The discrete element method is an alternate method to the finite element method, and it was used in this case to examine the effects of contact between structural members under different simulation and loading conditions

1. Compte Rendu du TP du Méthode Élément Discrète
(Discrete Element Method)
Ekene Alexander Abanobi
M2 SIM
17 novembre 2019
Surpervisé par Dominique Daudon

2. Table de matières Page 1
Table des matières
1 INTRODUCTION 3
2 CAS UN : Conditions de base 5
3 CAS DEUX : L’effet de l’absence de frottement 8
4 CAS TROIS : L’effet de la Réduction de la Raideur Normale
et Tangentielle 10
5 CAS QUATRE : L’effet de l’augmentation de la Raideur Nor-
male et Tangentielle 12
6 CAS CINQ : L’effet de la Réduction de la Vitesse de la Par-
ticule 1 15
7 CAS SIX : L’effet d’avoir la vitesse pareille pour les deux
particules 16
8 CAS SEPT : L’effet de rotation nulle pour les deux particules 17
9 CAS HUIT : L’effet d’une collision des deux particules de la
même vitesse mais en direction opposée 18
10 CAS DIX : L’effet de l’absence de la gravité 19
11 CAS ONZE : L’effet de rotation de la même amplitude et en
sens opposées des deux particules 20
12 CAS DOUZE : L’effet de la changement de alpha (la position
de rotation) 21
13 CAS TREIZE : Le coefficient de pas de temps trop élevé 23
14 CAS DIX-NEUF : L’effet de la différence de masse des deux
particules 24
15 CAS VINGT : L’effet de la différence des rayons des deux
particules 26
16 CAS VINGT-DEUX - VINGT-CINQ : Étude de la sensibilité
de la coefficient de frottement sur la vitesse 27

3. Table de matières Page 2
17 CONCLUSION 29
Références 30
18 ANNEXE 31

4. INTRODUCTION Page 3
1 INTRODUCTION
Il s’agit d’une étude et des essaies d’un code d’éléments discret écrit avec
le logiciel SCILAB pour simuler la comportement des deux particules qui
interagissent l’un avec l’autre. L’une qui au début est souvent en repos qui
j’appellerai particule 2 et l’autre qui vient dans presque tous les cas avec une
vitesse initiale pour frapper et interagir avec particule 2 qui j’appellerai la
particule 1. Le code est basé sur un schéma explicite. Un petite dessin du
repères du système et pour donner une petite idée vis-à-vis ce qu’est fait dans
ce compte-rendu est sur la figure 1.
Figure 1 – Schéma du système. Source : Fichiers de cours d’éléments discret
donnés par Dominique Daudon [2]
Dans cette étude on voit souvent le mot «overlap» c’est un terme qui
décrit à quelle mesure les deux particules interagisse l’un entre l’autre au
cours de temps pendant l’impacte. Il est calculée comme suite :
δ =
q
((x21 − x11)2 + (x22 − x12)2 + (x23 − x13)2) (1)
Où δ est l’overlap, c’est la distance de contact. Les vecteur x1 et x2 désigne
les positions en 3D des deux particule qui sont en jeu. Toutes les relations
décrite ici sont depuis [1].

5. INTRODUCTION Page 4
La distance entre les centres des deux particules par rapport à l’axe qui
les relie est donnée par Un
Un = r1 + r2 − δ (2)
Où r1 et r2 désigne les rayons des deux particules.
n(n,t) =
x1 − x2
δ
(3)
Où n et t et les axes (ou la vecteur unitaire) normale et tangentielle au plan
de contact.

6. CAS UN Page 5
2 CAS UN : Conditions de base
Les deux particules sont positionnées au début de manière à ce qu’il n’y ait
quasiment pas de temps passé pour atteindre le contact. On a effectivement
neuf sorties graphiques. Un contact est atteint dès lors que la distance entre
les deux centres a change. C’est-à-dire que dès lors que r1 + r2 a diminuée.
Dans le premier on voit le résultant du force du particule impacté. Géné-
ralement on voit que la force suit une courbe «à cloche» ce qui veut montrer
que la force «norm» augment de zéro dans une manière stable et continue.
Elle atteint une valeur max de 50kN dans la moitie de temps de l’impact et
commence à diminuer jusqu’à zéro.
Figure 2 – Cas 1 : Conditions de base
La deuxième courbe montre que la particule «impactant» va principale-
ment à droite de sa position zéro et en même temps légèrement en haut pour
faire le contact avec l’autre particule. Le repère de référence est le repère 2D
qui est centré entre les deux particules à position zéro. Les emplacement des
particules est la distance entre le centre de la particule et le point zéro du
repère. Il faut aussi ajouter que l’étude fait ici c’est une étude 2D donc on
aura principalement pas besoin de l’axe z. Les deux courbes de trajectoires
des particules sont essentiellement opposées l’un à l’autre et ça prouve la loi
de la conservation de la quantité de mouvement de sorte que à chaque instant
celle-ci soit conservée. La troisième courbe montre que la particule qui est

7. CAS UN Page 6
impacté va aussi à droite sur l’effet de la particule impactant mais à ce fois
ci, légèrement en bas de sa position neutre «sa position zéro». La quatrième
courbe montre que l’énergie totale du système de contact de deux particules
reste la même 500 J (ce qui suit bien la loi de conservation de l’énergie to-
tale). On peut dire que dans un système de contact fermé de ce type, il y a
un rapport qu’entre l’énergie élastique et l’énergie cinétique.
Énergie totale = Énergie Élastique + Énergie Cinétique
La cinquième courbe montre la comportement de l’énergie élastique qui
se comporte un peu comme la norm de la force. Ici on voit rapidement que
ça commence de zéro et ça croit dans une manière stable et régulier jusqu’à
un «pic» à environ 250 J et ça commence à décroître. Dans la sixième courbe
qui est pour l’énergie cinétique on voit que l’inverse c’est-à-dire que l’énergie
cinétique totale du système au point zéro était l’énergie totale. Quand le
rapport entre les deux particules qui commence à environ 0.0005s commence,
on voit que l’énergie cinétique commence à diminuer dans une manière stable
et régulier. Donc pour prouver la loi de conservation de l’énergie pour un
système fermé on voit carrément que la sommation de ces deux courbes celle
de l’énergie élastique et l’énergie cinétique et égale à la courbe de l’énergie
totale qui n’est qu’une droite parallèle à l’abscisse. Dès la septième courbe
on commence à voir les interactions. La septième courbe montre l’interaction
entre les deux particules en terme des vitesses. On peut constater que la
vitesse de la première particule est 10m/s et une fois qu’il aie la contact
(0.0005s), la vitesse commence à diminuer à cause de la vitesse de la particule
impacté qui elle même commence à augmenter. Cette échange des vitesse dure
jusqu’à 0.0035s est c’est à peu près la que la vitesse de la particule impactant
devienne zéro et celle de la particule impacté devienne constant à 10m/s ce
qu’indique que l’échange des vitesse était parfait. Mais on se rend compte
que le scénario décrit ne prend en compte les autre effets de dissipation et
l’amortissement qui peut se produire dans la vraie vie qui fera en sorte que
cette échange des vitesse ne soit pas parfait.
Dans la huitième courbe on voit l’interaction en terme de la vitesse an-
gulaire. Donc là avec les vitesses angulaires on voit aussi une échange des
vitesses comme dans la dernière courbe mais pas exactement. On constate
ici que la particule qui impactant vient avec une vitesse angulaire de 10m/s
(vitesse angulaire fois le rayon) et quand l’interaction commence elles com-
mencent à s’échanger de vitesses angulaire d’une manière stable et régulière.
La particule qui est impactée avait vitesse angulaire de zéro mais elle gagne
de vitesse angulaire de l’autre particule. Ce qui est importante et voire dif-
férent dans ce cas des vitesse angulaires c’est que après l’échange, au lieu de

8. CAS UN Page 7
perdre tout sa vitesse comme dans le cas avec la vitesse linéaire, la parti-
cule impactant regagne sa vitesse angulaire de 10m/s alors que la particule
impactée perdre toute sa vitesse angulaire. C’est-à-dire qu’au finale, la par-
ticule impactant continue de pivoter autour d’une position fixe, alors que la
particule impactée continue de bouger sans aucune rotation.
On voit dans la courbe que les deux particules commence à «s’inter-
pénétrer» graduellement. L’overlap est au maximum à mi-chemin d’une va-
leur de 0.01m durant l’impacte c’est qui est consistante dans tout les courbes
«à cloches» qu’on voit ici et ce qui désigne le sommet de l’interaction entre
les deux particules. Après le maximum, les particules commencent à séparer
’évidemment’ et quand ça retombe à zéro c’est que les particules ne sont plus
en contact.

9. CAS DEUX Page 8
3 CAS DEUX : L’effet de l’absence de frotte-
ment
Dans ce cas sur la figure 3, on étudie l’effet de d’une valeur nulle pour
la coefficient de frottement f. On observe que la norm de la force reste pa-
reille comme le cas un. On voit des particularités dans les trajectoires de
particules. On voit que pour la particule impactant descends en y et même
temps augment en x jusqu’au point x égale à peu près -0.083. C’est à c’est
point qu’il y a un dérapage de la particule 1. Cela c’est le preuve de l’absence
de frottement.La particule 1 continue de descendre jusqu’à ce que sa éner-
gie cinétique et épuisée. L’absence de frottement fais que les deux particules
descendent sur l’effet seul de la gravité parce qu’il y a pas de rotation (parce
qu’il y a pas de frottement) pour inverser la motion. On constate aussi que
les particules descends légèrement (de l’ordre de 10−4
m comparé au cas un
où elles ont parcouru une distance de l’ordre 10−3
m. La faible courbature des
deux courbes de trajectoire et par rapport au cas un signifie aussi l’absence
de frottement. Les courbes sont plus lissée quand il y a du frottement parce
que la frottement est une forme d’amortissement qui diminue ’graduellement’
la force de motion.
Figure 3 – Cas 2 : L’effet de l’absence de frottement
L’énergie totale reste le même 500 J (l’énergie du système est conservé)
repartie en énergie élastique et énergie cinétique. La loi de la conservation de

10. CAS DEUX Page 9
quantité de mouvement tient bonne et les vitesse sont échangées sont aucune
perte. Le point important dans ce cas c’est toujours l’absence de la rotation.
Donc il n’y a pas de vitesse de rotation. Les particules interagisse avec un
overlap maximum de 0.01 comme le cas un. Il faut ajouter que interaction
des ces particules n’est pas en fonction du frottement mais en fonction des
propriétés des matériaux c’est l’effet de cette interaction qui peut dépendre
sur le frottement comme la rotation.

11. CAS TROIS Page 10
4 CAS TROIS : L’effet de la Réduction de la
Raideur Normale et Tangentielle
Ici sur la figure 4 on étudie l’effet de la réduction de la raideur ce qui
correspond à l’augmentation du pas de temps critique. La raideur est liée
avec le pas de temps avec ces équations :
Pas de temps critique =
v
u
u
t max (m1, m2)
max (knormale, ktangentielle)
(4)
Pas de temps = coefficientdt · Pas de temps critique (5)
La coefficientdt est une valeur qui assure que la solution soit stable. Cette
coefficient a été choisie comme une pondération pour assurer la convergence.
Un schéma explicite et utilisé dans l’ensemble de cette étude et vu que un
schéma explicite exige un pas de temps assez petit pour assurer la convergence
de la solution
Figure 4 – Cas 3 : L’effet de la Réduction de la Raideur Normale et Tan-
gentielle
Donc, là la limite de stabilité a été dépassée et on voit par la suite des
courbes non-convergeant. Le norm de la force, l’énergie élastique, l’énergie
cinétique et l’overlap ne suivent plus une fonction gausienne, il n’arrive plus

12. CAS TROIS Page 11
à descendre à cause de l’instabilité de la solution et non du système. C’est qui
est intéressant est que ’énergie totale et quand même conservée. La particule
1 fait bouger et pivoter l’autre particule c’est qui se voit dans les traces et
il est aussi vraiment important de noter que cette solution veut dire que les
particules ne se séparent plus : il reste toujours l’une dans l’autre.

13. CAS QUATRE Page 12
5 CAS QUATRE : L’effet de l’augmentation de
la Raideur Normale et Tangentielle
Les raideurs normale et tangentielle ont été augmentées par une factor
de 102
par rapport à leurs valeurs dans le cas de référence (cas 1). Ce qui
correspond effectivement à une changement du matériau des particules en un
autre matériau qui est plus rigide. La force totale Fc sur la particule est la
somme de Fn la force normale et Fs la force tangentielle. Cela fait intervenir
les équations suivantes :
Fn = −kn · Un · n (6)
Où F est la force de la particule 1 sur la particule 2. La force est propor-
tionnelle à la raideur. On voit sur la courbe.
La force tangentielle incrémentale dFs est donnée par :
dFs = ks · dt · Vtan(7)
La condition de glissement est si µ > Fs
Fn
. Si cette condition n’est pas
atteint il n’y aura pas de glissement. Le rapport Fs/Fn
µ
est appelé la coefficient
de glissement Cglism. C’est à dire que il y aura du glissement une fois
Cglism > 1.
Donc, la force tangentielle Fs est donnée par :
Fs =
Fsrotation + dFs
Cglism
(8)
Où Fsrotation est la force tangentielle de rotation. Ça c’est pour voir que
la force tangentielle est inversement proportionnelle à la coefficient de glisse-
ment.
Les vitesse linéaires
On voit sur la courbe de la force dans figure 5 que la norm de la force a
été augmenté par un facteur de 10 par rapport au cas de référence.

14. CAS QUATRE Page 13
Figure 5 – Cas 4 : L’effet de l’augmentation de la Raideur Normale et
Tangentielle
Immédiatement on voit que l’augmentation de la raideur fait beaucoup
diminuer la durée de contact qui est maintenant à peu près 0.0003s. Cette
diminution de durée de contact vient du fait que le pas de temps critique
(équation 4) a été diminué grâce à l’augmentation des raideurs.
La force totale sur la particule 2 par la particule 1 est donnée par :
F1 = m · g + Fc (9)
Où Fc est la force résultante entre les deux particules qui est la somme de la
composante normale et la composante tangentielle. Fc = Fn + Fs. L’on peut
dire que c’est cette interaction Fc qui gouverne la direction de mouvement
des particules par sa signe et son amplitude.
La relation entre Fc et le sens de mouvement des particules est donné par
l’équation ci-dessous :
Pour la particule 1 :
v1 = v1 + dt
m1·g+Fc(10)
Pour la particule 2 :
v2 = v2 + dt
m1
· mg − Fc(11)

15. CAS QUATRE Page 14
Où g est la gravité qui vaut (0, -9.81, 0) et Fc est la force totale sur la
particule.
La particule 1 porte déjà une vitesse initiale de 10m/s. Au début Fc
prend une valeur fortement négative parce que les deux particules entrent
l’un dans l’autre. La signe négative de Fc traduit une vitesse décroissante
pour la particule 1 et croissante pour la particule 2. Ces équations aussi
traduit pour quoi le la particule 1 augment en y et la particule 2 diminue en
y en fonction des valeurs qui sont composantes de Fc.

16. CAS CINQ Page 15
6 CAS CINQ : L’effet de la Réduction de la
Vitesse de la Particule 1
Pour ce cas 5 dans le figure 6 on étudie l’effet de la réduction de la vitesse
de la particule 1. Cette vitesse est maintenant 5 m/s. Déjà on voit que la
particule 1 ne va pas allez trop loin. Il a un max en x autour de 0.091. Le
pic de force est divisé par 2 à 25kN au lieu de 50kN dans le cas de référence.
L’énergie totale du système est maintenant 125J au lieu de 500J dans le cas
de référence ; ce qui traduit une réduction par un facteur 4 parce que l’énergie
est lié avec la vitesse au carrée.
Figure 6 – Cas 5 : L’effet de la Réduction de la Vitesse de la Particule 1
La durée de contact est maintenant 0.003s ce qui a été rétabli comme
celui du cas de référence parce que les raideurs ont repris les même valeurs
comme dans le cas de référence. Les échanges des vitesse linéaire et angulaire
se déroule en conservant la la quantité du mouvement. On voit aussi que la
l’overlap maximum est plus bas 0.005m par rapport à 0.01m dans le cas de
référence ce qui se produise bien entendu à cause de la vitesse initiale plus
basse.

17. CAS SIX Page 16
7 CAS SIX : L’effet d’avoir la vitesse pareille
pour les deux particules
Dans ce cas on essai de comprendre ce qui va se passer si les deux par-
ticules démarrent avec la même vitesse de 5m/s. On voit tout simplement
dans le figure 7 qu’il se passe plus rien en terme d’interaction parce que les
deux particule maintient le même écart entre eux. C’est-à-dire qu’il n’y a pas
d’overlap.
Figure 7 – Cas 6 : L’effet d’avoir la vitesse pareille pour les deux particules
Dans les trajectoires, les particules bougent vers le droite tel qu’est signi-
fiée par l’interaction des leurs vitesse et la résultante de forces Fc. Tant qu’il
n’y a pas de contact. Sur la figure 7 l’on voit que les particules 1 et 2 main-
tient leurs vitesses horizontale de 5m/s pour un petit moment et puis elles
sont dirigée vers le bas que par l’effet de la gravité parce que cette égalité
des vitesse rend nulle les forces des contact Fc et Fn.
L’on voit aussi dans la figure qu’il n’y a pas d’énergie élastique et l’énergie
totale est donnée que par la valeur de l’énergie cinétique du système. La
rotation qui survient par rapport à l’interaction des forces de contact est
nulle aussi pour tout la durée de cette calcul.

18. CAS SEPT Page 17
8 CAS SEPT : L’effet de rotation nulle pour
les deux particules
Dans tous les cas précédents la particule 1 avait une vitesse de rotation
de -10 rad/s. Mais dans ce cas l’on essaie de voir ce qui va se passer si n’y a
pas de rotation initiale pour l’une ou l’autre des particules.
Figure 8 – Cas 7 : L’effet de rotation nulle pour les deux particules
Les particules tend toujours vers le bas parce que le terme mg − Fc
dans l’équation 12 reste négative et plus supérieur à v2. Pour la particule 1
l’on voit qu’il y a un instant que ça chute. Cette chute est quand Fc = 0
qui veut dire que la particule est soumise maintenant qu’a l’effet de gravite
mg. L’énergie totale est toujours conservée dans ses composants : l’énergie
élastique et cinétique. Et l’échange de vitesses reste aussi parfait. Mais dans
la courbe pour les vitesse rotationnelle l’on voit que rien se passe. L’overlap
reste la même comme dans le cas de référence.

19. CAS HUIT Page 18
9 CAS HUIT : L’effet d’une collision des deux
particules de la même vitesse mais en direc-
tion opposée
Figure 9 – Cas 8 : L’effet d’une collision des deux particules de la même
vitesse mais en direction opposée
Le figure 9 montre le système des deux particules mais avec les vitesses
pareilles à 5m/s mais dans le sens opposé l’un à l’autre. Dans les courbes on
voit que l’énergie totale est conservée. Elle détient une valeur max de 50kN
comme le cas de référence même quand la vitesse de la particule un a été
divisé par 2. C’est ainsi parce que l’énergie totale est la contribution des deux
vitesses. Les particules commencent d’abord dans le sens opposé l’un à l’autre
et puis elles se misent en contact. Au point maximum du contact les vitesse
des deux particules devient zéro et à ce même moment du overlap / contact
maximum, l’énergie cinétique du système vaut aussi zéro bien entendu. Le
système est maintenant sans énergie cinétique mais il détient quand même
une énergie élastique et quand les particules commencent à s’écarter l’un
de l’autre à cause des valeurs que portent les forces normale et tangentielle
qui eux mêmes dépendent de la mesure du contact, le système commence à
perdre de l’énergie élastique et gagner en revanche de l’énergie cinétique de
telle sorte que l’énergie totale du système soit toujours conservée.

20. CAS DIX Page 19
10 CAS DIX : L’effet de l’absence de la gravité
Dans un premier temps, le premier effet qu’aura l’absence de la gravité
sur le système est que ça permettra à la particule qui tourne de telle sorte
que sa vitesse tangentielle soit orientée vers le haut de aller plus en haut.
C’est ça ce que montre la figure 10. On voit que la particule 1 atteint une
hauteur max d’un peu près 810−4
m ce qui est la hauteur de la particule 1 la
plus élevée dans tous les cas où α la position de rotation vaut zéro.
Figure 10 – Cas 10 : L’effet de l’absence de la gravité
De la même façon, suite à l’équation 12, l’absence de la gravité couplée
avec une force résultante Fc qui est négative baissent la vitesse verticale de
la particule 2. La gravité agit que sur l’axe verticale. Donc, on voit que la la
particule 2 n’a pu descendre que de 810−4
ce qui est la plus basse distance
vertical parcouru par la particule 2 dans tous les cas où α la position de
rotation vaut zéro.

21. CAS ONZE Page 20
11 CAS ONZE : L’effet de rotation de la même
amplitude et en sens opposées des deux par-
ticules
Dans ce cas on voit l’effet d’avoir une rotation de la même amplitude et
en sens opposées des deux particules sur la figure 11. Tous les rotation se
font à l’axe z. La particule 1 est avec une vitesse de rotation de -10rad/s
et la particule 2 avec une vitesse de rotation autour de l’axe z de 10rad/s
mais au début ça tourne autour d’une position fixe. Les deux particules ont
été incapables d’échanger de vitesse parce qu’elles ont la même amplitude de
vitesse angulaire.
Figure 11 – Cas 11 : L’effet de rotation de la même amplitude et en sens
opposées des deux particules
Dans ce cas, la torque des deux particules sont égales à chaque itération.
Ce qui fait que la norm des vitesse rotationelles reste la même donc la courbe
des vitesse rotationelles est une droite horizontale à 10 rad/s. L’énergie du
système reste conservée. On voit réapparaître la chute de la particule 1 qui
comme le cas sept est due au fait que la force résultant du contact Fc = 0 et la
particule tombe que sur l’effet de la gravité et tant que les deux particules ne
sont plus en contact, la particule 2 bouge avec l’énergie cinétique du système
avec une vitesse de 10m/s.

22. CAS DOUZE Page 21
12 CAS DOUZE : L’effet de la changement de
alpha (la position de rotation)
Dans ce cas vu sur la figure 12 on voit l’effet d’une configuration différente
de la vitesse initiale. Dans tous les autres cas la vitesse initiale n’avait pas de
composante en y. La vitesse initiale par ailleurs et composée comme suite :
v = [vinitiale cos α, vinitiale sin α, 0] (12)
Dans tous les autres cas α a toujours été zéro, c’est-à-dire que le mouve-
ment initial de la particule 1 était orientée qu’à l’axe x. Maintenant on veut
voir ce qui va se passer si la vitesse de départ est orientée un peu obliquement
avec α = 45 dégrées.
Figure 12 – Cas 12 : L’effet de la changement de alpha (la position de
rotation)
Dans un premier temps on dans le figure 12 on voit pas mal d’irrégulari-
tés : dans la courbe de la force de la particule 1, la courbe de l’énergie totale
et celle des énergies élastique et cinétique. On constate aussi que l’inclusion
de cette angle alpha faire comporter les deux particules dans une façon plus
ou moins similaire ce que se voit dans les courbes pour la vitesse linéaires et
angulaires. Une chose qui est aussi intéressante c’est que après le contact les
deux particules bougent avec des vitesses constantes. L’énergie totale n’est

23. CAS DOUZE Page 22
pas conserve mais elle a été quand-même réduite. Ce qui est plus intéressante
est la valeur maximum des vitesse en rotation qui sont à peu près 60 rad/s et
40 rad/s pour les particules 1 et 2 respectivement. Donc, ce cas correspond
à la maximisation de la rotation. On voit aussi que l’overlap est assez faible
à 0.005m parce que les fortes rotations limitent le mesure de à ce que les
particules entre l’un dans l’autre.

24. CAS TREIZE Page 23
13 CAS TREIZE : Le coefficient de pas de temps
trop élevé
Dans ce cas dans figure 13, le pas de temps est élevé. On se rappel que pour
qu’un schéma explicite soit stable il exige un pas de temps assez petit et c’est
ce coefficient qui l’assure. Donc, on se retrouve avec un système déstabilise
et instable parce que le pas de temps était trop grande pour prend compte
des phénomènes qui se passent dans un durée inférieur à celui-ci. On trouve
qu’il n’y a pas de convergence et le système est instable.
Figure 13 – Cas 13 : Le coefficient de pas de temps trop élevé

25. CAS DIX-NEUF Page 24
14 CAS DIX-NEUF : L’effet de la différence de
masse des deux particules
Dans ce cas présenté en figure 14 on voir l’effet d’avoir deux particules de
masses différentes. La particule 1 a une masse de 5kg et la particule 2 a une
masse de 10kg. On voit quelque chose de bien particulière que la particule 1
était envoyée à l’inverse à cause de sa faible masse ce qui vérifie que la loi
de conservation de quantité de mouvement et la loi de Newton sur le calcul
des vitesses tiennent bon et les deux particules continuent à bouger ce qui
est contraire aux cas précédents ou la particule 1 cesse de bouger juste après
le contact.
Cette loi de Newton s’écrit comme la suite :
m · (m · g + Fc) = γFc (13)
Où γFc est l’accélération due à Fc.
Dans l’échange des vitesse on voit que les vitesse ne sont pas complète-
ment échangées et la particule 1 s’en va après le contact avec une vitesse
quand-même de 2.5m/s. L’overlap max est atteinte un peu plus rapidement
à 0.0015s au lieu de 0.002s.
Figure 14 – Cas 19 : L’effet de la différence de masse des deux particules
On se rend compte aussi que dans cette cas due à la masse inférieure de la

26. CAS DIX-NEUF Page 25
particule 1, en position maximum de contact, sa vitesse rotationelle est zéro.
C’est vitesse rotationelle est liée avec la torque par la relation ci-dessous :
ω+ = M·5·dt
2·m·r2 (14)
avec ω la contribution des vitesse angulaire à chaque itération, M c’est la
torque, m c’est la masse des particules, dt c’est le pas de temps, et r c’est le
rayon de la particule.
M = xc − x ∧ Fs(15)
Où M est la torque, xc la position de point de contact, x est la position
de la particule et Fs est la force tangentielle.
La force tangentielle est aussi lié à énergie élastique avec la relation ci-
dessous :
Eetotale =
1
2
· Kn · U2
n +
1
2
· Fs
2
norm · Ks (16)
Où Eetotale est l’énergie élastique totale, Kn est la raideur normale, Un
est l’overlap, Fsnorm est la norm de la force tangentielle et Ks est la raideur
tangentielle.
Donc, on voit d’où la particule 1 reprends sa vitesse et c’est de l’énergie
élastique du système.

27. CAS VINGT Page 26
15 CAS VINGT : L’effet de la différence des
rayons des deux particules
Dans ce cas figurant dans figure 15, on voit l’effet d’avoir deux particules
des rayons différentes. La différence des rayons tout d’abord traduit à une
différence des torques. La particule 1 a un rayon de 0.2m et 0.1m pour la
particule 2. C’est-à-dire que la particule aura un peu plus de torque mais
moins de vitesse. réf : équation 14.
Figure 15 – Cas 20 : L’effet de la différence des rayons des deux particules
La particule 2 a une vitesse de rotation de beaucoup plus élevée dans
au moment du contact maximum grâce à son rayon plus petit. Ce qui vient
de l’équation 14. L’énergie totale du système en ses composants élastique et
cinétique est conservée parce que la masse est la même et les vitesse linéaires
reste on été parfaitement échangées.

28. CAS VINGT-DEUX - VINGT-CINQ Page 27
16 CAS VINGT-DEUX - VINGT-CINQ : Étude
de la sensibilité de la coefficient de frotte-
ment sur la vitesse
Dans ces cas 22 - 25 on essaie de voir le marge de stabilité des vitesse par
rapport à la coefficient de frottement. On varie cette coefficient de 0.8832793
à 1.1167207. On constate quand-même qu’au fur et à mesure qu’on varie cette
coefficient tant qu’on reste dans cette marge les vitesse seront toujours stable.
Le glissement et l’instabilité commence une fois que le rapport entre la force
tangentielle et la force normale dépasse cette marge. On voit les courbes des
cas 22 et 23 dans les figures 16 et 17. Les figures correspondantes aux cas 24
et 25 sont attachées dans l’annexe.
Figure 16 – Cas 22 : Étude de la sensibilité de la coefficient de frottement
sur la vitesse

29. CAS VINGT-DEUX - VINGT-CINQ Page 28
Figure 17 – Cas 23 : Étude de la sensibilité de la coefficient de frottement
sur la vitesse

30. CONCLUSION Page 29
17 CONCLUSION
On avait vu l’interaction des deux particules avec la méthode d’éléments
discret donnée par un code SCILAB. On avait essayé le code avec de différents
paramètres et on va vu la correspondance de ce qui fait le code avec ce qui
est obtenu dans la vraie vie dans les interactions gouvernées par des lois
physiques les deux particules. Les résultats de ces essaie peut être vraiment
utile dans le jeu de billards qui est totalement basé sur cette phénomènes
des contacts avec un tas de billes sur un table qui a sa propre coefficient de
frottement à lui et à partir des données de la raideur tangentielle et normale
des billes on peut se servir de ce code pour simuler même d’autres cas qui ne
sont pas dans les cas à traiter pour le sujet de ce compte-rendu.

31. Références Page 30
Références
[1] Daudon. D. Code scilab : two particles impact. PhITEM, Université
Grenoble Alpes, 2019.
[2] Daudon. D. Fichiers de cours m2-sim. PhITEM, Université Grenoble
Alpes, 2019.

32. ANNEXE Page 31
18 ANNEXE
Figure 18 – Cas 24 : Étude de la sensibilité de la coefficient de frottement
sur la vitesse

33. ANNEXE Page 32
Figure 19 – Cas 25 : Étude de la sensibilité de la coefficient de frottement
sur la vitesse