Flexion pure résistances des materiaux.ppt

1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 6: flexion des poutres droites
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL

2
flexion des poutres droites
Hypothèses:
1: l’effort tranchant est nul,
la flexion simple est dite flexion pure
2: le moment de flexion Mf ne
comporte qu’une composante
Mfz = M
perpendiculaire au plan Gxy
appelé plan de flexion;
3: la fibre moyenne de la poutre
est une droite et elle est
donc confondue avec l’axe Gx.
(les axes Gy et Gz sont principaux d’inertie).

3
flexion pure : le moment de flexion est constant le long de x
axe neutre
pas de déformation

4
flexion des poutres droites - hypothèse
Hypothèse concernant la déformation de la section.
adopter une nouvelle fois l’hypothèse de Bernoulli
d’après laquelle une section plane avant déformation
reste plane après déformation.
L’expérience montre que l’on peut admettre que,
mise à part l’influence de la contraction latérale,
la section F' après déformation se déduit de F
par simple rotation autour du support de M (axe Gz).

5
ky








F
z
F
y
F
dF
0
dF
0
dF
0








 


F
F
F
y
z
ydF
M
zdF
0
dF
)
z
y
(
0




axe neutre

6
flexion pure des poutres droites



F
2
z dF
y
I
I
ky






F
2
F
dF
y
ydF
M k

I
yM


axe neutre
F
0 ydF
k
  
F
0 yzdF
k
  

7
I
M
1
max
d


I
M
2
min
d



y = d1
y = d2
1
max
W
M


2
min
W
M



I=W1d1
axe neutre
moments de résistance à la flexion
I=W2d2
I
yM



8
convention de signe en flexion
(b) moment de flexion Mfy et trièdre de référence à droite.
(a) moment de flexion Mfz et trièdre de référence à gauche;

9
flexion pure des poutres droites - déformation
I
yM


on connaît
E

 
dx
EI
M
d 

dx
EI
yM
dx
E
dx 




d
dx 

 yd
dx 
EI
M
dx
d


EI
M
1



d
dx 
courbure
établir la déformation de la poutre (Chapitre 7)

10
flexion pure des poutres droites - déformation
La déformation latérale due à la flexion entraîne de la contraction
ou dilatation latérale due aux contraintes normales. Compte tenu de la distribution
des contraintes en flexion pure, il est facile de voir qu’une section rectangulaire
par exemple se déforme comme le montre la figure
EI
M
1
'






Un raisonnement semblable
au précédent permet de calculer la courbure
 : désigne le coefficient de Poisson
dz
df
df
dz
EI
My
dz
E
dz
d
dz
z
'









dz
EI
yM
yd
y
d
dz
z

f






11
flexion pure des poutres droites - exemple
Calculons les contraintes dans
une section d’une poutre rectangulaire
MPa
208
W
M
I
My
1
max
max 



H = 6 cm
B = 4 cm
M = 5000Nm
I
My


12
BH
I
3

MPa
208
W
M
I
My
2
min
min 







12
Distribution des contraintes normales
I
My



13
contraintes de cisaillement et de flexion

14
Contraintes tangentielles en flexion simple
Quand le moment de flexion varie le long de la poutre,
il s’accompagne d’un effort tranchant
0
)
dT
T
(
dx
T 



 p
0
)
dM
M
(
2
dx
dx
Tdx
M 




 p
équilibre
dx
dT


p
dx
dM
T 
L’effort tranchant provoque des contraintes
tangentielles dans la section

15
contraintes tangentielles en flexion simple
contraintes tangentielles
(ou de cisaillement)
y
C
écoulement des

B
x
z
y
T
H
B
C


16
Considérons deux sections infiniment voisines
et conservons les deux hypothèses
3: la fibre moyenne de la poutre
est une droite et elle est
donc confondue avec l’axe Gx.
2: le moment de flexion Mf ne comporte
qu’une composante Mfz = M
perpendiculaire au plan Gxy
appelé plan de flexion;
d est le résultat de la variation de M
d est le résultat de la variation de T

17
Considérons l’équilibre de la section F’
Tdx
I
y
dx
dx
dM
I
y
dy
y
dx
x
d 










I
yM


)
0
dy
( 


'
F
'
ydF
Ib
T

0
)
2
d
(
bdx
dF
)
d
(
dF
'
'
F
'
F
'



 








0
dxd 

'
'
F
b dx= dσdF
 

18


'
F
'
ydF
Ib
T























2
2
'
F
'
'
2
/
H
y
1
8
BH
S
)
y
2
/
H
(
2
1
)
y
2
/
H
(
B
ydF
S
'
12
BH
I
3
 B
b 
Calculons les contraintes tangentielles
















2
2
/
H
y
1
BH
T
2
3

















2
moy
2
/
H
y
1
2
3



19
y
















2
2
/
H
y
1
BH
T
2
3

C
x
z
y
T
H
B
C

20
Distribution des
















2
2
/
H
y
1
BH
T
2
3


21
contraintes tangentielles : section circulaire






3
3
'
'
2
/
'
2
'
3
F
'
'
'
cos
R
3
2
S
d
cos
sin
R
2
dF
y
S
'





4
R
I
4



















2
moy
2
moy
R
y
1
3
4
cos
3
4






cos
R
2
b 


'
F
'
ydF
Ib
T



 2
2
cos
R
T
3
4

'
'
'
'
cos
R
z
;
sin
R
y 
 

'
'
2
2
'
'
'
d
cos
R
2
dy
z
2
dF 



utilisons les variables

22
contraintes normales & tangentielles
2
2
1
1 B
H
B
H
F 

F
)
2
/
H
H
(
B
H
)
2
/
H
(
B
H 2
1
2
2
1
1
1
1




1
2
1
2 H
H 
 


Géométrie de la section
3 3
2 2
2 2 1 1 1
1 1 2 2
B H B H H
I= + +B H ( +H ) - η F
3 12 2
Ib
TS'


2
/
)
y
(
)
y
(
B
S
2
/
)
y
(
)
y
(
B
S
2
2
2
'
2
1
1
1
'
1












2
2
2
2
2
1
y
H
H
y












 
 
 
 
2
2
2
2
2
1
2
1
/
y
1
I
2
T
)
y
(
/
y
1
I
2
T
)
y
(










I
My
)
y
( 

1
min
2
max
I
M
I
M







contraintes normales

23
contraintes normales & tangentielles
contraintes tangentielles : section circulaire
sur la surface, les conditions aux limites
ne sont pas satisfaites
















2
moy
R
y
1
3
4


f
 cos
/
max moy
2
4 T 4
3 R 3
 

 

max

max


24
flexion des poutres - contraintes tangentielles
sur ces surfaces,
les conditions aux limites
ne sont pas satisfaites
P
Ib
TS'


0


0


0


a
a
a - a

25
a
pour satisfaire
l’équilibre
It
TS'


P
a
a - a
η≈h/2

26
It
TS'


max
1
bt
F
2 2


pour des contraintes on utilise
écoulement des
q t


η≈h/2

27
flexion simple - état de contrainte
Ib
TS'
x 

I
yM
x 

0
x 

x
y 
 

Sur la face Fy
Sur la face Fx
Sur la face perpendiculaire a Gz
les contraintes sont nulles
État de contrainte est
bidimensionnel

28
flexion simple - état de contrainte
Considérons une section oblique F perpendiculaire
au plan principal M0xy et tournant autour de l’axe M0z,
sa normale n formant un angle  avec l’axe M0x.
l’équilibre des forces conduit à:
Etant donné que
cos sin cos 0
sin cos sin 0
x x x x y x
x x x x y x
F F F F
F F F F
 
 
      
      
   
   
cos
x
F F 
 sin
y
F F 

2
2 2
cos 2 sin cos
sin cos (cos sin )
x x
x x


     
      
 
   

29
flexion simple - cercle de Mohr
x
x
0
2
x
2
x
2
2
tg
2
R














2
x
2
x
x
1
2
2



 








2
x
2
x
x
3
2
2



 








2
x
2
x
max
2
R 

 








0
0
(1 cos2 ) sin 2
2
cos2( )
2
sin 2 cos2
2
sin 2( )
x
x
x
x
x
R
R





   

  

   
  
  
  
  
  

30
flexion des poutres droites - cercle de Mohr
x
x
0
2
0
0
2
tg
1
tg
2
2
tg




 


x
x
0
2
0
0
2
tg
1
tg
2
2
tg




 




31
flexion des poutres droites - lignes isostatiques
les trajectoires des contraintes principales, c’est-à-dire
les courbes continuellement tangentes aux contraintes principales.
Ces courbes, appelées lignes isostatiques
l elles débouchent perpendiculairement ou tangentiellement sur les fibres extérieures
de la poutre, puisque les contraintes de cisaillement sont en effet nulles en ces endroits;
l elles rencontrent l’axe neutre selon un angle de ± /4 car les points de cet axe
sont soumis au cisaillement pur
3: compression 1: traction

32
flexion des poutres droites - lignes isostatiques
0
'
tg
dx
dy
y 


x
x
0
2
0
0
2
tg
1
tg
2
2
tg




 


Équation différentielle régissant les courbes isostatiques
0
1
y
4
y '
x
x
2
'





Cette relation est également valable pour les lignes isostatiques
en compression, puisque les angles 20 et 20 caractérisant
respectivement les contraintes principales 1 de traction et 3
de compression, ont la même tangente (20 = 20 + ).

33
flexion des poutres droites - énergie
Énergie de déformation due au moment de flexion

Md
2
1
dU 

d
dx 
EI
M
1


dx
EI
2
M
dU
2

E
2
u
2


I
My


2
2
2
y
EI
2
M
u 

34
déformation due à l’effort tranchant
Les sections ne reste pas plane
I
yM


Ib
TS'
x 

ne sont que
approximatives

35
flexion des poutres droites - énergie
Énergie de déformation due à l’effort tranchant
dx
T
2
1
Tdy
2
1
dU T 


dx
GF
2
T
dU
2


G
2
u
2


Ib
TS'


GF
T
G
moy



 





F
F
udF
dx
udxdF
dU
 : coefficient de forme


F
2
2
'
2
2
dF
b
S
GI
2
dxT
dU


F
2
2
'
2
dF
b
S
I
F


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