, les espaces pr´e-hilbertien sont consid´er´es comme des espaces m´etriques. Pour cela, on peut ´etudier les notions topologiques comme la continuit´e, convergence des suites et compacit´e ...ect sur les espaces pr´e-hilbertien. 1.4 Espace de Hilbert D´efinition 1.4.1 (Les suites de Cauchy) Soit (V, ·, · ) un espace pr´e-hilbertien, et soit · la norme induite par ·, · sur V . Soit (un)n∈N une suite d’´el´ements de V . on dit que (un)n∈N est une suite de Cauchy dans (V, ·, · ) si : ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀p, q ∈ N : p ≥ N et q ≥ N =⇒ up − uq ≤ ε (1.7) Proposition 1.4.1 Toute suite convergente dans un espace pr´e-hilbertien, est n´ecessairement suite de Cauchy. D´emonstration. On suppose que la suite (xn)n∈N converge vers a dans un espace pr´e-hilbertien V avec la norme · induite par le produit scalaire. Alors, si ε > 0 est donn´e, il existe un entier m tel que xn − a < ε/2 pour tout n > m. Si n et p sont alors deux entiers sup´erieurs `a m, on a xn − xp ≤ xn − a + xp − a < ε/2 + ε/2 = ε Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  14. 14. 1.4. Espace de Hilbert 8 ce qui prouve que la suite (xn) est suite de Cauchy. D´efinition 1.4.2 (Espace complet) On dit qu’un espace pr´e-hilbertien est complet par rapport ´a son norme induite si toutes suites de Cauchy sont convergentes. Les espaces norm´es complets sont appell´es espaces de Banach. D´efinition 1.4.3 (Espace de Hilbert) Un espace de Hilbert (ou espace hilbertien) est un espace pr´e-hilbertien complet pour la norme induite par son produit scalaire. Tout espace de Hilbert est un espace de Banach, et l’inverse est vrai si la norme de l’espace de Banach est induite. Proposition 1.4.2 Tout espace pr´e-hilbertien de dimension finie est de Hilbert. D´emonstration. Voir[4. page 44], [6]. Proposition 1.4.3 Soit H un espace de Hilbert. Y un sous-espace de H. Y est un espace de Hilbert si est seulement si Y est ferm´e dans H. D´emonstration. Par la d´efinition d’espace hilbertien, Y est un espace de Hilbert si et seulement s’il est complet. Donc, on va d´emontrer que le sous-espace Y est complet si et seulement si’il est ferm´e. On a double implications : Premi`ere implication : Y complet =⇒ Y ferm´e. Soit a ∈ H adh´erent `a Y . Il existe alors une suite (xn)n∈N ⊂ Y qui converge vers a. Cette suite convergente dans H est donc une suite de Cauchy dans Y et par hypoth`ese Y est complet, donc (xn) converge vers un point b ∈ Y . Par unicit´e de la limite, on a a = b donc a ∈ Y , ce qui prouve que Y contient chacun de ses point adh´erents, donc est ferm´e. Deux`eme implication : Y ferm´e =⇒ Y complet. Soit (xn)n∈N une suite de Cauchy de Y , c’est en particulier une suite de Cauchy de H, donc elle est convergente dans H (car H est hilbertien). La limite a de cette suite est alors un point adh´erent `a Y et puisque Y ferm´e, alors a ∈ Y donc cette suite est convergente dans Y . Donc, Y est complet. Exemple 1.4.1 L’espace Kn (exemple 1.2.1) est un espace de Hilbert. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  15. 15. 1.4. Espace de Hilbert 9 Exemple 1.4.2 L’espace 2 (exemple 1.2.2) est un espace de Hilbert. Exemple 1.4.3 L’espace L2(Ω) (exemple 1.2.4) est un espace de Hilbert. Pour le traitement de ces exemples, voir [3], [4]. Exemple 1.4.4 L’espace C([0, 1], R) (exemple 1.2.3) muni de produit scalaire f, g = 1 0 f(t)g(t)dt et la norme induite f = 1 0 |f(t)|2 dt 1/2 n’est pas espace de Hilbert, car il n’est pas complet. V´erification de l’incompl´etude de C([0, 1]). On consid`ere la suite de fonctions : fn(x) =    1 si 0 ≤ x ≤ 1 2 1 − 2n x − 1 2 si 1 2 ≤ x ≤ 1 2n + 1 2 0 si 1 2n + 1 2 ≤ x ≤ 1 ∀n : fn est continue, et on a : fn − fm ≤ 1 n + 1 m 1 2 → 0 quand m, n → ∞ Alors, (fn)n est une suite de Cauchy, mais la limite de fn est f(x) =    1 si 0 ≤ x ≤ 1 2 0 si 1 2 < x ≤ 1 Cette fonction n’est pas continue, donc n’appartient pas `a C([0, 1]) i.e. la suite (fn)n ne convergent pas dans C([0, 1]). Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  16. 16. Chapitre 2 Orthogonalit´e & Projection 10
  17. 17. 2.1. Orthogonalit´e 11 2.1 Orthogonalit´e Une des cons´equences les plus importantes qui d´ecoule du produit scalaire est la possi- bilit´e de d´efinir l’orthogonalit´e des vecteurs. Il permet aussi de prolonger le concept d’angle vu qu’il quantifie une relation entre deux vecteurs. De l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz (1.3) pour les espaces pr´e-hilbertien re´el, si x, y sont des vecteurs diff´erents de z´ero, alors −1 ≤ x, y x y ≤ 1 et ainsi l’angle entre x, y peut ˆetre d´efini pour ˆetre θ := arccos x, y x y Pour les espaces pr´e-hilbertien complexes la position est plus difficile (le produit scalaire x, y peut ˆetre complexe, et il n’est pas clair ce que signifierait un angle complexe). Cependant, un cas sp´ecial important peut ˆetre consid´er´e, `a savoir quand x, y = 0. dans ce cas, on peut consid´erer les vecteurs comme ´etant perpendiculaires, ou orthogonaux. 2.1.1 Les vecteurs orthogonaux Soit H un espace pr´e-hilbertien ou un espace de Hilbert. D´efinition 2.1.1 Soit x, y deux vecteurs de H. x et y sont dits orthogonaux et on note x ⊥ y si et seulement si : x, y = 0 Soit (xn)n∈I une famille de vecteurs de H (I ⊂ N peut ˆetre finie ou infinie). On dit que cette famille est Orthogonale si et seulement si : ∀i, j ∈ I : i = j ⇐⇒ xi, xj = 0 et on dit que cette famille est Orthonormale si elle est orthogonale et ∀i ∈ I : xi = xi, xi = 1 Remarque. Si (xn)n∈I est une famille orthogonale ; alors, la famille xn xn n∈I est orthonormale ( xn = 0, ∀n ∈ I). Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  18. 18. 2.1. Orthogonalit´e 12 Th´eor`eme 2.1.1 (Pythagore) Soit H un espace de Hilbert, on a : ∀x, y ∈ H : x ⊥ y ⇐⇒    x + y 2 = x 2 + y 2 et x + iy 2 = x 2 + y 2 D´emonstration. On a : x + y 2 := x + y, x + y = x 2 + y 2 + 2 x, y x + iy 2 := x + iy, x + iy = x 2 + y 2 + 2 x, y =⇒ ) Par hypoth`ese x ⊥ y i.e. x, y = 0 alors x, y = x, y = 0 d’o`u x + y 2 = x 2 + y 2 x + iy 2 = x 2 + y ⇐=) Les ´egalit´es signifient que x, y = x, y = 0 c-`a-d x, y = 0 d’o`u x ⊥ y. En g´en´erale, si (xi)i∈I une famille de vecteurs d’un espace hilbertien, alors : n i=1 xi 2 = n i=1 xi 2 + 2 1≤i<j≤n xi, xj Donc, si (xi)i∈I est une famille orthogonale, alors on peut ´ecrire n i=1 xi 2 = n i=1 xi 2 c’est la g´en´eralisation du th´eor`eme de Pythagore. Voir [4], [11]. Exemple 2.1.1 Dans l’espace pr´e-hilbertien C([0, π], R) (exemple 1.2.3), les vecteurs cos et sin sont ortho- gonaux, puisque : cos, sin = π 0 cos(t) sin(t)dt = 1 2 sin2 (t) π 0 = 0 − 0 = 0 En plus, la famille {1, cos t, cos 2t, · · · , cos nt} est orthogonale dans cet espace. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  19. 19. 2.1. Orthogonalit´e 13 2.1.2 Orthogonale d’une partie D´efinition 2.1.2 Soit F une partie de H, et x un vecteur de H. On dit que x est orthogonale `a F si et seulement si : ∀y ∈ F : x, y = 0 Soit G une autre partie de H. on dit que F et G sont orthogonaux si et seulement si : ∀x ∈ F, ∀y ∈ G : x, y = 0 On appelle orthogonale de F, et on note F⊥, l’ensemble des vecteurs de H qui sont orthogonaux `a tous les ´el´ements de F i.e. F⊥ := {x ∈ H t.q. x, y = 0, ∀y ∈ F} = y∈F {x ∈ H : x, y = 0} Proposition 2.1.2 Pour n’importe quelle A ⊂ H, A⊥ est un sous-espace vectoriel. Si A un sous-espace vectoriel, alors A ∩ A⊥ = {0}. D´emonstration. Soit z ∈ A. Pour tout x, y ∈ A⊥, et pour tout λ, µ ∈ K, on a : λx + µy, z = λ x, z + µ y, z = 0 + 0 = 0 D’o`u λx + µy ∈ A⊥, donc A⊥ est un sous-espace vectoriel. Maintenant, si A est un sous-espace. Supposons que x ∈ A ∩ A⊥ i.e. x est orthogonal `a lui mˆeme, donc x, x = 0 ⇐⇒ x = 0, d’o`u A ∩ A⊥ = {0}. Proposition 2.1.3 Soit X ⊂ H, un sous-espace vectoriel de l’espace de Hilbert H. On a : x ∈ X⊥ ⇐⇒ x − y ≥ x , ∀y ∈ X D´emonstration. =⇒ ) Soit x ∈ X⊥ et y ∈ X, on a x − y 2 = x − y, x − y = x 2 − x, y − y, x + y 2 Puisque x, y sont orthogonaux par hypoth`ese, alors x − y 2 = x 2 + y 2 ≥ x 2 Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  20. 20. 2.2. Projection sur un convexe ferm´e 14 d’o`u x − y ≥ x . ⇐=) On suppose que x − y ≥ x , ∀y ∈ X et x /∈ X⊥ Soit y ∈ X, on a x − y 2 = x − y, x − y = x 2 − x, y − y, x + y 2 et on a x − y ≥ x ⇐⇒ x − y 2 − x 2 ≥ 0, donc − x, y − y, x + y 2 ≥ 0 Puisque x /∈ X⊥, alors x, y = 0, et puisque X un sous-espace vectoriel, donc y ∈ X ⇐⇒ ∀a ∈ K, ay ∈ X. Alors −a x, y − a y, x + |a|2 y 2 ≥ 0 Posons a = t | x, y | y, x , ∀t > 0 Donc −t| x, y | − t| x, y | + t2 y 2 ≥ 0 , ∀t > 0 i.e. | x, y | ≤ 1 2 t y 2 , ∀t > 0 d’o`u | x, y | ≤ inf t>0 1 2 t y 2 = 0 or | x, y | = 0 i.e. x, y = 0 =⇒ x ∈ X⊥ et c’est contradiction. Donc x − y ≥ x , ∀y ∈ X =⇒ x ∈ X⊥ 2.2 Projection sur un convexe ferm´e Plus g´en´eralement, dans un espace m´etrique (H, d) la projection d’un point a ∈ H sur un sous-ensemble ferm´e F ⊂ H est le point b ∈ F s’il existe, v´erifiant d(a, b) = d(a, F) = inf y∈F d(a, y) On ´ecrit b = PF (a), et on lit : b est la projection de a sur F. Donc, si a ∈ F, il est clair que la projection de a est lui mˆeme, et g´en´eralement l’existence Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  21. 21. 2.2. Projection sur un convexe ferm´e 15 de b n’est pas certaine. Par exemple, si on consid`ere l’ensemble S = Sa,r avec a ∈ H et r ∈ R+ d´efinit par S := {x ∈ H | d(a, x) = r} Dans ce cas le point a a plusieurs projection sur S, et on a : PS(a) = S. Figure 2.1 – Exemple de Projection Par contre, soit U ⊂ H un ouvert, et soit a ∈ ∂U = U − U, a n’admet aucune projection sur U puisque d(a, U) = 0 et a /∈ U. Voir [3], [4], [5], [8], [11]. D´efinition 2.2.1 (Partie convexe) Soit H un espace de Hilbert, et A ⊂ H une partie non vide. On dit que A est une partie convexe si : ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] : λx + (1 − λ)y ∈ A On remarque que tous les sous-espaces vectoriels sont convexes. Dans un espace de Hilbert, un sous-espace vectoriel ferm´e est convexe et complet. Th´eor`eme 2.2.1 (Projection) Soit A un sous-ensemble non vide, ferm´e et convexe d’un espace de Hilbert H. Soit a ∈ H, alors : ∃!b ∈ A : b = PA(a) Puisque on a dit que tout espace de Hilbert est norm´e donc m´etrique, alors : b = PA(a) ⇐⇒ d(a, b) = inf y∈A d(a, y) avec d(x, y) = x − y = x − y, x − y . D´emonstration. Puisque A = ∅, on consid`ere (yn)n une suite de points de A t.q. lim n→∞ a − yn = inf y∈A a − y = d Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  22. 22. 2.2. Projection sur un convexe ferm´e 16 On a 1 2(yn + ym) ∈ A par la convexit´e de A, alors a − 1 2 (yn + ym) ≥ d, ∀m, n ∈ N (2.1) en utilisant la r`egle de parall´elogramme (1.6), on trouve : yn − ym 2 = 4 a − 1 2 (yn + ym) 2 + yn − ym 2 − 4 a − 1 2 (yn + ym) 2 = 2 a − yn 2 + 2 a − ym 2 − 4 a − 1 2 (yn + ym) 2 D’apr`es (2.1) −4 a − 1 2 (yn + ym) 2 ≤ −4d2 donc yn − ym 2 ≤ 2 a − yn 2 + 2 a − ym 2 − 4d2 par passage au limite quand (m, n → ∞), on obtient yn − ym 2 → 0 i.e. la suite (yn)n est une suite de Cauchy dans A, et puisque A est ferm´e d’un espace complet, il est complet (Proposition 1.4.3) donc (yn)n est convergente vers un point b de A. Par la continuit´e de la norme, on a : lim n→∞ a − yn = a − lim n→∞ yn = a − b = inf y∈A a − y Donc, on a d´emontr´e qu’il existe une projection sur A. On va d´emontrer que cette projection est unique. Supposons qu’il existe une autre point b ∈ A tel que a − b = infy∈A a − y = d. On a par la convexit´e de A, 1 2(b + b ) ∈ A, donc : b − b = 4d2 − 4 a − 1 2 (b + b ) 2 ≤ 0 d’o`u b − b = 0 ⇐⇒ b = b . Donc la projection est unique. Remarque. Le th´eor`eme de projection (2.2.1) reste valide dans les espaces pr´e-hilbertiens `a condition que A soit convexe et complet (pour assurer l’existence et l’unicit´e de la pro- jection). Exemple 2.2.1 Dans l’espace R2, soit pour certains A ∈ R2 diff´erent de 0 et soit c ∈ R, on pose : D = {x ∈ R2 | At x = c} Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  23. 23. 2.2. Projection sur un convexe ferm´e 17 1. D est non vide. 2. D est ferm´e, car elle contient tous les valeurs adh´erents. 3. A est un convexe. Soient x, y ∈ D, Soit t ∈ [0, 1], on a : At [tx + (1 − t)y] = tAt x + (1 − t)At y = tc + (1 − t)c = c Donc, tx + (1 − t)y ∈ D. 4. Si z ∈ R2, alors : PD(z) = z − |Atz| − |c| A A A Figure 2.2 – Exemple de Projection dans R2 Proposition 2.2.2 Soit A ⊂ H une partie non vide, convexe et ferm´e d’un espace de Hilbert, soit a ∈ H. Alors, b = PA(a) si et seulement si : ∀x ∈ A : a − b, x − b ≤ 0 D´emonstration. =⇒ ) On a b = PA(a) i.e. a − b = infy∈A a − y , par la convexit´e de A, ty + (1 − t)b ∈ A, ∀t ∈]0, 1] et pour tout y ∈ A. Donc : a − b ≤ a − ty − (1 − t)b = (a − b) − t(y − b) Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  24. 24. 2.3. Suppl´ementaire orthogonale d’un sous-espace 18 d’o`u a − b 2 ≤ (a − b) − t(y − b) 2 = a − b 2 − 2t a − b, y − b + t2 y − b 2 c’est ´equivalent a − b, y − b ≤ t 2 y − b 2 , ∀t ∈]0, 1] et quand t → 0, on a a − b, y − b ≤ 0 ⇐= ) Supposons que ∀y ∈ A : a−b, y −b ≤ 0 et b = PA(a) i.e. a−b = infy∈A a−y . a − b = inf y∈A a − y ⇐⇒ ∃y ∈ A : a − y < a − b ⇐⇒ ∃y ∈ A : a − y 2 < a − b 2 =⇒ ∃y ∈ A : a − y 2 < a − b 2 + y − b 2 =⇒ ∃y ∈ A : 2 a − b, y − b > 0 et ceci est une contradiction. Alors : ∀y ∈ A : a − b, y − b ≤ 0 =⇒ b = PA(a). Proposition 2.2.3 Soit A un sous-espace vectoriel de H, soit a ∈ H et b = PA(a). Alors b est le seule ´el´ement de A v´erifie a − b ∈ A⊥ D´emonstration. Montrons que y est le seul ´el´ement qui rend le vecteur (x−y) orthogonale `a A i.e. (x−y) ∈ A⊥. on a (x − y) − u = x − (y + u) ≥ x − y pour tout u ∈ A Alors, par la proposition (2.1.3) on d´eduit : (x − y) ∈ A⊥. 2.3 Suppl´ementaire orthogonale d’un sous-espace Proposition 2.3.1 Si A un sous-espace vectoriel ferm´e (i.e. complet) d’un espace hilber- tien H. Alors, tout x ∈ A a un d´ecomposition unique de forme x = y + z o`u y ∈ A et z ∈ A⊥. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  25. 25. 2.3. Suppl´ementaire orthogonale d’un sous-espace 19 D´emonstration. Si x ∈ A, il est claire que la d´ecomposition est x = x + 0. Supposons que x /∈ A. par le th´eor`eme de projection (2.2.1), il existe un unique y ∈ A t.q. x − y = infu∈A x − u , on va montrer que x = y + (x − y) est la d´ecomposition d´esir´ee. D’apr`es la proposition (2.2.2), on a (x−y) ∈ A⊥. Pour l’unicit´e de y, soit un autre ´el´ement y ∈ A t.q. (x − y ) ∈ A⊥ i.e.pour tout u ∈ A : x − y, u = 0 et x − y , u = 0 , d’o`u x − y, u − x − y , u = 0 ⇐⇒ −y + y , u = 0 ⇐⇒ −y + y ∈ A⊥ mais −y + y ∈ A, alors −y + y ∈ A ∩ A⊥ = {0}. D’o`u −y + y = 0 ⇐⇒ y = y (i.e. y est unique). Donc x = y + z avec z = x − y, y ∈ A et z ∈ A⊥. Maintenant, supposons qu’il existe une autre d´ecomposition x = y + z avecz ∈ A⊥ et y ∈ A, alors y + z = y + z i.e. y − y = z − z. Mais, puisque A ∩ A⊥ = {0}, alors y − y = z − z = 0 d’o`u y = y et z = z i.e. la d´ecomposition est unique. Cette proposition nous permet d’´ecrire H = A ⊕ A⊥. Si x ∈ H : x = y + z avec y ∈ A et z ∈ A⊥ alors y = PA(x) et z = PA⊥ (x) donc ∀x ∈ H : x = PA(x) + PA⊥ (x). Puisque PA(x) et PA⊥ (x) sont orthogonaux, et en utilisant le th´eor`eme de Pythagore (2.1.1) on trouve x 2 = PA(x) 2 + PA⊥ (x) 2. Dans cet cas, l’application PA : H → H est dite projecteur orthogonale, il est une application lin´eaire v´erifiant PA(PA) = PA, ker(PA) = A⊥ et Im(PA) = A. Pour plus de d´etails, voir [3], [4], [5], [8]. Proposition 2.3.2 Soit H un espace pr´e-hilbertien et A ⊂ H sous-espace vectoriel de dimension finie (i.e. complet et alors ferm´e). Soit {e1, e2, · · · , ek} une base orthonormale de A, alors ∀x ∈ H, ∃!y ∈ A : y = PA(x) = k i=1 x, ei ei D´emonstration. L’existence et l’unicit´e de y sont d´emontr´es dans le th´eor`eme (2.2.1), il reste `a d´emontrer l’´egalit´e y = k i=1 x, ei ei. Donc, il suffit montrer que x − y ∈ A⊥. Soit z ∈ A i.e. il existe Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  26. 26. 2.3. Suppl´ementaire orthogonale d’un sous-espace 20 {r1, r2, · · · , rk} ⊂ R t.q. z = k i=1 riei, on a x − y, z = x, z − y, z = x, i riei − i x, ei ei, j rjej = i ri x, ei − i x, ei   j rj ei, ej   = i ri x, ei − i x, ei ri = 0 D’o`u, on d´eduit que : x − y ∈ A⊥. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  27. 27. Chapitre 3 Quelques applications du th´eor`eme de la projection 21
  28. 28. 3.1. Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt 22 3.1 Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt Cet proc´ed´e nous permet de construire une famille orthogonale `a partir d’une famille quelconque. Th´eor`eme 3.1.1 (Gram-Schmidt) Soit H un espace pr´e-hilbertien, et soient (an)n∈N des ´el´ements de H lin´eairement ind´ependants. Pour n fix´e, soit Fn le sous-espace engendr´e par a0, a1, · · · , an. On pose : b0 = a0 bk = ak − PFk−1 (ak) pour k ≥ 0 Alors : 1. La famille (bn)n∈N est orthogonale. 2. ∀k ∈ N : Fk = vect < b0, b1, · · · , bk > D´emonstration. 1. Soient m, n ∈ N t.q. m = n. Montrons que bm, bn = 0 Supposons que m < n, on a : bm, bn = an − PFn−1 (an), am − PFm−1 (am) = an − PFn−1 (an), am − an − PFn−1 (an), PFm−1 (am) On a m < n i.e. m ≤ n − 1 d’o`u am ∈ Fn−1,alors d’apr`es la proposition(2.2.2) on a : an − PFn−1 (an), am = 0 et PFm−1 (am) ∈ Fm−1 ⊂ Fn−1,donc an − PFn−1 (an), PFm−1 (am) = 0 Alors pour touts m, n ∈ N : bm, bn = 0. Donc (bn)n∈N est une famille orthogonale. 2. Puisque (an)n est libre, alors an /∈ Fn−1 d’o`u bn = an −PFn−1 (an) = 0, pour tout n ∈ N. On utilise la raisonnement par r´ecurrence. a) Pour k = 0 : b0 = a0 donc F0 = vect < b0 >. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  29. 29. 3.1. Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt 23 b) Supposons que Fk =< b0, b1, · · · , bk >, et montrons que Fk+1 =< b0, b1, · · · , bk, bk+1 >. On a la famille (bi)i=1···k+1 est orthogonale, donc, elle est libre, puisque : k+1 i=0 λibi = 0 =⇒ k+1 i=0 λibi 2 = k+1 i=0 |λi|2 bi 2 = 0 =⇒ |λi|2 bi 2 = 0 =⇒ |λi|2 = 0, ∀i =⇒ λi = 0, ∀i Donc, (bi)i=1···k+1 est libre, et on a ak+1 = bk+1 + PFk (ak+1) avec PFk (ak+1) ∈ Fk, alors : Fk+1 =< b0, · · · , bk+1 >. Remarque. Cet proc´ed´e donne un famille orthogonale (bn)n, et on peut construire une famille orthonormale par bn bn n . 3.1.1 Pr´esentation Algorithmique du proc´ed´e de Gram-Schmidt 1. Soit (an)n∈N une famille libre des vecteurs d’un espace pr´e-hilbertien. 2. Comme dans le th´eor`eme (3.1.1), on d´efinit la famille orthogonale (bn)n par : b0 = a0 bk = ak − PFk−1 (ak) pour k ≥ 0 Par le point (2) du th´eor`eme (3.1.1), on a : Fk−1 = vect < b0, b1, · · · , bk−1 > et puisque {b0, b1, · · · , bk−1} est orthogonale, alors b0 b0 , b1 b1 , · · · , bk−1 bk−1 est ortho- normale d’o`u Fk−1 = vect b0 b0 , b1 b1 , · · · , bk−1 bk−1 Donc, par la proposition (2.3.2), on trouve : PFk−1 (ak) = k−1 i=0 ak, bi bi bi bi = k−1 i=0 ak, bi bi bi 2 Ainsi, Ond´efinit la famille (bn)n de la fa¸con suivante b0 = a0 bk = ak − k−1 i=0 ak, bi bi bi 2 Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  30. 30. 3.1. Le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt 24 3.1.2 Polynˆomes orthogonaux La construction des polynˆomes orthogonaux, est un exemple d’utilisation le proc´ed´e de Gram-Schmidt. Soit I un intervalle ferm´e de R. On consid`ere la fonction Π: I → R strictement positive, continue sur I◦ (int´erieur de I), v´erifiant : ∀n ∈ N : I |t|n Π(t)dt < ∞ La fonction Π s’appelle un poids sur I. L’espace C(I, R), muni le produit scalaire : f, g = I f(t)g(t)Π(t)dt est un espace pr´e-hilbertien. Soit la famille libre (an)n∈N d´efinie par ai = ti, ∀i ∈ N. On applique `a cette famille le proc´ed´e de Gram-Schmidt, et on obtient des polynˆomes P0, P1, · · · , Pn, · · · appel´es po- lynˆomes orthogonaux associ´es au poids Π sur l’intervalle I. Exemples des polynˆomes orthogonaux : 1. Si I = [−1, 1] et Π = 1, on obtient des polynˆomes de Legendre. On va calculer les trois premier termes. On d´esigne par (Ln)n∈N les polynˆomes de Legendre. On a (par l’algorithme de Gram-Schmidt) : L0 = a0 = 1 L0 = 1 L1 = a1 − a1, L0 L0 L0 2 = t − t, 1 1 1 2 1 2 = 1 −1 dt = 2 t, 1 = 1 −1 tdt = 0 L1 = t L2 = a2 − a2, L0 L0 L0 2 − a2, L1 L1 L1 2 = t2 − t2 , 1 1 1 2 − t2 , t t t 2 t 2 = 1 −1 t2 dt = 2 3 Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  31. 31. 3.2. Meilleur approximation 25 t2 , 1 = 1 −1 t2 dt = 2 3 t2 , t = 1 −1 t3 dt = 0 L2 = t2 − 1 3 En g´en´erale : Ln = 1 2nn! dn dtn (t2 − 1)n 2. Si I = [−1, 1] et Π(t) = 2 π √ 1−t2 , on obtient des polynˆomes de Tchebychev, et par la mˆeme m´ethode on trouve les trois premier termes : T0 = 1 T1 = t T2 = 2t2 − 1 et le terme g´en´erale est donn´e par : Tn = cos(n arccos(x)) 3. Si I = [0, +∞[ et Π(t) = e−t, on obtient des polynˆomes de Laguerre. P0 = 1 P1 = −t + 1 P2 = t2 − 4t + 2 et le terme g´en´erale est donn´e par : Pn = et dn dtn (e−t tn ) Les polynˆomes orthogonaux interviennent de mani`ere naturelle, soit dans des questions math´ematiques (approximation, comme nous allons voir dans le section suivant), soit dans des questions de physique. Voir [4], [5], [11]. 3.2 Meilleur approximation 3.2.1 Approximation par des polynˆomes On veut trouver une meilleur approximation d’une fonction f ∈ C(I ⊂ R, R) par un polynˆome de degr´e ≤ n. Alors, l’op´eration qui consiste `a trouver la meilleur approximation Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  32. 32. 3.2. Meilleur approximation 26 est juste l’op´eration de recherche de la projection de f sur Rn[x]. La projection sur Rn[x] existe et unique, car Rn[x] est un sous-espace de dimension fini ; i.e. convexe et complet. On peut faire cette op´eration de deux mani`eres : 1. On a Rn[x] = vect < (ei)0≤i≤n > t.q. ei(x) = xi, ∀i = 0 · · · n, soit p = PRn[x](f). Donc p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 v´erifie f − p, ei = 0, ∀i = 0 · · · n Alors, on r´esoudre le syst`eme de n + 1 ´equations et n + 1 inconnues a0, a1, · · · , an. 2. On construire une base orthonorm´ee (oi)0≤i≤n `a partir de base canonique (ei)0≤i≤n t.q. ei(x) = xi, ∀i = 0 · · · n par le proc´ed´e de Gram-Schmidt. Ainsi, l’approximation de f est donn´ee par : p = n i=0 f, oi oi Exemples : 1) Soit f(t) = cos(t), on cherche la meilleur approximation par un trinˆome p ∈ R2[t] sur l’intervalle [0, π]. Soit p(t) = at2 + bt + c, on r´esous le syst`eme suivant : f − p, 1 = 0 ⇐⇒ π 0 (cos t − at2 − bt − 1)dt = 0 f − p, t = 0 ⇐⇒ π 0 (cos t − at2 − bt − 1)tdt = 0 f − p, t2 = 0 ⇐⇒ π 0 (cos t − at2 − bt − 1)t2 dt = 0 On obtient    2π2a + 3πb + 6c = 0 (1/4)π4a + (1/3)π3b − (1/2)π2c = −2 (1/5)π4a + (1/4)π3b − (1/3)π2c = −2 D’o`u a = 0, b = −24 π3 , c = 12 π2 . Donc : p(t) = − 24 π3 t + 12 π2 2) Soit f(t) = arcsin(t), et soit 1, 3 2t, 45 8 (t2 − 1 3) une base orthonormale de R2[t]. L’approximation p de f est donn´ee par : p(t) = 1 −1 arcsin(t)dt + 3 2 t 1 −1 t arcsin(t)dt + 45 8 (t2 − 1 3 ) 1 −1 (t2 − 1 3 ) arcsin(t)dt = 3 8 πt Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  33. 33. 3.2. Meilleur approximation 27 3.2.2 Approximation par des polynˆomes trigonom´etriques Soit l’espace L2([−π, π], R), muni du produit scalaire f, g := 1 π π −π f(t)g(t)dt La famille : A = {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, · · · , cos nx, sin nx} est une famille orthonorm´ee dans L2([−π, π], R). 1. On justifie que : cos(mx), sin(nx) ∈ L2([−π, π], R), ∀m ∈ N, ∀n ∈ N∗. On a 1 π π −π | cos(mx)|2 dt = 1 π π −π | cos2 (mx)|dt = 1 < ∞ , ∀m ∈ N Alors, cos(mx) ∈ L2([−π, π], R). La mˆeme chose pour sin(nx), sauf que n = 0. 2. on justifie l’orthonormalit´e de A. On a : cos(mt), cos(nt) = 1 π π −π cos(mt) cos(nt)dt = 1 π π −π cos(mt) cos(nt)dt Si m = n, on obtient : cos(mt), cos(nt) = 1 2π π −π cos(mt + nt)dt + 1 2π π −π cos(mt − nt)dt = 0 Si m = n, on obtient : cos(mt), cos(nt) = 1 π π −π cos2 (mt)dt = 1 Et on a cos(mt), sin(nt) = 0 car cos(mt) sin(nt) est une fonction impaire. On calcule sin(mt), sin(nt) , comme dans la cas cos(mt), cos(nt) , on trouve : sin(mt), sin(nt) =    1 si m = n 0 sinon On Remarque que : 1 π π −π 1dt = 1 Donc la famille est orthonorm´ee. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  34. 34. 3.3. Repr´esentation de Riesz et th´eor`eme de Stampacchia 28 Maintenant, on pose Fn = vect < A >= vect < 1, cos t, sin t, · · · , cos nt, sin nt > L’espace Fn est un sous-espace vectoriel de L2([−π, π]) contenant les fonctions 2π-p´eriodiques. Les ´el´ements de Fn sont appel´es des polynˆomes trigonom´etriques. Soit f ∈ L2([−π, π]). La meilleur approximation de f par un polynˆome trigonom´etrique i.e. la projection de f sur Fn est donn´ee (D’apr`es la proposition 2.3.2) par : Sn(f) := f, 1 1 + n j=1 f, cos(jt) cos(jt) + f, sin(jt) sin(jt) Les coefficients a0(f) = f, 1 , aj(f) = f, cos(jt) et bj(f) = f, sin(jt) s’appellent les coefficients de Fourier, et l’op´erateur de projection sur Fn est l’op´erateur de Fourier. Pour n ∈ N∗, on a : a0(f) = 1 π π −π f(t)dt a0(f) existe, car f ∈ L2([−π, π]) ⊂ L1([−π, π]) an(f) = 1 π π −π f(t) cos(nt)dt bn(f) = 1 π π −π f(t) sin(nt)dt La suite Sn(f) est convergente et converge vers f. La s´eries de somme partielle Sn(f) est la s´eries de Fourier pour f. Alors : f(t) = a0(f) + ∞ n=1 an(f) cos(nt) + bn(f) sin(nt) , ∀t ∈ R Pour les d´etails sur cette section, voir [4], [5]. 3.3 Repr´esentation de Riesz et th´eor`eme de Stampacchia On d´esigne par H l’espace de Hilbert sur K = R, avec le produit scalaire not´e par x, y pour touts x, y de H. D´efinition 3.3.1 L’espace L(H, K) des formes lin´eaires continues sur H, est appel´e le dual topologique de H et not´e H . L’espace (H , · H ) est un espace norm´e. Soit f ∈ H , on d´efinit la norme de f par : f H := sup x∈H |f(x)| x Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  35. 35. 3.3. Repr´esentation de Riesz et th´eor`eme de Stampacchia 29 Th´eor`eme 3.3.1 (repr´esentation de Riesz-Fr´echet) ∀f ∈ H , ∃!u ∈ H, ∀x ∈ H : f(x) = x, u de plus u = f H D´emonstration. Soit f ∈ H . Si f ≡ 0, alors ∃!u ∈ H : x, u = 0, pour tout x ∈ H, dans ce cas u = 0 il est unique. Supposons que f est non identiquement nulle. Soit F = ker f = f−1({0}) est un hyperplan ferm´e de H, car f est continue. D’apr`es le th´eor`eme de projection (2.3.1), on en d´eduit que : F ⊕ F⊥ = H On choisit b ∈ F⊥ t.q. f(b) = 1. pour x ∈ H le vecteur y = x − f(x)b est dans F car : f(y) = f(x − f(x)b) = f(x) − f(x)f(b) = f(x) − f(x) = 0. Puisque y ∈ F et b ∈ F⊥ on obtient 0 = y, b = x − f(x)b, b = x, b − f(x) b, b On pose u = b b,b . Alors, ∀x ∈ H : f(x) = x, u Supposons qu’il existe u ∈ H t.q. pour tout x ∈ H on a f(x) = x, u = x, u ; alors ∀x ∈ H : x, u − u = 0, si on pose x = u − u , on obtient u − u = 0, donc u = u . Finalement, pour f ∈ H , u ∈ H est unique. Par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz (1.3), on a : |f(x)| = | x, u | ≤ x u , alors : f ≤ u Car f := inf{M > 0 : f(x) ≤ M x , ∀x ∈ H} et puisque |f(u)| = | u, u | = u 2 on a a = |f(a)|| a ≤ f D’o`u f = u Pour plus de d´etails, voir [2], [5], [6]. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  36. 36. 3.3. Repr´esentation de Riesz et th´eor`eme de Stampacchia 30 D´efinition 3.3.2 On dit qu’une forme bilin´eaire B : H × H → R est : 1. Continue s’il existe une constante C > 0 telle que |B(x, y)| ≤ C x y ∀x, y ∈ H 2. Coercive s’il existe une constante D > 0 telle que B(x, x) ≥ D x 2 ∀x ∈ H Th´eor`eme 3.3.2 (Stampacchia) Soit B : H × H → R une forme bilin´eaire continue et coercive. Soit A ⊂ H un convexe, ferm´e et non vide. Alors : ∀f ∈ H , ∃!u ∈ A, ∀x ∈ A : B(u, x − u) ≥ f(x − u) (3.1) De plus, si B est sym´etrique, alors u est caract´eris´e par la propri´et´e : 1 2 B(u, u) − f(u) = min x∈A 1 2 B(x, x) − f(x) (3.2) D´emonstration. On va d´emontrer l’´egalit´e (3.2), et on laisse la d´emonstration de l’in´egalit´e (3.1) pour le lecteur qui voudra la consulter dans [2], [9], [11]. La forme B est sym´etrique, alors elle d´efinit un nouveau produit scalaire sur H et la norme associ´ee B(·, ·) 1 2 est ´equivalente `a la norme · . Donc, H est aussi un espace de Hilbert pour ce produit scalaire. En appliquant le th´eor`eme (3.3.1), on obtient v ∈ H tel que : f(x) = B(v, x), ∀x ∈ H (3.3) D’apr`es (3.1), on obtient : B(v − u, x − u) ≤ 0, ∀x ∈ A Alors, d’apr`es (2.2.2), on d´eduit que u = PA(v) (Projection au sens du produit scalaire d´efinie par B). Donc, par la d´efinition de la projection, u v´erifie : B(v − u, v − u) 1 2 = min x∈A B(v − x, v − x) 1 2 Ceci revient : B(v − u, v − u) = min x∈A B(v − x, v − x) ⇐⇒ B(u, u) − 2B(v, u) = min x∈A B(x, x) − 2B(v, x) par (3.3), on obtient : 1 2 B(u, u) − f(u) = min x∈A 1 2 B(x, x) − f(x) et c’est l’´egalit´e (3.2) du th´eor`eme de Stampacchia. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  37. 37. 3.4. M´ethode de Projection pour les syst`emes lin´eaires 31 3.4 M´ethode de Projection pour les syst`emes lin´eaires L’id´ee d’utiliser une projection pour r´esoudre les syst`emes d’´equations lin´eaires n’est pas nouvelle ; les m´ethodes de projection sont cependant `a l’heure actuelle de plus en plus utilis´ees pour les syst`emes de grande taille. Il y a beaucoup de m´ethodes de projection, mais dans cette section on discute une m´ethode s’appelle m´ethode de Cimmino. Soit A ∈ M∗ n×n(R) une matrice carr´ee inversible d’ordre n. On consid`ere le syst`eme suivant : Ax = y (3.4) Avec x =         x1 x2 ... xn         ∈ Rn , b =         b1 b2 ... bn         ∈ Rn Soit Ai la ligne ieme de la matrice A. On munit Rn par le produit scalaire : x, y = xty. Posons Hi = {y ∈ Rn : Aiy = bi} La solution x∗ du syst`eme (3.4) est le point unique d’intersection des Hi. {x∗ } = n i=1 Hi La m´ethode de Cimmino construit une suite (xp)p de Rn qui converge vers la solution x∗. Cette suite est d´efinie par r´ecurrence comme suit : x0 arbitraire xp+1 = 1 n n i=1 PHi (xp) Remareque. L’ensemble Hi est convexe, ferm´e et non vide d’un espace complet Rn. Donc, d’apr`es le th´eor`eme de projection 2.2.1, chaque vecteur admet un projection unique sur Hi, pour tout i = 1 · · · n. Voir [1], [8. pages 401,402]. Universit´e de M´ed´ea Zemirni Mohamed Amine
  38. 38. Bibliographie [1] Brezinski C. Projection methods for systems of equations. ELSEVIER B.V, 1997. [2] Brezis H. Analyse fonctionnelle (Th´eorie et applications), 2`eme tirage. MASSON, Paris, 1983. [3] Debnath L. & Mikusi`nski P. Introduction to Hilbert spaces with applications. Aca- demic Press, 1990. [4] Patrick B. & Youngson M.A. Linear functional analysis. Springer undergraduate mathematics series, London, 2000. [5] Privat Y. Espaces vectoriels norm´es et Topologie. Instituts Elie Cartan Nancy de Math´ematiques - Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1. [6] Raymond J.S. Topologie, Espaces Norm´es, Calcul Diff´erentiel et Variable Complexe. Universit´e Pierre et Marie Curie, 2003. [7] Rudin W. Analyse r´eelle et complexe (cours et exercices), 3`eme ´edition. DUNOD, France, 1998. [8] Sonntag Y. Topologie et analyse fonctionnelle. Ellipses, 1997. [9] Temam R. Analyse Num´erique. Presses Universitaires de France, 1970. [10] Yosida K. Functional Analysis, 6th Edition. Springer, 1980. [11] [12] 32
  39. 39. Pour cette m´emoire J’ai utilis´e le langage LATEX

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