Ce document traite des statistiques descriptives à une variable, en détailant comment décrire et représenter des séries statistiques à l'aide de tableaux et de graphiques adaptés. Il couvre les caractères qualitatifs et quantitatifs, ainsi que les méthodes de représentation telles que les diagrammes à bandes, les histogrammes et les courbes des fréquences cumulées. Le choix des représentations graphiques dépend de la nature des caractères étudiés et des données disponibles.

1. STATISTIQUE DESCRIPTIVE
CHAPITRE 1 : LES TABLEAUX ET
REPRÉSENTATIONS
GRAPHIQUES
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2. Statistiques descriptives à une variable : représentations
OBJECTIFS DE CE MODULE
Savoir décrire et
représenter une série
statistique par un
tableau et un ou
plusieurs graphiques
adaptés.
 On fera des choix des
représentations
différents selon la nature
du caractère.


3. INTRODUCTION




La représentation tabulaire est préalable à toute
analyse statistique.
Elle fait suite au travail préliminaire de collecte des
données.
La représentation graphique d’un seul caractère
repose sur une règle de proportionnalité des hauteurs
ou aires des graphiques aux effectifs (ou fréquences).
Le choix d’un type de graphique dépendra de la nature
du caractère étudié.

4. PLAN DU CHAPITRE 1
Voici les parties que nous allons aborder :
I.
II.
III.
Caractères qualitatifs.
Caractères
quantitatifs discrets.
Caractères
quantitatifs continus.

5. Ⅰ. Caractères qualitatifs
PLAN DE LA PARTIE
Voici les chapitres que nous allons aborder :
1.
2.
3.
Représentation tabulaire.
Diagramme à bande.
Diagramme circulaire.

6. Ⅰ. Caractères qualitatifs
1. REPRÉSENTATION



TABULAIRE
Tableau à simple entrée, sans hiérarchie (sauf si
le caractère est ordinal).
La première colonne renseigne les modalités et
les deux suivantes les effectifs et fréquences.
Si le caractère est ordinal, on pourra rajouter une
dernière colonne avec les fréquences cumulées.

7. Ⅰ. Caractères qualitatifs
1. Représentation tabulaire

Exemple: On a noté la
situation familiale des
150 employés d'une
entreprise.
Noms
Situation de famille
M.Azim
Marié
MFarid
Veuf
Mme Latifi
Mariée
Melle Fatiha
Célibataire
M. Ahmed
Divorcé
M. Salih
Marié
M. Berrada
Divorcé
Mme Réda
Divorcée
Melle Fatiha
Célibataire
M. Halim
Marié
M. Chadi
Veuf
Mme Faouzi
Mariée
...
...

8. On ne s'intéresse pas à la situation personnelle
de M. Azim ou de M. Farid, mais à la
répartition du caractère "situation familiale"
dans la population des 150 employés.
 Pour cela il faut, pour chacune des modalités de
la variable, déterminer l'effectif correspondant,
c'est-à-dire le nombre de personnes ayant cette
modalité : il faut dénombrer le nombre de
célibataires, le nombre de mariés, etc..


9. Cela peut se résumer par :
Modalités
Effectifs
Marié
80
Célibataire
30
Veuf
20
Divorcé
20

10. On notera x1, x2, ..., xk les différentes modalités, et
n1, n2, ... , nk les effectifs associés.
Dans le tableau ci-dessus, x1 = "marié",
n1 =
k=
La somme des effectifs vaut :
La variable que nous venons de voir
est…

11. On aurait pu tout aussi bien présenter les résultats sous la
forme ci-dessus, par exemple.
Modalité
Effectif
Célibataire
30
Marié
80
Divorcé
20
Veuf
20

12. Par contre, s'il s'agit d'une variable ordinale, les modalités
sont toujours présentées dans l'ordre :
x1 < x2 < .... < xk , comme dans l'exemple ci-dessous.
Modalités = tailles
Effectifs = Nombre de personnes de
cette taille
XS
10
S
25
M
40
L
32
XL
23
XXL
20

13. L'ensemble des couples
{ (xi , ni ), i = 1, ... , k }
est une série statistique (ordonnée), ou
distribution observée de la variable.
La somme de tous les ni est-elle toujours égale
à n, nombre des observations ?
On notera ceci :
effectif total

14. On appellera fréquence relative la valeur
que l'on peut aussi exprimer en pourcentage par fi x
100, c'est le pourcentage d'individus pour lesquels la
variable a pris la valeur xi.

15. COMPLÉTEZ LE TABLEAU :
Modalités xi
Effectif ni
Fréquence relative fi
%
Célibataire
30
0.2
20
Marié
80
Divorcé
20
Veuf
20
Effectif total :
150
A quoi est égal ici le total de la colonne fréquence ?
Et celui de la colonne "pourcentage" ?
Il y a, parmi les 150 employés, …….% qui sont mariés.

16. Ⅰ. Caractères qualitatifs
2. DIAGRAMME À BANDES
Aussi appelé représentation par « tuyaux d’orgue ».
 Les modalités sont placées sur un axe horizontal.
 Les effectifs (ou fréquences) sont placés sur un
axe vertical.
 La hauteur de chaque tuyau est proportionnelle à
l’effectif correspondant.
 Permet de comparer d’un « coup d’œil » les
différentes modalités.

17. CSP
Cadres
Agents de maîtrise
Employés
Ouvriers
ni
10
40
60
90
fi
0,05
0,2
0,3
0,45
90
80
70
60
50
Série1
40
30
20
10
0
cadres
ouvriers employés ouvriers

18. Ⅰ. Caractères qualitatifs
3. DIAGRAMME CIRCULAIRE


L’aire, et donc l’angle au centre d’un secteur, est
proportionnelle à la fréquence (ou l’effectif) de la
modalité considérée (d’où un angle de fi x 360°
pour la modalité i).
Permet de bien visualiser la part relative de
chaque modalité.

20. Statistiques descriptives à une variable : représentations
Ⅱ. C
ARACTÈRES
DISCRETS
QUANTITATIFS

21. Ⅰ. Caractères quantitatifs discrets
PLAN DE LA PARTIE
Voici les chapitres que nous allons aborder :
1.
2.
3.
Représentation tabulaire.
Diagramme bâton.
Courbe des fréquences
cumulées.

22. Ⅰ. Caractères quantitatifs discrets
1. REPRÉSENTATION


TABULAIRE
Tableau à simple entrée, où les données sont
classées par ordre croissant.
La première colonne renseigne les différentes
valeurs du caractère, et les trois suivantes les
effectifs, fréquences et fréquences cumulées.

23. De même, pour une variable discrète, on notera
x1 , x2 , ... , xk les valeurs rangées par ordre
croissant, et n1 , n2 , ... , nk les effectifs
correspondants.

24. Noms
Nombre d'enfants
M.Azim
2
MFarid
3
Mme Latifi
0
Melle Fatiha
0
M. Ahmed
1
M. Salih
0
M. Berrada
1
Mme Réda
0
Melle Fatiha
2
M. Halim
4
M. Chadi
1
Mme Faouzi
3
M. Ali
2
Melle Loubna
0
M Fatih
0
M. Said
1
M. Radi
2
Mme Faraj
2

25. 
Ainsi, à partir de la série brute ci-dessus,
construisez le tableau :
Nombre d'enfants xi
Effectifs ni
0
6

26. Nombre d'enfants xi
Effectif ni
Fréquence relative fi
0
6
0.33
1
4
0.22
2
5
0.28
3
2
0.11
4
1
0.06
Total :
18
1

27. Voyons un autre exemple : Pour étudier les appels
téléphoniques arrivant à un central, on a noté, sur
96 jours comparables, le nombre d'appels reçus
entre 9 h et 9 h 10. Les résultats sont consignés
dans ce tableau :

28. QUELLE EST LA PROPORTION DE JOURS OÙ
LE NOMBRE D'APPELS A ÉTÉ DE 2 ?
Nombre
d'appels xi
Nombre de
jours ni
Fréquence
relative fi
% fi  100
0
2
0.0208
2.08
1
14
0.1458
14.58
2
23
0.2396
23.96
3
24
0.2500
25.00
4
18
0.1875
18.75
5
9
0.0938
9.38
6
6
0.0625
6.25
Total :
96
1
100

29. QUELLE EST LA PROPORTION DE JOURS OÙ LE NOMBRE
D'APPELS A ÉTÉ SUPÉRIEUR OU ÉGALE À 3?
Nombre
d'appels x i
Nombre de
jours n i
Fréquence
relative fi
% f i  100
0
2
0.0208
2.08
1
14
0.1458
14.58
2
23
0.2396
23.96
3
24
0.2500
25.00
4
18
0.1875
18.75
5
9
0.0938
9.38
6
6
0.0625
6.25
Total :
96
1
100

30. COMBIEN Y-A-T-IL EU DE JOURS OÙ LE NOMBRE D'APPELS
A ÉTÉ INFÉRIEUR OU ÉGAL À 2 ?
Nombre
d'appels xi
Nombre de
jours ni
Fréquence
relative fi
% fi  100
0
2
0.0208
2.08
1
14
0.1458
14.58
2
23
0.2396
23.96
3
24
0.2500
25.00
4
18
0.1875
18.75
5
9
0.0938
9.38
6
6
0.0625
6.25
Total :
96
1
100

31. Plus généralement, si
{ (xi , ni ), i = 1, ..., K }
est la distribution observée d'une variable discrète, n1
+ n2 + ... + ni = Ni est le nombre d'individus pour
lesquels la variable a été inférieure ou égale à xi..
On peut calculer Ni de proche en proche :
N1 = n1, N2 = N1 + n2, N3 = N2 + n3, etc ...
Les Ni sont les effectifs cumulés croissants.

32. De même ni + ni+1 + ... + nk = N'i est le nombre
d'individus pour lesquels la variable a été
supérieure ou égale à xi.
 Il peut se calculer de proche en proche :
N'k = nk , N'k-1 = nk + nk-1 ,
 Les N'i sont les effectifs cumulés décroissants.


33. On peut définir de même :
Fi = f1 + f2 + ... + fi , fréquences relative
cumulées croissantes obtenues de proche en
proche par Fi+1 = fi+1 + Fi
F'i = fi + fi+1 + ... + fk , fréquences relative
cumulées décroissantes obtenues de proche
en proche par F'i = F'i+1 + fi
 Fi et F'i peuvent s'exprimer aussi en
pourcentage (en multipliant tout par 100).

34. COMPLÉTEZ LE TABLEAU :
Nombre
d'appels
Fréquence
relati ve en %
Fréquences relative
cumulées croissantes
0
2.08
2.08
1
14.58
16.66
2
23.96
3
25.00
65.62
4
18.75
84.37
5
9.38
93.75
6
6.25
Fréquences relative cumulées
décroissantes
97.92
83.34
59.38
15.63
6.25

35. Ⅰ. Caractères quantitatifs discrets
2. DIAGRAMME BÂTON
Diagramme bâton des effectifs


A chaque valeur du caractère portée en abscisse,
on associe un « bâton » vertical dont la hauteur
est proportionnelle à l’effectif.
Cette représentation permet de comparer les
effectifs de chaque valeur du caractère.

37. Ⅰ. Caractères quantitatifs discrets
3. COURBE DES FRÉQUENCES CUMULÉES



Représente l’évolution des fréquences cumulées.
Le caractère étant discret, la courbe est en
« escalier ».
En effet, les valeurs étant séparées, entre
chacune d’elle la fréquence cumulée est
inchangée, d’où ces paliers.

38. Ⅰ. Caractères quantitatifs discrets
3. COURBE DES FRÉQUENCES
CUMULÉES
Diagramme en Escalier
120
Fréquence relative cumulée
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7

39. Statistiques descriptives à une variable : représentations
Ⅱ. C
ARACTÈRES
CONTINUS
QUANTITATIFS

40. Ⅰ. Caractères quantitatifs continus
PLAN DE LA PARTIE
Voici les chapitres que nous allons aborder :
1.
2.
3.
4.
Représentation tabulaire.
Histogramme des densités de fréquence.
Polygone de fréquences
Courbe des fréquences cumulées.

41. Ⅰ. Caractères quantitatifs continus
1. REPRÉSENTATION



TABULAIRE
Tableau à simple entrée, où les classes de données sont
triées par ordre croissant.
La première colonne renseigne les différentes classes
de valeurs du caractère, et les trois suivantes les
effectifs, fréquences relatifs et fréquences cumulées.
Si les classes ne sont pas toutes de même amplitude,
on rajoute une colonne contenant les densités de
fréquence, i.e. la fréquence de la classe divisée par son
amplitude.

42. 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE
 Lorsque la variable est continue, ou que la variable peut prendre
un grand nombre de valeurs différentes, même si celle-ci est une
variable discrète, il convient de regrouper ces valeurs en classes.
 À chaque classe on fait correspondre une fréquence ou une
fréquence relative, et l’on obtient alors une distribution de
fréquence ou de fréquence relative pour valeurs groupées.
 Pour construire une distribution de fréquence, de fréquence
relative ou de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées
on doit procéder de la manière suivante :
1.
2.
3.
Déterminer le nombre de classes
Déterminer l’amplitude des classes
Déterminer les différentes classes

43. 1.
REPRÉSENTATION TABULAIRE
EXEMPLE 1
Voyons l'exemple d'une série brute de 60
valeurs du CA mensuelle d’une entreprise
(en 1000dh), et le tableau des effectifs
obtenus.
L'inconvénient est que, comme on aura toujours
un grand nombre de valeurs différentes, on
obtiendra un grand nombre de petits effectifs,
ne résumant finalement pas grande chose !

45. CA (1000dh)
Effectifs
CA (1000dh)
Effectifs
159
1
169
7
160
0
170
7
161
0
171
9
162
0
172
6
163
2
173
5
164
3
174
2
165
3
175
1
166
0
176
2
167
5
177
1
168
6
Total :
60

46. 
Une variable continue ne prend pas des valeurs
isolées, mais des valeurs appartenant à des
intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir des
effectifs par valeurs, on définira des effectifs par
intervalles, appelés classes.

47. 
Afin de simplifier la présentation on peut,
quitte à perdre un peu d'information, regrouper
les effectifs proches, par exemple
175 d’ effectif 1
176 d’ effectif 2
177 d’ effectif 1
peut être remplacé par [ 175 ; 178 [ d’ effectif 4.

48. On découpera ainsi l'intervalle des valeurs en
classes contiguës, de la forme :
[ e1 ; e2 [ [ e2 ; e3 [ [ e3 ; e4 [ ....
[ ek ; ek+1 [
et on notera n1, n2, ... , nk les effectifs associés.
ni est le nombre d'individus appartenant à la classe
[ ei ; ei+1 [.

49. EXEMPLE 1
Classes de CA ( en 1000dh)
Effectifs
[159 - 165 [
6
[165 - 168 [
8
[168 - 171 [
20
[171 - 174 [
20
[174 - 177 [
5
[177 - 179 [
1

50. EXEMPLE 1
Classes de CA ( en 1000dh)
Effectifs
moins de 160
1
[160 - 165 [
5
[165 - 170 [
21
[170 - 175 [
29
175 et plus
4

51. 

Quel que soit le type de variable on a finalement,
pour toute modalité, valeur xi , ou classe [ ei , ei+1 [,
un effectif ni , tel que
Il est parfois utile, surtout pour faire des
comparaisons entre plusieurs séries, de raisonner
plutôt avec des fréquences relatifs.

52. Les définitions d'effectifs et de
fréquences cumulés restent les
mêmes dans le cas d'une variable
continue.

53. 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE
1.
Déterminer le nombre de classes :
1)
(règle de Sturges)
NC  1  3.3Log (n)
2)
NC  n
Nombre d’observations
dans la série statistique

54. 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE
2.
Calculer l’amplitude des classes :
1)
D’une façon plus ou moins arbitraire
2)
En utilisant l’étendue


valeur de la série statistique
E  xmax  xmin  (Plus grande valeur de la série statistique)
– Plus petite
E
AC 
NC
Des classes d’amplitudes
égales

55. 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE
3.
Déterminer les différentes classes :
xmin  Classe1 < xmin  Ac
xmin  Ac  Classe2 < xmin  2 Ac
xmin  (k  1) Ac  Classek < xmin  kAc
xmin  ( N c  1) Ac  ClasseNc < xmin  N c Ac

56. EXEMPLE 2 : LE TABLEAU STATISTIQUE (VALEURS GROUPÉES)
Pour les trois dernières années, le débit mensuel moyen d'une rivière,
exprimé en milliers de mètres cubes par seconde, a été le suivant :
Variable continue
Posons X = la variable statistique représentant le débit mensuel moyen
d’une rivière.

57. EXEMPLE 2 : LE TABLEAU STATISTIQUE (VALEURS GROUPÉES)
(1) Nombre de classes :
NC  1  3.3Log (36)  6.1358 classes
N C  36  6 classes
(2) L’amplitude des classes :
E  1.05  0.08  0.97
0.97
AC 
 0.1617  0.17
6
(3) Détermination des classes :
Débit
D
(en milliers de m3 )
0.08  Classe1 < 0.25
0.25  Classe2 < 0.42
0.42  Classe3 < 0.59
0.59  Classe4 < 0.76
0.76  Classe5 < 0.93
0.93  Classe6 < 1.10

58. EXEMPLE 2 : LE TABLEAU STATISTIQUE
(VALEURS GROUPÉES)
Distribution de fréquence, de fréquence relative et de
fréquence relative cumulée :

59. Ⅰ. Caractères quantitatifs continus
2. HISTOGRAMME DES DENSITÉS DE
FRÉQUENCE.


Ensemble de rectangles contigus.
Pour chaque classe on trace un rectangle :



de base B proportionnelle à l’amplitude de la classe
de hauteur h proportionnelle à la densité de
fréquence de la classe
L’aire du rectangle sera alors proportionnelle à la
fréquence de la classe.

60. Ⅰ. Caractères quantitatifs continus
2. HISTOGRAMME DES DENSITÉS DE
FRÉQUENCE.
Double interprétation :


On comparera les densités de fréquence des
classes en comparant les hauteurs des rectangles.
On comparera les fréquences des classes en
comparant les aires des rectangles.

61. Age (ans)
Nombre de
personnes
dans cette
tranche d'âge
20 à 30
100
30 à 40
150
40 à 50
90
50 à 65
20

62. Histogramme de fréquence pour valeurs groupées (exemple 2)
Histogramme de fréquence
25
Fréquence
20
15
10
5
0
0,08 - 0,249
0,25 - 0,419
0,42 - 0,589
0,59 - 0,759
Débit D (en milliers m3/sec)
0,76 - 0,929
0,93 et plus

63. Histogramme de fréquence relative
groupées (exemple 2)
pour valeurs
Histogramme de fréquence relative
0,7
Fréquence relative
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,08 - 0,249
0,25 - 0,419
0,42 - 0,589
0,59 - 0,759
Débit D (en milliers de m3/sec)
0,76 - 0,929
0,93 et plus

64. 3. Polygone de fréquences pour valeurs
groupées (exemple 2)
Polygone de fréquence
25
Fréquence
20
15
10
5
0
moins de
0,08
0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus
Débit D (en milliers de m3/sec)

65. 3. Polygone de fréquence relative pour
valeurs groupées
Polygone de fréquence relative
0,7
Fréquence relative
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
moins de
0,08
0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus
Débit D ( en milliers m3/sec)

66. Ⅰ. Caractères quantitatifs continus
4. COURBE DES FRÉQUENCES CUMULÉES

Représente l’évolution des fréquences cumulées.

Le caractère étant continu, la courbe l’est également.

Pour la construire, on joint les points de coordonnées
(bi,Fi) où bi désigne l’extrémité supérieure de la ième
classe.

67. Ogive de fréquence relative cumulée pour valeurs
groupées
Ogive de fréquence relative cumulée
Fréquence relative cumulée
120,00%
100,00%
80,00%
60,00%
40,00%
20,00%
,00%
moins de
0,08
0,08 0,249
0,25 0,419
0,42 0,589
0,59 0,759
Débit D (en milliers m3/sec)
0,76 0,929
0,93 et
plus

68. SYNTHÈSE
En plus des tableaux et graphiques, on résume
l'observation d'une variable quantitative par un
petit nombre de paramètres.
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