5. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
6. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
7. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
8. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
9. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
10. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
11. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
12. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison
13. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison
W, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel :
14. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison
W, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel :
W > 0 : nb. d'inconnues > nb. d'équations → Système hyperstatique → STABLE
15. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison
W, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel :
W > 0 : nb. d'inconnues > nb. d'équations → Système hyperstatique → STABLE
W = 0 : Système isostatique → STABLE
16. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison
W, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel :
W > 0 : nb. d'inconnues > nb. d'équations → Système hyperstatique → STABLE
W = 0 : Système isostatique → STABLE
W < 0 : Système hypostatique → INSTABLE : mécanisme
31. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable
32. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable
33. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
34. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement
35. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement
36. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement
37. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement
o
W =d hyp=(15×2)−3×10=0
38. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement
o
W =d hyp=(15×2)−3×10=0
Stable
42. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
43. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
44. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
45. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
46. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
47. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
3 équations de statique / 6 inconnues
Aux appuis : → hyperstatique de d° 3
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
48. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
3 équations de statique / 6 inconnues
Aux appuis : → hyperstatique de d° 3
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
Hyperstaticité externe: nb. de liaisons surabondantes entre la structure et le sol
49. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
3 équations de statique / 6 inconnues
Aux appuis : → hyperstatique de d° 3
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
Hyperstaticité externe: nb. de liaisons surabondantes entre la structure et le sol
Hyperstaticité interne: nb. de liaisons surabondantes à l'intérieur de la structure, dues à la
présences de cadres fermés
50. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
3 équations de statique / 6 inconnues
Aux appuis : → hyperstatique de d° 3
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
Hyperstaticité externe: nb. de liaisons surabondantes entre la structure et le sol
Hyperstaticité interne: nb. de liaisons surabondantes à l'intérieur de la structure, dues à la
présences de cadres fermés
° ° °
d hyp =d hyp interne +d hyp externe
51. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.
52. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.
Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminer
dans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz en
utilisant le torseur de gauche ou de droite.
53. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.
Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminer
dans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz en
utilisant le torseur de gauche ou de droite.
54. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.
Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminer
dans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz en
utilisant le torseur de gauche ou de droite.
Un cadre fermé est hyperstatique intérieurement de degré 3.
Une coupure totale, qui le rend ouvert, fait apparaître
55. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.
Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminer
dans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz en
utilisant le torseur de gauche ou de droite.
Un cadre fermé est hyperstatique intérieurement de degré 3.
Une coupure totale, qui le rend ouvert, fait apparaître 3 inconnues hyperstatiques
56. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
57. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
58. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre
d° de liberté = 0
d° d'hyperstaticité = 3
59. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre
d° de liberté = 0
d° d'hyperstaticité = 3
60. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2
61. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2
62. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1
63. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1
64. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2 d° de liberté = 3
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1 d° d'hyperstaticité = 0
65. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2 d° de liberté = 3
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1 d° d'hyperstaticité = 0
Toute structure est constituée d’un certain nombre de cadres. D’où la méthode suivante :
66. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2 d° de liberté = 3
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1 d° d'hyperstaticité = 0
Toute structure est constituée d’un certain nombre de cadres. D’où la méthode suivante :
=3×n−∑ d
° °
d hyp liberté
67. Cas particulier du treillis
S'il est possible d'utiliser la méthode générale pour calculer le degré d'hyperstaticité dans
un treillis, la méthode des cadres pose problème en cas d'hyperstaticité interne.
68. Cas particulier du treillis
S'il est possible d'utiliser la méthode générale pour calculer le degré d'hyperstaticité dans
un treillis, la méthode des cadres pose problème en cas d'hyperstaticité interne.
Il existe un autre approche concernant les treillis, dans le cas de treillis articulés :
69. Cas particulier du treillis
S'il est possible d'utiliser la méthode générale pour calculer le degré d'hyperstaticité dans
un treillis, la méthode des cadres pose problème en cas d'hyperstaticité interne.
Il existe un autre approche concernant les treillis, dans le cas de treillis articulés :
°
Hyperstaticité interne : d hyp =b−2×n+3
b : nombre de barres
n : nombre de nœuds
70. Cas particulier du treillis
S'il est possible d'utiliser la méthode générale pour calculer le degré d'hyperstaticité dans
un treillis, la méthode des cadres pose problème en cas d'hyperstaticité interne.
Il existe un autre approche concernant les treillis, dans le cas de treillis articulés :
°
Hyperstaticité interne : d hyp =b−2×n+3
b : nombre de barres
n : nombre de nœuds
Hyperstaticité externe : se calcule avec l'une des méthodes précédentes.
73. Résumé
Méthode générale (ou méthode des éléments) :
=∑ d
° °
d hyp liaison−3×n
Méthode des cadres :
=3×n−∑ d
° °
d hyp liberté
74. Résumé
Méthode générale (ou méthode des éléments) :
=∑ d
° °
d hyp −3×n
liaison
Méthode des cadres :
=3×n−∑ d
° °
d hyp liberté
Cas du treillis :
° °
d hyp =(b−2×n+3)+d hyp externe
