ELE2611 Classe 9 - Notions d'électrotechnique

Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5
https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 9 - Notions d’´electrotechnique
Instructeur: Jerome Le Ny
jerome.le-ny@polymtl.ca
Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/48

Introduction
Motivation pour ce cours
Dans le cours 9, nous introduisons des notions de base pour l’analyse des
réseaux électriques (électrotechnique), que vous poursuivrez dans le cours
ELE3400.
Un réseau électrique est un système, généralement complexe, fonctionnant
normalement en régime permanent sinuso¨ıdal (RPS), à une fréquence fixe.
Nous discutons tout d’abord le concept de puissance en RPS, qui est la
quantité fondamentale pour l’analyse des réseaux électriques.
Puis nous introduisons un nouveau composant de base, les bobines
(magnétiquement) couplées. Ce composant est utilisé couramment en
communications et dans les équipements de mesure. Mais surtout, les
transformateurs sont des types de bobines couplées cruciaux dans les
réseaux électriques pour changer le niveau de tension, par exemple pour
faire le lien entre les stations et les consommateurs.

Introduction
Les R´eseaux ´Electriques

Introduction
Le cas d’Hydro-Qu´ebec

Introduction
Outline
Puissance dans les circuits monophasés alternatifs
Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux
Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe
Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance
Transfert maximal de puissance
Circuits magnétiquement couplés et transformateurs
Analyse des circuits couplés
Transformateurs

Introduction
Outline
Transformateurs

Introduction
Grandeurs pour les signaux périodiques (rappel du cours 5)
Signal périodique de période T : f (t) = f (t + T) pour tout t
Valeur maximale fmax, Valeur crête à crête
Valeur moyenne (constante) :
fm =
1
T
t0+T
t0
f (τ)dτ
Exercice : montrer que la définition ne dépend pas du choix de t0
Exercice : valeur moyenne de sin(ωt + φ), cos(ωt + φ) ?
Valeur efficace (ou moyenne quadratique, ou RMS = Root Mean Square)
feff =
1
T
t0+T
t0
f 2(τ)dτ
Exercice : montrer que la définition ne dépend pas du choix de t0
Applications :
Intensité et tension efficaces (ex : 120V RMS à la prise). Pourquoi pas
moyennes ?
Puissance moyenne. On ne parle pas de puissance efficace.

Introduction
Relations entre fmax et feff (rappel du cours 5)
Soit un signal f de période T, symétrique par rapport à l’axe du temps
f (t) = fmax g(t), g T-périodique, symmétrique, gmax = 1.
On a
feff =
1
T
T
0
f 2
max g2(τ)dτ = fmax geff
Applications (calculs de geff en exercice) :
g(t) sinuso¨ıde (g(t) = sin(ωt + φ))
→ feff =
fmax
√
2
C’est le cas qui nous intéresse pour le RPS
g(t) signal triangulaire → feff = fmax /
√
3.
g(t) signal carré → feff = fmax .
Exemple : Calculer Vmax si Veff = 120V en RPS.

Introduction
Motivation pour les tension et courants effectifs (rappel du cours 5)
Soit une résistance R parcourue par : cas 1) un courant continu I et cas 2)
un courant alternatif i(t).
Puissance moyenne dissipée dans la résistance :
cas 1 : Pcc = RI2
cas 2 : Pca =
1
T
T
0
Ri(t)2
dt = RI2
eff
Ieff est donc la valeur de l’intensité continue qui contribuerait à la même
puissance dissipée dans la résistance. Idem pour Veff .

Introduction
Outline
Transformateurs

Introduction
Phaseurs sinuso¨ıdaux (rappels)
Pour l’étude d’un circuit linéaire stable, en régime permanent sinuso¨ıdal
Durée des transients ≈ 4/| [pôle le plus à droite]—.
En RPS, tous les signaux oscillent à la même fréquence que la source.
Choix d’un signal de référence par rapport auquel on mesure les phases,
par ex. la source vs (t) = Vs cos(ωt) (choix d’un temps t = 0)
Phaseur : x(t) = X cos(ωt + φ) = Re[X ejωt+jφ
] ↔ X = X ejφ
Utilité pour les calculs pratiques en RPS : impédances complexes Z = V
I
L’amplitude et phase des signaux aux bornes d’un composant (en RPS)
sont des fonctions de la fréquence M(ω), φ(ω)
Dans l’analyse des circuits dédiés à la manipulation d’information (ex :
filtrage) on s’intéresse généralement à la réponse en fréquence d’un circuit.
Dans les circuits dédiés au transport de l’énergie électrique, on travaille
normalement avec une fréquence unique (50 Hz ou 60 Hz), qui peut alors
être omise de la notation des phaseurs et des impédances complexes.

Introduction
Diagramme de phaseurs (rappels)
Un phaseur est un nombre complexe, ou de manière équivalente un
vecteur dans R2
Application : addition de sinuso¨ıdes de même fréquence
v3(t) = V1 cos(ωt + φ1) + V2 cos(ωt + φ2)
v3(t) = Re[(V1 + V2)ejωt
] = Re[V3ejωt
] = Re[|V3|ej(ωt+∠V3)
]
v3(t) = |V3| cos(ωt + ∠V3), avec V3 = V1 + V2
→ Il suffit d’additioner les phaseurs
<
=
!t
1
V1
V2
V3

Introduction
Puissance moyenne en RPS
+
-
V
I
Z = V/I
Situation typique : source alimentant un circuit d’impédance Z
Puissance instantanée (en RPS) fournie à la charge
p(t) = v(t)i(t) = Vmax cos(ωt + φV ) Imax cos(ωt + φI )
=
VmaxImax
2
(cos(2ωt + φV + φI ) + cos(φV − φI ))
⇒ Puissance moyenne P ou puissance réelle ou puissance active :
P =
VmaxImax
2
cos(φV − φI ) = Veff Ieff cos(φV − φI )
cos(φV − φI ) : facteur de puissance.
Pour les calculs de puissance en RPS, il est aussi pratique de définir les
phaseurs RMS ou effectif :
Xeff =
X
√
2
↔ Xeff ejφ
→ P = Re[Veff I∗
eff ]

Introduction
Puissance complexe
Les phaseurs sont utiles pour calculer les échanges de puissance en RPS
Définition : puissance complexe
S =
V I∗
2
= Veff I∗
eff =
VmaxImax
2
e(j(φV −φI ))
= Veff Ieff e(j(φV −φI ))
Puissance moyenne : P = Re[S] = Veff Ieff cos(φV − φI ).
Unités de P : le watt (W).
Puissance réactive : Q = Im[S] = Veff Ieff sin(φV − φI ).
Due à l’échange d’énergie entre source et charge, uniquement présente si la
charge est capacitive ou inductive.
Unités de Q : le volt-ampère-réactif (VAR).
Puissance apparente : |S| = Veff Ieff =
√
P2 + Q2.
Unités de |S| : le volt-ampère (VA).
Les unités différentes pour ces puissances mettent en valeur leurs impacts
physiques différents. Par exemple, la puissance instantanée maximale dans
le réseau est ≤ 2|S| donc la puissance apparente peut aider à dimensionner
les équipements comme transformateurs.

Introduction
Somme des puissances dans un circuit
Propriété : La somme des puissances complexes délivrées aux composants
d’un circuit est 0 (en incluant les sources) : k∈composants
Vk I∗
k
2
= 0.
Même chose donc pour les puissances moyennes et les puissances réactives
(en prenant la partie réelle et imaginaire).

Introduction
Triangles des impédances et des puissances
Impédance complexe Z = R + jX, avec R = résistance, X = réactance.
Z =
V
I
=
VmaxejφV
ImaxejφI
=
Vmax
Imax
exp (j(φV − φI ))
=
Vmax
Imax
(cos(φV − φI ) + j sin(φV − φI )) = R + jX,
Comparant avec S = Veff Ieff e(j(φV −φI ))
, on a ∠Z = ∠S = θ = φV − φI .
φV − φI est l’angle de phase ou angle d’impédance, déphasage entre
tension et courant.
Z
|Z|
R
X
S
|S|
P
Q
< <
==
✓ = V I
✓ ✓

Introduction
Calculs de puissance et impédances complexes
Impédance complexe Z = R + jX, avec R = résistance, X = réactance.
Admittance complexe Y = 1/Z = G + jB, avec G = conductance, B =
susceptance.
La puissance complexe délivrée à Z peut s’exprimer en termes de
l’impédance
S =
V I∗
2
= Z
I I∗
2
= Z
|I|2
2
= ZI2
eff = I2
eff (R + jX).
ou S =
V I∗
2
=
V V∗
2Z∗
= Y ∗
V 2
eff = V 2
eff (G − jB).
Puissance moyenne P = RI2
eff = GV 2
eff .
Puissance réactive Q = XI2
eff = −BV 2
eff .
Puissance apparente |S| =
√
R2 + X2I2
eff =
√
G2 + B2V 2
eff .

Introduction
Exemples d’échange de puissance
Résistance : Z = R∠0 ⇒ θ = 0. P = V 2
eff /R > 0, Q = 0. Consomme de la
puissance active seulement, pas réactive.
Bobine : Z = jωL = ωL∠π/2 ⇒ θ = π/2. P = 0, Q = ωLI2
eff =
V 2
eff
ωL
> 0.
La bobine restitue toute l’énergie qu’elle re¸coit en moyenne. Elle
consomme en moyenne de la puissance réactive.
Condensateur : Z = 1
jCω
= 1
Cω
∠ − π/2 ⇒ θ = −π/2. P = 0,
Q = −ωCV 2
eff < 0. Le condensateur restitue toute l’énergie qu’il re¸coit en
moyenne. Il produit en moyenne de la puissance réactive.
Résistance et bobine en série : Z = R + jLω → θ = tan−1
(Lω/R) > 0,
P = RI2
eff , Q = ωLI2
eff .
Résistance et condensateur en parallèle : Y = G + jCω,
θ = − tan−1
(Cω/G) < 0, P = GV 2
eff , Q = −ωCV 2
eff .

Introduction
Plan pour ce cours
Transformateurs

Introduction
Considérations sur la puissance réactive
Dans un réseaux électrique, il y a à la fois des moteurs (mettant en jeux
des inductances) et des lignes de transmission (résistances et inductances).
Il y a donc beaucoup de puissance réactive consommée dans le réseau.
Par la conservation de la puissance réactive, celle-ci doit être générée
quelque part.
Si cette puissance réactive est générée loin du lieu de consommation, elle
doit être transportée, ce qui augmente la puissance apparente, et ainsi la
taille des courants dans les lignes de transmission → pertes ohmiques
accrues et chutes de tension en allant vers les centres de consommation.
Deux actions sont généralement prises pour corriger cette situation :
Exiger des gros consommateurs industriels de “corriger leur facteur de
puissance”, i.e., mettre en parallèle de leurs charges des capacités de taille
adéquate pour générer la puissance réactive nécessaire. Ces capacités ne
tirent pas de puissance active et ne changent donc pas la consommation
facturée à l’industriel, mais ajustent l’angle d’impédance per¸cu par la
compagnie d’électricité.
Introduire périodiquement le long des lignes de transmission/distribution des
capacités pour la compensation.
Nous mettons maintenant ce problème en équations.

Introduction
Facteur de puissance et angle de phase (rappels)
Facteur de puissance (f ) d’un composant d’impédance Z
f =
Puissance moyenne
Puissance apparente
=
P
|S|
= cos(φV − φI ) ⇒ P = f |S|.
Angle de phase θ = φV − φI . θ et −θ donnent le même facteur de
puissance.
Pour θ > 0 (composant inductif) : on dit que le f.p. est en retard (lagging
power factor). Le courant est en retard sur la tension.
Pour θ < 0 (composant capacitif) : on dit que le f.p. est en avance (leading
power factor). Le courant est en avance sur la tension.
Exemple : un f.p. de 0.8 en retard correspond à θ = cos−1
(0.8) = 36.87◦
.
un f.p. de 0.8 en avance correspond à θ = − cos−1
(0.8) = −36.87◦
.

Introduction
Facteur de puissance et fourniture d’électricité
=
+
H.Q.
vs(t) = A cos !t
charge du
client / abonné
Z = R + j X
Ligne de
transmission
R1/2
R1/2
L1/2
L1/2
v(t) =
Vm cos(!t + V )
+
-
i(t) =
Im cos(!t + I)
Sont fixés : R1, L1 pour la ligne de transmission. Tension Veff (ou Vm) et
puissance active P requises par le client.
Ligne : Impédance Z1 = R1 + jωL1. Puissance active absorbée P1 = I2
eff R1.
On a P = Veff Ieff f ⇒ Ieff = P/(fVeff ), requise par le client.
Donc P1 =
R1P2
V 2
eff
1
f 2
Il faut donc avoir f le plus proche possible de 1 (φV = φI , charge
purement résistive) pour limiter les pertes P1 pour H.Q.
H.Q. impose aux consommateurs (industriels) un facteur de puissance
suffisamment élevé, ou pénalise sur la facture. Permet de diminuer Ieff .

Introduction
Correction du facteur de puissance
Problème de correction du f.p. pour le client : diminuer |Q| (et donc |S|),
sans changer P.
Solution : Mettre une impédance en parallèle de la charge pour compenser
sa réactance.
=
+
H.Q.
vs(t) = A cos !t
charge du
client / abonné
Z = R + j X
Ligne de
transmission
R1/2
R1/2
L1/2
L1/2
v(t) =
Vm cos(!t + V )
+
-
i(t) =
Im cos(!t + I)
compensation
Z
|Z|
R
X
S
|S|
P
Q
< <
==
✓ = V I
✓ ✓
f.p. f = cos θ ≈ 1 désiré (i.e., charge
∼ résistive)

Introduction
Correction du facteur de puissance : analyse
Charge initiale : Z = R + jX = |Z|ejθ
↔ Y = 1
|Z|
e−jθ
= G + jB.
N.B. : − tan θ = B
G
.
Compensation Z1 ↔ Y1 = 1
Z1
.
Charge totale : Yc = Y + Y1. Pour maintenir P constant, il faut
Y1 = jB1 ↔ Z1 = jX1 (compensation purement capacitive ou inductive).
f ↔ θ : p.f. initial. fc ↔ θc : p.f. désiré après correction.
On veut
Yc = G + j(B + B1) ⇒
B + B1
G
= − tan θc
B1 = −G tan θc − B = G(tan θ − tan θc ) =
R
R2 + X2
(tan θ − tan θc )
Typiquement B1 = ωC1

Introduction
Exemple
On considère une charge industrielle consommant 300 kVA, avec un
facteur de puissance de 0.75 en retard. Cette charge est alimentée par une
source alternative de tension de 600 V rms à 60 Hz.
Calculer S, I et Z pour cette charge.
Calculer la valeur du condensateur nécessaire pour ramener le facteur de
puissante à 0.9 en retard.

Introduction
Plan pour ce cours
Transformateurs

Introduction
=
+
Zs
ZL
+
-
V
+
-
VL
I
Puissance délivrée à la charge
P = Re[VL,eff I∗
eff ] = Re
ZL
Zs + ZL
Veff
1
Z∗
s + Z∗
L
V∗
eff =
Re[ZL]
|Zs + ZL|2
V 2
eff
P =
RL
(Rs + RL)2 + (Xs + XL)2
V 2
eff .
Maximum de puissance transférée atteint pour
XL = −Xs ⇒ P =
RL
(Rs + RL)2
V 2
eff
dP
dRL
= 0 ⇒ RL = Rs
donc ZL = Z∗
s et Pmax =
V 2
eff
4Rs

Introduction
Outline
Transformateurs

Introduction
Bobine simple (rappel)
the change in flux linkage, λ, which produces it (Lenz’s Law). T
between the voltage and the changing flux linkage is Faraday’s La
I1
φ
V1
+
-
B
Rs
Rsh C L
(a) (b)
(c)
Fig. 7.1. (a) A simple coil of wire wound about a closed magnetic me
typical BH curve for an iron core. (c) Circuit model representation for
Si on enroule un fil conducteur autour d’un tore ferromagnétique, en
faisant N1 tours, et qu’on fait passer un courant i1 dans ce fil :
Le courant produit un flux magnétique φ = KN1 i1, qui circule dans le tore
dans le sens compatible avec la “règle de la main droite”, avec K une
constante.
Si le flux φ (et donc i1) varie, il apparaˆıt une tension v1 telle que
v1 =
dN1φ
dt
= L1
di1
dt
, avec L1 = KN2
1 .
Donc si i1 augmente, la tension v1 est positive avec la convention de signe
utilisée sur la figure (i1 entrant dans le terminal +).
L1 est l’inductance propre de la bobine.

Introduction
Inductance mutuelle
184 7 Transformers
I2
V2V1
+
-
+
-
I1
V2
φ
V1
+
-
+
-
(a) (b)
Fig. 7.2. (a) Two coils of wire wound on a core. (b) Two windings arranged
same side of the core.
V2 =
dN2φ
dt
A different turns number N2 is assumed for the output winding. The r
between the flux and the input current is next applied as in Equatio
leading to
V2 = KN1N2
dI1
dt
The product KN1N2 is defined as the mutual inductance M of the c
coils.
I1
ɸ
On enroule maintenant un deuxième fil, avec N2 tours. Pour l’instant on
laisse ce côté du circuit ouvert, c’est-à-dire i2=0.
On a toujours le courant i1 qui crée un flux magnétique φ dans le tore.
On choisit la convention de signes pour v2, i2 qui est compatible avec la
“règle de la main droite”, étant donné le sens du flux φ.
Si φ (et donc i1) varie, il s’établit aussi une tension v2 aux bornes du
deuxième enroulement (en négligeant ici les pertes de flux)
v2 =
dN2φ
dt
= KN1N2
di1
dt
= M12
di1
dt
, avec M12 = KN1N2.
Si φ (ou i1) augmente, la tension v2 est positive avec la convention de
signe utilisée sur la figure.
M s’appelle l’inductance mutuelle. Notons aussi que v1
v2
= N1
N2
, mais
seulement en supposant qu’il n’y a pas de perte de flux dans le tore.

Introduction
Bobines couplées (ou circuits couplés)
[Svoboda et Dorf p. 532]
Ni nombre de tours de
la bobine i
position du point
dépend du sens de
l’enroulement
Si on ferme le deuxième circuit, c’est-à-dire i2 = 0, en supposant la
linéarité :
v2 = M12
di1
dt
+ L2
di2
dt
Similairement v1 = L1
di1
dt
+ M21
di2
dt
.
L’expression Mij = KNi Nj = Li
Nj
Ni
n’est pas toujours valable, mais la
relation M12 = M21 = M oui : inductance mutuelle des bobines couplées.

Introduction
Bobines couplées : conventions de signe
Les bobines couplées forment un quadripôle.
Convention standard des quadripôles pour les signes de v, i à chaque port :
i rentre dans le terminal +.
Système de points pour marquer les sens d’enroulement compatible avec la
règle de la main droite.
Permet la convention M > 0 : si i1 augmente, cela contribue un terme
positif M di1
dt
à v2.

Introduction
Relations courant-tension pour les bobines couplées : récapitulatif
En notation vectorielle (v = v1, v2
T
i = i1, i2
T
)
v = L
di
dt
, avec L =
L1 M
M L2
ou
di
dt
= Γv (si det L = 0).
L est la matrice d’inductance, Li est l’inductance propre de la bobine i, et
M est l’inductance mutuelle des bobines couplées.
Γ = L−1
est la matrice d’inductance réciproque.
Le système de points permet de représenter symboliquement le sens
d’enroulement des bobines, pour avoir la convention M > 0
Symbole et directions de référence :
Mi1 i2
+
-
v1
+
-
v2

Introduction
Directions de référence et position des points : récapitulatif
Le système de point indique que pour le port 2 ouvert, v1 = L1
di1
dt
et
v2 = M di1
dt
ont le même signe.
Pour un des ports (disons port 1), on fixe la position du point au choix.
On fait rentrer la direction de i1 positif dans le terminal avec le point. Cela
détermine le sens positif du flux dans le tore par la règle de la main droite.
Pour avoir M > 0, la règle de la main droite doit être compatible dans
l’autre bobine avec le même sens positif de flux → fixe la direction positive
du courant 2. On place le point du côté ou ce courant positif rentre.
Les directions de références pour les tensions sont prises suivant la
convention passive pour chaque port.

Introduction
Energie emmagasinée dans les bobines couplées
Puissance instantanée délivrée :
p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) = L1
di1
dt
+ M
di2
dt
i1 + L2
di2
dt
+ M
di1
dt
i2
=
1
2
d
dt
L1i2
1 + L2i2
2 + 2Mi1i2
Energie emmagasinée : E(t) =
t
0
p(τ)dτ = 1
2
i(t)T
Li(t).
Comme ce composant est passif, on doit avoir
1
2
iT
Li ≥ 0, pour tout i =
i1
i2
.
Ainsi, L est une matrice symmétrique qui doit être (semi-definie) positive.
Cela implique :
L1 ≥ 0, L2 ≥ 0, et det L = L1L2 − M2
≥ 0 ⇒ M ≤
√
L1L2.
k := M√
L1L2
, avec 0 ≤ k ≤ 1, s’appelle le coefficient de couplage.
k = 0 → pas de couplage. k = 1 → couplage parfait (M =
√
L1L2) : cas
supposé si M n’est pas indiqué sur le symbole (pas exactement réalisable
physiquement), pas de perte de flux magnétique.

Introduction
Exemples d’analyse de circuits coupl´es
0.6H
1.6H0.4H
2Ω
vs(t) = 100
p
2 cos(100t) 200Ω
i1 i2
+
-
v2
+
-
Question : calculer V2,rms en RPS.
On a, en omettant rms de la notation
Vs = 100 = 2I1 + 0.4jωI1 + 0.6jωI2, V2 = −200I2 = 1.6jωI2 + 0.6jωI1
i.e.,
1 + 20j 30j
3j 10 + 8j
I1
I2
=
50
0
⇒ I2 =
1 + 20j 50
3j 0
1 + 20j 30j
3j 10 + 8j
I2 =
−150j
10 + 8j + 200j − 160 + 90
=
150j
60 − 208j
=
150∠90◦
216∠ − 74
= 0.694∠164◦
⇒ V2 = −200I2 = 139∠164◦
(i.e., v2(t) = 139 cos(100t + 0.9π))

Introduction
=
+
=
+
M
I1
I2
Loi des mailles:
L1
L2
Vs1 Vs2R

sL1 + R sM R
R + sM R sL2

I1
I2
=

Vs1
Vs2
=
+
L1
L2
I1
I2
R
M  
I1
I2
=

Vs1
0
Vs
=
+Vs
L1
L2
R
I2
I1
C
M
 
I1
I2
=

Vs1
0
sL1 + R −sM − R
R + sM −R − sL2
I1
I2
=
Vs1
Vs2
I1
I2
=
Vs
0
I1
I2
=
Vs
0

Introduction
=
+
=
+
M
I1
I2
Loi des mailles:
L1
L2
Vs1 Vs2R

sL1 + R sM R
R + sM R sL2

I1
I2
=

Vs1
Vs2
=
+
L1
L2
I1
I2
R
M  
I1
I2
=

Vs1
0
Vs
=
+Vs
L1
L2
R
I2
I1
C
M
 
I1
I2
=

Vs1
0
sL1 + R −sM − R
R + sM −R − sL2
I1
I2
=
Vs1
Vs2
(L1 − M + L2 − M)s s(M − L2)
s(M − L2) R + sL2
I1
I2
=
Vs
0
1
sC + s(L1 + L2 − 2M) s(2M − L1 − L2)
s(2M − L1 − L2) R + s(L1 + L2 − 2M)
I1
I2
=
Vs
0

Introduction
Généralisation à plus de 2 bobines couplées
Ex. pour 3 : v = L
di
dt
, L =


L1 M12 M13
M12 L2 M23
M13 M23 L3

 semi-definie positive
Figure 1.5 Three inductors wound on the &me
core: the mutual inductances are not all positive.
Exercise Consider the three mutually coupled inductors shown in Fig. 1.5.
Show that M,, >0, M,, <0, and M,,<Q.
Equation (1.15a) is of the form v(t) = L i(t). As before we can calculate
the magnetic energy stored and we find the same formula as Eq. (l.lO),
namely,
8,(i) = f i T ~ i (1.15b)
Même circuit magnétique,
M12 > 0, M13, M23 < 0, ou bien
système de points unique ok en
inversant le port 3
ELE2611 – Circuits Actifs
Cours 10 – Inductances Mutuelles
Détermination de la position des points – système non uniforme
Dans ces situations,
on définit des marques de polarités distinctes pour chacune des paires de bobines couplées
Cours 10 - 11© C. Morin 2013
Cas où on ne peut pas définir un
seul système de points
On peut utiliser soit choisir les directions de référence arbitrairement pour
chaque port et autoriser Mij > 0 ou Mij < 0, soit utiliser un ou plusieurs
systèmes de points pour forcer Mij > 0 et mettre les bons signes devant
les variables pour chaque paire de ports.

Introduction
Insuffisance d’un système de points unique
Selon la topologie du circuit magnétique, il se peut que les points soient incompatibles
Par exemple, pour la construction suivante,
On pose le premier point, puis les deux autres conséquemment
Pour ensuite constater que la règle de courants entrants par le point du second
ne produit pas un flux dans le même sens
que celui produit par un courant entrant dans les autres pointsque celui produit par un courant entrant dans les autres points
Cours 10 - 10© C. Morin 2013
Le choix du premier point, puis des
deux autres en conséquence aboutit
à une contradiction
ELE2611 – Circuits Actifs
Dans ces situations,
on définit des marques de polarités distinctes pour chacune des paires de bobines couplées
Cours 10© C. Morin 2013
Pour ne pas compliquer le modèle, on peut autoriser Mij < 0. Dans tous
les cas on a L 0 (semi-definie positive).

Introduction
Transformateurs
Outline
Transformateurs

Introduction
Transformateurs
Transformateur idéal
N1 : N2
n : 1
ou
+
-
V1
I1
+
-
V2
I2
(n = N1 / N2)
Symbole:
idéal
Le transformateur idéal est un quadripôle très utile pour la modélisation
(au même titre que les sources contrôlées et le gyrateur par exemple)
Ses équations sont les contraintes linéaires statiques suivantes :
v1(t) = n v2(t) ou v1(t) =
N1
N2
v2(t)
i2(t) = −n i1(t)
soit
v1
i1
=
n 0
0 1/n
v2
−i2
n est appelé le rapport de transformation
Puissance instantanée absorbée :
p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) = nv2(t)i1(t) − nv2(t)i1(t) = 0
Idem : pas de puissance complexe, active, ou réactive absorbée
Le transformateur idéal est un composant sans pertes

Introduction
Transformateurs
Remarque sur le modèle du transformateur idéal
Pour les bobines parfaitement couplées (sans perte de flux), on avait aussi
obtenu sur la diapositive 31 que v1 = N1
N2
v2.
Toutefois le transformateur idéal est un modèle théorique distinct, les
contraintes v1 = nv2 et i2 = −ni1 sont vérifiées pour tout t, tout signal,
toute fréquence, même DC, alors que les bobines couplées nécessitent des
variations de courant pour donner v = 0.
Pour des bobines parfaitement couplées, la matrice d’impédance et les
paramètres (A,B,C,D) sont
Z(s) =
L1s
√
L1L2s√
L1L2s L2s
⇒ T(s) =
n 0
1√
L1L2s
1
n
T(s) n’est pas définie pour s = 0.

Introduction
Transformateurs
Connection d’une source à une charge
Pour transférer de la puissance à une charge en changeant le niveau de
tension dans un réseau électrique, on utilise des circuits couplés qui
s’approchent le plus possible d’un transformateur idéal (donc sans perte de
puissance) en RPS
n : 1
+
-
V1
I1
+
-
V2
I2
idéal
Zs
ZL
circuit primaire circuit secondaire
+
-
Vs
source charge
Zeq
Zs
+
-
Vs
Zeq
Comme le transformateur idéal est sans perte, toute la puissance délivrée
par la source au transformateur idéal est ensuite délivrée à la charge.
Impédance du secondaire réfléchie au primaire :
Zeq =
V1
I1
= −n2 V2
I2
= n2
ZL.

Introduction
Transformateurs
Des bobines couplées aux transformateurs idéaux
+
-
V1
I1
+
-
V2
I2
Zs
ZL
+
-
Vs
source chargeM
L1 L2
Un transformateur réel est réalisé en RPS par des bobines couplées et ne
peut qu’approcher un transformateur idéal.
Equations du circuit :
V1 = jωL1I1 + jωMI2, V2 = −ZLI2 = jωL2I2 + jωMI1
⇒ I1 = −
jωL2 + ZL
jωM
I2 ⇒ V1 = −
L1
M
(jωL2 + ZL) + jωM I2
V1 =
L1
M
V2 + jω
L1L2 − M2
M
V2
ZL
Si le couplage est parfait, M2
= L1L2 et V1 = L1
L2
V2

Introduction
Transformateurs
Des bobines couplées aux transformateurs idéaux (suite)
+
-
V1
I1
+
-
V2
I2
Zs
ZL
+
-
Vs
source chargeM
L1 L2
Si le couplage est parfait, M2
= L1L2 et V1 = L1
L2
V2
De plus, Li = ci N2
i , i = 1, 2, où ci dépend des propriétés magnétiques et
géométriques du noyau, et Ni est le nombre de tours de la bobine i. Pour
c1 = c2, on obtient V1 = nV2 avec n = N1/N2, i.e., n est le rapport du
nombre de tours des deux bobines.
Finalement
I2 = −
jω
√
L1L2
jωL2 + ZL
I1
donne I2 ≈ −nI1 si ωL2 |ZL|.
On obtient donc un transformateur idéal dans la limite k = 1 (couplage
parfait) et ωL2 |ZL|.

Introduction
Transformateurs
Du transformateur idéal aux bobines couplées
1 : nI1'
+
-
V2
I2
idéal
I1
+
-
V1
La
Lm
Montrer que pour le circuit ci-dessus, on a v = L di
dt
, avec
L =
La + Lm nLm
nLm n2
Lm
En déduire qu’on peut modéliser des bobines couplées par ce circuit avec
n =
L2
M
, Lm =
M2
L2
, La = L1 −
M2
L2
La est l’inductance de fuite (modélise les pertes de flux), Lm est
l’inductance magnétisante (modélise le flux commun aux deux bobines).
On retrouve le transformateur idéal pour La → 0, Lm → ∞.

Introduction
Transformateurs
Conclusions
Un réseau électrique est un grand circuit fonctionnant normalement en
régime permanent sinuso¨ıdal.
Pour les réseaux électrique, la grandeur principale à laquelle on s’intéresse
est la puissance.
Les notions de puissance complexe, apparente, active, réactive, jouent
toutes un rôle dans la conception des éléments d’un réseau électrique.
Les calculs de puissance sont facilités par l’emploi des phaseurs
sinuso¨ıdaux.
Les transformateurs permettent de transférer de la puissance des sources
vers les charges tout en changeant le niveau de tension. Un transformateur
idéal ne consomme pas de puissance active ou réactive.
Les transformateurs sont réalisés physiquement par des circuits
magnétiquement couplés.
Les notions introduites dans ce cours seront approfondies dans ELE3400,
Electrotechnique.

ELE2611 Classe 9 - Notions d'électrotechnique

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