Le mouvement brownien (ou mouvement aléatoire des particules dans un fluide) m'a toujours
intrigué. J'ai vu qu'il était à la base de la plupart des modèles de prix en finance. Je me suis donc
décidé à approfondir le sujet.
Le mouvement brownien est provoqué par les chocs aléatoires des particules qui constituent le
fluide du fait de l'agitation thermique. De même, on peut rendre compte de l'évolution des prix sur
un marché financier par les interactions des agents boursiers. Le milieu boursier est ainsi le figuré
d'un milieu fluide. C'est pourquoi mon Tipe est en adéquation avec le thème milieux.
Marchés financiers et Mouvement brownien Peut-on rendre compte des fluctuations boursières?
1. Thème: Milieux : interactions, interfaces, homogénéité, ruptures.
Marchés financiers et Mouvement brownien
Peut-on rendre compte des fluctuations boursières?
Travail présenté par:
Ben Abdallah Aymen
N° d’inscription:
33829
3. Robert
Brown
1828
•Observations de Brown:
• Mouvement nulle part dérivable
• Mouvement indépendant de la nature de la particule
• Mouvement permanent
• Mouvement de plus en plus irrégulier avec l’augmentation de la
température et la viscosité du fluide et la diminution de la taille de la
particule
Représentation d’un
mouvement aléatoire se
rapprochant du modèle du
mouvement brownien à
l’aide de Python:
4. Louis
Bachelier
1900
Analogie:
milieu fluide marché financier:
Interaction entre molécules et intervention des différents
la particule suite à l’agitation actionnaires
thermique
Effet de dérive différentes interventions extérieures
5. AlbertEinstein
1906
MODÈLE ET MÉTHODOLOGIE DE
L’APPROCHE
• Modèle en 1D
• Marche aléatoire:
• Pas: Δ
• 𝑡 = 𝑘𝜏 ≫ 𝜏 ≫ 𝑡 𝑐
Hypothèses prises en compte
• Milieu homogène et isotrope
• p=q=
1
2
• P(0,0|nΔ,kτ) la probabilité de trouver la
particule en nΔ après un temps kτ
sortant de l’origine spatio-temporelle
(0,0)
• On note g (resp. d) le nombre de sauts à
gauche (resp. à droite) de l’origine
6. AlbertEinstein
1906
RÉSOLUTION MATHÉMATIQUE DISCRÈTE
• Pour qu’une particule parvienne à nΔ en k mouvements (en un temps kτ) on a
𝑘!
𝑑!𝑔!
possibilités
• Notons que
• 𝑑 + 𝑔 = 𝑘: nombre total déplacements
• 𝑑 − 𝑔 = 𝑛: position après k déplacements
Donc on a 𝑃(0,0|𝑛Δ, 𝑘𝜏) = 𝑝 𝑑 𝑞 𝑔 𝑘!
𝑑!𝑔!
(𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒P(0,0|nΔ, kτ): = 𝑃(𝑛Δ, 𝑘𝜏))
=𝑝
𝑘+𝑛
2 𝑞
𝑘−𝑛
2
𝑘!
𝑘−𝑛
2
!
𝑘+𝑛
2
!
Or on a (𝑝𝑒 𝑖𝜑 + 𝑞𝑒−𝑖𝜑 ) 𝑘 = σ𝑙=0
𝑘
𝑝 𝑙 𝑞 𝑘−𝑙 𝑘!
𝑘−𝑙 !𝑙!
et
1
2π
−π
π
𝑒 𝑖φ(2𝑙−𝑘) 𝑒−𝑖𝑛φ 𝑑φ = δ2𝑙−𝑘,𝑛
10. Marian
Smoluchowski
1906
HYPOTHÈSES:
• 𝑝(𝑛Δ) =
1
2
+ α(𝑛Δ)Δ et
𝑞 𝑛Δ =
1
2
− α 𝑛Δ Δ
Ce qui traduit le fait de l’inhomogénéité
du milieu fluide
(on garde les mêmes notations)
Résolution discrète (brève):
• 𝑃(𝑛Δ, 𝑘 + 1 τ) = 𝑝 𝑛 − 1 Δ 𝑃 𝑛 − 1 Δ, 𝑘τ +
𝑝 𝑛 + 1 Δ 𝑃 𝑛 + 1 Δ, kτ
On trouve donc
𝑃 𝑛Δ, 𝑘 + 1 τ − 𝑃 𝑛Δ, 𝑘τ
=
1
2
𝑃 𝑛 + 1 Δ, 𝑘τ − 2𝑃 𝑛Δ, 𝑘τ + 𝑃 𝑛 − 1 Δ, 𝑘τ
− Δ α 𝑛 + 1 Δ 𝑃 (𝑛 + 1 Δ, 𝑘τ
− α 𝑛 − 1 Δ 𝑃( 𝑛 − 1 Δ, 𝑘τ))
11. Marian
Smoluchowski
1906
APPROXIMATION:
• En appliquant les limites τ → 0 Δ → 0, on trouve
𝜕𝑃(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= −4𝐷
𝜕 𝛼 𝑥 𝑃 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
+ 𝐷
𝜕2 𝑃 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
• Par une étude dimensionnelle, on pose 4𝐷𝛼 𝑥 =
𝐹(𝑥)
𝑚𝛾
• On trouve l’équation:
𝜕𝑃(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= −
1
𝑚𝛾
𝜕 𝐹 𝑥 𝑃 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
+ 𝐷
𝜕2 𝑃 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
12. Black and
Scholes
1960
PRÉSENTATION DE L’ÉQUATION ET DE SES HYPOTHÈSES:
•
𝜕𝐶
𝜕𝑡
+
1
2
𝜎2 𝑆2 𝜕2 𝐶
𝜕𝑆2 + 𝑟𝑆
𝜕𝐶
𝜕𝑆
− 𝑟𝐶 = 0
• C(S,t) le prix de l’option
• S le prix du sous-jacent
• Le cours des actions suit un processus stochastique
• pas de dividendes et de coûts de transaction
• le taux sans risque et la volatilité du cours de l'action sont connus et constants
13. Black and
Scholes
1960
RÉSOLUTION ANALYTIQUE:
• Par une transformée de Fourier on trouve que la solution C(S,t) est:
C 𝑆, 𝑡 =
1
𝑆𝑡 𝜎 2𝜋𝑡
𝑒−𝑟𝑡
0
+∞
𝐶0(𝑆 𝑇)
1
𝑆 𝑇
exp[−
1
2
(ln 𝑆 𝑇 − ln 𝑆 + 𝑟 −
𝜎2
2
𝑡) ²] d𝑆 𝑇
Modèle à étudier:
• Un call européen
18. CONCLUSION SUR LA RIGOUROSITÉ DES MÉTHODE
ÉTUDIÉES:
Solution analytique:
• Rapide
• Exacte
• Trop compliquée dans le cas
général
Différences finies:
• Bon taux de convergence
• Adaptable au cas général
• Problème à l’infini (de S)
Méthode binomiale:
• Bon taux de convergence
• Adapté au cas général
• Calcul de plus en plus lourd si n augmente
19. BILAN FINAL:
Même dans le cas parfait, il est encore pénible de prédire le coût d’une option bien qu’on ait
une solution exacte,
Dans le cas réel:
• Plus compliqué
• Presque impossible à résoudre
Dans ce cas on a recourt à des méthode de couvertures permettant de bien gérer les
fluctuations des prix financiers
20. REMERCIEMENTS
• À mon professeur encadreur M, Ahmed Rebai
• Au responsable du marché financier de la banque de BIAT M, Ali Dallagi (ingénieur en mathématiques financières)