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G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et applicationOn a un syst`eme de N + N + N2−N2´equations. On pose : F (n1, ...
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Bibliographie[1] A.LIAZID. Representations non lineaire de l’automatique avanc´ee. Science et tech-nologie N 14 D´ecembre ...
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Généralisation du théorème de weierstrass et application

  1. 1. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et applicationG´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass etapplicationDJEDDI Kamel*, Department of MathematicsUniversit´e de Oum El Bouaghi*E-mail : djeddi.kamel@gmail.comB.P. 873 Tebessa 12002Mai 2013R´esum´e. Dans ce travail, on cherche alors une approximation du op´erateur de Hilbert-Schmidt, c’est-a-dire d´eveloppement de op´erateur de Hilbert-Schmidt a op´erateur po-lynˆomial `a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes et repr´esent´e unapplication.Mots cl´es. Op´erateur, Th´eor`eme de Weierstrass, D´eveloppement, Approximation. 1.In-troduction. D’un point de vue physique un syst`eme peut grossi`erement ˆetre consid´er´ecomme un m´ecanisme faisant correspondre `a une action (on dira une entr´ee) une r´eaction( une sortie ). D’un point de vue math´ematique, un syst`eme peut ˆetre repr´esent´e parun op´erateur, celui-ci faisant correspondre `a une fonction ( la fonction entr´ee), une autrefonction ( la fonction sortie).La connaissance d’un syst`eme revient `a celle des lois quir´egissent son comportement. L’´etude du comportement `a partir des lois ´el´ementaires estth´eoriquement possible, mais en pratique elle est souvent impossible si le syst`eme estcomplexe, si les ph´enom`e nes pr´esents ne sont pas, ou sont mal connus etc...On cherche alors une approximation du comportement du syst`eme (G´en´eralisation duth´eor`eme de Weierstrass), c’est-a-dire une approximation de l’op´erateur qui le repr´esente,`a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes.2.Th´eor`eme classique de WeierstrassTh´eor`eme.1. Toute fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e I de R , `a valeursr´eelles, peut ˆetre approch´ee uniform´ement sur I `a ε pr`es, pour tout ε > 0, par une fonctionpolynomiale.En d’autres termes :Th´eor`eme.2. Le sous-espace vectoriel P (I, R) de l’espace vectoriel C (I, R) est densepar rapport `a C (I, R) dans E = B∞ (I, R)Op´erateur de Hilbert-SchmidtD´efinition.1. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert ; un op ´erateur A de H1 dansH2 est Hilbert Schmidt si et seulement si il admet la repr´esentation :page : 1 DJEDDI Kamel
  2. 2. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et applicationAf =∞n=1λn f, en hno`u (en) et (hn) sont des ensembles orthonorm´es dans H1 et H2 respectivement. f ∈ H1λn > 0 et tel que la s´erie ∞1 λ2n converge.Op´erateurs polynˆomesD´efinition.2. Soient X et Y deux espaces vectoriels complexes. Une application y = P(x)de X dans Y d´efinie pour tous les x est un op´erateur polynˆome de degr´e m si :P(x1 + αx2) =mn=0Pn(x1, x2)αn∀x1, x2 ∈ X, α complexePn(x1, x2) ´etant ind´ependants de α.Op´erateur int´egral Hilbert-SchmidtD´efinition.3. Soit T un intervalle r´eel, k ∈ L2(Tn+1)un op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt, A : L2(Tn) → L2(T) , s’ecrit :(Ax) (t) =Tnk (t, s) x (s) ds, t ∈ T, s = (s1, ..., sn) ∈ TnOp´erateurs polynˆomes Hilbert-SchmidtD´efinition.4. Un op´erateur polynˆome Hilbert-Schmidt de degr´e N est une combinaisonlin´eaire d’op´erateurs Hilbert-Schmidt avec x (s) = x (s1) ...x (sn) s’´ecrira :(Hx) (t) =Nn=0 Tnkn (t, s1, ..., sn) x (s1) ...x (sn) ds1...dsn2.G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassTh´eor`eme de Weierstrass dans espace de Hilbert Th´eor`eme.2. Soit H un espacede Hilbert s´eparable, K une partie compacte de H et C (K, H) l’espace vectoriel norm´edes applications continues de K dans H.Alors la famille des op´erateurs polynˆomes d´efinies et continus dans le compact K estdense dans C (K, H) .Th´eor`eme de Weierstrass dans espace de HilbertEn d’autres termes :Th´eor`eme.3. Si A : K → H est une application continue, alors ∀ε > 0, existe unop´erateur polynˆome P(ε)N tel queA − P(ε)N = supx∈KAx − P(ε)N x < εP(ε)N = L0 + L1x + ... + LN xNpage : 2 DJEDDI Kamel
  3. 3. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et applicationL0 = application constante Ln = application n−lin´eaire Hn→ H, Lnxn= Ln (x, ..., x) .Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2.Soit T un intervalle r´eel, t ∈ T, X un compact de L2(T) et C[X, L2(T)] l’espace vectorielnorm´e des applications continues de X dans L2(T) (muni de la norme des sup).Notons n l’ensemble des polynˆomes Hilbert-Schmidt de degr´e ≤ n, d´efinis sur X :H ∈ n ⇔ (Hx) (t) =nj=0 Tjkj (t; s1, ..., sj) x (s1) ...x (sj) ds1...dsj.o`u x ∈ X. En supposant les kj sym´etriques par rapport s1, ..., sj .Par d´efinition desop´erateurs Hilbert-Schmidt n ⊂ C[X, L2(T)].Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2Th´eor`eme.4. Soit k ⊂ C[X, L2(T)] relativement compact (k compact) Alors ∀ε > 0,∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynˆome Hilbert-Schmidt : H ∈ n satisfaisantla relationF − H C[X,L2(T)] = supx∈XFx − Hx L2(T) < εProposition. Soit F une fonctionnelle sur X compact, F : X ⊂ L2(T) → R. Alorsil existe une suite d’´el´ements de , c’est-`a-dire des fonctionnelles Hilbert-Schmidt, quiconverge uniform´ement vers F.Preuve- est manifestement une alg`ebre.- s´epare les point de X car si x1 = x2, il existe un noyau k1 tel queTk1(s)x1(s)ds =Tk1(s)x2(s)ds- toute fonctionnelle appartenant `a est ´evidement continue. D’apr`es le th´eor`eme deStone-Weierstrass, ∀ε > 0, il existe un entier N(ε) = N tel que pour toute fonctionnelleF continue sur X on dit|F(x) − k(x)| = F(x) −nj=0 Tjkj(s1, ..., sj)x(s1)...x(sj)ds1...dsj < ε, ∀x ∈ X.Aussi, la classe des fonctionnelles Hilbert-Schmidt est partait dense dans c [X, R] .Le passage `a un op´erateur dans L2(T) utilisera le fait qui k(x) est pr´e compact et peutˆetre recouvert ∀ε > 0 par un nombre fini de boules de diam`etre k. Ou simulera aussi unop´erateur A `a une famille de fonctionnelles At d´efinies parAt(x) = (Ax)(t), x ∈ L2(T), t ∈ T.3.Application.page : 3 DJEDDI Kamel
  4. 4. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et applicationOn va d´ecrire la d´etermination d’un syst`eme non lin´eaire en l’approximant par un op´erateurHilbert-Schmidt d’ordre 2.Calcul formel d’identification.Le syst`eme est approxim´e par un polynˆome Hilbert-Schmidt d’ordre 2.{Φi (t)} ´etant unebase de L2(T), la sortie du syst`eme y(t) correspondant `a l’entr´ee x (z) est donn´ee par :y(t) =Tk1 (t − z) x (z) dz +T2k2(t − z1, t − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2aveck1 (t) =Ni=1αiΦi(t)k2 (t1, t2) =Ni,j=1βijΦi (t1) Φj (t2)avec les donn´eesentr´ees mesur´ees : vecteur x (tk) , k = 1, ..., psorties mesur´ees : vecteur y (tk), k = 1, ..., pProbl`eme. Trouver les N coefficients αi et les N2coefficients βij.Calculs :y(tk) = y1(tk) + y2(tk)avecy1(tk) =Tk1 (tk − z) x (z) dzy2(tk) =T2k2(tk − z1, tk − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2Expression de y1(tk) :y1(tk) =Ni=1 TΦi (tk − z) x (z) dzOn applique la m´ethode des trap`ezes pour calculerTΦi (tk − z) x (z) dz pour cela, ondivise l’intervalle [0, T] en D sous intervalles d’amplitude TD= h cette int´egrale devient :y1(tk) =Ni=1hαiDl=1Φi (tk − zl) x (zl)page : 4 DJEDDI Kamel
  5. 5. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et applicationavec zl ∈ [(l − 1) h, lh]Expression de y2(tk) :y2(tk) =Ni,j=1βij(TΦi (tk − z1) x (z1) dz1)(TΦj (tk − z2) x (z2) dz2)En appliquant la m´ethode des trap`ezes on obtient :TΦi (tk − z1) x (z1) dz1 = hDl=1Φi (tk − zl) x (zl)TΦj (tk − z2) x (z2) dz2 = hDl=1Φj (tk − zl) x (zl)doncy2(tk) =Ni,j=1h2βij (Dl=1Φi (tk − zl) x (z1)).(Dl=1Φj (tk − zl) x (zl))Expression de y(tk) :y(tk) = y1(tk) + y2(tk)alorsy(tk) = hNi=1αiDl=1Φi (tk − zl) x (zl)+2h2Ni=j=1βij (Dl=1Φi (tk − zl) x (zl)).(Dl=1Φj (tk − zl) x (zl))+h2Ni=1βiiDl=1Φi (tk − zl) x (zl)2En appliquant la m´ethode de Moindres carr´es : y et y ´etant respectivement les sortiescalcul´ee et mesur´ee :Sp = (y (tp) − y (tp))S =Pp=1(y (tp) − y (tp))2=Pp=1(Sp)2page : 5 DJEDDI Kamel
  6. 6. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et applicationOn a un syst`eme de N + N + N2−N2´equations. On pose : F (n1, n2, n3) = Φn1 (tn2 − zn3 ) x (zn2 )∂Sp∂αi= hDl=1F (i, p, l)∂Sp∂βii= h2Dl=1F (i, p, l)2∂Sp∂βij= 2h2Dl=1F (i, p, l) .Dl=1F (j, p, l)Sp = hNi=1αiDl=1F (i, p, l) + h2Ni=1βiiDl=1F (i, p, l)2+2h2N1i=jβijDl=1F (i, p, l) .Dl=1F (i, p, l)− y (tp)Formation du vecteur V des inconnues de dimension 2N + N2−N2αi = V (i) avec i = 1, ..., Nβii = V (N + i) avec i = 1, ..., Nβij = V (2N + k) avec i = 1, ..., N et j > i, k = (i − 1) N −i2+ j − iOn pose G (i, j) = Dl=1 F (i, j, l) avec F (i, j, l) = Φi (ti − zl) x (zl)donc :Sp = hNi=1αiG (i, p) + h2Ni=1βii (G (i, p))2+2h2N−1i=1j>iβijG (i, p) G (j, p) − y (tp)12∂S∂αi=Pp=1Sp∂Sp∂αi= 012∂S∂βii=Pp=1Sp∂Sp∂βii= 012∂S∂βij=Pp=1Sp∂Sp∂βij= 0page : 6 DJEDDI Kamel
  7. 7. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et applicationavec∂Sp∂αi= hG (i, p)∂Sp∂βii= h2[G (i, p)]2∂Sp∂βij= 2h2G (i, p) G (j, p)Pour compl´eter les algorithmes, on d´etermin´e les coefficients de la matrice des moindrescarr´es, on droit distinguer, pour l’application informatique, les diff´erents cas :Par exemplecas 1 : r ≤ N s ≤ NB (r, s) =Pp=1{hG (r, p) hG (s, p)}H (r) =Pp=1{hG (r, p) y (tp)}cas 2 : r ≤ N , N < s ≤ 2N , s − N = iB (r, s) =Pp=1hG (r, p) h2[G (s, p)]24.Conclusion.Dans ce travail relatif `a la recherche du mod`ele, ´etudie les propri´et´es des op´erateurspolynˆomes et sp´eciallement ceux du type Hilbert Schmidt. Elle ´etude leur utilisationpour approximer des op´erateurs non lin´eaire. On montrera tout op´erateur non lin´eaired´efini et continu sur un compact X de L2(T) (T intervalle r´eel) peut ˆetre repr´esent´epar un polynˆome Hilbert Schmidt est (donc par des int´egrales `a noyaux) ; autrement ditl’ensemble des polynˆomes Hilbert Schmidt est dense dans C[X, L2(T)]. Si au lieu de L2(T),l’op´erateur est d´efini sur un Hilbert s´eparable, on verra qu’il peut ˆetre repr´esent´e par unop´erateur polynˆome.page : 7 DJEDDI Kamel
  8. 8. Bibliographie[1] A.LIAZID. Representations non lineaire de l’automatique avanc´ee. Science et tech-nologie N 14 D´ecembre 2000. pp 61-66.[2] I.M.Guelfand-N.Y. Vilenkin. Les distributions tome 4 applications de l’analyseharmonique. Dunod 1992.[3] Herv´e Queff´elec. Topologie. dunod 2007.[4] Lourent Schwartz. Cours d’analyse. Hermann 1967.[5] Lipschutz, S. Theory and problems of gˆenerai topology. Schaum’s outline s´eriesMcGraw- Hill Book C˚´ed. New York 1965 (il existe une ´edition r´ecente, en fran¸cais).[6] Mat´e, L. Hilbert space methods in science and engineering. Akad´emiai Kiado ´ed.Budapest 1989.[7] Yves SONNTAG. Topologie et analyse fonctionnelle. ellipses 1997.8

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