1. ENIGME SCIENTIFIQUE CDI / SEMAINE DU 12 DECEMBRE
LE COFFRE DU PERE NOËL
Fabrice et Clément ont joué un vilain tour au père Noël en
enfermant tous ses cadeaux dans un coffre fort.
Heureusement pour lui, ils ont laissé sur la porte du coffre les
indications suivantes :
Le code pour ouvrir le coffre est un nombre entier qui ne commence pas par 0
Le code ne finit pas non plus par 0.
Si on supprime un certain chiffre du code, le nouveau nombre est égal à 1/9 du code.
Si on supprime un certain chiffre du code amputé, on obtient exactement 1/81 du code.
Et le code est le plus grand nombre entier qui possède toutes ces propriétés.
Quel code le père Noël doit-il entrer pour libérer ses cadeaux et effectuer sa distribution ?

2. LE COFFRE DU PERE NOËL
Fabrice et Clément ont joué un vilain tour au père Noël en
enfermant tous ses cadeaux dans un coffre fort.
Heureusement pour lui, ils ont laissé sur la porte du coffre les
indications suivantes :
Le code pour ouvrir le coffre est un nombre entier qui ne commence pas par 0
Le code ne finit pas non plus par 0.
Si on supprime un certain chiffre du code, le nouveau nombre est égal à 1/9 du code.
Si on supprime un certain chiffre du code amputé, on obtient exactement 1/81 du code.
Et le code est le plus grand nombre entier qui possède toutes ces propriétés.
Quel code le père Noël doit-il entrer pour libérer ses cadeaux et effectuer sa distribution ?
Enigme : ( Le coffre du Père Noël )
du
On nomme X le code cherché et Y le code amputé d'un chiffre avec X=9Y.
Si on nomme Z le code amputé de deux chiffres, alors Y=9Z.
Première remarque : X et Y sont divisibles par 9.
Ainsi la somme de leurs chiffres sont aussi divisibles par 9.
Mais comme les deux sommes diffèrent d'un seul chiffre, ce premier chiffre supprimé est nécessairement un 0 ou un
9 (pour que la somme des chiffres reste divisible par 9).
Seconde remarque : le dernier chiffre n'est pas 0.
♦ Si on retire le chiffre des unités (le a), on écrit X = 10N + a et Y = N.
Alors 9Y = 9N = 10N + a, d'où 0 = N + a ce qui est impossible (N et a sont positifs)
♦ Si on retire le chiffre des dizaines (le a), on écrit X = 100N + 10a + b et Y = 10N + b.
Alors 9Y = 90N + 9b= 100N + 10a + b , d'où 8b = 10( N + a).
La seule possibilité est b= 5, puis N + a = 4 avec a = 0 et N = 4.
Donc X = 405 dont on vérifie qu'il est un code possible avec Y = 45 et Z= 5.
♦ Si on retire le chiffre des centaines (le a), on écrit X = 1000N + 100a + 10b + c et Y = 100N + 10b + c.
Alors 9Y = 900N + 90b + 9c = 1000N + 100a + 10b + c, d'où 8(10b + c) = 100( N + a).
Les seules possibilités sont 10b + c = 25, puis N + a = 2 avec a = 0 et N = 2.
ou 10b + c = 75, puis N + a = 6 avec a = 0 et N = 6.
Donc X = 2025 dont on vérifie qu'il est un code possible avec Y = 225 et Z= 25.
Ou X = 6075 dont on vérifie qu'il est un code possible avec Y = 675 et Z= 75.
♦ Si on retire le chiffre des milliers (le a), on écrit X = 10000N + 1000a + 100b + 10c + d et Y = 1000N + 100b + 10c + d.
Alors 9Y = 9000N + 900b + 90c + 9d = 10000N + 1000a + 100b + 10c + d,
d'où 8(100b + 10c +d) = 1000( N + a).
Les seules possibilités sont 100b + 10c + d = 125, puis N + a = 1 avec a = 0 et N = 1.
ou 100b + 10c + d = 375, puis N + a = 3 avec a = 0 et N = 3.
ou 100b + 10c + d = 625, puis N + a = 5 avec a = 0 et N = 5.
Donc X = 10125 dont on vérifie qu'il est un code possible avec Y = 1125 et Z = 125.
Ou X = 30375 dont on vérifie qu'il est un code possible avec Y = 3375 et Z= 375.
Ou X = 70875 dont on vérifie qu'il est un code possible avec Y = 7875 et Z= 875.
♦ Au-delà aucune solution (le chiffre des unités ne pourrait être que nul…) !
Conclusion : Le code est donc 70875 (le plus grand possible).