Étude et résolution numérique de deux modèles basés sur des équations aux dérivés partielles pour le débruitage des images.

Introduction Équations aux dérivées partielles en traitement d’images Résolution numérique Résultats numériques Conclusion
Étude et résolution numérique de deux modèles
basés sur des équations aux dérivées partielles
pour le débruitage des images
TAHIRI Chaimaa BOUDLAL Ayoub
Encadré par:
Pr. Mohammed ZIANI
Jeudi 25 Juin 2015
TAHIRI Chaimaa, BOUDLAL Ayoub Encadré par: Pr. Mohammed ZIANI
Étude et résolution numérique de deux modèles basés sur des équations aux dérivées partielles pour le débruitage des images

Plan
1 Introduction
2 Équations aux dérivées partielles en traitement d’images
Image numérique
Filtrage par convolution
Modèles utilisées en traitement d’images
Équation de la chaleur
Modèle de Pérona-Malik
3 Résolution numérique
Équation de Pérona-Malik
4 Résultats numériques
5 Conclusion

Introduction
La méthodologie adoptée dans ce projet est centrée autour d’utilisation
des équations à dérivées partielles (EDP) en traitement d’image.
• Débruitage des images avec des EDP.
• Équation de la chaleur est la 1ère
équation dans le cadre de traitement
d’image.
• Distinction entre le bruit et les contours.
• Introduire le modèle de Pérona-Malik.

Image numérique
Image numérique
Une image numérique est une matrice de pixels.
Cameraman 256x256 Echantillon de cameraman
8x8 (249 :256,249 :256)
Figure: Image numérique

Filtre moyenneur
• Chaque pixel est remplacé par la moyenne de celui-ci et de ses voisins :
uij =
1
5
(ui,j + ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1).
• C’est une opération de convolution
I(x, y) ∗ h(x, y) =
N
−N
M
−M
I(x + i, y + j)h(i, j)
• h : noyau de convolution
h =
1
5


0 1 0
1 1 1
0 1 0

 .
• Poids des pixels voisins sont identiques.

Un autre filtre plus efficace est le filtre gaussien.
Filtre gaussien
Utilisation d’un masque avec cœfficient plus élevé au centre que sur les
contours du noyau.
G(x, y) =
1
√
2πσ2
exp
x2
+ y2
4σ2
,
où σ caractérise l’écart-type soit la largeur du filtre.

Équation de chaleur
• Koenderink montre que la convolution d’une image bruitée par un ﬁltre
gaussien est la solution de l’équation de la chaleur σ =
√
2t.
• L’équation de chaleur s’écrit sous la forme :



∂u
∂t − ∆u(t, x) = 0 si x ∈ Ω et t ∈]0, T]
u(x, 0) = u0(x)
∂u
∂N = 0 sur ∂Ω,
avec Ω est le domaine de l’image et N le vecteur normal.
• Prolongement d’image discrète u par réﬂexion par rapport à ses bords.

• l’équation de la chaleur est facile à résoudre, elle demande résoudre un
système linaire.
• Présente un défaut majeur.
• Lisse toute point de l’image.

Modèle de Pérona-Malik
L’équation correspondante s’écrit :



∂u
∂t (x, y, t) = div (g(| u|). u(x, y, t))
u(x, y, 0) = u0(x, y)
∂u
∂N = 0 sur ∂Ω,
avec Ω est le domaine de l’image, N est le vecteur normal et | u| est la
norme du gradient de u.
• Lissage des zones à faible gradient (réduction du bruit).
• Atténuation de la diﬀusion lorsque le gradient est important
(préservation des singularités et contours).

La fonction g est décroissante avec g(0) = 1 et lim
s→+∞
g(s) = 0.
Par exemple :
g(s) =
1
1 + ( s
λ )2
Le paramètre λ est appelé " seuil ou paramètre contraste ".
• Si g = 1 on retrouve l’équation de la chaleur → diﬀusion.
On peut écrire l’équation de Pérona-Malik en termes de dérivées secondes
directionnelles, dans la direction du gradient :
−→η =
ux
| u|
,
uy
| u|
T
,

et dans la direction orthogonale
−→
ξ = −
uy
| u|
,
ux
| u|
T
,
avec u = (−→ux , −→uy ) est le vecteur gradient de u et | u| = u2
x + u2
y est
sa norme.

Figure: Direction du gradient et direction orthogonale

Le modèle de Pérona-Malik en termes de dérivées secondes
directionnelles devient sous la forme :



∂u
∂t = cξ.Uξξ + cη.Uηη
cξ = g(| U|)
cη = g(| U|) + (| U|)g (| U|)
• lissage suivant ξ gérer par la fonction g(| U|).
• cη est positif pour des valeurs des gradients inférieurs au seuil.
• cη est négatif pour des valeurs des gradients supérieurs au seuil =⇒ un
processus inverse de réaction de diﬀusion qui introduit un rehaussement.

Résolution numérique
• On note u l’image considérée et ui,j sa valeur au pixel (i, j).
• Le pas d’espace h est pris égal à 1.
• Pour approcher les solutions des modèles précédents on aura besoin des
approximations en espace des dérivées suivantes.
Diﬀérences ﬁnies centrées :
∂ui,j
∂x
ui+1,j − ui−1,j
2
.
∂ui,j
∂y
ui,j+1 − ui,j−1
2
.

Différences finies décentrées à droite :
∂ui,j
∂x
ui+1,j − ui,j .
∂ui,j
∂y
ui,j+1 − ui,j .
Différences finies décentrées à gauche :
∂ui,j
∂x
ui,j − ui−1,j .
∂ui,j
∂y
ui,j − ui,j−1.
Et les dérivées secondes suivantes :
∂2
u
∂2x
ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j .
∂2
u
∂2y
ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1.

Discrétisation d’équation de la chaleur
Le schéma d’Euler explicite :
uk+1
i,j = (1 − 4∆t)uk
i,j + ∆t(uk
i+1,j + uk
i−1,j + uk
i,j+1 + uk
i,j−1)
• L’écriture matricielle de ce schéma est la suivante :
Uk+1
= AUk
, k = 0, 1, ..., M,
où A est une matrice à 5 diagonales et elle ne dépend que de ∆t.
• Ce schéma nécessite seulement un produit matrice-vecteur en chaque
pas de temps.
• La condition de stabilité est : ∆t
∆x2 + ∆t
∆y2 ≤ 1
2 .

Le schéma d’Euler implicite :
uk
i,j = (1 − 4∆t)uk+1
i,j − ∆t(uk+1
i+1,j + uk+1
i−1,j + uk+1
i,j+1 + uk+1
i,j−1)
• L’écriture matricielle est la suivante :
AUk+1
= Uk
, k = 0, 1, .., M.
• Inconditionnellement stable.
• Coûteuse en temps de calcul.
• Il demande la résolution d’un système linéaire en chaque pas du temps.

• La réduction de la complexité de cette résolution en décomposant la
discrétisation suivant x et y séparément.
• Obtention de deux systèmes tridiagonales qu’on peut résoudre
facilement par l’algorithme de Thomas.
Une discretisation suivant x :
(1 + 2dt)u
k+ 1
2
i,j − dt(u
k+ 1
2
i+1,j + u
k+ 1
2
i−1,j ) = uk
i,j
Une discretisation suivant y :
(1 + 2dt)uk+1
i,j − dt(uk+1
i,j+1 + uk+1
i,j−1) = u
k+ 1
2
i,j
• Ce second schéma implicite s’écrit sous la forme :
i. Uk+ 1
2 = A−1
x Uk
ii. Uk+1
= A−1
y Uk+ 1
2

Discrétisation de Pérona-Malik
Schéma explicite :
un+1
i,j − un
i,j
dt
=
∂
∂x
g(| un
ij |)
∂un
ij
∂x
ϕn(x,y)i,j
+
∂
∂y
g(| un
ij |)
∂un
ij
∂y
ψn(x,y)i,j
un+1
i,j = un
i,j + dt(gn
i+ 1
2 ,j )dEU + dt(gn
i− 1
2 ,j )dWU+
dt(gn
i,j+ 1
2
)dSU + dt(gn
i,j− 1
2
)dNU

Figure: la structure du système de calcul discrète pour simuler l’équation de
diﬀusion

avec :
dEU = un
i+1,j − un
i,j
dWU = un
i,j − un
i−1,j
dSU = un
i,j+1 − un
i,j
dNU = un
i,j − un
i,j−1
et
gn
i+ 1
2 ,j = g(|dEU|)
gn
i− 1
2 ,j = g(|dWU|)
gn
i,j+ 1
2
= g(|dSU|)
gn
i,j− 1
2
= g(|dNU|)

• Le schéma explicite pour approcher la solution du modèle de
Pérona-Malik est facile à implémenter.
• Conditionnellement stable.
• On peut utiliser un schéma implicite qui est toujours stable, mais il
demande la résolution d’un système non-linéaire à chaque pas de temps.
• Une autre alternative est d’utiliser schéma semi-implicite.
un+1
i,j − un
i,j
dt
= div g(| un
ij |)
∂un+1
ij
∂x
∂un+1
ij
∂y

Résultats numériques
Introduction
• Dans cette dernière partie nous présentrons les résultats numérique de
simulation de deux modèles basés sur la diﬀusion isotrope et anisotrope.
• Nous terminerons par la discussion de l’éﬃcacité de la méthode de
Pérona-Malik.
• Le bruit utilisé est le bruit blanc gaussien, de moyenne nulle et de
variance σ2
.
• Il est modélisé par l’équation suivante : f (x) =
1
√
2πσ
e
− x2
2σ2
.

Critère d’analyse et d’évaluation
• Erreur quadratique moyenne (MSE) : Mean Squared Error
MSE =
1
MN
M
i=1
N
j=1
(X(i, j) − X(i, j))2
.
- X : Image originale, X : Image débruitée,
- M : Nombre de lignes de l’image, N : Nombre de colonnes de l’image.
• Rapport signal sur bruit (PSNR) : Peak signal to noise Ratio
PSNR = 10 log10
2552
MES
,
où 255 est la valeur maximale d’un pixel pour une image codée par 8
bits/pixel en niveaux de gris.

Débruitage par l’équation de la chaleur
Figure: Image débruitée par l’équation de la chaleur (schèmas implicite et
explicite) avec pas de discrétisation égale 0.2 et le nombre d’itération fixé à 50
• Élimination éfficace du bruit et création d’un flou d’image.
• Une légère augmentation du PSNR du schèma implicite.

• Le schèma implicite est toujours stable mais couteuse en temps de
calcul.
• Les calculs sont réduits en transformant le problème en deux systèmes
linéaires avec des matrices tridiagonales quand le resoud par l’algorithme
de Thomas.
Temps de calcul en seconde dt=0.01 dt=0.1 dt=0.5 dt=1
Algorithme d’inversion de la matrice 84.01 37.24 7.24 5.83
Algorithme de Thomas 0.551 0.544 0.541 0.540
Table: Comparaison du temps de calcul pour les deux méthodes du schéma
implicite avec un nombre d’itération égal à 10.

• Le débruitage par l’équation de la chaleur repose sur un processus de
diffusion isotrope.
• Il opère de manière identique dans toutes les directions de l’image
atténuant ainsi bruits et contours sans distinction.
• La diffusion anisotrope introduite par Pérona-Malik remédié a cet
inconvénient.
• Le principe c’est :
diffuser fortement dans les zones à faibles gradients (zones homogènes)
et faiblement dans les zones à forts gradients (contours).

Débruitage par le modèle de Pérona-Malik
Par l’équation de la chaleur Par Perona-Malik
PSNR = 20,93 dB PSNR = 33.30 dB
Figure: Débruitage avec pas de discrétisation égale 0.001 et nombre d’itérations
égale à 50.
• dt est suﬃsamment petite pour assurer la stabilité du schéma.

λ=20 et T=200 λ=50 et T=200 λ=100 et T=200
PSNR = 25,39 dB PSNR = 23,24 dB PSNR = 22,81 dB
Figure: Résultats obtenus par variation de λ.
• Le seuil λ de la fonction g déﬁnie précédemment permet de distinguer
les zones à faible gradient de celles à fort gradient.
• L’augmentation du paramètre λ dégrade l’image.

Figure: Résultats en terme de PSNR avec dt est fixé à 0.1. PSNR en fonction
du nombre d’itérations (figure gauche) et PSNR en fonction de λ (figure
droite).
• L’algorithme de Pérona-Malik donne des résulats satisfaisants pour un
bon choix du paramètre λ et du nombre d’itération.
• L’augmentation du paramètre λ et du nombre d’itération altére
gradement l’image.

Image fortement bruitée λ=20 λ=100
Figure: Image débruitée par Pérona-Malik avec nombre d’itérations ﬁxé à 400.
• Le débruitage par Pérona-Malik d’une image fortement bruitée présente
un risque que le bruit soit intérprété comme un contour.
• L’augmentation du paramètre λ altère les images fortement bruitée.

La boîte à outils "Imagerie" de Matlab
• La boîte à outils image de Matlab permettent le developpement facile
et rapide d’un problème.
• C’est un outil pour la validation de méthodes de traitement d’image
appliquées à un problème particulier.

• Le filtre median remplace la valeur d’un pixel par la valeur median dans
son voisinage.
• C’est un filtre non linéaire.
Exemple 1 : Filtrage des images (filtre median)
I=imread(’cameraman.tif’) ; figure(1) ; imagesc(I) ; colormap gray ;
title(’Image originale’) ;
[m,n] = size(I) ; J = imnoise(I, ’gaussian’, 0, 0.001) ;
J = im2double(J) ;
figure(2) ; imagesc(J) ; colormap gray ; title(’Image bruitee’) ;
s= strel(’disk’,1) ; k=imopen(J,s) ; n=imclose(k,s) ; f=imclose(J,s) ;
p=imopen(n,s) ;
figure(3) ; imagesc(p) ; colormap gray ; title(’Image débruitée’) ;
• C’est un filtre qui permet sous certaines conditions de réduire le bruit
tout en conservant les contours.

• La detection des contours est basée sur les dérivées premières et
secondes de l’image.
Exemple 2 : Detection de contour
img = imread(’cameraman.tif’) ;
cont1 = edge(img,’prewitt’) ; cont2 = edge(img,’canny’) ;
figure ; imshow (img) ;
figure ; imshow (cont2) ; figure ; imshow (cont2) ;
• Elle permet de repérer dans les images les objets qui s’y trouvent avant
d’appliquer le traitement uniquement sur ces objets.

Conclusion
• Les résultats obtenus par lissage isotrope sont peu satisfaisants. Il ne
permet pas une conservation des contours.
• Le modèle de Pérona-Malik peut améliorer les résultats par une forte
diffusion dans les zones homogènes et faible diffusion dans les zones non
homogènes.
• Le débruitage d’une image fortement bruitée présente un risque que le
bruit soit intérpreté comme un contour.
• La méthode semi-implicite de Perona-Malik est efficace.

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