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Cours de Dynamique des structures
Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi
Série 3
-Corrigé-
Corrigé de la série d'exercices N°3
Exercice 1
Pulsation propre :
1
332
n
K
rad s
M m
ω
= =
+
Contrôle des unités :
2
N kg m
rad m s m
s kg kg
   

   
   
  
   
   
   
   
• Force perturbatrice t
F
t
F ω
sin
)
( 0 ⋅
= avec 2 157
60
n
rad s
ω π
= ⋅ ⋅ =
2
0 1 3948
F m r N
ω
= ⋅ ⋅ =
• Déplacement statique : 0
0.36
stat
F
mm
K
δ = =
• Amplitude des oscillations forcées : max 0.46
d stat
x R mm
δ
= ⋅ =
Où 2 2
2 2
2 2
1
(1 ) 4
d
n n
R
 

 

   
avec : 473
.
0
=
n
ω
ω
; ζ 0
= ; RD = 1.29
Exercice 2
1. Sur la figure on voit que l’amplitude de la réponse totale diminue après quelques cycles pour se stabiliser.
Cela est dû au fait que la solution homogène disparait après les quelques premières oscillations : le système est
donc amorti.
2. Dans les oscillations forcées, la réponse totale se compose de deux sinusoïdes avec des fréquences
différentes: une à celle de la force perturbatrice (correspondant à la solution particulière) et l’autre à la fréquence
propre de l’oscillateur (correspondant à la solution homogène). Avec amortissement, la solution homogène
disparait après quelques oscillations. Donc pour déterminer la pulsation de la force d’excitation il faut essayer
d’estimer sur la courbe de la réponse de la structure la période des oscillations à amplitude constante.
m 1
M
r
I
I
I
L=1m L=1m
N/m
10
10.97
L
7
EI
96
K 6
3
⋅
=
⋅
⋅
=
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Estimation : Durée pour 5 cycles = 2.74-1.21 = 1.53s
Donc :
2
0.306 20.53
T rad s
T
π
ω
⇒ =
 
3. Toujours en considérant la partie de la réponse correspondant aux oscillations à amplitude constante.
max
98
x mm

Avec : 0
0.0742
stat
F
m
K
δ= =
Et le facteur d’amplification vaut : max
98
1.32
74.2
d
stat
x
R
δ
= = =
Exercice 3
1. Non ! Pour un rapport 2
n
ω
ω
 , le facteur Rf est égale à 1 pour toute valeur d’amortissement.
2. En utilisant le diagramme de Rf (pour un amortissement ζ 0.01
= ) : Pour que Rf soit inférieur à 0.1, il faut
que 3.3 116.7
n
rad s
ω
ω
ω
≥ ⇒ ≥
3. Pour 105rad s
ω = ; on a : 3
n
ω
ω
=
Pour cette valeur du rapport n
ω ω ; le facteur d’amplification Rf diminue si on diminue l’amortissement.
Pour un amortissement fixe avec n
ω ω proche de 3, le facteur d’amplification Rf diminue si on diminue la
pulsation propre du système (soit en augmentant la masse ou en réduisant la rigidité).
Exercice 4
a) Amortissement négligeable
La réponse totale du portique est donnée par :
 
0
2
/
( ) cos( ) sin
1 ( / )
n
n
F k
x t D t t
  
 
  

En utilisant la forme trigonométrique de la partie transitoire de la réponse :
     
0
2
/
( ) sin cos sin
1 ( / )
n n
n
F k
x t A t B t t
  
 
  

La vitesse est obtenue en dérivant par rapport au temps,
     
0
2
/
( ) cos sin cos
1 ( / )
n n n n
n
F k
x t A t B t t
     
 
  


La rigidité horizontale du portique :
1
3
24
EI
k
h
 ;
905625 N
k
m

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La pulsation propre : n
k
M
  ;
21,28
n
rad
s
 
Le déplacement statique : 0
11
st
F
mm
k
δ= =
0,47
n



0
2
/
14
1 ( / )
n
F k
mm
 


Les coefficients A et B sont déterminés en utilisant les conditions initiales :
(0) 0
x B
 
0
2
/
(0) 0
1 ( / )
n
n
F k
x A 
 
  


Ce qui donne :
3
6,64 10 0
A et B

  
Finalement la réponse totale du portique à l’excitation sinusoïdale peut être écrite comme :
   
( ) 6,6 sin 21 14 sin 10 [ ]
x t t t mm
  
La réponse totale de la structure est représentée dans la figure ci-après.
Figure 1 : La réponse totale du portique (en gras) avec les deux termes (en pointillé)
A partir de la réponse de la structure (Figure 1), on peut observer que :
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
temps [s]
déplacement
[mm]
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 La deuxième partie de réponse (oscillations forcées) a la même fréquence que la force d’excitation et est
en phase avec cette dernière puisque 1
n


 ;
 La réponse totale n’est pas une oscillation harmonique simple ;
 La valeur maximale de la réponse totale ( >20 mm) est plus grande que la valeur du déplacement
maximal correspondant aux oscillations forcées ( max 14,12
d st
x R mm

   ).
En réalité, il y a toujours un peu d’amortissement. Bien que les déplacements initiaux soient plus grands,
l’équilibre est atteint après peu de cycles.
b) Avec un amortissement ζ = 0,2 :
La réponse totale du portique est donnée par :
0
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
cos( ) sin( )
(1 ) 4
n
h p
t
D
n n
x t x t x t
F
k
D e t t b

  
 

 

 
   
   
Avec : 2
1
D n
  
 
En utilisant la forme trigonométrique de la partie transitoire de la réponse :
   
 
0
2 2
2 2
2 2
( ) cos sin sin( )
(1 ) 4
nt
D D
n n
F
k
x t e C t D t t b

  
 

 

   
   
L’angle de déphase est donné par :
2 2
2
n
n
b arctg
 
 
 

 
 

 
 
 
 

 
Pour un facteur d’amortissement ζ = 0,2, on obtient :
20,85
D
rad
s
 
0
3
2 2
2 2
2 2
13,72 10
(1 ) 4
n n
F
k m
 

 


   
0,237 ( 13,57 )
b rad
  
La vitesse est obtenue en dérivant x(t) par rapport au temps,
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         
0
2 2
2 2
2 2
( ) cos sin cos
(1 ) 4
n n
t t
D n D n D D
n n
F
k
x t D C e t D C e t t b
 
       
 

 
 
     
   

Les coefficients C et D sont déterminés en utilisant les conditions initiales :
0
2 2
2 2
2 2
(0) 0 sin( )
(1 ) 4
n n
F
k
x C b
 

 
   
   
 
0
2 2
2 2
2 2
(0) 0 ( ) cos
(1 ) 4
D n
n n
F
k
x D C b
  
 

 
    
   

Ce qui donne :
3 3
3,22 10 5,74 10
C et D
 
  
Finalement la réponse totale du portique à l’excitation sinusoïdale peut être écrite comme :
   
   
4,3
( ) 3,2cos 21 5,7 sin 21 14 sin 10 0.24 [ ]
t
x t e t t t mm

   
Figure 2 : La réponse totale du portique avec amortissement (en gras) et sans amortissement (en pointillé)
On peut observer que la réponse de la structure avec amortissement se stabilise rapidement en oscillations
harmoniques avec une amplitude égale à la valeur de déplacement maximal : max 14
d st
x R mm

  
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
temps [s]
déplacement
[mm]
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Exercice 5
Caractéristiques de la structure :
Masse : m = 2000kg
Rigidité : 3
3 3 3
3 12 15
100.8 10
EI EI EI
k k N m
H H H
    
Amortissement : 0
 
Pulsation propre : 7.1
n rad s
 
1. Réponse de la structure pour 0
t t
 :
En absence d’amortissement, la réponse totale du portique est donnée par :
 
0
2
/
( ) cos( ) sin
1 ( / )
n
n
F k
x t D t t
  
 
  

En utilisant la forme trigonométrique de la partie transitoire de la réponse :
     
0
2
/
( ) sin cos sin
1 ( / )
n n
n
F k
x t A t B t t
  
 
  

La vitesse est obtenue en dérivant par rapport au temps,
     
0
2
/
( ) cos sin cos
1 ( / )
n n n n
n
F k
x t A t B t t
     
 
  


Le déplacement statique : 0
0.496
stat
F
m
k
δ = =
La pulsation de la force d’excitation : on a
2
2 3.14
T s rad s
T


   
0,442
n



0
2
/
616
1 ( / )
n
F k
mm
 


Les coefficients A et B sont déterminés en utilisant les conditions initiales :
(0) 0
x B
 
0
2
/
(0) 0
1 ( / )
n
n
F k
x A 
 
  


Ce qui donne :
3
272.2 10 0
A et B

  
Finalement la réponse totale du portique à l’excitation sinusoïdale peut être écrite comme :
   
( ) 272.2 sin 7.1 616sin 3.14 [ ]
x t t t mm
  

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  • 1. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 -Corrigé- Corrigé de la série d'exercices N°3 Exercice 1 Pulsation propre : 1 332 n K rad s M m ω = = + Contrôle des unités : 2 N kg m rad m s m s kg kg                                 • Force perturbatrice t F t F ω sin ) ( 0 ⋅ = avec 2 157 60 n rad s ω π = ⋅ ⋅ = 2 0 1 3948 F m r N ω = ⋅ ⋅ = • Déplacement statique : 0 0.36 stat F mm K δ = = • Amplitude des oscillations forcées : max 0.46 d stat x R mm δ = ⋅ = Où 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 4 d n n R           avec : 473 . 0 = n ω ω ; ζ 0 = ; RD = 1.29 Exercice 2 1. Sur la figure on voit que l’amplitude de la réponse totale diminue après quelques cycles pour se stabiliser. Cela est dû au fait que la solution homogène disparait après les quelques premières oscillations : le système est donc amorti. 2. Dans les oscillations forcées, la réponse totale se compose de deux sinusoïdes avec des fréquences différentes: une à celle de la force perturbatrice (correspondant à la solution particulière) et l’autre à la fréquence propre de l’oscillateur (correspondant à la solution homogène). Avec amortissement, la solution homogène disparait après quelques oscillations. Donc pour déterminer la pulsation de la force d’excitation il faut essayer d’estimer sur la courbe de la réponse de la structure la période des oscillations à amplitude constante. m 1 M r I I I L=1m L=1m N/m 10 10.97 L 7 EI 96 K 6 3 ⋅ = ⋅ ⋅ =
  • 2. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 -Corrigé- Estimation : Durée pour 5 cycles = 2.74-1.21 = 1.53s Donc : 2 0.306 20.53 T rad s T π ω ⇒ =   3. Toujours en considérant la partie de la réponse correspondant aux oscillations à amplitude constante. max 98 x mm  Avec : 0 0.0742 stat F m K δ= = Et le facteur d’amplification vaut : max 98 1.32 74.2 d stat x R δ = = = Exercice 3 1. Non ! Pour un rapport 2 n ω ω  , le facteur Rf est égale à 1 pour toute valeur d’amortissement. 2. En utilisant le diagramme de Rf (pour un amortissement ζ 0.01 = ) : Pour que Rf soit inférieur à 0.1, il faut que 3.3 116.7 n rad s ω ω ω ≥ ⇒ ≥ 3. Pour 105rad s ω = ; on a : 3 n ω ω = Pour cette valeur du rapport n ω ω ; le facteur d’amplification Rf diminue si on diminue l’amortissement. Pour un amortissement fixe avec n ω ω proche de 3, le facteur d’amplification Rf diminue si on diminue la pulsation propre du système (soit en augmentant la masse ou en réduisant la rigidité). Exercice 4 a) Amortissement négligeable La réponse totale du portique est donnée par :   0 2 / ( ) cos( ) sin 1 ( / ) n n F k x t D t t          En utilisant la forme trigonométrique de la partie transitoire de la réponse :       0 2 / ( ) sin cos sin 1 ( / ) n n n F k x t A t B t t          La vitesse est obtenue en dérivant par rapport au temps,       0 2 / ( ) cos sin cos 1 ( / ) n n n n n F k x t A t B t t              La rigidité horizontale du portique : 1 3 24 EI k h  ; 905625 N k m 
  • 3. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 -Corrigé- La pulsation propre : n k M   ; 21,28 n rad s   Le déplacement statique : 0 11 st F mm k δ= = 0,47 n    0 2 / 14 1 ( / ) n F k mm     Les coefficients A et B sont déterminés en utilisant les conditions initiales : (0) 0 x B   0 2 / (0) 0 1 ( / ) n n F k x A         Ce qui donne : 3 6,64 10 0 A et B     Finalement la réponse totale du portique à l’excitation sinusoïdale peut être écrite comme :     ( ) 6,6 sin 21 14 sin 10 [ ] x t t t mm    La réponse totale de la structure est représentée dans la figure ci-après. Figure 1 : La réponse totale du portique (en gras) avec les deux termes (en pointillé) A partir de la réponse de la structure (Figure 1), on peut observer que : 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 temps [s] déplacement [mm]
  • 4. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 -Corrigé-  La deuxième partie de réponse (oscillations forcées) a la même fréquence que la force d’excitation et est en phase avec cette dernière puisque 1 n    ;  La réponse totale n’est pas une oscillation harmonique simple ;  La valeur maximale de la réponse totale ( >20 mm) est plus grande que la valeur du déplacement maximal correspondant aux oscillations forcées ( max 14,12 d st x R mm     ). En réalité, il y a toujours un peu d’amortissement. Bien que les déplacements initiaux soient plus grands, l’équilibre est atteint après peu de cycles. b) Avec un amortissement ζ = 0,2 : La réponse totale du portique est donnée par : 0 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) (1 ) 4 n h p t D n n x t x t x t F k D e t t b                     Avec : 2 1 D n      En utilisant la forme trigonométrique de la partie transitoire de la réponse :       0 2 2 2 2 2 2 ( ) cos sin sin( ) (1 ) 4 nt D D n n F k x t e C t D t t b                   L’angle de déphase est donné par : 2 2 2 n n b arctg                        Pour un facteur d’amortissement ζ = 0,2, on obtient : 20,85 D rad s   0 3 2 2 2 2 2 2 13,72 10 (1 ) 4 n n F k m            0,237 ( 13,57 ) b rad    La vitesse est obtenue en dérivant x(t) par rapport au temps,
  • 5. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 -Corrigé-           0 2 2 2 2 2 2 ( ) cos sin cos (1 ) 4 n n t t D n D n D D n n F k x t D C e t D C e t t b                             Les coefficients C et D sont déterminés en utilisant les conditions initiales : 0 2 2 2 2 2 2 (0) 0 sin( ) (1 ) 4 n n F k x C b                0 2 2 2 2 2 2 (0) 0 ( ) cos (1 ) 4 D n n n F k x D C b                   Ce qui donne : 3 3 3,22 10 5,74 10 C et D      Finalement la réponse totale du portique à l’excitation sinusoïdale peut être écrite comme :         4,3 ( ) 3,2cos 21 5,7 sin 21 14 sin 10 0.24 [ ] t x t e t t t mm      Figure 2 : La réponse totale du portique avec amortissement (en gras) et sans amortissement (en pointillé) On peut observer que la réponse de la structure avec amortissement se stabilise rapidement en oscillations harmoniques avec une amplitude égale à la valeur de déplacement maximal : max 14 d st x R mm     0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 temps [s] déplacement [mm]
  • 6. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 -Corrigé- Exercice 5 Caractéristiques de la structure : Masse : m = 2000kg Rigidité : 3 3 3 3 3 12 15 100.8 10 EI EI EI k k N m H H H      Amortissement : 0   Pulsation propre : 7.1 n rad s   1. Réponse de la structure pour 0 t t  : En absence d’amortissement, la réponse totale du portique est donnée par :   0 2 / ( ) cos( ) sin 1 ( / ) n n F k x t D t t          En utilisant la forme trigonométrique de la partie transitoire de la réponse :       0 2 / ( ) sin cos sin 1 ( / ) n n n F k x t A t B t t          La vitesse est obtenue en dérivant par rapport au temps,       0 2 / ( ) cos sin cos 1 ( / ) n n n n n F k x t A t B t t              Le déplacement statique : 0 0.496 stat F m k δ = = La pulsation de la force d’excitation : on a 2 2 3.14 T s rad s T       0,442 n    0 2 / 616 1 ( / ) n F k mm     Les coefficients A et B sont déterminés en utilisant les conditions initiales : (0) 0 x B   0 2 / (0) 0 1 ( / ) n n F k x A         Ce qui donne : 3 272.2 10 0 A et B     Finalement la réponse totale du portique à l’excitation sinusoïdale peut être écrite comme :     ( ) 272.2 sin 7.1 616sin 3.14 [ ] x t t t mm   
  • 7. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 -Corrigé- 2. Réponse de la structure pour 0 t t  : A l’instant: 0 t t  , la force de perturbation s’annule. Le portique continue à osciller à cause des conditions initiales non nulles (déplacement et vitesse à l’instant t=1s). Les vibrations correspondent alors à un cas d’oscillations libres non amorties. La réponse de la structure s’écrit alors : 2 2 0 0 0 0 0 ( ) cos tan ; . n n n V V x t X t a t t t X                                          Avec : 0 ( 0) ( 1 ) 0.198 X x t x t s m       0 ( 0) ( 1 ) 3.257 V x t x t s m s         La réponse du portique peut être écrite comme :   ( ) 500 cos 7.1 1.163 [ ] x t t mm  4.305