´                 Universit´ Mohammed V-Agdal                          e                 Facult´ des Sciences Juridiques, ...
´Prof. Amale LAHLOU              Corrig´ du Contrˆle de Rattrapage /Math´matiques I / MQ I / M 6                          ...
´Prof. Amale LAHLOU                    Corrig´ du Contrˆle de Rattrapage /Math´matiques I / MQ I / M 6                    ...
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Exam rattrapage0607-corrige

  1. 1. ´ Universit´ Mohammed V-Agdal e Facult´ des Sciences Juridiques, e Printemps–Et´ 2006/2007 Section : e A & B www.tifawt.com ´ Semestre : S2www.fsjesr.ac.ma Economiques et Sociales, Rabat ´ R´ponse eFili`re de Sciences Economiques et de Gestion e Exercice 1 Module 6 : M´thodes Quantitatives I e Soit la fonction r´elle d´finie par : e e Mati`re e : Math´matiques I e 1−x f (x) = ln Professeure Amale LAHLOU 1+x 1. D´terminons le domaine de d´finition de f . e e Corrig´ du Contrˆle de Rattrapage e o La fonction f est la compos´e de deux fonctions : x → 1−x e 1+x qui n’est d´finie que si 1+x = 0 (i.e., x = −1) et la fonction e ´ Enonc´ e X → ln(X) qui est bien d´finie pour tout X > 0. Alors, e Exercice 1 1+x Df = x ∈ R, / x = −1 et >0 . 1−x Soit la fonction r´elle d´finie par : e e 1−x ´ Etudions le signe de : 1−x 1+x f (x) = ln 1+x x −∞ −1 1 +∞ 1. D´terminer Df , le domaine de d´finition de f ; e e 1−x + | + ∅ − 1+x − ∅ + | + 2. Montrer que la fonction f est bijective en pr´cisant e 1−x son ensemble de d´part et son ensemble d’arriv´e ; e e − + ∅ − 1+x 3. D´terminer sa fonction r´ciproque. e e on constate donc que : Exercice 2 1+x >0 ⇔ x ∈] − 1, +1[. 1−x Soit la fonction r´elle d´finie sur R par : e e Par suite, f (x) = ln e 2x x −e +1 Df =] − 1, +1[. 2. Montrons que la fonction f est bijective en pr´cisant e 1. D´terminer les ´ventuels points extremums et points e e son ensemble de d´part et son ensemble d’arriv´e. e e d’inflexion de la fonction f ; 2. En d´duire le domaine de convexit´ de f . e e D’une part, la fonction f est continue sur son domaine de d´finition puisque c’est la compos´e de fonctions continues e e Exercice 3 sur ] − 1, 1[ et d’autre part, f est strictement d´croissante e sur cet intervalle ; en effet, par un calcul simple on montre D´terminer le D´veloppement Limit´, ` l’ordre 2 et au e e e a que : voisinage de 1, de la fonction d´finie par : e −2 f (x) = < 0. (1 − x)2 ln(x) f (x) = D’o`, la fonction f est bijective de ] − 1, 1[ vers f (] − 1, 1[). u 1 + x2 Or, en effectuant dans une ´tape interm´diaire la division se- e e lon les puissances croissantes ` un ordre bien d´termin´. a e e f (] − 1, 1[) = lim f (x), lim + f (x) x→1− x→−1 Exercice 4 = ] − ∞, +∞[ 3. D´terminons la fonction r´ciproque de f . e e Soit la fonction r´elle d´finie sur R{1} par : e e 1 Comme f est bijective de ] − 1, 1[ vers R, alors sa fonction f (x) = (x − 2)e x−1 . r´ciproque f −1 existe et est d´finie de R vers ] − 1, 1[. Soit e e 1. D´terminer le D´veloppement G´n´ralis´ de f au e e e e e y ∈ R, voisinage de l’infini et ` l’ordre 1, a 1−x y = f (x) ⇐⇒ y = ln 2. D´terminer les ´quations des asymptotes ` Cf , la e e a 1+x courbe repr´sentative de f , au voisinage de l’infini, e 1−x ⇐⇒ ey = 3. Pr´ciser la position de Cf par rapport ` ses asymp- e a 1+x totes. 1 − ey ⇐⇒ x = 1 + ey ⇐⇒ x = f −1 (y) Soit donc,
  2. 2. ´Prof. Amale LAHLOU Corrig´ du Contrˆle de Rattrapage /Math´matiques I / MQ I / M 6 e o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007 e Page 2 √ √ f −1 : R −→ ] − 1, 1[ Calculons f (ln(2 − 3)) et f (ln(2 + 3)) : 1 − ey √ √ √ x −→ f −1 (x) = f (ln(2 − 3)) = ln e2 ln(2− 3)) − eln(2− 3) + 1 1 + ey √ √Exercice 2 = ln (2 − 3)2 − (2 − 3) + 1 √Soit la fonction r´elle d´finie sur R par : e e = ln 3(2 − 3) √ f (x) = ln e2x − ex + 1 = ln(3) + ln(2 − 3) √ √ √ f (ln(2 + 3)) = ln e2 ln(2+ 3)) − eln(2+ 3) + 11 D´terminons les ´ventuels points extremums et points e e √ √d’inflexion de la fonction f . = ln (2 + 3)2 − (2 + 3) + 1 √La fonction f est de classe C ∞ sur R. D´terminons tout e = ln 3(2 + 3)d’abord les points critiques de f , i.e., les racines de l’´quation e √ = ln(3) + ln(2 + 3) f (x) = 0 Dressons le tableau de variation de f :on parle de la condtion n´cessaire du premier ordre. e √ x − ln(2) ln(2 − 3) ln(2 + (3) x x e (2e − 1) f (x) − ∅ + ∅ − f (x) = 0 ⇐⇒ =0 e2x − ex + 1 f (x) concave convexe concave x ⇐⇒ 2e − 1 = 0 1 ⇐⇒ ex = 2 Comme f (− ln(2)) < 0 alors, la fonction f pr´sente e 1 ⇐⇒ x = ln un maximum relatif au point − ln(2), 3 . 4 2 ⇐⇒ x = − ln(2) Comme l’´quation f (x) = 0 admet deux racines ` e a savoir : √ √Calculons f (− ln(2)) : ln(2 − 3) et ln(2 + 3) f (− ln(2)) = ln e−2 ln(2) − e− ln(2) + 1 et en plus f change de signe√ part et d’autre de ces de √ points alors les points ln(2 − 3), ln(3) + ln(2 − 3) et 1 1 √ √ = ln − +1 ln(2 + 3), ln(3) + ln(2 + 3) sont deux points d’inflexion 4 2 de f . 3 = ln 4 2. D´terminons le domaine de convexit´ de f . e e √ √Donc le point − ln(2), 3 4 est un point critique de f et Si x ∈] − ∞, ln(2 − 3)] ∪ [ln(2 + 3), +∞[ alors f estc’est le seul. concave, √ √Appliquons maintenant les conditions suffisantes du se- Si x ∈ [ln(2 − 3), ln(2 + 3)] alors f est convexe.cond ordre : tout calcul fait on obtient, Exercice 3 ex −e2x + 4ex − 1 f (x) = 2 (e2x − ex + 1) D´terminons le D´veloppement Limit´, ` l’ordre 2 et au e e e a voisinage de 1, de la fonction d´finie par : e´Etudions le signe de f (x) : posons X = ex . Ainsi, ln(x) f (x) = f (x) = 0 2x ⇐⇒ −e + 4e − 1 = 0 x 1 + x2 ⇐⇒ −X 2 + 4X − 1 = 0 Posons le changement de variable x = 1 + h, quand x → 1 alors h → 0 et on a :Le discriminant est ∆ = 3, donc l’´quation −X 2 √ 4X − e√ +1 = 0 admet deux racines ` savoir 2− 3 > 0 et 2+ 3 > 0. a ln(x) √ f (x) =D’o`, les √ u racines de l’´quation f (x) = 0 sont ln(2 − 3) e 1 + x2et ln(2 + 3) ln(1 + h) = 1 + (1 + h)2 ln(1 + h) = 2 + 2h + h2 Or le D´veloppement Limit´, ` l’ordre 2 et au voisinage de e e a 0, de ln(1 + h) est donn´ par : e h2 ln(1 + h) = h − + o(h2 ) 2
  3. 3. ´Prof. Amale LAHLOU Corrig´ du Contrˆle de Rattrapage /Math´matiques I / MQ I / M 6 e o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007 e Page 3 1Comme la valuation du d´nominateur est nulle, on peut ef- e En rempla¸ant h par c x il vient, h2fectuer la division selon les puissances croissantes de h− 1 1 2 f (x) = x − 1 − +opar 2 + 2h + h2 ` l’ordre 2 : a 2x x 2 2. D´terminons les ´quations des asymptotes ` Cf au voi- e e a h −h 2 + 2h + h2 2 sinage de l’infini. 3 3h2 La droite d’´quation y = x − 1 est une asymptote oblique e −h −h2 −h 2 h 2 − 4 a ` Cf au voisinage de l’infini puisque, 2 3 − 3h 2 −h 2 lim (f (x) − y) = 0. |x|→+∞ . . . . . . 3. Pr´cisons la position de Cf par rapport ` l’asymptote e a y = x − 1.Il vient donc, ln(1 + h) h 3h2 au voisinage de −∞ on a : 2 = − + o(h2 ) 2 + 2h + h 2 4 1 1En rempla¸ant h par (x − 1) on obtient : c lim (f (x) − y) = lim − +o = 0+ . x→−∞ x→−∞ 2x x 1 3 f (x) = (x − 1) − (x − 1)2 + o (x − 1)2 Ainsi, la courbe Cf est au dessus de l’asymptote au voisi- 2 4 nage de −∞.Exercice 4 au voisinage de +∞ on a :Soit la fonction r´elle d´finie sur R{1} par : e e 1 1 f (x) = (x − 2)e x−1 1 lim (f (x) − y) = lim − +o = 0− . x→+∞ x→+∞ 2x xet Cf sa courbe repr´sentative. e Ainsi, la courbe Cf est au dessous de l’asymptote au voi- sinage de +∞.1. D´terminons le D´veloppement G´n´ralis´ de f au voi- e e e e esinage de l’infini et ` l’ordre 1. a 1Posons x = h , si x → ∞ alors h → 0 et 1 f (x) = (x − 2) exp x−1 1 h = − 2 exp h 1−hon sait qu’au voisinage de 0 : 1 = 1 + h + o(h) 1−h h = h + h2 + o(h2 ) 1−hPosons X = h + h2 + o(h2 ), quand h → 0 alors X → 0 et h exp = eX 1−h 1 = 1 + X + X 2 + o(X 2 ) 2 1 = 1 + h + h2 + (h + h2 )2 + o(h2 ) 2 1 = 1 + h + h + h2 + o(h2 ) 2 2 3 = 1 + h + h2 + o(h2 ) 2et par suite, 1 h 1 3 − 2 exp = −2 1 + h + h2 + o(h2 ) h 1−h h 2 1 h = − 1 − + o(h) h 2

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