Relation 1

480 vues

Publié le

Publié dans : Formation, Voyages
0 commentaire
0 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
480
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
7
Actions
Partages
0
Téléchargements
2
Commentaires
0
J’aime
0
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Relation 1

  1. 1. Soit deux ensembles A et B A={ Istanbul, Ankara, Paris, Lisbonne, Lyon } B={ Turquie, Portugal, France } AxB= { ( Istanbul , Turquie ), ( Istanbul , Portugal ), ( Istanbul , France ),( Ankara , Turquie ), ( Ankara , Portugal ) ,…} n(AxB)=n(A).n(B)=5.3=15 Activité
  2. 2. <ul><li>On peut représenter AxB par un schéma fléché </li></ul>● Istanbul ● Ankara ● Paris ● Lisbonne ● Lyon ● Turquie ● Portugal ● France A B
  3. 3. Relation <ul><li>A={ Istanbul, Ankara, Paris, Lisbonne, Lyon } </li></ul><ul><li>B={ Turquie, Portugal, France } </li></ul><ul><li>Ecrire l’ensemble des couples (x,y) tels que </li></ul><ul><li>x est élément de A </li></ul><ul><li>y est élément de B </li></ul><ul><li>x est la capitale de y </li></ul><ul><li>et noté cet ensemble par β </li></ul><ul><li>β ={( Ankara , Turquie ),( Paris , France ),( Lisbonne , Portugal )} </li></ul><ul><li>β ={(x,y): x est la capitale de y , x ∈A et y ∈B } </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Question : Quelle est la relation entre les </li></ul><ul><li>ensembles AxB et β ? </li></ul><ul><li>AxB= { ( Istanbul , Turquie ), ( Istanbul , Portugal ), ( Istanbul , France ),( Ankara , Turquie ), ( Ankara , Portugal ) ,…} </li></ul><ul><li>β ={( Ankara , Turquie ),( Paris , France ),( Lisbonne , Portugal )} </li></ul><ul><li>Réponse : β est un sous ensemble de AxB </li></ul>
  5. 5. <ul><li>On peut représenter β par un schéma fléché </li></ul>● Istanbul ● Ankara ● Paris ● Lisbonne ● Lyon A ● Turquie ● Portugal ● France B
  6. 6. Relation Chaque sous ensemble de AxB est une relation de A vers B. Définition: A≠ø et B≠ø
  7. 7. Exemple <ul><li>A={2,3,5} B={2,9,12,15} </li></ul><ul><li>β ={(x,y): x Є A, y Є B et « x divise y » } </li></ul><ul><li>β ={ (2,2),(2,12),(3,9),(3,12),(3,15),(5,15)} </li></ul>
  8. 8. Exemple <ul><li>A={3,5,15,22} </li></ul><ul><li>β ={(x,y): x, y Є A et « x est un multiple de y » } </li></ul><ul><li>β ={ (3,3),(5,5),(15,15),(22,22),(15,3),(15,5)} </li></ul>
  9. 9. Exemple <ul><li>A={0,1,2} B={-1,1,3,5,6} </li></ul><ul><li>Parmi les relations suivantes, déterminer celles qui sont définies de A vers B. </li></ul><ul><li>β ={ (1,3),(0,-1),(3,5) } </li></ul><ul><li>β ={ (1,5),(2,6),(3,-1) } </li></ul><ul><li>β ={ (1,3),(1,5),(0,2),(2,6) } </li></ul><ul><li>β ={ (0,-1),(0,1),(0,5),(0,6),(0,3) } </li></ul><ul><li>β ={ (2,3)} </li></ul><ul><li>β ={ } </li></ul>
  10. 10. PROPRIETES D’UNE RELATION
  11. 11. <ul><li>Réflexivité : </li></ul><ul><li>On dit qu’une relation β est réflexive si et seulement si </li></ul><ul><li>pour tout x de A, </li></ul><ul><li>(x,x) Є β </li></ul>
  12. 12. Exemple 1 <ul><li>A={a,b,c} </li></ul><ul><li>β = { , , , , } </li></ul>(a,a) (b,b) (c,c) (a,b) (c,a) β est-elle réflexive ? Oui, car (a,a) є β , (b,b) є β , (c,c) є β
  13. 13. Exemple 2: A= { a , b , c } <ul><li>β = { } </li></ul>(a,a) (a,b) (b,a) (c,c) (c,b) (a,c) β est-elle réflexive ? Non , car (a,a) є β , (c,c) є β , Mais (b,b) n’est pas élément de β
  14. 14. EXEMPLE 3 <ul><li>A= { 1, 2, 3, 4 } </li></ul><ul><li>a) β = { (1,1), (2,2) , (3,3), (4,4) } </li></ul><ul><li>Elle est réflexive </li></ul><ul><li>b) β = { (1,1), (1,2) , (3,3), (4,4), (4,2) } </li></ul><ul><li>Elle n’est pas réflexive </li></ul><ul><li>Car (2,2) n’est pas un élément de β </li></ul><ul><li>c) β ={ (1,1),(2,2) ,(2,3),(3,4),(1,4),(3,3), (4,4) } </li></ul><ul><li>Elle est réflexive </li></ul>
  15. 15. Symétrie <ul><li>On dit qu’une relation β est symétrique si et seulement si </li></ul><ul><li>pour tout (x,y) de β , </li></ul><ul><li>(y,x) Є β </li></ul>
  16. 16. EXEMPLE 1 : <ul><li>Exemple 1: </li></ul><ul><li>A= { a, b, c } </li></ul><ul><li>β = { , , , , , } </li></ul>(a,a) (a,b) (b,a) (b,c) (c,b) (c,c) β est-elle symétrique ? elle est symétrique OUI
  17. 17. EXEMPLE 2 : <ul><li>A= { a, b, c } </li></ul><ul><li>β = { , , , , , , } </li></ul>(a,a) (a,b) (b,a) (a,c) (b,c) (c,b) (c,c) β est-elle symétrique ? Elle n’est pas symétrique Car (a,c) est un élément de β Mais (c,a) n’est pas un élément de β
  18. 18. EXEMPLE 3 : <ul><li>A ={ 1, 2, 3, 4 } </li></ul><ul><li>a) β = { (1,2) , (2,1) , (3,4) , (4,1) , (4,3) , (1,4), } </li></ul><ul><li>SYMETRIQUE </li></ul><ul><li>b) β = { (1,2) , (3,4) , (2,3) , (3,2) , (2,1) , (4,4) } </li></ul><ul><li>PAS SYMETRIQUE </li></ul><ul><li>c) β = { (1,4) , (2,2) , (3,2) , (4,4) , (4,1) } </li></ul><ul><li>PAS SYMETRIQUE </li></ul><ul><li>d) β = { (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) } </li></ul><ul><li>SYMETRIQUE </li></ul>
  19. 19. Antisymétrie <ul><li>On dit qu’une relation β est antisymétrique si et seulement si </li></ul><ul><li>pour tout (x,y) de β , x≠y </li></ul><ul><li>(y,x) n’est pas un élément de β </li></ul>
  20. 20. EXEMPLE 1 : <ul><li>A= { 1, 2, 3 } </li></ul><ul><li>β = { , , , , , } </li></ul><ul><li>β est-elle antisymétrique ? </li></ul><ul><li>OUI </li></ul>(1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)
  21. 21. EXEMPLE 2 : <ul><li>A= { 1, 2, 3 ,4 } </li></ul><ul><li>β = { , , , , , , } </li></ul><ul><li>β est-elle antisymétrique ? </li></ul><ul><li>NON </li></ul>(1,2) (2,3) (4,4) (3,3) (1,1) (3,2) (1,4)
  22. 22. Transitivité <ul><li>On dit que la relation β est transitive. </li></ul>
  23. 23. Exemple <ul><li>A={a,b,c,d} </li></ul><ul><li>β ={ (a,a) , (b,c) , (c,c) , (c,d) , (b,d) } </li></ul><ul><li>β est-elle transitive ? </li></ul><ul><li>Oui </li></ul>
  24. 24. Exemple <ul><li>A={a,b,c} </li></ul><ul><li>β ={ (a,a) , (b,b) , (c,c) , (a,b) , (b,c) , (c,b) } </li></ul><ul><li>β est-elle transitive ? </li></ul><ul><li>Non car (a,b) є β et (b,c) є β , </li></ul><ul><li>mais (a,c) n’est pas élément de β </li></ul>
  25. 25. Exemple <ul><li>A={a,b,c} et β est une relation qui est définie dans A. Étudier les propriétés de β </li></ul><ul><li>a) β ={ (a,a) , (b,b) , (c,c) , (b,c) , (c,b) } </li></ul><ul><li>Elle est réflexive </li></ul><ul><li>Elle est symétrique </li></ul><ul><li>Elle est transitive </li></ul><ul><li>b) β ={ (a,a) , (a,b) , (b,c) , (c,b) } </li></ul><ul><li>Elle n’est pas réflexive </li></ul><ul><li>Elle n’est pas symétrique </li></ul><ul><li>Elle n’est pas antisymétrique </li></ul><ul><li>Elle n’est pas transitive </li></ul><ul><li>c) β ={ (a,b) , (b,c) , (a,c) , (b,a) , (a,a) } </li></ul><ul><li>Elle n’est pas réflexive </li></ul><ul><li>Elle n’est pas symétrique </li></ul><ul><li>Elle n’est pas antisymétrique </li></ul><ul><li>Elle n’est pas transitive </li></ul>

×