exercice corrigé math matrix matrix tridiagonal determinant

1. Université TAHRI Mohamed Bechar
1ére Année Licence tronc commun de technologie
Module MATH02 Année Universitaire 2016/2017
Mr MERABTI Soufiane
Mr Soufiane Merabti TD N° 2
Solution exercice 2, TD N° 1
Soit le déterminant suivant
5 3 0 . . 0
2 5 3 .
0 2 5 . .
. . . . .
. . . 3
0 . . . 2 5
n
Montrer que :
Solution :
5 3 0 . . 0
2 5 3 .
0 2 5 . .
. . . . .
. . . 3
0 . . . 2 5
=
( ) 0 . . 0
( ) .
0 ( ) . .
de sorte que 2 3.
. . . . .
. . .
0 . . . ( )
a b b
a a b b
a a b
a et b
b
a a b



 

( ) (0) 0 (0)
. . ( )
( ) . . . . .
. . . .
(0) ( ) (0) ( )
a b b b
a a a b
a b a
b
a a b a a b


 
 
( ) (0)
( ) (0)
. .
. .
( ) . . .
. .
. .
(0) ( )
(0) ( )
a b b
a b b
a
a
a b a b
b
b
a a b
a a b


  



2. Université TAHRI Mohamed Bechar
1ére Année Licence tronc commun de technologie
Module MATH02 Année Universitaire 2016/2017
Mr MERABTI Soufiane
Mr Soufiane Merabti TD N° 2
Par développement d’un déterminant tridiagonal, ( )
La suite est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
( ) de racines a et b.
Preuve : ( )
Définition : l’équation s’appelle équation caractéristique.
Expression en fonction de n
Soit ∆ le discriminant de l’équation caractéristique . deux cas sont à distinguer :
1. ∆ > 0. L’équation caractéristique possède dans ce cas deux solutions réelles distinctes r1 et r2
et dans ce cas u appartient à U si et seulement s’il existe (λ, µ) tel que :
2. ∆ = 0. L’équation caractéristique possède une solution double notée r. Dans ce cas u appartient
à U si et seulement s’il existe (λ, µ) tel que :
( )
Si a alors on peut écrire et compte tenu des valeurs initiales,
on obtient