1. SYNTHESE
FIABILITE
0
/
)
( N
ni
t
F
0
/
)
(
)
(
1
)
( N
t
N
t
F
t
R
0
/
)
( N
ni
t
f
t
t
N
ni
t
).
(
/
)
(
Formulaire:
Probabilité de défaillance:
Fiabilité:
Distribution de la défaillance:
Taux de défaillance:
0 1
)
(
.
)
(
.
).
(
n
i
i
ti
R
t
t
f
t
dt
t
R
MTBF MTBF:
2. Tracer la fonction de fiabilité
Suite à un essai de durée de vie d’un composant et à partir des estimateurs
empiriques, on vous demande déterminer les indicateurs de fiabilité d’un
composant.
Estimation empirique des paramètres de
fiabilité
t N(t)
0 40
100 33
200 25
300 16
400 9
500 0
100,0%
82,5%
62,5%
40,0%
22,5%
0,0%
0,0%
100,0%
0 100 200 300 400 500 600
R(t)
t N(t) R(t)
0 40 100
100 33 82.5
200 25 62.5
300 16 40
400 9 22.5
500 0 0
0
/
)
(
)
(
1
)
( N
t
N
t
F
t
R
3. Tracer le taux de défaillance
Taux de défaillance
0,0018
0,0024
0,0036
0,0044
0,0100
-
0,0020
0,0040
0,0060
0,0080
0,0100
0,0120
[0;100[ [100;200[ [200;300[ [300;400[ [400;500[
Le taux de défaillance est croissant, les défaillances sont dépendantes du
temps.
Calculer la MTBF
MTBF = 100* (1 + 0,825 + 0,625 + 0,4 + 0,225) = 307,5 h
t ni λ(t)
0;100 7 0.0018
100;200 8 0.0024
200;300 9 0.0036
300;400 7 0.0044
400;500 9 0.01
t
t
N
ni
t
).
(
/
)
(
t N(t) R(t)
0 40 100
100 33 82.5
200 25 62.5
300 16 40
400 9 22.5
500 0 0
0 1
)
(
.
)
(
.
).
(
n
i
i
ti
R
t
t
f
t
dt
t
R
MTBF
Estimation empirique des paramètres de
fiabilité
4. Loi
Exponentielle
Un composant suit une loi de fiabilité définie par la relation suivante :
t
e
t
R .
005
,
0
)
(
loi exponentielle
Le modèle est exponentiel, le taux de défaillance est constant donc
les défaillances sont aléatoires.
Calculer la MTBF MTBF = 1/ = 1/0,005 = 200 h
Quelle est la probabilité d’être encore en bon fonctionnement pendant une durée
d’utilisation de 500h.
R(500) = e -0,005.500 = 0,082 soit 8,2 %
Déterminer la durée de vie associée à une fiabilité de 0,9.
)
(
ln t
R
t
t = -ln(0,9)/0,005 = 21,07 h
5. Fiabilité
Loi de
Weibull
)
(
)
(
t
e
t
R
Loi de fiabilité: Taux de défaillance:
1
)
(
)
(
t
t
Fonction de répartition:
)
(
1
)
(
t
e
t
F
Densité de probabilité:
)
(
1
)
(
)
(
t
e
t
t
f
MTBF (Mean time between failures):
A
MTBF
Durée de vie associée à un seuil de
fiabilité:
1
)
(
1
ln
t
R
t
6. Définition de la loi de Weibüll :
C’est une loi de fiabilité à 3 paramètres qui permet de prendre en compte pour un composant
défini, les périodes où le taux de défaillance n’est pas constant (jeunesse et vieillesse).
Cette loi permet :
1) Une estimation de la MTBF
2) Les calculs de λ(t) et de R(t) et leurs représentations graphiques
3) Grâce au paramètre de forme β d’orienter un diagnostic, car β peut être caractéristique de
certains modes de défaillance.
Les 3 paramètres de la loi sont :
β Paramètre de forme > 0 sans dimension:
Si β>1, le taux de défaillance est croissant, caractéristique de la zone de vieillesse.
Si β=1, le taux de défaillance est constant, caractéristique de la zone de maturité.
Si β<1, le taux de défaillance est décroissant, caractéristique de la zone de jeunesse.
η Paramètre d’échelle > 0 qui s’exprime dans l’unité utilisée (temps, poids, volume…).
Ce paramètre permet la détermination de la MTBF et de l’écart type de la distribution à l’aide de
tables numériques qui fournissent A et B tels que : MTBF = A+ et = B
γ paramètre de position, - < γ < +, qui s’exprime dans la même unité que la MTBF et dépend
de la forme de la courbe. Si droite γ =0 :
γ>0 : survie totale sur l’intervalle de temps [0, γ] aucune défaillance entre t=0 et t =
γ=0 : les défaillances débutent à l’origine des temps; historique dès la mise en service.
γ<0 : les défaillances ont débuté avant l’origine des temps ; ce qui montre que la mise en service
de l’équipement étudié a précédé la mise en historique des TBF.
8. Préparation des données :
1. Détermination des couples (ti, Fi) par les rangs moyens ou les rangs
médians.
2. Tracé du nuage de points.
3. Tracé de la droite de Weibull.
4. Détermination de β, η, γ.
5. Détermination des équations de la loi de Weibull.
6. Calcul de la MTBF.
7. Exploitation des données issues de la loi.
9. Panne 1 Panne 2 Panne 3 Panne 4 Panne 5 Panne 6
TBF 740 515 165 330 1320 915
Préparation des données :
Détermination des couples (ti, Fi) par les rangs moyens ou les rangs
médians.
Ordre i TBF Fi
1
2
3
4
5
6
165
330
515
740
915
1320
13. 4. Détermination de β, η, γ.
1,4
780
On a une droite => 0
On trace une
parallèle à la droite
qui passe par 1
14. 1 1
1 1 1
( ) ln ( ) ln ln . ln
( ) ( ) ( )
t
t t t
R t e R t t
R t R t R t
1 1
( ) ( ) 1
( ) . . . ( ) .
( ) 1 ( )
t
t
f t f t t t
t e t
R t F t
e
5 Détermination des équations de la loi de Weibull.
15. 1,4
780
On a une droite => 0
> 1, on est dans la zone de vieillesse.
} MTBF A
A B A B A B
0,50 2,0000 4,470 1,50 0,9027 0,613 3,00 0,8930 0,325
0,55 1,7024 3,350 1,55 0,8994 0,593 3,10 0,8943 0,316
0,60 1,5046 2,650 1,60 0,8966 0,574 3,20 0,8957 0,307
0,65 1,3663 2,180 1,65 0,8942 0,556 3,30 0,8970 0,299
0,70 1,2638 1,850 1,70 0,8922 0,540 3,40 0,8984 0,292
0,75 1,1906 1,610 1,75 0,8906 0,525 3,50 0,8997 0,285
0,80 1,1330 1,430 1,80 0,8893 0,511 3,60 0,9011 0,278
0,85 1,0880 1,290 1,85 0,8882 0,498 3,70 0,9025 0,272
0,90 1,0522 1,770 1,90 0,8874 0,486 3,80 0,9038 0,266
0,95 1,0234 1,080 1,95 0,8867 0,474 3,90 0,9051 0,260
1,00 1,0000 1,000 2,00 0,8862 0,463 4,00 0,9064 0,254
1,05 0,9803 0,934 2,10 0,8857 0,443 4,10 0,9077 0,249
1,10 0,9649 0,878 2,20 0,8856 0,425 4,20 0,9089 0,244
1,15 0,9517 0,830 2,30 0,8859 0,409 4,30 0,9102 0,239
1,20 0,9407 0,787 2,40 0,8865 0,393 4,40 0,9114 0,235
1,25 0,9314 0,750 2,50 0,8873 0,380 4,50 0,9126 0,230
1,30 0,9236 0,716 2,60 0,8882 0,367 4,60 0,9137 0,226
1,35 0,9170 0,687 2,70 0,8893 0,355 4,70 0,9149 0,222
1,40 0,9114 0,660 2,80 0,8905 0,344 4,80 0,9160 0,218
1,45 0,9067 0,635 2,90 0,8917 0,334 4,90 0,9171 0,214
Table des
valeurs de A
et B en
fonction de
MTBF A 0,9114 x 780 + 0 = 710
6 Calcul de la MTBF.
7 Exploitation des données issues de la loi.
Dans l’unité de la MTBF (heures, jours
Tonnes, Kms…).
16. Loi de Weibull
Détermination des paramètre de la loi : papier Weibull
1- Préparation des données:
2- Tracé du nuage de points :
3- Tracé de la droite de Weibull
4- Équation de la loi
4
,
1
)
770
(
)
(
t
e
t
R
5- Détermination MTBF
β
η
= 0
MTBF = A. +
165h
11%
η= 770h
17. Loi de Weibull
Optimisation de la période d’intervention systémique :
1- détermination du ration économique:
•Le coût « p » du correctif
•Le coût indirect « P »
r =P/p ratio de « criticité économique »
2- détermination période optimale :
𝜽𝟎 = .𝑿𝟎
Soit un changement systématique à :
𝜽𝟎= 770.0,38 = 292h
r=10
L’étude de Weibull a permis de
trouver un =1,4 et =770h
Avec un r = 10
X0=0,38