1. www.tifawt.com ´
Universit´ Mohamed V–Agdal
e Session : Printemps–Et´ 2006/2007
e
Facult´ des Sciences Juridiques,
e
www.fsjesr.ac.ma
´
Economiques et Sociales, Rabat Semestre : S2
´
Fili`re de Sciences Economiques et de Gestion
e
Professeure : Amale LAHLOU Sections : A&B
Contrˆle Final
o Module 6 : M´thodes Quantitatives I
e
Dur´e : 2 heures
e Mati`re
e : Math´matiques I
e
N.B. : • Les t´l´phones portables et les calculatrices ne sont pas autoris´s ;
ee e
• Toute r´ponse doit ˆtre justifi´e, faute de quoi elle ne sera pas compt´e ;
e e e e
• La clart´ de la r´daction est un ´l´ment important dans l’appr´ciation des copies (1 point).
e e ee e
Exercice 1 : [2 pts] 1 1
+x− −x
On consid`re la fonction r´elle f d´finie par : f (x) =
e e e x x .
x + |x|
1. D´terminer Df , le domaine de d´finition de f ;
e e
2. la fonction f est-elle prolongeable par continuit´ ` l’origine ? Si oui, donner son prolongement sur Df ∪{0}.
ea
Exercice 2 : [10 pts]
On consid`re la fonction r´elle g d´finie sur R par : g(x) = e−x .
e e e
1. Montrer que l’´quation g(x) = 2 − x admet une solution unique sur [−2 ln(2), − ln(2)] (on a ln(2)
e 0.7) ;
2. Soit un r´el x < 0.
e
(a) Appliquer le Th´or`me des Accroissements Finis ` g sur [x, 0] ;
e e a
(b) D´terminer le(s) point(s) le v´rifiant ;
e e
(c) Comparer les trois termes x, 1 − e−x et xe−x ;
3. La fonction r´elle h d´finie par h(x) = (1 + x)e−x est de classe C ∞ sur R.
e e
(a) Par un raisonnement par r´currence, montrer qu’il existe deux suites r´elles de termes g´n´raux
e e e e
an = (−1)n et bn = (−1)n (1 − n) telles que la d´riv´e d’ordre n ∈ N de la fonction h s’´crit :
e e e
h(n) (x) = (an x + bn )e−x ;
(b) Quelle est la valeur de g (2007) (0) ?
4. En utilisant la r`gle de l’Hospital, calculer la limite suivante :
e
ln e2x − ex + 1
lim
x→+∞ x
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2. ´
Prof. Amale LAHLOU Contrˆle Final / Math´matiques I / MQ I / M 6
o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007
e Page 2
Exercice 3 : [4 pts]
D´terminer le D´veloppement Limit´ au voisinage de l’origine et ` l’ordre 4 de la fonction r´elle d´finie par :
e e e a e e
1
f (x) = (e−x + x) 3 .
Indication : Au voisinage de l’origine,
1 2 1 1
eu = 1 + u + u + u3 + u4 + o(u4 )
2! 3! 4!
1 1 1
(1 + u) 3 = 1 + u − u2 + o(u2 )
3 9
Exercice 4 : [4 pts]
e e e ´
Soit une fonction r´elle f de classe C ∞ sur son domaine de d´finition et Cf sa courbe repr´sentative. Etant
donn´ son D´veloppement Limit´ ` l’ordre 3 au voisinage du point d’abscisse 2 :
e e ea
1 1
f (x) = 1 + (x − 2)2 − (x − 2)3 + o (x − 2)3
6 6
´tudier localement la fonction f en ce point :
e
f est-elle continue ou prolongeable par continuit´ au point 2 (on notera aussi par f son prolongement) ?
e
D´terminer un ´quivalent de f au voisinage du point d’abscisse 2,
e e
D´terminer l’´quation de la tangente au point d’abscisse 2,
e e
D´terminer la position de Cf par rapport ` la tangente au point d’abscisse 2,
e a
D´terminer les 3 premi`res d´riv´es de f au point 2,
e e e e
Cf pr´sente t-elle un extremum local au point d’abscisse 2 ?
e
Cf pr´sente t-elle un point d’inflexion au point d’abscisse 2 ?
e
´
Etudier la convexit´ de f au voisinage du point d’abscisse 2.
e
Bonne Chance