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eivd                                               Cours MATLAB




       ´cole d’ing´nieurs du canton de Vaud (eivd )
       e           e
       D´partement d’´lectricit´ et d’informatique
          e            e        e
        institut d’Automatisation industrielle (iAi)




              Introduction au logiciel
                    MATLAB




                      in s t i t u t d '
                      Automatisation
                      in d u s t r i e l l e
         Michel ETIQUE, mars 2002, Yverdon-les-Bains




version 1.2                          1         mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                       Cours MATLAB


Table des mati`res
              e
1 Introduction                                                                                          4

2 M´thode de travail
     e                                                                                                  7
  2.1 Edition et sauvegarde des fichiers MATLAB . . . . . . . . . . . .                             .    7
       2.1.1 Editeur PFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           .    7
  2.2 Aide en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                        .    7
  2.3 Cr´ation de fichiers de commandes et de fonctions utilisateur . .
          e                                                                                        .    8
       2.3.1 Fichiers de commande (”script files”) . . . . . . . . . . .                            .    8
       2.3.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         .    8
  2.4 Sauvegarde de donn´es sur disque . . . . . . . . . . . . . . . . .
                          e                                                                        .    9
       2.4.1 R´pertoires de sauvegarde : D :USERS et compte EINET
               e                                                                                   .   10

3 Les bases de MATLAB                                                                                  11
  3.1 Cr´ation et calcul de vecteurs et matrices . . .
         e                                                .   .   .    .   .   .   .   .   .   .   .   11
      3.1.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .    .   .   .   .   .   .   .   .   11
      3.1.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .    .   .   .   .   .   .   .   .   11
      3.1.3 Construction de matrices particuli`res
                                                e         .   .   .    .   .   .   .   .   .   .   .   13
      3.1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . .       .   .   .    .   .   .   .   .   .   .   .   14
  3.2 Op´rations sur les tableaux . . . . . . . . . .
          e                                               .   .   .    .   .   .   .   .   .   .   .   14
  3.3 Repr´sentation graphique 2D . . . . . . . . .
            e                                             .   .   .    .   .   .   .   .   .   .   .   15
      3.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .    .   .   .   .   .   .   .   .   16

4 Analyse de syst`mes dynamiques lin´aires ` l’aide de la boˆ `
                   e                         e       a                    ıte a
  outils control systems                                                                               17
  4.1 Introduction de fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . .                           17
       4.1.1 Introduction sous forme polynˆmiale . . . . . . . . . . . .
                                              o                                                        17
       4.1.2 Introduction sous forme de z´ros, pˆles et gain (”forme
                                              e       o
              d’Evans”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                          18
  4.2 Introduction de mod`les d’´tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                            e     e                                                                    19
  4.3 Passage d’un mod`le ` l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                        e a                                                                            19
  4.4 Construction de sch´mas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . .
                          e                                                                            20
       4.4.1 Fonctions series, cloop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           20
       4.4.2 Fonction feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           22
  4.5 Calcul et trac´ de r´ponses de syst`mes dynamiques lin´aires . . .
                    e     e                e                      e                                    24
       4.5.1 R´ponse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                e                                                                                      24
       4.5.2 R´ponse fr´quentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                e       e                                                                              28
  4.6 Analyse des propri´t´s des syst`mes . . . . . . . . . . . . . . . . .
                         ee            e                                                               28
  4.7 Calcul affichage des marges de gain et de phase . . . . . . . . . .                                28
  4.8 Trac´ du lieu d’Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
            e                                                                                          29
  4.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         29



version 1.2                             2                             mee matlab.tex19 mars 2002
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5 Les structures de contrˆle du ”langage” MATLAB
                         o                                                           30

6 Simulation de syst`mes dynamiques lin´aires et non-lin´aires
                       e                           e                    e
  avec la boˆ ` outils Simulink
            ıte a                                                                    31
  6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       31
  6.2 Exemple introductif : simulation d’un syst`me dynamique lin´aire
                                                   e                    e            33
      6.2.1 Mod´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                  e                                                                  34
      6.2.2 Construction du sch´ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                   e                                                 34
      6.2.3 Initialisation des param`tres . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                       e                                             39
      6.2.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         40
      6.2.5 Sauvegarde des signaux puis traitement dans l’espace de
             travail MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          43
      6.2.6 Lancement de la simulation ` partir de MATLAB . . . . .
                                            a                                        46
  6.3 La biblioth`que standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                 e                                                                   47
      6.3.1 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          47
      6.3.2 Sinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        48
      6.3.3 Discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         50
      6.3.4 Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         51
      6.3.5 Nonlinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          52
      6.3.6 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          54
  6.4 Les S-functions de Simulink (version provisoire) . . . . . . . . . .           55
      6.4.1 Conventions d’appel des S-functions . . . . . . . . . . . . .            55
      6.4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          56
      6.4.3 Autres fonctionnalit´s de Simulink . . . . . . . . . . . . . .
                                   e                                                 56




version 1.2                             3                    mee matlab.tex19 mars 2002
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1      Introduction
    Le pr´sent document a pour but de fournir les bases n´cessaires ` l’utilisation
          e                                                e          a
du logiciel MATLAB, dans le cadre des cours, des exercices et du laboratoire de
r´gulation automatique, pour lequel les boˆ ` outils Control System et Simulink
  e                                        ıtes a
sont employ´es. Il ne pr´sente donc ce logiciel que sous l’angle de son utilisation
               e         e
en r´gulation automatique.
     e
    Le logiciel MATLAB (MATrix LABoratory) est sp´cialis´ dans le domaine du
                                                       e      e
calcul matriciel num´rique. Tous les objets d´finis dans MATLAB le sont donc
                      e                          e
au moyen de vecteurs et de matrices/tableaux de nombres. Un ensemble impor-
tant d’op´rateurs et de fonctions MATLAB de base facilitent leur manipulation
           e
et des op´rations comme par exemple le produit et l’inversion matricielles (inv),
           e
la transposition (’) ou encore le calcul des valeurs propres (eig) font partie de
la biblioth`que standard. D’autres fonctions servant ` la cr´ation et ` la mani-
             e                                         a       e        a
pulation de matrices et de tableaux (diag, fliplr, flipud, rot90, rand, ones, zeros,
linspace, logspace) sont ´galement disponibles en nombre.
                         e
    L’environnement MATLAB se pr´sente sous la forme d’un espace de travail
                                      e
(Workspace), o` un interpr´teur de commandes ex´cute des op´rations et fonc-
                 u           e                       e            e
tions MATLAB. Les sources de celles-ci sont disponibles, ´crites en “ langage ”
                                                             e
MATLAB, voire en C ou en Fortran. L’utilisateur peut ` sa guise les modifier,
                                                           a
mais en s’en inspirant, il peut surtout cr´er et rajouter ses propres fonctions.
                                          e




    MATLAB offre ´galement plusieurs fonctions destin´es ` la r´solution (num´rique)
                    e                                      e a      e              e
d’´quations diff´rentielles lin´aires ou non-lin´aires par la m´thode de Runge -
  e               e              e                e                 e
Kutta (ode23 et ode45), l’int´gration num´rique (trapz, quad et quad8), la re-
                                  e             e
cherche des solutions d’´quations alg´briques (roots) ou transcendantes (fzero),
                           e              e
la cr´ation et manipulation de polynˆmes (poly, polyder, polyval, conv, deconv),
     e                                    o
la transform´e de Fourier rapide (fft, fft2, ifft).
              e
    Des fonctions propres au traitement de donn´es (exp´rimentales, telles que
                                                       e        e
celles obtenues au laboratoire), comme min, max, mean, cumsum, sort, std, diff,
ainsi que celles relatives ` l’interpolation (polyfit, interp1) sont autant d’outils tr`s
                           a                                                          e
pratiques pour l’ing´nieur analysant un probl`me pratique ou th´orique.
                      e                           e                    e


version 1.2                              4                      mee matlab.tex19 mars 2002
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     L’interface graphique de MATLAB est sans conteste l’un des points forts du
logiciel et facilite le trac´ de courbes et l’obtention de graphiques 2D ou 3D de
                             e
grande qualit´ (plot, stairs, stem, hist, mesh, surf, plot3). Le module Handle Gra-
                e
phics offre la possibilit´ de contrˆler int´gralement cette interface, permettant
                           e             o         e
ainsi ` l’utilisateur de mettre en forme tous ´l´ments d’un graphique, de cr´er ses
       a                                              ee                         e
propres menus (uimenu) ainsi que des objets graphiques tels que sliders (ascen-
seurs), boutons, menu surgissants (uicontrol) avec une facilit´ d´concertante.
                                                                      e e
     Le ”langage” MATLAB contient un minimum de structures de programma-
tion (structure it´rative, structure conditionnelle, sous-routine) mais reste tr`s
                      e                                                              e
rudimentaire. L’avantage est qu’il est tr`s simple et tr`s rapide ` programmer,
                                                  e               e        a
offrant une grande tol´rance (syntaxe simple, pas de d´finition de types, etc), ce
                         e                                      e
qui permet un gain appr´ciable en temps de mise au point. L’ing´nieur peut par ce
                           e                                            e
moyen ˆtre plus efficace dans l’analyse d’un probl`me, en concentrant ses efforts
         e                                                 e
sur celui-ci et non pas sur l’outil servant ` le r´soudre. En revanche, MATLAB ne
                                                  a      e
convient pas ` la programmation d’applications d’une certaine ampleur. Dans ce
                a
dernier cas, il est possible, sous certaines conditions, de programmer l’application
en C et de l’ex´cuter ` partir l’espace de travail MATLAB.
                  e      a
     Au logiciel de base s’ajoutent, selon la configuration choisie, les fonctions
provenant d’une s´rie de boˆ ` outils (toolbox ) d´di´s ` des domaines techniques
                      e         ıtes a                     e e a
sp´cifiques, comme
   e
     – le traitement de signal (signal processing toolbox ),
     – la r´gulation automatique (control system toolbox ),
            e
     – l’identification (system identification toolbox ),
     – les r´seaux de neurones (neural networks toolbox ),
             e
     – la logique floue (fuzzy logic toolbox ),
     – le calcul symbolique (symbolic math toolbox),
et bien d’autres encore. Ces boˆ       ıtes ` outils sont simplement constitu´es d’un
                                              a                               e
ensemble de fonctions sp´cialis´es programm´es ` partir des fonctions de base de
                             e      e                  e a
MATLAB, permettant par exemple la synth`se de filtres, le calcul de FFTs, la
                                                       e
simulation d’algorithmes flous ou encore le calcul de r´ponses harmoniques.
                                                                e
     Simulink n’est rien d’autre qu’une boˆ ` outils de MATLAB permettant au
                                                   ıte a
moyen d’une interface graphique ´volu´e la construction rapide et ais´e ainsi
                                          e      e                             e
que la simulation de sch´mas fonctionnels complexes, contenant des syst`mes
                              e                                                    e
lin´aires, non lin´aires voire non-stationnaires, y compris des op´rateurs logiques,
   e                e                                                   e
des outils math´matiques d’analyse, etc.
                   e
     Dans le cadre de la r´gulation automatique, MATLAB constitue avant tout un
                           e
tr`s puissant outil d’analyse des syst`mes dynamiques lin´aires, dont on peut tr`s
  e                                         e                       e                e
facilement obtenir les propri´t´s, comme les pˆles et z´ros (tf2zp, roots) ou le gain
                                 ee                     o     e
statique (dcgain, ddcgain) et tracer les r´ponses de tous types, la r´ponse impul-
                                                 e                          e
sionnelle (impulse), indicielle (step), ` un signal quelconque (lsim), ou harmonique
                                           a
(bode, nyquist). MATLAB se prˆte aussi bien ` l’analyse des syst`mes analogiques
                                    e                  a                 e
ou num´riques (step et dstep, impulse et dimpulse, bode et dbode, lsim et dlsim),
          e
sans qu’il soit cependant possible d’´tudier des syst`mes mixtes analogiques-
                                               e                e

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num´riques. Diff´rentes commandes permettent de construire et d’analyser des
      e           e
syst`mes lin´aires de structure complexe, form´s de multiples blocs connect´s
     e        e                                   e                               e
tantˆt en s´rie, parall`le ou ´tant contre-r´actionn´s (series, cloop, feedback, pa-
     o      e           e      e            e        e
rallel, append, connect, blkbuild).
    Pour le traitement ais´ de syst`mes non-lin´aires, de mˆme que pour la construc-
                           e        e          e           e
tion de sch´mas fonctionnels complexes, on aura ` l’´vidence int´rˆt ` utiliser la
            e                                       a e              ee a
boˆ ` outils Simulink, qui constitue alors un outil id´al.
   ıte a                                                 e
    Incontestablement, MATLAB est un formidable outil pour l’ing´nieur, y com-
                                                                      e
pris pour celui traitant des probl`mes pratiques. Avec sa boˆ ` outils Simulink,
                                    e                          ıte a
il est maintenant une r´f´rence au niveau mondial, non seulement dans les uni-
                          ee
versit´s et instituts de recherche, mais aussi dans le milieu industriel.
        e
    MATLAB est disponible pour plusieurs plateformes (Windows, Macintosh,
Unix, Linux). Les coordonn´es du fournisseur pour la Suisse ci-dessous.
                              e

       The MathWorks GmbH
       Sch¨rmattstrasse 6+8
          u
       3073 G¨mligen
              u
       T´l´phone
        ee                         (031) 954.20.16
       T´l´fax
        ee                         (031) 954.20.22
       Services Internet           http://www.mathworks.com
                                   http://www.mathworks.ch
                                   ftp.mathworks.com
                                   http://www.scientific.de
       Autres liens :              http://www.sysquake.com
                                   http://www-rocq.inria.fr/scilab/




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2       M´thode de travail
         e
2.1     Edition et sauvegarde des fichiers MATLAB
2.1.1    Editeur PFE
    Dans un premier temps, on peut se contenter d’introduire ses commandes
une ` une au niveau de l’espace de travail o` elles sont interpr´t´es directement.
     a                                      u                   ee
Cependant, par la suite, il est beaucoup plus pratique d’´crire sa s´quence de
                                                             e          e
commandes compl`te au moyen d’un ´diteur, puis de sauver le tout dans un
                    e                  e
fichier avec l’extension .M. Cette s´quence pourra alors ˆtre ex´cut´e dans MAT-
                                   e                     e      e e
LAB par simple introduction du nom du fichier. Sur les stations du laboratoire
d’Automatique (salle C05), ”l’´diteur pour programmeur PFE” est install´ et
                                e                                             e
son utilisation est recommand´e. On l’appelle soit par son icˆne ` partir du ges-
                              e                                o a
tionnaire de programmes, soit directement ` partir de MATLAB en s´lectionnant
                                           a                          e
File-New-M-file.




   De cette fa¸on, l’utilisateur peut rajouter ses propres fonctions et se cr´er
               c                                                                e
rapidement et facilement toute une panoplie d’outils (par exemple, ”synth`se    e
automatique d’un r´gulateur PID par la m´thode de Bode”). Les sources de
                     e                         e
MATLAB ´tant disponibles pour la plupart, ce n’est pas un probl`me que de
           e                                                           e
modifier ` sa guise l’une ou l’autre des routines, par exemple dans de but d’obtenir
         a
un trac´ particulier du lieu de Bode.
       e

2.2     Aide en ligne
   En plus de l’aide de Windows, une aide en ligne est disponible pour chaque
commande de MATLAB. Il suffit d’introduire :

version 1.2                             7                     mee matlab.tex19 mars 2002
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help nom de commande


2.3     Cr´ation de fichiers de commandes et de fonctions
           e
        utilisateur
2.3.1   Fichiers de commande (”script files”)
   Un fichier de commande (script file) est un fichier ASCII d’extension .M conte-
nant une suite de commandes MATLAB. Il ˆtre ex´cut´ directement en tapant
                                            e      e e
simplement son nom dans l’espace de travail MATLAB.

2.3.2   Fonctions
   De nouvelles fonctions peuvent ˆtre ajout´es ` MATLAB par l’utilisateur. Il
                                  e         e a
suffit de cr´er un fichier de nom
          e

                                nom de fonction.M

contenant les commandes ` ex´cuter et dont l’entˆte a le format :
                        a e                     e

   function [liste des arguments de sortie] = nom de fonction(liste des arguments
                                      d’entr´e)
                                             e

Exemple La fonction suivante convertit la grandeur d’entr´e x en d´bibels et
                                                         e        e
la retourne dans y.

function [ y ] = l i n 2 d b ( x )
y = 20∗ log10 ( x ) ;
   Le fichier correspondant est sauv´ sous le nom lin2db.m, dans un r´pertoire
                                      e                                e
figurant dans le chemin de recherche de MATLAB.
   Contrairement aux fichiers de commande, les variables intervenant dans les
fonctions sont locales.
   Les commentaires documentant les fonctions peuvent ˆtre ins´r´s en les faisant
                                                         e       ee
pr´c´der du symbole %.
  e e
   D´tail pratique int´ressant, les premi`res lignes d’un fichier
     e                  e                e

                                 nom de fichier.m

pr´c´d´es du symbole % sont affich´es lorsque l’on tape :
  e e e                         e

                                help nom de fichier


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    Ceci permet de fournir une aide en ligne pour chaque fonction utilisateur
nouvellement cr´´e. Pour la fonction lin2db, on documentera par exemple comme
               ee
suit :

function [ y ] = l i n 2 d b ( x )
%f u n c t i o n [ y ] = l i n 2 d b ( x )
%c o n v e r s i o n en dB
y = 20∗ log10 ( x ) ;
       En tapant help lin2db, on obtiendra alors :




2.4       Sauvegarde de donn´es sur disque
                            e
   Les variables d´finies dans l’espace de travail MATLAB peuvent ˆtre sauve-
                  e                                              e
gard´es dans des fichiers ASCII par la commande :
    e

save cheminnom_de_fichier.dat nom_de_variable -ascii

    Un tel fichier ASCII peut ˆtre ult´rieurement relu soit par MATLAB (fonction
                              e      e
load) soit par d’autres programmes (Excel, Word, etc). Dans le premier cas, il
est cependant conseill´ de sauver directement la variable dans un fichier binaire
                      e
*.MAT de format sp´cifique ` MATLAB :
                    e        a

save cheminnom_de_fichier nom_de_variable

La fenˆtre graphique peut ˆtre soit imprim´e directement, soit sauv´e dans un
       e                    e                e                         e
fichier, lequel peut ˆtre int´gr´ dans un document (menu importation d’image)
                    e       e e
ou imprim´ ult´rieurement. Signalons, parmi les diff´rents formats de fichiers dis-
           e e                                       e
ponibles, le format PostScript qui fournit une qualit´ irr´prochable. Par exemple,
                                                     e e
le sauvetage de la fenˆtre graphique courante s’effectue par :
                      e

print chemin nom_de_fichier.eps -deps

pour le format PostScript et par


version 1.2                                  9                mee matlab.tex19 mars 2002
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print chemin nom_de_fichier.wmf -dmeta

pour le format Windows Meta File. Auparavant, il faut prendre garde ` ce que la
                                                                      a
fenˆtre graphique courante soit bien celle que l’on souhaite imprimer en tapant
   e

figure ( n u m e r o d e l a f e n e t r e a i m p r i m e r )


Attention : la commande print est tr`s rudimentaire et ne donne aucun message
                                        e
en cas d’´chec ou si le fichier existe d´j` !
         e                             ea
   La copie de la fenˆtre graphique est ´galement possible par l’interm´diaire
                       e                     e                         e
du clipboard, ce qui permet par exemple de sauver la fenˆtre dans WordPerfect,
                                                        e
Word ou PowerPoint (choisir le format WMF plutˆt que le bitmap).
                                                o

2.4.1    R´pertoires de sauvegarde : D :USERS et compte EINET
          e
    Il faut indiquer le chemin correspondant ` l’endroit o` MATLAB trouvera
                                                 a            u
le fichier de commande ou la fonction ´crite par l’utilisateur. Dans le cas de la
                                         e
version MATLAB install´e sur le r´seau du laboratoire d’Automatique de l’eivd,
                          e         e
il suffit ` l’utilisateur de sauver ses propres fonctions dans le r´pertoire :
         a                                                       e

                                        D :USERS

qui est dans le chemin de recherche de MATLAB. Le disque D : est local et
les donn´es qui s’y trouvent peuvent donc ˆtre modifi´es voire carr´ment dis-
          e                                  e          e            e
paraˆıtre d’un cours ` l’autre. A la fin de sa session de travail, on aura donc
                     a
int´rˆt ` sauvegarder ses fichiers sur disquette ou son compte EINET. Le docu-
   ee a
ment s:regulationdiversconnection_EINET.doc explique la mani`re de se
                                                                       e
connecter son disque EINET ` partir du domaine iAi.
                             a




version 1.2                                  10                  mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                               Cours MATLAB


3        Les bases de MATLAB
3.1       Cr´ation et calcul de vecteurs et matrices
            e
3.1.1      Vecteurs
       Un vecteur-ligne est introduit de la fa¸on suivante :
                                              c

v =[5,2,13,4]
Le vecteur v s’affiche alors ` l’´cran :
                           a e

v=
5 2 13 4
Si l’introduction est termin´e par un point-virgule, on ´vite l’affichage du vecteur
                            e                           e
v. Un vecteur-colonne peut ˆtre introduit en rempla¸ant les virgules par des
                               e                         c
points-virgules ou des retours de chariot. L’acc`s aux composantes d’un vecteur
                                                e
s’effectue directement par des commandes du genre :

v (3)
ce qui donne ` l’´cran :
             a e

ans =
13
Si comme dans le cas pr´sent, v(3) n’est pas affect´ ` une variable, par une
                          e                            e a
commande de la forme x=v(3) , MATLAB copie d’office le r´sultat dans la variable
                                                           e
syst`me ans (answer ), alors disponible pour le calcul suivant.
    e

Remarque Dans MATLAB, les indices des vecteurs et matrices doivent ˆtre dese
entiers positifs. L’indice z´ro n’est donc pas plus admis que les indices n´gatifs.
                            e                                              e

3.1.2      Matrices
       Une matrice peut ˆtre construite de diff´rentes mani`res :
                        e                     e           e

m= [ 5 , 2 , 1 3 , 4 ; 6 , 8 , 3 , 1 0 ; 0 , 1 , 2 0 , 9 ]
et l’affichage devient :

m=
5 2 13 4
6 8 3 10

version 1.2                                            11      mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                             Cours MATLAB


0 1 20 9
ou encore, ayant d´fini pr´alablement les vecteurs-ligne v1, v2 et v3 :
                  e      e

v1 = [ 5 , 2 , 1 3 , 4 ] ;
v2 = [ 6 , 8 , 3 , 1 0 ] ;
v3 = [ 0 , 1 , 2 0 , 9 ] ;
m=[ v1 ; v2 ; v3 ]
L’acc`s ` un ´l´ment de la matrice s’effectue par :
     e a     ee

m( 2 , 4 )
et l’on obtient :

ans =
10
Le remplacement de 2 par : (deux points) permet d’obtenir toute la colonne 4 :

m( : , 4 )
et l’´cran affiche le vecteur-colonne :
     e

ans =
4
10
9
De mˆme, l’affichage d’une sous-matrice s’obtient par :
    e

m( 2 : 3 , 2 : 4 )
et l’´cran affiche :
     e

ans =
8 3 10
1 20 9
L’acc`s aux colonnes 2 et 4 de la matrice m se r´alise comme suit :
     e                                          e

m( : , [ 2 , 4 ] )
ce qui produit :



version 1.2                             12                   mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                              Cours MATLAB


ans =
2 4
8 10
1 9
Parmi les op´rations matricielles qui ont une certaine importance pratique, si-
             e
gnalons l’op´rateur de transposition
            e

m’
donnant dans le cas de l’exemple

ans =
5 6 0
2 8 1
13 3 20
4 10 9
et la fonction eig qui calcule les valeurs propres d’une matrice. Soit la matrice
carr´e 4 × 4 form´e de composantes al´atoires (ici utilisation de la fonction rand)
    e             e                    e

A=rand ( 4 , 4 )
A=
0.2190 0.9347         0.0346    0.0077
0.0470 0.3835         0.0535    0.3834
0.6789 0.5194         0.5297    0.0668
0.6793 0.8310         0.6711    0.4175
       Les valeurs propres (eigenvalues) sont :

eig (A)
ans =
1. 409 5
0.1082 + 0.4681 i
0.1082 − 0.4681 i
−0.0763


3.1.3      Construction de matrices particuli`res
                                             e
    Les routines ones et zeros permettent de construire des matrices dont tous les
´l´ments sont ´gaux ` 1 respectivement ` 0. Voir ´galement eye (matrice identit´),
ee            e      a                  a        e                             e
diag (matrice diagonale), linspace (vecteur dont les composantes sont espac´es e
lin´airement entre deux limites) et logspace (vecteur dont les composantes sont
   e
espac´es logarithmiquement entre deux limites).
      e

version 1.2                                13                 mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                            Cours MATLAB


3.1.4    Nombres complexes
   Les vecteurs et matrices peuvent avoir des composantes complexes. Les nombres
complexes sont introduits comme suit :

x = a + j ∗b ;
ou

x = a + i ∗b ;
    L’unit´ de l’axe imaginaire est donc indiff´remment i ou j. Des fonctions sont
          e                                       e
pr´vues pour le calcul de la partie r´elle (real(x)), de la partie imaginaire (imag(x)),
  e                                  e
du module (abs(x)), de l’argument (angle(x)) et du conjugu´ complexe (conj(x)).
                                                                   e

3.2     Op´rations sur les tableaux
          e
    On rappelle le slogan publicitaire de MATLAB, ”live is to short to spend
time with for loops”, pour mentionner qu’effectivement, la majeure partie des
op´rations peuvent s’effectuer sans boucles de type for. Par exemple, le calcul du
   e
sinus cardinal
                                            sin (ϑ)
                                 sinc (ϑ) =
                                               ϑ
de l’angle θ pour les valeurs de suivantes

t h e t a =linspace (−4∗ pi , 4∗ pi , 1 0 0 ) ;
soit 100 valeurs espac´es lin´airement entre −4π et +4π, se fait avantageusement
                      e      e
dans MATLAB par

s i n c = sin ( t h e t a ) . / t h e t a ;
o` le point pr´c´dant l’op´rateur de division indique qu’il ne s’agit pas d’une
 u             e e         e
op´ration matricielle, mais d’une op´ration ´l´ment par ´l´ment sur deux ta-
   e                                  e       ee            ee
bleaux. Il faut donc bien faire la distinction entre par exemple le produit ma-
triciel
        a11 a12           b11 b12             a11 · b11 + a12 · b21 a11 · b12 + a12 · b22
                      ·                =
        a21 a22           b21 b22             a21 · b11 + a22 · b21 a21 · b12 + a22 · b22

et le produit, ´l´ment par ´l´ment de deux tableaux :
               ee          ee

                     a11 a12           b11 b12            a11 · b11 a12 · b12
                                   ·                  =
                     a21 a22           b21 b22            a21 · b21 a22 · b22



version 1.2                                      14                       mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                 Cours MATLAB


Remarque Ici, la fonction linspace a ´t´ utilis´e, une variante ´tant d’´crire
                                     ee        e                e       e

t h e t a =−4∗pi : 8∗ pi / ( 1 0 0 − 1 ) : 4 ∗ pi ;


3.3     Repr´sentation graphique 2D
            e
   Plusieurs types de repr´sentations graphiques 2D sont disponibles :
                             e
 FONCTION                      DESCRIPTION
                               Repr´sente chaque colonne de la matrice y en fonction
                                     e
 plot(y)
                               de l’indice du rang.
                               Repr´sente les colonnes de y en fonction de celles de x.
                                     e
 plot(x,y)
                               Il faut que x ait soit une seule colonne, soit autant de
 plot(x,cos(x))
                               colonnes que y, et r´ciproquement.
                                                    e
 plot(t1,y1,t2,y2)             Repr´sente y1 en fonction de t1 et y2 en fonction de t2
                                     e
 plot(t1,y1,’ :’,t2,y2,’-.’)   (y1 et t1 doivent avoir le mˆme nombre de lignes, de
                                                                e
 plot(t1,y1,’o’,t2,y2,’x’)     mˆme que y2 et t2)
                                 e
                               Repr´sente les colonnes y1 et y2 en fonction de t
                                     e
 plot(t,[y1,y2])
                               (y1, y2 et t doivent avoir le mˆme nombre de lignes)
                                                                 e
                               Repr´sente chaque ´l´ment de y en fonction de son indice.
                                     e             ee
                               Le trac´ est en escaliers, utile pour les r´ponses de
                                       e                                     e
 stairs(y)
                               syst`mes num´riques (pas d’interpolation entre les points
                                    e         e
                               repr´sent´s)
                                    e    e
                               Repr´sente chaque ´l´ment de y en fonction de son indice.
                                     e             ee
 stem(y)                       Chaque point est repr´sent´ par symbole “ ´chantillon ”,
                                                      e     e             e
                               ce qui est utile pour les syst`mes num´riques.
                                                              e       e
                               Repr´sente A (ici en [dB]) en fonction de w, l’´chelle
                                     e                                           e
 semilogx(w,20*log10(A)) ´tant logarithmique.
                               e
                               (A et w doivent avoir le mˆme nombre d’´l´ments)
                                                           e             ee
                               Repr´sente phase en fonction de w, l’´chelle ´tant loga-
                                     e                                e       e
 semilogx(w,phase)             rithmique.
                               (phase et w doivent avoir le mˆme nombre d’´l´ments)
                                                                 e            ee
                               Repr´sente y en fonction de x, les ´chelles ´tant toutes
                                     e                              e       e
 loglog(x,y)                   deux logarithmiques.
                               (x et y doivent avoir le mˆme nombre d’´l´ments)
                                                          e             ee

    Il est de plus recommand´ de consulter la documentation MATLAB (ou l’aide
                             e
en ligne) pour les commandes axis, hold, et subplot, title, xlabel, ylabel, gtext ainsi
que figure. Cette derni`re instruction permet de sp´cifier le num´ro de la fenˆtre
                        e                           e                e             e
graphique dans laquelle le trac´ doit ˆtre effectu´. L’ex´cuter juste avant l’une
                                e      e          e         e
des instructions de tra¸age active directement la fenˆtre graphique qui apparaˆ
                        c                              e                             ıt
alors ` l’´cran.
       a e



version 1.2                                    15                mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                                Cours MATLAB


3.3.1         Exemple
   La suite des instructions ci-dessous calcule et trace le sinus, le sinus carr´ ainsi
                                                                                e
que le sinus cardinal de l’angle θ d´fini ` l’aide de l’instruction linspace :
                                    e    a
t h e t a =linspace (−4∗ pi , 4 ∗ pi , 1 0 0 ) ;
s i n c = sin ( t h e t a ) . / t h e t a ;
s i n u s 2 = sin ( t h e t a ) . ˆ 2 ;
figure ( 1 ) , plot ( t h e t a , sin ( t h e t a ) , t h e t a , s i n u s 2 , ’ − . ’ , t h e t a , s i n c , ’ x ’ )
m = [ sin ( t h e t a ) ’ , s i n u s 2 ’ , s i n c ’ ] ;
figure ( 2 ) , plot ( t h e t a , m)

Le r´sultat est le suivant :
    e
                          1


                        0.8


                        0.6


                        0.4


                        0.2


                          0


                       −0.2


                       −0.4


                       −0.6


                       −0.8


                        −1
                        −15              −10             −5               0               5              10               15
                          1


                        0.8


                        0.6


                        0.4


                        0.2


                          0


                       −0.2


                       −0.4


                       −0.6


                       −0.8


                        −1
                        −15              −10             −5               0               5              10               15




version 1.2                                                            16                                     mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                                               Cours MATLAB


4           Analyse de syst`mes dynamiques lin´aires `
                             e                     e  a
            l’aide de la boˆ ` outils control systems
                           ıte a
4.1         Introduction de fonctions de transfert
4.1.1        Introduction sous forme polynˆmiale
                                          o
   L’introduction de fonctions de transfert s’effectue en deux temps, les num´rateur
                                                                             e
et d´nominateur devant ˆtre donn´s s´par´ment. Le principe est simple : les
    e                     e         e e e
num´rateur et d´nominateur apparaissent sous forme de vecteurs-ligne, les com-
    e           e
posantes desquels ´tant les coefficients des puissances d´croissantes de s (syst`mes
                  e                                     e                     e
analogiques) ou de z (syst`mes num´riques).
                           e         e
   Soit par exemple la fonction de transfert
                                                                                  1 + s · 10
                                                   G(s) = 36 ·
                                                                              1 + s · 2 + s2 · 0.1
Son introduction dans MATLAB se fait par les commandes :

numG= 3 6 ∗ [ 1 0 , 1 ] ;
denG = [ 0 . 1 , 2 , 1 ] ;
  Le coefficient de s0 (ou z 0 pour les syst`mes num´riques), qu’il soit nul ou
                                           e          e
non, doit toujours ˆtre donn´. Ainsi, la fonction de transfert de l’int´grateur
                   e        e                                          e
                                                                                      2.71828
                                                                  G (s) =
                                                                                         s
est introduite sous la forme :

numG= 2 . 7 1 8 2 8 ∗ [ 1 ] ;
denG = [ 1 , 0 ] ;
   Les noms donn´s aux num´rateurs et d´nominateurs sont libres. On aura
                    e            e            e
toutefois int´rˆt ` ˆtre organis´ et rigoureux dans les notations employ´es ; par
             ee ae              e                                       e
exemple, en se r´f´rant au sch´ma fonctionnel universel, en r´gulation de corres-
                 ee            e                              e
pondance (v(t) = 0),

                                                                                                 v       ( t )




                                                                                             +
                         e ( t )                      u   ( t )                          +
             +
w   ( t )            5             G       ( s )                    G         ( s )                  5           G         ( s )                                            y        ( t )
                                       c                                a 1                                          a 2

                 -




                                                                                                                                               f _   0   1   _   0   3   . e p   s




version 1.2                                                                       17                                        mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                Cours MATLAB


on ne saura que trop recommander l’emploi d’une notation semblable ` la sui-
                                                                   a
vante,

numGc= 2 ∗ [ 1 , 2 0 ] ;
denGc = [ 1 , 0 ] ;
numGa1=1e − 3 ∗ [ 1 , 1 0 ] ;
denGa1 = [ 1 , 2 , 0 . 1 1 ] ;
numGa2 = 3 6 ∗ [ 1 , 0 . 1 ] ;
denGa2 = [ 1 , 2 0 , 1 0 ] ;
pour les fonctions de transfert
                                            s + 20
                             Gc (s) = 2 ·
                                               s
                                                s + 10
                            Ga1 (s) = 0.01 ·
                                               s2
                                              + 2 · s + 0.11
                                             (s + 0.1)
                            Ga2 (s) = 36 · 2
                                          s + 20 · s + 10
Notons qu’` partir de la version 5.0 de MATLAB, il existe des objets fonction de
            a
transfert, que l’on peut introduire comme suit (cas de l’exemple ci-dessus) :

numGc= 2 ∗ [ 1 , 2 0 ] ;
denGc = [ 1 , 0 ] ;
Gc=t f ( numGc, denGc )
numGa1=1e − 3 ∗ [ 1 , 1 0 ] ;
denGa1 = [ 1 , 2 , 0 . 1 1 ] ;
Ga2=t f ( numGa1, denGa2 )
numGa2 = 3 6 ∗ [ 1 , 0 . 1 ] ;
denGa2 = [ 1 , 2 0 , 1 0 ] ;
Ga2=t f ( numGa2, denGa2 )
On peut alors calculer sans autre :

Go=Gc∗Ga1∗Ga2 ;
Gw=Go/(1+Go) ;
Gv=Ga2/(1+Gc∗Ga1∗Ga2 ) ;


4.1.2    Introduction sous forme de z´ros, pˆles et gain (”forme d’Evans”)
                                     e      o
    Il est ´galement possible d’introduire une fonction de transfert par le biais de
           e
ses z´ros, pˆles et de son facteur d’Evans k. Les z´ros et pˆles doivent apparaˆ
     e       o                                     e        o                    ıtre
sous forme de vecteurs-colonne. Soit par exemple la fonction de transfert :


version 1.2                                  18                 mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                 Cours MATLAB




                     5.32         (s + 3)2 + 72
             G (s) =      ·
                       s    (s + 11) · (s + 5)2 + 32
                     5.32          (s − (−3 + 7j)) · (s − (−3 − 7j))
                   =      ·
                       s    (s − (−11)) · (s − (−5 + 3j)) · (s − (−5 − 3j))

       La suite de commandes n´cessaires est simplement :
                              e

zG=[−3+j ∗7,−3− j ∗ 7 ] ’ ;
sG=[0,−10,−5+ j ∗3,−5− j ∗ 3 ] ’ ;
kG=5.32;
    Il va sans dire que l’on privil´giera cette forme lorsque les num´rateur et
                                   e                                 e
d´nominateur de la fonction de transfert du syst`me G(s) ou G(z) ne sont pas
 e                                                e
directement disponibles sous forme de polynˆmes.
                                             o

4.2       Introduction de mod`les d’´tat
                             e      e
       Si un syst`me est connu sous la forme de ses ´quations d’´tat (lin´aires),
                 e                                  e           e        e


                                   dx
                                      =A·x+B·u
                                   dt
                                    y =C ·x+D·u

il suffit d’indiquer ` MATLAB les quatre matrices A, B, C, et D, par exemple :
                   a

A= [ − 3 , 0 ; 0 , 7 ] ;
B= [ 1 0 , 0 , 1 ] ’ ;
C= [ 1 , 2 ; 3 , 4 ] ;
D= [ 0 ] ;


4.3       Passage d’un mod`le ` l’autre
                          e a
    Les pˆles et z´ros des fonctions de transfert sont obtenus ` l’aide de la fonction
         o        e                                            a
tf2zp (transfer function to zero pole) :

[ zG, sG , kG]= t f 2 z p (numG, denG ) ;
   MATLAB place alors les z´ros et les pˆles dans les vecteurs-colonne zG et sG,
                              e           o
respectivement, et le facteur d’Evans dans la variable kG. Les noms zG, sG et kG
sont arbitraires. On acc`de ` ces valeurs par exemple en tapant leur nom :
                        e a


version 1.2                                 19                   mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                                           Cours MATLAB




sG
            MATLAB affiche :

sG=
−19.4868
−0.5132
    Remarque : un polynˆme est introduit sous la forme d’un vecteur-ligne v
                           o
dont les composantes repr´sentent les coefficients des puissances d´croissantes ;
                            e                                     e
ses racines sont obtenues par la fonction roots(v)
    Toute une cat´gorie de routines permettent de passer d’un mod`le ` l’autre :
                   e                                             e a
 forme polynˆmiale → forme tf2zp [zG,sG,kG]=tf2zp(numG,denG) ;
               o
 en z´ros, pˆles et gain
      e      o
 forme     polynˆmiale
                  o         → tf2ss     [AG,BG,CG,DG]=tf2ss(numG,denG) ;
 mod`le d’´tat
       e    e
 forme en z´ros, pˆles et gain zp2tf [numG,denG]=zp2tf(zG,sG,kG) ;
            e       o
 → forme polynˆmiale
                  o
 forme en z´ros, pˆles et gain zp2ss [AG,BG,CG,DG]=zp2ss(zG,sG,kG) ;
            e       o
 → mod`le d’´tat
         e      e
 mod`le d’´tat → forme po- ss2tf
       e    e                           [numG,denG]=ss2tf(AG,BG,CG,DG) ;
 lynˆmiale
     o
 mod`le d’´tat → forme en ss2zp [zG,sG,kG]=ss2zp(AG,BG,CG,DG) ;
       e    e
 z´ros, pˆles et gain
  e      o
 mod`le d’´tat → autre ss2ss [AG2,BG2,CG2,DG2]=ss2ss(AG,BG,CG,DG,T) ;
       e      e
 mod`le d’´tat, avec matrice
       e    e
 de transformation T


4.4           Construction de sch´mas fonctionnels
                                 e
4.4.1          Fonctions series, cloop
    Prenons pour exemple le sch´ma fonctionnel universel, dont on souhaite obte-
                                 e
nir les fonctions de transfert en boucle ouverte Go (s) et en boucle ferm´e Gw (s).
                                                                         e
Pour ce faire, faut proc´der par ´tapes, comme l’indique la figure ci-apr`s :
                         e        e                                       e

                                                                                             v       ( t )




                                                                                         +
                            e ( t )                   u   ( t )                      +
                +
w   ( t )               5             G       ( s )               G         ( s )                5           G         ( s )                                            y        ( t )
                                          c                           a 1                                        a 2

                    -




                                                                                                                                           f _   0   1   _   0   3   . e p   s




version 1.2                                                                     20                                      mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                 Cours MATLAB


   1. Calcul de Ga (s) par la mise en s´rie de Ga1 et Ga2 .
                                       e
      On fait usage de la fonction series :
      [ numGa, denGa]= s e r i e s ( numGa1, denGa1 , numGa2, denGa2 ) ;
   2. Calcul de Go (s) par la mise en s´rie de Gc et Ga . On proc`de de mˆme :
                                        e                        e       e
      [ numGo, denGo]= s e r i e s ( numGc, denGc , numGa, denGa ) ;
   3. Calcul de Gw (s) par fermeture de la boucle (retour unitaire). On fait usage
      de la fonction cloop comme suit :
      [ numGw, denGw]= c l o o p ( numGo, denGo ) ;
   4. La r´ponse indicielle en boucle ferm´e peut alors ˆtre calcul´e et trac´e par :
           e                              e             e          e         e
      s te p (numGw, denGw)

                                                      Step Response

                              1.5




                               1
                  Amplitude




                              0.5




                               0
                                    0   5   10   15          20       25   30   35      40
                                                       Time (sec.)




       On peut au passage calculer le gain statique (gain DC) de Gw (s).
       dcgain (numGw, denGw)
   5. La r´ponse harmonique en boucle ouverte peut par exemple aussi ˆtre cal-
           e                                                         e
      cul´e :
         e
      bode ( numGo, denGo )




version 1.2                                      21                             mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                                                                Cours MATLAB


                                                                                                  Bode Diagrams




                                                          50



                                                           0

                     Phase (deg); Magnitude (dB)

                                                         −50



                                                     −100



                                                     −100

                                                     −120

                                                     −140

                                                     −160

                                                     −180

                                                     −200

                                                     −220
                                                          −3                   −2                 −1                     0               1                2
                                                        10                    10              10                    10             10                10

                                                                                             Frequency (rad/sec)




   6. Finalement, on peut afficher la configuration pˆle-z´ro de Gw (s) :
                                                  o e
      pzmap (numGw, denGw)

                                                                                                  Pole zero map
                                                    1


                                                   0.8


                                                   0.6


                                                   0.4


                                                   0.2
                 Imag Axis




                                                    0


                                       −0.2


                                       −0.4


                                       −0.6


                                       −0.8


                                                   −1
                                                    −1          −0.8   −0.6         −0.4   −0.2           0        0.2       0.4   0.6        0.8     1
                                                                                                       Real Axis




4.4.2   Fonction feedback
   La fonction feedback est utile pour calculer la fonction de transfert ´quivalente
                                                                         e
de syst`mes ayant pour sch´ma fonctionnel la figure ci-dessous, soit :
       e                    e

                                                                               Y (s)        Ga (s)
                                                               Gv (s) =              =
                                                                               V (s)   1 + Ga (s) · Ga (s)

version 1.2                                                                                 22                                               mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                  Cours MATLAB




[ numGv, denGv]= f e ed ba c k ( numGa, denGa , numGc, denGc , s i g n e ) ;


                                                                       1
        v   ( t )                              5               G                ( s )                                         y               ( t )
                                                                           aI


                                           -



                                                                       1
                                                                   G       cI
                                                                                ( s )
                                                                                                        f _   0   1   _   0       6   . e p    s




    Si le param`tre signe n’est pas sp´cifi´ ou vaut −1, la fonction de transfert
                 e                       e e
Gc (s) est en contre-r´action, alors qu’elle est r´actionn´e pour une valeur de signe
                      e                           e       e
´gale ` 1.
e     a
    L’exemple ci-dessous calcule le fonction de transfert en r´gulation de maintien
                                                               e
du syst`me asservi pr´c´demment trait´.
        e               e e                e

[ numG1, denG1 ] = s e r i e s ( numGc, denGc , numGa1, denGa1 ) ;
[ numGv, denGv ] = fe e d b a c k ( numGa2, denGa2 , numG1, denG1 ) ;

                                                            Step Response




                                 1.5




                                  1
                    Amplitude




                                 0.5




                                  0




                                −0.5




                                       0           5   10              15               20   25               30
                                                             Time (sec.)




version 1.2                                                   23                                  mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                 Cours MATLAB


4.5         Calcul et trac´ de r´ponses de syst`mes dynamiques
                          e     e              e
            lin´aires
               e
4.5.1        R´ponse temporelle
              e
    Lorsque qu’aucun argument de sortie n’est sp´cifi´ (lhs, left handside argu-
                                                     e e
ment), le calcul et le trac´ des r´ponses sont simultan´s.
                           e      e                       e
    Les fonctions impulse, step, lsim, et pour les syst`mes num´riques, dimpulse,
                                                        e         e
dstep, dlsim sont disponibles. Leur signification sont donn´es sur les tables 4.5.1 page
                                                            e
suivante et 4.5.1 page 26.




    Le trac´ correspondant est directement obtenu en tapant les commandes telles
            e
que donn´es dans les tableaux ci-dessus.
          e
    Les param`tres t, n, et w sont des optionnels et MATLAB les d´termine lui-
                e                                                   e
mˆme par d´faut. Si l’on souhaite les fixer, on peut par exemple le faire selon les
  e           e
indications du tableau 4.5.1 page 26.



Lors du calcul de la r´ponse harmonique de syst`mes num´riques, il convient de
                        e                             e        e
sp´cifier la p´riode d’´chantillonnage h.
  e           e         e
    Il est souvent utile d’effectuer ces calculs de r´ponse sans tracer celle-ci imm´diatement.
                                                    e                              e
Dans ce cas, on proc`de comme ci-dessus en sp´cifiant toutefois des arguments
                        e                             e
de sortie dans lesquels MATLAB sauvera les r´sultats de ses calculs :
                                                  e


 SYSTEMES ANALOGIQUES                                                SYSTEMES NUMERIQUES
 [y,x,t]=impulse(numG,denG,t) ;                                      [y,x]=dimpulse(numH,denH,n) ;
 [y,x,t]=step(numG,denG,t) ;                                         [y,x]=dstep(numH,denH,n) ;
 [y,x]=lsim(numG,denG,u,t) ;                                         [y,x]=dlsim(numH,denH,u) ;

y est un vecteur-colonne contenant la r´ponse cherch´e et t un vecteur-ligne
                                          e               e
contenant les instants auxquels elle a ´t´ calcul´e. x est une matrice contenant
                                       ee         e
l’´volution du vecteur d’´tat syst`me dynamique. La figure suivante montre le
  e                      e        e
calcul pr´alable des r´ponses imoulsionnelle et indicielle avant leur trac´ ` l’aide
          e           e                                                   ea
de la fonction plot.
[ ys , x , t ] = s t e p (numGw, denGw ) ;
[ y i ] = i m p u l s e (numGw, denGw, t ) ;
figure
plot ( t , [ y i , ys ] )
t i t l e ( ’ R´ ponses i m p u l s i o n n e l l e
               e                                      et   indicielle   en b o u c l e ferm´ e ’ )
                                                                                           e
xlabel ( ’ t [ s ] ’ )



version 1.2                                                     24                             mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                       Cours MATLAB



 SYSTEMES ANALO-         REPONSE              EXEMPLE
 GIQUES
                                                          25




                                                          20




                                                          15




                                              Amplitude
                                                          10




                                                           5




                                                           0
                                                            0            0.5            1         1.5                2            2.5         3
 impulse(numG,denG,t)    r´ponse impul-
                          e                                                                    Time (secs)


                         sionnelle
                                                               1



                                                           0.8



                                                           0.6
                                              Amplitude




                                                           0.4



                                                           0.2



                                                               0



                                                          −0.2
                                                              0              5          10         15                20           25          30
 step(numG,denG,t)       r´ponse
                          e           indi-                                                    Time (secs)


                         cielle
                                                           0.25

                                                            0.2

                                                           0.15

                                                            0.1

                                                           0.05
                                              Amplitude




                                                                   0

                                                          −0.05

                                                           −0.1

                                                          −0.15

                                                           −0.2

                                                          −0.25
                                                               0       0.2       0.4   0.6   0.8       1       1.2        1.4   1.6     1.8   2
 lsim(numG,denG,u,t)     r´ponse ` une
                          e         a                                                              Time (secs)


                         entr´e u quel-
                              e
                         conque d´finiee
                         par l’utilisateur
 initial(A,B,C,D,x0,t)   r´ponse
                          e              du
                         syst`me lorsque
                              e
                         ses     conditions
                         initiales sont x0
                                   Tab. 1 –

version 1.2                            25                                                          mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                 Cours MATLAB




 SYSTEMES NUMERIQUES                         REPONSE
 dimpulse(numH,denH,n)                       r´ponse impulsionnelle
                                              e
 dstep(numH,denH,n)                          r´ponse indicielle
                                              e
 dlsim(numH,denH,u)                          r´ponse ` une entr´e u quelconque
                                              e        a            e
                                             d´finie par l’utilisateur
                                               e
 dinitial(A,B,C,D,x0,n)                      r´ponse du syst`me lorsque ses condi-
                                              e                e
                                             tions initiales sont x0

                                    Tab. 2 –




 PARAMETRE           SIGNIFICATION                     EXEMPLE
 t                   (facultatif)                      t=[0 :0.01 :0.2] ;
                     vecteur-ligne      de  temps,     ou
                     sp´cifiant les instants o` la
                        e                      u       t=linspace(0,0.2,201) ;
                     r´ponse doit ˆtre calcul´e
                      e             e        e         (cr´e un vecteur temps variant entre
                                                          e
                     (ce param`tre est obligatoire
                                 e                     0[s] et 0.2[s] par pas de 0.01[s])
                     si l’on utilise lsim)
 n                   (facultatif)                      n=10 ;
                     nombre d’´chantillons d´sir´s
                                 e           e e       (seuls les 10 premiers ´chantillons de
                                                                               e
                                                       la r´ponse seront affich´s)
                                                           e                     e
 w                   (facultatif)                      w=logspace(2,5,100) ;
                     vecteur-ligne de pulsation,       (cr´e un vecteur pulsation de 100
                                                          e
                     sp´cifiant les pulsations o` la
                        e                        u     points espac´s logarithmiquement et
                                                                     e
                     r´ponse doit ˆtre calcul´e
                      e             e          e       variant entre 102 [rad/s] et 105 [rad/s])
 u                   vecteur-colonne de l’entr´e   e   u=1.5*sin(2*pi*10*t)’ ;
                     simul´e du syst`me
                           e            e              (cr´e un vecteur u repr´sentant une
                                                          e                       e
                     (ce param`tre est obligatoire
                                 e                     entr´e sinuso¨
                                                            e         ıdale d’amplitude 1.5 et
                     si l’on utilise lsim ou dlsim)    de fr´quence 10[Hz]. u est calcul´
                                                              e                                e
                                                       pour chaque instant d´fini dans le
                                                                                  e
                                                       vecteur t, par exemple celui donn´ ci-
                                                                                            e
                                                       dessus)

                                    Tab. 3 –




version 1.2                             26                       mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                          Cours MATLAB


                                         Réponses impulsionnelle et indicielle en boucle fermée
                         1.6


                         1.4


                         1.2


                          1


                         0.8


                         0.6


                         0.4


                         0.2


                          0


                        −0.2
                               0   5     10           15          20          25           30     35     40
                                                                 t [s]




   De mˆme, l’exemple suivant montre le trac´ de la r´ponse d’un syst`me asservi
        e                                   e        e               e
a
` une rampe de consigne, en faisant notamment usage de la fonction lsim.
wr = t ’ ;
yr = l s i m (numGw, denGw, wr , t ) ;
figure
subplot ( 2 1 1 ) , plot ( t , yr )
t i t l e ( ’ Consigne et grandeur r ´ g l ´ e ’ )
                                       e e
subplot ( 2 1 2 ) , plot ( t , wr−yr )
t i t l e ( ’ Erreur ’ )
xlabel ( ’ t [ s ] ’ )
subplot ( 1 1 1 )



                                                     Consigne et grandeur réglée
                         40


                         30


                         20


                         10


                          0
                               0   5     10           15          20          25           30     35     40


                                                                Erreur
                         2.5

                          2

                         1.5

                          1

                         0.5

                          0
                               0   5     10           15          20          25           30     35     40
                                                                 t [s]




version 1.2                                                   27                                       mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                Cours MATLAB


4.5.2   R´ponse fr´quentielle
         e        e
   Les fonctions bode, nyquist, nychols, et pour les syst`mes num´riques, dbode,
                                                         e         e
dnyquist, dnychols sont disponibles. Leur signification est la suivante :


 SYSTEMES ANALOGIQUES                         SYSTEMES NUMERIQUES
 bode(numG,denG,w)                            dbode(numH,denH,h,w)

Si les r´sultats des calculs doivent ˆtre sauvegard´s en vue d’un traitement ult´rieur,
        e                            e             e                            e
on indique ´galement des arguments de sortie :
             e


 SYSTEMES ANALOGIQUES                         SYSTEMES NUMERIQUES
 [A,phi,w]=bode(numG,denG,w)                  [A,phi,w]=dbode(numH,denH,h,w)

A et phi sont des vecteurs-colonne contenant respectivement le gain et la phase
et w un vecteur-ligne contenant les pulsations correspondantes.

4.6     Analyse des propri´t´s des syst`mes
                          e e          e


 dcgain(num,den)                              Gain statique d’un syst`me analogique.
                                                                     e
 ddcgain(num,den)                             Gain statique d’un syst`me num´rique.
                                                                     e       e
 damp(den)                                    Taux d’amortissement ζ, pulsation
                                              propre non-amortie ωn et pˆles d’un
                                                                           o
                                              syst`me analogique ayant den pour
                                                  e
                                              d´nominateur
                                               e
 ddamp(den)                                   Taux d’amortissement ζ, pulsation
                                              propre non-amortie ωn et pˆles d’un
                                                                          o
                                              syst`me discret ayant den pour
                                                  e
                                              d´nominateur.
                                               e

4.7     Calcul affichage des marges de gain et de phase


 [Am,phi m]=margin(numGo,denGo)           Marges de phase        Si les arguments de
                                          et de gain d’un        sortie ne sont pas
                                          syst`me
                                              e     analo-       sp´cifi´s, trace le
                                                                    e e
                                          gique.                 lieu de Bode et
                                                                 montre graphique-
                                                                 ment la valeur des
                                                                 marges


version 1.2                              28                     mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                              Cours MATLAB


4.8      Trac´ du lieu d’Evans
             e

 rlocus(num,den,k)       Trace le lieu d’Evans de      k est une option ; c’est
                         la fonction de transfert.     un vecteur-ligne conte-
                                                       nant les diff´rentes va-
                                                                     e
                                                       leurs du facteur d’Evans
                                                       pour lesquelles le lieu
                                                       doit ˆtre trac´.
                                                            e        e
 sgrid                  Affiche les courbes ´qui-
                                              e        A                ex´cuter
                                                                          e
 zgrid                  amortissement des plan         imm´diatement
                                                            e              apr`s
                                                                              e
                        de s et de z respective-       rlocus
                        ment.
 pzmap(num,den)         Graphe la configuration
                        pˆles -z´ros de la fonction
                         o      e
                        de transfert.
 [k,p]=rlocfind(num,den) Trac´ interactif du lieu
                             e                         A ex´cuter directement
                                                             e
                        d’Evans.                       apr`s rlocus et sgrid ; une
                                                          e
                                                       croix est alors affich´e,  e
                                                       que l’on peut d´placer
                                                                          e
                                                       avec la souris sur un
                                                       point particulier du lieu.
                                                       En cliquant , on obtient
                                                       alors dans k le facteur
                                                       d’Evans correspondant et
                                                       dans p l’expression du
                                                       pˆle.
                                                        o

4.9      Divers

 minreal(num,den)        Force la compensation
                         pˆle-z´ro.
                           o e
 printsys(num,den,’s’)   Affiche les fonctions de
 printsys(num,den,’z’)   transfert comme frac-
                         tions ratrionnelles en s ou
                         en z




version 1.2                           29                      mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                               Cours MATLAB


5      Les structures de contrˆle du ”langage” MAT-
                              o
       LAB
    Les structures de contrˆle usuelles sont disponibles :
                           o
 INSTRUCTION                          EXEMPLE
                                      delta t=0.01 ;
 for variable=expression              for i=1 :1 :21 ;
 statements                           %le pas vaut par defaut 1
 end                                  y(i)=sin(2*pi*10*(i-1)*delta t) ;
                                      end
                                      plot(y)
                                      delta t=0.01 ;
 while expression                     i=0 ;
 statements                           while i<21
 end                                  i=i+1 ;
                                      y(i)=sin(2*pi*10*(i-1)*delta t) ;
                                      end
 if expression                        delta t=0.01 ;
 statements                           i=0 ;
 elseif expression                    if i<21,
 statements                           i=i+1 ;
 else                                 y(i)=sin(2*pi*10*(i-1)*delta t) ;
 statements                           end
 end




version 1.2                             30                     mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                Cours MATLAB


6      Simulation de syst`mes dynamiques lin´aires
                          e                    e
       et non-lin´aires avec la boˆ ` outils Simulink
                 e                ıte a
6.1     Introduction
  La boˆ ` outils Simulink est un compl´ment extrˆmement puissant ` MAT-
        ıte a                             e         e             a
LAB. Les contributions de Simulink sont principalement :
    1. La construction conviviale de sch´mas fonctionnels, faite ` la souris ;
                                        e                        a
    2. La simulation de syst`mes lin´aires et surtout non-lin´aires, ainsi que de
                            e       e                        e
       syst`mes non-stationnaires ;
           e
    3. La simulation de syst`mes mixtes analogiques et num´riques.
                            e                             e




                     Fig. 1 – Librairie standard de Simulink.


    Pour la construction de sch´mas, le gain de temps se situe au-del` de 10 ` 100,
                                  e                                   a       a
car il ´vite l’utilisation extrˆmement fastidieuse des fonctions MATLAB blkbuild
       e                        e
et connect.
    Si certains reprochent ` MATLAB un certain caract`re r´barbatif, Simulink,
                              a                            e    e
en plus d’offrir de nouveaux outils tr`s puissants, y rem´die compl`tement en
                                         e                   e          e
offrant une interface utilisateur extrˆmement conviviale. Les deux logiciels res-
                                       e
tent toutefois compl`tement li´s l’un ` l’autre, Simulink n’´tant du point de vue
                       e          e     a                    e
hi´rarchique qu’une boˆ ` outils de MATLAB.
  e                       ıte a
    L’interface utilisateur de Simulink est l’outil permettant d’introduire directe-
ment les sch´mas fonctionnels de syst`mes dynamiques. Bien que th´oriquement
              e                         e                              e
son usage ne soit pas indispensable, on peut dire qu’il est utilis´ dans 90% des
                                                                    e

version 1.2                              31                     mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                  Cours MATLAB


cas de probl`mes ` r´soudre. On y acc`de ` partir l’espace de travail MATLAB
            e    a e                 e a
par la commande :

simulink
ou en appuyant sur le bouton correspondant de la barre d’outils de la fenˆtre dee
MATLAB.
    Une nouvelle fenˆtre, appel´e simulink apparaˆ Elle n’est en fait qu’une bi-
                       e           e                   ıt.
blioth`que de blocs fonctionnels standards, r´unis ici en sept groupes, fournis
        e                                         e
avec le logiciel. La figure 1 page pr´c´dente montre ces groupes.
                                        e e
    On remarque notamment les biblioth`ques Linear et Nonlinear contenant
                                                e
chacune une collection de blocs lin´aires et non-lin´aires respectivement.
                                        e                e
    Fid`le ` la philosophie de MATLAB, Simulink est ouvert et l’utilisateur peut
         e a
rajouter ses propres blocs, qu’il peut organiser en une ou plusieurs biblioth`quese
([2, et p.4.11 et p.3-19 et ss). Dans ce sens, les possibilit´s sont quasi illimit´es.
                                                              e                    e
    Bien que cela ne paraisse pas imp´ratif au premier abord, il se r´v`le assez
                                            e                              e e
tˆt indispensable de bien connaˆ MATLAB pour utiliser Simulink de mani`re
 o                                   ıtre                                            e
coh´rente et organis´e, i.e. professionnellement. Dans tous les cas, on a int´rˆt
    e                  e                                                            ee
a
` utiliser Simulink en forte connection avec MATLAB ; il faut savoir que tous
les blocs Simulink peuvent ˆtre param´tr´s de mani`re symbolique. Ceci permet
                               e            e e            e
de d´finir les param`tres dans l’espace de travail MATLAB, soit manuellement,
      e                e
soit en ex´cutant un fichier de type script. Dans ce cas, plusieurs fichiers de pa-
            e
ram´trisation peuvent ˆtre cr´´s et lanc´s dans MATLAB avant le d´but de la si-
     e                    e      ee           e                          e
mulation. La documentation desdits fichiers permet de rationaliser et d’organiser
le grand nombre de simulations que l’on peut faire. C’est dans ce genre de situa-
tion que les comp´tences en programmation (organisation, d´composition et ana-
                    e                                            e
lyse du probl`me, structuration) de l’utilisateur peuvent s’av´rer d´terminantes.
                e                                                  e     e
    Des boˆ ` outils compl´mentaires (Real Time Workshop, Matlab C Com-
             ıtes a              e
piler ) permettent de g´n´rer le code C du sch´ma de simulation, ainsi que le
                           e e                       e
code objet pour des processeurs de signaux (par exemple Texas TMS320C30,
syst`me produit par la firme DSPACE). Simulink peut ˆtre programm´ relative-
     e                                                       e              e
ment simplement en C. Dans ce cas, les performances en terme de temps de calcul
seront nettement meilleures. Notons que le laboratoire d’Automatique de l’eivd
dispose d’une licence du compilateur C/C++ de Watcom version 10.6 support´             e
par MATLAB/Simulink. Le compilateur Borland C/C++, dont l’´cole a la licence
                                                                     e
de site, n’est support´ que par MATLAB et n’apporte aucune contribution quant
                        e
a
` la vitesse de calcul. Il faut penser ` cette variante de programmation (en C)
                                           a
lorsque le temps de calcul doit ˆtre r´duit et lorsque l’on souhaite int´grer ` la
                                    e      e                                e       a
simulation du code C existant. D’autre part, on peut de cette fa¸on profiter de
                                                                       c
toutes les fonctionnalit´s Windows et personnaliser son application. Enfin, il faut
                          e
reconnaˆ que le fait de pouvoir tester son code source C avec MATLAB/Simulink
          ıtre
avant de le livrer et l’ex´cuter sur l’application r´elle permet d’acc´l´rer et facilite
                           e                        e                  ee
consid´rablement le d´veloppement. Il s’agit incontestablement d’un des points
        e                e

version 1.2                               32                      mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                                                                Cours MATLAB


forts de MATLAB/Simulink.
    La combinaison de Simulink et d’un syst`me d’acquisition en temps r´el est
                                               e                             e
possible mais tr`s d´licate et limit´e en rapidit´, notamment ` cause de la lenteur
                e e                  e           e            a
et de la complexit´ de Windows. Un travail allant dans cette direction a ´t´
                    e                                                           ee
effectu´ dans le cadre de l’institut d’Automatisation industrielle de l’eivd.
       e
    La programmation graphique, i.e. l’introduction directe de sch´mas fonction-
                                                                     e
nels, est un outil fanstastique offert par Simulink. Cependant, les limites de ce
genre de programmation sont rapidement atteintes lorsque le syst`me est relati-
                                                                     e
vement complexe, auquel cas il sera plus facile de programmer Simulink ”en texte”
de mani`re classique, i.e. en cr´ant des fonctions S (S-function), plutˆt que d’in-
         e                       e                                     o
terconnecter les blocs par de nombreuses lignes cr´´es ` la souris. Les fonctions
                                                      ee a
S ont un format un peu particulier, propre ` Simulink, mais s’´crivent presque
                                                a                  e
aussi simplement que les fonctions MATLAB ; elles consistent ` programmer les
                                                                 a
´quations diff´rentielles du syst`me ` simuler.
e             e                    e   a

6.2    Exemple introductif : simulation d’un syst`me dyna-
                                                 e
       mique lin´aire
                e
   On se propose d’illustrer l’utilisation de Simulink par l’exemple classique d’un
moteur ` courant continu ` excitation s´par´e constante exploit´ en boucle ou-
        a                  a               e e                     e
verte (figure 2).

                        R   a
                                        L   a
                                                    K
                                                                                 a l i e r s




                                                            T


                                                    K       E
                                                                                                                                                                    M       ( t )
                                                                                 p




        u   a
                ( t )                           M


                                                                C           o      e f f i c i e n                    t

                                                                                                                              J
                                i
                                                        d           e           f r o        t t e m            e n       t
                                                                        v        i s q        u       e u   x
                                    a                                                                                             f _   0   1   _   0   4   . e p       s
                                                                                         R        f




Fig. 2 – Sch´ma technologique d’un entraˆ
               e                           ınement DC ` excitation s´par´e
                                                         a             e e
constante. Le frottement est purement visqueux, proportionnel ` la vitesse, de
                                                              a
coefficient Rf .


   On admettra que le syst`me est parfaitement lin´aire, en faisant les hypoth`ses
                              e                     e                         e
simplificatrices suivantes, ceci pour simplifier l’exemple et se concentrer sur l’es-
sentiel de cette ´tude, i.e. le logiciel MATLAB/Simulink :
                 e
   – on ne prend pas en compte l’effet des perturbations ;
   – le frottement sur l’arbre moteur est purement visqueux ;
   – le moteur ` courant continu ´tant compens´, l’effet de r´action d’induit est
                 a                    e           e            e
      n´gligeable.
        e

version 1.2                                         33                                                                            mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                                                                                                                         Cours MATLAB


    Plusieurs d´marches sont possibles pour la construction et l’organisation du
               e
sch´ma, de mˆme que pour la simulation. On propose ici une fa¸on de faire re-
    e         e                                                   c
lativement laborieuse par rapport ` la simplicit´ de l’exemple, calqu´e sur des
                                   a              e                   e
probl`mes concrets d’une certaine envergure, pour lesquels la m´thodologie em-
        e                                                        e
ploy´e est d´terminante. Comme on le verra, le lien avec MATLAB est sous-jacent.
      e     e

6.2.1          Mod´lisation
                  e
   Les mod`les en t et en s du syst`me sont (les conditions initiales ´tant sup-
            e                      e                                  e
pos´es identiquement nulles) :
   e

                                                                         
  ua = Ra · ia + La · dia + KE · ω   Ua = Ra · Ia + La · s · Ia + KE · Ω 
                       dt
   Tem = KT · ia                     L Tem = KT · Ia
       dω
   J · dt = Tem − Rf · ω                J · s · Ω = Tem − Rf · Ω
                                                                         

       Apr`s mise en ´quations, le sch´ma fonctionnel d´taill´ est celui de la figure 3.
          e          e                e                e     e

                                                                    i   a
                                                                            ( t )                    T   e m
                                                                                                               ( t )
                                            1                                                                                          1

                                        R                                                                                      R

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                                                                                             T                             +               ×
                                                                                                                                                             t
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                                                            a
                                1                                                                                      1           s
                                                    R                                                                                                R           f t
                                                                a




                                                                                         K       E
                                                                                                                                                                           f _   0   1   _   0       5   . e p   s




Fig. 3 – Sch´ma fontionnel correspondant au sch´ma technologique de la fi-
             e                                 e
gure 2 page pr´c´dente.
              e e



6.2.2          Construction du sch´ma
                                  e
   Pour introduire le sch´ma fonctionnel de la figure 3 dans Simulink, il faut
                         e
commencer par appeler Simulink ` partir l’espace de travail de MATLAB, comme
                               a
d´j` fait pr´c´demment.
 ea         e e




version 1.2                                                                         34                                                                                 mee matlab.tex19 mars 2002
eivd                                                                Cours MATLAB




                                     Fig. 4 –


    Pour d´finir la fenˆtre de travail, s´lectionner New dans le menu File. Une
            e           e                 e
nouvelle fenˆtre est alors activ´e, nomm´e automatiquement Untitled. C’est dans
              e                 e         e
cette mˆme fenˆtre que le sch´ma sera construit ` partir des blocs contenus dans
        e       e              e                    a
les biblioth`ques Simulink, voire d’autres blocs cr´´s par l’utilisateurs et r´unis
             e                                        ee                        e
dans d’autres biblioth`ques. Revenant ` la fenˆtre Simulink et double-cliquant
                        e                 a         e
sur le groupe Linear, apparaissent alors certains blocs utiles ` la construction
                                                                    a
(figure 4) :
    – le sommateur (Sum) ;
    – le gain (Gain)
    – la fonction de transfert (Transfer Fcn).
    S´lectionnant le premier de ces blocs ` l’aide de la souris dont le bouton gauche
     e                                    a
est maintenu press´, on am`ne le bloc dans la fenˆtre de travail en d´pla¸ant la
                    e        e                        e                    e c

version 1.2                              35                     mee matlab.tex19 mars 2002
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cours de Matlab

  • 1. eivd Cours MATLAB ´cole d’ing´nieurs du canton de Vaud (eivd ) e e D´partement d’´lectricit´ et d’informatique e e e institut d’Automatisation industrielle (iAi) Introduction au logiciel MATLAB in s t i t u t d ' Automatisation in d u s t r i e l l e Michel ETIQUE, mars 2002, Yverdon-les-Bains version 1.2 1 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 2. eivd Cours MATLAB Table des mati`res e 1 Introduction 4 2 M´thode de travail e 7 2.1 Edition et sauvegarde des fichiers MATLAB . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Editeur PFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Aide en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Cr´ation de fichiers de commandes et de fonctions utilisateur . . e . 8 2.3.1 Fichiers de commande (”script files”) . . . . . . . . . . . . 8 2.3.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Sauvegarde de donn´es sur disque . . . . . . . . . . . . . . . . . e . 9 2.4.1 R´pertoires de sauvegarde : D :USERS et compte EINET e . 10 3 Les bases de MATLAB 11 3.1 Cr´ation et calcul de vecteurs et matrices . . . e . . . . . . . . . . . 11 3.1.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.3 Construction de matrices particuli`res e . . . . . . . . . . . 13 3.1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Op´rations sur les tableaux . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 14 3.3 Repr´sentation graphique 2D . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 15 3.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Analyse de syst`mes dynamiques lin´aires ` l’aide de la boˆ ` e e a ıte a outils control systems 17 4.1 Introduction de fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1.1 Introduction sous forme polynˆmiale . . . . . . . . . . . . o 17 4.1.2 Introduction sous forme de z´ros, pˆles et gain (”forme e o d’Evans”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Introduction de mod`les d’´tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 19 4.3 Passage d’un mod`le ` l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 19 4.4 Construction de sch´mas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . e 20 4.4.1 Fonctions series, cloop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4.2 Fonction feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.5 Calcul et trac´ de r´ponses de syst`mes dynamiques lin´aires . . . e e e e 24 4.5.1 R´ponse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 24 4.5.2 R´ponse fr´quentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 28 4.6 Analyse des propri´t´s des syst`mes . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e 28 4.7 Calcul affichage des marges de gain et de phase . . . . . . . . . . 28 4.8 Trac´ du lieu d’Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 29 4.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 version 1.2 2 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 3. eivd Cours MATLAB 5 Les structures de contrˆle du ”langage” MATLAB o 30 6 Simulation de syst`mes dynamiques lin´aires et non-lin´aires e e e avec la boˆ ` outils Simulink ıte a 31 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.2 Exemple introductif : simulation d’un syst`me dynamique lin´aire e e 33 6.2.1 Mod´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 34 6.2.2 Construction du sch´ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 34 6.2.3 Initialisation des param`tres . . . . . . . . . . . . . . . . . e 39 6.2.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.2.5 Sauvegarde des signaux puis traitement dans l’espace de travail MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.2.6 Lancement de la simulation ` partir de MATLAB . . . . . a 46 6.3 La biblioth`que standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 47 6.3.1 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.3.2 Sinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.3.3 Discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3.4 Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3.5 Nonlinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.3.6 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.4 Les S-functions de Simulink (version provisoire) . . . . . . . . . . 55 6.4.1 Conventions d’appel des S-functions . . . . . . . . . . . . . 55 6.4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.4.3 Autres fonctionnalit´s de Simulink . . . . . . . . . . . . . . e 56 version 1.2 3 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 4. eivd Cours MATLAB 1 Introduction Le pr´sent document a pour but de fournir les bases n´cessaires ` l’utilisation e e a du logiciel MATLAB, dans le cadre des cours, des exercices et du laboratoire de r´gulation automatique, pour lequel les boˆ ` outils Control System et Simulink e ıtes a sont employ´es. Il ne pr´sente donc ce logiciel que sous l’angle de son utilisation e e en r´gulation automatique. e Le logiciel MATLAB (MATrix LABoratory) est sp´cialis´ dans le domaine du e e calcul matriciel num´rique. Tous les objets d´finis dans MATLAB le sont donc e e au moyen de vecteurs et de matrices/tableaux de nombres. Un ensemble impor- tant d’op´rateurs et de fonctions MATLAB de base facilitent leur manipulation e et des op´rations comme par exemple le produit et l’inversion matricielles (inv), e la transposition (’) ou encore le calcul des valeurs propres (eig) font partie de la biblioth`que standard. D’autres fonctions servant ` la cr´ation et ` la mani- e a e a pulation de matrices et de tableaux (diag, fliplr, flipud, rot90, rand, ones, zeros, linspace, logspace) sont ´galement disponibles en nombre. e L’environnement MATLAB se pr´sente sous la forme d’un espace de travail e (Workspace), o` un interpr´teur de commandes ex´cute des op´rations et fonc- u e e e tions MATLAB. Les sources de celles-ci sont disponibles, ´crites en “ langage ” e MATLAB, voire en C ou en Fortran. L’utilisateur peut ` sa guise les modifier, a mais en s’en inspirant, il peut surtout cr´er et rajouter ses propres fonctions. e MATLAB offre ´galement plusieurs fonctions destin´es ` la r´solution (num´rique) e e a e e d’´quations diff´rentielles lin´aires ou non-lin´aires par la m´thode de Runge - e e e e e Kutta (ode23 et ode45), l’int´gration num´rique (trapz, quad et quad8), la re- e e cherche des solutions d’´quations alg´briques (roots) ou transcendantes (fzero), e e la cr´ation et manipulation de polynˆmes (poly, polyder, polyval, conv, deconv), e o la transform´e de Fourier rapide (fft, fft2, ifft). e Des fonctions propres au traitement de donn´es (exp´rimentales, telles que e e celles obtenues au laboratoire), comme min, max, mean, cumsum, sort, std, diff, ainsi que celles relatives ` l’interpolation (polyfit, interp1) sont autant d’outils tr`s a e pratiques pour l’ing´nieur analysant un probl`me pratique ou th´orique. e e e version 1.2 4 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 5. eivd Cours MATLAB L’interface graphique de MATLAB est sans conteste l’un des points forts du logiciel et facilite le trac´ de courbes et l’obtention de graphiques 2D ou 3D de e grande qualit´ (plot, stairs, stem, hist, mesh, surf, plot3). Le module Handle Gra- e phics offre la possibilit´ de contrˆler int´gralement cette interface, permettant e o e ainsi ` l’utilisateur de mettre en forme tous ´l´ments d’un graphique, de cr´er ses a ee e propres menus (uimenu) ainsi que des objets graphiques tels que sliders (ascen- seurs), boutons, menu surgissants (uicontrol) avec une facilit´ d´concertante. e e Le ”langage” MATLAB contient un minimum de structures de programma- tion (structure it´rative, structure conditionnelle, sous-routine) mais reste tr`s e e rudimentaire. L’avantage est qu’il est tr`s simple et tr`s rapide ` programmer, e e a offrant une grande tol´rance (syntaxe simple, pas de d´finition de types, etc), ce e e qui permet un gain appr´ciable en temps de mise au point. L’ing´nieur peut par ce e e moyen ˆtre plus efficace dans l’analyse d’un probl`me, en concentrant ses efforts e e sur celui-ci et non pas sur l’outil servant ` le r´soudre. En revanche, MATLAB ne a e convient pas ` la programmation d’applications d’une certaine ampleur. Dans ce a dernier cas, il est possible, sous certaines conditions, de programmer l’application en C et de l’ex´cuter ` partir l’espace de travail MATLAB. e a Au logiciel de base s’ajoutent, selon la configuration choisie, les fonctions provenant d’une s´rie de boˆ ` outils (toolbox ) d´di´s ` des domaines techniques e ıtes a e e a sp´cifiques, comme e – le traitement de signal (signal processing toolbox ), – la r´gulation automatique (control system toolbox ), e – l’identification (system identification toolbox ), – les r´seaux de neurones (neural networks toolbox ), e – la logique floue (fuzzy logic toolbox ), – le calcul symbolique (symbolic math toolbox), et bien d’autres encore. Ces boˆ ıtes ` outils sont simplement constitu´es d’un a e ensemble de fonctions sp´cialis´es programm´es ` partir des fonctions de base de e e e a MATLAB, permettant par exemple la synth`se de filtres, le calcul de FFTs, la e simulation d’algorithmes flous ou encore le calcul de r´ponses harmoniques. e Simulink n’est rien d’autre qu’une boˆ ` outils de MATLAB permettant au ıte a moyen d’une interface graphique ´volu´e la construction rapide et ais´e ainsi e e e que la simulation de sch´mas fonctionnels complexes, contenant des syst`mes e e lin´aires, non lin´aires voire non-stationnaires, y compris des op´rateurs logiques, e e e des outils math´matiques d’analyse, etc. e Dans le cadre de la r´gulation automatique, MATLAB constitue avant tout un e tr`s puissant outil d’analyse des syst`mes dynamiques lin´aires, dont on peut tr`s e e e e facilement obtenir les propri´t´s, comme les pˆles et z´ros (tf2zp, roots) ou le gain ee o e statique (dcgain, ddcgain) et tracer les r´ponses de tous types, la r´ponse impul- e e sionnelle (impulse), indicielle (step), ` un signal quelconque (lsim), ou harmonique a (bode, nyquist). MATLAB se prˆte aussi bien ` l’analyse des syst`mes analogiques e a e ou num´riques (step et dstep, impulse et dimpulse, bode et dbode, lsim et dlsim), e sans qu’il soit cependant possible d’´tudier des syst`mes mixtes analogiques- e e version 1.2 5 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 6. eivd Cours MATLAB num´riques. Diff´rentes commandes permettent de construire et d’analyser des e e syst`mes lin´aires de structure complexe, form´s de multiples blocs connect´s e e e e tantˆt en s´rie, parall`le ou ´tant contre-r´actionn´s (series, cloop, feedback, pa- o e e e e e rallel, append, connect, blkbuild). Pour le traitement ais´ de syst`mes non-lin´aires, de mˆme que pour la construc- e e e e tion de sch´mas fonctionnels complexes, on aura ` l’´vidence int´rˆt ` utiliser la e a e ee a boˆ ` outils Simulink, qui constitue alors un outil id´al. ıte a e Incontestablement, MATLAB est un formidable outil pour l’ing´nieur, y com- e pris pour celui traitant des probl`mes pratiques. Avec sa boˆ ` outils Simulink, e ıte a il est maintenant une r´f´rence au niveau mondial, non seulement dans les uni- ee versit´s et instituts de recherche, mais aussi dans le milieu industriel. e MATLAB est disponible pour plusieurs plateformes (Windows, Macintosh, Unix, Linux). Les coordonn´es du fournisseur pour la Suisse ci-dessous. e The MathWorks GmbH Sch¨rmattstrasse 6+8 u 3073 G¨mligen u T´l´phone ee (031) 954.20.16 T´l´fax ee (031) 954.20.22 Services Internet http://www.mathworks.com http://www.mathworks.ch ftp.mathworks.com http://www.scientific.de Autres liens : http://www.sysquake.com http://www-rocq.inria.fr/scilab/ version 1.2 6 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 7. eivd Cours MATLAB 2 M´thode de travail e 2.1 Edition et sauvegarde des fichiers MATLAB 2.1.1 Editeur PFE Dans un premier temps, on peut se contenter d’introduire ses commandes une ` une au niveau de l’espace de travail o` elles sont interpr´t´es directement. a u ee Cependant, par la suite, il est beaucoup plus pratique d’´crire sa s´quence de e e commandes compl`te au moyen d’un ´diteur, puis de sauver le tout dans un e e fichier avec l’extension .M. Cette s´quence pourra alors ˆtre ex´cut´e dans MAT- e e e e LAB par simple introduction du nom du fichier. Sur les stations du laboratoire d’Automatique (salle C05), ”l’´diteur pour programmeur PFE” est install´ et e e son utilisation est recommand´e. On l’appelle soit par son icˆne ` partir du ges- e o a tionnaire de programmes, soit directement ` partir de MATLAB en s´lectionnant a e File-New-M-file. De cette fa¸on, l’utilisateur peut rajouter ses propres fonctions et se cr´er c e rapidement et facilement toute une panoplie d’outils (par exemple, ”synth`se e automatique d’un r´gulateur PID par la m´thode de Bode”). Les sources de e e MATLAB ´tant disponibles pour la plupart, ce n’est pas un probl`me que de e e modifier ` sa guise l’une ou l’autre des routines, par exemple dans de but d’obtenir a un trac´ particulier du lieu de Bode. e 2.2 Aide en ligne En plus de l’aide de Windows, une aide en ligne est disponible pour chaque commande de MATLAB. Il suffit d’introduire : version 1.2 7 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 8. eivd Cours MATLAB help nom de commande 2.3 Cr´ation de fichiers de commandes et de fonctions e utilisateur 2.3.1 Fichiers de commande (”script files”) Un fichier de commande (script file) est un fichier ASCII d’extension .M conte- nant une suite de commandes MATLAB. Il ˆtre ex´cut´ directement en tapant e e e simplement son nom dans l’espace de travail MATLAB. 2.3.2 Fonctions De nouvelles fonctions peuvent ˆtre ajout´es ` MATLAB par l’utilisateur. Il e e a suffit de cr´er un fichier de nom e nom de fonction.M contenant les commandes ` ex´cuter et dont l’entˆte a le format : a e e function [liste des arguments de sortie] = nom de fonction(liste des arguments d’entr´e) e Exemple La fonction suivante convertit la grandeur d’entr´e x en d´bibels et e e la retourne dans y. function [ y ] = l i n 2 d b ( x ) y = 20∗ log10 ( x ) ; Le fichier correspondant est sauv´ sous le nom lin2db.m, dans un r´pertoire e e figurant dans le chemin de recherche de MATLAB. Contrairement aux fichiers de commande, les variables intervenant dans les fonctions sont locales. Les commentaires documentant les fonctions peuvent ˆtre ins´r´s en les faisant e ee pr´c´der du symbole %. e e D´tail pratique int´ressant, les premi`res lignes d’un fichier e e e nom de fichier.m pr´c´d´es du symbole % sont affich´es lorsque l’on tape : e e e e help nom de fichier version 1.2 8 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 9. eivd Cours MATLAB Ceci permet de fournir une aide en ligne pour chaque fonction utilisateur nouvellement cr´´e. Pour la fonction lin2db, on documentera par exemple comme ee suit : function [ y ] = l i n 2 d b ( x ) %f u n c t i o n [ y ] = l i n 2 d b ( x ) %c o n v e r s i o n en dB y = 20∗ log10 ( x ) ; En tapant help lin2db, on obtiendra alors : 2.4 Sauvegarde de donn´es sur disque e Les variables d´finies dans l’espace de travail MATLAB peuvent ˆtre sauve- e e gard´es dans des fichiers ASCII par la commande : e save cheminnom_de_fichier.dat nom_de_variable -ascii Un tel fichier ASCII peut ˆtre ult´rieurement relu soit par MATLAB (fonction e e load) soit par d’autres programmes (Excel, Word, etc). Dans le premier cas, il est cependant conseill´ de sauver directement la variable dans un fichier binaire e *.MAT de format sp´cifique ` MATLAB : e a save cheminnom_de_fichier nom_de_variable La fenˆtre graphique peut ˆtre soit imprim´e directement, soit sauv´e dans un e e e e fichier, lequel peut ˆtre int´gr´ dans un document (menu importation d’image) e e e ou imprim´ ult´rieurement. Signalons, parmi les diff´rents formats de fichiers dis- e e e ponibles, le format PostScript qui fournit une qualit´ irr´prochable. Par exemple, e e le sauvetage de la fenˆtre graphique courante s’effectue par : e print chemin nom_de_fichier.eps -deps pour le format PostScript et par version 1.2 9 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 10. eivd Cours MATLAB print chemin nom_de_fichier.wmf -dmeta pour le format Windows Meta File. Auparavant, il faut prendre garde ` ce que la a fenˆtre graphique courante soit bien celle que l’on souhaite imprimer en tapant e figure ( n u m e r o d e l a f e n e t r e a i m p r i m e r ) Attention : la commande print est tr`s rudimentaire et ne donne aucun message e en cas d’´chec ou si le fichier existe d´j` ! e ea La copie de la fenˆtre graphique est ´galement possible par l’interm´diaire e e e du clipboard, ce qui permet par exemple de sauver la fenˆtre dans WordPerfect, e Word ou PowerPoint (choisir le format WMF plutˆt que le bitmap). o 2.4.1 R´pertoires de sauvegarde : D :USERS et compte EINET e Il faut indiquer le chemin correspondant ` l’endroit o` MATLAB trouvera a u le fichier de commande ou la fonction ´crite par l’utilisateur. Dans le cas de la e version MATLAB install´e sur le r´seau du laboratoire d’Automatique de l’eivd, e e il suffit ` l’utilisateur de sauver ses propres fonctions dans le r´pertoire : a e D :USERS qui est dans le chemin de recherche de MATLAB. Le disque D : est local et les donn´es qui s’y trouvent peuvent donc ˆtre modifi´es voire carr´ment dis- e e e e paraˆıtre d’un cours ` l’autre. A la fin de sa session de travail, on aura donc a int´rˆt ` sauvegarder ses fichiers sur disquette ou son compte EINET. Le docu- ee a ment s:regulationdiversconnection_EINET.doc explique la mani`re de se e connecter son disque EINET ` partir du domaine iAi. a version 1.2 10 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 11. eivd Cours MATLAB 3 Les bases de MATLAB 3.1 Cr´ation et calcul de vecteurs et matrices e 3.1.1 Vecteurs Un vecteur-ligne est introduit de la fa¸on suivante : c v =[5,2,13,4] Le vecteur v s’affiche alors ` l’´cran : a e v= 5 2 13 4 Si l’introduction est termin´e par un point-virgule, on ´vite l’affichage du vecteur e e v. Un vecteur-colonne peut ˆtre introduit en rempla¸ant les virgules par des e c points-virgules ou des retours de chariot. L’acc`s aux composantes d’un vecteur e s’effectue directement par des commandes du genre : v (3) ce qui donne ` l’´cran : a e ans = 13 Si comme dans le cas pr´sent, v(3) n’est pas affect´ ` une variable, par une e e a commande de la forme x=v(3) , MATLAB copie d’office le r´sultat dans la variable e syst`me ans (answer ), alors disponible pour le calcul suivant. e Remarque Dans MATLAB, les indices des vecteurs et matrices doivent ˆtre dese entiers positifs. L’indice z´ro n’est donc pas plus admis que les indices n´gatifs. e e 3.1.2 Matrices Une matrice peut ˆtre construite de diff´rentes mani`res : e e e m= [ 5 , 2 , 1 3 , 4 ; 6 , 8 , 3 , 1 0 ; 0 , 1 , 2 0 , 9 ] et l’affichage devient : m= 5 2 13 4 6 8 3 10 version 1.2 11 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 12. eivd Cours MATLAB 0 1 20 9 ou encore, ayant d´fini pr´alablement les vecteurs-ligne v1, v2 et v3 : e e v1 = [ 5 , 2 , 1 3 , 4 ] ; v2 = [ 6 , 8 , 3 , 1 0 ] ; v3 = [ 0 , 1 , 2 0 , 9 ] ; m=[ v1 ; v2 ; v3 ] L’acc`s ` un ´l´ment de la matrice s’effectue par : e a ee m( 2 , 4 ) et l’on obtient : ans = 10 Le remplacement de 2 par : (deux points) permet d’obtenir toute la colonne 4 : m( : , 4 ) et l’´cran affiche le vecteur-colonne : e ans = 4 10 9 De mˆme, l’affichage d’une sous-matrice s’obtient par : e m( 2 : 3 , 2 : 4 ) et l’´cran affiche : e ans = 8 3 10 1 20 9 L’acc`s aux colonnes 2 et 4 de la matrice m se r´alise comme suit : e e m( : , [ 2 , 4 ] ) ce qui produit : version 1.2 12 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 13. eivd Cours MATLAB ans = 2 4 8 10 1 9 Parmi les op´rations matricielles qui ont une certaine importance pratique, si- e gnalons l’op´rateur de transposition e m’ donnant dans le cas de l’exemple ans = 5 6 0 2 8 1 13 3 20 4 10 9 et la fonction eig qui calcule les valeurs propres d’une matrice. Soit la matrice carr´e 4 × 4 form´e de composantes al´atoires (ici utilisation de la fonction rand) e e e A=rand ( 4 , 4 ) A= 0.2190 0.9347 0.0346 0.0077 0.0470 0.3835 0.0535 0.3834 0.6789 0.5194 0.5297 0.0668 0.6793 0.8310 0.6711 0.4175 Les valeurs propres (eigenvalues) sont : eig (A) ans = 1. 409 5 0.1082 + 0.4681 i 0.1082 − 0.4681 i −0.0763 3.1.3 Construction de matrices particuli`res e Les routines ones et zeros permettent de construire des matrices dont tous les ´l´ments sont ´gaux ` 1 respectivement ` 0. Voir ´galement eye (matrice identit´), ee e a a e e diag (matrice diagonale), linspace (vecteur dont les composantes sont espac´es e lin´airement entre deux limites) et logspace (vecteur dont les composantes sont e espac´es logarithmiquement entre deux limites). e version 1.2 13 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 14. eivd Cours MATLAB 3.1.4 Nombres complexes Les vecteurs et matrices peuvent avoir des composantes complexes. Les nombres complexes sont introduits comme suit : x = a + j ∗b ; ou x = a + i ∗b ; L’unit´ de l’axe imaginaire est donc indiff´remment i ou j. Des fonctions sont e e pr´vues pour le calcul de la partie r´elle (real(x)), de la partie imaginaire (imag(x)), e e du module (abs(x)), de l’argument (angle(x)) et du conjugu´ complexe (conj(x)). e 3.2 Op´rations sur les tableaux e On rappelle le slogan publicitaire de MATLAB, ”live is to short to spend time with for loops”, pour mentionner qu’effectivement, la majeure partie des op´rations peuvent s’effectuer sans boucles de type for. Par exemple, le calcul du e sinus cardinal sin (ϑ) sinc (ϑ) = ϑ de l’angle θ pour les valeurs de suivantes t h e t a =linspace (−4∗ pi , 4∗ pi , 1 0 0 ) ; soit 100 valeurs espac´es lin´airement entre −4π et +4π, se fait avantageusement e e dans MATLAB par s i n c = sin ( t h e t a ) . / t h e t a ; o` le point pr´c´dant l’op´rateur de division indique qu’il ne s’agit pas d’une u e e e op´ration matricielle, mais d’une op´ration ´l´ment par ´l´ment sur deux ta- e e ee ee bleaux. Il faut donc bien faire la distinction entre par exemple le produit ma- triciel a11 a12 b11 b12 a11 · b11 + a12 · b21 a11 · b12 + a12 · b22 · = a21 a22 b21 b22 a21 · b11 + a22 · b21 a21 · b12 + a22 · b22 et le produit, ´l´ment par ´l´ment de deux tableaux : ee ee a11 a12 b11 b12 a11 · b11 a12 · b12 · = a21 a22 b21 b22 a21 · b21 a22 · b22 version 1.2 14 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 15. eivd Cours MATLAB Remarque Ici, la fonction linspace a ´t´ utilis´e, une variante ´tant d’´crire ee e e e t h e t a =−4∗pi : 8∗ pi / ( 1 0 0 − 1 ) : 4 ∗ pi ; 3.3 Repr´sentation graphique 2D e Plusieurs types de repr´sentations graphiques 2D sont disponibles : e FONCTION DESCRIPTION Repr´sente chaque colonne de la matrice y en fonction e plot(y) de l’indice du rang. Repr´sente les colonnes de y en fonction de celles de x. e plot(x,y) Il faut que x ait soit une seule colonne, soit autant de plot(x,cos(x)) colonnes que y, et r´ciproquement. e plot(t1,y1,t2,y2) Repr´sente y1 en fonction de t1 et y2 en fonction de t2 e plot(t1,y1,’ :’,t2,y2,’-.’) (y1 et t1 doivent avoir le mˆme nombre de lignes, de e plot(t1,y1,’o’,t2,y2,’x’) mˆme que y2 et t2) e Repr´sente les colonnes y1 et y2 en fonction de t e plot(t,[y1,y2]) (y1, y2 et t doivent avoir le mˆme nombre de lignes) e Repr´sente chaque ´l´ment de y en fonction de son indice. e ee Le trac´ est en escaliers, utile pour les r´ponses de e e stairs(y) syst`mes num´riques (pas d’interpolation entre les points e e repr´sent´s) e e Repr´sente chaque ´l´ment de y en fonction de son indice. e ee stem(y) Chaque point est repr´sent´ par symbole “ ´chantillon ”, e e e ce qui est utile pour les syst`mes num´riques. e e Repr´sente A (ici en [dB]) en fonction de w, l’´chelle e e semilogx(w,20*log10(A)) ´tant logarithmique. e (A et w doivent avoir le mˆme nombre d’´l´ments) e ee Repr´sente phase en fonction de w, l’´chelle ´tant loga- e e e semilogx(w,phase) rithmique. (phase et w doivent avoir le mˆme nombre d’´l´ments) e ee Repr´sente y en fonction de x, les ´chelles ´tant toutes e e e loglog(x,y) deux logarithmiques. (x et y doivent avoir le mˆme nombre d’´l´ments) e ee Il est de plus recommand´ de consulter la documentation MATLAB (ou l’aide e en ligne) pour les commandes axis, hold, et subplot, title, xlabel, ylabel, gtext ainsi que figure. Cette derni`re instruction permet de sp´cifier le num´ro de la fenˆtre e e e e graphique dans laquelle le trac´ doit ˆtre effectu´. L’ex´cuter juste avant l’une e e e e des instructions de tra¸age active directement la fenˆtre graphique qui apparaˆ c e ıt alors ` l’´cran. a e version 1.2 15 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 16. eivd Cours MATLAB 3.3.1 Exemple La suite des instructions ci-dessous calcule et trace le sinus, le sinus carr´ ainsi e que le sinus cardinal de l’angle θ d´fini ` l’aide de l’instruction linspace : e a t h e t a =linspace (−4∗ pi , 4 ∗ pi , 1 0 0 ) ; s i n c = sin ( t h e t a ) . / t h e t a ; s i n u s 2 = sin ( t h e t a ) . ˆ 2 ; figure ( 1 ) , plot ( t h e t a , sin ( t h e t a ) , t h e t a , s i n u s 2 , ’ − . ’ , t h e t a , s i n c , ’ x ’ ) m = [ sin ( t h e t a ) ’ , s i n u s 2 ’ , s i n c ’ ] ; figure ( 2 ) , plot ( t h e t a , m) Le r´sultat est le suivant : e 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −15 −10 −5 0 5 10 15 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −15 −10 −5 0 5 10 15 version 1.2 16 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 17. eivd Cours MATLAB 4 Analyse de syst`mes dynamiques lin´aires ` e e a l’aide de la boˆ ` outils control systems ıte a 4.1 Introduction de fonctions de transfert 4.1.1 Introduction sous forme polynˆmiale o L’introduction de fonctions de transfert s’effectue en deux temps, les num´rateur e et d´nominateur devant ˆtre donn´s s´par´ment. Le principe est simple : les e e e e e num´rateur et d´nominateur apparaissent sous forme de vecteurs-ligne, les com- e e posantes desquels ´tant les coefficients des puissances d´croissantes de s (syst`mes e e e analogiques) ou de z (syst`mes num´riques). e e Soit par exemple la fonction de transfert 1 + s · 10 G(s) = 36 · 1 + s · 2 + s2 · 0.1 Son introduction dans MATLAB se fait par les commandes : numG= 3 6 ∗ [ 1 0 , 1 ] ; denG = [ 0 . 1 , 2 , 1 ] ; Le coefficient de s0 (ou z 0 pour les syst`mes num´riques), qu’il soit nul ou e e non, doit toujours ˆtre donn´. Ainsi, la fonction de transfert de l’int´grateur e e e 2.71828 G (s) = s est introduite sous la forme : numG= 2 . 7 1 8 2 8 ∗ [ 1 ] ; denG = [ 1 , 0 ] ; Les noms donn´s aux num´rateurs et d´nominateurs sont libres. On aura e e e toutefois int´rˆt ` ˆtre organis´ et rigoureux dans les notations employ´es ; par ee ae e e exemple, en se r´f´rant au sch´ma fonctionnel universel, en r´gulation de corres- ee e e pondance (v(t) = 0), v ( t ) + e ( t ) u ( t ) + + w ( t ) 5 G ( s ) G ( s ) 5 G ( s ) y ( t ) c a 1 a 2 - f _ 0 1 _ 0 3 . e p s version 1.2 17 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 18. eivd Cours MATLAB on ne saura que trop recommander l’emploi d’une notation semblable ` la sui- a vante, numGc= 2 ∗ [ 1 , 2 0 ] ; denGc = [ 1 , 0 ] ; numGa1=1e − 3 ∗ [ 1 , 1 0 ] ; denGa1 = [ 1 , 2 , 0 . 1 1 ] ; numGa2 = 3 6 ∗ [ 1 , 0 . 1 ] ; denGa2 = [ 1 , 2 0 , 1 0 ] ; pour les fonctions de transfert s + 20 Gc (s) = 2 · s s + 10 Ga1 (s) = 0.01 · s2 + 2 · s + 0.11 (s + 0.1) Ga2 (s) = 36 · 2 s + 20 · s + 10 Notons qu’` partir de la version 5.0 de MATLAB, il existe des objets fonction de a transfert, que l’on peut introduire comme suit (cas de l’exemple ci-dessus) : numGc= 2 ∗ [ 1 , 2 0 ] ; denGc = [ 1 , 0 ] ; Gc=t f ( numGc, denGc ) numGa1=1e − 3 ∗ [ 1 , 1 0 ] ; denGa1 = [ 1 , 2 , 0 . 1 1 ] ; Ga2=t f ( numGa1, denGa2 ) numGa2 = 3 6 ∗ [ 1 , 0 . 1 ] ; denGa2 = [ 1 , 2 0 , 1 0 ] ; Ga2=t f ( numGa2, denGa2 ) On peut alors calculer sans autre : Go=Gc∗Ga1∗Ga2 ; Gw=Go/(1+Go) ; Gv=Ga2/(1+Gc∗Ga1∗Ga2 ) ; 4.1.2 Introduction sous forme de z´ros, pˆles et gain (”forme d’Evans”) e o Il est ´galement possible d’introduire une fonction de transfert par le biais de e ses z´ros, pˆles et de son facteur d’Evans k. Les z´ros et pˆles doivent apparaˆ e o e o ıtre sous forme de vecteurs-colonne. Soit par exemple la fonction de transfert : version 1.2 18 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 19. eivd Cours MATLAB 5.32 (s + 3)2 + 72 G (s) = · s (s + 11) · (s + 5)2 + 32 5.32 (s − (−3 + 7j)) · (s − (−3 − 7j)) = · s (s − (−11)) · (s − (−5 + 3j)) · (s − (−5 − 3j)) La suite de commandes n´cessaires est simplement : e zG=[−3+j ∗7,−3− j ∗ 7 ] ’ ; sG=[0,−10,−5+ j ∗3,−5− j ∗ 3 ] ’ ; kG=5.32; Il va sans dire que l’on privil´giera cette forme lorsque les num´rateur et e e d´nominateur de la fonction de transfert du syst`me G(s) ou G(z) ne sont pas e e directement disponibles sous forme de polynˆmes. o 4.2 Introduction de mod`les d’´tat e e Si un syst`me est connu sous la forme de ses ´quations d’´tat (lin´aires), e e e e dx =A·x+B·u dt y =C ·x+D·u il suffit d’indiquer ` MATLAB les quatre matrices A, B, C, et D, par exemple : a A= [ − 3 , 0 ; 0 , 7 ] ; B= [ 1 0 , 0 , 1 ] ’ ; C= [ 1 , 2 ; 3 , 4 ] ; D= [ 0 ] ; 4.3 Passage d’un mod`le ` l’autre e a Les pˆles et z´ros des fonctions de transfert sont obtenus ` l’aide de la fonction o e a tf2zp (transfer function to zero pole) : [ zG, sG , kG]= t f 2 z p (numG, denG ) ; MATLAB place alors les z´ros et les pˆles dans les vecteurs-colonne zG et sG, e o respectivement, et le facteur d’Evans dans la variable kG. Les noms zG, sG et kG sont arbitraires. On acc`de ` ces valeurs par exemple en tapant leur nom : e a version 1.2 19 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 20. eivd Cours MATLAB sG MATLAB affiche : sG= −19.4868 −0.5132 Remarque : un polynˆme est introduit sous la forme d’un vecteur-ligne v o dont les composantes repr´sentent les coefficients des puissances d´croissantes ; e e ses racines sont obtenues par la fonction roots(v) Toute une cat´gorie de routines permettent de passer d’un mod`le ` l’autre : e e a forme polynˆmiale → forme tf2zp [zG,sG,kG]=tf2zp(numG,denG) ; o en z´ros, pˆles et gain e o forme polynˆmiale o → tf2ss [AG,BG,CG,DG]=tf2ss(numG,denG) ; mod`le d’´tat e e forme en z´ros, pˆles et gain zp2tf [numG,denG]=zp2tf(zG,sG,kG) ; e o → forme polynˆmiale o forme en z´ros, pˆles et gain zp2ss [AG,BG,CG,DG]=zp2ss(zG,sG,kG) ; e o → mod`le d’´tat e e mod`le d’´tat → forme po- ss2tf e e [numG,denG]=ss2tf(AG,BG,CG,DG) ; lynˆmiale o mod`le d’´tat → forme en ss2zp [zG,sG,kG]=ss2zp(AG,BG,CG,DG) ; e e z´ros, pˆles et gain e o mod`le d’´tat → autre ss2ss [AG2,BG2,CG2,DG2]=ss2ss(AG,BG,CG,DG,T) ; e e mod`le d’´tat, avec matrice e e de transformation T 4.4 Construction de sch´mas fonctionnels e 4.4.1 Fonctions series, cloop Prenons pour exemple le sch´ma fonctionnel universel, dont on souhaite obte- e nir les fonctions de transfert en boucle ouverte Go (s) et en boucle ferm´e Gw (s). e Pour ce faire, faut proc´der par ´tapes, comme l’indique la figure ci-apr`s : e e e v ( t ) + e ( t ) u ( t ) + + w ( t ) 5 G ( s ) G ( s ) 5 G ( s ) y ( t ) c a 1 a 2 - f _ 0 1 _ 0 3 . e p s version 1.2 20 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 21. eivd Cours MATLAB 1. Calcul de Ga (s) par la mise en s´rie de Ga1 et Ga2 . e On fait usage de la fonction series : [ numGa, denGa]= s e r i e s ( numGa1, denGa1 , numGa2, denGa2 ) ; 2. Calcul de Go (s) par la mise en s´rie de Gc et Ga . On proc`de de mˆme : e e e [ numGo, denGo]= s e r i e s ( numGc, denGc , numGa, denGa ) ; 3. Calcul de Gw (s) par fermeture de la boucle (retour unitaire). On fait usage de la fonction cloop comme suit : [ numGw, denGw]= c l o o p ( numGo, denGo ) ; 4. La r´ponse indicielle en boucle ferm´e peut alors ˆtre calcul´e et trac´e par : e e e e e s te p (numGw, denGw) Step Response 1.5 1 Amplitude 0.5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time (sec.) On peut au passage calculer le gain statique (gain DC) de Gw (s). dcgain (numGw, denGw) 5. La r´ponse harmonique en boucle ouverte peut par exemple aussi ˆtre cal- e e cul´e : e bode ( numGo, denGo ) version 1.2 21 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 22. eivd Cours MATLAB Bode Diagrams 50 0 Phase (deg); Magnitude (dB) −50 −100 −100 −120 −140 −160 −180 −200 −220 −3 −2 −1 0 1 2 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) 6. Finalement, on peut afficher la configuration pˆle-z´ro de Gw (s) : o e pzmap (numGw, denGw) Pole zero map 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Imag Axis 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Real Axis 4.4.2 Fonction feedback La fonction feedback est utile pour calculer la fonction de transfert ´quivalente e de syst`mes ayant pour sch´ma fonctionnel la figure ci-dessous, soit : e e Y (s) Ga (s) Gv (s) = = V (s) 1 + Ga (s) · Ga (s) version 1.2 22 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 23. eivd Cours MATLAB [ numGv, denGv]= f e ed ba c k ( numGa, denGa , numGc, denGc , s i g n e ) ; 1 v ( t ) 5 G ( s ) y ( t ) aI - 1 G cI ( s ) f _ 0 1 _ 0 6 . e p s Si le param`tre signe n’est pas sp´cifi´ ou vaut −1, la fonction de transfert e e e Gc (s) est en contre-r´action, alors qu’elle est r´actionn´e pour une valeur de signe e e e ´gale ` 1. e a L’exemple ci-dessous calcule le fonction de transfert en r´gulation de maintien e du syst`me asservi pr´c´demment trait´. e e e e [ numG1, denG1 ] = s e r i e s ( numGc, denGc , numGa1, denGa1 ) ; [ numGv, denGv ] = fe e d b a c k ( numGa2, denGa2 , numG1, denG1 ) ; Step Response 1.5 1 Amplitude 0.5 0 −0.5 0 5 10 15 20 25 30 Time (sec.) version 1.2 23 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 24. eivd Cours MATLAB 4.5 Calcul et trac´ de r´ponses de syst`mes dynamiques e e e lin´aires e 4.5.1 R´ponse temporelle e Lorsque qu’aucun argument de sortie n’est sp´cifi´ (lhs, left handside argu- e e ment), le calcul et le trac´ des r´ponses sont simultan´s. e e e Les fonctions impulse, step, lsim, et pour les syst`mes num´riques, dimpulse, e e dstep, dlsim sont disponibles. Leur signification sont donn´es sur les tables 4.5.1 page e suivante et 4.5.1 page 26. Le trac´ correspondant est directement obtenu en tapant les commandes telles e que donn´es dans les tableaux ci-dessus. e Les param`tres t, n, et w sont des optionnels et MATLAB les d´termine lui- e e mˆme par d´faut. Si l’on souhaite les fixer, on peut par exemple le faire selon les e e indications du tableau 4.5.1 page 26. Lors du calcul de la r´ponse harmonique de syst`mes num´riques, il convient de e e e sp´cifier la p´riode d’´chantillonnage h. e e e Il est souvent utile d’effectuer ces calculs de r´ponse sans tracer celle-ci imm´diatement. e e Dans ce cas, on proc`de comme ci-dessus en sp´cifiant toutefois des arguments e e de sortie dans lesquels MATLAB sauvera les r´sultats de ses calculs : e SYSTEMES ANALOGIQUES SYSTEMES NUMERIQUES [y,x,t]=impulse(numG,denG,t) ; [y,x]=dimpulse(numH,denH,n) ; [y,x,t]=step(numG,denG,t) ; [y,x]=dstep(numH,denH,n) ; [y,x]=lsim(numG,denG,u,t) ; [y,x]=dlsim(numH,denH,u) ; y est un vecteur-colonne contenant la r´ponse cherch´e et t un vecteur-ligne e e contenant les instants auxquels elle a ´t´ calcul´e. x est une matrice contenant ee e l’´volution du vecteur d’´tat syst`me dynamique. La figure suivante montre le e e e calcul pr´alable des r´ponses imoulsionnelle et indicielle avant leur trac´ ` l’aide e e ea de la fonction plot. [ ys , x , t ] = s t e p (numGw, denGw ) ; [ y i ] = i m p u l s e (numGw, denGw, t ) ; figure plot ( t , [ y i , ys ] ) t i t l e ( ’ R´ ponses i m p u l s i o n n e l l e e et indicielle en b o u c l e ferm´ e ’ ) e xlabel ( ’ t [ s ] ’ ) version 1.2 24 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 25. eivd Cours MATLAB SYSTEMES ANALO- REPONSE EXEMPLE GIQUES 25 20 15 Amplitude 10 5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 impulse(numG,denG,t) r´ponse impul- e Time (secs) sionnelle 1 0.8 0.6 Amplitude 0.4 0.2 0 −0.2 0 5 10 15 20 25 30 step(numG,denG,t) r´ponse e indi- Time (secs) cielle 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 Amplitude 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 −0.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 lsim(numG,denG,u,t) r´ponse ` une e a Time (secs) entr´e u quel- e conque d´finiee par l’utilisateur initial(A,B,C,D,x0,t) r´ponse e du syst`me lorsque e ses conditions initiales sont x0 Tab. 1 – version 1.2 25 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 26. eivd Cours MATLAB SYSTEMES NUMERIQUES REPONSE dimpulse(numH,denH,n) r´ponse impulsionnelle e dstep(numH,denH,n) r´ponse indicielle e dlsim(numH,denH,u) r´ponse ` une entr´e u quelconque e a e d´finie par l’utilisateur e dinitial(A,B,C,D,x0,n) r´ponse du syst`me lorsque ses condi- e e tions initiales sont x0 Tab. 2 – PARAMETRE SIGNIFICATION EXEMPLE t (facultatif) t=[0 :0.01 :0.2] ; vecteur-ligne de temps, ou sp´cifiant les instants o` la e u t=linspace(0,0.2,201) ; r´ponse doit ˆtre calcul´e e e e (cr´e un vecteur temps variant entre e (ce param`tre est obligatoire e 0[s] et 0.2[s] par pas de 0.01[s]) si l’on utilise lsim) n (facultatif) n=10 ; nombre d’´chantillons d´sir´s e e e (seuls les 10 premiers ´chantillons de e la r´ponse seront affich´s) e e w (facultatif) w=logspace(2,5,100) ; vecteur-ligne de pulsation, (cr´e un vecteur pulsation de 100 e sp´cifiant les pulsations o` la e u points espac´s logarithmiquement et e r´ponse doit ˆtre calcul´e e e e variant entre 102 [rad/s] et 105 [rad/s]) u vecteur-colonne de l’entr´e e u=1.5*sin(2*pi*10*t)’ ; simul´e du syst`me e e (cr´e un vecteur u repr´sentant une e e (ce param`tre est obligatoire e entr´e sinuso¨ e ıdale d’amplitude 1.5 et si l’on utilise lsim ou dlsim) de fr´quence 10[Hz]. u est calcul´ e e pour chaque instant d´fini dans le e vecteur t, par exemple celui donn´ ci- e dessus) Tab. 3 – version 1.2 26 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 27. eivd Cours MATLAB Réponses impulsionnelle et indicielle en boucle fermée 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t [s] De mˆme, l’exemple suivant montre le trac´ de la r´ponse d’un syst`me asservi e e e e a ` une rampe de consigne, en faisant notamment usage de la fonction lsim. wr = t ’ ; yr = l s i m (numGw, denGw, wr , t ) ; figure subplot ( 2 1 1 ) , plot ( t , yr ) t i t l e ( ’ Consigne et grandeur r ´ g l ´ e ’ ) e e subplot ( 2 1 2 ) , plot ( t , wr−yr ) t i t l e ( ’ Erreur ’ ) xlabel ( ’ t [ s ] ’ ) subplot ( 1 1 1 ) Consigne et grandeur réglée 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Erreur 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t [s] version 1.2 27 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 28. eivd Cours MATLAB 4.5.2 R´ponse fr´quentielle e e Les fonctions bode, nyquist, nychols, et pour les syst`mes num´riques, dbode, e e dnyquist, dnychols sont disponibles. Leur signification est la suivante : SYSTEMES ANALOGIQUES SYSTEMES NUMERIQUES bode(numG,denG,w) dbode(numH,denH,h,w) Si les r´sultats des calculs doivent ˆtre sauvegard´s en vue d’un traitement ult´rieur, e e e e on indique ´galement des arguments de sortie : e SYSTEMES ANALOGIQUES SYSTEMES NUMERIQUES [A,phi,w]=bode(numG,denG,w) [A,phi,w]=dbode(numH,denH,h,w) A et phi sont des vecteurs-colonne contenant respectivement le gain et la phase et w un vecteur-ligne contenant les pulsations correspondantes. 4.6 Analyse des propri´t´s des syst`mes e e e dcgain(num,den) Gain statique d’un syst`me analogique. e ddcgain(num,den) Gain statique d’un syst`me num´rique. e e damp(den) Taux d’amortissement ζ, pulsation propre non-amortie ωn et pˆles d’un o syst`me analogique ayant den pour e d´nominateur e ddamp(den) Taux d’amortissement ζ, pulsation propre non-amortie ωn et pˆles d’un o syst`me discret ayant den pour e d´nominateur. e 4.7 Calcul affichage des marges de gain et de phase [Am,phi m]=margin(numGo,denGo) Marges de phase Si les arguments de et de gain d’un sortie ne sont pas syst`me e analo- sp´cifi´s, trace le e e gique. lieu de Bode et montre graphique- ment la valeur des marges version 1.2 28 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 29. eivd Cours MATLAB 4.8 Trac´ du lieu d’Evans e rlocus(num,den,k) Trace le lieu d’Evans de k est une option ; c’est la fonction de transfert. un vecteur-ligne conte- nant les diff´rentes va- e leurs du facteur d’Evans pour lesquelles le lieu doit ˆtre trac´. e e sgrid Affiche les courbes ´qui- e A ex´cuter e zgrid amortissement des plan imm´diatement e apr`s e de s et de z respective- rlocus ment. pzmap(num,den) Graphe la configuration pˆles -z´ros de la fonction o e de transfert. [k,p]=rlocfind(num,den) Trac´ interactif du lieu e A ex´cuter directement e d’Evans. apr`s rlocus et sgrid ; une e croix est alors affich´e, e que l’on peut d´placer e avec la souris sur un point particulier du lieu. En cliquant , on obtient alors dans k le facteur d’Evans correspondant et dans p l’expression du pˆle. o 4.9 Divers minreal(num,den) Force la compensation pˆle-z´ro. o e printsys(num,den,’s’) Affiche les fonctions de printsys(num,den,’z’) transfert comme frac- tions ratrionnelles en s ou en z version 1.2 29 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 30. eivd Cours MATLAB 5 Les structures de contrˆle du ”langage” MAT- o LAB Les structures de contrˆle usuelles sont disponibles : o INSTRUCTION EXEMPLE delta t=0.01 ; for variable=expression for i=1 :1 :21 ; statements %le pas vaut par defaut 1 end y(i)=sin(2*pi*10*(i-1)*delta t) ; end plot(y) delta t=0.01 ; while expression i=0 ; statements while i<21 end i=i+1 ; y(i)=sin(2*pi*10*(i-1)*delta t) ; end if expression delta t=0.01 ; statements i=0 ; elseif expression if i<21, statements i=i+1 ; else y(i)=sin(2*pi*10*(i-1)*delta t) ; statements end end version 1.2 30 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 31. eivd Cours MATLAB 6 Simulation de syst`mes dynamiques lin´aires e e et non-lin´aires avec la boˆ ` outils Simulink e ıte a 6.1 Introduction La boˆ ` outils Simulink est un compl´ment extrˆmement puissant ` MAT- ıte a e e a LAB. Les contributions de Simulink sont principalement : 1. La construction conviviale de sch´mas fonctionnels, faite ` la souris ; e a 2. La simulation de syst`mes lin´aires et surtout non-lin´aires, ainsi que de e e e syst`mes non-stationnaires ; e 3. La simulation de syst`mes mixtes analogiques et num´riques. e e Fig. 1 – Librairie standard de Simulink. Pour la construction de sch´mas, le gain de temps se situe au-del` de 10 ` 100, e a a car il ´vite l’utilisation extrˆmement fastidieuse des fonctions MATLAB blkbuild e e et connect. Si certains reprochent ` MATLAB un certain caract`re r´barbatif, Simulink, a e e en plus d’offrir de nouveaux outils tr`s puissants, y rem´die compl`tement en e e e offrant une interface utilisateur extrˆmement conviviale. Les deux logiciels res- e tent toutefois compl`tement li´s l’un ` l’autre, Simulink n’´tant du point de vue e e a e hi´rarchique qu’une boˆ ` outils de MATLAB. e ıte a L’interface utilisateur de Simulink est l’outil permettant d’introduire directe- ment les sch´mas fonctionnels de syst`mes dynamiques. Bien que th´oriquement e e e son usage ne soit pas indispensable, on peut dire qu’il est utilis´ dans 90% des e version 1.2 31 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 32. eivd Cours MATLAB cas de probl`mes ` r´soudre. On y acc`de ` partir l’espace de travail MATLAB e a e e a par la commande : simulink ou en appuyant sur le bouton correspondant de la barre d’outils de la fenˆtre dee MATLAB. Une nouvelle fenˆtre, appel´e simulink apparaˆ Elle n’est en fait qu’une bi- e e ıt. blioth`que de blocs fonctionnels standards, r´unis ici en sept groupes, fournis e e avec le logiciel. La figure 1 page pr´c´dente montre ces groupes. e e On remarque notamment les biblioth`ques Linear et Nonlinear contenant e chacune une collection de blocs lin´aires et non-lin´aires respectivement. e e Fid`le ` la philosophie de MATLAB, Simulink est ouvert et l’utilisateur peut e a rajouter ses propres blocs, qu’il peut organiser en une ou plusieurs biblioth`quese ([2, et p.4.11 et p.3-19 et ss). Dans ce sens, les possibilit´s sont quasi illimit´es. e e Bien que cela ne paraisse pas imp´ratif au premier abord, il se r´v`le assez e e e tˆt indispensable de bien connaˆ MATLAB pour utiliser Simulink de mani`re o ıtre e coh´rente et organis´e, i.e. professionnellement. Dans tous les cas, on a int´rˆt e e ee a ` utiliser Simulink en forte connection avec MATLAB ; il faut savoir que tous les blocs Simulink peuvent ˆtre param´tr´s de mani`re symbolique. Ceci permet e e e e de d´finir les param`tres dans l’espace de travail MATLAB, soit manuellement, e e soit en ex´cutant un fichier de type script. Dans ce cas, plusieurs fichiers de pa- e ram´trisation peuvent ˆtre cr´´s et lanc´s dans MATLAB avant le d´but de la si- e e ee e e mulation. La documentation desdits fichiers permet de rationaliser et d’organiser le grand nombre de simulations que l’on peut faire. C’est dans ce genre de situa- tion que les comp´tences en programmation (organisation, d´composition et ana- e e lyse du probl`me, structuration) de l’utilisateur peuvent s’av´rer d´terminantes. e e e Des boˆ ` outils compl´mentaires (Real Time Workshop, Matlab C Com- ıtes a e piler ) permettent de g´n´rer le code C du sch´ma de simulation, ainsi que le e e e code objet pour des processeurs de signaux (par exemple Texas TMS320C30, syst`me produit par la firme DSPACE). Simulink peut ˆtre programm´ relative- e e e ment simplement en C. Dans ce cas, les performances en terme de temps de calcul seront nettement meilleures. Notons que le laboratoire d’Automatique de l’eivd dispose d’une licence du compilateur C/C++ de Watcom version 10.6 support´ e par MATLAB/Simulink. Le compilateur Borland C/C++, dont l’´cole a la licence e de site, n’est support´ que par MATLAB et n’apporte aucune contribution quant e a ` la vitesse de calcul. Il faut penser ` cette variante de programmation (en C) a lorsque le temps de calcul doit ˆtre r´duit et lorsque l’on souhaite int´grer ` la e e e a simulation du code C existant. D’autre part, on peut de cette fa¸on profiter de c toutes les fonctionnalit´s Windows et personnaliser son application. Enfin, il faut e reconnaˆ que le fait de pouvoir tester son code source C avec MATLAB/Simulink ıtre avant de le livrer et l’ex´cuter sur l’application r´elle permet d’acc´l´rer et facilite e e ee consid´rablement le d´veloppement. Il s’agit incontestablement d’un des points e e version 1.2 32 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 33. eivd Cours MATLAB forts de MATLAB/Simulink. La combinaison de Simulink et d’un syst`me d’acquisition en temps r´el est e e possible mais tr`s d´licate et limit´e en rapidit´, notamment ` cause de la lenteur e e e e a et de la complexit´ de Windows. Un travail allant dans cette direction a ´t´ e ee effectu´ dans le cadre de l’institut d’Automatisation industrielle de l’eivd. e La programmation graphique, i.e. l’introduction directe de sch´mas fonction- e nels, est un outil fanstastique offert par Simulink. Cependant, les limites de ce genre de programmation sont rapidement atteintes lorsque le syst`me est relati- e vement complexe, auquel cas il sera plus facile de programmer Simulink ”en texte” de mani`re classique, i.e. en cr´ant des fonctions S (S-function), plutˆt que d’in- e e o terconnecter les blocs par de nombreuses lignes cr´´es ` la souris. Les fonctions ee a S ont un format un peu particulier, propre ` Simulink, mais s’´crivent presque a e aussi simplement que les fonctions MATLAB ; elles consistent ` programmer les a ´quations diff´rentielles du syst`me ` simuler. e e e a 6.2 Exemple introductif : simulation d’un syst`me dyna- e mique lin´aire e On se propose d’illustrer l’utilisation de Simulink par l’exemple classique d’un moteur ` courant continu ` excitation s´par´e constante exploit´ en boucle ou- a a e e e verte (figure 2). R a L a K a l i e r s T K E M ( t ) p u a ( t ) M C o e f f i c i e n t J i d e f r o t t e m e n t v i s q u e u x a f _ 0 1 _ 0 4 . e p s R f Fig. 2 – Sch´ma technologique d’un entraˆ e ınement DC ` excitation s´par´e a e e constante. Le frottement est purement visqueux, proportionnel ` la vitesse, de a coefficient Rf . On admettra que le syst`me est parfaitement lin´aire, en faisant les hypoth`ses e e e simplificatrices suivantes, ceci pour simplifier l’exemple et se concentrer sur l’es- sentiel de cette ´tude, i.e. le logiciel MATLAB/Simulink : e – on ne prend pas en compte l’effet des perturbations ; – le frottement sur l’arbre moteur est purement visqueux ; – le moteur ` courant continu ´tant compens´, l’effet de r´action d’induit est a e e e n´gligeable. e version 1.2 33 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 34. eivd Cours MATLAB Plusieurs d´marches sont possibles pour la construction et l’organisation du e sch´ma, de mˆme que pour la simulation. On propose ici une fa¸on de faire re- e e c lativement laborieuse par rapport ` la simplicit´ de l’exemple, calqu´e sur des a e e probl`mes concrets d’une certaine envergure, pour lesquels la m´thodologie em- e e ploy´e est d´terminante. Comme on le verra, le lien avec MATLAB est sous-jacent. e e 6.2.1 Mod´lisation e Les mod`les en t et en s du syst`me sont (les conditions initiales ´tant sup- e e e pos´es identiquement nulles) : e      ua = Ra · ia + La · dia + KE · ω   Ua = Ra · Ia + La · s · Ia + KE · Ω  dt Tem = KT · ia L Tem = KT · Ia dω J · dt = Tem − Rf · ω J · s · Ω = Tem − Rf · Ω     Apr`s mise en ´quations, le sch´ma fonctionnel d´taill´ est celui de la figure 3. e e e e e i a ( t ) T e m ( t ) 1 1 R R u ( t ) S K w ( t ) f t a a L J T + × t + s × a 1 1 s R R f t a K E f _ 0 1 _ 0 5 . e p s Fig. 3 – Sch´ma fontionnel correspondant au sch´ma technologique de la fi- e e gure 2 page pr´c´dente. e e 6.2.2 Construction du sch´ma e Pour introduire le sch´ma fonctionnel de la figure 3 dans Simulink, il faut e commencer par appeler Simulink ` partir l’espace de travail de MATLAB, comme a d´j` fait pr´c´demment. ea e e version 1.2 34 mee matlab.tex19 mars 2002
  • 35. eivd Cours MATLAB Fig. 4 – Pour d´finir la fenˆtre de travail, s´lectionner New dans le menu File. Une e e e nouvelle fenˆtre est alors activ´e, nomm´e automatiquement Untitled. C’est dans e e e cette mˆme fenˆtre que le sch´ma sera construit ` partir des blocs contenus dans e e e a les biblioth`ques Simulink, voire d’autres blocs cr´´s par l’utilisateurs et r´unis e ee e dans d’autres biblioth`ques. Revenant ` la fenˆtre Simulink et double-cliquant e a e sur le groupe Linear, apparaissent alors certains blocs utiles ` la construction a (figure 4) : – le sommateur (Sum) ; – le gain (Gain) – la fonction de transfert (Transfer Fcn). S´lectionnant le premier de ces blocs ` l’aide de la souris dont le bouton gauche e a est maintenu press´, on am`ne le bloc dans la fenˆtre de travail en d´pla¸ant la e e e e c version 1.2 35 mee matlab.tex19 mars 2002