1. ´
Universit´ Mohammed V-Agdal
e
Facult´ des Sciences Juridiques,
e
Printemps–Et´ 2006/2007
Section :
e
A & B
www.tifawt.com
´ Semestre : S2
www.fsjesr.ac.ma Economiques et Sociales, Rabat
´ R´ponse
e
Fili`re de Sciences Economiques et de Gestion
e
Exercice 1
Module 6 : M´thodes Quantitatives I
e
Soit la fonction r´elle d´finie par :
e e
Mati`re
e : Math´matiques I
e
1−x
f (x) = ln
Professeure Amale LAHLOU 1+x
1. D´terminons le domaine de d´finition de f .
e e
Corrig´ du Contrˆle de Rattrapage
e o
La fonction f est la compos´e de deux fonctions : x → 1−x
e 1+x
qui n’est d´finie que si 1+x = 0 (i.e., x = −1) et la fonction
e
´
Enonc´
e X → ln(X) qui est bien d´finie pour tout X > 0. Alors,
e
Exercice 1 1+x
Df = x ∈ R, / x = −1 et >0 .
1−x
Soit la fonction r´elle d´finie par :
e e 1−x
´
Etudions le signe de :
1−x 1+x
f (x) = ln
1+x
x −∞ −1 1 +∞
1. D´terminer Df , le domaine de d´finition de f ;
e e 1−x + | + ∅ −
1+x − ∅ + | +
2. Montrer que la fonction f est bijective en pr´cisant
e 1−x
son ensemble de d´part et son ensemble d’arriv´e ;
e e − + ∅ −
1+x
3. D´terminer sa fonction r´ciproque.
e e
on constate donc que :
Exercice 2 1+x
>0 ⇔ x ∈] − 1, +1[.
1−x
Soit la fonction r´elle d´finie sur R par :
e e
Par suite,
f (x) = ln e 2x x
−e +1 Df =] − 1, +1[.
2. Montrons que la fonction f est bijective en pr´cisant
e
1. D´terminer les ´ventuels points extremums et points
e e son ensemble de d´part et son ensemble d’arriv´e.
e e
d’inflexion de la fonction f ;
2. En d´duire le domaine de convexit´ de f .
e e D’une part, la fonction f est continue sur son domaine de
d´finition puisque c’est la compos´e de fonctions continues
e e
Exercice 3 sur ] − 1, 1[ et d’autre part, f est strictement d´croissante
e
sur cet intervalle ; en effet, par un calcul simple on montre
D´terminer le D´veloppement Limit´, ` l’ordre 2 et au
e e e a que :
voisinage de 1, de la fonction d´finie par :
e −2
f (x) = < 0.
(1 − x)2
ln(x)
f (x) = D’o`, la fonction f est bijective de ] − 1, 1[ vers f (] − 1, 1[).
u
1 + x2 Or,
en effectuant dans une ´tape interm´diaire la division se-
e e
lon les puissances croissantes ` un ordre bien d´termin´.
a e e f (] − 1, 1[) = lim f (x), lim + f (x)
x→1− x→−1
Exercice 4 = ] − ∞, +∞[
3. D´terminons la fonction r´ciproque de f .
e e
Soit la fonction r´elle d´finie sur R{1} par :
e e
1 Comme f est bijective de ] − 1, 1[ vers R, alors sa fonction
f (x) = (x − 2)e x−1 .
r´ciproque f −1 existe et est d´finie de R vers ] − 1, 1[. Soit
e e
1. D´terminer le D´veloppement G´n´ralis´ de f au
e e e e e y ∈ R,
voisinage de l’infini et ` l’ordre 1,
a 1−x
y = f (x) ⇐⇒ y = ln
2. D´terminer les ´quations des asymptotes ` Cf , la
e e a 1+x
courbe repr´sentative de f , au voisinage de l’infini,
e 1−x
⇐⇒ ey =
3. Pr´ciser la position de Cf par rapport ` ses asymp-
e a 1+x
totes. 1 − ey
⇐⇒ x =
1 + ey
⇐⇒ x = f −1 (y)
Soit donc,

2. ´
Prof. Amale LAHLOU Corrig´ du Contrˆle de Rattrapage /Math´matiques I / MQ I / M 6
e o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007
e Page 2
√ √
f −1 : R −→ ] − 1, 1[ Calculons f (ln(2 − 3)) et f (ln(2 + 3)) :
1 − ey √ √ √
x −→ f −1 (x) = f (ln(2 − 3)) = ln e2 ln(2− 3)) − eln(2− 3) + 1
1 + ey
√ √
Exercice 2 = ln (2 − 3)2 − (2 − 3) + 1
√
Soit la fonction r´elle d´finie sur R par :
e e = ln 3(2 − 3)
√
f (x) = ln e2x − ex + 1 = ln(3) + ln(2 − 3)
√ √ √
f (ln(2 + 3)) = ln e2 ln(2+ 3)) − eln(2+ 3) + 1
1 D´terminons les ´ventuels points extremums et points
e e
√ √
d’inflexion de la fonction f . = ln (2 + 3)2 − (2 + 3) + 1
√
La fonction f est de classe C ∞ sur R. D´terminons tout
e = ln 3(2 + 3)
d’abord les points critiques de f , i.e., les racines de l’´quation
e √
= ln(3) + ln(2 + 3)
f (x) = 0
Dressons le tableau de variation de f :
on parle de la condtion n´cessaire du premier ordre.
e √
x − ln(2) ln(2 − 3) ln(2 + (3)
x x
e (2e − 1) f (x) − ∅ + ∅ −
f (x) = 0 ⇐⇒ =0
e2x − ex + 1 f (x) concave convexe concave
x
⇐⇒ 2e − 1 = 0
1
⇐⇒ ex =
2
Comme f (− ln(2)) < 0 alors, la fonction f pr´sente
e
1
⇐⇒ x = ln un maximum relatif au point − ln(2), 3 .
4
2
⇐⇒ x = − ln(2) Comme l’´quation f (x) = 0 admet deux racines `
e a
savoir : √ √
Calculons f (− ln(2)) : ln(2 − 3) et ln(2 + 3)
f (− ln(2)) = ln e−2 ln(2) − e− ln(2) + 1 et en plus f change de signe√ part et d’autre de ces
de √
points alors les points ln(2 − 3), ln(3) + ln(2 − 3) et
1 1 √ √
= ln − +1 ln(2 + 3), ln(3) + ln(2 + 3) sont deux points d’inflexion
4 2 de f .
3
= ln
4 2. D´terminons le domaine de convexit´ de f .
e e
√ √
Donc le point − ln(2), 3
4 est un point critique de f et Si x ∈] − ∞, ln(2 − 3)] ∪ [ln(2 + 3), +∞[ alors f est
c’est le seul. concave,
√ √
Appliquons maintenant les conditions suffisantes du se- Si x ∈ [ln(2 − 3), ln(2 + 3)] alors f est convexe.
cond ordre : tout calcul fait on obtient,
Exercice 3
ex −e2x + 4ex − 1
f (x) = 2
(e2x − ex + 1) D´terminons le D´veloppement Limit´, ` l’ordre 2 et au
e e e a
voisinage de 1, de la fonction d´finie par :
e
´
Etudions le signe de f (x) : posons X = ex . Ainsi,
ln(x)
f (x) =
f (x) = 0 2x
⇐⇒ −e + 4e − 1 = 0 x 1 + x2
⇐⇒ −X 2 + 4X − 1 = 0 Posons le changement de variable x = 1 + h, quand x → 1
alors h → 0 et on a :
Le discriminant est ∆ = 3, donc l’´quation −X 2 √ 4X −
e√ +
1 = 0 admet deux racines ` savoir 2− 3 > 0 et 2+ 3 > 0.
a ln(x)
√ f (x) =
D’o`, les √
u racines de l’´quation f (x) = 0 sont ln(2 − 3)
e 1 + x2
et ln(2 + 3) ln(1 + h)
=
1 + (1 + h)2
ln(1 + h)
=
2 + 2h + h2
Or le D´veloppement Limit´, ` l’ordre 2 et au voisinage de
e e a
0, de ln(1 + h) est donn´ par :
e
h2
ln(1 + h) = h − + o(h2 )
2

3. ´
Prof. Amale LAHLOU Corrig´ du Contrˆle de Rattrapage /Math´matiques I / MQ I / M 6
e o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007
e Page 3
1
Comme la valuation du d´nominateur est nulle, on peut ef-
e En rempla¸ant h par
c x il vient,
h2
fectuer la division selon les puissances croissantes de h− 1 1
2 f (x) = x − 1 − +o
par 2 + 2h + h2 ` l’ordre 2 :
a 2x x
2 2. D´terminons les ´quations des asymptotes ` Cf au voi-
e e a
h −h 2 + 2h + h2
2 sinage de l’infini.
3
3h2 La droite d’´quation y = x − 1 est une asymptote oblique
e
−h −h2 −h
2
h
2 − 4
a
` Cf au voisinage de l’infini puisque,
2 3
− 3h
2 −h
2 lim (f (x) − y) = 0.
|x|→+∞
.
. .
.
. . 3. Pr´cisons la position de Cf par rapport ` l’asymptote
e a
y = x − 1.
Il vient donc,
ln(1 + h) h 3h2 au voisinage de −∞ on a :
2
= − + o(h2 )
2 + 2h + h 2 4
1 1
En rempla¸ant h par (x − 1) on obtient :
c lim (f (x) − y) = lim − +o = 0+ .
x→−∞ x→−∞ 2x x
1 3
f (x) = (x − 1) − (x − 1)2 + o (x − 1)2 Ainsi, la courbe Cf est au dessus de l’asymptote au voisi-
2 4 nage de −∞.
Exercice 4
au voisinage de +∞ on a :
Soit la fonction r´elle d´finie sur R{1} par :
e e
1 1
f (x) = (x − 2)e x−1
1 lim (f (x) − y) = lim − +o = 0− .
x→+∞ x→+∞ 2x x
et Cf sa courbe repr´sentative.
e Ainsi, la courbe Cf est au dessous de l’asymptote au voi-
sinage de +∞.
1. D´terminons le D´veloppement G´n´ralis´ de f au voi-
e e e e e
sinage de l’infini et ` l’ordre 1.
a
1
Posons x = h , si x → ∞ alors h → 0 et
1
f (x) = (x − 2) exp
x−1
1 h
= − 2 exp
h 1−h
on sait qu’au voisinage de 0 :
1
= 1 + h + o(h)
1−h
h
= h + h2 + o(h2 )
1−h
Posons X = h + h2 + o(h2 ), quand h → 0 alors X → 0 et
h
exp = eX
1−h
1
= 1 + X + X 2 + o(X 2 )
2
1
= 1 + h + h2 + (h + h2 )2 + o(h2 )
2
1
= 1 + h + h + h2 + o(h2 )
2
2
3
= 1 + h + h2 + o(h2 )
2
et par suite,
1 h 1 3
− 2 exp = −2 1 + h + h2 + o(h2 )
h 1−h h 2
1 h
= − 1 − + o(h)
h 2