Cours hydraulique tc3

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Cours hydraulique tc3

  1. 1. INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUEDEPARTEMENT DU GENIE RURALSECTION HYDRAULIQUE AGRICOLE HYDRAULIQUE GENERALE ( Mecanique des fluides ) TRONC COMMUN 3ème ANNEEPartie 1 : Statique des Fluides ( Hydrostatique )Partie 2 : Dynamique des Fluides ( Hydrodynamique ) Par : Sellam Fouad 3
  2. 2. PLAN DU COURSI.- INTRODUCTIONI.1.- Le Système d’Unités SII.2.- Les Propriétés des FluidesI.2.1.- Les Densités a.- Densité de masse ou ‘’ Masse Volumique ‘’ : b.- Poids Spécifique : c.- Densité Relative :I.2.2.- Les Viscosités a.- La Viscosité Dynamique b.- La Viscosité CinématiqueII.- STATIQUE DES FLUIDES : HYDROSTATIQUEII.1.- Notion de PressionII.2.- Loi de PascalII.3.- Equation Fondamentale de l’HydrostatiqueII.4.- Dispositifs de mesure de la pressionII.5.- Forces de Pression des Fluides sur les SurfacesII.2.1.- Cas des Forces de Pression exercées par les Fluides sur des Surfaces Planes a.- Expression générale de la Force de Pression b.- Position du point d’application de la Force de Pression : c.- Cas d’une surface verticale – Diagramme des pressions :II.2.2.- Cas des Forces de Pression exercées par les Fluides sur des Surfaces Courbes a.- Expression générale de la Force de Pression b.- Position du point d’application de la Force de Pression :III.- DYNAMIQUE DES FLUIDES : ECOULEMENT DANS LES CONDUITES EN CHARGEIII.1.- Les Principes de BaseIII.1.1.- Principe de Conservation de Masse ou Equation de ContinuitéIII.1.2.- Equation Générale d’Ecoulement ou Equation de Bernoulli a.- Cas des Fluides Parfaits ( non visqueux ) b.- Cas des Fluides réels ( visqueux )III.1.3.- Les Régimes d’Ecoulement : Le Nombre de ReynoldsIII.2.- Les Pertes de ChargeIII.2.1.- Les Pertes de Charge Linéaires ou Réparties a.- Notion de Rugosité des Conduites b.- Perte de charge en régime laminaire : c.- Perte de charge en régime turbulent : c.1.- Formule de Colebrook – White : c.2.- Formule de Blasius ( 1911 ) : c.3.- Diagramme de Moody : c.4.- Formule de Chézy :III.2.2.- Les Pertes de Charge Locales ou Singulières a.- Expression Générale d’une Perte de Charge Singulière b.- Cas d’un élargissement brusque de la section d’écoulement : c.- Cas d’un rétrécissement brusque de la section d’écoulement : d.- Autres pertes de charge singulières : 4
  3. 3. III.3.- Applications Particulières de l’Equation Générale d’EcoulementIII.3.1.- Cas d’un Ecoulement à travers un Orifice : Formule de TorricelliIII.3.2.- Cas d’un Ecoulement à travers un tube de VenturiIII.4.- Branchements de ConduitesIII.4.1.- Conduite à Section Constante ( Conduite simple ) a.- Sortie à l’air libre b.- Sortie immergée :III.4.2.- Conduites à Section variable ( Conduites multiples ) a.- Branchement en Série b- Branchement en Parallèle : c.- Conduite assurant un service de route : d.- Branchement Mixte ( Série et Parallèle ) : 5
  4. 4. I.- INTRODUCTIONI.1.- Le Système d’Unités SIEn mécanique des fluides , le système d’unités SI ( ‘’ Système International ‘’ ) comporte 3 unités primaires àpartir desquelles toutes les autres quantités peuvent être décrites : Grandeur de Base Nom de L’Unité Symbole Dimension Longueur Mètre m L Masse Kilogramme kg M Temps Seconde s TLe tableau suivant résume les unités SI des différentes caractéristiques utilisées en mécanique des fluides : Caractéristique Unité SI Dimension Vitesse m/s , m.s-1 LT-1 Accélération m/s2 , m.s-2 LT-2 Force Kg.m/s , N (Newton) , kg.m.s-2 2 MLT-2 Energie Kg.m2./s2 , N.m , J (Joule) , kg.m2.s-2 ML2T-2 Puissance Kg.m2/s3 , N.m/s , W (Watt) , kg.m2.s-3 ML2T-3 Pression Kg/m/s2 , N/m2 , Pa (Pascal) , kg.m-1.s-2 ML-1T-2 Masse Spécifique Kg/m3 , kg.m-3 ML-3 Poids Spécifique Kg/m /s , N/m3 , kg.m-2.s-2 2 2 ML-2T-2 Viscosité Kg/m/s , N.s/m2 , kg.m-1.s-1 ML-1T-1I.2.- Les Propriétés des FluidesI.2.1.- Les DensitésLa Densité d’une substance est la quantité de matière contenue dans une unité de volume de cette substance .Elle peut être exprimée de différentes manières : Ma.- Densité de masse ou ‘’ Masse Volumique ‘’ :  Unités : kg/m3 Dimensions : ML-3 VValeurs Particulières :  Eau : ρw = 1000 kg/m3  Mercure : ρHg = 13546 kg/m3 W Mgb.- Poids Spécifique :       g Unités : N/m3 Dimensions : ML-2T-2 V VValeurs Particulières :  Eau :  w = 9814 N/m3  Mercure :  Hg = 132943 N/m3c.- Densité Relative :Elle représente la masse spécifique d’une substance exprimée par rapport à celle d’une substance de référence : L’eau : D  Unité : Adimensionnel ( sans unité ) Valeurs Particulières :  Eau : Dw = 1  Mercure : DHg = 13,6I.2.2.- Les Viscosités La viscosité µ est une propriété d’un fluide due à la cohésion et à l’interaction entre les molécules quiprésentent une résistance aux déformations .Tous les fluides sont visqueux et obéissent à la loi de viscosité établie par Newton : du  avec  : Contrainte de déformation tangentielle dy 6
  5. 5. du : Gradient de vitesse d’écoulement dy  : Viscosité dynamiqueIls sont donc appelés ‘’ Fluides Newtoniens ‘’a.- La Viscosité Dynamique du  Force Vitesse ForcexTemp s     N .s.m 2  kg .m 1 .s 1 dy du Surface Dis tan ce Surface dyRemarque :  est généralement exprimée en Poise (Po) : 10 Po = 1 kg.m-1.s-1Valeurs Particulières :  Eau :  = 1,14 x 10-3 kg.m-1.s-1  Mercure :  = 1,552 kg.m-1.s-1b.- La Viscosité CinématiqueElle représente le rapport entre la viscosité dynamique et la masse spécifique d’un fluide :  Unité : m2/s Dimension : L2T-1 Remarque :  est généralement exprimée en Stokes (St) : 104 St = 1 m2.s-1Valeurs Particulières :  Eau :  = 1,14 x 10-6 m2.s-1  Mercure :  = 1,145 x 10-4 m2.s-1La viscosité des fluides dépend en grande partie de sa température . Le tableau suivant donne quelques valeursdes viscosités cinématiques de l’eau en fonction de la température : Température , °C Viscosité cinématique  , m2/s ( x 10-6) 0 1,790 5 1,520 10 1,310 15 1,140 20 1,010 25 0,897 30 0,804 35 0,724 40 0,661 50 0,556 60 0,477 100 0,296 II.- STATIQUE DES FLUIDES : HYDROSTATIQUE 7
  6. 6. II.1.- Notion de PressionLa pression est définie comme la force exercée par un fluide par unité de surface : FP Unité : N/m2 ou kg.m-1.s-2 Dimension : ML-1T-2 SRemarque : La pression peut aussi s’exprimer en :  Pascal ( Pa ) : 1 Pa = 1 N/m2  Bar ( Bar ) : 1 Bar = 105 N/m2II.2.- Loi de PascalConsidérons un élément d’un fluide ABCDEF ( prisme triangulaire ) et soient Px , Py et Ps les pressions dans les 3directions x , y et s .Etablissons la relation entre Px , Py et Ps : - Selon la direction x : ▪ Force due à Px : Fxx  Px .( ABFE )  Px .dydz ▪ Force due à Py : F yx  0 dy dy ▪ Composante due à Ps : Fsx   Ps .( ABCD. sin  )   Ps .dsdz car sin   ds ds donc : Fsx   Ps .dydzet puisque le fluide est en équilibre : Fxx  Fyx  Fsx  0 d’où : Px . dydz - Ps . dydz  0 → Px  Ps- Selon la direction y : ▪ Force due à Py : F yy  Py .( DCFE )  Py .dxdz ▪ Force due à Px : Fxy  0 dx dx ▪ Composante due à Ps : Fsy   Ps .( ABCD. cos )   Ps .dsdz car cos  ds ds donc : Fsy   Ps .dxdzet puisque le fluide est en équilibre : Fyy  Fxy  Fsy  0 d’où : Py . dxdz - Ps . dxdz  0 → P y  Pset finalement : P  Py  P x s ConclusionLoi de Pascal : ‘’ La pression d’un fluide en un point est la même dans toutes les directions ‘’ 8
  7. 7. II.3.- Equation Fondamentale de l’HydrostatiqueSoit un élément de fluide de masse spécifique ρ représentant une colonne verticale de section transversaleconstante A . Considérons 2 sections situées à des distances Z1 et Z2 par rapport à un plan de référence OO’ .Soient P1 et P2 les pressions dans ces 2 sections . - Exprimons la variation de pression P1 - P2 :Le fluide étant en équilibre , la somme des forces dans la direction verticale est donc égale à Zéro :  Force due à P1 : F1  P . A 1  Force due à P2 : F2  P2 . A  Force due au poids de la colonne du liquide : W  mg  gV  gA(Z 2  Z1 ) avec V = Volume de l’élément considéré = ρg.A.(Z2-Z1)Si l’on considère le sens positif vers le haut , la condition d’équilibre s’écrit donc :F1  F2  W  0  P1 A  P2 A   gA ( Z 2  Z 1 )  0et donc : P1  P2   g Z 2  Z 1 Remarques :1.- Loi de la statique des fluides P1 PP1  P2  g ( Z 2  Z 1 )  P1  gZ 1  P2  gZ 2   Z1  2  Z 2 g g Pet donc : Z   C ste : Loi de la statique des fluides g2.- En posant Z2-Z1 = h et P2 = P0 , On aura :  P1  P0   gh  Et si P0 = 0 : P1   gh Conclusion La pression augmente donc linéairement en fonction de la profondeur3.- Egalité des pressions sur un même plan horizontal : 9
  8. 8. Si l’on considère la direction horizontale , on aura :P1 A  P2 A  0  0  P1  P2 ( car la composante du poids W selon l’horizontale est nulle ) Conclusion : Sur un même plan horizontal , toutes les pressions sont égales (Pressions Isobares)4.- Pression effective et Pression absolue :Au point M , la pression est égale à :PM  Po  ghA la surface libre du fluide , la pression est généralement représentée par la pression atmosphérique Patm , d’où :PM  Patm  gh : Pression AbsolueEt si l’on néglige l’influence de la pression atmosphérique ( Patm = 0 ) : PM   gh : Pression Effective5.- Charge piézométrique , hauteur piézométrique : POn a vu que : Z   C ste avec : g  Z L : hauteur de position ou côte géométrique P  L  : Hauteur piézométrique g P  Z L  : Hauteur ou charge totale g6.- Notion de hauteur du vide :Dans certains cas , la pression absolue est inférieure à la pression atmosphérique :PM  Patm   gh  PatmIl se crée alors une dépression dont la hauteur correspondante , appelée ‘’ Hauteur du Vide ‘’ , est égale à : 10
  9. 9. Patm  Pabs hvide  g7.- Signification énergétique de l’équation de la statique des fluides : POn a vu que : Z   C ste  E p gSi l’on multiplie les 2 termes de cette équation par le poids élémentaire mg , on aura : PmgZ  mg  mgE p avec : g  mgZ Nm  : Energie potentielle de position P  mg Nm : Energie potentielle de pression g  mgE p Nm  : Energie potentielle totaleII.4.- Dispositifs de mesure de la pressionLe dispositif utilisé dépend de l’importance des pressions à mesurer . Il existe 2 types de dispositifs de mesuredes pressions :  Les tubes manométriques : utilisés pour la mesure de pressions relativement faibles ( … en laboratoires )  Les manomètres mécaniques : utilisés pour la mesure de pressions relativement plus élevées ( 1 à 2 Kg/cm2 )∙ Mesure des pressions par les tubes manométriques : 11
  10. 10. 1.- Le tube manométrique simple ou piézomètre :  PA  gh1  PB  gh2Remarque :  PA et PB sont appelées ‘’ Pressions Manométriques ‘’  h1 et h2 sont appelées ‘’ Hauteurs Manométriques ‘’C’est un dispositif utilisé uniquement pour la mesure des pressions des Liquides et non les gazb.- Le tube manométrique en forme de ‘’ ⋃ ‘’ :Il s’agit d’un dispositif utilisé pour la mesure des pressions dans les liquides et les gaz .On a : PB = PC  Partie Gauche : PB  PA  gh1  Partie Droite : PC  PD   m gh2  Patm   m gh2Puisque l’on mesure une pression manométrique , on soustrait donc Patm :  PC   m gh2et comme PB  PC  PA  gh1   m gh2  PA   m gh2  gh1Remarque :- Si le fluide de densité ρ est un gaz , sa densité est négligeable devant celle du liquide manométrique :   m  PA   m gh22.- Mesure de la différence de pression par un manomètre en U : 12
  11. 11. Problème : Calcul de la différence de pression PA – PB :On sait que : PC = PD  Branche de Gauche : PC  PA  gh A  Branche de Droite : PD  PB  g (hB  h)   m ghet comme PC  PD  PA  gh A  PB  g ( hB  h)   m gh  PA  PB  g (hB  h A )  (  m   ) ghet si le fluide est un gaz ( ρm >> ρ ) : PA  PB   m gh3.- Manomètre à Eau et manomètre à Mercure :Les manomètres à eau sont utilisés pour mesurer des pressions relativement faibles car leur utilisation pour lesfortes pressions conduirait à l’élaboration de tubes de dimensions trop exagérées. C’est pour cela, et comptetenu de sa densité élevée , que l’on préfère utiliser du Mercure comme liquide manométrique .Illustration :Quelle serait la hauteur manométrique donnée pour mesurer une pression P = 120 KN/m2 :a.- Dans le cas d’un manomètre à eaub.- Dans le cas d’un manomètre à Mercure* Cas de l’Eau : P 120.10 3P   w gh  h    12,23m!  w g 9,814.10 3* Cas du Mercure : P 120.10 3P   Hg gh  h    0,9m!  Hg g 9,814.13546II.5.- Forces de Pression des Fluides sur les Surfaces 13
  12. 12. II.2.1.- Cas des Forces de Pression exercées par les Fluides sur des Surfaces Planes a.- Expression générale de la Force de PressionSoit une surface plane AB inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontale et immergée dans un fluide de densitémassique ρ et C son centre de gravité .Etablissons l’expression de la force Résultante F des forces exercées par le fluide sur la surface AB ( voirdiagramme des forces exercées ) : Considérons pour cela la force élémentaire dF s’exerçant sur une surfaceélémentaire dA :dF  PdA  ( P atm   gh ) dA  P atm dA   ghdALa force résultante F est égale à l’intégrale de dF sur toute la surface AB :F   dA  P atm dA    ghdA A A Aor , h  y sin d’ou :F  Patm A   gy sin dA Patm A  g sin   ydA  A ALe terme  ydA représente le ‘’ Moment Statique ‘’ de la surface AB par rapport Aà Ox :  ydA  y A c A avec yc : Ordonnée du centre de gravité de la surface AB .L’expression de F devient : F  P atm A   g sin  y c Aet comme y c sin   hc : Profondeur du centre de gravité de la surface AB :F  Patm A  ghc AEn général , la pression Patm est négligée et donc l’expression finale de F devient :F  ghc A Remarque : En hydrostatique , ρ = ρw ( Eau ) : F   w gh c Ab.- Position du point d’application de la Force de Pression :Déterminons hD , la profondeur du point d’application de la force résultante F :Pour cela , utilisons le principe des moments :oF  i AB 14
  13. 13. avec : 2 2 o F  F .y D et  AB i   ydF   y.gy sin dA   gy sin dA g sin  y dA AB AB AB AB 2le terme y AB dA représente le ‘’ Moment d’Inertie ‘’ de la surface AB par rapport à l’axeOx = Iox I oxOn aura donc :  g sin  y D A   g sin  I ox Et donc : y D  ycARemarque : Utilisation du théorème de Huygens : 2Ce théorème nous permet d’écrire que : I ox  I cc  y c A avec :Icc : Moment d’inertie de la surface AB par rapport à un axe passant par son centre de gravité C .Dans ce cas , la formule précédente devient : I cc I oo yD  yc  h D  hc  yc A ou bien hc A avec : - A’ : Projection verticale de la surface AB - Ioo : Moment d’inertie de la surface A’ par rapport à l’axe passant par son centre de gravité .Conclusion : Le point d’application de la résultante F se trouve toujours plus bas que le centre de gravité d’une I oo distance égale à : h c ALe tableau suivant résume les moments d’inertie de quelques surfaces particulières :c.- Cas d’une surface verticale – Diagramme des pressions : 15
  14. 14. Soit une plaque AB plane verticale retenant une hauteur d’eau H . Le schéma représente le diagramme despressions exercées sur la surface AB . Exprimons la résultante F des forces de pressions sur la surface AB de 2façons différentes :1.- D’après le diagramme des pressions :Le diagramme des pressions est représenté par un triangle dont la surface est égale à la résultante des forces depressions :  gH .H 1 2F    gH 2 et F passe par le centre de gravité du triangle , d’où : hD  H 2 2 32.- D’après les formules de l’hydrostatique : H 1F  ghc A  g H .1ml  gH 2 2 2 I oo H 1.H 3 H H 2et : hD  hc       H hc A 2 H 2 6 3 12 H.1 2II.2.2.- Cas des Forces de Pression exercées par les Fluides sur des Surfaces Courbes a.- Expression générale de la Force de Pression 16
  15. 15. Soit une paroi courbe AB retenant un fluide de densité massique ρ .Soit un élément dA de la surface AB situé à une profondeur h et sur lequel s’exerce une force élémentaire dF quise décompose en 2 forces : - Une force dFx , agissant sur la surface dAz projection de dA sur l’axe z . - Une force dFz , agissant sur la surface dAx projection de dA sur l’axe x .On sait que : dF   ghdA d’où :dF x  dF . sin    ghdA sin    ghdA z car dA sin   dA zdF z  dF . cos    ghdA cos    ghdA x car dA cos  dAxd’où : dF x  FH   g  hdA z   gh c A z  F H   gh c Az Azavec : Az : Projection verticale de la surface courbe AB . CONCLUSION : Le calcul de la composante horizontale FH est ramené au calcul d’une force de pression sur une surface plane verticale .De même :  dF z  Fv  g  hdAx  g  dW gW  Fv  gW Ax WAvec W : Volume délimité par :  La surface courbe AB  La surface libre du fluide  Les 2 verticales menées des 2 extrémités A et B de la surface . CONCLUSION : Le calcul de la composante horizontale FV se résume donc au calcul du Poids du fluide représenté par le volume déplacé par la surface AB .Le calcul des 2 composantes FH et FV permet ensuite de déterminer la résultante F par l’expression suivante : 2 2 F  FH  FVRemarque : Selon que la surface AB en contact avec l’eau est concave ou convexe , on aura : 17
  16. 16. b.- Position du point d’application de la Force de Pression :Le point d’application de la résultante F est obtenu si l’on connaît les composantes FH et FV .Dans le cas général , il faudra établir l’équation de la courbe AB et celle du segment représentant la forceF ( équation d’une droite ) en tenant compte que l’angle d’inclinaison de la force résultante F par rapport àl’horizontale est obtenu par la formule suivante : Fv  arctg FH Fin de la Partie ‘’ Statique des Fluides – Hydrostatique ‘’ 18
  17. 17. III.- DYNAMIQUE DES FLUIDES : HYDRODYNAMIQUEIII.1.- Les Principes de BaseIII.1.1.- Principe de Conservation de Masse ou Equation de ContinuitéLe principe de continuité exprime la conservation de masse , ce qui signifie qu’aucun fluide ne peut être créé nidisparaître dans un volume donné :Notion de débit d’écoulement :Le débit d’écoulement s’exprime par les relations suivantes : • Q  AV : Débit volumique ( volume par unité de temps ) , Unité SI = m3/s • Qm  Q : Débit massique , Unité SI = Kg/sEtant donné que le débit d’écoulement reste constant ( mouvement permanent ) , L’équation de continuités’écrit donc : Q  A1V 1  A 2V 2  C steIII.1.2.- Equation Générale d’Ecoulement ou Equation de Bernoulli a.- Cas des Fluides Parfaits ( non visqueux )L’équation de Bernoulli exprime que , tout le long d’un filet liquide en mouvement permanent , l’énergie totalepar unité de poids du liquide reste constante ( dH/dx = 0 ) . D’après le schéma , on peut donc écrire que : 19
  18. 18. 2 2 P v P vZ 1  1  1  Z 2  2  2  H  C ste g 2 g g 2 gCette équation s’écrit donc dans le cas général : P v2Z   H  C ste : Equation de Bernoulli pour un Fluide Parfait g 2 gb.- Cas des Fluides réels ( visqueux )Contrairement au fluide parfait non visqueux , la charge H pour un fluide réel visqueux diminue dans la directionde l’écoulement ( dH/dx < 0 ) .Ceci est du à la nature visqueuse dy fluide qui dissipe une partie de l’énergie: cette perte d’énergie est appelée‘’Perte de charge ‘’.La représentation graphique en cas de fluide réel est donc montré par le schéma suivant :L’équation de Bernoulli , pour un liquide réel , devient donc ( voir schéma ) : 2 2 P v P vZ 1  1  1  Z 2  2  2  h w 12 : Equation de Bernoulli pour un Fluide Réel g 2 g g 2gavec : hw12 : Perte de charge totale entre les sections 1 et 2 .Selon l’origine des pertes de charge , on distingue :  La perte de charge primaire ou ‘’ répartie ‘’ , noté hr , qui est la conséquence de la viscosité du fluide et de la rugosité des parois de la section d’écoulement  La perte de charge secondaire ou ‘’ locale ‘’ ou ‘’ singulière ‘’ , noté hs , qui est la conséquence d’une modification brusque dans la nature physique de la section d’écoulement ( élargissement, rétrécissement, changement de direction , etc… ).La perte de charge totale est donc la somme des 2 pertes de charge répartie et singulière :hw  hr  hs 20
  19. 19. III.1.3.- Les Régimes d’Ecoulement : Le Nombre de ReynoldsLes écoulements sont classés en 2 régimes principaux :  ‘’ Laminaire ‘’ et ‘’ Turbulent ‘’  séparés par une phase transitoire appelée ‘’ régime critique ‘’Pour caractériser ces régimes d’écoulement , on introduit un nombre adimensionnel , appelée‘’ Nombre de Reynolds ‘’ , noté Re et calculé par la formule : VD  VDRe    avec :  V = Vitesse moyenne d’écoulement = Q/A  D = Diamètre de la section d’écoulement ( circulaire )  ν = Viscosité cinématique du fluide = µ/ρ  µ = viscosité dynamique du fluideEn introduisant l’expression du débit et de la section d’écoulement ( circulaire ) , le nombre de Reynolds s’écrit : 4Q 4 QRe   D D Les limites du Nombre de Reynolds définissant les différents régimes d’écoulement peuvent être résuméescomme suit :▪ Re  2000 : Le régime est ‘’ LAMINAIRE ‘’▪ 2000  Re  4000 : Le régime est ‘’ CRITIQUE ‘’ ou ‘’ TRANSITOIRE ‘’▪ Re  4000 : Le régime est ‘’ TURBULENT ‘’III.2.- Les Pertes de ChargeIII.2.1.- Les Pertes de Charge Linéaires ou Réparties a.- Notion de Rugosité des Conduites Contrairement à une surface lisse , une surface rugueuse implique un état de surface dont les irrégularités ontune action directe sur les forces de frottements . Une surface rugueuse peut être considérée comme étant constituée par une série de protubérances élémentairescaractérisées par une hauteur , notée k , et appelée ‘’ Rugosité ‘’ :Afin de comparer la rugosité par rapport au diamètre de la conduite , on introduit le rapport : k  : Rugosité Relative D▪ Expression de la perte de charge due aux frottements :La perte de charge linéaire est calculée par la formule de Darcy – Weisbach ( 1857 ) : L V2hr   : Formule de Darcy – Weisbach ( 1857 ) D 2g 21
  20. 20. Avec : - L = Diamètre de la section d’écoulement ( m ) - L = Longueur de la conduite ( m ) - V = Vitesse d’écoulement ( m/s ) -  = Coefficient de frottement ( sans unité )Plusieurs formules sont proposées pour le calcul de  et dépendent du régime d’écoulement : 64b.- Perte de charge en régime laminaire : Re < 2000    Rec.- Perte de charge en régime turbulent : Re > 2000Plusieurs formules de calcul du coefficient λ sont proposés par différents auteurs :c.1.- Formule de Colebrook – White :Cette formule montre que λ peut être influencée par :1.- La Rugosité de la conduite à travers le terme k/D : Dans ce cas [ λ = f ( k/D) ] , on parlera d’un ‘’ Ecoulement hydrauliquement Rugueux ‘’ et la formule deColebrook – White devient :2.- La Viscosité du fluide à travers le terme Re : Dans ce cas [ λ = f (Re ) ] , on parlera d’un ‘’ Ecoulement hydrauliquement Lisse ‘’ et la formule de Colebrook– White devient :3.- La Rugosité de la conduite et la Viscosité du fluide en même temps : Il s’agit dans ce cas d’un régime de transition ou l’on a : λ = f (Re ;k/D ) ou l’on utilise la formule complète deColebrook-White pour le calcul de λ . 22
  21. 21. c.2.- Formule de Blasius ( 1911 ) : 0 , 316Cette une formule proposée pour : Re < 10 : 5   0 , 25 Rec.3.- Diagramme de Moody :Les travaux de Nikuradse sur les pertes de charge dans les conduites ont permis d’élaborer un graphique (Diagramme de Moody ) permettant de déterminer le coefficient λ en fonction de Re pour les différents typesd’écoulement et des rugosités relatives k/D allant de 1/30 à 1/1014 :Le diagramme permet d’observer et d’identifier plusieurs régions :1.- Zone à Ecoulement Laminaire : Re < 2000  λ = f(Re)2.- Zone de transition : 2000 < Re < 40003.- Zone de Turbulence Lisse : λ = f(Re)4.- Zone de Turbulence Transitoire : λ = f(Re ;k/D)5.- Zone de Turbulence Rugueuse : λ = f(k/D)c.4.- Formule de Chézy : L V2La formule de Chézy est inspirée de celle de Darcy-weisbach : hr   D 2gEn introduisant la notion de ‘’ Rayon hydraulique ‘’ R égal au rapport entre la surface A et le périmètre A D 2 Dd’écoulement P : R     D  4R P 4 D 4 L V2  L 2La formule de la perte de charge devient : hr    V 4R 2 g 8g R hret comme :  J : Pente hydraulique L  V2 8g 8gJ  V2  RJ  V  RJ 8g R  En posant : C  8g : Coefficient de Chézy , on obtient finalement : V  C RJ ou bien , en introduisant le Débit Q : Q  AC RJDe plus , Chézy propose la formule empirique suivante pour le calcul de C : 23
  22. 22. 1 1/ 6C  R avec : k = rugosité de la conduite k 1 Ace qui donne : Q  A R1/ 6 R1/ 2 J 1/ 2  R 2 / 3 J 1/ 2 k k 2 2/3 1 D  D et comme A = πD2/4 et R = D/4 : Q    J 1/ 2 k 4  4   1 8 / 3 1/ 2  1 8 / 3 hr1 / 2Q  5/3 D J  5/3 D 4 k 4 k L1 / 2  1 8/ 3en posant : K D : Module de Débit ( L/S ) 45 / 3 k 2 hr Qon obtient : Q  K et donc : hr  2 L L KRemarque : - Pour tenir compte des pertes singulières , on majore en général hr de 10 % - Pour tenir des variations de vitesse,on introduit le coefficient de vitesse donné par des tables : β=f(V) 2 QEt la formule générale s’écrit donc : hw  1,1 L K2III.2.2.- Les Pertes de Charge Locales ou Singulièresa.- Expression Générale d’une Perte de Charge SingulièreEn plus de pertes de charge linéaires , la perte de charge singulière se produit localement au niveau d’unemodification brusque de la nature physique de la section d’écoulement . Elle se calcule par la formule V 2générale suivante : hs   s 2gAvec : ξs = Coefficient qui dépend de la nature de la déformationa.- Cas d’un élargissement brusque de la section d’écoulement : 2 2 2  A   A  VDans ce cas :  s eb 1  1   hseb  1  1  1   A2     A2  2 g  24
  23. 23. Remarque : Cas particulier d’une sortie vers un réservoir : A1Dans ce cas , le terme tend vers zéro du fait que la section du réservoir est très grande devant celle de la A2 V2conduite , et la formule précédente devient :  sor  1  hsor  2gb.- Cas d’un rétrécissement brusque de la section d’écoulement : V2La formule de calcul s’écrit : hsrb   rb 2gAvec : ξrb = Coefficient due au rétrécissement brusque donné par le tableau suivant :A1/A2 0,1 0,5 0,7ξrb 0,41 0,24 0,14Remarque : Cas particulier d’une sortie à partir d’un réservoir : V2Formule de calcul : h sen   en Avec : ξen = 0,5 2g 25
  24. 24. c.- Autres pertes de charge singulières :D’autres types de pertes de charge peuvent avoir lieu dans les conduites :  Coudes  Vannes  Crépine , etc…Exemple : Cas d’un coude :III.3.- Applications Particulières de l’Equation Générale d’EcoulementIII.3.1.- Cas d’un Ecoulement à travers un Orifice : Formule de TorricelliApplication de l’équation de Bernoulli entre les sections 1-1 et 2-2 par rapport à l’axe de référence O-O’ :- Section 1-1 : * Z1 = H * P1 = Patm * V1 = 0- Section 2-2 : * Z2 = 0 * P2 = Patm * V2 = V Patm Patm V 2On aura donc : H  0 0   hw g g 2gSi nous négligeons les pertes de charge : hw = 0 , l’équation devient : V2H et donc : V  2 gH : Formule de Torricelli 2gSi nous passons au débit d’écoulement à travers l’orifice :Q  AV avec A’ = Section contractée de l’ écoulement Q  A 2 gHEn posant A’ = mA avec m = A’/A = Coefficient de contraction de l’écoulementQ  A 2 gH  mA 2 gH 4,5avec : - m ≈ 0,597 ou formule empirique : m  0,592  Re 26
  25. 25. III.3.2.- Cas d’un Ecoulement à travers un tube de VenturiLe débitmètre de Venturi est un appareil qui utilise l’équation de Bernoulli pour mesurer le débit dans lesconduites , et ce à l’aide d’une simple mesure des pressions P1 et P2 :Par rapport à OO’ , l’équation de Bernoulli appliquée entre les sections 1 et 2 donne :- Section 1 : * Z1 * P1 * V1- Section 2 : * Z2 * P2 * V2 2 2 P V P VOn aura donc : Z1  1  1  Z2  2  2  hw g 2g g 2g 2 2 V V P PSi nous négligeons les pertes de charge : hw = 0 : 2  1  Z1  Z 2  1  2  Z  H 2g 2 g g g A2Comme l’équation de continuité nous permet d’écrire que : A1V1  A2V2  V1  V2 A1 2 2  V2 2 2   A 2 Donc : V 2   A2   V  Z  H  2 1   2    Z   H 2 g  A1   2g  2g   A1       1Et finalement : V2  2 g H  Z  2 A  1  2  A   1 A2Et comme Q = A2V2 : Q 2g H  Z  2 A  1  2  A   1Remarque : Dans la plupart des cas , le débitmètre de Venturi est placé horizontalement ce qui fait que Z1 = Z2 A2et donc : ∆Z = 0 et la formule précédente se simplifie : Q 2 g H 2 A  1  2   A   1 27
  26. 26. d 2et si on introduisait les diamètres d1 et d2 des 2 sections : A  : 4 2 d 2Q  2 gH 4 d  4 1  2  d   1III.4.- Branchements de ConduitesIII.4.1.- Conduite à Section Constante ( Conduite simple ) a.- Sortie à l’air libreOn se propose d’établir l’expression du débit d’écoulement du système :Application de l’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :- Section 1 : * Z1 * P1 = Patm * V1 = 0 ( niveau constant )- Section 2 : * Z2 * P2 = Patm * V2 = V Patm P V2 V2Z1   0  Z 2  atm   hw  Z1  Z 2  H   hw g g 2g 2g V2 V2 L V2 V2  L V 2H  hw     en  1     en  2g 2g D 2g 2g  D  2g 1et donc : V  2 gH L 1     en D D 2 D2 Q 2 gHet comme le débit : Q  AV   V : L 4 4 1     en D 28
  27. 27. b.- Sortie immergée :On se propose d’établir l’expression du débit d’écoulement du système :Application de l’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :- Section 1 : * Z1 = H * P1 = Patm * V1 = 0 ( niveau constant )- Section 2 : * Z2 = 0 * P2 = Patm * V2 = 0 ( niveau constant ) Patm PH   0  0  atm  h w  H  h w g g L V2 V2 V2  L V 2H  hw     en   sor      en   sor  D 2g 2g 2g  D  2g 1et donc : V  2 gH L    en   sor D D2 D2 Q 2gHet comme le débit : Q  AV   V : L 4 4    en   sor D 29
  28. 28. III.4.2.- Conduites à Section variable ( Conduites multiples ) a.- Branchement en Série Equation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :- Section 1 : * Z1 * P1 = Patm * V1 = 0 ( niveau constant )- Section 2 : * Z2 * P2 = Patm * V2 = 0 ( niveau constant ) Patm PZ1   0  Z 2  atm  0  hw  Z1  Z 2  H  hw g g 2 2 2 2 2 L V L V V V VH  hw  hr1  hr 2  hen  heb  hsor  1 1 1  2 2 2   en 1   eb 1   sor 2 D1 2 g D2 2g 2g 2g 2g A1Or , V 1 A1  V 2 A 2  V 2  V1 A2 2 22 2 2 2 L1 V1 L2  A1  V1 V1 V1  A1  V12H  1  2     en   eb   sor   D1 2g D2  A2  2g   2g 2g  A  2g  2 2 2  L V 2   1   L 2  A1         A1H  1       1 D 2  A2  2 en eb sor    D1    A2   2g   1 V1  2 2 2gHet donc :  L L2  A1   A1    1       en   eb   sor     1 D1 2 D2  A2    A    2   30
  29. 29. 2 D1 Q 2 2 2gHet le débit correspondant :  L L  A1   A1   4 1 1  2 2     en   eb   sor    D1 D2  A2    A    2  Remarque : Simplification des Calculs : Utilisation de la formule de Chézy : 2 QOn a vu que la formule de Chézy s’écrit : h w  1 ,1  2 L KAppliquée au système du schéma précédent , elle donne ( en considérant β = 1,0 et en négligeant les pertes Q1 2 Q2 2 L L singulières ) : H  hw  2 L1  2 L2 et comme Q1 = Q2 = Q : H  Q2  12  22  K  K1 K2  1 K2  Het donc : Q  L1 L2 2  2 K1 K2Conclusion : Cas de n conduites placées en série : - Les pertes de charge s’ajoutent : hw = hr1 + hr2 + … hrn - Les débits sont égaux : Q = Q1 = Q2 = … = Qn HEt la formule générale de calcul s’écrit : Q  n L i  1 K i 2b- Branchement en Parallèle : Equation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :- Section 1 : * Z1 = H * P1 = Patm * V1 = 0 ( niveau constant )- Section 2 : * Z2 = 0 31
  30. 30. * P2 = Patm * V2 = 0 ( niveau constant )Dans ce cas , on a vu que l’équation de Bernoulli donne : H  hwDans le cas d’un branchement en parallèle : - Les pertes de charges sont égales : hr1 = hr2 = hw - Les débits s’ajoutent : Q = Q1 + Q2 2 Q 1 h r1Or , la formule de Chézy nous permet d’écrire que : h r1  2 L1  Q 1  K 1 K 1 L1 2 Q2 hr 2 hr1 het hr 2  2 L2  Q 2  K 2 d’où : Q  Q1  Q2  K1  K2 r 2 K2 L2 L1 L2  K1 K2 et comme : hr1 = hr2 = hw = H ( Equation de Bernoulli ) : Q    H  L L2   1  n Kiet d’une manière générale : Q  H 1 Lic.- Conduite assurant un service de route :Le schéma représente une conduite de longueur L servant à la fois à Transiter un débit et distribuantuniformément tout le long un débit de Route q ( m3/s/m ) .Ce système peut être assimilé au cas d’une conduite équivalente de même Longueur et dans laquelle passera unDébit calculé par la formule : Q  Q t  0 ,55 Q ret la perte de charge correspondante est calculée en fonction de ce débit Q par la formule : Q2 Q  0,55Qr  2hw  2 L  t L K K2Remarque : Cas d’un débit d’alimentation complètement consommé en service de route :Dans ce cas , cela veut dire qu’il n’y aura pas de débit de transit en fin de conduite et donc Qt = 0 et par hw  0 , 55 Q r 2 Lconséquent la formule précédente devient : 2 K 32
  31. 31. d.- Branchement Mixte ( Série et Parallèle ) :Pour ce système on peut écrire les équations suivantes :- H = hw ( Equation de Bernoulli )- Q = Q1 = Q2 + Q3 = Q4- hr2 = hr3 ( Conduites en parallèle )Exprimons les pertes de charge à l’aide de la formule de Chézy : 2 2 2 2 Q1 Q2 Q3 Q4hr1  2 L1 ; h r 2  2 L2 ; hr3  2 L3 ; hr 4  2 L4 K1 K2 K3 K4 2 2 Q QComme on a : Q = Q1 = Q4  hr1  2 L1 et h r 4  2 L4 K1 K4 hr 2 h  K K et comme : Q = Q2 + Q3 : Q  K 2  K 3 r 3  hr 2  2  3  L2 L3  L L3   2 ce qui donne : h  Q2 r2 2  K2 K3      L L3   2      Q 2 Q 2  et finalement , puisque : H = hw = hr1 + hr2 + hr4 : H L  Q2 2 L1 L4 1  2 1  2 L4 Q 2  2  K1  K2 K3  2 K4  K1 K4   2      K2  K3    L L   L L  2 3   2 3  H Qet donc :        L1  L 4  1   K1 2 K4 2  K2  2    K3      L L3     2   33

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