Chapitre 2 -Complexité des problèmes avec correction.pdf

CHAPITRE 2 :
COMPLEXITÉ DES
PROBLÈMES
1

Introduction
• Problèmes décidables : la solution algorithmique existe
• Est-ce que cette solution est efficace ?
• Est-ce qu’elle utilise une quantité de ressources
« raisonnables »
temps et espace
2

Complexité des problèmes en temps
Principaux Facteurs
1. Machine (matériel et logiciel)
2. Données :
• Taille :
• Type :
• Valeurs :
• Organisation :
Paramètre principal n
À une constante près
Pas d’influence
Meilleur, moyenne et pire des cas
À une constante près
3

La complexité en temps est calculée en fonction
de la taille des données n quand n est grand
(n  ∞) à un facteur près au pire des cas.
4

Exemple: Temps estimé en secondes
Taille des
données
O(Log n) O(n) O(n2) O(2n)
10
100
1000
10000
100000
3.10-6
7.10-6
10-5
13.10-6
17.10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
10-4
10-2
1 sec
1,7 min
2,8 heures
10-3
1014 siècles
astronomique
..
..
5

Complexité D’une Machine De Turing
Déterministe
Définition 1
Soit M une machine de Turing Déterministe. La complexité en
temps de la machine M est la fonction TM (n) défini par :
TM (n) = max{ m, x  Ʃ* /|x|=n et M s’exécute sur x en m
étapes}
6

Complexité d’une machine de Turing
Non Déterministe
Définition 2
Le temps de calcul d’une machine de Turing non déterministe pour un
mot w noté TCM(w) est donné par :
 La longueur de la plus courte exécution acceptant le mot si w  L(M)
1 sinon
7

Complexité d’une machine de Turing
Non Déterministe
Définition 3
Soit M une machine de Turing non Déterministe. La
complexité en temps de la machine M est la fonction
TM (n) défini par :
TM (n) = max{ m, x  Ʃ* /|x|=n et m = TCM(x)}
8

Définition Notation Asymptotique O
Une fonction g(n) est dite en O(f(n)) : g = O(f)
s’il existe une constante c, n0/pour tout n>n0 0≤g(n)≤c(f(n))
Proposition
Si la fonction f est calculée par une machine de Turing
non déterministe M avec la complexité TM(n) alors Ǝ une
machine de Turing non déterministe calculant f avec la
complexité O(C TM(n)) où C est une constante.
9

Complexité polynomiale en temps d’une
Machine de Turing
Définition 5
Une machine de Turing M est dite polynomiale en temps
s’il Ǝ un polynôme p(n) tel que TM(n)≤p(n) pour tout n≥0.
10

Complexité polynomiale en temps
d’une Machine de Turing
Définition 6: Classe P
La classe P est la classe des langages décidés par
une machine de Turing Déterministe Polynomiale
Définition 7: Classe NP
La classe NP est la classe des langages acceptés
par une machine de Turing Non Déterministe
Polynomiale
11

Complexité polynomiale en temps
d’une Machine de Turing
Théorème
Soit L  NP, Ǝ MTD M et un polynôme
p(n)/M décide de L avec la complexité
TM(n)=O(2p(n))
12

Problèmes de décisions
• Un problème est dit de décision si pour tout input, l’unique
output possible est de type booléen.
• La plupart des problèmes d’optimisation peuvent être convertis à
des problèmes de décision.
• Il suffit d’ajouter une borne k sur la valeur à optimiser et changer
la question :
• Existe-t-il une solution dont la valeur est au plus k (en cas de minimisation);
• Existe-t-il une solution dont la valeur est au moins k (en cas de
maximisation).
13

Problèmes de décisions :Exemples
Circuit Hamiltonien
Étant donné un graphe G, existe-t-il un chemin de longueur au plus k ?
Voyageur de commerce TSP
Étant donné un ensemble de villes 𝑉 = {𝑣1, … , 𝑣𝑛} et une fonction distance
𝑑(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) entre les villes, et soit un nombre k.
Existe-t-il un tour de toutes les villes dont la longueur au plus k ?
14
v1
v5
v3
v2
v4
d(v1,v2)

Transformation Polynomiale
Définition 8
Soient L1 ∈ Ʃ1
* et L2 ∈ Ʃ2
*
Une transformation polynomiale de L1 vers
L2 noté L1 α L2 est une fonction f définie par
f: Ʃ1
*  Ʃ2
* tel que:
1. f est calculable en un temps polynomial
2. f(x)  L2 ssi x  L1
15

Propriétés des Transformations
Polynomiales
Lemme 1
Si L1 α L2 alors
1. Si L2  P alors L1  P
2. Si L1  P alors L2  P
16
Lemme 2 Transitivité de la transformation polynomiale
Si L1 α L2 et L2 α L3 alors L1 α L3

Transformation polynomiale
1. Transformation en temps polynomial,
2. Si la fonction F peut être calculer en temps polynomial, on dit
que L1 est polynomialement réductible a L2, et on note L1 α L2
17
Problème L1
Input X
Problème L2
Input F(X)
Algorithme
Transformation F
L1 L2
x
F(x)
Transformation Polynomiale
= Projection = Réduction

Equivalence polynomiale
Définition 9
Deux langages L1 et L2 sont équivalents polynômialement notée ≡P
L1 ≡P L2 ssi L1 α L2 et L2 α L1
Définition 10
Une classe d’équivalence polynomiale C1 est inférieure à une classe
d’équivalence C2 noté C1 ≼ C2 Si :
 L1  C1 et  L2  C2 on a L1 α L2
S’il existe une transformation polynomiale de tout langage de C1 vers tout
langage C2 , on note C1 ≼p C2
18

Polynomiales
Lemme 3
La classe P est une classe d’équivalence
polynomiale.
19
Lemme 4
Pout tout L1  Pet  L2  NP on a L1 α L2
P ≼ c  c classe d’équivalence de NP.

Polynomiales
Définition
L est NP-Dûr si  L’  NPC alors L’ α L.
20
Exemple
Problème d’équivalence d’automates à état finie non
déterministe est NP-Dûr.

Problème NP-Complet
Définition 11
L est dit NP-complet (NPC) si
1. L  NP
2.  L’  NP on a L’ α L
21

Définition 12
L est dit NP-complet (NPC) si
1. L  NP
2.  L’  NPC alors L’ α L
22

Démonstration : par transitivité 2‘2
L  NPC
L  NP L’ α L avec L’  NPC
L’  NP ,  L''  NP alors (par transitivité) L'' α L' et L' α L
  L''  NP et L'' α L
23

Premier Problème NP-Complet
Théorème de COOK
SAT  NPC
24

Théorème de COOK
Démonstration
1) SAT  NP
2)  L'  NP alors L' α SAT
25
Pour montrer que SAT  NP
a- Soit une interprétation I de façon
non déterministe;
b- Vérifier que [𝐴𝑖]𝐼=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
Données de SAT
𝑃 = 𝑝𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
𝐹 =∧𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖
𝐴𝑖 =∨𝑗=1
𝑘𝑖
𝐿𝑖𝑗
[𝐴𝑖]𝐼=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
Algorithme ND
𝐼 = 𝑛
𝑜𝑛 𝑎 𝑚 𝑐𝑙𝑎𝑢𝑠𝑒𝑠
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑢𝑠𝑒 𝐴𝑖
𝑘 = max
1≤𝑖≤2𝑛
𝑘𝑖; le nombre littéraux
p=max(n, m, k) 𝑂(𝑝3)
Polynomial : SAT  NP

Les classes P et NP
26
P NP-Complet
NP-Dur
NP-Difficile
NP
SAT TSP
CH PLC
k-SAT
Tri
2-SAT
2-COL
PCC
Vérifiabilité polynomiale
Résolution
polynomiale

SAT
• Un problème fondamental en théorie de la complexité,
• Satisfiabilité booléenne des formules de la logique
propositionnelle,
• C’est le premier problème NP-découvert (Théorème de Cook, 1971),
• Solveur SAT (exemple: logictools.org)
27

SAT : description d’un problème
• Valeurs booléennes Vrai et Faux : ⊺, ⊥
• Variables booléennes : par exemple: a, b, c, d;
• Formule: F = F (a, b, c, d)
• Variables =?  eval (F)= ⊺
• Si affectation possible, F est SATisfiable,
• Si non, inSATisfiable.
28

Nature de la formule
• 𝑭 = (𝑎 ∨ ¬𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (¬𝑎 ∨ ¬𝑏) ∧ (¬𝑎 ∨ ¬𝑐) ∧ 𝑏 ∨ ¬𝑑 ∧ 𝑏 ∨ 𝑐 ∨ 𝑑
𝐶1
• F est sous forme normale conjonctive (CNF)
• F est conjonction : 𝐶1 ∧ 𝐶2 ∧ ⋯ ∧ 𝐶𝑘
• Chaque 𝐶𝑖 est une clause:
• 𝐶𝑖 est une disjonction de littéraux : 𝑙1 ∨ 𝑙2 ∨ ⋯ ∨ 𝑙𝑝;
• Chaque opérant de la disjonction est un littéral 𝑙𝑗 : de la forme variable propositionnelle ou sa
négation 𝑣 et ¬𝑣;
• CNF non restrictif;
• Affectation rend F satisfiable ( chaque clause s’évalue à T):
• 𝑎 = ⊥
• 𝑏, 𝑐, 𝑑 = ⊺
29

𝑭 = (𝑎 ∨ ¬𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (¬𝑎 ∨ ¬𝑏) ∧ (¬𝑎 ∨ ¬𝑐) ∧ 𝑏 ∨ ¬𝑑 ∧ 𝑏 ∨ 𝑐 ∨ 𝑑
• F est une formule cohérente,
• Interprétation : assignation d’une valeur de vérité à chaque
variable I: {a=faux, b=Vrai, c=vrai, d=Vrai},
• Modèle d’une formule F : interprétation pour laquelle F a la
valeur Vrai,
• Formule F cohérente : F admet au moins un modèle.
30

Exemple : Problème SAT
31
I= (𝑎 ∨ 𝑏 ∨ 𝑐) ∧ (¬𝑎 ∨ 𝑏) ∧ ¬𝑐
….
J= (𝑎 ∨ 𝑏 ∨ 𝑐) ∧ (¬𝑎 ∨ 𝑏) ∧
¬𝑐 ∧ ¬𝑏 Vrai
Faux
Vérificateur
S= {a=Vrai, b=Vrai, c=Faux},
…
{a=Faux, b=Faux, c=Vrai},
Instance de SAT
Certificat de I

Exemples
32
SAT
3-SAT Clique
3 coloriage
K-coloriage
CS (VS)
HC (graphe orienté)
HC
TS
Stable
IS
(Independent Set)
2-SAT
2-Coloriage

3-SAT : Description d’un problème
• Soit F est conjonction : 𝐹 = 𝐶1 ∧ 𝐶2 ∧ ⋯ ∧ 𝐶𝑘 une formule en 3-CNF, avec k
clauses, contenant chacune 3 littéraux distincts.
• Pour chaque clause on crée 3 sommets, un pour chaque littéral dans la clause.
Données :
𝑃 = 𝑝𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
𝐹 =∧𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖 𝑜𝑢 𝐹 = {𝐴𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} avec 𝐴𝑖 =∨𝑗=1
3
𝐿𝑖𝑗.
(𝐴𝑖 𝑙′
𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑢𝑠𝑒𝑠 𝑒𝑡 3 𝑙𝑖𝑡𝑡é𝑟𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑙𝑎𝑢𝑠𝑒)
Problème :
Existe-t-il une interprétation I / [𝐴𝑖]𝐼=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ?
33

Circuit Hamiltonien : Description d’un problème
Données :
Soit un graphe G = (S, A) et |S|=n sommets.
Problème :
Existe-t-il un parcours fermé qui passe par tous les sommets une
seule fois?
Trouver une permutation 𝑠𝑝1, … , 𝑠𝑝𝑛 𝑑𝑒 𝑆,
𝑒𝑡 (𝑠𝑝𝑖, … , 𝑠𝑝𝑖+1) ∈ 𝐴 ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; (𝑠𝑝𝑛 , … , 𝑠𝑝1) ∈ A.
34
G=(S,A)
5
4
3 2
1

Voyageur de commerce (TSP) : Description d’un
problème
Données :
Soit un graphe G = (V, E) complet et pondéré avec V l’ensemble de
villes, et 𝑑(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) : la distance entre ville i et ville j et un entier 𝑏.
Problème :
Existe-t-il un parcours fermé qui passe par toutes les villes une seule
fois dont la longueur ≤ 𝑏?
Trouver une permutation 𝑣𝑝1, … , 𝑣𝑝𝑛 𝑑𝑒 𝑉,
𝑒𝑡
𝑖=1
𝑛−1
𝑑 (𝑣𝑝𝑖, … , 𝑣𝑝𝑖+1)+ 𝑑(𝑣𝑝𝑛, … , 𝑣𝑝1) ≤ 𝑏
35

Exemples : Circuit Ham𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑒𝑛 ∝ TSP
Exercice :
Montrer que CH ∝ 𝑇𝑆𝑃.
36
CH
Input G=(S,A)
TSP ou n=|V|
Input F(X)=G'=(V, E)
Algorithme
Transformation F
5
4
3 2
1
5
4
3 2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
Définition de F :
V=S
𝑑(𝑣𝑖, … , 𝑣𝑗) =
1 𝑠𝑖 (𝑣𝑖, … , 𝑣𝑗) ∈ 𝐴
2 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛
b= |V|=n

Cliques Maximale : Description d’un problème
Données :
graphe G = (S, A) et un entier 𝑘 ≤ |𝑆|
Problème :
G contient-il une clique de taille k?
Existe-t-il un sous-graphe complet dont le nombre de sommet ≥ 𝑘?
∃ 𝑆′ ⊂ 𝑆 𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑆′ ≥ 𝑘
∀ 𝑠1 ∈ 𝑆′
𝑒𝑡 𝑠2 ∈ 𝑆′
on a (𝑠1, 𝑠2 ) ∈ A
37

Couverture par Sommet (Vertex Code) : Description
d’un problème
Données :
Graphe G = (S, A) et un entier 𝑘 ≤ |𝑆|
Problème :
Existe-t-il une couverture par sommets de G de taille k?
∃ 𝑆′
⊂ 𝑆 𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑆′
≤ 𝑘
∀ (𝑠1, 𝑠2 ) ∈ A on a 𝑠1 ∈ 𝑆′ 𝑜𝑢 𝑠2 ∈ 𝑆′
38

Coloration de Graphe : Description d’un problème
Données :
Un graphe G = (S, A) et un entier 𝑘 ≤ |𝑆|
Problème :
Existe-t-il une coloration des sommets de G de taille k (k couleurs)?
Existe-t-il une coloration minimale de telle sorte que deux sommets
adjacents seront coloriés avec deux couleurs différentes?
39

Exemples : Coloration de Graphe
40
3-coloriage
3-coloriage
Vrai
Faux
Graphe G
Vrai
Faux
Vérificateur
S= {V,B,O,V,O},
…
S‘={V,B,V,V,O},
Instance de Coloration de Graphe
Certificat de I
k=3 k=3
Instance
Positive
Certificat
Positif
Instance
Négative

Exemple : Transformation Polynomiale
Coloration de Graphe ∝ 𝑆𝐴𝑇
SAT
• Données : les formules
propositionnelles au format
CNF.
• Problème : Trouver les
formules CNF Cohérentes.
41
Coloration de Graphe
• Données : un graphe G non
orienté et un entier k.
• Problème : Coloration d’un
graphe avec au moins k
couleurs.
Algorithme
Transformation
b c
a
Transformation
𝑭 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, ¬𝑎, ¬𝑏, ¬𝑐/∧,∨}

Le plus long Cycle (PLC) : Description d’un problème
Données :
Soit un graphe G = (S, A) et un entier 𝑘.
Problème :
Déterminer si G possède un cycle de longueur ≥ 𝑘.
Exercice :
Montrer que CH ∝ 𝑃𝐿𝐶.
42
CH
Input G=(S,A)
PLC
Input F(X)=G'=(S',A')
Algorithme
Transformation F

Somme de sous-ensemble : Description d’un problème
Données :
𝑆 ⊆ ℕ 𝑒𝑡 𝑡 ∈ ℕ
Problème :
Existe-t-il 𝑆′ ⊆ 𝑆 / 𝑠𝑖
′∈𝑆′ 𝑠𝑖
′
= 𝑡 ?
Exemple :
S= {1, 3 , 5, 45, 65, 98, 45658, 45458, 1235, 785, 659}
t=1590,
43

Exercice 1
Prouver que
𝑇𝑆𝑃 ∝ 𝐶ircuit Hamiltonien et
𝐶ircuit Hamiltonien ∝ 𝑇𝑆𝑃
44

Exercice 2
Prouver que
𝐶𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒
∝ 𝐶𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡.
45

Correction Exercice 2 :𝐶𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 ∝ 𝐶𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑆𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡
Données :
Graphe 𝐺1 = ( 𝑆1, 𝐴1), | 𝑆1|=n
et un entier 𝑘1≤ | 𝑆1|
Problème :
G contient-il une clique de taille
𝑘1?
Existe-t-il un sous-graphe complet
dont le nombre de sommet ≥ 𝑘1?
∃ 𝑆′
1 ⊆ 𝑆1 𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑆′
1 ≥ 𝑘1 et
∀ 𝑠1∈ 𝑆′
1 𝑒𝑡 𝑠2 ∈ 𝑆′
1
𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 (𝑠1, 𝑠2 ) ∈ 𝐴1
46
Données :
Graphe 𝐺2 = ( 𝑆2, 𝐴2) et un entier
𝑘2 ≤ | 𝑆2|
Problème :
Existe-t-il une couverture par
sommets de G de taille 𝑘2?
∃ ? 𝑆′
2 ≤ 𝑘2 et
∀ (𝑠1, 𝑠2 ) ∈ 𝐴2 on a 𝑠1 ∈ 𝑆′
2
𝑜𝑢 𝑠2 ∈ 𝑆′
2
𝑪𝒐𝒖𝒗𝒆𝒓𝒕𝒖𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝑺𝒐𝒎𝒎𝒆𝒕
𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆

47
Montrer que f est calculable en un temps polynomial :
Algorithme:
Pour i de 1 à n faire
𝑆2[𝑖] = 𝑆1[𝑖]
Fin pour
Pour j de 1 à n faire
Si 𝑠𝑖, 𝑠𝑗 ∉ 𝐴1𝑒𝑡 (𝑖 ≠ 𝑗) alors
𝐴2 = 𝐴2 ∪ (𝑠𝑖, 𝑠𝑗)
Fin Si
Fin pour
Fin pour
𝑘2 = 𝑛 − 𝑘1
Si (𝑠𝑖∉ 𝑆′1) alors
𝑆′2 = 𝑆′2 ∪ {𝑠𝑖}
Fin Si
Fin Pour
O(n)
O(n2)
La transformation est de O(n2)
 Transformation polynomiale
 f est calculable en un temps
polynomial et borné par O(n2).
O(1)
O(n)
𝐴2 = 𝐴1 = { 𝑠1, 𝑠2 ∉ 𝐴1}
𝑆2 = 𝑆1
𝑘2 = |𝑆1| − 𝑘1 = 𝑛 − 𝑘1
𝑆′2 = 𝑆1𝑆′1
Calcule de
la solution

48
2
1
5 4
3
G1=(S1,A1)
S’1= {2,3,4,5}
A’1= {(2,3);(3,4);(4,5); …..}
2
1
5 4
3
G2=(S2,A2)
S’2= {1}
A’2= {(1,3);(1,4);(1,5)}
𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 «  »
A2 =𝐴1
S2={1,2,3,4,,5}

49
”  »
Soit x ∈ 𝐶𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒  Montrer que f(x) ∈ 𝐶𝑆
∃ 𝑆′
1 ≥ 𝑘1 et ∀ 𝑠1∈ 𝑆′
1 𝑒𝑡 𝑠2 ∈ 𝑆′
1alors
(𝑠1, 𝑠2 ) ∈ 𝐴1
o𝑛 𝑎 𝑆′
2 = 𝑆1 ∖ 𝑆′
1 = 𝑆2 ∖ 𝑆′
1 ⊆ 𝑆2
𝑆2 = 𝑆2| − |𝑆′
1
𝑆2 ≤ 𝑛 − 𝑘1 = 𝑘2
∀(𝑠1, 𝑠2 ) ∈ 𝐴2 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 (𝑠1, 𝑠2 ) ∉ 𝐴1 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑠1 ∉ 𝑆′
1𝑜𝑢 𝑠2 ∉ 𝑆′
1
 𝑠1 ∈ 𝑆2 𝑜𝑢 𝑠2 ∈ 𝑆2
𝑫𝒐𝒏𝒄 𝑺′
𝟐 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 CS

50
”  ”
Soit f(x) ∈ 𝐶𝑆  Montrer que x ∈ 𝐶𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒
∃ 𝑆′
2 ≤ 𝑘2 et ∀(𝑠1, 𝑠2 ) ∈ 𝐴2 alors
on a 𝑠1 ∈ 𝑆′
2 𝑜𝑢 𝑠2 ∈ 𝑆′
2
o𝑛 𝑎 𝑆′
1 = 𝑆1 ∖ 𝑆′
2 = 𝑆2 ∖ 𝑆′
2 ⊆ 𝑆1
|𝑆′
1| = 𝑆2 ∖ 𝑆′
2 = 𝑆2| − |𝑆′
2 ≥ 𝑛 − 𝑘2 = 𝑘1
∀ 𝑠1∈ 𝑆′
1 𝑒𝑡 𝑠2 ∈ 𝑆′
1  ∀ 𝑠1∉ 𝑆′
2 𝑒𝑡 𝑠2 ∉ 𝑆′
2
(𝑠1, 𝑠2 ) ∉ 𝐴2= 𝐴1  (𝑠1, 𝑠2 ) ∈ 𝐴1
𝑫𝒐𝒏𝒄 𝑺′
𝟏 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒕 𝒙 ∈ 𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆
𝒇 𝒙 ∈ 𝑪𝑺
D’où 𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 ∝ 𝑪𝑺

Exercice 3
Prouver que
3𝑆𝐴𝑇 ∝ 𝐶𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡.
51

Exercice 3 : 3𝑆𝐴𝑇 ∝ 𝐶𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡
Indication :
1. Toute variable propositionnelle on lui associe 2 sommets (variable et sa
négation) Exemple : p → 𝑝 𝑒𝑡 ¬𝑝;
2. Toute clause est représentée par un triangle étiqueté par 3 littéraux de clauses;
3. Une arête est couverte par 1 sommet et un triangle est couvert par 2 sommets.
52
Prouver que : 3𝑆𝐴𝑇 ∝ 𝐶𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡.
3-SAT
Données :
𝑃 = 𝑝𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
𝐹 =∧𝑖=1
𝑚
𝐴𝑖
𝐴𝑖 =∨𝑗=1
3
𝐿𝑖𝑗
Problème :
Existe-t-il une interprétation I /
[𝐴𝑖]𝐼=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ?
Données :
𝐺: 𝑆, 𝐴
Problème :
Existe-t-il une couverture par
sommets de G de taille k?
∃ 𝑆′
⊆ 𝑆 𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒 |𝑆′
| ≤ 𝑘 et
∀ (𝑠1, 𝑠2 ) ∈ A
on a 𝑠1 ∈ 𝑆′
𝑜𝑢 𝑠2 ∈ 𝑆′
Transformation
F(x)

𝑩 = (𝑝1 ∨ 𝑝2 ∨ 𝑝3) ∧ (𝑝1 ∨ ¬𝑝2 ∨ 𝑝4) ∧ 𝑝2 ∨ ¬𝑝3 ∨ ¬𝑝4
53
 l’algorithme de transformation est polynomiale ≅ O(n2)
car on a la taille de graphe est 2n+3m d’où pour parcourir les sommets
on a [2n+3m]2 ≅O(n2).
𝑝1 ¬𝑝1 𝑝2 ¬𝑝2 𝑝3 ¬𝑝3 𝑝4 ¬𝑝4
𝑙1
1
𝑙2
1
𝑙3
1
𝑙1
2 𝑙2
2
𝑙3
2
𝑙1
3
𝑙2
3
𝑙3
3
n variables et
m clauses 
la taille de
graphe est
2n+3m
La taille de CS :
 k=2m+n (nombre de sommets couverts)
n : pour la couverture de tout les sommets 𝑝𝑖 𝑜ù 𝑝𝑖 𝐼 =V,
2m : pour couvrir les arêtes de chaque triangle.
𝑝1 ¬𝑝1 𝑝2 ¬𝑝2 𝑝3 ¬𝑝3 𝑝4 ¬𝑝4
𝑉 𝐹
𝑉 𝑉
𝑝1 𝐼 = 𝑝2 𝐼 = 𝑝4 𝐼 = 𝑉
𝑒𝑡 𝑝3 𝐼 = 𝐹

k= 2n+3m
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2
𝑆1 = 𝑝𝑖, ¬𝑝𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑆1 = 2𝑛
𝑆2 = 𝐿𝑖1, 𝐿𝑖2, 𝐿𝑖3; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ; 𝑆2 = 3𝑚
𝐴𝑖 =∨𝑖=1
3
𝐿𝑖𝑗
𝑺 = 𝟐𝒏 + 𝟑m
54
𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2∪ 𝐴3
𝐴1 = 𝑝𝑖, ¬𝑝𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝐴1 = 𝑛
𝐴2 = (𝐿𝑖1, 𝐿𝑖2); (𝐿𝑖1, 𝐿𝑖3); 𝐿𝑖2, 𝐿𝑖3 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚; 𝐿𝑖𝑗 ∈ 𝑆2 ; 𝐴2 = 3𝑚
𝐴3 = (𝐿𝑖𝑗, 𝑋𝑘); (𝐿𝑖𝑗 ∈ 𝑆2 ); 𝑝𝑘 ∈ 𝑆1 ; 𝐿𝑖𝑗 ∈ 𝑋𝑘, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑋𝑘 = 𝑝𝑘 𝑜𝑢 ¬𝑝𝑘 ; 𝐴3 = 3𝑚
𝑨 = 𝒏 + 𝟑𝒎 + 𝟑𝒎 = 𝒏 + 𝟔𝒎

55
Montrer que f est calculable en un temps polynomial :
Algorithme:
𝑆1 = 𝑆1 ∪ 𝑝𝑖, ¬𝑝𝑖
Fin pour
Pour i de 1 à m faire
𝑆2 = 𝑆2 ∪ 𝐿𝑖1, 𝐿𝑖2, 𝐿𝑖3
Fin pour
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2
O(n)
O(m)
O(2n+3m): parcours de tous les sommets
l= max
(m,n)
O(l)
k= 2n+3m
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2
𝑆1 = 𝑝𝑖, ¬𝑝𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑆1 = 2𝑛
𝑆2 = 𝐿𝑖1, 𝐿𝑖2, 𝐿𝑖3; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ; 𝑆2 = 3𝑚
𝐴𝑖 =∨𝑖=1
3
𝐿𝑖𝑗
𝑺 = 𝟐𝒏 + 𝟑m

56
Algorithme (suite):
𝐴1 = 𝐴1 ∪ 𝑝𝑖, ¬𝑝𝑖
Fin pour
𝐴2 = 𝐴2 ∪ (𝐿𝑖1,𝐿𝑖2); (𝐿𝑖1,𝐿𝑖3); 𝐿𝑖2, 𝐿𝑖3
Fin pour
Pour j de 1 à 3 faire
Pour k de 1 à n faire
si (𝐿𝑖𝑗= 𝑝𝑘) alors 𝐴3 = 𝐴3 ∪ (𝐿𝑖𝑗, 𝑝𝑘)
si non si (𝐿𝑖𝑗= ¬𝑝𝑘) alors 𝐴3 = 𝐴3 ∪ (𝐿𝑖𝑗, ¬𝑝𝑘)
Fin si
Fin Pour
Fin Pour
Fin pour
𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3;
k= n+2m
Fin algorithme
O(n)
O(m)
O(nm)
O(l2)
O(n+6m)
 O(l2)
D’où f est calculable en un
temps polynomiale
𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2∪ 𝐴3
𝐴1 = 𝑛 ; 𝐴2 = 3𝑚; 𝐴3 = 3𝑚
𝑨 = 𝒏 + 𝟑𝒎 + 𝟑𝒎 = 𝒏 + 𝟔𝒎
O(1)

• x ∈ 3𝑆𝐴𝑇  Montrer que f(x) ∈ 𝐶𝑆
∃ ? 𝑆′
⊂ 𝑆 𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑆′
𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑒
∃ ? I / [𝐴𝑖]𝐼=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
∃ ? 𝑗0 / [𝐴𝑖𝑗0]𝐼=V
𝑝𝑖 ∈ 𝑃 ; 𝑠𝑖 𝑝𝑖 = 𝑉 𝑝𝑖 ∈ 𝑆′
𝑠𝑖 𝑝𝑖 = 𝐹 ¬𝑝𝑖∈ 𝑆′
∀ 𝑖 𝐿𝑖𝑗1, 𝐿𝑖𝑗2 ∈ 𝑆′
tel que 𝑗1 𝑒𝑡𝑗2 ≠ 𝑗0
|𝑆′
| = 𝑛 + 2𝑚 = 𝑘 𝑜𝑢 ≤ 𝑘
57
1
2
𝑺′
𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑪𝑺

Prouvons : ∀ 𝑠1, 𝑠2 ∈ 𝐴 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑠1 ∈ 𝑆′ 𝑜𝑢 𝑠2 ∈ 𝑆′
𝑠1, 𝑠2 ∈ 𝐴1 ∃ I / 𝑠1, 𝑠2 = 𝑝𝑖, ¬𝑝𝑖
𝑝𝑖 ∈ 𝑆′
ou ¬𝑝𝑖∈ 𝑆′
 𝐴1 est couvert
𝑠1, 𝑠2 ∈ 𝐴2 : 𝑠1, 𝑠2 = (𝐿𝑖1, 𝐿𝑖2) ou (𝐿𝑖1, 𝐿𝑖3) ou (𝐿𝑖2, 𝐿𝑖3)
𝐿𝑖𝑗1, 𝐿𝑖𝑗2 ∈ 𝑆′
O𝑛 𝑎 𝑠1 ∈ 𝑆′
ou 𝑠2 ∈ 𝑆′
𝐴𝟐 est couvert
𝑠1, 𝑠2 = (𝐿𝑖𝑗1, 𝑥𝑘) ou (𝐿𝑖𝑗2, 𝑥𝑘) ou (𝐿𝑖𝑗3, 𝑥𝑘)
[𝐿𝑖𝑗0]𝐼=V  𝑥𝑘 𝐼= V
𝐴𝟑 est couvert
58
D’après 1 :
 𝑫′
𝒐ù 𝑨 est couvert
 𝑺′
𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑪𝑺
D’après 2 :
D’après 2 : car
𝐿𝑖𝑗1 ∈ 𝑆′ et 𝐿𝑖𝑗2 ∈ 𝑆′
D’après 1 et 2 : 𝑥𝑘 ∈ 𝑆′

Exercice 4
Prouver que 3𝑆𝐴𝑇 ∈ 𝑁𝑃𝐶,
sachant que 𝑆𝐴𝑇 ∈ 𝑁𝑃𝐶.
59

Exercice 4 : Correction
Prouver que ∶
3𝑆𝐴𝑇 ∈ 𝑁𝑃𝐶, sachant que 𝑆𝐴𝑇 ∈ 𝑁𝑃𝐶.
60
1) 3SAT est un cas particulier de SAT ∈ 𝑁𝑃 (avec k=3) donc 3SAT ∈ 𝑁𝑃.
2)
SAT
Données :
𝑃 = 𝑝𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
𝐹 =∧𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖
𝐴𝑖 =∨𝑗=1
𝑘𝑖
𝐿𝑖𝑗
Problème :
[𝐴𝑖]𝐼=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ?
3 SAT
Données :
𝑃′ = 𝑝′𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚′
𝐹′ =∧𝑖=1
𝑛′
𝐴′𝑖
𝐴′𝑖 =∨𝑗=1
3
𝐿′𝑖𝑗
Problème :
Existe-t-il une interprétation I' /
[𝐴′𝑖]𝐼′=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛' ?
𝑘𝑖 = 3 ; 𝐴′𝑖 = 𝐴𝑖;
𝑘𝑖 = 2 ; 𝐴𝑖 = 𝑥1 ∨ 𝑥2 ; 𝑓(𝐴𝑖) = 𝐴′𝑖 = (𝑥1 ∨ 𝑥2∨ 𝑦1) ∧ (𝑥1 ∨ 𝑥2∨ ¬𝑦1);
𝑘𝑖 = 1 ; 𝐴𝑖 = 𝑥1; 𝑓(𝐴𝑖) = 𝐴′𝑖= (𝑥1 ∨ 𝑥2∨ 𝑦1) ∧ (¬𝑦1 ∨ 𝑥3∨ 𝑦2) ∧
¬𝑦2 ∨ 𝑥4∨ 𝑦3 … ∧ (¬𝑦𝑝−4 ∨ 𝑥𝑝−2∨ 𝑦𝑝−3) ∧ (¬𝑦𝑝−3 ∨ 𝑥𝑝−1∨ 𝑥𝑝);

61
𝑘𝑖 > 3 ; 𝐴𝑖 = 𝑥1 ∨ ⋯ ∨ 𝑥𝑝 ;
(𝑥1 ∨ 𝑥2∨ 𝑦1) ∧ (¬𝑦1 ∨ 𝑥3∨ 𝑦2) ∧ ¬𝑦2 ∨ 𝑥4∨ 𝑦3 … ∧
(¬𝑦𝑝−4 ∨ 𝑥𝑝−2∨ 𝑦𝑝−3) ∧ ¬𝑦𝑝−3 ∨ 𝑥𝑝−1∨ 𝑥𝑝 ;
1
2
On a i-3 nouvelles variables  on a i-2 clauses
exactement 3 littéraux.
Prouvons que est satisfiable ssi est satisfiable.
1 2
Prouver que f est polynomiale et
𝑓 𝑥 ∈ 3𝑆𝐴𝑇 𝑠𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑆𝐴𝑇

62
Algorithme de f:
selon (𝑘𝑖):
3: 𝐴′𝑖 = 𝐴𝑖
2: 𝐴′𝑖 = (𝑥1 ∨ 𝑥2∨ 𝑦1) ∧ (𝑥1 ∨ 𝑥2∨ ¬𝑦1);
1: 𝐴′𝑖= (𝑥1 ∨ 𝑦1∨ 𝑦2) ∧ (𝑥1 ∨ 𝑦1∨ ¬𝑦2) ∧ (𝑥1 ∨ ¬𝑦1∨ 𝑦2) ∧
(𝑥1 ∨ ¬𝑦1∨ ¬𝑦2);
sinon: 𝐴′𝑖= (𝑥1 ∨ 𝑥2∨ 𝑦1) ∧ (¬𝑦1 ∨ 𝑥3∨ 𝑦2) ∧
¬𝑦2 ∨ 𝑥4∨ 𝑦3 … ∧ (¬𝑦𝑝−4 ∨ 𝑥𝑝−2∨ 𝑦𝑝−3) ∧ (¬𝑦𝑝−3 ∨ 𝑥𝑝−1∨ 𝑥𝑝)
Fin selon
Fin pour  O(l) = O(max( 𝑘𝑖))
D’où f est calculable en un temps polynomiale

63
𝐴𝑖 = 𝑥1 ∨ 𝑥2∨ ⋯ ∨ 𝑥𝑝
 f(x)∈ 𝟑𝑺𝑨𝑻
x ∈ 𝑺𝑨𝑻
[𝐴𝑖]𝐼=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
[𝑥1 ∨ 𝑥2∨ ⋯ ∨ 𝑥𝑝]𝐼= V 
∃ 𝑖 /[𝑥𝑖]𝐼=V
𝐼′
=
𝐼
[𝑦𝑗] =V 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑗 ≤ 𝑖 − 2
[𝑦𝑗] =F 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑗 > 𝑖 − 2
[𝐴′𝑖]𝐼′=V
 x ∈ 𝑺𝑨𝑻
Existe-t-il une interprétation I' /
[𝐴′𝑖]𝐼′=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛′
On suppose que
[𝐴𝑖]𝐼=F ∀ 𝐼 𝑒𝑡 𝑥𝑗 𝐼
=F ∀ 𝑗;
 [𝑦𝑘]𝐼′=V ; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑖 − 3
[¬𝑦𝑙−3 ∨ 𝑥𝑙−1∨ 𝑥𝑙]𝐼′= F
 [𝐴′𝑖]𝐼′=F ;  Contradiction
𝐷′
𝑜ù 𝑖𝑙 ∃ 𝐼/[𝐴𝑖]𝐼=V
f(x)∈ 𝟑𝑺𝑨𝑻

Exercice 5
a) Prouver que 𝐶𝑆 ∈ 𝑁𝑃𝐶, à
partir de 3SAT ∈ 𝑁𝑃𝐶.
b) Prouver que 𝐶𝑆 ∈ 𝑁𝑃.
64

65
b) Montrer que 𝐶𝑆 ∈ 𝑁𝑃:
• Soit S' est un sous ensemble de façon non
déterministe.
• Vérifier que |𝑆′
| ≤ 𝑘
Vérifier que ∀ 𝑠1, 𝑠2 ∈ 𝐴 𝑜𝑛 𝑎 𝑠1 ∈ 𝑆′𝑜𝑢 𝑠2 ∈ 𝑆′;
|𝑆′
| ≤ 𝑆 = 𝑛;
|𝐴| ≤ 𝑛2
 𝑶(𝒏𝟑
)
D’où C𝑺 ∈NP
 𝒏𝟐
𝒂𝒓ê𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒄𝒉𝒂𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒓ê𝒕𝒆 𝒐𝒏 𝒂 𝟐𝒏  𝟐𝒏𝟑
 𝑶(𝒏)

Exercice 6
Prouver que 𝑇𝑆 ∈ 𝑁𝑃,
Clique ∈ 𝑁𝑃 et HC ∈ NP.
66

Correction Exercice 6: Prouver que 𝑇𝑆 ∈ 𝑁𝑃, HC ∈ N𝑃 et
Clique ∈ 𝑁𝑃.
• Soit une permutation 𝑣𝑝1, … , 𝑣𝑝𝑛 de façon non déterministe.
• Vérifier que 𝑖=1
𝑛−1
( 𝑣𝑝𝑖, 𝑣𝑝𝑖+1) + 𝑣𝑝𝑛, 𝑣𝑝1 ≤ 𝑏 (soit polynomial).
n distance à déterminer et pour chaque distance on parcours 𝑛2
éléments distincts.
Algorithme : 𝑛3
+ 𝑛 + 1 = 𝑂 𝑛3
 𝑻𝑺 ∈ 𝑵𝑷
HC ∝ 𝑇𝑆 𝑒𝑡 𝑇𝑆 ∈ NPC → CH ∈ NPC
67

Exercice 7
Étant donné 3-SAT est NPC
montrer que Clique ∈ 𝑁𝑃𝐶.
68

Correction Exercice 7 : Étant donné 3-SAT est
NPC montrer que Clique 𝑒𝑠𝑡 𝑁𝑃𝐶.
1. Montrer que Clique ∈ 𝑁𝑃𝐶 : Donner un algorithme ND polynomial.
2. Montrer que Clique 𝑒𝑠𝑡 𝑁𝑃_𝐷𝑢𝑟 : Montrer que 3-SAT∝ 𝐶𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒.
69
• Soit G=(S,A) et 𝑘 ≤ |𝑆|;
• ∃? 𝑆′ ⊆ 𝑆 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑆 ≥ 𝑘 𝑒𝑡 ∀ 𝑠1∈ 𝑆′𝑒𝑡 𝑠2 ∈ 𝑆′
𝑂𝑛 𝑎 𝑠1, 𝑠2 ∈ 𝐴.
Réponse

70
• Choisir un sous − ensemble 𝑆′
⊆ 𝑆 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑆′
≤ 𝑘
F= True
Pour i de 1 à k-1 faire
Pour j de i+1 à k faire
Si (F=True) et 𝑠𝑖, 𝑠𝑗 ∈ 𝐴 alors …
Fin pour
Fin pour
Si (F=True) alors 𝑆′
est une clique
Algorithme
O(n2)=O(k2)
 f est calculable en un temps polynomiale et Clique ∈ 𝑵𝑷

71
Données :
Graphe 𝐺 = (𝑆, 𝐴), |𝑆|=n
et un entier 𝑘 ≤ |𝑆|
Problème :
Pour chaque clause 𝑐𝑖 on a 3
sommets |𝑆|=3m.
A sera construit comme suit : tous les
sommets sont reliés entre eux sauf les
2 sommets de même clause et si l’une
est la négation d’une autre.
𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆
3 SAT
Données :
𝑃 = 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑛
A= 𝑐1 ∧ 𝑐2 ∧ ⋯ ∧ 𝑐𝑚
𝑐𝑖 = 𝑙𝑖1 ∨ 𝑙𝑖2 ∨ 𝑙𝑖3
Problème :
Existe-t-il une interprétation I
tel que
[𝐴𝑖]𝐼=V ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ?

72
• Transformer une expression booléenne 3-CNF en un graphe tel
que ce graphe contient une clique de taille k ssi l’expression
booléenne est satisfiable.
• Soit B = 𝑐1 ∧ 𝑐2 ∧ ... ∧ 𝑐𝑘 une formule en 3-CNF avec k clauses,
contenant chacune 3 littéraux distincts.
• Pour chaque clause on crée 3 sommets, un pour chaque littéral
dans la clause.
• On relie 2 sommets s’ils proviennent de deux clauses différentes
et que leurs littéraux sont consistent « l’un n’est pas la négation
de l’autre ».
Transformation

73
Montrer que cette transformation est polynomiale:
• La construction de S se fait en O(m).
• La construction de A se fait en O(m2).
Exemple
B= 𝑐1 ∧ 𝑐2 ∧ 𝑐3
𝑐1 = 𝑎 ∨ ¬𝑏 ∨ ¬𝑐
𝑐2 = ¬𝑎 ∨ 𝑏 ∨ 𝑐
𝑐3 = 𝑎 ∨ 𝑏 ∨ 𝑐
k= m
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎3
𝑏3
𝑐3
𝑐2
𝑏2
𝑎2
𝒂, 𝒃, 𝒄 Vrai
¬𝒂, ¬𝒃, 𝒄 Vrai

Correction Exercice 7 : Étantdonné 3-SATest NPC montrerque
Clique 𝑒𝑠𝑡 𝑁𝑃𝐶.
74
” ”
Soit B une instance positive de 3-SAT, c.à.d. B est sous forme
CNF de 3 littéraux par clause et B est Satisfiable.
Montrer que G=f(B) est une instance positive de 𝐶𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒.
c.à.d. il contient un sous-graphe complet de m sommets.
Si B est Satisfiable ∃ 𝐼 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒[𝑐𝑗]𝐼=V ∀ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚
Alors 𝑖𝑙 ∃ 𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑙𝑖𝑡𝑡é𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑙𝑎𝑢𝑠𝑒 𝑙𝑖 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑖 𝐼=V
𝑆′ = 𝑙1, 𝑙2, 𝑙3, … , 𝑙𝑚  Montrer que 𝑆′
est une clique.
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑖, 𝑙𝑗 ∈ 𝑆′
𝑒𝑡 𝑙𝑖 ≠ ¬𝑙𝑗 et 𝑖 ≠ 𝑗 (puisqu’ils sont satisfiables
par I et ∉ à la même clause.
 (𝑙𝑖, 𝑙𝑗) ∈ 𝐴 d’où S' est une clique de taille ≥ 𝑘 = 𝑚.

Correction Exercice 7 : Étant donné 3-SATest NPC montrer
que Clique 𝑒𝑠𝑡 𝑁𝑃𝐶.
75
”  ”
Soit G une instance positive de f(B). G contient une clique S' de
taille k = m (nombre de clauses de B).  Montrer que B est
satisfiable et S' contient m sommets correspondant à m littéraux
pour chacune des clauses.
 ∃ une interprétation I qui en affectant à chacun de ces m
littéraux la valeur Vrai Car on n’a pas un littéral relié à sa
négation.
 D’où 3-SAT∝ 𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆.
𝑶𝒏 𝒂 𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔𝒕 𝑵𝑷_𝑫𝒖𝒓 et 𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 ∈ 𝑵𝑷
D’où 𝑪𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 ∈ 𝑵𝑷_𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕

Complexité en espace
77
Définition 1
Soit M une machine de Turing offline Déterministe.
La complexité en espace de la machine M est la fonction
EM (n) défini par :
EM (n) = max{ m, |x|=n, m est le nombre de cases visitées
lors de l’exécution de M sur x}

78
Définition 2
Soit M une machine de Turing offline Déterministe.
L’espace de calcule de la machine M sur un mot w est la
fonction EM (w) défini par :
EM (w) = {le nombre de cases visitées pour la plus
courte exécution de M sur w acceptant w}

79
Définition 3
Soit M une machine de Turing offline non Déterministe.
EM (n) = max{ECN (x) ; |x|=n}.
Définition 4
Une machine de Turing M est dite polynomiale en espace si :
∃ 𝑷 𝒏 /𝑬𝑴 (
𝒏) ≤ 𝑃 𝑛 ∀𝑛.

80
Définition 5
La classe P-space est la classe des langages décidés par
une MT Déterministe et polynomiale en espace.
Définition 6
La classe NP-space est la classe des langages acceptés par
une MT non Déterministe et polynomiale en espace.

81
Théorème
P-Space = NP-Space
et 𝑃 ⊆ 𝑁𝑃 ⊂ 𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 est la classe des langages
décidés par une MT Déterministe et polynomiale
en espace.

82
Exercice : Prouver
L∈ 𝑁𝑃_𝑆𝑝𝑎𝑐𝑒
∃ 𝑴𝑻𝑵𝑫 𝑴 polynomiale en espace et
∃ 𝑷 𝒏 /𝑬𝑴(𝒏) ≤ 𝑃 𝑛 ∀𝑛.

Exercice : Prouver L∈ 𝑁𝑃_𝑆𝑝𝑎𝑐𝑒
∃𝑴𝑻𝑵𝑫 𝑴 polynomialeenespaceet ∃ 𝑷 𝒏 /𝑬𝑴(𝒏) ≤ 𝑃 𝑛 ∀𝑛.
Soit M' MTD qui reconnait L / L(M') =L.
EM' (n) ≤ 3𝑝 𝑛 = 𝑝′(𝑛)  L∈ 𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
Donc 𝑁𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 ⊂ 𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 et 𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 ⊂ 𝑁𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
 𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 = 𝑁𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒.
83
𝑁𝑃 ⊂ 𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
𝑁𝑃 ⊂ 𝑁𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
Soit L∈ 𝑁𝑃
∃ 𝑴𝑻𝑵𝑫 polynomiale en temps
∃ 𝑴𝑻𝑵𝑫 𝑴 𝒆𝒕 𝑷 𝒏 /𝑻𝑴 (
𝒏) ≤ 𝑃 𝑛 ∀𝑛
et on a 𝑬𝑴 𝒏 ≤ 𝑻𝑴 𝒏 ≤ 𝑃 𝑛
Donc 𝐿 ∈ 𝑁𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 = 𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
 NP ⊂ 𝑁𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 = 𝑃_𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒.

Chapitre 3 : Paradigmes de programmation
84
Approche Diviser pour Régner
Algorithme de Gloutonne
Méthode Branch and Bound
Méthode Programmation Dynamique

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