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Structures
caténaires
tendues
ARC-2007
Conception de structures
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
Stabilité des
structures
caténaires
comprimées
2
3
Lorsqu'elle adopte une forme
caténaire, une arche est sollicitée
uniquement en compression et elle
peut donc être dimensionnée
c o m m e u n p o t e a u . M a i s ,
contrairement au câble suspendu,
l'arche est rigide et, si le profil de
charge est modifié, elle ne peut pas
se déformer librement pour
conserver une forme caténaire.
Lorsque le profil de charge s'écarte
de la forme caténaire, il induit dans
la structure des efforts de flexion qui
s ' a j o u t e n t a u x e f f o r t s d e
compression que l'arche doit
supporter et la structure doit alors
être dimensionnée comme un
poteau-poutre pour résister à
l'action combinée des forces de
compression et de flexion. Une
seconde alternative consiste à
u t i l i s e r u n e s t r u c t u r e d i t e
stabilisatrice qui, en s'opposant au
déplacement latéral de l’arche,
élimine (ou réduit substantiellement)
les efforts de flexion.
4
Pour illustrer les stratégies de
stabilisation, on peut prendre
l'exemple d'un pont routier où le
tablier est supporté par une arche.
L'arche peut être placée au-dessus,
en dessous ou au milieu du tablier.
On peut décider que le tablier sera
simplement suspendu ou déposé
sur l'arche et que celle-ci sera
suffisamment rigide pour résister
aux efforts de flexion. Elle agit alors
comme un poteau-poutre. On peut
aussi choisir de rigidifier le tablier
pour qu'il résiste aux efforts de
flexion et que l'arche ne soit
sollicitée qu'en compression pure.
Enfin, il est possible de retenir une
solution intermédiaire où l'arche et
le tablier contribuent tous deux à
résister aux efforts de flexion. Une
dernière solution consiste à
trianguler l'espace entre le tablier et
l'arche pour former un treillis
capable de résister aux efforts de
flexion. Cette stratégie permet de
réduire à la fois la taille de l'arche et
celle du tablier.
5
Pour calculer la résistance à la compression d'une arche on doit
déterminer sa longueur libre de flambement (Le). Lorsque le déplacement
latéral de l'arche est empêché à certains endroits de son profil, la
longueur de flambement est égale à la distance entre deux points de
retenue. Si, au contraire, l'arche est libre de se déplacer latéralement sur
toute sa longueur, le calcul de Le est plus complexe mais, en première
approximation, on peut considérer que la longueur de flambement est
égale à la distance linéaire entre son sommet et l'un des points d'appui.
Les lignes pointillées sur les schémas ci-dessous représentent la
déformation de l'arche au moment de la rupture par flambement.
6
Considérons maintenant la poussée
horizontale que l'arche exerce à ses
points d'appui. La solution idéale
consiste à assoir l'arche directement sur
le roc ce qui n'exige que des fondations
de petite dimension. La seconde option
consiste à déposer l'arche sur des
contreforts massifs en béton armé qui
transmettent les efforts verticaux et
horizontaux au sol de fondation. Une
troisième possibilité consiste à déposer
l'arche sur des semelles de fondation
enfouies dans le sol. Ces semelles
devront être de grandes dimensions pour
résister à l'action combinée des forces
verticales et horizontales.
7
Une dernière solution, très efficace,
consiste à relier les deux points d'appui
par un tirant en acier qui peut être placé
au-dessus ou au-dessous du niveau du
sol. Le tirant reprend les efforts
horizontaux de sorte que seules les
forces verticales sont transmises aux
semelles de fondation.
Exemple 1
Toiture recouvrant
un stade de soccer
8
9
La toiture d'un stade de
soccer intérieur construit
à Chicoutimi est consti-
tuée d'une série d’arches
en bois lamellé-collé
espacée de 8 m c/c.
L'arche franchit une
portée libre de 70 m; l'un
des points d'appui est
déposé au sol alors que
le second est appuyé sur
une structure triangulaire
en acier à 6 m au-dessus
de la fondation. On
souhaite que, au centre
de la portée, l'arche soit
située à 18 m au-dessus
des points d'appui. Il faut
donc tracer le profil exact
de l'arche et dimen-
sionner les profilés en
bois lamellé-collé qui
seront utilisés.
10
La charge morte de la toiture est estimée à 1,6 kN/m2 et la charge de
neige à Chicoutimi est égale à 3,2 kN/m2 (voir tableau 2.5). La charge
totale majorée (wF) est donc égale à:
La charge totale (W) que supporte une arche est donnée par:
On peut subdiviser la toiture en 10 intervalles de 7 m de largeur (10 x
7 m = 70 m) et, au centre de chacun de ces intervalles, placer une
charge concentrée 380,8 kN (i.e. 3808kN/10). Sur le diagramme de
forme, on indique la position des trois points par lesquels doit passer
l'arche, on place les 10 charges concentrées et on trace la corde de
fermeture entre les deux points d'appui.
11
Puisque la charge est uniformément
répartie, on sait que le point z se situe
à mi-hauteur de l'axe vertical
représentant les forces externes i.e.
superposé au point f. À partir de ce
point, on trace une ligne parallèle à la
corde de fermeture sur le polygone
de force. On sait que le point o se
trouve sur cette ligne mais il nous est
pour l'instant impossible de trouver
sa localisation exacte. On place donc
le point o arbitrairement sur cette
ligne et, après avoir compléter le
polygone de forces on trace le profil
de l'arche sur se diagramme de
forme. Sur ce même diagramme on
trace deux cordes qui relient le
sommet de l'arche à ses deux point
d'appui (ce sont les lignes pointillées
en rouge). Sur le polygone de forces,
on trace deux droites qui sont
parallèles à ces cordes et qui passent
par le point o. Ces droites croisent
l'axe vertical des forces externes en
deux points identifiés x et y.
12
Sur le diagramme de forme on
peut alors tracer deux cordes qui
relient le point recherché au
sommet de l'arche et les deux
points d'appui. Ce sont les lignes
pointillées en vert sur la figure ci-
contre. Sur le polygone de
forces, on trace alors deux
droites parallèles à ces cordes
qui passent par les points x et y.
Ces deux droites se croisent au
point o. On complète alors le
polygone de forces et, à partir de
celui-ci, on trace le profil de
l'arche sur le diagramme de
f o r m e . C e p r o fi l p a s s e
maintenant par les trois points
pré-identifiés.
13
Le polygone de forces nous indique que la force de compression
maximale dans l'arche est égale à 2981 kN et qu'elle se situe près de
l'appui gauche. Dans l'axe vertical, la longueur de flambement est égale
à 39,3 m. Dans l'axe horizontal elle est égale à la distance entre les
entretoises, c'est-à-dire les poutres de bois qui sont orientées
perpendiculairement entre les arches pour empêcher celles-ci de se
déplacer latéralement. La valeur du coefficient de retenue est égal à 1
dans les deux directions (kx = ky = 1). En consultant le tableau 2,8 on
trouve que la contrainte admissible en compression (Fc) et le module
élastique (E) du bois lamellé-collé sont respectivement égaux à 30,2
MPa et 12,4 GPa si on utilise du sapin Douglass. En utilisant la feuille
EXCEL conçue pour le dimensionnement des poteaux en bois, on fait
varier les dimensions du profilé (b et h) ainsi que la longueur de
flambement selon l'axe faible (Ly) pour trouver un profilé pour lequel Prx et
Pry soient supérieurs à Pf = 2981 kN.
14
Après quelques itérations, notre choix s'arrête sur un profilé de
215x1200 mm pour lequel on trouve que Prx = 2999 kN > 2981 kN.
On trouve également que la distance maximale entre les entretoises
est égale à 7 m (Pry = 3029 kN > 2981 kN).
15
Vf =
wFL
82
= 6,8
kN
m2
× 8m ×
(70m)
2
= 1904kN
Mf =
wFL2
8
= 6,8
kN
m2
× 8m ×
(70m)2
8
= 33320kN − m
Pour mieux saisir l'efficacité structurale des arches on peut calculer la
taille que devrait posséder les profilés en bois si on remplaçait les arches
par des poutres horizontales. Le moment fléchissant (Mf) et l'effort
tranchant (Vf) maximaux seraient alors donnés par:
En utilisant la feuille EXCEL prévue à cette fin avec Fb = 25,6 MPa et Fv = 2
MPa (les propriétés du bois lamellé-collé en Sapin Douglass) on choisit,
après quelques itérations, un profilé de 315x5300 mm pour lequel on
trouve que Mr = 33978 kN-m > 33320 kN-m et Vr = 2003 kN > 1904 kN.
On constate que, comparativement à l'arche, la poutre serait presque 4,5
fois plus haute qu'elle nécessiterait un volume de bois 6,5 fois plus
important. Il est clair que, pour cet ouvrage, le choix d'une toiture plate
reposant sur des poutres en bois ne serait pas une solution envisageable.
Exemple 2
Le Broadgate
Exchange House
à Londres
16
17
n 1990 on inaugurait à Londres le Broadgate Exchange House, un
édifice à bureaux de 10 étages (10 planchers + 1 toit) conçu par la
firme d'architectes Skidmore, Owings & Merril. Cet édifice est supporté
par des arches en acier pour dégager une vaste esplanade au-dessus
d'un stationnement et d'une gare de trains souterraine. Chacune des
arches est haute de 42 m et franchit une portée de 78 m entre ses
points d'appui.
18
A =
(18,5 + 15)m
2
× (12 × 6m) = 1206m2
En plan, le bâtiment fait 52 m x 78 m
et il est supporté par quatre arches:
deux arches extérieures placées
devant les façades et deux arches
intérieures. La charge morte des
planchers et de la toiture est évaluée
à 2,8 kN/m2. La charge d’utilisation
est égale à 2,4 kN/m2 pur les
planchers (bureaux) et 1,0 kN/m2
pour le toit (charge minimale imposée
par le C.N.B.). Les deux arches
intérieures sont celles qui supportent
la plus grand aire tributaire. Pour
chacun des étages, cette aire
tributaire (A) est égale à:
19
F . R . = 0,3 +
9,8
A
= 0,3 +
9,8
10 × 1206m2
= 0,33
WD = 2,8
kN
m2
×
1206m2
etage
× 11etages = 37145kN
La charge morte totale (WD) supportée par l’arche est donnée par:
Le facteur de réduction de la charge d’utilisation pour l’ensemble des
planchers (F.R.) est égal à:
La charge vive totale (WL) est calculée en additionnant la charge
minimale d'utilisation sur le toit à la charge d'utilisation des planchers
majorée par le facteur de réduction:
WL = Wtoit + Wplanchers
WL =
(
1
kN
m2
× 1206m2
)
+
(
2,4
kN
m2
×
1206m2
etage
× 10etages × 0,33
)
= (1,25 × 37145kN ) + (1,5 × 10757kN )
WF = 1,25WD + 1,5WL
= 10757 kN
La charge totale majorée (WF) est donc égale à:
= 62567 kN
20
L’arche supporte douze charges
concentrées transmises par les
poteaux (les deux poteaux d’extrémité
transmettent leur charte directement
aux points d’appui sans solliciter
l’arche). Chacune de ces charges
concentrées est égale à 5214 kN
(62567kN/12). En utilisant la méthode
graphique, on peut tracer le
diagramme de forme et le polygone de
forces de la structure. On trouve alors
que la force de compression maximale
dans l’arche est égale à 34940 kN. On
remarquera que le polygone de forces
est très compact ce qui témoigne de
sa grande efficacité structurale.
21
L’arche est constituée de deux
profilés en C placés dos dos de part
et d’autre des membrures verticales
ce qui facilite les assemblages. Les
deux profilés en C sont liés au
niveau de leurs ailes de manière à ce
que leur élancement selon l’axe
faible soit au moins égal à celui
selon l’axe fort. Chacun des profilés
en C devra donc résister à une
charge de compression de 17470
kN (i.e. 34940kN/2) selon son axe
fort. L’arche est retenue par deux
membrures inclinées à 45°. La
longueur effective de flambement
(Le) est égale à 43 m i.e. la distance
maximale entre deux points d’appui.
22
En utilisant la feuille de calcul EXCEL, notre choix s’arrête, après
quelque itérations, sur le profilé illustré ci-dessous (Prx = 17602 kN >
17470 kN) qui fait 1200 mm de hauteur par 300 mm de largeur. La
membrure en acier qui forme l’arche est très élancée puisque son
épaisseur ne représente qu’environ 1/92ème de sa longueur même si
elle supporte un bâtiment de 10 étages. Par comparaison, ce rapport
est d’environ 1/24ème pour les poutres usuelles qui ne supportent
qu’une toute petite surface de plancher. Cela illustre bien la grande
efficacité structurale des structures caténaires comprimées.
23
La figure ci-contre montre le détail
d’assemblage de l’arche à son point d’appui.
La composante horizontale de la force de
compression de 34940 kN à la base de l’arche
est reprise par un tirant horizontal qui relie ses
deux points d’appui. Cette force horizontale est
égale à 15640 kN comme l’indique le polygone
de forces de la structure. De cette façon, seule
une force verticale de 21283 kN est transmise
aux fondations ce qui évite bien des soucis
dans la conception des ouvrages sous-terrains.
Le tirant est lui-même constitué de la
superposition de quatre plaques rectangulaires
en acier de 450 mm de hateur. La résistance à
la traction de chacune des membrures du tirant
est égale à:
Tr = ϕbhFt ≥ Tf
où b et h représente respectivement la largeur
et la hauteur de la plaque. La largeur de
chacune de ces plaques (b) est donc égale à:
b ≥
Tf
ϕhFt
≥
15640000N/4
0,9 × 450 mm × 350N/mm2
≥ 28mm
24
Les deux membrures diagonales
qui relient l’arche au tirant
contribuent à accroître sa
résistance en réduisant sa
longueur de flambement (Le). Mais
la fonction principale de ces
membrures est de servir de pièces
de contreventement pour accroître
considérable-ment la stabilité de la
structure. La figure ci-contre
montre la déformation de l’arche
lorsqu’elle atteint le point de
rupture par flambement avec ou
sans membrures diagonales
(Iyengar et al., 1993). Cette figure
montre bien que la présence des
diagonales (l’une sollicité en
traction, l’autre en compression)
réduisent très considérablement le
déplacement horizontal au
sommet de l’arche et la longueur
de flambement.
25
La forme de l’arche a été choisie pour agir
comme une structure caténaire lorsqu’elle
est soumise à une charge uniformément
répartie. Elle peut cependant subir des
déformations importantes lorsque la
charge n’est pas symétrique. La figure ci-
contre montre comment les membrures de
contreventement diagonales réduisent
considérablement la déformation de la
structure lorsqu’on applique la charge vive
sur une moitié de la structure et seulement
50% de la charge vive sur l’autre moitié.
On constate que la présence des
membrures diagonales augmente de façon
importante la rigidité de la structure pour
lui conférer une bien meilleure rigidité.
Broadgate Exchange House à Londres
26
27
Broadgate Exchange House à Londres
28
Broadgate Exchange House à Londres
Exemple 3
Le pont
Salginatobel
en Suisse
29
30
Robert Maillart est un
ingénieur suisse qui, en
utilisant les méthodes
d’analyse graphique des
structures, a conçu et
construit de remarquables
ponts en béton armé en
forme d’arche au début
du 20e siècle. Le pont
Salginatobel (1930) est
l’un des plus célèbres.
L’arche principale franchit
une portée de 90 m avec
une flèche de 13,5 m. Le
tablier du pont fait 3,5 m
d e l a r g e u r e t e s t
légèrement incliné de 3°.
31
P = 145,5
kN
m
×
90m
10
= 1310kN
En supposant que la charge est uniformément répartie, on peut diviser
l’arche en 10 intervalles qui supportent chacun une charge P égale à:
En utilisant la méthode graphique, on peut analyser la structure en
traçant le diagramme de forme ainsi que le polygone de forces. On
trouve alors que la force de compression maximale dans l’arche (Pf) est
égale à 9610 kN.
Le poids de l’ouvrage (wD) est égal à 95 kN/m alors que la charge
d’utilisation (wL) est de 17,8 kN/m. La charge totale majorée (wF) est
donnée par:
= (1,25 × 95kN/m) + (1,5 × 17,8kN/m) = 145,5kN/m
WF = 1,25WD + 1,5WL
32
33
L’arche en béton fait 3,6 m de largeur
à s o n s o m m e t e t s ’ é l a r g i t
progressivement pour atteindre 6 m
de large à sa base. Comme le pont
est étroit, cela contribue à accroître la
résistance à l’égard des charges
horizontales exercées par le vent et,
d’un point de vue esthétique, cela
confère à l’ouvrage un aspect de
robustesse et de stabilité. Pour cette
raison, la contrainte de compression
sera plus élevée au sommet de
l’arche qu’à sa base même si la
charge y est plus faible d’environ
20%. La présence d’un voile
stabilisateur en béton perpendiculaire
à l’arche empêche tout déplacement
latéral ce qui fait en sorte que son
élancement est pratiquement nul (kL
= 0) et que le béton peut développer
sa pleine résistance à la compression
(F c) qui est égale à 25 MPa.
34
ϕ = 0,6
Pr = ϕFcbh ≥ Pf
La charge maximale de compression que l’arche peut supporter (Pr)
est donnée par:
où: 	 (coefficient du tenue du béton)
	 Fc = 25 MPa
	 b = largeur de l’arche
	 h = épaisseur de l’arche
En isolant h dans cette équation, on trouve que:
h ≥
Pf
ϕFc
× b
=
10920000N
0,6 × 15
N
mm2
× 3600mm
= 200mm
Cela signifie qu’une mince ruban de béton de 200 mm d’épaisseur
peut supporter une charge de 1310 tonnes sur un portée de 90 m.
35
Lorsque la charge appliquée est
symétrique, l’arche est sollicitée en
compression pure. En revanche,
lorsque la charge d’utilisation (i.e. le
poids des camions) est placée sur
la moitié seulement de la portée,
elle génère des efforts de flexion
significatifs dans la structure.
Puisque l’arche ne fait que 200 mm
d’épaisseur, sa résistance à la
flexion est très faible. C’est donc le
voile stabilisateur qui agit comme
une poutre pour reprendre les
efforts de flexion. Un examen
attentif de la structure montre que
le voile stabilisateur épouse
p a r f a i t e m e n t l a f o r m e d u
diagramme de moment (figure
3.179c) ce qui permet d’atteindre la
performance structurale optimale
avec le minimum de matériau.
36
Pour s’assurer que l’arche ne soit pas sollicitée en flexion, on a voulu
créer des joints rotulés à sa base et à son sommet. La figure ci-dessous
montre les assemblages imaginés par Maillart pour que l’arche puisse
pivoter librement aux joints rotulés.
Pont Salginatobel
37
38
Pont Salginatobel
39
Pont Salginatobel
Optimisation
des arches
40
41
Dans les exemples précédents, la force de compression dans les arches
est variable: elle est minimale au sommet et maximale aux points d’appui.
Plus la flèche est élevée, plus la différence est importante entre les forces
minimale et maximale. Est-il possible de concevoir une forme caténaire
qui fasse en sorte que la force de compression soit uniforme sur toute la
longueur de l’arche?
La réponse se trouve dans le polygone de forces.
42
La figure ci-contre montre une
arche caténaire qui supporte un
tablier placé au-dessus d’elle. Sur
cette figure, les lignes bleues
pointillées montrent la forme
caténaire et le polygone de forces
qui lui sont associés en utilisant
l e s t e c h n i q u e s d é c r i t e s
précédemment. Pour que la force
de compression soit la même sur
toute la longueur de l’arche, il faut
modifier le polygone de forces en
traçant un arc de cercle centré
sur le point o et passant par les
points a et h. De cette façon,
chacun des efforts internes dans
l’arche (oa, ob, oc, ...oh) sont
égaux car ils correspondent au
rayon d’un même cercle.
43
T o u t e f o i s , c e l a a p o u r
conséquence que les forces
externes qui sollicitent l’arche (AB,
BC, CD, ...GH) ne sont plus
verticales mais inclinées de
manière à épouser la circonférence
du cercle sur le polygone de
forces. Le corolaire est que les
membrures qui transmettent les
forces du tablier sur l’arche ne
sont plus verticales mais inclinées.
On obtient alors la structure
optimisée qui est illustrée en traits
noir sur le diagramme de forme.
On remarque alors que les écarts
sont faibles entre le profil de
l’arche conventionnelle (traits bleus
pointillés) et celui de l’arche
optimisée (traits noirs).
44
En revanche, les écarts peuvent
être plus importants selon la
position du tablier. La figure c-
contre montre que si on soulève le
tablier, l’écart s’accentue entre les
deux profil et la profil optimisé se
situe au-dessus du profil original. À
l’inverse, si on abaisse le tablier,
l’écart entre les deux profils
s’accentue à nouveau mais le profil
optimisé passe alors en-dessous
du tablier. Lorsque le tablier est
placé au niveau des points d’appui
de l’arche, l’écart entre les deux
profils est important puisque, au
centre de la portée, l’arche
optimisée est 20% moins haute que
l’arche conventionnelle.
45
On pourrait réduire les forces de
compression dans l’arche optimisée en
augmentant sa hauteur au centre de la
portée pour se rapprocher du profil de
l'arche conventionnelle. Pour y parvenir, il
n’est pas possible d’utiliser la méthode
décrite précédemment pour tracer une
forme caténaire passant par trois points
prédéfinis parce que cette méthode ne
s’applique qu’à une famille de formes
caténaires pour un même cas de charge. Or,
dans le cas présent, l’inclinaison et l’intensité
des charges (AB, BC, ... GH) varient avec le
déplacement du point focal o sur le
polygone de forces. Après quelques
itérations, on arrive toutefois à trouver le
profil recherché). On constate alors que le
profil de l’arche optimisée (en traits gras) est
t r è s p r o c h e d e c e l u i d e l ’ a r c h e
conventionnelle (en traits bleus pointillés)
mais que la force de compression dans
l’arche optimisée ne représente que 70% de
la force de compression dans l’arche
conventionnelle.
Exemple 4
La passerelle piétonne
Léopold-Sédar-Senghor
à Paris
46
47
La passerelle piétonne Léopold-
Sédar-Senghor enjambe la Seine
dans le VIe arrondissement de
Paris. Conçue par l’architecte-
ingénieur Marc Mimram et
inaugurée en 1999, elle est
constituée de deux tablier
superposés (figure. Le tablier
inférieur forme une voie de
circulation centrale de 3 m de
largeur supportée par une arche en
acier très élancée de 106 m de
portée et 6 m de flèche. Quant au
tablier supérieur, il est constituée de
deux voies de circulation latérales
qui s’appuient sur l’arche en acier
via une série de traverses verticales
en forme de V. Ces traverses sont
inclinées, d’une part pour
u n i f o r m i s e r l e s e ff o r t s d e
compression dans l’arche et,
d’autre part, pour donner à la
passerelle une silhouette plus
dynamique et esthétiquement
agréable.
48
49
Les charges morte (wD) et vives (wL) sont égales à 6,1 et 4,8 kN/m2. La
charge totale majorée (wF) est donc égale à:
WF = 1,25WD + 1,5WL
= (1,25 × 6,1kN/m2
) + (1,5 × 4,8kN/m2
) = 14,8kN/m2
La largeur de la structure varie légèrement sur toute la longueur de
l’arche mais, par souci de simplicité, nous utiliserons la largeur maximale
de 15 m. Chacune des deux arches porteuse en acier supporte donc
une largeur tributaire de 7,5 m (i.e. 15m/2) ce qui inclut les tabliers
supérieur et inférieur. Comme la structure est symétrique, seulement la
moitié de l’arche sera analysée pour accroître la lisibilité du polygone de
forces qui est très aplati. Dans le même souci de lisibilité, un nombre
réduit de traverses sera pris en compte, c’est pourquoi nous
considérerons que les traverses sont espacées de 8,83 m c/c alors que,
dans la réalité, cet espacement est égal à 3 m c/c.
À chaque traverse la charge concentrée (P) qui sera transmise à l’arche
est égale à:
P = 14,8
kN
m2
× 7,5m × 8,83m = 980kN
50
La figure ci-contre présente
l’analyse structurale de l’arche
porteuse à l’aide de la méthode
graphique. On constate que la
force maximale de compression
dans l’arche atteint 23350 kN ce
qui est élevé comparativement à
la charge verticale supportée
par la structure (2 x 6370kN =
12740kN). On constate par
ailleurs que la composante
horizontale de la réaction
d’appui qui est transmise aux
fondations est presqu’aussi
élevée ce qui nécessite
d’imposantes culées en béton
aux deux extrémités de l’arche
pour répartir cette charge sur les
r i v e s d e l a S e i n e .
Heureusement, ces culées
existaient déjà puisque la
passerelle remplace un pont
routier en fonte construit en
1861, détruit en 1961, et
remplacé par une passerelle en
acier démolie à son tour en
1992.
51
Chacune des arches est constituée de deux profilés en forme de I dont les ailes
sont constituées de profilés elliptiques en acier de 600 mm de largeur. Ces ailes
sont liées par des membrures verticales et espacées de 1,2 m c/c. Pour être en
mesure d’utiliser la feuille EXCEL conçue pour le dimensionnement des poteaux en
acier, nous allons remplacer les profilés elliptiques par des plaques rectangulaire
dont l’épaisseur (t) est égale au double de l’épaisseur des parois des profilés
elliptiques. La charge de compression supportée par chacun des deux profilés en
forme de I est égale à 11675 kN (i.e. 23350kN/2). L’arche est retenue latéralement
par les traverses verticales ce qui signifie que la longueur de flambement est égale à
3 m, c’est-à-dire la distance entre chacune de ces traverses. En utilisant la feuille
EXCEL on trouve que, pour des profilés elliptiques dont la paroi fait 10 mm
d’épaisseur, Pr = 11915 kN > Pf = 11675 kN. Cela confirme que la géométrie de
l’arche est adéquate pour supporter les charges qui lui sont imposées.
Passerelle Léopold-Sédar-Senghor
52
53
Passerelle Léopold-Sédar-Senghor
Exemple 5
La passerelle piétonne
Sinone-de-Beauvoir
à Paris
54
55
Plus loin sur la seine à Paris, on
retrouve la passerelle Simone-de-
Beauvoir, une réalisation de
l’architecte autrichien Dietmar
Feichtinger inaugurée en 2006. Elle
est constituée de deux structures
caténaires - l’une tendue, l’autre
comprimée - qui s’entrecroisent
pour former trois travées offrant au
piéton un parcours insolite. Ces
deux structures sont liées l’une à
l’autre par une série de suspentes
verticales formées de quatre tubes
en acier assemblés en triangle. Ces
suspentes sont espacées de 7,5 m
c/c. Deux minces plaques en acier
supportent la structure tendue alors
que la structure comprimée est
formée de deux rectangles évidés.
56
Deux minces plaques en
a c i e r s u p p o r t e n t l a
structure tendue alors que
la structure comprimée est
formée de deux rectangles
évidés.
57
L’emplacement des tabliers a été choisi de tel sorte que la charge se
réparti également entre les deux structures caténaires. La charge
morte (wD) de l’ouvrage est évaluée à 4,5 kN/m2 alors que la charge
d’utilisation (wL) est égale à 4,8 kN/m2. La charge totale majorée (wF)
est donnée par:
WF = 1,25WD + 1,5WL
= (1,25 × 4,5kN/m2
) + (1,5 × 4,8kN/m2
) = 12,8kN/m2
Les deux structures caténaires supportent chacune la moitié du
tablier i.e. une largeur tributaire de 6 m. Si on divise la structure en dix
sections de largeurs égales (174m/10 = 17,4 m), chacune de ces
sections supportera une charge totale (W) égale à:
W = 12,8
kN
m2
× 6m × 17,4m = 1336kN
58
La figure ci-contre montre le
résultat de l’analyse structurale
de l’ouvrage à l’aide de la
méthode graphique. On constate
que l’effort maximal, de tension
ou de compression, est égal à
53440 kN.
59
La structure caténaire tendue est formée de deux
plaques d’acier de 900 mm de largeur chacune.
La résistance à la traction des plaques (Tr) est
donnée par:
Tr = ϕFtbt > Tf
où b et t représentent respectivement la largeur et l’épaisseur de la
plaque d’acier et Ft = 350 MPa pour l’acier doux de charpente. On
trouve l’épaisseur de la plaque en isolant la valeur de t dans l’équation
précédente. On obtient alors:
t >
Tf
ϕFtb
=
53440000N/2
0,9 × 350 N
mm2
× 900mm
= 94mm
La structure caténaire comprimée est quant à elle constituée de deux
rectangles évidés en acier. Ces rectangles font 900 mm de largeur et
leur hauteur varie de 450 mm au centre de la portée à 750 mm aux
points d’appui. Les structures tendues et comprimées se stabilisent
mutuellement en s’opposant au déplacement vertical de la structure
jumelle. Pour cette raison, la longueur de flambement de l’arche n’est
que de 7,5 m ce qui correspond à la distance entre les suspentes
verticales qui relient les deux structures caténaires.
60
L’effort de compression maximal dans chacun des triangles évidés qui
forment l’arche (Tf) est égal à 26720 kN (i.e. 53440kN/2). En utilisant la
feuille EXCEL servant au dimensionnement des profilés en acier, on
trouve que, pour un tube de 750x900 mm, l’épaisseur des parois doit
être égale à 28 mm. On constate alors que Tr = 26859 kN > Tf.
Si la structure tendue n’existait pas, l’arche aurait une longueur de flambement de
87 m (i.e. 174m/2) ce qui nécessiterait des profilés rectangulaires de 2500 mm de
hauteur (figure 3.197) ce qui représente plus de triple de la hauteur du profilé
choisi par le concepteur de la passerelle (750 mm). Cela montre bien que la
présence de la structure tendue accroît considérablement l’efficacité structurale de
la structure comprimée.
61
Si la structure tendue n’existait pas, l’arche aurait une longueur de
flambement de 87 m (i.e. 174m/2) ce qui nécessiterait des profilés
rectangulaires de 2500 mm de hauteur ce qui représente plus de triple de la
hauteur du profilé choisi par le concepteur de la passerelle (750 mm). Cela
montre bien que la présence de la structure tendue accroît
considérablement l’efficacité structurale de la structure comprimée.
L’usage combiné d’une structure tendue et d’une structure comprimée offre
un autre avantage important: aucun effort horizontal n’est transmis aux
fondations. Ainsi, si la structure tendue n’existait pas, la structure
comprimée devrait transmettre une force horizontale d’environ 50000 kN
aux fondations de béton (cela représente environ le double la force
horizontale imposée aux culées de la passerelle Léopold-Sédar-Senghor
que nous avons évoquée précédemment) ce qui nécessiterait la
construction de culées volumineuses en béton.
62
Pour calculer les efforts qui seront
transmis aux fondations, on trace
d’abord le diagramme de corps
libre d’une portion de la structure
située près de son point d’appui.
Ce diagramme indique que cette
portion de structure est soumise à
quatre forces: les efforts de tension
et de compression dans les
structures tendues et comprimées
(26 720 kN), ainsi qu’un effort de
compression (C) et un effort de
tension (T) transmis à deux
fondations distinctes. Les structures
tendues et comprimées sont liées
par une bielle en acier (c’est la
membrure inclinée). Les forces
verticales sont transmises aux
appuis par un poteau en acier placé
au point de jonction entre l’arche et
la bielle et un plaque en acier qui est
le prolongement de la plaque qui
soutient la structure tendue.
63
En faisant l’équilibre des
trois forces qui convergent
vers le point a, on trouve
que la bielle subit un effort
de compression de 33
890 kN (il est donc
supérieur, d’environ 25%
à la force de compression
dans l’arche) et que
l’effort d’arrachement (T)
transmis aux fondations
est égal à 19 620 kN.
L’équilibre des forces qui
convergent vers le point b
indique pour sa part que
la force de compression
( C ) t r a n s m i s a u x
fondations est égal à 25
230 kN.
64
La géométrie reproduite à la figure
de la page précédente est
adéquate puisque les polygones
de forces sont compacts ce qui
témoigne d’une bonne efficacité
s t r u c t u r a l e . M a l g r é t o u t ,
l’architecte a choisi de modifier
légèrement la géométrie de la
structure en inclinant légèrement
le poteau qui unit le point a à la
semelle de fondation afin de
c o n f é r e r u n e a l l u r e p l u s
dynamique à l’ensemble qui se
trouve très exposé à la vue des
piétons. En faisant l’équilibre
statique des forces au point b, on
constate que cette modification
géométrique augmente d’environ
25% l’effort de compression au
point d’appui (32 570 kN vs 25
230 kN) et double presque l’effort
dans la bielle (56 080 kN vs 33
890 kN).
65
L’équilibre statique des forces au point a révèle pour sa part que l’effort
d’arrachement au sol est aussi presque doublé (29 310 kN vs 19620
kN) et que, pour fermer le polygone de forces, il faut ajouter une
réaction d’appui horizontale (R) au sommet de la bielle. Ainsi, la bielle
vient se buter sur la passerelle d’accès qui sera comprimée pour
acheminer la force R jusqu’à la culée de béton. L’intensité de cette
force - 7500 kN selon la figure 3200c - est faible comparativement aux
autres forces impliquées (26 720 kN à 56 080 kN).
Passerelle Simone-de-Beauvoir
66
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Passerelle Simone-de-Beauvoir
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18 caténaires comprimées

  • 1. Structures caténaires tendues ARC-2007 Conception de structures R. Pleau École d’architecture, Université Laval
  • 3. 3 Lorsqu'elle adopte une forme caténaire, une arche est sollicitée uniquement en compression et elle peut donc être dimensionnée c o m m e u n p o t e a u . M a i s , contrairement au câble suspendu, l'arche est rigide et, si le profil de charge est modifié, elle ne peut pas se déformer librement pour conserver une forme caténaire. Lorsque le profil de charge s'écarte de la forme caténaire, il induit dans la structure des efforts de flexion qui s ' a j o u t e n t a u x e f f o r t s d e compression que l'arche doit supporter et la structure doit alors être dimensionnée comme un poteau-poutre pour résister à l'action combinée des forces de compression et de flexion. Une seconde alternative consiste à u t i l i s e r u n e s t r u c t u r e d i t e stabilisatrice qui, en s'opposant au déplacement latéral de l’arche, élimine (ou réduit substantiellement) les efforts de flexion.
  • 4. 4 Pour illustrer les stratégies de stabilisation, on peut prendre l'exemple d'un pont routier où le tablier est supporté par une arche. L'arche peut être placée au-dessus, en dessous ou au milieu du tablier. On peut décider que le tablier sera simplement suspendu ou déposé sur l'arche et que celle-ci sera suffisamment rigide pour résister aux efforts de flexion. Elle agit alors comme un poteau-poutre. On peut aussi choisir de rigidifier le tablier pour qu'il résiste aux efforts de flexion et que l'arche ne soit sollicitée qu'en compression pure. Enfin, il est possible de retenir une solution intermédiaire où l'arche et le tablier contribuent tous deux à résister aux efforts de flexion. Une dernière solution consiste à trianguler l'espace entre le tablier et l'arche pour former un treillis capable de résister aux efforts de flexion. Cette stratégie permet de réduire à la fois la taille de l'arche et celle du tablier.
  • 5. 5 Pour calculer la résistance à la compression d'une arche on doit déterminer sa longueur libre de flambement (Le). Lorsque le déplacement latéral de l'arche est empêché à certains endroits de son profil, la longueur de flambement est égale à la distance entre deux points de retenue. Si, au contraire, l'arche est libre de se déplacer latéralement sur toute sa longueur, le calcul de Le est plus complexe mais, en première approximation, on peut considérer que la longueur de flambement est égale à la distance linéaire entre son sommet et l'un des points d'appui. Les lignes pointillées sur les schémas ci-dessous représentent la déformation de l'arche au moment de la rupture par flambement.
  • 6. 6 Considérons maintenant la poussée horizontale que l'arche exerce à ses points d'appui. La solution idéale consiste à assoir l'arche directement sur le roc ce qui n'exige que des fondations de petite dimension. La seconde option consiste à déposer l'arche sur des contreforts massifs en béton armé qui transmettent les efforts verticaux et horizontaux au sol de fondation. Une troisième possibilité consiste à déposer l'arche sur des semelles de fondation enfouies dans le sol. Ces semelles devront être de grandes dimensions pour résister à l'action combinée des forces verticales et horizontales.
  • 7. 7 Une dernière solution, très efficace, consiste à relier les deux points d'appui par un tirant en acier qui peut être placé au-dessus ou au-dessous du niveau du sol. Le tirant reprend les efforts horizontaux de sorte que seules les forces verticales sont transmises aux semelles de fondation.
  • 9. 9 La toiture d'un stade de soccer intérieur construit à Chicoutimi est consti- tuée d'une série d’arches en bois lamellé-collé espacée de 8 m c/c. L'arche franchit une portée libre de 70 m; l'un des points d'appui est déposé au sol alors que le second est appuyé sur une structure triangulaire en acier à 6 m au-dessus de la fondation. On souhaite que, au centre de la portée, l'arche soit située à 18 m au-dessus des points d'appui. Il faut donc tracer le profil exact de l'arche et dimen- sionner les profilés en bois lamellé-collé qui seront utilisés.
  • 10. 10 La charge morte de la toiture est estimée à 1,6 kN/m2 et la charge de neige à Chicoutimi est égale à 3,2 kN/m2 (voir tableau 2.5). La charge totale majorée (wF) est donc égale à: La charge totale (W) que supporte une arche est donnée par: On peut subdiviser la toiture en 10 intervalles de 7 m de largeur (10 x 7 m = 70 m) et, au centre de chacun de ces intervalles, placer une charge concentrée 380,8 kN (i.e. 3808kN/10). Sur le diagramme de forme, on indique la position des trois points par lesquels doit passer l'arche, on place les 10 charges concentrées et on trace la corde de fermeture entre les deux points d'appui.
  • 11. 11 Puisque la charge est uniformément répartie, on sait que le point z se situe à mi-hauteur de l'axe vertical représentant les forces externes i.e. superposé au point f. À partir de ce point, on trace une ligne parallèle à la corde de fermeture sur le polygone de force. On sait que le point o se trouve sur cette ligne mais il nous est pour l'instant impossible de trouver sa localisation exacte. On place donc le point o arbitrairement sur cette ligne et, après avoir compléter le polygone de forces on trace le profil de l'arche sur se diagramme de forme. Sur ce même diagramme on trace deux cordes qui relient le sommet de l'arche à ses deux point d'appui (ce sont les lignes pointillées en rouge). Sur le polygone de forces, on trace deux droites qui sont parallèles à ces cordes et qui passent par le point o. Ces droites croisent l'axe vertical des forces externes en deux points identifiés x et y.
  • 12. 12 Sur le diagramme de forme on peut alors tracer deux cordes qui relient le point recherché au sommet de l'arche et les deux points d'appui. Ce sont les lignes pointillées en vert sur la figure ci- contre. Sur le polygone de forces, on trace alors deux droites parallèles à ces cordes qui passent par les points x et y. Ces deux droites se croisent au point o. On complète alors le polygone de forces et, à partir de celui-ci, on trace le profil de l'arche sur le diagramme de f o r m e . C e p r o fi l p a s s e maintenant par les trois points pré-identifiés.
  • 13. 13 Le polygone de forces nous indique que la force de compression maximale dans l'arche est égale à 2981 kN et qu'elle se situe près de l'appui gauche. Dans l'axe vertical, la longueur de flambement est égale à 39,3 m. Dans l'axe horizontal elle est égale à la distance entre les entretoises, c'est-à-dire les poutres de bois qui sont orientées perpendiculairement entre les arches pour empêcher celles-ci de se déplacer latéralement. La valeur du coefficient de retenue est égal à 1 dans les deux directions (kx = ky = 1). En consultant le tableau 2,8 on trouve que la contrainte admissible en compression (Fc) et le module élastique (E) du bois lamellé-collé sont respectivement égaux à 30,2 MPa et 12,4 GPa si on utilise du sapin Douglass. En utilisant la feuille EXCEL conçue pour le dimensionnement des poteaux en bois, on fait varier les dimensions du profilé (b et h) ainsi que la longueur de flambement selon l'axe faible (Ly) pour trouver un profilé pour lequel Prx et Pry soient supérieurs à Pf = 2981 kN.
  • 14. 14 Après quelques itérations, notre choix s'arrête sur un profilé de 215x1200 mm pour lequel on trouve que Prx = 2999 kN > 2981 kN. On trouve également que la distance maximale entre les entretoises est égale à 7 m (Pry = 3029 kN > 2981 kN).
  • 15. 15 Vf = wFL 82 = 6,8 kN m2 × 8m × (70m) 2 = 1904kN Mf = wFL2 8 = 6,8 kN m2 × 8m × (70m)2 8 = 33320kN − m Pour mieux saisir l'efficacité structurale des arches on peut calculer la taille que devrait posséder les profilés en bois si on remplaçait les arches par des poutres horizontales. Le moment fléchissant (Mf) et l'effort tranchant (Vf) maximaux seraient alors donnés par: En utilisant la feuille EXCEL prévue à cette fin avec Fb = 25,6 MPa et Fv = 2 MPa (les propriétés du bois lamellé-collé en Sapin Douglass) on choisit, après quelques itérations, un profilé de 315x5300 mm pour lequel on trouve que Mr = 33978 kN-m > 33320 kN-m et Vr = 2003 kN > 1904 kN. On constate que, comparativement à l'arche, la poutre serait presque 4,5 fois plus haute qu'elle nécessiterait un volume de bois 6,5 fois plus important. Il est clair que, pour cet ouvrage, le choix d'une toiture plate reposant sur des poutres en bois ne serait pas une solution envisageable.
  • 16. Exemple 2 Le Broadgate Exchange House à Londres 16
  • 17. 17 n 1990 on inaugurait à Londres le Broadgate Exchange House, un édifice à bureaux de 10 étages (10 planchers + 1 toit) conçu par la firme d'architectes Skidmore, Owings & Merril. Cet édifice est supporté par des arches en acier pour dégager une vaste esplanade au-dessus d'un stationnement et d'une gare de trains souterraine. Chacune des arches est haute de 42 m et franchit une portée de 78 m entre ses points d'appui.
  • 18. 18 A = (18,5 + 15)m 2 × (12 × 6m) = 1206m2 En plan, le bâtiment fait 52 m x 78 m et il est supporté par quatre arches: deux arches extérieures placées devant les façades et deux arches intérieures. La charge morte des planchers et de la toiture est évaluée à 2,8 kN/m2. La charge d’utilisation est égale à 2,4 kN/m2 pur les planchers (bureaux) et 1,0 kN/m2 pour le toit (charge minimale imposée par le C.N.B.). Les deux arches intérieures sont celles qui supportent la plus grand aire tributaire. Pour chacun des étages, cette aire tributaire (A) est égale à:
  • 19. 19 F . R . = 0,3 + 9,8 A = 0,3 + 9,8 10 × 1206m2 = 0,33 WD = 2,8 kN m2 × 1206m2 etage × 11etages = 37145kN La charge morte totale (WD) supportée par l’arche est donnée par: Le facteur de réduction de la charge d’utilisation pour l’ensemble des planchers (F.R.) est égal à: La charge vive totale (WL) est calculée en additionnant la charge minimale d'utilisation sur le toit à la charge d'utilisation des planchers majorée par le facteur de réduction: WL = Wtoit + Wplanchers WL = ( 1 kN m2 × 1206m2 ) + ( 2,4 kN m2 × 1206m2 etage × 10etages × 0,33 ) = (1,25 × 37145kN ) + (1,5 × 10757kN ) WF = 1,25WD + 1,5WL = 10757 kN La charge totale majorée (WF) est donc égale à: = 62567 kN
  • 20. 20 L’arche supporte douze charges concentrées transmises par les poteaux (les deux poteaux d’extrémité transmettent leur charte directement aux points d’appui sans solliciter l’arche). Chacune de ces charges concentrées est égale à 5214 kN (62567kN/12). En utilisant la méthode graphique, on peut tracer le diagramme de forme et le polygone de forces de la structure. On trouve alors que la force de compression maximale dans l’arche est égale à 34940 kN. On remarquera que le polygone de forces est très compact ce qui témoigne de sa grande efficacité structurale.
  • 21. 21 L’arche est constituée de deux profilés en C placés dos dos de part et d’autre des membrures verticales ce qui facilite les assemblages. Les deux profilés en C sont liés au niveau de leurs ailes de manière à ce que leur élancement selon l’axe faible soit au moins égal à celui selon l’axe fort. Chacun des profilés en C devra donc résister à une charge de compression de 17470 kN (i.e. 34940kN/2) selon son axe fort. L’arche est retenue par deux membrures inclinées à 45°. La longueur effective de flambement (Le) est égale à 43 m i.e. la distance maximale entre deux points d’appui.
  • 22. 22 En utilisant la feuille de calcul EXCEL, notre choix s’arrête, après quelque itérations, sur le profilé illustré ci-dessous (Prx = 17602 kN > 17470 kN) qui fait 1200 mm de hauteur par 300 mm de largeur. La membrure en acier qui forme l’arche est très élancée puisque son épaisseur ne représente qu’environ 1/92ème de sa longueur même si elle supporte un bâtiment de 10 étages. Par comparaison, ce rapport est d’environ 1/24ème pour les poutres usuelles qui ne supportent qu’une toute petite surface de plancher. Cela illustre bien la grande efficacité structurale des structures caténaires comprimées.
  • 23. 23 La figure ci-contre montre le détail d’assemblage de l’arche à son point d’appui. La composante horizontale de la force de compression de 34940 kN à la base de l’arche est reprise par un tirant horizontal qui relie ses deux points d’appui. Cette force horizontale est égale à 15640 kN comme l’indique le polygone de forces de la structure. De cette façon, seule une force verticale de 21283 kN est transmise aux fondations ce qui évite bien des soucis dans la conception des ouvrages sous-terrains. Le tirant est lui-même constitué de la superposition de quatre plaques rectangulaires en acier de 450 mm de hateur. La résistance à la traction de chacune des membrures du tirant est égale à: Tr = ϕbhFt ≥ Tf où b et h représente respectivement la largeur et la hauteur de la plaque. La largeur de chacune de ces plaques (b) est donc égale à: b ≥ Tf ϕhFt ≥ 15640000N/4 0,9 × 450 mm × 350N/mm2 ≥ 28mm
  • 24. 24 Les deux membrures diagonales qui relient l’arche au tirant contribuent à accroître sa résistance en réduisant sa longueur de flambement (Le). Mais la fonction principale de ces membrures est de servir de pièces de contreventement pour accroître considérable-ment la stabilité de la structure. La figure ci-contre montre la déformation de l’arche lorsqu’elle atteint le point de rupture par flambement avec ou sans membrures diagonales (Iyengar et al., 1993). Cette figure montre bien que la présence des diagonales (l’une sollicité en traction, l’autre en compression) réduisent très considérablement le déplacement horizontal au sommet de l’arche et la longueur de flambement.
  • 25. 25 La forme de l’arche a été choisie pour agir comme une structure caténaire lorsqu’elle est soumise à une charge uniformément répartie. Elle peut cependant subir des déformations importantes lorsque la charge n’est pas symétrique. La figure ci- contre montre comment les membrures de contreventement diagonales réduisent considérablement la déformation de la structure lorsqu’on applique la charge vive sur une moitié de la structure et seulement 50% de la charge vive sur l’autre moitié. On constate que la présence des membrures diagonales augmente de façon importante la rigidité de la structure pour lui conférer une bien meilleure rigidité.
  • 26. Broadgate Exchange House à Londres 26
  • 30. 30 Robert Maillart est un ingénieur suisse qui, en utilisant les méthodes d’analyse graphique des structures, a conçu et construit de remarquables ponts en béton armé en forme d’arche au début du 20e siècle. Le pont Salginatobel (1930) est l’un des plus célèbres. L’arche principale franchit une portée de 90 m avec une flèche de 13,5 m. Le tablier du pont fait 3,5 m d e l a r g e u r e t e s t légèrement incliné de 3°.
  • 31. 31 P = 145,5 kN m × 90m 10 = 1310kN En supposant que la charge est uniformément répartie, on peut diviser l’arche en 10 intervalles qui supportent chacun une charge P égale à: En utilisant la méthode graphique, on peut analyser la structure en traçant le diagramme de forme ainsi que le polygone de forces. On trouve alors que la force de compression maximale dans l’arche (Pf) est égale à 9610 kN. Le poids de l’ouvrage (wD) est égal à 95 kN/m alors que la charge d’utilisation (wL) est de 17,8 kN/m. La charge totale majorée (wF) est donnée par: = (1,25 × 95kN/m) + (1,5 × 17,8kN/m) = 145,5kN/m WF = 1,25WD + 1,5WL
  • 32. 32
  • 33. 33 L’arche en béton fait 3,6 m de largeur à s o n s o m m e t e t s ’ é l a r g i t progressivement pour atteindre 6 m de large à sa base. Comme le pont est étroit, cela contribue à accroître la résistance à l’égard des charges horizontales exercées par le vent et, d’un point de vue esthétique, cela confère à l’ouvrage un aspect de robustesse et de stabilité. Pour cette raison, la contrainte de compression sera plus élevée au sommet de l’arche qu’à sa base même si la charge y est plus faible d’environ 20%. La présence d’un voile stabilisateur en béton perpendiculaire à l’arche empêche tout déplacement latéral ce qui fait en sorte que son élancement est pratiquement nul (kL = 0) et que le béton peut développer sa pleine résistance à la compression (F c) qui est égale à 25 MPa.
  • 34. 34 ϕ = 0,6 Pr = ϕFcbh ≥ Pf La charge maximale de compression que l’arche peut supporter (Pr) est donnée par: où: (coefficient du tenue du béton) Fc = 25 MPa b = largeur de l’arche h = épaisseur de l’arche En isolant h dans cette équation, on trouve que: h ≥ Pf ϕFc × b = 10920000N 0,6 × 15 N mm2 × 3600mm = 200mm Cela signifie qu’une mince ruban de béton de 200 mm d’épaisseur peut supporter une charge de 1310 tonnes sur un portée de 90 m.
  • 35. 35 Lorsque la charge appliquée est symétrique, l’arche est sollicitée en compression pure. En revanche, lorsque la charge d’utilisation (i.e. le poids des camions) est placée sur la moitié seulement de la portée, elle génère des efforts de flexion significatifs dans la structure. Puisque l’arche ne fait que 200 mm d’épaisseur, sa résistance à la flexion est très faible. C’est donc le voile stabilisateur qui agit comme une poutre pour reprendre les efforts de flexion. Un examen attentif de la structure montre que le voile stabilisateur épouse p a r f a i t e m e n t l a f o r m e d u diagramme de moment (figure 3.179c) ce qui permet d’atteindre la performance structurale optimale avec le minimum de matériau.
  • 36. 36 Pour s’assurer que l’arche ne soit pas sollicitée en flexion, on a voulu créer des joints rotulés à sa base et à son sommet. La figure ci-dessous montre les assemblages imaginés par Maillart pour que l’arche puisse pivoter librement aux joints rotulés.
  • 41. 41 Dans les exemples précédents, la force de compression dans les arches est variable: elle est minimale au sommet et maximale aux points d’appui. Plus la flèche est élevée, plus la différence est importante entre les forces minimale et maximale. Est-il possible de concevoir une forme caténaire qui fasse en sorte que la force de compression soit uniforme sur toute la longueur de l’arche? La réponse se trouve dans le polygone de forces.
  • 42. 42 La figure ci-contre montre une arche caténaire qui supporte un tablier placé au-dessus d’elle. Sur cette figure, les lignes bleues pointillées montrent la forme caténaire et le polygone de forces qui lui sont associés en utilisant l e s t e c h n i q u e s d é c r i t e s précédemment. Pour que la force de compression soit la même sur toute la longueur de l’arche, il faut modifier le polygone de forces en traçant un arc de cercle centré sur le point o et passant par les points a et h. De cette façon, chacun des efforts internes dans l’arche (oa, ob, oc, ...oh) sont égaux car ils correspondent au rayon d’un même cercle.
  • 43. 43 T o u t e f o i s , c e l a a p o u r conséquence que les forces externes qui sollicitent l’arche (AB, BC, CD, ...GH) ne sont plus verticales mais inclinées de manière à épouser la circonférence du cercle sur le polygone de forces. Le corolaire est que les membrures qui transmettent les forces du tablier sur l’arche ne sont plus verticales mais inclinées. On obtient alors la structure optimisée qui est illustrée en traits noir sur le diagramme de forme. On remarque alors que les écarts sont faibles entre le profil de l’arche conventionnelle (traits bleus pointillés) et celui de l’arche optimisée (traits noirs).
  • 44. 44 En revanche, les écarts peuvent être plus importants selon la position du tablier. La figure c- contre montre que si on soulève le tablier, l’écart s’accentue entre les deux profil et la profil optimisé se situe au-dessus du profil original. À l’inverse, si on abaisse le tablier, l’écart entre les deux profils s’accentue à nouveau mais le profil optimisé passe alors en-dessous du tablier. Lorsque le tablier est placé au niveau des points d’appui de l’arche, l’écart entre les deux profils est important puisque, au centre de la portée, l’arche optimisée est 20% moins haute que l’arche conventionnelle.
  • 45. 45 On pourrait réduire les forces de compression dans l’arche optimisée en augmentant sa hauteur au centre de la portée pour se rapprocher du profil de l'arche conventionnelle. Pour y parvenir, il n’est pas possible d’utiliser la méthode décrite précédemment pour tracer une forme caténaire passant par trois points prédéfinis parce que cette méthode ne s’applique qu’à une famille de formes caténaires pour un même cas de charge. Or, dans le cas présent, l’inclinaison et l’intensité des charges (AB, BC, ... GH) varient avec le déplacement du point focal o sur le polygone de forces. Après quelques itérations, on arrive toutefois à trouver le profil recherché). On constate alors que le profil de l’arche optimisée (en traits gras) est t r è s p r o c h e d e c e l u i d e l ’ a r c h e conventionnelle (en traits bleus pointillés) mais que la force de compression dans l’arche optimisée ne représente que 70% de la force de compression dans l’arche conventionnelle.
  • 46. Exemple 4 La passerelle piétonne Léopold-Sédar-Senghor à Paris 46
  • 47. 47 La passerelle piétonne Léopold- Sédar-Senghor enjambe la Seine dans le VIe arrondissement de Paris. Conçue par l’architecte- ingénieur Marc Mimram et inaugurée en 1999, elle est constituée de deux tablier superposés (figure. Le tablier inférieur forme une voie de circulation centrale de 3 m de largeur supportée par une arche en acier très élancée de 106 m de portée et 6 m de flèche. Quant au tablier supérieur, il est constituée de deux voies de circulation latérales qui s’appuient sur l’arche en acier via une série de traverses verticales en forme de V. Ces traverses sont inclinées, d’une part pour u n i f o r m i s e r l e s e ff o r t s d e compression dans l’arche et, d’autre part, pour donner à la passerelle une silhouette plus dynamique et esthétiquement agréable.
  • 48. 48
  • 49. 49 Les charges morte (wD) et vives (wL) sont égales à 6,1 et 4,8 kN/m2. La charge totale majorée (wF) est donc égale à: WF = 1,25WD + 1,5WL = (1,25 × 6,1kN/m2 ) + (1,5 × 4,8kN/m2 ) = 14,8kN/m2 La largeur de la structure varie légèrement sur toute la longueur de l’arche mais, par souci de simplicité, nous utiliserons la largeur maximale de 15 m. Chacune des deux arches porteuse en acier supporte donc une largeur tributaire de 7,5 m (i.e. 15m/2) ce qui inclut les tabliers supérieur et inférieur. Comme la structure est symétrique, seulement la moitié de l’arche sera analysée pour accroître la lisibilité du polygone de forces qui est très aplati. Dans le même souci de lisibilité, un nombre réduit de traverses sera pris en compte, c’est pourquoi nous considérerons que les traverses sont espacées de 8,83 m c/c alors que, dans la réalité, cet espacement est égal à 3 m c/c. À chaque traverse la charge concentrée (P) qui sera transmise à l’arche est égale à: P = 14,8 kN m2 × 7,5m × 8,83m = 980kN
  • 50. 50 La figure ci-contre présente l’analyse structurale de l’arche porteuse à l’aide de la méthode graphique. On constate que la force maximale de compression dans l’arche atteint 23350 kN ce qui est élevé comparativement à la charge verticale supportée par la structure (2 x 6370kN = 12740kN). On constate par ailleurs que la composante horizontale de la réaction d’appui qui est transmise aux fondations est presqu’aussi élevée ce qui nécessite d’imposantes culées en béton aux deux extrémités de l’arche pour répartir cette charge sur les r i v e s d e l a S e i n e . Heureusement, ces culées existaient déjà puisque la passerelle remplace un pont routier en fonte construit en 1861, détruit en 1961, et remplacé par une passerelle en acier démolie à son tour en 1992.
  • 51. 51 Chacune des arches est constituée de deux profilés en forme de I dont les ailes sont constituées de profilés elliptiques en acier de 600 mm de largeur. Ces ailes sont liées par des membrures verticales et espacées de 1,2 m c/c. Pour être en mesure d’utiliser la feuille EXCEL conçue pour le dimensionnement des poteaux en acier, nous allons remplacer les profilés elliptiques par des plaques rectangulaire dont l’épaisseur (t) est égale au double de l’épaisseur des parois des profilés elliptiques. La charge de compression supportée par chacun des deux profilés en forme de I est égale à 11675 kN (i.e. 23350kN/2). L’arche est retenue latéralement par les traverses verticales ce qui signifie que la longueur de flambement est égale à 3 m, c’est-à-dire la distance entre chacune de ces traverses. En utilisant la feuille EXCEL on trouve que, pour des profilés elliptiques dont la paroi fait 10 mm d’épaisseur, Pr = 11915 kN > Pf = 11675 kN. Cela confirme que la géométrie de l’arche est adéquate pour supporter les charges qui lui sont imposées.
  • 54. Exemple 5 La passerelle piétonne Sinone-de-Beauvoir à Paris 54
  • 55. 55 Plus loin sur la seine à Paris, on retrouve la passerelle Simone-de- Beauvoir, une réalisation de l’architecte autrichien Dietmar Feichtinger inaugurée en 2006. Elle est constituée de deux structures caténaires - l’une tendue, l’autre comprimée - qui s’entrecroisent pour former trois travées offrant au piéton un parcours insolite. Ces deux structures sont liées l’une à l’autre par une série de suspentes verticales formées de quatre tubes en acier assemblés en triangle. Ces suspentes sont espacées de 7,5 m c/c. Deux minces plaques en acier supportent la structure tendue alors que la structure comprimée est formée de deux rectangles évidés.
  • 56. 56 Deux minces plaques en a c i e r s u p p o r t e n t l a structure tendue alors que la structure comprimée est formée de deux rectangles évidés.
  • 57. 57 L’emplacement des tabliers a été choisi de tel sorte que la charge se réparti également entre les deux structures caténaires. La charge morte (wD) de l’ouvrage est évaluée à 4,5 kN/m2 alors que la charge d’utilisation (wL) est égale à 4,8 kN/m2. La charge totale majorée (wF) est donnée par: WF = 1,25WD + 1,5WL = (1,25 × 4,5kN/m2 ) + (1,5 × 4,8kN/m2 ) = 12,8kN/m2 Les deux structures caténaires supportent chacune la moitié du tablier i.e. une largeur tributaire de 6 m. Si on divise la structure en dix sections de largeurs égales (174m/10 = 17,4 m), chacune de ces sections supportera une charge totale (W) égale à: W = 12,8 kN m2 × 6m × 17,4m = 1336kN
  • 58. 58 La figure ci-contre montre le résultat de l’analyse structurale de l’ouvrage à l’aide de la méthode graphique. On constate que l’effort maximal, de tension ou de compression, est égal à 53440 kN.
  • 59. 59 La structure caténaire tendue est formée de deux plaques d’acier de 900 mm de largeur chacune. La résistance à la traction des plaques (Tr) est donnée par: Tr = ϕFtbt > Tf où b et t représentent respectivement la largeur et l’épaisseur de la plaque d’acier et Ft = 350 MPa pour l’acier doux de charpente. On trouve l’épaisseur de la plaque en isolant la valeur de t dans l’équation précédente. On obtient alors: t > Tf ϕFtb = 53440000N/2 0,9 × 350 N mm2 × 900mm = 94mm La structure caténaire comprimée est quant à elle constituée de deux rectangles évidés en acier. Ces rectangles font 900 mm de largeur et leur hauteur varie de 450 mm au centre de la portée à 750 mm aux points d’appui. Les structures tendues et comprimées se stabilisent mutuellement en s’opposant au déplacement vertical de la structure jumelle. Pour cette raison, la longueur de flambement de l’arche n’est que de 7,5 m ce qui correspond à la distance entre les suspentes verticales qui relient les deux structures caténaires.
  • 60. 60 L’effort de compression maximal dans chacun des triangles évidés qui forment l’arche (Tf) est égal à 26720 kN (i.e. 53440kN/2). En utilisant la feuille EXCEL servant au dimensionnement des profilés en acier, on trouve que, pour un tube de 750x900 mm, l’épaisseur des parois doit être égale à 28 mm. On constate alors que Tr = 26859 kN > Tf. Si la structure tendue n’existait pas, l’arche aurait une longueur de flambement de 87 m (i.e. 174m/2) ce qui nécessiterait des profilés rectangulaires de 2500 mm de hauteur (figure 3.197) ce qui représente plus de triple de la hauteur du profilé choisi par le concepteur de la passerelle (750 mm). Cela montre bien que la présence de la structure tendue accroît considérablement l’efficacité structurale de la structure comprimée.
  • 61. 61 Si la structure tendue n’existait pas, l’arche aurait une longueur de flambement de 87 m (i.e. 174m/2) ce qui nécessiterait des profilés rectangulaires de 2500 mm de hauteur ce qui représente plus de triple de la hauteur du profilé choisi par le concepteur de la passerelle (750 mm). Cela montre bien que la présence de la structure tendue accroît considérablement l’efficacité structurale de la structure comprimée. L’usage combiné d’une structure tendue et d’une structure comprimée offre un autre avantage important: aucun effort horizontal n’est transmis aux fondations. Ainsi, si la structure tendue n’existait pas, la structure comprimée devrait transmettre une force horizontale d’environ 50000 kN aux fondations de béton (cela représente environ le double la force horizontale imposée aux culées de la passerelle Léopold-Sédar-Senghor que nous avons évoquée précédemment) ce qui nécessiterait la construction de culées volumineuses en béton.
  • 62. 62 Pour calculer les efforts qui seront transmis aux fondations, on trace d’abord le diagramme de corps libre d’une portion de la structure située près de son point d’appui. Ce diagramme indique que cette portion de structure est soumise à quatre forces: les efforts de tension et de compression dans les structures tendues et comprimées (26 720 kN), ainsi qu’un effort de compression (C) et un effort de tension (T) transmis à deux fondations distinctes. Les structures tendues et comprimées sont liées par une bielle en acier (c’est la membrure inclinée). Les forces verticales sont transmises aux appuis par un poteau en acier placé au point de jonction entre l’arche et la bielle et un plaque en acier qui est le prolongement de la plaque qui soutient la structure tendue.
  • 63. 63 En faisant l’équilibre des trois forces qui convergent vers le point a, on trouve que la bielle subit un effort de compression de 33 890 kN (il est donc supérieur, d’environ 25% à la force de compression dans l’arche) et que l’effort d’arrachement (T) transmis aux fondations est égal à 19 620 kN. L’équilibre des forces qui convergent vers le point b indique pour sa part que la force de compression ( C ) t r a n s m i s a u x fondations est égal à 25 230 kN.
  • 64. 64 La géométrie reproduite à la figure de la page précédente est adéquate puisque les polygones de forces sont compacts ce qui témoigne d’une bonne efficacité s t r u c t u r a l e . M a l g r é t o u t , l’architecte a choisi de modifier légèrement la géométrie de la structure en inclinant légèrement le poteau qui unit le point a à la semelle de fondation afin de c o n f é r e r u n e a l l u r e p l u s dynamique à l’ensemble qui se trouve très exposé à la vue des piétons. En faisant l’équilibre statique des forces au point b, on constate que cette modification géométrique augmente d’environ 25% l’effort de compression au point d’appui (32 570 kN vs 25 230 kN) et double presque l’effort dans la bielle (56 080 kN vs 33 890 kN).
  • 65. 65 L’équilibre statique des forces au point a révèle pour sa part que l’effort d’arrachement au sol est aussi presque doublé (29 310 kN vs 19620 kN) et que, pour fermer le polygone de forces, il faut ajouter une réaction d’appui horizontale (R) au sommet de la bielle. Ainsi, la bielle vient se buter sur la passerelle d’accès qui sera comprimée pour acheminer la force R jusqu’à la culée de béton. L’intensité de cette force - 7500 kN selon la figure 3200c - est faible comparativement aux autres forces impliquées (26 720 kN à 56 080 kN).