Analyse des systèmes matériels            Hyperstaticité des structuresE. Bugnet
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Généralités
GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera :
GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons ...
GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons ...
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ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
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ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.       2                            2        W =d ...
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Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :
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Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :                  Aux appuis :            3 éq...
Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :                                        Je cré...
Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :                                        Je cré...
Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :                                           Je ...
Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :                                           Je ...
Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :                                           Je ...
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Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :                                              ...
Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :                                              ...
Méthode des cadresCette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structurequi présente une ...
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Méthode des cadresCette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structurequi présente une ...
Méthode des cadresCette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structurequi présente une ...
Méthode des cadresCette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structurequi présente une ...
Méthode des cadresLa présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiquesqu’il y a de de...
Méthode des cadresLa présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiquesqu’il y a de de...
Méthode des cadres   La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques   qu’il y a...
Méthode des cadres   La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques   qu’il y a...
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Méthode des cadres   La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques   qu’il y a...
Méthode des cadres   La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques   qu’il y a...
Méthode des cadres   La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques   qu’il y a...
Cas particulier du treillisSil est possible dutiliser la méthode générale pour calculer le degré dhyperstaticité dansun tr...
Cas particulier du treillisSil est possible dutiliser la méthode générale pour calculer le degré dhyperstaticité dansun tr...
Cas particulier du treillisSil est possible dutiliser la méthode générale pour calculer le degré dhyperstaticité dansun tr...
Cas particulier du treillisSil est possible dutiliser la méthode générale pour calculer le degré dhyperstaticité dansun tr...
Résumé
RésuméMéthode générale (ou méthode des éléments) :                                =∑ d                          °         ...
RésuméMéthode générale (ou méthode des éléments) :                                 =∑ d                           °       ...
RésuméMéthode générale (ou méthode des éléments) :                                    =∑ d                              ° ...
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  1. 1. Analyse des systèmes matériels Hyperstaticité des structuresE. Bugnet
  2. 2. Pour une meilleur lisibilité, passez en plein écran !E. Bugnet
  3. 3. Généralités
  4. 4. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera :
  5. 5. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
  6. 6. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
  7. 7. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
  8. 8. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
  9. 9. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons : dans lespace : 6×n équations de statique
  10. 10. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons : dans lespace : 6×n équations de statique dans le plan : 3×n équations de statique
  11. 11. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons : dans lespace : 6×n équations de statique dans le plan : 3×n équations de statiquePosons W = ∑ liaison d ° −6 n dans lespace
  12. 12. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons : dans lespace : 6×n équations de statique dans le plan : 3×n équations de statiquePosons W = ∑ liaison d ° −6 n dans lespace W =∑ d ° −3 n dans le plan liaison
  13. 13. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons : dans lespace : 6×n équations de statique dans le plan : 3×n équations de statiquePosons W = ∑ liaison d ° −6 n dans lespace W =∑ d ° −3 n dans le plan liaisonW, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel :
  14. 14. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons : dans lespace : 6×n équations de statique dans le plan : 3×n équations de statiquePosons W = ∑ liaison d ° −6 n dans lespace W =∑ d ° −3 n dans le plan liaisonW, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel : W > 0 : nb. dinconnues > nb. déquations → Système hyperstatique → STABLE
  15. 15. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons : dans lespace : 6×n équations de statique dans le plan : 3×n équations de statiquePosons W = ∑ liaison d ° −6 n dans lespace W =∑ d ° −3 n dans le plan liaisonW, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel : W > 0 : nb. dinconnues > nb. déquations → Système hyperstatique → STABLE W = 0 : Système isostatique → STABLE
  16. 16. GénéralitésSoit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.On appellera : Liaisons internes : liaisons entre les n éléments Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis) Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons : dans lespace : 6×n équations de statique dans le plan : 3×n équations de statiquePosons W = ∑ liaison d ° −6 n dans lespace W =∑ d ° −3 n dans le plan liaisonW, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel : W > 0 : nb. dinconnues > nb. déquations → Système hyperstatique → STABLE W = 0 : Système isostatique → STABLE W < 0 : Système hypostatique → INSTABLE : mécanisme
  17. 17. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
  18. 18. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
  19. 19. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2
  20. 20. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2
  21. 21. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp
  22. 22. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  23. 23. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  24. 24. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  25. 25. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  26. 26. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  27. 27. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  28. 28. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  29. 29. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  30. 30. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  31. 31. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp Stable
  32. 32. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp o W =d hyp=(13×2)−3×9=−1 Stable
  33. 33. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp o W =d hyp=(13×2)−3×9=−1 Stable Instable
  34. 34. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp o W =d hyp=(13×2)−3×9=−1 Stable Instable Solution 2 : en ajoutant un contreventement
  35. 35. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp o W =d hyp=(13×2)−3×9=−1 Stable Instable Solution 2 : en ajoutant un contreventement
  36. 36. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp o W =d hyp=(13×2)−3×9=−1 Stable Instable Solution 2 : en ajoutant un contreventement
  37. 37. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp o W =d hyp=(13×2)−3×9=−1 Stable Instable Solution 2 : en ajoutant un contreventement o W =d hyp=(15×2)−3×10=0
  38. 38. ApplicationVérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W =d o =(2+2)−3×1=1 hyp o W =d hyp=(13×2)−3×9=−1 Stable Instable Solution 2 : en ajoutant un contreventement o W =d hyp=(15×2)−3×10=0 Stable
  39. 39. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
  40. 40. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :
  41. 41. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante :
  42. 42. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante : Aux appuis : 3 équations / 3 inconnues → isostatique
  43. 43. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante : Je crée une coupe locale : Aux appuis : 3 équations / 3 inconnues → isostatique
  44. 44. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante : Je crée une coupe locale : Aux appuis : 3 équations / 3 inconnues → isostatique
  45. 45. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante : Je crée une coupe locale : x3 x2 x1 Je libère 3 inconnues (hyperstatiques). Aux appuis : 3 équations / 3 inconnues → isostatique
  46. 46. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante : Je crée une coupe locale : x3 x2 x1 Je libère 3 inconnues (hyperstatiques). Il devient possible de chercher les diagrammes en fonction des 3 inconnues hyperstatiques et des 3 inconnues de liaison. Aux appuis : 3 équations / 3 inconnues → isostatique
  47. 47. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante : Je crée une coupe locale : x3 x2 x1 Je libère 3 inconnues (hyperstatiques). Il devient possible de chercher les diagrammes en fonction des 3 inconnues hyperstatiques et des 3 inconnues de liaison. 3 équations de statique / 6 inconnues Aux appuis : → hyperstatique de d° 3 3 équations / 3 inconnues → isostatique
  48. 48. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante : Je crée une coupe locale : x3 x2 x1 Je libère 3 inconnues (hyperstatiques). Il devient possible de chercher les diagrammes en fonction des 3 inconnues hyperstatiques et des 3 inconnues de liaison. 3 équations de statique / 6 inconnues Aux appuis : → hyperstatique de d° 3 3 équations / 3 inconnues → isostatiqueHyperstaticité externe: nb. de liaisons surabondantes entre la structure et le sol
  49. 49. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante : Je crée une coupe locale : x3 x2 x1 Je libère 3 inconnues (hyperstatiques). Il devient possible de chercher les diagrammes en fonction des 3 inconnues hyperstatiques et des 3 inconnues de liaison. 3 équations de statique / 6 inconnues Aux appuis : → hyperstatique de d° 3 3 équations / 3 inconnues → isostatiqueHyperstaticité externe: nb. de liaisons surabondantes entre la structure et le solHyperstaticité interne: nb. de liaisons surabondantes à lintérieur de la structure, dues à laprésences de cadres fermés
  50. 50. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externeSoit la structure suivante : Je crée une coupe locale : x3 x2 x1 Je libère 3 inconnues (hyperstatiques). Il devient possible de chercher les diagrammes en fonction des 3 inconnues hyperstatiques et des 3 inconnues de liaison. 3 équations de statique / 6 inconnues Aux appuis : → hyperstatique de d° 3 3 équations / 3 inconnues → isostatiqueHyperstaticité externe: nb. de liaisons surabondantes entre la structure et le solHyperstaticité interne: nb. de liaisons surabondantes à lintérieur de la structure, dues à laprésences de cadres fermés ° ° ° d hyp =d hyp interne +d hyp externe
  51. 51. Méthode des cadresCette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structurequi présente une hyperstaticité interne.
  52. 52. Méthode des cadresCette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structurequi présente une hyperstaticité interne.Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminerdans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz enutilisant le torseur de gauche ou de droite.
  53. 53. Méthode des cadresCette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structurequi présente une hyperstaticité interne.Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminerdans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz enutilisant le torseur de gauche ou de droite.
  54. 54. Méthode des cadresCette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structurequi présente une hyperstaticité interne.Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminerdans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz enutilisant le torseur de gauche ou de droite. Un cadre fermé est hyperstatique intérieurement de degré 3. Une coupure totale, qui le rend ouvert, fait apparaître
  55. 55. Méthode des cadresCette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structurequi présente une hyperstaticité interne.Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminerdans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz enutilisant le torseur de gauche ou de droite. Un cadre fermé est hyperstatique intérieurement de degré 3. Une coupure totale, qui le rend ouvert, fait apparaître 3 inconnues hyperstatiques
  56. 56. Méthode des cadresLa présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiquesqu’il y a de degré de libertés.
  57. 57. Méthode des cadresLa présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiquesqu’il y a de degré de libertés. Exemples :
  58. 58. Méthode des cadres La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques qu’il y a de degré de libertés. Exemples :1 cadred° de liberté = 0d° dhyperstaticité = 3
  59. 59. Méthode des cadres La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques qu’il y a de degré de libertés. Exemples :1 cadred° de liberté = 0d° dhyperstaticité = 3
  60. 60. Méthode des cadres La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques qu’il y a de degré de libertés. Exemples :1 cadre 1 cadred° de liberté = 0 d° de liberté = 1d° dhyperstaticité = 3 d° dhyperstaticité = 2
  61. 61. Méthode des cadres La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques qu’il y a de degré de libertés. Exemples :1 cadre 1 cadred° de liberté = 0 d° de liberté = 1d° dhyperstaticité = 3 d° dhyperstaticité = 2
  62. 62. Méthode des cadres La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques qu’il y a de degré de libertés. Exemples :1 cadre 1 cadre 1 cadred° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2d° dhyperstaticité = 3 d° dhyperstaticité = 2 d° dhyperstaticité = 1
  63. 63. Méthode des cadres La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques qu’il y a de degré de libertés. Exemples :1 cadre 1 cadre 1 cadred° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2d° dhyperstaticité = 3 d° dhyperstaticité = 2 d° dhyperstaticité = 1
  64. 64. Méthode des cadres La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques qu’il y a de degré de libertés. Exemples :1 cadre 1 cadre 1 cadre 1 cadred° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2 d° de liberté = 3d° dhyperstaticité = 3 d° dhyperstaticité = 2 d° dhyperstaticité = 1 d° dhyperstaticité = 0
  65. 65. Méthode des cadres La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques qu’il y a de degré de libertés. Exemples :1 cadre 1 cadre 1 cadre 1 cadred° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2 d° de liberté = 3d° dhyperstaticité = 3 d° dhyperstaticité = 2 d° dhyperstaticité = 1 d° dhyperstaticité = 0 Toute structure est constituée d’un certain nombre de cadres. D’où la méthode suivante :
  66. 66. Méthode des cadres La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques qu’il y a de degré de libertés. Exemples :1 cadre 1 cadre 1 cadre 1 cadred° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2 d° de liberté = 3d° dhyperstaticité = 3 d° dhyperstaticité = 2 d° dhyperstaticité = 1 d° dhyperstaticité = 0 Toute structure est constituée d’un certain nombre de cadres. D’où la méthode suivante : =3×n−∑ d ° ° d hyp liberté
  67. 67. Cas particulier du treillisSil est possible dutiliser la méthode générale pour calculer le degré dhyperstaticité dansun treillis, la méthode des cadres pose problème en cas dhyperstaticité interne.
  68. 68. Cas particulier du treillisSil est possible dutiliser la méthode générale pour calculer le degré dhyperstaticité dansun treillis, la méthode des cadres pose problème en cas dhyperstaticité interne.Il existe un autre approche concernant les treillis, dans le cas de treillis articulés :
  69. 69. Cas particulier du treillisSil est possible dutiliser la méthode générale pour calculer le degré dhyperstaticité dansun treillis, la méthode des cadres pose problème en cas dhyperstaticité interne.Il existe un autre approche concernant les treillis, dans le cas de treillis articulés : °Hyperstaticité interne : d hyp =b−2×n+3 b : nombre de barres n : nombre de nœuds
  70. 70. Cas particulier du treillisSil est possible dutiliser la méthode générale pour calculer le degré dhyperstaticité dansun treillis, la méthode des cadres pose problème en cas dhyperstaticité interne.Il existe un autre approche concernant les treillis, dans le cas de treillis articulés : °Hyperstaticité interne : d hyp =b−2×n+3 b : nombre de barres n : nombre de nœudsHyperstaticité externe : se calcule avec lune des méthodes précédentes.
  71. 71. Résumé
  72. 72. RésuméMéthode générale (ou méthode des éléments) : =∑ d ° ° d hyp liaison −3×n
  73. 73. RésuméMéthode générale (ou méthode des éléments) : =∑ d ° ° d hyp liaison−3×nMéthode des cadres : =3×n−∑ d ° ° d hyp liberté
  74. 74. RésuméMéthode générale (ou méthode des éléments) : =∑ d ° ° d hyp −3×n liaisonMéthode des cadres : =3×n−∑ d ° ° d hyp libertéCas du treillis : ° ° d hyp =(b−2×n+3)+d hyp externe
  75. 75. The end !E. Bugnet

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