1. CHAPITRE 2
LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une
variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation
différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet
aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de
manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui rendent la transformation de Laplace intéressante et
populaire auprès des ingénieurs. Cette transformation a donné lieu à la technique du calcul opérationnel
ou calcul symbolique qui facilite la résolution des équations différentielles linéaires qui représenteront les
systèmes que nous allons étudier.
1- TRANSFORMATION DE LAPLACE
1-1-Définition
Soit f(t) une fonction a valeur réelle ou complexe de la variable réelle t définie de  0 à  [ et soit
s    j , une variable complexe; l’expression :

L f (t )   F s    e st f t dt
0
s’appelle la transformation de Laplace unilatérale.
1-2-Ordre exponentiel
On dira qu’une fonction f(t) est d’ordre exponentiel à l’infini si et seulement si, il existe un couple de
nombres réels
et M tel que :
f (t )  Met , t  0
1-3-Existence de la Transformation de Laplace
Soit f(t) une fonction continue par morceau sur l’intervalle fermé [0, a] (pour tout a>0) et ayant un ordre
t
exponentiel à l’infini tel que f (t )  Me ; alors, la transformation de Laplace L(f) existe et est définie
pour s   .
1-4-Unicité de la Transformation de Laplace
Soient f(t), et g(t), deux fonctions
Supposons que:
continues par morceaux avec un ordre exponentiel à l’infini.
L f (t )   L( g (t ))
Alors f (t)=g(t) pour

t  0, D

, pour tout D > 0, sauf peut être en un nombre fini de points.
9

2. Exemple 1:

Si f (t)=1, alors L(f(t) L1 e  st dt  1 .

s
0
Dans cet exemple, l’intégrale converge si et seulement si la partie réelle de s  0
Exemple 2 :

Si f(t)e
at
alors
L(f(t)) Le  eat e  st dt  1
s a
0
at
,
ou Rel (s)  Rel (a).
Il y’a convergence si Rel (s-a) 0
Transformée Bilatérale :
On définit aussi une transformation de Laplace sur le domaine R des nombres réels:

L f(t)  Fs  e st f t dt

Cette transformation n’est pas beaucoup utilisée dans le domaine de l’engineering car on considère les
signaux qui respectent la causalité et donc qui existent à partir d’un instant t 0.
1-5. Transformation de Laplace Inverse
On peut revenir de la transformée de Laplace à la fonction du temps f(t) par la transformation inverse
suivante:
x  j
f(t)F s 1 est Fs ds
2..j x j
1
Dans cette expression, x est un nombre réel quelconque, et x  a pour A1 et a  xb pour A2.
2-PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE:
a)-Addition
La transformée de Laplace d’une somme de fonctions f1(t) et f2(t) est égale à la somme de leurs
Transformées de Laplace.
L  f 1  f 2   L  f1   L  f 2 
b)- Multiplication par une constante
L cf   c  L  f 
c)- Linéarité
Les propriétés d’addition et de multiplication par une constante lorsqu’elles sont combinées conduisent
au fait que la transformée de Laplace est une transformation linéaire :
 n
 n
L ck  f k t ck L f k t 
 k 1
 k 1

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3. Exemple : Déterminer la transformée de Laplace de la fonction f(t)=coswt. Celle-ci est obtenue en
utilisant l’expression exponentielle.
e jt ejt
f(t)  cos.t 
2
En appliquant la transformée de Laplace et la propriété de linéarité, on a :
Lcos t   F s   L(
e jt  e  jt
2
)
1
1
s
L(e jt )  L(e  jt )  2
2
2
s 2
d)- Dérivées :
La dérivée première est obtenue par :
L  f t s L  f t  f 0 = sF(s) f(0)
La dérivée seconde :
L  f t  = s2 L  f t   s. f 0   f 0  = s 2Fs  s f 0 f 0
La dérivée troisième :
L f
 t  =L .s  f t   s . f 0  s. f 0  f (0)
3
2
3
Généralisation aux dérivées d’ordre n :
Supposons que f(t), et ses dérivés f k (t) , pour k=1,2,..,n sont continues par morceaux et ont un ordre
exponentiel à l’infini. Alors on a:
L(f (n)(t)) s n L(f) s n 1 f(0) s n 2 f (0)........ f n1(0)

Si on considère les valeurs initiales toutes nulles, on :
L(f (n)(t)) s n L(f) s n.F(s)
e)- Théorème de la valeur initiale
On peut déterminer la valeur de la fonction f(t) à l’origine si on connaît la limite à l’infini de sa
transformée de Laplace.
f(0)limsF(s)
s 
f)- Théorème de la valeur finale
On peut déterminer la valeur de la fonction f(t) à l’infini si on connaît la limite pour s0 de sa
transformée de Laplace.
f()limsF(s)
s0
g) – retard ou délai ou règle de translation en t
Si L ( f )  F ( s ) alors L( f (t  T )  e sT F ( s) .
esT
Est appelé facteur de retard.
h)-règle de translation complexe en s
L(e  at f (t ))  F ( s  a)
Exemple :


L e  at . cos t 
pa
( p  a) 2   2
11

4. i)-produit de deux fonctions
c  j
L f1 (t).f 2 (t) 1  F1 w.F2 (w)dw
2j c  j
j)-produit de convolution
-1
L

F1 s .F2 ( s)  
t
 f  . f
1
2
(t   )d 
0
t
f
2
( ). f 1 (t   )d
0
k) -Soit f(t) une fonction continue par morceaux sur [0, A] (pour tout A>0) et a un ordre exponentiel à
l’infini. Alors, on a: L(t n f(t))(1)n F (n)(s)
Où F (n )
est la dérivée d’ordre n de la fonction F.
l) Soit f(t) une fonction continue par morceaux sur [0, A] (pour tout A>0) et a un ordre exponentiel à
l’infini. Supposons que la limite
f (t )
t
lim

t 0

 f(t)  L(f())d

 t  
s
, est finie. Alors, on a : L
m)-Règle de similitude (Changement d'échelle) :
Soit g (t) = f(at) (a>0), alors
L( f ( at )) 
1 s
F( )
a a
3- FONCTIONS PARTICULIERES
Dans l’étude des systèmes et des équations différentielles qui servent à les décrire, on utilise une famille
particulière de fonctions, les fonctions singulières qui sont des fonctions de fonctions ou Distributions.
Pour bien comprendre ces fonctions singulières, il faut les étudier dans le cadre de la théorie des
distributions qui est une théorie qui généralise la théorie des fonctions.
Les Distributions qu’on utilise plus fréquemment sont la distribution échelon unité (distribution de
Heaviside). La distribution impulsion unité (Distribution de Dirac) et la distribution pente unité.
3-1-Fonction échelon unité (Distribution d'Heaviside) u(t)
On appelle fonction échelon unité associée à t0, la fonction du temps notée u(t-t0) et définie par
1 si t  t0

u(t t0)
0 si t  t0

Elle est représentée dans la Figure 2.1.
12

5. 
L(u(t t0))est.dt  e
La transformée de Laplace de l’échelon unité:
t0
st0
s
 s 0
Pour le cas particulier ou t0=0, on écrit : L(u(t)) 1
s
3-2 Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac)
On peut définir l’impulsion unité  (t ) comme une fonction nulle partout sur R sauf en un seul point t0
ou elle prend une valeur infinie.
 si t t0
(t t0 )
 0 sinon
La Distribution de Dirac peut être approchée par le signal de la Figure 2.2, si on fait tendre 
vers 0, 1 ne tend pas vers une limite au sens des fonctions, mais au sens des distributions car
1(t) n'est pas dérivable aux deux points de discontinuités. Cette limite est (t) , qui est appelée la
distribution de Dirac.
La distribution de Dirac peut être obtenue comme la dérivée de la distribution de Heaviside.
La transformée de Laplace de la Distribution de Dirac est égale à l’unité: L( t ) F(s) 1 On l’obtient
par les opérations suivantes :


1ese
 est 
 es 1 
L( t ) F(s)e .1 .dt  1 e st.dt   = lim 1 .
  lim
1

0
 s  0  0   s s   0 s.
0

 st
(On utilise les développements limités ou la règle de l'Hospital). Donc la transformée de Laplace de la
distribution de Dirac vaut l’unité: L( (t ))  1

On observe que la surface est égale à 1 quel que soit  donc :
 (t)dt 1


Cette fonction (distribution) à aussi la particularité suivante :

f(t)(t)dt  f(0)

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6. 3-3- Fonction puissance :
t n
Soit : t .U (t )  
n
0
t0
n  N 
t 0

F(s) e st.t n.dt  I n
Calculons donc
0
Posons le changement de variables :
ut n , du n.t n 1.dt et dvest dt , v
est
; d’ou :
s


 e  pt 
n
I n  t n .
  e  pt .t n 1 .dt

  p 0 p 0
n/

I 0  1; I1  1 ; I 2  2 ;...............;I n  n 1
3
2
s
s
s
s
D'où : I n  n .I n 1 et donc :
s
F(p) L(t n.u(t))
D’où :
(le premier crochet est nul)
n/

(nN)
s n 1
4-TABLEAU DE QUELQUES TRANSFORMEES DE LAPLACE
Le tableau suivant donne les transformées de Laplace de quelques fonctions.
F s 
f t 
t  0
impulsion unité  t 
1
échelle unité à t=0 u(t)
1
s
1
s2
t .u(t)
1
sn
1
 t n 1
n  1
1  as
e
s
u(t-a)

1
1  e  as
s

u(t)- u(t-a)
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7. e  at
1
sa
1
 t n 1  e  at
n  1
1
s  a 
n

1
1  e  at
a
1
s s  a 


1
e  at  e bt
ba
1
s  a s  b 

s 2
sin .t
s
s 2

cos .t
2
2
1
s  2 n s   n
2
2
1 nt
e
sin  d t
d
d  n 1   2
5-METHODE DE LAPLACE (CALCUL OPERATIONNEL)
L’utilisation de la méthode de Laplace pour résoudre les équations différentielles s’appelle le calcul
opérationnel ou calcul symbolique. Il permet de connaître la solution complète d’un système linéaire
soumis à une large variété de signaux quelconques transitoire ou périodique. Le traitement se fait
généralement en quatre étapes comme on le verra dans l’exemple suivant :
1)- On établit l’équation différentielle à résoudre.
2)-On applique les propriétés de dérivation et autres de la transformée de Laplace à l’équation
différentielle considérée. Par cette transformation, on passe du domaine du temps dans le domaine
(complexe) de Laplace.
3)-On détermine la solution Y(s) dans le plan de Laplace que l’on développe en termes simples.
4)- Il reste à déterminer la solution y(t). Pour cela, on effectue la transformation inverse de Y(s) en
utilisant la table des transformations.
5-1-EXPANSION DE Y(s) EN FONCTIONS SIMPLES
Pour pouvoir inverser la transformée de Laplace, qui est exprimée comme : Y(s) = N(s)/D(s), on
décompose l’équation obtenue en un produit de facteurs. Suivant la forme de décomposition obtenue, on
distingue trois cas.
a)-Les pôles de Y(s) sont tous simples :
Supposant que D(s) possède des pôles s0, s1, s2,...sn on peut écrire Y(s) sous la forme
Y(s) A  B ...... R
ss0 ss1
ssn
(1)
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8. -On connaît la réponse temporelle pour chaque terme de la somme, il suffit de déterminer les coefficients
A1, A2, An . Pour cela, on peut procéder par la méthode d ‘identification ou mieux encore en faisant
appel à des techniques de décomposition des résidus.
-Par la technique des résidus, on procède de la manière suivante : pour déterminer A on multiplie les
deux membres de l'équation par s-s0 puis on fait tendre s vers s0. On procède de la même manière
pour les autres coefficients. Voici, un exemple d’illustration de cette technique.
Soit s1, s2 des pôles de Y(s)
Y(s)
1
A
B
ss1 ss2  ss1  ss2
Le coefficient que l’on veut déterminer A, on multiplie Y(s) par (s-s1) comme suit :
Y(s)s  s1 
As  s1  Bs  s1 

s  s1
s  s2
On fait tendre s vers s1 comme suit : A lim H ( s )s  s1   A.1  B.0 
s  s1
1
s1  s2
De même pour B ; on trouve:
B  lim H ( s )s  s 2   A.0  B.1 
ss 2
1
s2  s1
Enfin sachant que A/(s-s0) est la transformée de : A.e s0 t on obtient la solution :
y(t)
1 . es1 t es2t
(s1  s2)

b)-S’il existe un pôle multiple
Si une fonction à variable complexe à un pole simple, H(s) A  on obtient A par :
s a
A  lim H ( s ).( s  a)
s a
si H(s) a un pôle multiple d’ordre n: H(s) 
A
s a n
; on détermine A à l’aide de l’expression :


n 1
 1 d sa n.H(s) 
Alim
n 1

s a  n1 ds
.



Exemple : Soit
H(s)

1
 A  B
(s  s1)2(s  s2) (s  s1)2 (s  s2)
 

2
A lim d s  s1  . 1 2  1   1 2
s  s1 ds
ss1  ss2   (s1s2)
 
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9. 
z  z 2  
1
1
B  z lim z2 

2
2
 ( z  z 2 )  z  z 2   ( z 2  z1 )
De façon générale, si :
Y(s)
N(s)
(s s0)q D1(s)
Alors, en décomposant, on a :
N1(s)
Y(p) B0 q  B1 q 1 ....... Bq 1 
ss0 D1(s)
(ss0) (ss0)
c)- les pôles sont complexes conjugués
Y(s)
N(s)

avec p0 a jb et p0 a jb
(s p0)(s p0)
On aura alors Y(s)
A0  A1 avecA0  Ae j et A1  A.e j
(s p0) (s p0)
Les coefficients correspondants de la décomposition en fractions simples seront aussi complexes
conjugués (A et Ax). La solution contient des termes oscillatoires :
A.e j .e a  jb t  A.e  j .e a  jb t  2 A.e at . cos(bt   )
et.avec   arg A
On est donc en présence d’une oscillation amortie si a est négatif, d’une oscillation amplifiée (divergente)
si a est positif, d’une sinusoïde simple si a=0
5-2-Applications de la transformée de Laplace :
On considère la réponse du système correspondant au circuit ci-dessus, soumis à un signal échelon
(supposé unitaire) U (t). La transformée de Laplace du signal échelon est : Lu(t) 1
s
Pour t>0 on a : u (t)=E = constante. On cherche le courant i (t) qui circule dans le circuit de la figure cidessous.
1-La loi d'Ohm permet d'écrire l’équation différentielle : u(t) R.i(t) L. di
dt
2-On applique la transformation de Laplace, dans chacun de ces éléments pris séparément,
en se rappelant F'(s)=sF(s) ; ce qui donne : U(s) R.I(s) L.s.I(s)
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10. En remplaçant U(s) par E/s, l’équation différentielle s’exprime dans l’espace de Laplace par :
U(s) E R LsI(s)
s
3-On en déduit I(s) qu'on décompose en termes simples, soit :
E
I(s) E . 1  L  A  B
s R Ls s s  R s s  R
L
L
 


4-On applique les règles de détermination des coefficients, on obtient : I(s) E  1  1 
R  s s R 

L
 .t 
E
i(t )  1  e L 
R

R
La table des transformées nous donne la solution :
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