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PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
1
Sommaire 
INTRODUCTION................................................................................................................................... 7 
Chapitre 1 : Présentation du projet, conception et caractéristiques des matériaux....................... 8 
I.  Présentation du projet ................................................................................................................... 8 
II.  Conception de la structure............................................................................................................. 9 
III.  Problèmes rencontrés et solutions .......................................................................................... 11 
1.  Sous sol...................................................................................................................................... 11 
2.  RDC et Mezzanine..................................................................................................................... 11 
3.  Etages courants......................................................................................................................... 12 
IV.  Les caractéristiques des matériaux et les hypothèses de calcul............................................. 12 
1.  Les caractéristiques fondamentales du béton......................................................................... 12 
2.  Les caractéristiques fondamentales de l’acier......................................................................... 13 
3.  Les hypothèses de calcul .......................................................................................................... 14 
V.  Les Planchers à corps creux.......................................................................................................... 15 
1.  Présentation............................................................................................................................. 15 
2. Evaluation des charges........................................................................................................... 15 
Chapitre 2 :    Modélisation par ARCHE Ossature ............................................................................. 17 
1.  Présentation du logiciel utilisé................................................................................................. 17 
2.  Modélisation............................................................................................................................. 17 
3.  Calcul de la descente de charges.............................................................................................. 19 
4.  Principe de vérification des calculs .......................................................................................... 19 
5.  Module poutre.......................................................................................................................... 19 
6.  Module poteau ......................................................................................................................... 19 
7.  Module semelle ........................................................................................................................ 20 
8.  Module Longrine....................................................................................................................... 20 
Chapitre 3 :    Etude du contreventement ......................................................................................... 21 
1.  Introduction .............................................................................................................................. 21 
2.  Action du vent........................................................................................................................... 21 
3.  Méthode du centre de torsion ................................................................................................. 26 
4.  Distribution des sollicitations d’ensemble par la méthode du centre de torsion.................. 30 
5.  Conclusion................................................................................................................................. 34 
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Chapitre 4 : Etude d’une dalle pleine................................................................................................. 35 
I.  Etude d’une dalle pleine............................................................................................................... 35 
II.  Méthode de  calcul ....................................................................................................................... 35 
1.  Dimensionnement .................................................................................................................... 35 
2.  Sollicitations.............................................................................................................................. 36 
3.  Ferraillages................................................................................................................................ 37 
4.  Effort tranchant ........................................................................................................................ 38 
III.  Calcul d’un panneau de dalle ................................................................................................... 39 
1.  Dimensionnement de la dalle .................................................................................................. 39 
2.  Sollicitations.............................................................................................................................. 40 
3.  Armatures longitudinales......................................................................................................... 41 
4.  Effort tranchant ........................................................................................................................ 44 
5.  Arrêt des barres ........................................................................................................................ 44 
6.  Plans de ferraillage ................................................................................................................... 45 
Chapitre 5 : Etude des poutres et des nervures................................................................................ 47 
1.  Méthode de calcul .................................................................................................................... 47 
2.  Moments maximaux sur appuis............................................................................................... 48 
3.  Moments en travées................................................................................................................. 54 
4.  Détermination des efforts tranchants maximaux ................................................................... 58 
5.  Armatures longitudinales......................................................................................................... 59 
6.  Armatures transversales .......................................................................................................... 63 
7.  Plan de ferraillage..................................................................................................................... 65 
Chapitre 6 : Etude des poteaux .......................................................................................................... 69 
1.  Introduction ............................................................................................................................ 69 
2.  Hypothèses ............................................................................................................................... 69 
3.  Exemple de calcul d’un poteau rectangulaire....................................................................... 69 
4.  Exemple détaillé de calcul d’un poteau circulaire P8 .......................................................... 73 
5.  Ferraillage................................................................................................................................ 76 
Chapitre 7 : Etude des escaliers.......................................................................................................... 78 
1.  Terminologie............................................................................................................................ 78 
2.  Vue en plan de l’escalier ......................................................................................................... 79 
3.  Prédimensionnement de l’épaisseur de la dalle .................................................................... 80 
4.  Détermination des charges ..................................................................................................... 80 
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5.  Calcul des sollicitations........................................................................................................... 82 
6.  Vérification et calcul des aciers.............................................................................................. 82 
7.  Ferraillage................................................................................................................................ 83 
Chapitre 8 : Etude des fondations...................................................................................................... 84 
1.  Généralités ............................................................................................................................... 84 
2.  Désignations.............................................................................................................................. 85 
3.  Exemple de calcul ..................................................................................................................... 85 
4.  Semelle rigide sous mur soumise à une charge verticale centrée.......................................... 88 
5.  Les longrines ............................................................................................................................. 91 
Chapitre 9 : Etude des acrotères ........................................................................................................ 94 
1.  Introduction ............................................................................................................................ 94 
2.  Acrotère sur mur..................................................................................................................... 94 
3.  Acrotère sur joint .................................................................................................................... 94 
4.  Ferraillage................................................................................................................................ 95 
Chapitre 10 : Etude d’une poutre courbe.......................................................................................... 96 
1.  Présentation et modèle de calcul ............................................................................................ 96 
2.  Chargement de la poutre ........................................................................................................ 97 
3.  Méthode de calcul des poutres continues circulaires uniformément chargées [6]............ 97 
4.  Calcul du moment fléchissant en travée................................................................................ 98 
5.  Calcul de l’effort tranchant en travée ................................................................................... 98 
6.  Calcul du couple de torsion en travée.................................................................................... 98 
7.  Tableau de résultats ................................................................................................................ 99 
8.  Travée P0-P1 ......................................................................................................................... 100 
9.  Travée P1-P2 ......................................................................................................................... 104 
Chapitre 11 :    Etude d’un mur voile ............................................................................................... 109 
1.  Présentation et modèle de calcul........................................................................................... 109 
2.  Les sollicitations...................................................................................................................... 111 
3.  Le ferraillage ........................................................................................................................... 112 
Chapitre 12 : Estimation du coût du lot structure .......................................................................... 117 
CONCLUSION ....................................................................................................................................... 118 
Bibliographie ....................................................................................................................................... 119 
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Liste des figures
Figure 1. Façade latérale de l’ouvrage .................................................................................................................... 9
Figure 2. Exemple d’utilisation d’une poutre plate............................................................................................... 11
Figure 3. Modélisation 3D du bloc A.................................................................................................................... 18
Figure 4.Modélisation 3D du bloc B..................................................................................................................... 18
Figure 5.Modélisation de l’immeuble................................................................................................................... 23
Figure 6.Diagrammes de Tn pour les vents 1 et 2................................................................................................. 25
Figure 7.Eléments de définition d’un voile........................................................................................................... 27
Figure 8.Résultantes P et Q................................................................................................................................... 28
Figure 9.Angle δ.................................................................................................................................................... 28
Figure 10. Résultante P ......................................................................................................................................... 29
Figure 11.Distances rxi et ryi .................................................................................................................................. 29
Figure 12.Caractéristiques géométriques des voiles de contreventement ............................................................. 30
Figure 13.Caractéristiques de la dalle ................................................................................................................... 35
Figure 14.Moments à prendre en compte.............................................................................................................. 36
Figure 15.Moments pour une dalle continue......................................................................................................... 37
Figure 16.Arrêt des barres..................................................................................................................................... 39
Figure 17.Panneau de dalle ................................................................................................................................... 39
Figure 18.Aciers de la nappe inférieure. ............................................................................................................... 45
Figure 19.Aciers de la nappe supérieure. .............................................................................................................. 46
Figure 20.Caractéristiques de la nervure............................................................................................................... 47
Figure 22.Cas de chargement 1............................................................................................................................. 49
Figure 23.Cas de chargement 1............................................................................................................................. 50
Figure 24.Cas de chargement 2............................................................................................................................. 50
Figure 25.Cas de chargement2.............................................................................................................................. 51
Figure 26.Cas de chargement 3............................................................................................................................. 51
Figure 27.Cas de chargement 4............................................................................................................................. 52
Figure 28.Portées des travées................................................................................................................................ 54
Figure 29.Efforts tranchants sur appuis................................................................................................................. 58
Figure 30.Diagramme des efforts tranchants sur appuis ....................................................................................... 59
Figure 31.Ferraillage de la nervure hyperstatique................................................................................................. 65
Figure 33.FerraillageT2 ........................................................................................................................................ 67
Figure 34.FerraillageT3 ........................................................................................................................................ 68
Figure 35.Caractéristiques de la section................................................................................................................ 70
Figure 36.Ferraillage poteau ................................................................................................................................. 72
Figure 37.Détail de ferraillage d’un poteau type P6.............................................................................................. 73
Figure 38.Détail de ferraillage du poteau.............................................................................................................. 75
Figure 39.Détail de ferraillage du poteau.............................................................................................................. 76
Figure 40.Détail de ferraillage du poteau circulaire.............................................................................................. 77
Figure 41.Coupe d’une volée escalier................................................................................................................... 78
Figure 42.Vue en plan de l’escalier....................................................................................................................... 79
Figure 43.Coupe des volées d’escalier.................................................................................................................. 80
Figure 44.Charge sur escalier................................................................................................................................ 81
Figure 45.Détail de ferraillage de l’escalier.......................................................................................................... 83
Figure 46.Ferraillage de la semelle ....................................................................................................................... 88
Figure 48.Ferraillage de la semelle sous mur........................................................................................................ 90
Figure 49.Ferraillage de la semelle sous mur voile............................................................................................... 90
Figure 50.Caractéristiques de la longrine.............................................................................................................. 91
Figure 51.Ferraillage manuel ................................................................................................................................ 92
Figure 52.Ferraillage ARCHE .............................................................................................................................. 93
Figure 53.Détail acrotère sur mur ......................................................................................................................... 95
Figure 54.Détail acrotère sur joint......................................................................................................................... 95
Figure 55.Caractéristiques de la poutre................................................................................................................. 96
Figure 56.Modélisation de la poutre. .................................................................................................................... 97
Figure 57.Section équivalente............................................................................................................................. 100
Figure 58.Ferraillage T1 ..................................................................................................................................... 104
Figure 59.Ferraillage T2 ..................................................................................................................................... 108
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Figure 60.Dimensions du voile ........................................................................................................................... 109
Figure 61.Modèle de calcul................................................................................................................................. 110
Figure 62.Moment fléchissant à l’ELS, Ms (kN.m/ml).................................................................................... 111
Figure 63.Effort tranchant à l’ELS, Vs (KN/ml)............................................................................................... 111
Figure 64.Effort normal à l’ELS, Ns (kN) ...................................................................................................... 112
Figure 65.Ferraillage d’un mètre linéaire de voile.............................................................................................. 116
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Liste des tableaux
Tableau 1.Charges permanentes pour planchers................................................................................................... 16 
Tableau 2.Charges permanentes des murs ............................................................................................................ 16 
Tableau 3.Détermination des coefficients pour le vent 1...................................................................................... 23 
Tableau 4.Détermination de Tn pour le vent1....................................................................................................... 24 
Tableau 5.Détermination des coefficients pour le vent 2...................................................................................... 24 
Tableau 6.Détermination de Tn pour le vent2....................................................................................................... 25 
Tableau 7.Détermination des moments................................................................................................................. 26 
Tableau 8.caractéristiques du voile....................................................................................................................... 30 
Tableau 9 .Détails de calcul .................................................................................................................................. 31 
Tableau 10.Détermination du moment.................................................................................................................. 32 
Tableau 11.Efforts dus à la translation.................................................................................................................. 33 
Tableau 12.Efforts dans les voiles......................................................................................................................... 34 
Tableau 13.Récapitulatif des moments ................................................................................................................. 53 
Tableau14.Moments en travées............................................................................................................................. 58 
Tableau 15. Comparaison entre calcul manuel et calcul ARCHE......................................................................... 65 
Tableau 16.Récapitulatif des résultats................................................................................................................... 99 
Tableau 17.Coût unitaire et coût global .............................................................................................................. 117 
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INTRODUCTION
Le présent travail s’inscrit dans le cadre du projet de fin d’études. Il est consacré à la
conception et au calcul des structures et des fondations en béton armé d’un immeuble (sous
sol+RDC + 5étages).
Un projet de conception et de calcul des structures en béton armé est indispensable afin
d’acquérir une méthode de travail et de confronter les difficultés qui peuvent rencontrer
l’ingénieur lors de l’étude d’un projet réel, aussi bien au niveau de la conception qu’au
niveau du calcul.
Le travail demandé consiste à étudier tous les éléments du bâtiment .En effet, on a
commencé par proposer une conception de l’ossature en béton armé (plans de coffrage) puis
étudier le contreventement du bâtiment et enfin calculer tous les éléments de l’ossature.
D’autre part nous avons tenu à respecter au maximum les aspects de sécurité et les
aspects économiques.
Pour le calcul du ferraillage des éléments de la structure, nous avons utilisé le logiciel
« ARCHE 14.1 » .Nous avons tenu à vérifier le calcul des ferraillages effectués manuellement
pour quelques exemples types.
Les parties principales du projet sont présentées ci-dessous:
• Le premier chapitre vise à donner une idée architecturale et structurale, Les
caractéristiques des matériaux et l’évaluation des charges.
• Les autres chapitres sont consacrés au calcul des éléments de la structure.
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Chapitre 1 : Présentation du projet, conception et caractéristiques
des matériaux
I. Présentation du projet
Le projet concerne l’étude de la structure en béton armé d’un immeuble situé à Sousse ; zone
touristique. L’élévation de ce bâtiment est de 23.2 mètres et son emprise est de forme
rectangulaire. Il est composé de :
• Sous sol avec une hauteur sous plafond (HSP) de 3m.
• RDC avec une HSP de 3.2 m.
• Mezzanine avec une HSP de 3.2 m.
• Cinq étages courants avec une HSP de 2.8 m.
L’immeuble comporte un joint de dilatation de deux centimètres d’épaisseur, ce joint
débute à partir du RDC, jusqu’au Mezzanine. D’autre part, il comporte deux terrasses
couvertes au niveau du RDC et de la Mezzanine. Il comporte aussi un ascenseur qui relit
le sous-sol aux autres étages.
L’espace couvert du projet est marqué par des usages différents à dominance bureautique
(Voir plans d’architecture).
L’immeuble se compose de deux blocs : bloc A et bloc B séparés par un joint de
dilatation.
On présente ci-dessous la fonctionnalité des différents étages :
• Sous sol : composé d’un parking de 18 places, un vestiaire, un bureau et une salle
de préparation.
• RDC : comprend une cafeteria, un café maure, un dépôt, une pâtisserie glacerie et
un poste transformateur.
• Mezzanine : comporte une cafeteria, un dépôt, un café internet et un café.
• 5 étages identiques : composés par des bureaux et des salles d’attentes
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La figure ci-dessous, présente la façade latérale de l’immeuble :
Figure 1. Façade latérale de l’ouvrage
II. Conception de la structure
La conception consiste à proposer une solution structurale adéquate afin de concrétiser les
contraintes architecturales ; elle détermine la nature et la disposition des éléments porteurs
verticaux et horizontaux et des fondations.
La conception met en épreuve le savoir-faire de l’ingénieur dans la mesure où elle varie d’un
édifice à l’autre et ne présente pas des règles absolues à suivre. L’expérience de l’ingénieur et
sa réflexion y sont déterminants.
Une bonne conception doit tenir compte, en outre des choix faits par l’architecte, de
l’économie, de la faisabilité et de la fonctionnalité du projet considéré. Pour cela,
l’élaboration de plusieurs variantes avec les études préliminaires correspondantes est
indispensable afin d’en adopter, lors d’une étude comparative, la plus adéquate.
Pour les grands projets l’enjeu économique est énorme. Un choix réfléchi de la conception
pourrait alors présenter des gains importants.
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Les éléments porteurs à axes horizontaux sont les poutres et les nervures. Ceux à axes
verticaux étant les poteaux et les murs porteurs.
On a essayé de prendre en considération les conditions de conception suivantes :
- Éviter d’avoir des poutres traversant les pièces avec des retombées apparentes ce qui
serait esthétiquement inadmissible. Pour cela, on a essayé dans la mesure du possible de
choisir la disposition des poutres de telle façon que les éventuelles retombées soient cachées
dans les cloisons.
- Éviter d’adopter un sens unique pour toutes les nervures (à déconseiller en
prévention d’éventuelles actions sismiques).
- Minimiser les portées des poutres et des nervures.
- Minimiser le nombre des poutres et des poteaux.
- Se conformer aux choix de l’architecte et n’y porter pas de modifications.
Etant donné la bonne capacité portante du sol (la contrainte admissible est égale à 0.2 Mpa),
on a prévu une fondation superficielle sur des semelles isolées.
Les dalles pleines sont utilisées pour réaliser des planchers ayant des formes compliquées,
des planchers qui supportent des charges relativement importantes ou concentrées.
Dans notre projet, on n’a eu recours aux dalles pleines que quand il est difficile de choisir la
solution plancher traditionnel à corps creux.
Les cages d’ascenseurs ont été dimensionnées pour résister à l’action du vent. L’étude du
contreventement a pris en compte deux directions du vent. Le dimensionnement des refends a
été alors réalisé pour les cas les plus défavorables.
Les joints de la structure représentent une solution de continuité voulue c’est à dire une
rupture rectiligne ménagée dans un ouvrage pour absorber les différences de mouvement ou
de comportement. Ils sont, en fait, destinés à découper verticalement une construction de
grandes dimensions en plusieurs parties indépendantes en vue de parer d’une part aux retraits
et dilatations thermiques d’autre part aux tassements différentiels des infrastructures.
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III. Problèmes rencontrés et solutions
1.Sous sol
Pour le sous-sol, on doit respecter le plan d’architecture lors de l’emplacement des poteaux
et de conserver le nombre de places des voitures (parking 18 places). On a évité de placer des
poteaux qui nuisent au déplacement ou à l’emplacement des voitures. Cette obligation mène à
l’emploi des poutres et des nervures de grandes portées.
Pour s’en sortir, on a utilisé des planchers à corps creux (19+6) et (25+5).
2.RDC et Mezzanine
On a des formes particulières des planchers. Il est difficile d’utiliser des planchers à corps
creux. En outre, on a des zones où il faut éviter les retombées des poutres (par exemple
plancher du café maure). Dans ces niveaux, on évite d’ajouter des poteaux qui n’existent pas
au sous-sol pour ne pas obtenir des poteaux implantés sur des poutres.
On a utilisé des dalles pleines, des poutres plates et des planchers à corps creux (19+6) et
(25+5).
On peut citer l’exemple de la poutre plate A26 du plancher mezzanine représentée par la
figure 2. Nous avons utilisé ce type de poutres afin de réduire la retombée qui nuit à
l’esthétique du plafond du café maure.
Figure 2. Exemple d’utilisation d’une poutre plate
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3.Etages courants
Pour ne pas avoir des poteaux implantés sur des poutres, il faut éviter d’ajouter des poteaux à
part ceux provenant du RDC et de la mezzanine. En plus, il existe des zones où il faut éviter
les retombées des poutres. Les étages courants comportent des planchers avancés par rapport
aux ceux du RDC et de la mezzanine.
Pour remédier à ces problèmes, on a utilisé des poutres plates, des planchers à corps creux
(19+6) et (25+5) et des portes- à- faux.
IV. Les caractéristiques des matériaux et les hypothèses de calcul
La référence de cette section est le règlement BAEL91 [1]. En effet nous avons tenu à
suivre les recommandations apportées par ce règlement que ce soit au niveau du
dimensionnement ou au moment du calcul de ferraillage des différents éléments de la
construction en béton armé.
1.Les caractéristiques fondamentales du béton
1.1 Béton pour éléments armés
Pour les éléments armés, le béton est le plus souvent dosé à 3
/350 mkg avec comme liant le
ciment Portland (C.P.A) à dominance de clinker .La résistance caractéristique à la
compression à 28 jours est de 20 Mpa. On retiendra un coefficient partiel de sécurité pour le
béton égal à 5.1=γb . Ainsi peut-on définir les paramètres suivants :
- La résistance caractéristique à la traction du béton à 28 jours :
28 280,6 0,06 1.8 MPat cf f= + × =
- Le module de déformation longitudinale instantanée du béton à 28 jours valable
pour des charges dont la durée d’application est inférieure à 24h:
33
28 2811000 11000 20 29859 MPai cE f= × = × =
- Le module de déformation longitudinale différé du béton à 28 jours pour des
charges dont la durée d’application est supérieure à 24h:
MPa100432037003700 33
2828 =×=×= cfEν
- Le coefficient de Poisson
Pour le calcul des sollicitations à l’état limite ultime ELU et à l’état limite de
service ELS, on prend 0=ν .Pour le calcul des déformations à l’état limite de
service ELS, on prend 2.0=ν
- Le retrait du béton (On supposera l’hypothèse de l’implantation de la
construction dans un climat chaud et sec)
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13
4
010.4 −
=
∆
l
l
- Le coefficient prenant en compte la durée d’application des charges
heures24si1 >=θ t
- Le coefficient d’équivalence
15==
b
s
E
E
n
1.2 Béton pour les couches d’assise de l’infrastructure
1.2.1 Le béton de propreté
Pour ce genre de béton destiné à séparer la semelle du sol d’assise, le béton est le plus
souvent dosé à 3
200 /kg m avec comme liant le ciment Portland (C.P.A).
1.2.2 Le gros béton
- Le ciment est dosé à :
3
/250 mkg
- La capacité portante du gros béton est:
MPagb 6,0=σ
Avec ρgb=2300 daN/m3
.
2.Les caractéristiques fondamentales de l’acier
2.1 Aciers destinés aux armatures longitudinales
Pour ce type, on prévoira des aciers haute adhérence à nuance FeE400
- La limite d’élasticité garantie :
MPafe 400=
- Le module d’élasticité :
MPaEs
5
10.2=
- Le coefficient partiel de sécurité des aciers:
15.1=sγ (On ne tiendra pas compte des combinaisons accidentelles).
- Le coefficient de fissuration :
6.1=η
- Le coefficient de scellement : 1.5sψ =
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14
2.2 Aciers destinés aux armatures transversales
Pour ce type, on prévoira des ronds lisses à nuance FeE235
- La limite d’élasticité garantie :
235etf MPa=
- Le coefficient partiel de sécurité des aciers:
1.15=sγ (On ne tiendra pas compte des combinaisons accidentelles).
- Le coefficient de fissuration :
0.1=η
- Le coefficient de scellement :
1.0sψ =
3.Les hypothèses de calcul
Les hypothèses de calcul sont les suivantes :
• Pour le dimensionnement et le ferraillage des éléments de la superstructure :
- L’enrobage des armatures sera égal à 2.5cm.
- La fissuration sera considérée comme peu préjudiciable.
• Pour le dimensionnement et le ferraillage des infrastructures :
- L’enrobage des armatures sera égal à 5cm.
- La fissuration sera considérée comme peu préjudiciable.
- La contrainte ultime du béton armé en compression :
280.85 0.85 20
11.33
1.50
c
bu
b
f
f MPa
γ
× ×
= = =
- La contrainte ultime des aciers longitudinaux en traction :
400
348
1.15
e
ed
s
f
f MPa
γ
= = =
- La contrainte limite du béton en compression :
280.6 0.6 20 12bc cf MPaσ = × = × =
- Les coefficients de pondération des charges :
À l’ELU 35.1=γG et 50.1=γQ
À l’ELS 00.1=γG et 00.1=γQ
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V. Les Planchers à corps creux
Les planchers d’une construction doivent remplir différentes fonctions :
- Relatives à la stabilité de l’ouvrage tel que la reprise et la transmission des
charges aux porteurs verticaux.
- Relatives à la fonction entre deux nivaux selon le cas: isolation thermique ou
isolation acoustique (bruits aériens et bruits d’impact)
Pour notre projet nous avons utilisé des planchers en corps creux. En effet, il se distingue par
son prix abordable, par sa facilité d’exécution et sa bonne isolation thermique et acoustique. Il
existe 3 types de planchers à corps creux : 16+5 ; 19+6 et 25+5 et le choix entre ces types est
régi par l’importance des portées à envisager.
1. Présentation
Les planchers à corps creux sont le plus souvent constitués de :
- Une chape en béton coulée sur place qui est en fait une dalle de transmission et de
répartition des charges aux nervures
- Nervures coulées sur place : représentent les éléments porteurs du plancher
et reposent de part et d’autre sur les poutres. Les dimensions (hauteur et largeur) et
l’espacement entre les nervures dépendent uniquement des dimensions du corps creux utilisé
- Des corps creux : utilisés comme un coffrage perdu.
2. Evaluation des charges
La composition du plancher détermine la nature des charges permanentes appliquées au
plancher. En effet, elles sont fonction des masses volumiques ainsi que des épaisseurs de
chaque constituant. Quand aux charges d’exploitation, elles sont celles qui résultent de
l’usage des locaux par opposition aux poids des ouvrages constituant ces locaux, ou à celui
des équipements fixes. Toutefois, certains équipements fixes et légers peuvent être inclus dans
les valeurs fixées pour les charges d’exploitation. Les charges d’exploitation des éléments
constitutifs du bâtiment sont données par les plans du coffrage ainsi que les charges
permanentes sont données ci-dessous en fonction du type de chaque plancher.
2.1 Les Charges d’exploitation
Les charges d’exploitation sont variables en fonction de l’usage du local.
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16
Les charges d’exploitation sont données (Voir plans de coffrage).
2.2 Charges permanentes pour planchers
Les charges permanentes des différents planchers sont présentées sur le tableau1.
Tableau 1.Charges permanentes pour planchers
2.3 Charges permanentes des murs
Les charges permanentes des différents types de murs sont présentées sur le tableau2.
Tableau 2.Charges permanentes des murs
Epaisseur (cm) charges
Cloison10 150 kg/m²
Cloison15 210 kg/m²
Cloison20 240 kg/m²
Cloison25 280 kg/m²
Double Cloison30 320 kg/m²
Double Cloison35 350 kg/m²
planchers intermédiaire terrasse
16+5 630 kg/m² 650 kg/m²
19+6 670 kg/m² 690 kg/m²
25+5 710 kg/m² 730 kg/m²
30+5 750 kg/m² 780 kg/m²
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17
Chapitre 2 : Modélisation par ARCHE Ossature
1. Présentation du logiciel utilisé
ARCHE Ossature est un logiciel de simulation de bâtiment qui, intégrant une CAO pour la
saisie, nous a permis de modéliser le bâtiment, le prédimensionner, d'en effectuer la descente
de charges puis de créer des métrés et des notes de calcul.
En phase d’exploitation des résultats, le calcul précis du ferraillage des éléments se fait par
appel aux modules de ferraillage correspondants.
Les modules poutre, poteau, voile, dalle, plaque, Semelle 3D et longrine servent à
dimensionner et réaliser les plans de ferraillage et les notes de calcul des différents éléments
conformément au règlement B.A.E.L.91.
2. Modélisation
La conception de la structure se traduit par l’élaboration des plans de coffrage en se basant
sur les plans d’architecture. La définition des emplacements et des dimensions des éléments
porteurs permet de modéliser la structure à l’aide du logiciel « ARCHE v 14.1 » dans son
module « ARCHE Ossature ». Vu la complexité géométrique de quelques éléments, cette
démarche offre un modèle simplifié de la structure.
La saisie de la structure se fait étage par étage. En premier lieu, on définit chaque type
d’élément (poteau, poutre, dalle, semelle ou voile) par un calque à partir du plan de coffrage.
ensuite on lance le module ossature et on importe ces calques sous format dxf. Ainsi obtient-
on le modèle. Une fois le modèle est introduit dans le logiciel et après vérification de sa
cohérence, le calcul pourra être lancé.
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18
On présente par la suite les modèles obtenus des deux blocs A et B du bâtiment.
Figure 3. Modélisation 3D du bloc A
Figure 4.Modélisation 3D du bloc B
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19
3. Calcul de la descente de charges
Dans cette étape, on doit définir les chargements, les caractéristiques des matériaux utilisés et
les familles des éléments. En outre, on doit simuler la présence des escaliers par rajouter des
charges réparties sur les poutres qui les supportent.
On a opté enfin pour la descente de charges traditionnelle qui fait le report de charges des
éléments les uns sur les autres, étage par étage, jusqu’aux fondations, en passant par les
poteaux, les poutres et les voiles.
4. Principe de vérification des calculs
Une fois la descente de charges est établie, on pourra lancer les calculs des éléments de la
structure.
Dans cette partie, on présentera les principaux modules de ferraillages intégrés dans le logiciel
« ARCHE » et utilisés dans notre projet.
5. Module poutre
C’est un module de calcul et de vérification des poutres isostatiques et continues soumises
à un ensemble de chargements. Il permet d’élaborer les plans de ferraillage détaillés des
poutres. Dans ce module on peut saisir les différentes formes de poutres.
La méthode de calcul utilisée est la méthode des foyers qui permet de lever l'hyperstaticité
de la poutre étudiée. Cette méthode présente l'avantage de la rapidité de calcul et permet de
traiter n'importe quel cas de charge.
Le module interactif donne la possibilité à l’utilisateur de choisir le nombre de barres, les
armatures et la forme des armatures transversales.
6. Module poteau
Ce module permet de calculer les poteaux sous l’effet des charges verticales ou des
moments. Le calcul est basé sur trois méthodes de calcul bien précises à savoir la méthode
simplifiée, la méthode forfaitaire et la méthode itérative ou méthode de FAESSEL.
Dans ce qui suit nous allons décrire la méthode que nous avons utilisée pour calculer les
poteaux de ce projet. C’est la méthode simplifiée. Elle permet un calcul en compression
centrée selon la méthode forfaitaire qui figure au B.A.E.L.91.
Dans cette méthode, on considère que le centre de gravité des aciers et celui du béton sont
confondus ce qui explique que le module fournit toujours un ferraillage symétrique.
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20
7. Module semelle
Ce module traite des fondations superficielles en béton armé constituées par des semelles
isolées ou par des semelles filantes.
En plus du torseur transmis par l'élément porté et des charges sur le sol fini qui sont saisis
par l'utilisateur, le programme calcule les actions suivantes :
- celle due par le poids propre de l'élément porté
- celle due par le poids propre de la semelle,
- celle due par le poids propre des terres sur la semelle,
- celle due par la présence d'une nappe phréatique.
8. Module Longrine
La description des longrines est facilitée par une interface graphique qui prend en compte la
géométrie précise des longrines et les caractéristiques du sol sur lequel elles reposent.
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21
Chapitre 3 : Etude du contreventement
1. Introduction
Le contreventement consiste à rigidifier la structure contre les actions du vent. Pour ce
projet, il s’agit d’un contreventement interne assuré par la cage d’ascenseur.
Le contreventement du bâtiment peut être assuré par les voiles de la cage d’ascenseur.
Dans ce qui suit, nous vérifierons ce choix. [2] et [3].
2. Action du vent
2.1 Hypothèses et données
- épaisseur des voiles 0.2m.
- hauteur du bâtiment exposé au vent 23.2m.
- hauteur totale du bâtiment 23.2m.
- site normal
- vent région II dont la direction moyenne est horizontale
- Les différents coefficients et les sollicitations d’ensemble sont déterminés à partir
des abaques et des tableaux proposés par les règles N.V 65.
2.2 Force de trainée
Pour un vent à vitesse normale, on définit la force de traînée (action dynamique) par :
entn DqcT ⋅⋅⋅⋅= δβ
2.3 Pression du vent normal
SHn Kqq ⋅=
La pression dynamique doit être multipliée par un coefficient de site :
ks : c’est un coefficient dépendant de l’emplacement de la structure et de la région
(Région II et site normal, donc ks =1).
qH : la pression dynamique normale à la hauteur H : fonction de la hauteur au-dessus du
sol : 10
18
.2,5.
60
H
z
q q
z
+
=
+
Avec :
:hq Pression dynamique agissant à une hauteur H au-dessus du sol.
:10q Pression dynamique de base à 10 m de hauteur (la construction est
implantée dans la région II 10 70 / ² 10q daN m H m= ∀ ≤ )
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22
2.4 Coefficient de traînée
Le coefficient de trainée est donné par la formule suivante :
Ct = cto . γ0
Avec :
cto : coefficient global de trainée, or notre bâtiment est assimilé à un prisme de trois
ou quatre cotés (catégorie I), par suite cto = 1,3.
γ0 : c’est un coefficient déterminé à partir d’un d’abaque, qui dépend du rapport de
dimensionλ .
λ : c’est le rapport de la hauteur H (toiture comprise) et la largeur d de maitre
couple.
d
H
=λ
2.5 Coefficient de majoration dynamique
β = Ө x (1+ξτ)
Ө : coefficient global dépendant du type de construction, or pour les constructions à usage
d’habitation ou bureautique, Ө est pris égal à 1.
β : c’est un coefficient dépendant de la période propre de vibration et du niveau pris en
considération, il est lié aux effets de résonance.
Avec :
)(Hf=τ : coefficient de pulsation qui varie avec H.
)(Tf=ξ : coefficient de réponse, il est fonction de la période propre de vibration T.
HD
H
D
H
T
ee
+
= ..08,0
De : diamètre équivalent à la côte considérée.
2.6 Coefficient de réduction
C’est un coefficient qui tient compte de l’effet des dimensions. Il est pris à partir d’un
abaque.
La hauteur de calcul H à prendre en compte pour la console est égale à: H = H0 +H1
Pour un bâtiment ayant une partie en sous-sol, la hauteur de la console à considérer dépend
de la nature du sol. H est prise selon la nature du sol sur lequel le bâtiment est fondé. Pour
notre cas H = H1 puisque le bâtiment est fondé sur rocher (substratum). (Voir figure5).
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23
Figure 5.Modélisation de l’immeuble
On a δ=0,77 (puisque H<30m).
Pour un sol non rocheux, la construction est modélisée par une console de longueur H1+H0.
2.7 Calcul des forces de trainée
Tableau 3.Détermination des coefficients pour le vent 1
     
   
 
 
γ02
z(m) τ Τ(s) ξ β
qz
(daN/m²)  
0 0.35 0.24 0.16 1.06 52.50 0.85
3.2 0.35 0.26 0.18 1.06 58.70 0.88
6.61 0.35 0.26 0.18 1.06 64.66 0.88
9.42 0.35 0.33 0.22 1.08 69.12 0.94
12.63 0.357 0.33 0.22 1.08 73.80 0.94
15.84 0.35 0.33 0.22 1.08 78.09 0.94
19.05 0.346 0.33 0.22 1.08 82.02 0.94
22.26 0.342 0.33 0.22 1.08 85.65 0.94
23.2 0.34 0.33 0.24 1.0816 86.66 0.94
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D’où la force de trainée pour le vent1:
Tableau 4.Détermination de Tn pour le vent1
Vent1
ct1 De1
Λ Tn1 daN/m
1.11 28 0.81 1,320.79
1.14 24.34 0.93 1,337.91
1.14 24.34 0.93 1,473.60
1.22 17.92 1.26 1,255.27
1.22 17.92 1.26 1,342.16
1.22 17.92 1.26 1,418.03
1.22 17.92 1.26 1,488.28
1.22 17.92 1.26 1,552.85
1.22 17.92 1.26 1,580.44
Et pour le vent 2 on a :
Tableau 5.Détermination des coefficients pour le vent 2
     
     
  
 
  γ02
z(m) τ Τ(s) ξ β
qz
(daN/m²)   
0 0.35 0.24 0.16 1.06 52.50 0.85 
3.2 0.35 0.21 0.11 1.04 58.70 0.78 
6.61 0.35 0.21 0.11 1.04 64.66 0.78 
9.42 0.35 0.24 0.16 1.06 69.12 0.85 
12.63 0.357 0.24 0.16 1.06 73.80 0.85 
15.84 0.35 0.24 0.16 1.06 78.09 0.85 
19.05 0.346 0.24 0.16 1.06 82.02 0.85 
22.26 0.342 0.24 0.16 1.05 85.65 0.85 
23.2 0.34  0.24 0.16 1.05 86.66 0.85 
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D’où la force de trainée pour le vent2:
Tableau 6.Détermination de Tn pour le vent2
Vent2
ct2 De2 Λ Tn2 daN/m
1.11 28 0.81 1,320.79
1.01 33.38 0.68 1,588.83
1.01 33.38 0.68 1,749.97
1.11 28 0.81 1,738.99
1.11 28 0.81 1,858.68
1.11 28 0.81 1,964.47
1.11 28 0.81 2,062.23
1.11 28 0.81 2,152.14
1.11 28 0.81 2,176.85
Les résultats sont résumés sur la figure6.
Figure 6.Diagrammes de Tn pour les vents 1 et 2
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26
2.8 Sollicitations d’ensemble
Ayant Tn, on calcule l’effort tranchant et le moment par niveaux tout en considérant la
structure comme une console de longueur H chargée par Tn.
L’effort tranchant et le moment au niveau i sont calculés comme suit :
11
2
i ii iT T
H h H +++
= ×∆ +
,
11
2
i ii iH H
M h M +++
= ×∆ +
∆h étant la différence de niveau entre i et i+1.
Tableau 7.Détermination des moments
vent1 VENT 2
Mn2
z(m)
Tn1
daN/m Hn1 daN
Mn1
daN.m
Tn2
daN/m Hn2 daN daN.m
0 1,320.79 32498.87 385738.42 1320.79 42422.10 524375.38
3.2 1,337.91 28244.95 288548.29 1588.83 37766.71 396073.29
6.61 1,473.60 23451.33 200406.13 1749.97 32074.05 276994.80
9.42 1,255.27 19617.27 139894.75 1738.99 27172.06 193754.01
12.63 1,342.16 15448.39 83614.36 1858.68 21397.80 115799.38
15.84 1,418.03 11018.29 41135.34 1964.47 15261.65 56960.96
19.05 1,488.28 6353.66 13253.37 2062.23 8798.79 18343.96
22.26 1,552.85 1472.65 692.14 2152.19 2034.65 956.28
23.2 1,580.44 0 0 2176.85 0 0
3. Méthode du centre de torsion
La méthode du centre de torsion consiste à décomposer l’action extérieure en :
- un effort H passant par le centre de torsion C de l’ensemble des éléments de
contreventement et provoquant une translation sans rotation.
- un moment M = H. e de l’effort extérieur H par rapport au centre de torsion et
provoquant une rotation sans translation.
3.1 Détermination du centre de torsion C
Pour un voile ou un ensemble de voiles assurant le contreventement d’une structure et
liés par des planchers rigides, le centre de torsion C est un point tel que :
- toute force passant par ce point provoque une translation du plancher et donc de
l’ensemble des éléments de contreventement parallèlement à la force et sans
rotation.
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27
- tout moment autour de ce point provoque une rotation du plancher dans le même
sens que le moment et ce sans translation.
Chaque voile i est défini par :
- son centre de torsion Oi.
- ses axes principaux d’inertie par rapport à son centre de gravité Gi : Oixi, et Oiyi.
- l’orientation өi avec le repère général : өi = angle de l’axe principal de l’inertie la plus
grande avec l’axe oyi.
Les éléments de définition d’un voile sont représentés par la figure7.
Figure 7.Eléments de définition d’un voile
Or, pour un voile en U symétrique, le centre de torsion est situé à l’extérieur de l’âme à une
distance
2 2
1
4
h t h
I
δ = .
3.2 Etude de la translation due à l’effort extérieur H
a. hypothèses
Nous supposerons que :
- les voiles sont de sections constantes sur toute la hauteur du bâtiment ou au moins les
inerties varient toutes dans les mêmes niveaux.
- pour les voiles avec ouvertures, on prendra leur inertie équivalente.
- les planchers sont infiniment rigides dans leur plan.
- les voiles ont les mêmes conditions d’encastrement en pied et ont le même module
d’élasticité.
- la répartition de l’effort H sera faite au prorata des rigidités donc des inerties des
voiles car le rapport rigidité / inertie est le même pour une même déformation à une
même altitude et que les déformées sont de la forme
( )k f z F
EI
pour une force F
appliquée à la côte z.
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28
b. Action d’une translation sur un voile
Pour toute translation unitaire du voile n°i parallèlement à ox, on obtient deux forces de
rappel :
- l’une parallèle à ox et proportionnelle à l’inertie Iyi par rapport à oiyi.
- l’autre perpendiculaire à ox et proportionnelle à l’inertie composée Ixyi.
De même, pour tout voile n°i parallèlement à oy, on obtient deux forces de rappel :
- l’une parallèle à oy et proportionnelle à l’inertie Ixi par rapport à oixi.
- l’autre perpendiculaire à oy et proportionnelle à l’inertie composée Ixyi.
Les inerties Ixi, Iyi et Ixyi sont obtenues à partir des inerties principales I’xi, I’yi.
On obtient ainsi :
2 2
2 2
' cos ' sin
' sin ' cos
( ' ' )cos sin
xi xi i yi i
yi xi i yi i
xyi xi yi i i
I I I
I I I
I I I
θ θ
θ θ
θ θ
= +
= +
= −
Comme toutes les forces de rappel sont proportionnelles aux rigidités donc aux inerties, avec
le même facteur de proportionnalité, nous pouvons remplacer ces forces de rappel par les
vecteurs-inerties.
Soient i et j les vecteurs unitaires du repère oxy. On obtient donc les résultantes P et Q
des forces (donc d’inerties) présentées sur la figure8.
Figure 8.Résultantes P et Q.
Le point d’intersection de ces résultantes définit le centre de torsion.
• Calcul de l’angle δ :
Figure 9.Angle δ
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29
On doit avoir ∑ IXYi = 0 où IXYi est l’inertie composée du voile par rapport aux OiXiYi.
c. Détermination des résultantes P et Q
La distance de la droite support de P au point O est déterminée en écrivant l’équilibre des
moments des forces (figure10) où xoi et yoi sont les coordonnées du centre de rotation Oi du
voile i.
Figure 10. Résultante P
On a donc :
x
y
P Iyi
P Ixyi
=
=
∑
∑
3.3 étude de la rotation due au moment M = H. e
Les efforts Rxi et Ryi dus à la rotation et repris dans chaque voile sont proportionnels à (voir
figure11) :
- leurs inerties principales I’xi et I’yi.
- leur distance au centre de torsion C pour une même rotation d’angle α.
'
'
xi xi yi
yi yi xi
R K r I
R K r I
α
α
=
=
Avec rxi = distance de C à l’axe Oix’i et ryi = distance de C à l’axe Oiy’i.
Figure 11.Distances rxi et ryi
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30
Le coefficient de proportionnalité K est obtenu en écrivant l’équilibre des moments des forces
par rapport au centre de torsion C, soit :
2 2
'
'
( ' ' )
xi yi
xi
yi xi
yi
yi yi xixi
M r I
R
J
M r I
R
J
Avec J r I r I
=
=
= +∑
3.4 Efforts finaux dans les voiles
Les efforts dans chaque voile i, dirigés suivant leurs axes principaux d’inerties Oix’iy’i,
valent :
'
'
x xi xi
y yi yi
H F R
H F R
= +
= +
4. Distribution des sollicitations d’ensemble par la méthode du centre de torsion
On n’étudiera que le vent 2.
Le groupe de refend schématisé sur la figure12 est soumis à l’action de l’effort tranchant
agissant à la base du bâtiment et vaut: 4.25H MN= .
La plupart des refends ayant des axes principaux d’inertie parallèles. On peut effectuer un
calcul simplifié.
Figure 12.Caractéristiques géométriques des voiles de contreventement
a. Caractéristiques du voile
Les caractéristiques du voile sont représentés par le tableau8 suivant.
Tableau 8.caractéristiques du voile
Rectangles t h φ a b
1 0.2 2 -90° 16.55 23.1
2 0.2 2 0° 17.55 22
3 0.2 2 90° 16.55 19.9
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31
Le calcul des inerties donne:
3 3
4
3 3
4
2.2 2
' 2. 1.8. 0.5746
12 12
2 0.2
' 2. 0.2 2.2 . 0.2681
12 12
x
y
I m
I m
= − =
= + =
Or, pour un voile en U symétrique, on a :
2 2 2 2
1 2 0.2 2
1.4
4 4 0.5746
h t h
m
I
δ
× ×
= = =
×
D’où les coordonnées du centre de torsion :
17.65 1.4 18.05
21
c
c
x m
y m
= + =
=
Les résultats de calcul sont représentés sur les tableaux suivants.
Tableau 9 .Détails de calcul
Notation Formule Unité Valeur Total
I'xi donnée m
4
0.575 0.575
I'yi donnée m
4
0.268 0.268
ti donnée m 0.15
angle ө donnée ° 0
m
4
0.575 0.575
m
4
0.268 0.268
m
4
0
xc donnée m 18.05
yc donnée m 21
Ixyi
Inertie principale
centre de torsion
inerties /Oixiy
Ixi=I'xicos
2
θi+I'yicos2
θi
Iyi=I'xisin
2
θi+I'yicos
2
θi
Ixyi=(I'xi-I'yi)cosθicosθi
Ixi
Iyi
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Tableau 10.Détermination du moment
Ixi xc m
5 10.37
Iyi yc m
5
5.63
Ixyi xc m
5
0
Ixyi yc m
5
0
Ai=(I'xi‐I'yi)sin2θi m
4
0
Bi=(I'xi‐I'yi)cos2θi m
4
0.307
angle δ (artg(‐∑Ai/∑Bi))/2 ° 0
Px ∑Iyi m
4
0.268
py ∑Ixyi m
4
0
Qx ∑Ixyi m
4
0
Qy ∑Ixi m
4
0.575
Hx donnée MN 0
Hy donnée MN 4.25
XHy donnée m 14
YHx donnée m 0
Moment M (XHy-XC)Hy+(YHx+yC)Hx MN.m 29.75
Composante de P
composante de Q
force extèrieurr /OXY
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33
Tableau 11.Efforts dus à la translation
HY
4.25
notation unité valeur total
angle φ ° 0
inertie/CXY Ixi m
4
0.5746 0.575
Iyi
m
4
0.2681 0.268
IXYi m
4
0 0
m
4
0 0
m
4
0.5746 0.575
m
4
0 0
m
4
0.2681 0.268
m
4
0 0
m
4
0 0
effort dus
Fxi
MN 0
à la translationFyi
MN 4.25
formule
ө + δ
MN
MN
0
HX
cos sinx yH Hδ δ+
sin cosx yH Hδ δ− +
2 2
' cos ' sinxi i yi iI Iϕ ϕ+
2 2
' sin ' cosxi i yi iI Iϕ ϕ+
( ' ' )cos sinxi yi i iI I ϕ ϕ−
sinxi iI ϕ
sinyi iI ϕ
sinxyi iI ϕ
cosxyi iI ϕ
cosxi iI ϕ
cosyi iI ϕ
[ ] [ ]cos cosX Y
xi Yi XYi XYi Xi
Yi Xi
H H
F I I sin I I sin
I I
ϕ ϕ ϕ ϕ= − + −
∑ ∑
[ ] [ ]cos cosY X
yi Xi XYi XYi Yi
Xi Yi
H H
F I I sin I I sin
I I
ϕ ϕ ϕ ϕ= − + −
∑ ∑
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34
Tableau 12.Efforts dans les voiles
rxi m 0
ryi m 0
Rxi MN 0
Ryi MN 0
H'xi MN 0
H'yi MN 4.25
Hxi MN 0
Hyi MN 4.25
-y’ic
-x’ic
efforts dus à la torsion
Fxi+Rxi
Fyi+Ryi
efforts dans les voiles
distance de C à Oiyi
distance de C à Oixi
' cos ' sinxi i yi iH Hθ θ+
' sin ' cosxi i yi iH Hθ θ− +
Avec :
[ ]
[ ]
' ( )cos ( )sin
' ( )sin ( )cos
ic c oi i c oi i
ic c oi i c oi i
x X X y y
y X X y y
θ θ
θ θ
= − − − −
= − − − −
De même on vérifie, pour le vent 1.
5. Conclusion
On a bien vérifié que la somme des composantes des efforts des voiles suivant les axes
d’origine est égale à celle des efforts extérieurs : 4.25 MN suivant Oy et 0 suivant Ox.
Parsuite, on peut conclure que le contreventement du bâtiment est assuré
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35
Chapitre 4 : Etude d’une dalle pleine
I. Etude d’une dalle pleine
Une dalle est un élément, généralement rectangulaire, dont une dimension (épaisseur) est
faible vis-à-vis des deux autres (dimensions en plan).
Dans un plancher, on appelle panneaux de dalle les parties de dalle bordées par les poutres-
supports (poutrelles et poutres du plancher).
Dans cette section, on vise dimensionner et calculer une dalle pleine [4].
II. Méthode de calcul
1. Dimensionnement
On pose :
cot
1
cot
l longueur du petit é de la dallexα
l longueur du grand é de la dalley
= = ≤
L’épaisseur h0 de la dalle est déterminée forfaitairement en fonction des conditions suivantes :
-Si 400,α< : La dalle porte dans un seul sens.
-
200
x
l
h > : pour les panneaux isolés.
-
250
x
l
h > : pour les panneaux de dalles continues.
- Si 0,40≥α : la dalle porte dans les deux sens.
-
300
x
l
h > : pour les panneaux isolés.
-
400
x
l
h > : pour les panneaux de dalles continues.
Figure 13.Caractéristiques de la dalle
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36
• 2éme
cas
400,α<
2. Sollicitations
Le calcul se fait à l’ELU avec Pu = 1,35G+1,50Q où G et Q sont respectivement les charges
surfaciques permanente et d’exploitation.
a) Moments dans les dalles articulées sur leurs contours (M0x/y)
• 1er
cas
400,α≥
)4.21(8
1
3
α
µ
+
=x et ( )[ ] 4
1
195.01
22
≥−−= ααµy
2
0x x xM Plµ= et 0 0y y xM Mµ=
00
=y
M et
8
2
0
x
x
Pl
M =
b) Moments dans les dalles partiellement encastrées
• Cas où α<0.4 et la charge p est uniforme
Les moments de flexion dans le sens lx évalués suivant la méthode forfaitaire de calcul des
poutres de planchers sont donnés par :
( ){ }1 0.3 ; 1.05
2
wx ex
tx ox ox
M M
M Max M Mα
+
+ ≥ +
Avec
B
B
QG
Q
+
=α
Les moments minimaux étant :
Figure 14.Moments à prendre en compte
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37
• Pour les autres cas
- Pour une bande de 1m de largeur parallèle à lx/y :
yxytx MM /0/ 85.0= Si le panneau est de rive et yxyax MM /0/ 3.0≥
yxytx MM /0/ 75.0= Si le panneau est intermédiaire et / 0 /0.5ax y x yM M=
 
Figure 15.Moments pour une dalle continue.
Ce qui réalise : 025.1
2
M
MM
M ew
t ≥
+
+
c) Valeurs minimales à respecter  
En travée :
4
tx
ty
M
M ≥
Sur appuis : May = Max
3. Ferraillages
a) Section d’acier calculée
• En travée
- Sens lx : 2
0
dfb
M
bu
ty
bu
=µ ; )6.01( bub dz µ−= ;
edb
tx
tx
fz
M
A =
- Sens ly :
bu
ty
bu
fdb
M
2
0
=µ ; )6.01( bub dz µ−= ;
edb
ty
ty
fz
M
A =
• Sur appui
2
0
dfb
M
bu
ax
bu
=µ ; )6.01( bub dz µ−= ;
edb
ax
ax fz
M
A = .
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38
b) Diamètre des armatures
10
0h
≤φ
c) Section minimale d’acier
0
2
0
0
12 :
( / ) 8 : 400
6 : 500
yMin
h Rond lisse
A cm m Min h FeE
h FeE ou Ts
⎧ ⎫
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
2 (3 )
( / )
2
xMin yMinA cm m A
α−
=
d) Espacement des aciers
Cas des charges réparties + fissuration préjudiciable :
• En travée
Sens lx :
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
cm
h
Minst
33
.3 0
Sens ly :
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤
cm
h
Minst
45
.4 0
• Sur appui : cmst 33≤
4. Effort tranchant
a) sollicitations ultimes (Charges réparties)
• 1er
cas
0,40≥α
)
2
1(2
α
+
= xu
ux
lP
V ;
3
xu
uy
lPV = .
• 2éme
cas
0,40<α
2
xu
ux
lP
V = ; 0=uy
V
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39
b) Vérification du béton
On n’a pas besoin d’armatures transversales si :
- La dalle est bétonnée sans reprise dans son épaisseur
- La contrainte tangente vérifie :
b
cu
u
f
d
V
γ
τ 28
07.0<=
c) Arrêt des barres
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
x
s
l
M
M
l
Maxl
0
11
3.025.0 ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
12 l
l
Maxl
s
Figure 16.Arrêt des barres
III. Calcul d’un panneau de dalle
1. Dimensionnement de la dalle
On se propose d’étudier la dalle pleine du plancher mezzanine modélisée par la figure17.
Figure 17.Panneau de dalle
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40
On a :
D’où il s’agit d’un panneau portant dans les deux sens.
Dalle continue :
40
0
xl
h ≥ ⇒ cm25=h0Soit82.3
40
153
0 ⇒=≥ cmh
2. Sollicitations
a) Charges par m² de plancher
Les charges permanentes appliquées sur le plancher sont calculées en fonction de
l’épaisseur de chaque constituant. Les charges permanentes de ce type de plancher sont les
suivantes :
- Plancher terrasse
• Protection de l’étanchéité 30 daN /m²
• Enduit de planéité 30 daN / m²
• Asphalte coulé sablé 50 daN / m²
• Forme de pente 200 daN / m²
• Dalle pleine (d’épaisseur e) 25e daN / m²
• Enduit de plafond (1.5 cm) 30 daN / m²
- Plancher intermédiaire
• 3 cm de sable (17 daN / cm d’épaisseur) 51 daN / m²
• 2 cm de mortier pour carrelage (20 daN / cm d’épaisseur) 40 daN / m²
• carrelage 25x25x2.5 45 daN / m²
• dalle pleine (d’épaisseur e) 25e daN / m²
• enduit de plafond (1.5 cm) 30 daN / m²
• cloison léger 75 daN / m²
Pour notre cas, il s’agit d’un plancher intermédiaire :
G = 866 daN/m²
Q = 400 daN/m²
Pu = 1.35 G + 1.5 Q = 17.7 kN/m²
4.043.0
56.3
53.1
>⇒==⇒= ααα
y
x
l
l
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41
b) Moments fléchissants pour le panneau de dalle articulé sur son contour
On a : 43.0=α
])43.01(95.01[43.0])1(95.01[et
)43.04.21(8
1
)4.21(8
1 2222
33
−−=⇒−−=
×+
=⇒
+
= yyxx µααµµ
α
µ
25.0
25.0127..0et105.0
=→
==
y
yx
µ
µµ p
D’où les moments pour une bande de largeur 1m:
2 2
0 0
0 0 0
0.105 17.7 1.53 4.35 /
0.25 4.35 1.08 /
x x u x x
y y x y
M p l M kNm m
M M M kNm m
µ
µ
= ⇒ = × × =
= ⇒ = × =
⇒
4.35 . /
1.08 . /
ox
oy
M kN m m
M kN m m
=
=
c) Moments dans la dalle partiellement encastrée
- Bande de largeur 1 m parallèle à lx :
0
0
0.75. 0.75. 4.35 3.27 . /
0.5. 0.5.4.35 2.175 . /
tx x tx
ax x ax
M M donc M kN m m
M M donc M kN m m
= = =
= = =
- Bande de largeur 1 m parallèle à ly :
00.75. 0.75 . 1.08 0.81 . /ty yM M kN m m= = =
Valeurs minimales à respecter :
- En travée :
ok
M
M tx
ty →=≥ 81.0
4
- Sur appuis :
2.175 . /ay axM M kN m m= =
Donc on a :
0.81 . /
2.175 . /
ty
ay ax
M kN m m
M M kN m m
=
= =
3. Armatures longitudinales
Sachant que Mu est proportionnel à M0 qui est lui-même proportionnel à pu ,on a:
4.1
466.8
7.17
=
+
=
+
=
QG
pu
γ
En outre, pour FeE400 HA, fc28=20 < 30MPa et θ =1, µlu est calculé par la formule
suivante :
⇒
−×+×
=⇒−+= 428
4
10
305020494.13440
305049344010 luclu f µγµ 0.276luµ =
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42
a) Calcul des sections d’acier
• aciers en travée « sens lx »
⇒
××
==
−
33.11225.01
10.27.3
2
3
2
0 bu
tx
bu
fdb
M
µ 005.0=buµ Alors lubu
µµ < ⇒ A’=0 (Pas d’aciers
comprimés)
274.0<buµ ⇒ Nous utilisons les formules simplifiées pour déterminer la section des aciers
tendus.
( ) ( )⇒×−=−= 005.06.01225.06.01 bub dz µ mzb 224.0=
( ) ⇒
×
==
−
348224.0
10.10.27.3 43
edb
tx
tx
fz
M
A mcmAtx /41.0 2
=
• aciers en travée « sens ly »
⇒
××
==
−
33.11225.01
10.81.0
2
3
2
0 bu
ty
bu
fdb
M
µ 0014.0=buµ Alors lubu
µµ < ⇒ A’=0 (Pas d’aciers
comprimés)
274.0<buµ ⇒ Formules simplifiées
( ) ( )⇒×−=−= 0014.06.01225.06.01 bub dz µ mzb 224.0=
( ) ⇒
×
×
==
−
348224.0
10.1081.0 43
edb
ty
ty
fz
M
A mcmAty /104.0 2
=
• aciers sur appuis (Chapeaux)
⇒
××
×
==
−
33.11225.01
10175.2
2
3
2
0 bu
ax
bu
fdb
M
µ 0038.0=buµ Alors lubu
µµ < ⇒ A’=0 (Pas d’aciers
comprimés)
274.0<buµ ⇒ Formules simplifiées
( ) ( )1 0.6 0.225 1 0.6 0.0038b uz d µ= − = − × ⇒ mzb 224.0=
( ) ⇒
×
×
==
−
348224.0
10.10175.2 43
edb
ax
a
fz
M
A mcmAa /28.0 2
=
b) Sections minimales d’armatures
• bande suivant « ly »
mcmAFeE
FeEh
FeEh
lisse
Rondh
A yy /225.08400;
500:6
;400:8
;
:12
2
min
0
0
0
min =×=⇒
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
min
min
yay
yty
AA
AA
p
=<
⇒
mcmA
mcmA
ay
ty
/2
/2
2
2
=
=
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43
• bande suivant « lx »
⇒
−
×=⇒×
−
=
2
43.03
2
2
3
minminmin xyx AAA
α
mcmAx /57.2 2
min =
min
min
xax
xtx
AA
AA
p
p
⇒
mcmA
mcmA
ax
tx
/57.2
/57.2
2
2
=
=
c) Choix des aciers et de l’espacement
Dispositions constructives : ⇒=≤
10
250
10
0h
φ mm25≤φ donc nous prenons au plus φ 20.
• en travée sens « lx »
L’espacement entre les armatures est donné par la formule suivante :
( )
( )
cms
cmcms
cmhs
t
t
t
33
33;75253min
33;3min 0
≤⇒
=×≤⇒
≤
On a : mcmAtx /57.2 2
=
Alors nous prenons : 4 HA 10 /m
cmst 20
4
100
== : A=3.16 cm2
/m
• en travée sens « ly »
L’espacement entre les armatures est donné par la formule suivante :
( )
( )
0min 4 ;45
min 4 25 100 ; 45 45
≤
⇒ ≤ × = ⇒ ≤
t
t t
s h cm
s cm cm s cm
2
2 /=tyOr A cm m
Alors nous avons : 4 HA 8 /m
cmst 20
4
100
==
• en chapeau
cms
mcmA
t
a
33et
/57.2 2
<
=
Alors nous avons : 4 HA 8 /m ; cmst 20=
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44
2HA8 / m filants.
2HA8 / m arrêté à 15 cm.
4. Effort tranchant
a) Sollicitations ultimes
- Au milieu du grand côté (charge répartie) :
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
×
=⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
2
43.0
1
1
2
53.17.17
2
1
1
2
ux
xu
ux
V
lp
V
α
11.14 /uxV kN m=
- Au milieu du petit côté (charge répartie) :
3
17.7 1.53
9.03 /
3
u x
uy
uy ux
p l
V
V kN m V
=
×
⇒ = = p
b) Vérification
225.01
10.14.11 3
0
×
=⇒
=
−
u
u
u
db
V
τ
τ
MPau 05.0=τ
Et ⇒=⇒=
5.1
20
07.007.0 lim
28
lim τ
γ
τ
b
cf
MPa933.0lim =τ
Alors MPau 933.005.0 lim =<= ττ
⇒ On a pas besoin d’armatures transversales.
5. Arrêt des barres
Les arrêts des barres dans le sens lx, ly et sur appuis sont les suivants :
En travée sens « lx », on alterne : 2 HA 10 / m filants
2 HA 10 / m arrêté à 15 cm
En travée sens « ly », on alterne :
PFE ENIT 2008
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45
Sur appuis :
{ }
cml
cmMax
l
lMaxl
cml
cmlcmMaxl
l
M
M
lMaxl
s
x
x
a
s
32
2
32
;32
2
;
32
6.301532.02.0;328.04040
.3.0
4
1
;
2
1
2
1
1
0
1
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=⇒
=×=×=×==⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
φ
2HA8 / m l1 = 32 cm
2HA8 / m l2 = 32 cm
6. Plans de ferraillage
Le ferraillage de la nappe inférieure, de la nappe supérieure et les arrêts des barres sont
représentés par les figures18 et 19.
Figure 18.Aciers de la nappe inférieure.
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46
2HA8 pm
2HA8pm
2 HA8pm
2HA8pm
30 cm Coupe A-A
32 cm
Figure 19.Aciers de la nappe supérieure.
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47
Chapitre 5 : Etude des poutres et des nervures
On se propose d’étudier la nervure hyperstatique du plancher haut sous sol, représentée sur la
figure20. [4]
Un exemple de poutre est calculé dans l’annexe.
La charge permanente exercée sur la nervure est :
0.33 6.3 0.33 2.08 / .N totalG G kN ml= × = × =
La charge d’exploitation étant:
0.33 4 0.33 1.32 / .NQ Q kN ml= × = × =
Figure 20.Caractéristiques de la nervure.
1. Méthode de calcul
1)
263.0
08.2
32.1
≤==
N
N
G
Q
.
2 2
4 / 5 / .NQ KN m kN m= ≤
2) Etant donné que la fissuration est peu préjudiciable, elle ne compromet pas la tenue des
revêtements ni celle des cloisons.
3) Les trois travées ont une même inertie.
4)
25.16.0
8.4
95.2
11
2
≥⇒==
+i
i
l
l
l
l
.25.18.025.1
95.2
69.3
12
3
≤≤⇒==
−i
i
l
l
l
l
PFE ENIT 2008
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48
D’après le règlement BAEL91, l’une des hypothèses de la méthode forfaitaire n’est pas
vérifiée et la charge d’exploitation n’est pas assez élevée pour pouvoir suivre la méthode de
Caquot.
Dans ces conditions, les règles BAEL91 recommandent l’utilisation de la méthode de
Caquot minorée applicable pour les planchers à charge d’exploitation élevée en multipliant la
part des moments sur appui provenant des seules charges permanentes par un coefficient
variant entre 1 et 2/3.
Pour cette étude, on le prendra égal à 2/3.
2. Moments maximaux sur appuis
On note par MG les moments dus aux charges permanentes et par MQ les moments dus aux
charges d’exploitation :
( )
( ) .
5.8
.
5.83
2
''
3'3'
''
3'3'
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×
×+×
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×
×+×
−=
ew
eeww
Q
ew
eeww
G
ll
lQlQ
M
ll
lGlG
M
- Appui A
.0KNmMM AQAG ==
- Appui B
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 3
3 3
2.08 4.8 2.08 2.362
2.92
3 8.5 2.36 4.8
1.32 4.8 1.32 2.36
2.78
8.5 2.36 4.8
BG
BQ
M kNm
M kNm
⎛ ⎞× + ×
⎜ ⎟= − = −
⎜ ⎟× +
⎝ ⎠
⎛ ⎞× + ×
⎜ ⎟= − = −
⎜ ⎟× +
⎝ ⎠
- Appui C :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 3
3 3
2.08 3.69 2.08 2.362
1.71
3 8.5 2.36 3.69
1.32 3.69 1.32 2.36
1.62
8.5 2.36 3.69
CG
CQ
M kNm
M kNm
⎛ ⎞× + ×
⎜ ⎟= − = −
⎜ ⎟× +
⎝ ⎠
⎛ ⎞× + ×
⎜ ⎟= − = −
⎜ ⎟× +
⎝ ⎠
A B C D
4.8m 2.95m 3.69m
il
4.8m 2.36m 3.69m'
il
Figure 21.Travées réelles est travées fictives
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
49
- Appui D
0 .DG DQM M kNm= =
La pondération nous donne les résultats suivants :
• à l’ELU
( ) ( )
( ) ( )
0 .
1.35 1.5 1.35 2.92 1.5 2.78 8.11 .
1.35 1.5 1.35 1.71 1.5 1.62 4.73 .
0 .
UA
UB BG BQ
UC CG CQ
UD
M kNm
M M M kNm
M M M kNm
M KNm
=
= × + × = × − + × − = −
= × + × = × − + × − = −
=
• à l’ELS
0 .
5.7 .
3.33 .
0 .
SA
SB BG BQ
SC CG CQ
SD
M kNm
M M M kNm
M M M kNm
M kNm
=
= + = −
= + = −
=
a. Calcul des moments sur appuis pour les différents cas de charges
• Calcul de M
1
Figure 22.Cas de chargement 1
En B
- à l’ELS :
G=2.08 kN/m et 1=Gγ , d’où :
( )
3 3
1 2 4.8 2.36
2.08 2.82 .
3 8.5 4.8 2.36
BSM kNm
⎛ ⎞+
= − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
- à l’ELU :
G=2.08 KN/m et 35.1=Gγ , d’où : 1.35 2.08 2.81 / .G G kN mγ × = × =
( )
3 3
1 2 4.8 2.36
2.81 3.8 .
3 8.5 4.8 2.36
BUM kNm
⎛ ⎞+
= − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
50
En C :
Figure 23.Cas de chargement 1
- à l’ELS
( )
3 3
1 2 2.36 3.69
2.08 1.71 .
3 8.5 2.36 3.69
CSM kNm
⎛ ⎞+
= − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
- à l’ELU
( )
3 3
1 2 2.36 3.69
2.81 2.3 .
3 8.5 2.36 3.69
CUM kNm
⎛ ⎞+
= − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
• Calcul de M
2
- à l’ELU
1.35 2.08 2.81 / .G G kN mγ × = × =
1.5 1.32 1.98 / .Q Q kN mγ × = × =
En B
Figure 24.Cas de chargement 2
- à l’ELS
( )
3 3
2 4.8 2.36
2.08 2.82 .
3 8.5 4.8 2.36
BGM kNm
⎛ ⎞+
= − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
( )
3
4.8
1.32 2.4 .
8.5 4.8 2.36
BQM kNm
⎛ ⎞
= − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
Donc 2
2.82 2.4 5.22BSM kNm= − − = −
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
51
- à l’ELU
2
1.35 2.82 1.5 2.4 7.4BUM kNm= ×− + ×− = −
En C
Figure 25.Cas de chargement2
- à l’ELS
( )
3 3
2 2.36 3.69
2.08 1.71 .
3 8.5 3.69 2.36
CGM kNm
⎛ ⎞+
= − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
( )
3
2.36
1.32 0.34 .
8.5 3.69 3.68
CQM kNm
⎛ ⎞
= − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
Donc 2
1.71 0.34 2.05 .CSM kN m= − − = −
- à l’ELU
Donc 2
1.35 1.71 1.5 0.34 2.82 .CUM kN m= ×− + ×− = −
• Calcul de M
3
Le schéma général de calcul de M
3
en B et en C (l’appui intermédiaire étant l’appui
B ou C) est le suivant :
Figure 26.Cas de chargement 3
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
52
En B
- à l’ELS :
2.82 . .BGM kN m= −
( )
3
2.36
1.32 0.28 . .
8.5 4.8 2.36
BQM kN m
⎛ ⎞
= − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
3
2.82 0.28 3.1 .BSM kN m= − − = −
- à l’ELU :
3
1.35 2.82 1.5 0.28 4.22 .BUM kN m= ×− + ×− = −
En C :
- à l’ELS :
1.71 .CGM kN m= −
3
1.71 1.29 3 .CSM kN m= − − = −
( )
3
3.69
1.32 1.29 .
8.5 3.69 2.36
CQM kN m
⎛ ⎞
= − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
- à l’ELU :
3
1.35 1.71 1.5 1.29 4.25 .CUM kN m= ×− + ×− = −
• Calcul de M
4
Le schéma général de calcul de M
4
en B et en C est le suivant (l’appui intermédiaire étant
l’appui B ou C).
Figure 27.Cas de chargement 4
Ce cas de charge correspond aux moments maximaux sur appuis. Ce cas a été traité
précédemment.
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
53
On rappelle les résultats obtenus :
• à l’ELU
( ) ( )
( ) ( )
0 .
1.35 1.5 1.35 2.92 1.5 2.78 8.11 .
1.35 1.5 1.35 1.71 1.5 1.62 4.73 .
0 .
UA
UB BG BQ
UC CG CQ
UD
M kN m
M M M kN m
M M M kN m
M kN m
=
= × + × = × − + × − = −
= × + × = × − + × − = −
=
• à l’ELS
0 . .
5.7 .
3.33 .
0 .
SA
SB BG BQ
SC CG CQ
SD
M kN m
M M M kN m
M M M kN m
M kN m
=
= + = −
= + = −
=
Pour récapituler, on dresse le tableau13 suivant.
Tableau 13.Récapitulatif des moments
Appuis
il (m) 4.8 2.95 3.69
'
il (m) 4.8 2.36 3.69
E.L.U. 0 -3.8 -2.3 0
( )1
.M kN m
E.L.S. 0 -2.81 -1.71 0
E.L.U. 0 -7.44 -2.82 0
( )2
.M kN m
E.L.S. 0 -5.22 -2.05 0
E.L.U. 0 -4.22 -4.25 0
( )3
.M kN m
E.L.S. 0 -3.1 -3 0
E.L.U. 0 -8.11 -4.73 0
( )4
.M kN m
E.L.S. 0 -5.7 -3.33 0
A B C D
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
54
3. Moments en travées
a. Moments maximaux en travées
Figure 28.Portées des travées
Le moment maximal en travée i est donné par :
23
10max 41 i
i
i
ii
t
M
l
x
M
l
x
m
l
x
M +⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= −
Avec :
i
iii
l
m
MMl
x ×
×
−
+= −
0
3
1
2
82
: Abscisse du moment maximal.
( )
8
2
0
iQG lQG
m
××+×
=
γγ
: Moment isostatique de la travée associée.
• Travée AB
l = 4.8 m
À l’ELU
2
0
4.79 4.8
13.8 .
8
m kN m
×
= =
.07.28.4
8.138
044.7
2
8.4
mx =×
×
−−
+=
( )max
2.07 2.07 2
1 4 13.8 0 7.44 10.44 .
4.8 4.8 4.8
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × + + × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
À l’ELS
2
0
3.4 4.8
9.8 .
8
m kN m
×
= =
.08.28.4
8.98
022.5
2
8.4
mx =×
×
−−
+=
( )max
2.08 2.08 2.08
1 4 9.8 0 5.22 7.36 .
4.8 4.8 4.8
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × + + × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
55
• Travée BC
l = 2.95 m
À l’ELS
2
0
3.4 2.95
3.7 .
8
m kN m
×
= =
.58.195.2
7.38
1.305.2
2
95.2
mx =×
×
+−
+=
( )max
1.58 1.58 1.58
1 4 3.7 3.1 2.05 1.14 .
2.95 2.95 2.95
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × − + × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
À l’ELU
2
0
4.79 2.95
5.21 .
8
m kN m
×
= =
.57.195.2
21.58
22.482.2
2
95.2
mx =×
×
+−
+=
( )max
1.57 1.57 1.57
1 4 5.21 4.22 2.82 1.71 .
2.95 2.95 2.95
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × − + × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• Travée CD
l = 3.69 m
À l’ELS
2
0
3.4 3.69
5.78 .
8
m kN m
×
= =
.08..269.3
78.58
3
2
69.3
mx =×
×
+=
max
2.08 2.08 2.08
1 4 5.78 3 0 4.38 .
3.69 3.69 3.69
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × − + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
à l’ELU
2
0
4.79 3.69
8.15 .
8
m kN m
×
= =
.08.269.3
15.88
25.4
2
69.3
mx =×
×
+=
max
2.08 2.08 2.08
1 4 8.15 4.25 0 6.16 .
3.69 3.69 3.69
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × − + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
56
b. Moments minimaux en travées
L’intérêt de la détermination des valeurs des moments minimaux en travée est de vérifier que
ces moments sont positifs. Dans le cas contraire, on aura des aciers supérieurs à dimensionner
avec les valeurs négatives des moments trouvés.
32
10min 41 i
i
i
ii
t
M
l
x
M
l
x
m
l
x
M +⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×××⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= −
Avec :
i
iii
l
m
MMl
x ×
×
−
+= −
0
2
1
3
82
: abscisse du moment minimal
( )
8
2
0
iG lG
m
××
=
γ
: moment isostatique de la travée associée
• Travée AB
l = 4.8 m
À l’ELS
2
0
2.08 4.8
6 .
8
m kN m
×
= =
.09.28.4
68
1.3
2
8.4
mx =×
×
−
+=
( )min
2.09 2.09 2.09
1 4 6 0 3.1 4.55 . 0.
4.8 4.8 4.8
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × + + × − = ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
À l’ELU
2
0
2.81 4.8
8.1 .
8
m kN m
×
= =
.09.28.4
1.88
22.4
2
8.4
mx =×
×
−
+=
( )min
2.09 2.09 2.09
1 4 8.1 0 4.22 6.12 . 0.
4.8 4.8 4.8
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × + + × − = ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• Travée BC
l = 2.95 m
À l’ELS
2
0
2.08 2.95
2.26 .
8
m kN m
×
= =
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
57
.82.195.2
26.28
22.51.3
2
95.2
mx =×
×
+−
+=
( )min
1.82 1.82 1.82
1 4 2.26 5.22 3 1.71 . 0.
2.95 2.95 2.95
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × − + × − = − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
À l’ELU
2
0
2.81 2.95
3.05 .
8
m kN m
×
= =
.86.195.2
05.38
44.725.4
2
95.2
mx =×
×
+−
+=
( )min
1.86 1.86 1.86
1 4 3.05 7.44 4.25 2.58 . 0.
2.95 2.95 2.95
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × − + × − = − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• Travée CD
l = 3.69 m
À l’ELS
( ) 2
0
2.08 3.69
3.54 .
8
m kN m
×
= =
.11.269.3
54.38
05.2
2
69.3
mx =×
×
+=
min
2.11 2.11 2.11
1 4 3.54 2.05 0 2.59 . 0.
3.69 3.69 3.69
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × − + × = ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
À l’ELU
( ) 2
0
2.81 3.69
4.78 .
8
m kN m
×
= =
.11.269.3
78.48
82.2
2
69.3
mx =×
×
+=
min
2.11 2.11 2.11
1 4 4.78 2.82 0 3.47 . 0.
3.69 3.69 3.69
t
M kN m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × × × − + × = ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
58
c. Récapitulatif
Pour récapituler, on dresse le tableau14 suivant :
Tableau14.Moments en travées
4. Détermination des efforts tranchants maximaux
Le calcul des efforts tranchants est mené à l’ELU.
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
2
1
4
1max
43
1
max
1
2
5.135.1
2
5.135.1
.
+
+
+
−
−
−
+×
×+×
−=
−
+×
×+×
=
−
+=−=
i
ii
i
d
i
i
ii
i
g
i
i
ii
l
MM
l
QG
T
l
MM
l
QG
T
l
MM
xt
dx
xdM
xT
Figure 29.Efforts tranchants sur appuis
On pose 1.35 1.5 4.79= × + × =P G Q kN
En A
4 2
0
4.79 4.8 3.8
10.7
2 2 4.8
=
× − ×
= − + = − + = −
Ag
AB A B
Ad
AB
T kN
P l M M
T kN
l
Travées
A-B B-C C-D
Longueur(m)
4.8 2.95 3.69
Etat Limite ELU ELS ELU ELS ELU ELS
maxx (m) 2.07 2.08 1.57 1.58 2.08 2.08
t
Mmax
(kN.m) 10.44 7.36 1.71 1.14 6.16 4.38
minx (m) 2.09 2.09 1.86 1.82 2.11 2.11
t
Mmin
(kN.m) 6.12 4.55 -2.58 -1.71 3.47 2.59
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
59
En B
3 4
4 2
4.79 4.8 8.11
13.18 .
2 2 4.8
4.79 2.95 8.11 2.82
8.26 .
2 2 4.4
AB A B
Bg
AB
BC B C
Bd
BC
P l M M
T kN
l
P l M M
T kN
l
× − ×
= + = + =
× − × − +
= − + = − + = −
En C
3 4
4 2
4.79 2.95 4.22 4.73
7.23 .
2 2 2.95
4.79 3.69 4.73
10.12 .
2 2 3.69
BC B C
Cg
BC
CD C D
Cd
CD
P l M M
T kN
l
P l M M
T kN
l
× − × − +
= + = + =
× − × −
= − + = − + = −
En D
3 4
4.79 3.69 4.25
7.68 .
2 2 3.69
0 .
CD C D
Dg
cd
Dd
P l M M
T kN
l
T kN
× − × −
= + = + =
=
Figure 30.Diagramme des efforts tranchants sur appuis
5. Armatures longitudinales
• En travée AB
( )0
0 0.33 0.05 11.33 09 0.21 0.025 0.0306 .
2
u
T bu
h
M b h f d MN m
⎛ ⎞
= × × × − = × × × × − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Or, .1044.10 3
MNmMu
−
=
u
u
T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions
(0.33 m x 0.21 m) :
( )
3
22
10.44 10
0.078 0.276
0.33 0.9 0.21 11.33
' 0.
−
×
= = = ≤ =
× × × × ×
⇒ → =
u
u lu
bu
sc
M
b d f
Pas d aciers comprimés A
µ µ
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
60
[ ] 1.021125.1 =×−−×= µα
.66.1
.66.1
34818.0
1044.10
.18.0)4.01(
2
2
3
cmA
cm
Fz
M
A
mdz
ed
u
=
=
×
=
×
=
=−=
−
α
On prend alors 1HA16 .01.2 2
cmA =⇒
Vérification à l’ELS
( )2
1
3
1
1
15
3
ydA
yb
orI
I
yM
stSRH
SRH
ser
bc
−××+
×
=
×
=σ
1y est la solution de l’équation de second degré suivante :
.0107.5003.0165.0
.01515
2
4
1
2
1
1
2
1
=×−×+×⇒
=××−××+×
−
yy
dAyAy
b
stst
La résolution de cette équation donne : 1y =0.015 m.
Ainsi, obtient-on :
( )
3
24 4 4
SRH
3
bc 4
0.33 0.015
I 15 2.01 10 0.189 0.015 0.91 10 m .
3
10.44 10 0.015
1.72MPa.
0.91 10
− −
−
−
×
= + × × × − = ×
× ×
σ = =
×
.126.0 28 MPafcbc =×=σ
Donc, on a bien bcbc σσ ≤ -OK-
Condition de non-fragilité
28
min 0
28 28
0.23 .
0.06 0.6 1.8 .
t
e
t c
f
A b d
f
or f f MPa
= × × ×
= × + =
okmmA →×≤×=×××= −−
.1001.21054.0189.033.0
400
8.1
23.0 2424
min
• Sur appui B
8.11 . .uM kN m= −
u
u
T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions
(0.07 m x 0.21 m) :
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
61
( )
3
22
8.11 10
0.286
0.07 0.189 11.33
0.
u
bu lu
bu
sc
M
b d f
A
µ µ
−
×
= = = ≥
× × × ×
⇒ ≠
1.25 1 1 2 1.25 (1 (1 2 0.276) 0.41luα µ⎡ ⎤= × − − × = × − − × =⎣ ⎦
2 2
1
21
1
(1 0.4 ) 0.158 .
0.276 0.07 0.189 11.33 0.0078 .
0.0078
1.42 .
0.158 348
= − =
= × × × = × × × =
= = =
× ×
lu bu
ed
z d m
M b d f MN m
M
A cm
z F
α
µ
2
22
2
0.4 0.0032 .
0.0032
0.59 .
( ') 348(0.189 0.032)
≤ =
= = =
× − −
u
ed
M M MN m
M
A cm
F d d
Donc la section d’acier tendue est : A’u = A1 + A2 =2.01cm2
1 16→ HA
et la section d’acier comprimé est égale à Au = 0.59 cm2
1 10→ HA
• En travée BC
Or, 1.71 . .uM MN m=
u
u
T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions
(0.33 m x 0.21 m) :
( )
.0
012.0
33.11189.033.0
1071.1
2
3
2
=⇒
≤=
××
×
=
××
=
−
sc
lu
bu
u
bu
A
fdb
M
µµ
015.0=α
.26.0
.26.0
348188.0
1071.1
.188.0)4.01(
2
2
3
cmA
cm
Fz
M
A
mdz
ed
u
=
=
×
=
×
=
=−=
−
α
On prend 1HA10 .79.0 2
cmA =⇒
Vérification à l’ELS
( )2
1
3
1
1
15
3
ydA
yb
orI
I
yM
stSRH
SRH
ser
bc
−××+
×
=
×
=σ
1y est la solution de l’équation de second degré suivante :
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
62
.01024.21018.1165.0
.01515
2
4
1
32
1
1
2
1
=×−××+×⇒
=××−××+×
−−
yy
dAyAy
b
stst
La résolution de cette équation donne : 1y =0.032m.
Ainsi, on obtient :
( )
.11.1
10328.0
032.01014.1
.10328.0032.0189.01079.015
3
032.033.0
4
3
4424
3
MPa
morI
bc
SRH
=
×
××
=
×=−×××+
×
=
−
−
−−
σ
Donc, on a bien bcbc σσ ≤ OK
Condition de non-fragilité
.1079.0 24
min mA −
×≤
• Sur appui C
.73.4 KNmM u −=
u
u
T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions
(0.07 m x 0.21 m) :
( )
3
22
4.73 10
0.166
0.07 0.189 11.33
0.
u
bu lu
bu
sc
M
b d f
A
µ µ
−
×
= = = ≤
× × × ×
⇒ =
0.228α =
3
2
(1 0.4 ) 0.171 .
4.7310
0.79 .
0.171 348
u
ed
z d m
M
A cm
z F
α
−
= − =
= = =
× ×
On prend alors 1HA10 .79.0 2
cmA =⇒
Ce résultat vérifie la condition bcbc σσ ≤ à l’ELS
• En travée CD
6.16 .uM kN m=
u
u
T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions : (0.33
m x 0.21 m) :
( )
.0
046.0
33.11189.033.0
1016.6
2
3
2
=⇒
≤=
××
×
=
××
=
−
sc
lu
bu
u
bu
A
fdb
M
µµ
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
63
058.0=α
.96.0
348184.0
1016.6
.184.0)4.01(
2
3
cm
Fz
M
A
mdz
ed
u
=
×
=
×
=
=−=
−
α
On prend alors 1HA12 2
1.13 .A cm⇒ =
Condition de non-fragilité
.13.1 2
min mA ≤
Soit 1HA12 .13.1 2
cmA =
Vérification à l’ELS
( )2
1
3
1
1
15
3
ydA
yb
orI
I
yM
stSRH
SRH
ser
bc
−××+
×
=
×
=σ
1y étant la solution de l’équation de second degré suivante :
.0102.30017.0165.0
.01515
2
4
1
2
1
1
2
1
=×−×+×⇒
=××−××+×
−
yy
dAyAy
b
stst
La résolution de cette équation donne : 1y =0.037 m.
Ainsi, obtient-on :
( )
3
24 4 4
SRH
3
bc 4
0.33 0.037
I 15 1.13 10 0.189 0.037 0.447 10 m .
3
3.33 10 0.037
2.75MPa.
0.447 10
− −
−
−
×
= + × × × − = ×
× ×
σ = =
×
Donc, on a bien bcbc σσ ≤ OK
6. Armatures transversales
La contrainte tangente ultime est donnée par :
db
Vu
u
⋅
=τ
0
Or l’effort tranchant maximal est :
max 13.18uV kN=
Donc
MPa
db
Vu
u 21.0
189.033.0
18.13
0
max
max =
×
=
⋅
=τ
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
64
mcm
b
S
A u
t
t
/76.3
5.211
21.033.015.1
5,211
15.1 20
=
××
=
××
≥
τ
6étrier1Soit Φ
Soit At = 0.58 cm2
.
Or l’espacement maximal est défini comme suit:
cmcm
d
St 01.17
0Asi15
40
9,0
min
''
minl
≤
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠⋅
⋅
≤
φ
Soit St = 15 cm
Le pourcentage minimal d’armatures est donné par la formule suivante:
mm
f
b
S
A
ett
t
/1061.54,0 240 −
=≥
Donc soit St = 10 cm
Vérification du béton
Dans l’âme :
.66.25,2.0inf 28
MPaMPa
f
b
c
u =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
×=
γ
τ
( )u umax
0.21MPa OKτ = ≤ τ ⇒
Jonction table-nervure
table umax 1
u
0
table
u u
V b 13.18 0.13
0.61MPa.
0.9 d b h 0.9 0.189 0.33 0.05
OK
× ×
τ = = =
× × × × × ×
τ ≤ τ ⇒
Vérification des aciers de glissement
Appui de rive :
.64.0
235
15.11018.1315.1 2
3max
cm
f
V
A
e
u
g =
××
=
×
≥
−
Il suffit alors de prolonger la barre inférieure.
Bielle d’about
a = 0.2 - 0.02 - 0.025 = 0.155 m ;
.515.0
33.0155.0
1018.1322 3
0
max
MPa
ba
Vubielle
c =
×
×
=
×
×
=
−
σ
bielle c28
c
0.8 f
10.66MPa OK
1.5
×
σ ≤ = ⇒
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
65
7. Plan de ferraillage
Figure 31.Ferraillage de la nervure hyperstatique
7.1 Comparaison entre calcul manuel et calcul ARCHE
Dans cette partie, on va comparer les sollicitations et les sections d’aciers données par le
calcul manuel et par le calcul d’ARCHE.
Tableau 15. Comparaison entre calcul manuel et calcul ARCHE
Appuis A B C D
Mu 0 -8.11 -4.73 0Calcul
manuel
Mu 0 -8 -5 0Calcul
ARCHE
0 0.59 0 0Calcul
manuel
At
Ac 0 2.01 0.79 0
At 0 2.02 0 0Calcul
ARCHE Ac 0 5.62 1.54 0
• Interprétations
On peut conclure que les sollicitations et parsuite les sections d’armatures données par
ARCHE sont supérieures aux sollicitations calculées manuellement.
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
66
7.2 Plan de ferraillage
• Travée A-B
Figure 32.Ferraillage T1
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
67
• Travée B-C
Figure 33.FerraillageT2
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
68
• Travée C-D
Figure 34.FerraillageT3
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
69
Chapitre 6 : Etude des poteaux
1. Introduction [5]
Un poteau est une poutre droite verticale soumise uniquement à la compression centrée.
L’ensemble des forces extérieurs agissant à gauche d’une section se réduit à un effort normal
unique N de compression perpendiculaire à la section et appliquée au centre de gravité G.
Le béton résiste très bien à la compression ; les armatures sont donc inutiles, en effet, les
charges appliquées ne sont jamais parfaitement centrées (dissymétrie de chargement,
imperfections d’exécution, solidarité avec les poutres). Pour cette raison, on introduit des
armatures destinées à résister aux moments ainsi créés. Ces moments sont difficiles à évaluer.
Les armatures sont donc calculées forfaitairement dans le cas de bâtiments courants.
Le poteau ainsi constitué de béton et d’armatures longitudinales seules a une résistance
médiocre au flambement des armatures ; on introduit donc des armatures transversales pour y
remédier.
2. Hypothèses
On considère conventionnellement comme soumis à une compression centrée pour faire
la distinction avec la flexion composée tout poteau sollicité par :
• Un effort normal de compression N.
• Des moments n’intervenant pas dans les calculs de stabilité et de résistance des
éléments qui lui sont liés lorsque les excentricités sont faibles (point d’application
de l’effort normal à l’intérieur d’une zone réduite du noyau central par une
homothétie de rapport 1/2. Dans un poteau en compression centrée le centre de
gravité du béton et celui des armatures sont confondus.
3. Exemple de calcul d’un poteau rectangulaire
3.1 Présentation
Nous détaillerons dans ce qui suit une étude complète du poteau P6 de sous-sol. Ce poteau est
soumis à une compression simple. [4]
Le poteau est soumis à :
• Un effort de compression permanent 1415.72GN kN=
• Un effort de compression d’exploitation 573QN kN=
On adoptera l’hypothèse que plus de la moitié des charges est appliquées avant 90 jours. On
note que la durée d’application des charges est supérieure à 24 heures.
3.2 Sollicitation à l’état limite ultime
MNkNNNN QGu 7777.272.27775735.172.141535.1.5.1.35.1 ==×+×=+=
3.3 Coffrage
a. Dimension imposée
L’épaisseur de la poutre du plancher est mb 4.0=
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
70
b. Dimensionnement
• La longueur de flambement :
Poteau de section rectangulaire :
Figure 35.Caractéristiques de la section
( )
3
poutre 4 3
poutre
I 0.3 0.4
K 4.14.10 m
l 12 3.86
−×
= = =
×
l : étant la plus grande travée voisine au poteau
La raideur du poteau est égale à :
( ) 34
3
10.66.10
312
4.06.0
m
l
I
K
poteau
poteau
poteau
−
=
×
×
==
poutre poteauK K<
mllf 3.30 ==
• L’élancement
Section rectangulaire : 57.28
4.0
123.312
12
=
×
==⇒=
a
la
i
f
λ
• Le coefficient β
13.1
35
57.28
2.01
35
2.0150 2
2
2
2
=+=+=⇒≤
λ
βλ
• La section réelle calculée
100
.85.0
9.0
..
edbu
u
r
ff
NK
B
+θ
β
≥
jours.90jàappliquéeestchargesdesmoitiéladepluscar10.1 <=k
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
71
2
22.0
100
348
.85.0
9.0
33.11
1
7777.213.11.1
mBr =
+
××
≥
a = 40cm et b = 60 cm. rB = 0.2204 m2
> 0.22 m2
OK
3. 4 Armatures longitudinales
a. Effort normal ultime
Charges sur plancher : 2777.7 kN
Poids propre du poteau : 26.73 kN
Nu = 2804.43kN = 2.804MN.
b. La section résistante
• L’effort équilibré par le béton
( )( ) MN
fB
N bur
b 77.2
9.0
33.11.02.06.0.02.04.0
.1
9.0
.
. =
−−
== θ
• L’effort équilibré par les aciers
MNNNkN bus 71.077.2804.213.110.1.. =−××=−= β
• La section des aciers longitudinaux
24
cm2410
34885.0
71.0
.85.0
=
×
==
ed
s
f
N
A
c. Les sections extrêmes
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
100
B
0.2
perimetrede/4
max
2
min
mcm
A
( )
( )
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
×
=+×
= 2
2
min
cm8.4
100
4006
0.2
84.06.0.24
max
cm
A
100
5max
B
A =
( ) 2
max 120
100
4060
5 cmA =
×
×=
d. La section retenue
16HA 14 :
2
cm64.2454.116 =×
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
72
3. 5 Armatures transversales
a. Choix des armatures transversales
On prend 16 HA 16 et 2 cadres et 2 étriers RL de diamètre 6 mm comme suit :
Figure 36.Ferraillage poteau
mm
mm
mm
t
t
lt
6
12
666.414
3
1
3
1
=φ⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
≤φ
==φ≈φ
Suivant (b = 60) et avec un enrobage de 2.5 cm et 144φ , l’espacement des armatures est :
⇒<=
×−×−−
= cmcmc 4066.15
3
)6.04()4.14(560
Ok
Suivant (a= 40) et avec un enrobage de 2.5 cm et 144φ on aura
⇒<=
×−×−−
= cmcmc 409
3
)4.14()6.04(540
' Ok
b. Espacement en zone courante
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥Φ
+≤
minlmin AApour15
cm10a
cm40
MinSt cmMinSt 21
21cm15.1.4
cm1040
cm40
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+≤
2 Cadre +2 épingle φ6 St=20 cm
c. Zone de recouvrement
La longueur de recouvrement pour les Barres HA Fe E 400 est donnée par la formule
suivante : φ40=sl .
cmls 564.14014 =×=⇒φ
Cas courants sr ll .6.0=⇒ cmlr 356.33566.014 ==×=⇒φ
Recouvrement des φ 14 :
3 (2cadre + 2 épingle) φ 6 :
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
73
cmSt 6.16
2
6.0335
=
×−
=
Soit cmSt 6.16=
Figure 37.Détail de ferraillage d’un poteau type P6
4. Exemple détaillé de calcul d’un poteau circulaire P8
On se propose d’étudier un poteau circulaire de type P8 de sous-sol.
On a pour un poteau circulaire:
a
la
i
a
B
a
I
f.4
4
4
.
64
.
2
4
=⇒=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
=
λ
π
π
Ce poteau est soumis à une compression simple estimée à :
• 1200GN kN= Un effort de compression permanent.
• 450QN kN= Un effort de compression d’exploitation.
4.1 Sollicitation à l’état limite ultime
MNkNNNN QGu 295.222954505.1120035.1.5.1.35.1 ==×+×=+=
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
74
4.2 Coffrage
a. Dimension imposée
L’épaisseur de la poutre du plancher est mb 4.0=
b. Dimensionnement
• La longueur de flambement
( )
3
poutre 4 3
poutre
I 0.3 0.4
K 4.14.10 m
l 12 3.86
−×
= = =
×
En estimant la longueur du poteau à 3 m, la raideur du poteau est égale à :
( ) 34
3
10.45.20
364
5.0
m
l
I
K
poteau
poteau
poteau
−
=
×
×
==
π
poteaupoutre KK <
mllf 3.30 ==
• L’élancement
Section circulaire : 4.26
5.0
3.34.4
4
=
×
==⇒=
a
la
i
f
λ
• Le coefficient β
11.1
35
4.26
2.01
35
2.0150 2
2
2
2
=+=+=⇒≤
λ
βλ
• La section réelle calculée
jours.90jàappliquéeestchargesdesmoitiéladepluscar10.1 <=k
2
168.0
100
348
.85.0
9.0
33.11
1
295.207.11.1
mBr =
+
××
≥
. Or pour un cercle de diamètre a =0.5 m : 2
22
18.0
4
)48.0(
4
)2(
m
a
Br ==
−
=
ππ
OK
4.3 Armatures longitudinales
a. Effort normal ultime
Charges sur plancher : 2295 kN
Poids propre du poteau : 1.35 x 16.2 kN
Nu = 2316kN = 2.316MN
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
75
b. La section résistante
• L’effort équilibré par le béton
MN
fB
N bur
b 28.2
9.04
33.1148.0
.1
9.0
.
.
2
=
×
××
==
π
θ
• L’effort équilibré par les aciers
MNNNkN bus 54.028.2316.211.110.1.. =−××=−= β
• La section des aciers longitudinaux
24
cm25.1810
34885.0
54.0
.85.0
=
×
==
ed
s
f
N
A
c. Les sections extrêmes
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
100
B
0.2
perimetrede/4
max
2
min
mcm
A
( )
( )
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
×
×
=×××
= 2
2
2
min
cm92.3
1004
50
0.2
28.625.02.4
max π
π cm
A
100
5max
B
A =
( ) 2
2
max 98
1004
50
5 cmA =
×
×
×=
π
d. La section retenue
12A 14 : 2
cm48.1854.112 =×
4.4 Armatures transversales
a. Choix des armatures transversales
On adopte le ferraillage (12HA14+1cerce+4épinglesD6) représenté sur la
figure38.
Figure 38.Détail de ferraillage du poteau
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
76
mm
mm
mm
t
t
lt
6
12
666.414
3
1
3
1
=φ⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
≤φ
==φ≈φ
b. Espacement en zone courante
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥Φ
+≤
minlmin AApour15
cm10a
cm40
MinSt
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+≤
21cm15.1.4
06cm1050
cm40
cmMinSt
St=18cm
5. Ferraillage
a. Poteau rectangulaire
Figure 39.Détail de ferraillage du poteau
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
77
b. Poteau circulaire
Figure 40.Détail de ferraillage du poteau circulaire
PFE ENIT 2008
CHAIBI&JENZRI
78
Chapitre 7 : Etude des escaliers
1. Terminologie
Un escalier se compose d’un certain nombre de marches. On définira dans ce qui suit la
terminologie spécifique aux escaliers :
- L’emmarchement : largeur des marches perpendiculairement à la pente
- g : Le giron (marche) : largeur d’une marche, variant de 0.26 à 0.36m
- h : la hauteur d’une marche (contremarche), variant de 0.13 à 0.17m
- Le mur d’échiffre : mur qui limite l’escalier
- La paillasse : plafond qui monte sous les marches
- Pente :
g
h
=
- α : inclinaison de la volée
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
g
h
arctgα
- H : hauteur de la volée, égale à la hauteur libre sous plafond + épaisseur du plancher
fini.
- L : longueur projetée de la volée.
- e : épaisseur de dalle (paillasse ou palier).
- La cage : volume circonscrit à l’escalier.
- La volée : ensemble de marches (3 au minimum) entre deux parties horizontales.
- Le palier : partie horizontale d’accès ou d’arrivée d’une volée.
- Profondeur de marche = giron +débord de nez de marche.
a
paillasse
h(contre-marche)
g(marche)
palier
nez de la marche
e
e L
H
Figure 41.Coupe d’une volée escalier
45865632 pfe-enit1
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  • 1. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 1 Sommaire  INTRODUCTION................................................................................................................................... 7  Chapitre 1 : Présentation du projet, conception et caractéristiques des matériaux....................... 8  I.  Présentation du projet ................................................................................................................... 8  II.  Conception de la structure............................................................................................................. 9  III.  Problèmes rencontrés et solutions .......................................................................................... 11  1.  Sous sol...................................................................................................................................... 11  2.  RDC et Mezzanine..................................................................................................................... 11  3.  Etages courants......................................................................................................................... 12  IV.  Les caractéristiques des matériaux et les hypothèses de calcul............................................. 12  1.  Les caractéristiques fondamentales du béton......................................................................... 12  2.  Les caractéristiques fondamentales de l’acier......................................................................... 13  3.  Les hypothèses de calcul .......................................................................................................... 14  V.  Les Planchers à corps creux.......................................................................................................... 15  1.  Présentation............................................................................................................................. 15  2. Evaluation des charges........................................................................................................... 15  Chapitre 2 :    Modélisation par ARCHE Ossature ............................................................................. 17  1.  Présentation du logiciel utilisé................................................................................................. 17  2.  Modélisation............................................................................................................................. 17  3.  Calcul de la descente de charges.............................................................................................. 19  4.  Principe de vérification des calculs .......................................................................................... 19  5.  Module poutre.......................................................................................................................... 19  6.  Module poteau ......................................................................................................................... 19  7.  Module semelle ........................................................................................................................ 20  8.  Module Longrine....................................................................................................................... 20  Chapitre 3 :    Etude du contreventement ......................................................................................... 21  1.  Introduction .............................................................................................................................. 21  2.  Action du vent........................................................................................................................... 21  3.  Méthode du centre de torsion ................................................................................................. 26  4.  Distribution des sollicitations d’ensemble par la méthode du centre de torsion.................. 30  5.  Conclusion................................................................................................................................. 34 
  • 2. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 2 Chapitre 4 : Etude d’une dalle pleine................................................................................................. 35  I.  Etude d’une dalle pleine............................................................................................................... 35  II.  Méthode de  calcul ....................................................................................................................... 35  1.  Dimensionnement .................................................................................................................... 35  2.  Sollicitations.............................................................................................................................. 36  3.  Ferraillages................................................................................................................................ 37  4.  Effort tranchant ........................................................................................................................ 38  III.  Calcul d’un panneau de dalle ................................................................................................... 39  1.  Dimensionnement de la dalle .................................................................................................. 39  2.  Sollicitations.............................................................................................................................. 40  3.  Armatures longitudinales......................................................................................................... 41  4.  Effort tranchant ........................................................................................................................ 44  5.  Arrêt des barres ........................................................................................................................ 44  6.  Plans de ferraillage ................................................................................................................... 45  Chapitre 5 : Etude des poutres et des nervures................................................................................ 47  1.  Méthode de calcul .................................................................................................................... 47  2.  Moments maximaux sur appuis............................................................................................... 48  3.  Moments en travées................................................................................................................. 54  4.  Détermination des efforts tranchants maximaux ................................................................... 58  5.  Armatures longitudinales......................................................................................................... 59  6.  Armatures transversales .......................................................................................................... 63  7.  Plan de ferraillage..................................................................................................................... 65  Chapitre 6 : Etude des poteaux .......................................................................................................... 69  1.  Introduction ............................................................................................................................ 69  2.  Hypothèses ............................................................................................................................... 69  3.  Exemple de calcul d’un poteau rectangulaire....................................................................... 69  4.  Exemple détaillé de calcul d’un poteau circulaire P8 .......................................................... 73  5.  Ferraillage................................................................................................................................ 76  Chapitre 7 : Etude des escaliers.......................................................................................................... 78  1.  Terminologie............................................................................................................................ 78  2.  Vue en plan de l’escalier ......................................................................................................... 79  3.  Prédimensionnement de l’épaisseur de la dalle .................................................................... 80  4.  Détermination des charges ..................................................................................................... 80 
  • 3. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 3 5.  Calcul des sollicitations........................................................................................................... 82  6.  Vérification et calcul des aciers.............................................................................................. 82  7.  Ferraillage................................................................................................................................ 83  Chapitre 8 : Etude des fondations...................................................................................................... 84  1.  Généralités ............................................................................................................................... 84  2.  Désignations.............................................................................................................................. 85  3.  Exemple de calcul ..................................................................................................................... 85  4.  Semelle rigide sous mur soumise à une charge verticale centrée.......................................... 88  5.  Les longrines ............................................................................................................................. 91  Chapitre 9 : Etude des acrotères ........................................................................................................ 94  1.  Introduction ............................................................................................................................ 94  2.  Acrotère sur mur..................................................................................................................... 94  3.  Acrotère sur joint .................................................................................................................... 94  4.  Ferraillage................................................................................................................................ 95  Chapitre 10 : Etude d’une poutre courbe.......................................................................................... 96  1.  Présentation et modèle de calcul ............................................................................................ 96  2.  Chargement de la poutre ........................................................................................................ 97  3.  Méthode de calcul des poutres continues circulaires uniformément chargées [6]............ 97  4.  Calcul du moment fléchissant en travée................................................................................ 98  5.  Calcul de l’effort tranchant en travée ................................................................................... 98  6.  Calcul du couple de torsion en travée.................................................................................... 98  7.  Tableau de résultats ................................................................................................................ 99  8.  Travée P0-P1 ......................................................................................................................... 100  9.  Travée P1-P2 ......................................................................................................................... 104  Chapitre 11 :    Etude d’un mur voile ............................................................................................... 109  1.  Présentation et modèle de calcul........................................................................................... 109  2.  Les sollicitations...................................................................................................................... 111  3.  Le ferraillage ........................................................................................................................... 112  Chapitre 12 : Estimation du coût du lot structure .......................................................................... 117  CONCLUSION ....................................................................................................................................... 118  Bibliographie ....................................................................................................................................... 119 
  • 4. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 4 Liste des figures Figure 1. Façade latérale de l’ouvrage .................................................................................................................... 9 Figure 2. Exemple d’utilisation d’une poutre plate............................................................................................... 11 Figure 3. Modélisation 3D du bloc A.................................................................................................................... 18 Figure 4.Modélisation 3D du bloc B..................................................................................................................... 18 Figure 5.Modélisation de l’immeuble................................................................................................................... 23 Figure 6.Diagrammes de Tn pour les vents 1 et 2................................................................................................. 25 Figure 7.Eléments de définition d’un voile........................................................................................................... 27 Figure 8.Résultantes P et Q................................................................................................................................... 28 Figure 9.Angle δ.................................................................................................................................................... 28 Figure 10. Résultante P ......................................................................................................................................... 29 Figure 11.Distances rxi et ryi .................................................................................................................................. 29 Figure 12.Caractéristiques géométriques des voiles de contreventement ............................................................. 30 Figure 13.Caractéristiques de la dalle ................................................................................................................... 35 Figure 14.Moments à prendre en compte.............................................................................................................. 36 Figure 15.Moments pour une dalle continue......................................................................................................... 37 Figure 16.Arrêt des barres..................................................................................................................................... 39 Figure 17.Panneau de dalle ................................................................................................................................... 39 Figure 18.Aciers de la nappe inférieure. ............................................................................................................... 45 Figure 19.Aciers de la nappe supérieure. .............................................................................................................. 46 Figure 20.Caractéristiques de la nervure............................................................................................................... 47 Figure 22.Cas de chargement 1............................................................................................................................. 49 Figure 23.Cas de chargement 1............................................................................................................................. 50 Figure 24.Cas de chargement 2............................................................................................................................. 50 Figure 25.Cas de chargement2.............................................................................................................................. 51 Figure 26.Cas de chargement 3............................................................................................................................. 51 Figure 27.Cas de chargement 4............................................................................................................................. 52 Figure 28.Portées des travées................................................................................................................................ 54 Figure 29.Efforts tranchants sur appuis................................................................................................................. 58 Figure 30.Diagramme des efforts tranchants sur appuis ....................................................................................... 59 Figure 31.Ferraillage de la nervure hyperstatique................................................................................................. 65 Figure 33.FerraillageT2 ........................................................................................................................................ 67 Figure 34.FerraillageT3 ........................................................................................................................................ 68 Figure 35.Caractéristiques de la section................................................................................................................ 70 Figure 36.Ferraillage poteau ................................................................................................................................. 72 Figure 37.Détail de ferraillage d’un poteau type P6.............................................................................................. 73 Figure 38.Détail de ferraillage du poteau.............................................................................................................. 75 Figure 39.Détail de ferraillage du poteau.............................................................................................................. 76 Figure 40.Détail de ferraillage du poteau circulaire.............................................................................................. 77 Figure 41.Coupe d’une volée escalier................................................................................................................... 78 Figure 42.Vue en plan de l’escalier....................................................................................................................... 79 Figure 43.Coupe des volées d’escalier.................................................................................................................. 80 Figure 44.Charge sur escalier................................................................................................................................ 81 Figure 45.Détail de ferraillage de l’escalier.......................................................................................................... 83 Figure 46.Ferraillage de la semelle ....................................................................................................................... 88 Figure 48.Ferraillage de la semelle sous mur........................................................................................................ 90 Figure 49.Ferraillage de la semelle sous mur voile............................................................................................... 90 Figure 50.Caractéristiques de la longrine.............................................................................................................. 91 Figure 51.Ferraillage manuel ................................................................................................................................ 92 Figure 52.Ferraillage ARCHE .............................................................................................................................. 93 Figure 53.Détail acrotère sur mur ......................................................................................................................... 95 Figure 54.Détail acrotère sur joint......................................................................................................................... 95 Figure 55.Caractéristiques de la poutre................................................................................................................. 96 Figure 56.Modélisation de la poutre. .................................................................................................................... 97 Figure 57.Section équivalente............................................................................................................................. 100 Figure 58.Ferraillage T1 ..................................................................................................................................... 104 Figure 59.Ferraillage T2 ..................................................................................................................................... 108
  • 5. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 5 Figure 60.Dimensions du voile ........................................................................................................................... 109 Figure 61.Modèle de calcul................................................................................................................................. 110 Figure 62.Moment fléchissant à l’ELS, Ms (kN.m/ml).................................................................................... 111 Figure 63.Effort tranchant à l’ELS, Vs (KN/ml)............................................................................................... 111 Figure 64.Effort normal à l’ELS, Ns (kN) ...................................................................................................... 112 Figure 65.Ferraillage d’un mètre linéaire de voile.............................................................................................. 116
  • 6. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 6 Liste des tableaux Tableau 1.Charges permanentes pour planchers................................................................................................... 16  Tableau 2.Charges permanentes des murs ............................................................................................................ 16  Tableau 3.Détermination des coefficients pour le vent 1...................................................................................... 23  Tableau 4.Détermination de Tn pour le vent1....................................................................................................... 24  Tableau 5.Détermination des coefficients pour le vent 2...................................................................................... 24  Tableau 6.Détermination de Tn pour le vent2....................................................................................................... 25  Tableau 7.Détermination des moments................................................................................................................. 26  Tableau 8.caractéristiques du voile....................................................................................................................... 30  Tableau 9 .Détails de calcul .................................................................................................................................. 31  Tableau 10.Détermination du moment.................................................................................................................. 32  Tableau 11.Efforts dus à la translation.................................................................................................................. 33  Tableau 12.Efforts dans les voiles......................................................................................................................... 34  Tableau 13.Récapitulatif des moments ................................................................................................................. 53  Tableau14.Moments en travées............................................................................................................................. 58  Tableau 15. Comparaison entre calcul manuel et calcul ARCHE......................................................................... 65  Tableau 16.Récapitulatif des résultats................................................................................................................... 99  Tableau 17.Coût unitaire et coût global .............................................................................................................. 117 
  • 7. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 7 INTRODUCTION Le présent travail s’inscrit dans le cadre du projet de fin d’études. Il est consacré à la conception et au calcul des structures et des fondations en béton armé d’un immeuble (sous sol+RDC + 5étages). Un projet de conception et de calcul des structures en béton armé est indispensable afin d’acquérir une méthode de travail et de confronter les difficultés qui peuvent rencontrer l’ingénieur lors de l’étude d’un projet réel, aussi bien au niveau de la conception qu’au niveau du calcul. Le travail demandé consiste à étudier tous les éléments du bâtiment .En effet, on a commencé par proposer une conception de l’ossature en béton armé (plans de coffrage) puis étudier le contreventement du bâtiment et enfin calculer tous les éléments de l’ossature. D’autre part nous avons tenu à respecter au maximum les aspects de sécurité et les aspects économiques. Pour le calcul du ferraillage des éléments de la structure, nous avons utilisé le logiciel « ARCHE 14.1 » .Nous avons tenu à vérifier le calcul des ferraillages effectués manuellement pour quelques exemples types. Les parties principales du projet sont présentées ci-dessous: • Le premier chapitre vise à donner une idée architecturale et structurale, Les caractéristiques des matériaux et l’évaluation des charges. • Les autres chapitres sont consacrés au calcul des éléments de la structure.
  • 8. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 8 Chapitre 1 : Présentation du projet, conception et caractéristiques des matériaux I. Présentation du projet Le projet concerne l’étude de la structure en béton armé d’un immeuble situé à Sousse ; zone touristique. L’élévation de ce bâtiment est de 23.2 mètres et son emprise est de forme rectangulaire. Il est composé de : • Sous sol avec une hauteur sous plafond (HSP) de 3m. • RDC avec une HSP de 3.2 m. • Mezzanine avec une HSP de 3.2 m. • Cinq étages courants avec une HSP de 2.8 m. L’immeuble comporte un joint de dilatation de deux centimètres d’épaisseur, ce joint débute à partir du RDC, jusqu’au Mezzanine. D’autre part, il comporte deux terrasses couvertes au niveau du RDC et de la Mezzanine. Il comporte aussi un ascenseur qui relit le sous-sol aux autres étages. L’espace couvert du projet est marqué par des usages différents à dominance bureautique (Voir plans d’architecture). L’immeuble se compose de deux blocs : bloc A et bloc B séparés par un joint de dilatation. On présente ci-dessous la fonctionnalité des différents étages : • Sous sol : composé d’un parking de 18 places, un vestiaire, un bureau et une salle de préparation. • RDC : comprend une cafeteria, un café maure, un dépôt, une pâtisserie glacerie et un poste transformateur. • Mezzanine : comporte une cafeteria, un dépôt, un café internet et un café. • 5 étages identiques : composés par des bureaux et des salles d’attentes
  • 9. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 9 La figure ci-dessous, présente la façade latérale de l’immeuble : Figure 1. Façade latérale de l’ouvrage II. Conception de la structure La conception consiste à proposer une solution structurale adéquate afin de concrétiser les contraintes architecturales ; elle détermine la nature et la disposition des éléments porteurs verticaux et horizontaux et des fondations. La conception met en épreuve le savoir-faire de l’ingénieur dans la mesure où elle varie d’un édifice à l’autre et ne présente pas des règles absolues à suivre. L’expérience de l’ingénieur et sa réflexion y sont déterminants. Une bonne conception doit tenir compte, en outre des choix faits par l’architecte, de l’économie, de la faisabilité et de la fonctionnalité du projet considéré. Pour cela, l’élaboration de plusieurs variantes avec les études préliminaires correspondantes est indispensable afin d’en adopter, lors d’une étude comparative, la plus adéquate. Pour les grands projets l’enjeu économique est énorme. Un choix réfléchi de la conception pourrait alors présenter des gains importants.
  • 10. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 10 Les éléments porteurs à axes horizontaux sont les poutres et les nervures. Ceux à axes verticaux étant les poteaux et les murs porteurs. On a essayé de prendre en considération les conditions de conception suivantes : - Éviter d’avoir des poutres traversant les pièces avec des retombées apparentes ce qui serait esthétiquement inadmissible. Pour cela, on a essayé dans la mesure du possible de choisir la disposition des poutres de telle façon que les éventuelles retombées soient cachées dans les cloisons. - Éviter d’adopter un sens unique pour toutes les nervures (à déconseiller en prévention d’éventuelles actions sismiques). - Minimiser les portées des poutres et des nervures. - Minimiser le nombre des poutres et des poteaux. - Se conformer aux choix de l’architecte et n’y porter pas de modifications. Etant donné la bonne capacité portante du sol (la contrainte admissible est égale à 0.2 Mpa), on a prévu une fondation superficielle sur des semelles isolées. Les dalles pleines sont utilisées pour réaliser des planchers ayant des formes compliquées, des planchers qui supportent des charges relativement importantes ou concentrées. Dans notre projet, on n’a eu recours aux dalles pleines que quand il est difficile de choisir la solution plancher traditionnel à corps creux. Les cages d’ascenseurs ont été dimensionnées pour résister à l’action du vent. L’étude du contreventement a pris en compte deux directions du vent. Le dimensionnement des refends a été alors réalisé pour les cas les plus défavorables. Les joints de la structure représentent une solution de continuité voulue c’est à dire une rupture rectiligne ménagée dans un ouvrage pour absorber les différences de mouvement ou de comportement. Ils sont, en fait, destinés à découper verticalement une construction de grandes dimensions en plusieurs parties indépendantes en vue de parer d’une part aux retraits et dilatations thermiques d’autre part aux tassements différentiels des infrastructures.
  • 11. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 11 III. Problèmes rencontrés et solutions 1.Sous sol Pour le sous-sol, on doit respecter le plan d’architecture lors de l’emplacement des poteaux et de conserver le nombre de places des voitures (parking 18 places). On a évité de placer des poteaux qui nuisent au déplacement ou à l’emplacement des voitures. Cette obligation mène à l’emploi des poutres et des nervures de grandes portées. Pour s’en sortir, on a utilisé des planchers à corps creux (19+6) et (25+5). 2.RDC et Mezzanine On a des formes particulières des planchers. Il est difficile d’utiliser des planchers à corps creux. En outre, on a des zones où il faut éviter les retombées des poutres (par exemple plancher du café maure). Dans ces niveaux, on évite d’ajouter des poteaux qui n’existent pas au sous-sol pour ne pas obtenir des poteaux implantés sur des poutres. On a utilisé des dalles pleines, des poutres plates et des planchers à corps creux (19+6) et (25+5). On peut citer l’exemple de la poutre plate A26 du plancher mezzanine représentée par la figure 2. Nous avons utilisé ce type de poutres afin de réduire la retombée qui nuit à l’esthétique du plafond du café maure. Figure 2. Exemple d’utilisation d’une poutre plate
  • 12. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 12 3.Etages courants Pour ne pas avoir des poteaux implantés sur des poutres, il faut éviter d’ajouter des poteaux à part ceux provenant du RDC et de la mezzanine. En plus, il existe des zones où il faut éviter les retombées des poutres. Les étages courants comportent des planchers avancés par rapport aux ceux du RDC et de la mezzanine. Pour remédier à ces problèmes, on a utilisé des poutres plates, des planchers à corps creux (19+6) et (25+5) et des portes- à- faux. IV. Les caractéristiques des matériaux et les hypothèses de calcul La référence de cette section est le règlement BAEL91 [1]. En effet nous avons tenu à suivre les recommandations apportées par ce règlement que ce soit au niveau du dimensionnement ou au moment du calcul de ferraillage des différents éléments de la construction en béton armé. 1.Les caractéristiques fondamentales du béton 1.1 Béton pour éléments armés Pour les éléments armés, le béton est le plus souvent dosé à 3 /350 mkg avec comme liant le ciment Portland (C.P.A) à dominance de clinker .La résistance caractéristique à la compression à 28 jours est de 20 Mpa. On retiendra un coefficient partiel de sécurité pour le béton égal à 5.1=γb . Ainsi peut-on définir les paramètres suivants : - La résistance caractéristique à la traction du béton à 28 jours : 28 280,6 0,06 1.8 MPat cf f= + × = - Le module de déformation longitudinale instantanée du béton à 28 jours valable pour des charges dont la durée d’application est inférieure à 24h: 33 28 2811000 11000 20 29859 MPai cE f= × = × = - Le module de déformation longitudinale différé du béton à 28 jours pour des charges dont la durée d’application est supérieure à 24h: MPa100432037003700 33 2828 =×=×= cfEν - Le coefficient de Poisson Pour le calcul des sollicitations à l’état limite ultime ELU et à l’état limite de service ELS, on prend 0=ν .Pour le calcul des déformations à l’état limite de service ELS, on prend 2.0=ν - Le retrait du béton (On supposera l’hypothèse de l’implantation de la construction dans un climat chaud et sec)
  • 13. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 13 4 010.4 − = ∆ l l - Le coefficient prenant en compte la durée d’application des charges heures24si1 >=θ t - Le coefficient d’équivalence 15== b s E E n 1.2 Béton pour les couches d’assise de l’infrastructure 1.2.1 Le béton de propreté Pour ce genre de béton destiné à séparer la semelle du sol d’assise, le béton est le plus souvent dosé à 3 200 /kg m avec comme liant le ciment Portland (C.P.A). 1.2.2 Le gros béton - Le ciment est dosé à : 3 /250 mkg - La capacité portante du gros béton est: MPagb 6,0=σ Avec ρgb=2300 daN/m3 . 2.Les caractéristiques fondamentales de l’acier 2.1 Aciers destinés aux armatures longitudinales Pour ce type, on prévoira des aciers haute adhérence à nuance FeE400 - La limite d’élasticité garantie : MPafe 400= - Le module d’élasticité : MPaEs 5 10.2= - Le coefficient partiel de sécurité des aciers: 15.1=sγ (On ne tiendra pas compte des combinaisons accidentelles). - Le coefficient de fissuration : 6.1=η - Le coefficient de scellement : 1.5sψ =
  • 14. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 14 2.2 Aciers destinés aux armatures transversales Pour ce type, on prévoira des ronds lisses à nuance FeE235 - La limite d’élasticité garantie : 235etf MPa= - Le coefficient partiel de sécurité des aciers: 1.15=sγ (On ne tiendra pas compte des combinaisons accidentelles). - Le coefficient de fissuration : 0.1=η - Le coefficient de scellement : 1.0sψ = 3.Les hypothèses de calcul Les hypothèses de calcul sont les suivantes : • Pour le dimensionnement et le ferraillage des éléments de la superstructure : - L’enrobage des armatures sera égal à 2.5cm. - La fissuration sera considérée comme peu préjudiciable. • Pour le dimensionnement et le ferraillage des infrastructures : - L’enrobage des armatures sera égal à 5cm. - La fissuration sera considérée comme peu préjudiciable. - La contrainte ultime du béton armé en compression : 280.85 0.85 20 11.33 1.50 c bu b f f MPa γ × × = = = - La contrainte ultime des aciers longitudinaux en traction : 400 348 1.15 e ed s f f MPa γ = = = - La contrainte limite du béton en compression : 280.6 0.6 20 12bc cf MPaσ = × = × = - Les coefficients de pondération des charges : À l’ELU 35.1=γG et 50.1=γQ À l’ELS 00.1=γG et 00.1=γQ
  • 15. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 15 V. Les Planchers à corps creux Les planchers d’une construction doivent remplir différentes fonctions : - Relatives à la stabilité de l’ouvrage tel que la reprise et la transmission des charges aux porteurs verticaux. - Relatives à la fonction entre deux nivaux selon le cas: isolation thermique ou isolation acoustique (bruits aériens et bruits d’impact) Pour notre projet nous avons utilisé des planchers en corps creux. En effet, il se distingue par son prix abordable, par sa facilité d’exécution et sa bonne isolation thermique et acoustique. Il existe 3 types de planchers à corps creux : 16+5 ; 19+6 et 25+5 et le choix entre ces types est régi par l’importance des portées à envisager. 1. Présentation Les planchers à corps creux sont le plus souvent constitués de : - Une chape en béton coulée sur place qui est en fait une dalle de transmission et de répartition des charges aux nervures - Nervures coulées sur place : représentent les éléments porteurs du plancher et reposent de part et d’autre sur les poutres. Les dimensions (hauteur et largeur) et l’espacement entre les nervures dépendent uniquement des dimensions du corps creux utilisé - Des corps creux : utilisés comme un coffrage perdu. 2. Evaluation des charges La composition du plancher détermine la nature des charges permanentes appliquées au plancher. En effet, elles sont fonction des masses volumiques ainsi que des épaisseurs de chaque constituant. Quand aux charges d’exploitation, elles sont celles qui résultent de l’usage des locaux par opposition aux poids des ouvrages constituant ces locaux, ou à celui des équipements fixes. Toutefois, certains équipements fixes et légers peuvent être inclus dans les valeurs fixées pour les charges d’exploitation. Les charges d’exploitation des éléments constitutifs du bâtiment sont données par les plans du coffrage ainsi que les charges permanentes sont données ci-dessous en fonction du type de chaque plancher. 2.1 Les Charges d’exploitation Les charges d’exploitation sont variables en fonction de l’usage du local.
  • 16. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 16 Les charges d’exploitation sont données (Voir plans de coffrage). 2.2 Charges permanentes pour planchers Les charges permanentes des différents planchers sont présentées sur le tableau1. Tableau 1.Charges permanentes pour planchers 2.3 Charges permanentes des murs Les charges permanentes des différents types de murs sont présentées sur le tableau2. Tableau 2.Charges permanentes des murs Epaisseur (cm) charges Cloison10 150 kg/m² Cloison15 210 kg/m² Cloison20 240 kg/m² Cloison25 280 kg/m² Double Cloison30 320 kg/m² Double Cloison35 350 kg/m² planchers intermédiaire terrasse 16+5 630 kg/m² 650 kg/m² 19+6 670 kg/m² 690 kg/m² 25+5 710 kg/m² 730 kg/m² 30+5 750 kg/m² 780 kg/m²
  • 17. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 17 Chapitre 2 : Modélisation par ARCHE Ossature 1. Présentation du logiciel utilisé ARCHE Ossature est un logiciel de simulation de bâtiment qui, intégrant une CAO pour la saisie, nous a permis de modéliser le bâtiment, le prédimensionner, d'en effectuer la descente de charges puis de créer des métrés et des notes de calcul. En phase d’exploitation des résultats, le calcul précis du ferraillage des éléments se fait par appel aux modules de ferraillage correspondants. Les modules poutre, poteau, voile, dalle, plaque, Semelle 3D et longrine servent à dimensionner et réaliser les plans de ferraillage et les notes de calcul des différents éléments conformément au règlement B.A.E.L.91. 2. Modélisation La conception de la structure se traduit par l’élaboration des plans de coffrage en se basant sur les plans d’architecture. La définition des emplacements et des dimensions des éléments porteurs permet de modéliser la structure à l’aide du logiciel « ARCHE v 14.1 » dans son module « ARCHE Ossature ». Vu la complexité géométrique de quelques éléments, cette démarche offre un modèle simplifié de la structure. La saisie de la structure se fait étage par étage. En premier lieu, on définit chaque type d’élément (poteau, poutre, dalle, semelle ou voile) par un calque à partir du plan de coffrage. ensuite on lance le module ossature et on importe ces calques sous format dxf. Ainsi obtient- on le modèle. Une fois le modèle est introduit dans le logiciel et après vérification de sa cohérence, le calcul pourra être lancé.
  • 18. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 18 On présente par la suite les modèles obtenus des deux blocs A et B du bâtiment. Figure 3. Modélisation 3D du bloc A Figure 4.Modélisation 3D du bloc B
  • 19. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 19 3. Calcul de la descente de charges Dans cette étape, on doit définir les chargements, les caractéristiques des matériaux utilisés et les familles des éléments. En outre, on doit simuler la présence des escaliers par rajouter des charges réparties sur les poutres qui les supportent. On a opté enfin pour la descente de charges traditionnelle qui fait le report de charges des éléments les uns sur les autres, étage par étage, jusqu’aux fondations, en passant par les poteaux, les poutres et les voiles. 4. Principe de vérification des calculs Une fois la descente de charges est établie, on pourra lancer les calculs des éléments de la structure. Dans cette partie, on présentera les principaux modules de ferraillages intégrés dans le logiciel « ARCHE » et utilisés dans notre projet. 5. Module poutre C’est un module de calcul et de vérification des poutres isostatiques et continues soumises à un ensemble de chargements. Il permet d’élaborer les plans de ferraillage détaillés des poutres. Dans ce module on peut saisir les différentes formes de poutres. La méthode de calcul utilisée est la méthode des foyers qui permet de lever l'hyperstaticité de la poutre étudiée. Cette méthode présente l'avantage de la rapidité de calcul et permet de traiter n'importe quel cas de charge. Le module interactif donne la possibilité à l’utilisateur de choisir le nombre de barres, les armatures et la forme des armatures transversales. 6. Module poteau Ce module permet de calculer les poteaux sous l’effet des charges verticales ou des moments. Le calcul est basé sur trois méthodes de calcul bien précises à savoir la méthode simplifiée, la méthode forfaitaire et la méthode itérative ou méthode de FAESSEL. Dans ce qui suit nous allons décrire la méthode que nous avons utilisée pour calculer les poteaux de ce projet. C’est la méthode simplifiée. Elle permet un calcul en compression centrée selon la méthode forfaitaire qui figure au B.A.E.L.91. Dans cette méthode, on considère que le centre de gravité des aciers et celui du béton sont confondus ce qui explique que le module fournit toujours un ferraillage symétrique.
  • 20. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 20 7. Module semelle Ce module traite des fondations superficielles en béton armé constituées par des semelles isolées ou par des semelles filantes. En plus du torseur transmis par l'élément porté et des charges sur le sol fini qui sont saisis par l'utilisateur, le programme calcule les actions suivantes : - celle due par le poids propre de l'élément porté - celle due par le poids propre de la semelle, - celle due par le poids propre des terres sur la semelle, - celle due par la présence d'une nappe phréatique. 8. Module Longrine La description des longrines est facilitée par une interface graphique qui prend en compte la géométrie précise des longrines et les caractéristiques du sol sur lequel elles reposent.
  • 21. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 21 Chapitre 3 : Etude du contreventement 1. Introduction Le contreventement consiste à rigidifier la structure contre les actions du vent. Pour ce projet, il s’agit d’un contreventement interne assuré par la cage d’ascenseur. Le contreventement du bâtiment peut être assuré par les voiles de la cage d’ascenseur. Dans ce qui suit, nous vérifierons ce choix. [2] et [3]. 2. Action du vent 2.1 Hypothèses et données - épaisseur des voiles 0.2m. - hauteur du bâtiment exposé au vent 23.2m. - hauteur totale du bâtiment 23.2m. - site normal - vent région II dont la direction moyenne est horizontale - Les différents coefficients et les sollicitations d’ensemble sont déterminés à partir des abaques et des tableaux proposés par les règles N.V 65. 2.2 Force de trainée Pour un vent à vitesse normale, on définit la force de traînée (action dynamique) par : entn DqcT ⋅⋅⋅⋅= δβ 2.3 Pression du vent normal SHn Kqq ⋅= La pression dynamique doit être multipliée par un coefficient de site : ks : c’est un coefficient dépendant de l’emplacement de la structure et de la région (Région II et site normal, donc ks =1). qH : la pression dynamique normale à la hauteur H : fonction de la hauteur au-dessus du sol : 10 18 .2,5. 60 H z q q z + = + Avec : :hq Pression dynamique agissant à une hauteur H au-dessus du sol. :10q Pression dynamique de base à 10 m de hauteur (la construction est implantée dans la région II 10 70 / ² 10q daN m H m= ∀ ≤ )
  • 22. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 22 2.4 Coefficient de traînée Le coefficient de trainée est donné par la formule suivante : Ct = cto . γ0 Avec : cto : coefficient global de trainée, or notre bâtiment est assimilé à un prisme de trois ou quatre cotés (catégorie I), par suite cto = 1,3. γ0 : c’est un coefficient déterminé à partir d’un d’abaque, qui dépend du rapport de dimensionλ . λ : c’est le rapport de la hauteur H (toiture comprise) et la largeur d de maitre couple. d H =λ 2.5 Coefficient de majoration dynamique β = Ө x (1+ξτ) Ө : coefficient global dépendant du type de construction, or pour les constructions à usage d’habitation ou bureautique, Ө est pris égal à 1. β : c’est un coefficient dépendant de la période propre de vibration et du niveau pris en considération, il est lié aux effets de résonance. Avec : )(Hf=τ : coefficient de pulsation qui varie avec H. )(Tf=ξ : coefficient de réponse, il est fonction de la période propre de vibration T. HD H D H T ee + = ..08,0 De : diamètre équivalent à la côte considérée. 2.6 Coefficient de réduction C’est un coefficient qui tient compte de l’effet des dimensions. Il est pris à partir d’un abaque. La hauteur de calcul H à prendre en compte pour la console est égale à: H = H0 +H1 Pour un bâtiment ayant une partie en sous-sol, la hauteur de la console à considérer dépend de la nature du sol. H est prise selon la nature du sol sur lequel le bâtiment est fondé. Pour notre cas H = H1 puisque le bâtiment est fondé sur rocher (substratum). (Voir figure5).
  • 23. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 23 Figure 5.Modélisation de l’immeuble On a δ=0,77 (puisque H<30m). Pour un sol non rocheux, la construction est modélisée par une console de longueur H1+H0. 2.7 Calcul des forces de trainée Tableau 3.Détermination des coefficients pour le vent 1               γ02 z(m) τ Τ(s) ξ β qz (daN/m²)   0 0.35 0.24 0.16 1.06 52.50 0.85 3.2 0.35 0.26 0.18 1.06 58.70 0.88 6.61 0.35 0.26 0.18 1.06 64.66 0.88 9.42 0.35 0.33 0.22 1.08 69.12 0.94 12.63 0.357 0.33 0.22 1.08 73.80 0.94 15.84 0.35 0.33 0.22 1.08 78.09 0.94 19.05 0.346 0.33 0.22 1.08 82.02 0.94 22.26 0.342 0.33 0.22 1.08 85.65 0.94 23.2 0.34 0.33 0.24 1.0816 86.66 0.94
  • 24. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 24 D’où la force de trainée pour le vent1: Tableau 4.Détermination de Tn pour le vent1 Vent1 ct1 De1 Λ Tn1 daN/m 1.11 28 0.81 1,320.79 1.14 24.34 0.93 1,337.91 1.14 24.34 0.93 1,473.60 1.22 17.92 1.26 1,255.27 1.22 17.92 1.26 1,342.16 1.22 17.92 1.26 1,418.03 1.22 17.92 1.26 1,488.28 1.22 17.92 1.26 1,552.85 1.22 17.92 1.26 1,580.44 Et pour le vent 2 on a : Tableau 5.Détermination des coefficients pour le vent 2                    γ02 z(m) τ Τ(s) ξ β qz (daN/m²)    0 0.35 0.24 0.16 1.06 52.50 0.85  3.2 0.35 0.21 0.11 1.04 58.70 0.78  6.61 0.35 0.21 0.11 1.04 64.66 0.78  9.42 0.35 0.24 0.16 1.06 69.12 0.85  12.63 0.357 0.24 0.16 1.06 73.80 0.85  15.84 0.35 0.24 0.16 1.06 78.09 0.85  19.05 0.346 0.24 0.16 1.06 82.02 0.85  22.26 0.342 0.24 0.16 1.05 85.65 0.85  23.2 0.34  0.24 0.16 1.05 86.66 0.85 
  • 25. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 25 D’où la force de trainée pour le vent2: Tableau 6.Détermination de Tn pour le vent2 Vent2 ct2 De2 Λ Tn2 daN/m 1.11 28 0.81 1,320.79 1.01 33.38 0.68 1,588.83 1.01 33.38 0.68 1,749.97 1.11 28 0.81 1,738.99 1.11 28 0.81 1,858.68 1.11 28 0.81 1,964.47 1.11 28 0.81 2,062.23 1.11 28 0.81 2,152.14 1.11 28 0.81 2,176.85 Les résultats sont résumés sur la figure6. Figure 6.Diagrammes de Tn pour les vents 1 et 2
  • 26. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 26 2.8 Sollicitations d’ensemble Ayant Tn, on calcule l’effort tranchant et le moment par niveaux tout en considérant la structure comme une console de longueur H chargée par Tn. L’effort tranchant et le moment au niveau i sont calculés comme suit : 11 2 i ii iT T H h H +++ = ×∆ + , 11 2 i ii iH H M h M +++ = ×∆ + ∆h étant la différence de niveau entre i et i+1. Tableau 7.Détermination des moments vent1 VENT 2 Mn2 z(m) Tn1 daN/m Hn1 daN Mn1 daN.m Tn2 daN/m Hn2 daN daN.m 0 1,320.79 32498.87 385738.42 1320.79 42422.10 524375.38 3.2 1,337.91 28244.95 288548.29 1588.83 37766.71 396073.29 6.61 1,473.60 23451.33 200406.13 1749.97 32074.05 276994.80 9.42 1,255.27 19617.27 139894.75 1738.99 27172.06 193754.01 12.63 1,342.16 15448.39 83614.36 1858.68 21397.80 115799.38 15.84 1,418.03 11018.29 41135.34 1964.47 15261.65 56960.96 19.05 1,488.28 6353.66 13253.37 2062.23 8798.79 18343.96 22.26 1,552.85 1472.65 692.14 2152.19 2034.65 956.28 23.2 1,580.44 0 0 2176.85 0 0 3. Méthode du centre de torsion La méthode du centre de torsion consiste à décomposer l’action extérieure en : - un effort H passant par le centre de torsion C de l’ensemble des éléments de contreventement et provoquant une translation sans rotation. - un moment M = H. e de l’effort extérieur H par rapport au centre de torsion et provoquant une rotation sans translation. 3.1 Détermination du centre de torsion C Pour un voile ou un ensemble de voiles assurant le contreventement d’une structure et liés par des planchers rigides, le centre de torsion C est un point tel que : - toute force passant par ce point provoque une translation du plancher et donc de l’ensemble des éléments de contreventement parallèlement à la force et sans rotation.
  • 27. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 27 - tout moment autour de ce point provoque une rotation du plancher dans le même sens que le moment et ce sans translation. Chaque voile i est défini par : - son centre de torsion Oi. - ses axes principaux d’inertie par rapport à son centre de gravité Gi : Oixi, et Oiyi. - l’orientation өi avec le repère général : өi = angle de l’axe principal de l’inertie la plus grande avec l’axe oyi. Les éléments de définition d’un voile sont représentés par la figure7. Figure 7.Eléments de définition d’un voile Or, pour un voile en U symétrique, le centre de torsion est situé à l’extérieur de l’âme à une distance 2 2 1 4 h t h I δ = . 3.2 Etude de la translation due à l’effort extérieur H a. hypothèses Nous supposerons que : - les voiles sont de sections constantes sur toute la hauteur du bâtiment ou au moins les inerties varient toutes dans les mêmes niveaux. - pour les voiles avec ouvertures, on prendra leur inertie équivalente. - les planchers sont infiniment rigides dans leur plan. - les voiles ont les mêmes conditions d’encastrement en pied et ont le même module d’élasticité. - la répartition de l’effort H sera faite au prorata des rigidités donc des inerties des voiles car le rapport rigidité / inertie est le même pour une même déformation à une même altitude et que les déformées sont de la forme ( )k f z F EI pour une force F appliquée à la côte z.
  • 28. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 28 b. Action d’une translation sur un voile Pour toute translation unitaire du voile n°i parallèlement à ox, on obtient deux forces de rappel : - l’une parallèle à ox et proportionnelle à l’inertie Iyi par rapport à oiyi. - l’autre perpendiculaire à ox et proportionnelle à l’inertie composée Ixyi. De même, pour tout voile n°i parallèlement à oy, on obtient deux forces de rappel : - l’une parallèle à oy et proportionnelle à l’inertie Ixi par rapport à oixi. - l’autre perpendiculaire à oy et proportionnelle à l’inertie composée Ixyi. Les inerties Ixi, Iyi et Ixyi sont obtenues à partir des inerties principales I’xi, I’yi. On obtient ainsi : 2 2 2 2 ' cos ' sin ' sin ' cos ( ' ' )cos sin xi xi i yi i yi xi i yi i xyi xi yi i i I I I I I I I I I θ θ θ θ θ θ = + = + = − Comme toutes les forces de rappel sont proportionnelles aux rigidités donc aux inerties, avec le même facteur de proportionnalité, nous pouvons remplacer ces forces de rappel par les vecteurs-inerties. Soient i et j les vecteurs unitaires du repère oxy. On obtient donc les résultantes P et Q des forces (donc d’inerties) présentées sur la figure8. Figure 8.Résultantes P et Q. Le point d’intersection de ces résultantes définit le centre de torsion. • Calcul de l’angle δ : Figure 9.Angle δ
  • 29. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 29 On doit avoir ∑ IXYi = 0 où IXYi est l’inertie composée du voile par rapport aux OiXiYi. c. Détermination des résultantes P et Q La distance de la droite support de P au point O est déterminée en écrivant l’équilibre des moments des forces (figure10) où xoi et yoi sont les coordonnées du centre de rotation Oi du voile i. Figure 10. Résultante P On a donc : x y P Iyi P Ixyi = = ∑ ∑ 3.3 étude de la rotation due au moment M = H. e Les efforts Rxi et Ryi dus à la rotation et repris dans chaque voile sont proportionnels à (voir figure11) : - leurs inerties principales I’xi et I’yi. - leur distance au centre de torsion C pour une même rotation d’angle α. ' ' xi xi yi yi yi xi R K r I R K r I α α = = Avec rxi = distance de C à l’axe Oix’i et ryi = distance de C à l’axe Oiy’i. Figure 11.Distances rxi et ryi
  • 30. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 30 Le coefficient de proportionnalité K est obtenu en écrivant l’équilibre des moments des forces par rapport au centre de torsion C, soit : 2 2 ' ' ( ' ' ) xi yi xi yi xi yi yi yi xixi M r I R J M r I R J Avec J r I r I = = = +∑ 3.4 Efforts finaux dans les voiles Les efforts dans chaque voile i, dirigés suivant leurs axes principaux d’inerties Oix’iy’i, valent : ' ' x xi xi y yi yi H F R H F R = + = + 4. Distribution des sollicitations d’ensemble par la méthode du centre de torsion On n’étudiera que le vent 2. Le groupe de refend schématisé sur la figure12 est soumis à l’action de l’effort tranchant agissant à la base du bâtiment et vaut: 4.25H MN= . La plupart des refends ayant des axes principaux d’inertie parallèles. On peut effectuer un calcul simplifié. Figure 12.Caractéristiques géométriques des voiles de contreventement a. Caractéristiques du voile Les caractéristiques du voile sont représentés par le tableau8 suivant. Tableau 8.caractéristiques du voile Rectangles t h φ a b 1 0.2 2 -90° 16.55 23.1 2 0.2 2 0° 17.55 22 3 0.2 2 90° 16.55 19.9
  • 31. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 31 Le calcul des inerties donne: 3 3 4 3 3 4 2.2 2 ' 2. 1.8. 0.5746 12 12 2 0.2 ' 2. 0.2 2.2 . 0.2681 12 12 x y I m I m = − = = + = Or, pour un voile en U symétrique, on a : 2 2 2 2 1 2 0.2 2 1.4 4 4 0.5746 h t h m I δ × × = = = × D’où les coordonnées du centre de torsion : 17.65 1.4 18.05 21 c c x m y m = + = = Les résultats de calcul sont représentés sur les tableaux suivants. Tableau 9 .Détails de calcul Notation Formule Unité Valeur Total I'xi donnée m 4 0.575 0.575 I'yi donnée m 4 0.268 0.268 ti donnée m 0.15 angle ө donnée ° 0 m 4 0.575 0.575 m 4 0.268 0.268 m 4 0 xc donnée m 18.05 yc donnée m 21 Ixyi Inertie principale centre de torsion inerties /Oixiy Ixi=I'xicos 2 θi+I'yicos2 θi Iyi=I'xisin 2 θi+I'yicos 2 θi Ixyi=(I'xi-I'yi)cosθicosθi Ixi Iyi
  • 32. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 32 Tableau 10.Détermination du moment Ixi xc m 5 10.37 Iyi yc m 5 5.63 Ixyi xc m 5 0 Ixyi yc m 5 0 Ai=(I'xi‐I'yi)sin2θi m 4 0 Bi=(I'xi‐I'yi)cos2θi m 4 0.307 angle δ (artg(‐∑Ai/∑Bi))/2 ° 0 Px ∑Iyi m 4 0.268 py ∑Ixyi m 4 0 Qx ∑Ixyi m 4 0 Qy ∑Ixi m 4 0.575 Hx donnée MN 0 Hy donnée MN 4.25 XHy donnée m 14 YHx donnée m 0 Moment M (XHy-XC)Hy+(YHx+yC)Hx MN.m 29.75 Composante de P composante de Q force extèrieurr /OXY
  • 33. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 33 Tableau 11.Efforts dus à la translation HY 4.25 notation unité valeur total angle φ ° 0 inertie/CXY Ixi m 4 0.5746 0.575 Iyi m 4 0.2681 0.268 IXYi m 4 0 0 m 4 0 0 m 4 0.5746 0.575 m 4 0 0 m 4 0.2681 0.268 m 4 0 0 m 4 0 0 effort dus Fxi MN 0 à la translationFyi MN 4.25 formule ө + δ MN MN 0 HX cos sinx yH Hδ δ+ sin cosx yH Hδ δ− + 2 2 ' cos ' sinxi i yi iI Iϕ ϕ+ 2 2 ' sin ' cosxi i yi iI Iϕ ϕ+ ( ' ' )cos sinxi yi i iI I ϕ ϕ− sinxi iI ϕ sinyi iI ϕ sinxyi iI ϕ cosxyi iI ϕ cosxi iI ϕ cosyi iI ϕ [ ] [ ]cos cosX Y xi Yi XYi XYi Xi Yi Xi H H F I I sin I I sin I I ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − ∑ ∑ [ ] [ ]cos cosY X yi Xi XYi XYi Yi Xi Yi H H F I I sin I I sin I I ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − ∑ ∑
  • 34. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 34 Tableau 12.Efforts dans les voiles rxi m 0 ryi m 0 Rxi MN 0 Ryi MN 0 H'xi MN 0 H'yi MN 4.25 Hxi MN 0 Hyi MN 4.25 -y’ic -x’ic efforts dus à la torsion Fxi+Rxi Fyi+Ryi efforts dans les voiles distance de C à Oiyi distance de C à Oixi ' cos ' sinxi i yi iH Hθ θ+ ' sin ' cosxi i yi iH Hθ θ− + Avec : [ ] [ ] ' ( )cos ( )sin ' ( )sin ( )cos ic c oi i c oi i ic c oi i c oi i x X X y y y X X y y θ θ θ θ = − − − − = − − − − De même on vérifie, pour le vent 1. 5. Conclusion On a bien vérifié que la somme des composantes des efforts des voiles suivant les axes d’origine est égale à celle des efforts extérieurs : 4.25 MN suivant Oy et 0 suivant Ox. Parsuite, on peut conclure que le contreventement du bâtiment est assuré
  • 35. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 35 Chapitre 4 : Etude d’une dalle pleine I. Etude d’une dalle pleine Une dalle est un élément, généralement rectangulaire, dont une dimension (épaisseur) est faible vis-à-vis des deux autres (dimensions en plan). Dans un plancher, on appelle panneaux de dalle les parties de dalle bordées par les poutres- supports (poutrelles et poutres du plancher). Dans cette section, on vise dimensionner et calculer une dalle pleine [4]. II. Méthode de calcul 1. Dimensionnement On pose : cot 1 cot l longueur du petit é de la dallexα l longueur du grand é de la dalley = = ≤ L’épaisseur h0 de la dalle est déterminée forfaitairement en fonction des conditions suivantes : -Si 400,α< : La dalle porte dans un seul sens. - 200 x l h > : pour les panneaux isolés. - 250 x l h > : pour les panneaux de dalles continues. - Si 0,40≥α : la dalle porte dans les deux sens. - 300 x l h > : pour les panneaux isolés. - 400 x l h > : pour les panneaux de dalles continues. Figure 13.Caractéristiques de la dalle
  • 36. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 36 • 2éme cas 400,α< 2. Sollicitations Le calcul se fait à l’ELU avec Pu = 1,35G+1,50Q où G et Q sont respectivement les charges surfaciques permanente et d’exploitation. a) Moments dans les dalles articulées sur leurs contours (M0x/y) • 1er cas 400,α≥ )4.21(8 1 3 α µ + =x et ( )[ ] 4 1 195.01 22 ≥−−= ααµy 2 0x x xM Plµ= et 0 0y y xM Mµ= 00 =y M et 8 2 0 x x Pl M = b) Moments dans les dalles partiellement encastrées • Cas où α<0.4 et la charge p est uniforme Les moments de flexion dans le sens lx évalués suivant la méthode forfaitaire de calcul des poutres de planchers sont donnés par : ( ){ }1 0.3 ; 1.05 2 wx ex tx ox ox M M M Max M Mα + + ≥ + Avec B B QG Q + =α Les moments minimaux étant : Figure 14.Moments à prendre en compte
  • 37. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 37 • Pour les autres cas - Pour une bande de 1m de largeur parallèle à lx/y : yxytx MM /0/ 85.0= Si le panneau est de rive et yxyax MM /0/ 3.0≥ yxytx MM /0/ 75.0= Si le panneau est intermédiaire et / 0 /0.5ax y x yM M=   Figure 15.Moments pour une dalle continue. Ce qui réalise : 025.1 2 M MM M ew t ≥ + + c) Valeurs minimales à respecter   En travée : 4 tx ty M M ≥ Sur appuis : May = Max 3. Ferraillages a) Section d’acier calculée • En travée - Sens lx : 2 0 dfb M bu ty bu =µ ; )6.01( bub dz µ−= ; edb tx tx fz M A = - Sens ly : bu ty bu fdb M 2 0 =µ ; )6.01( bub dz µ−= ; edb ty ty fz M A = • Sur appui 2 0 dfb M bu ax bu =µ ; )6.01( bub dz µ−= ; edb ax ax fz M A = .
  • 38. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 38 b) Diamètre des armatures 10 0h ≤φ c) Section minimale d’acier 0 2 0 0 12 : ( / ) 8 : 400 6 : 500 yMin h Rond lisse A cm m Min h FeE h FeE ou Ts ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2 (3 ) ( / ) 2 xMin yMinA cm m A α− = d) Espacement des aciers Cas des charges réparties + fissuration préjudiciable : • En travée Sens lx : ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ cm h Minst 33 .3 0 Sens ly : ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ cm h Minst 45 .4 0 • Sur appui : cmst 33≤ 4. Effort tranchant a) sollicitations ultimes (Charges réparties) • 1er cas 0,40≥α ) 2 1(2 α + = xu ux lP V ; 3 xu uy lPV = . • 2éme cas 0,40<α 2 xu ux lP V = ; 0=uy V
  • 39. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 39 b) Vérification du béton On n’a pas besoin d’armatures transversales si : - La dalle est bétonnée sans reprise dans son épaisseur - La contrainte tangente vérifie : b cu u f d V γ τ 28 07.0<= c) Arrêt des barres ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = x s l M M l Maxl 0 11 3.025.0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 12 l l Maxl s Figure 16.Arrêt des barres III. Calcul d’un panneau de dalle 1. Dimensionnement de la dalle On se propose d’étudier la dalle pleine du plancher mezzanine modélisée par la figure17. Figure 17.Panneau de dalle
  • 40. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 40 On a : D’où il s’agit d’un panneau portant dans les deux sens. Dalle continue : 40 0 xl h ≥ ⇒ cm25=h0Soit82.3 40 153 0 ⇒=≥ cmh 2. Sollicitations a) Charges par m² de plancher Les charges permanentes appliquées sur le plancher sont calculées en fonction de l’épaisseur de chaque constituant. Les charges permanentes de ce type de plancher sont les suivantes : - Plancher terrasse • Protection de l’étanchéité 30 daN /m² • Enduit de planéité 30 daN / m² • Asphalte coulé sablé 50 daN / m² • Forme de pente 200 daN / m² • Dalle pleine (d’épaisseur e) 25e daN / m² • Enduit de plafond (1.5 cm) 30 daN / m² - Plancher intermédiaire • 3 cm de sable (17 daN / cm d’épaisseur) 51 daN / m² • 2 cm de mortier pour carrelage (20 daN / cm d’épaisseur) 40 daN / m² • carrelage 25x25x2.5 45 daN / m² • dalle pleine (d’épaisseur e) 25e daN / m² • enduit de plafond (1.5 cm) 30 daN / m² • cloison léger 75 daN / m² Pour notre cas, il s’agit d’un plancher intermédiaire : G = 866 daN/m² Q = 400 daN/m² Pu = 1.35 G + 1.5 Q = 17.7 kN/m² 4.043.0 56.3 53.1 >⇒==⇒= ααα y x l l
  • 41. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 41 b) Moments fléchissants pour le panneau de dalle articulé sur son contour On a : 43.0=α ])43.01(95.01[43.0])1(95.01[et )43.04.21(8 1 )4.21(8 1 2222 33 −−=⇒−−= ×+ =⇒ + = yyxx µααµµ α µ 25.0 25.0127..0et105.0 =→ == y yx µ µµ p D’où les moments pour une bande de largeur 1m: 2 2 0 0 0 0 0 0.105 17.7 1.53 4.35 / 0.25 4.35 1.08 / x x u x x y y x y M p l M kNm m M M M kNm m µ µ = ⇒ = × × = = ⇒ = × = ⇒ 4.35 . / 1.08 . / ox oy M kN m m M kN m m = = c) Moments dans la dalle partiellement encastrée - Bande de largeur 1 m parallèle à lx : 0 0 0.75. 0.75. 4.35 3.27 . / 0.5. 0.5.4.35 2.175 . / tx x tx ax x ax M M donc M kN m m M M donc M kN m m = = = = = = - Bande de largeur 1 m parallèle à ly : 00.75. 0.75 . 1.08 0.81 . /ty yM M kN m m= = = Valeurs minimales à respecter : - En travée : ok M M tx ty →=≥ 81.0 4 - Sur appuis : 2.175 . /ay axM M kN m m= = Donc on a : 0.81 . / 2.175 . / ty ay ax M kN m m M M kN m m = = = 3. Armatures longitudinales Sachant que Mu est proportionnel à M0 qui est lui-même proportionnel à pu ,on a: 4.1 466.8 7.17 = + = + = QG pu γ En outre, pour FeE400 HA, fc28=20 < 30MPa et θ =1, µlu est calculé par la formule suivante : ⇒ −×+× =⇒−+= 428 4 10 305020494.13440 305049344010 luclu f µγµ 0.276luµ =
  • 42. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 42 a) Calcul des sections d’acier • aciers en travée « sens lx » ⇒ ×× == − 33.11225.01 10.27.3 2 3 2 0 bu tx bu fdb M µ 005.0=buµ Alors lubu µµ < ⇒ A’=0 (Pas d’aciers comprimés) 274.0<buµ ⇒ Nous utilisons les formules simplifiées pour déterminer la section des aciers tendus. ( ) ( )⇒×−=−= 005.06.01225.06.01 bub dz µ mzb 224.0= ( ) ⇒ × == − 348224.0 10.10.27.3 43 edb tx tx fz M A mcmAtx /41.0 2 = • aciers en travée « sens ly » ⇒ ×× == − 33.11225.01 10.81.0 2 3 2 0 bu ty bu fdb M µ 0014.0=buµ Alors lubu µµ < ⇒ A’=0 (Pas d’aciers comprimés) 274.0<buµ ⇒ Formules simplifiées ( ) ( )⇒×−=−= 0014.06.01225.06.01 bub dz µ mzb 224.0= ( ) ⇒ × × == − 348224.0 10.1081.0 43 edb ty ty fz M A mcmAty /104.0 2 = • aciers sur appuis (Chapeaux) ⇒ ×× × == − 33.11225.01 10175.2 2 3 2 0 bu ax bu fdb M µ 0038.0=buµ Alors lubu µµ < ⇒ A’=0 (Pas d’aciers comprimés) 274.0<buµ ⇒ Formules simplifiées ( ) ( )1 0.6 0.225 1 0.6 0.0038b uz d µ= − = − × ⇒ mzb 224.0= ( ) ⇒ × × == − 348224.0 10.10175.2 43 edb ax a fz M A mcmAa /28.0 2 = b) Sections minimales d’armatures • bande suivant « ly » mcmAFeE FeEh FeEh lisse Rondh A yy /225.08400; 500:6 ;400:8 ; :12 2 min 0 0 0 min =×=⇒ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = min min yay yty AA AA p =< ⇒ mcmA mcmA ay ty /2 /2 2 2 = =
  • 43. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 43 • bande suivant « lx » ⇒ − ×=⇒× − = 2 43.03 2 2 3 minminmin xyx AAA α mcmAx /57.2 2 min = min min xax xtx AA AA p p ⇒ mcmA mcmA ax tx /57.2 /57.2 2 2 = = c) Choix des aciers et de l’espacement Dispositions constructives : ⇒=≤ 10 250 10 0h φ mm25≤φ donc nous prenons au plus φ 20. • en travée sens « lx » L’espacement entre les armatures est donné par la formule suivante : ( ) ( ) cms cmcms cmhs t t t 33 33;75253min 33;3min 0 ≤⇒ =×≤⇒ ≤ On a : mcmAtx /57.2 2 = Alors nous prenons : 4 HA 10 /m cmst 20 4 100 == : A=3.16 cm2 /m • en travée sens « ly » L’espacement entre les armatures est donné par la formule suivante : ( ) ( ) 0min 4 ;45 min 4 25 100 ; 45 45 ≤ ⇒ ≤ × = ⇒ ≤ t t t s h cm s cm cm s cm 2 2 /=tyOr A cm m Alors nous avons : 4 HA 8 /m cmst 20 4 100 == • en chapeau cms mcmA t a 33et /57.2 2 < = Alors nous avons : 4 HA 8 /m ; cmst 20=
  • 44. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 44 2HA8 / m filants. 2HA8 / m arrêté à 15 cm. 4. Effort tranchant a) Sollicitations ultimes - Au milieu du grand côté (charge répartie) : ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + × =⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 43.0 1 1 2 53.17.17 2 1 1 2 ux xu ux V lp V α 11.14 /uxV kN m= - Au milieu du petit côté (charge répartie) : 3 17.7 1.53 9.03 / 3 u x uy uy ux p l V V kN m V = × ⇒ = = p b) Vérification 225.01 10.14.11 3 0 × =⇒ = − u u u db V τ τ MPau 05.0=τ Et ⇒=⇒= 5.1 20 07.007.0 lim 28 lim τ γ τ b cf MPa933.0lim =τ Alors MPau 933.005.0 lim =<= ττ ⇒ On a pas besoin d’armatures transversales. 5. Arrêt des barres Les arrêts des barres dans le sens lx, ly et sur appuis sont les suivants : En travée sens « lx », on alterne : 2 HA 10 / m filants 2 HA 10 / m arrêté à 15 cm En travée sens « ly », on alterne :
  • 45. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 45 Sur appuis : { } cml cmMax l lMaxl cml cmlcmMaxl l M M lMaxl s x x a s 32 2 32 ;32 2 ; 32 6.301532.02.0;328.04040 .3.0 4 1 ; 2 1 2 1 1 0 1 =⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = =⇒ =×=×=×==⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += φ 2HA8 / m l1 = 32 cm 2HA8 / m l2 = 32 cm 6. Plans de ferraillage Le ferraillage de la nappe inférieure, de la nappe supérieure et les arrêts des barres sont représentés par les figures18 et 19. Figure 18.Aciers de la nappe inférieure.
  • 46. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 46 2HA8 pm 2HA8pm 2 HA8pm 2HA8pm 30 cm Coupe A-A 32 cm Figure 19.Aciers de la nappe supérieure.
  • 47. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 47 Chapitre 5 : Etude des poutres et des nervures On se propose d’étudier la nervure hyperstatique du plancher haut sous sol, représentée sur la figure20. [4] Un exemple de poutre est calculé dans l’annexe. La charge permanente exercée sur la nervure est : 0.33 6.3 0.33 2.08 / .N totalG G kN ml= × = × = La charge d’exploitation étant: 0.33 4 0.33 1.32 / .NQ Q kN ml= × = × = Figure 20.Caractéristiques de la nervure. 1. Méthode de calcul 1) 263.0 08.2 32.1 ≤== N N G Q . 2 2 4 / 5 / .NQ KN m kN m= ≤ 2) Etant donné que la fissuration est peu préjudiciable, elle ne compromet pas la tenue des revêtements ni celle des cloisons. 3) Les trois travées ont une même inertie. 4) 25.16.0 8.4 95.2 11 2 ≥⇒== +i i l l l l .25.18.025.1 95.2 69.3 12 3 ≤≤⇒== −i i l l l l
  • 48. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 48 D’après le règlement BAEL91, l’une des hypothèses de la méthode forfaitaire n’est pas vérifiée et la charge d’exploitation n’est pas assez élevée pour pouvoir suivre la méthode de Caquot. Dans ces conditions, les règles BAEL91 recommandent l’utilisation de la méthode de Caquot minorée applicable pour les planchers à charge d’exploitation élevée en multipliant la part des moments sur appui provenant des seules charges permanentes par un coefficient variant entre 1 et 2/3. Pour cette étude, on le prendra égal à 2/3. 2. Moments maximaux sur appuis On note par MG les moments dus aux charges permanentes et par MQ les moments dus aux charges d’exploitation : ( ) ( ) . 5.8 . 5.83 2 '' 3'3' '' 3'3' ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +× ×+× −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +× ×+× −= ew eeww Q ew eeww G ll lQlQ M ll lGlG M - Appui A .0KNmMM AQAG == - Appui B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2.08 4.8 2.08 2.362 2.92 3 8.5 2.36 4.8 1.32 4.8 1.32 2.36 2.78 8.5 2.36 4.8 BG BQ M kNm M kNm ⎛ ⎞× + × ⎜ ⎟= − = − ⎜ ⎟× + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞× + × ⎜ ⎟= − = − ⎜ ⎟× + ⎝ ⎠ - Appui C : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2.08 3.69 2.08 2.362 1.71 3 8.5 2.36 3.69 1.32 3.69 1.32 2.36 1.62 8.5 2.36 3.69 CG CQ M kNm M kNm ⎛ ⎞× + × ⎜ ⎟= − = − ⎜ ⎟× + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞× + × ⎜ ⎟= − = − ⎜ ⎟× + ⎝ ⎠ A B C D 4.8m 2.95m 3.69m il 4.8m 2.36m 3.69m' il Figure 21.Travées réelles est travées fictives
  • 49. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 49 - Appui D 0 .DG DQM M kNm= = La pondération nous donne les résultats suivants : • à l’ELU ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 1.35 1.5 1.35 2.92 1.5 2.78 8.11 . 1.35 1.5 1.35 1.71 1.5 1.62 4.73 . 0 . UA UB BG BQ UC CG CQ UD M kNm M M M kNm M M M kNm M KNm = = × + × = × − + × − = − = × + × = × − + × − = − = • à l’ELS 0 . 5.7 . 3.33 . 0 . SA SB BG BQ SC CG CQ SD M kNm M M M kNm M M M kNm M kNm = = + = − = + = − = a. Calcul des moments sur appuis pour les différents cas de charges • Calcul de M 1 Figure 22.Cas de chargement 1 En B - à l’ELS : G=2.08 kN/m et 1=Gγ , d’où : ( ) 3 3 1 2 4.8 2.36 2.08 2.82 . 3 8.5 4.8 2.36 BSM kNm ⎛ ⎞+ = − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠ - à l’ELU : G=2.08 KN/m et 35.1=Gγ , d’où : 1.35 2.08 2.81 / .G G kN mγ × = × = ( ) 3 3 1 2 4.8 2.36 2.81 3.8 . 3 8.5 4.8 2.36 BUM kNm ⎛ ⎞+ = − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠
  • 50. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 50 En C : Figure 23.Cas de chargement 1 - à l’ELS ( ) 3 3 1 2 2.36 3.69 2.08 1.71 . 3 8.5 2.36 3.69 CSM kNm ⎛ ⎞+ = − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠ - à l’ELU ( ) 3 3 1 2 2.36 3.69 2.81 2.3 . 3 8.5 2.36 3.69 CUM kNm ⎛ ⎞+ = − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠ • Calcul de M 2 - à l’ELU 1.35 2.08 2.81 / .G G kN mγ × = × = 1.5 1.32 1.98 / .Q Q kN mγ × = × = En B Figure 24.Cas de chargement 2 - à l’ELS ( ) 3 3 2 4.8 2.36 2.08 2.82 . 3 8.5 4.8 2.36 BGM kNm ⎛ ⎞+ = − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠ ( ) 3 4.8 1.32 2.4 . 8.5 4.8 2.36 BQM kNm ⎛ ⎞ = − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠ Donc 2 2.82 2.4 5.22BSM kNm= − − = −
  • 51. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 51 - à l’ELU 2 1.35 2.82 1.5 2.4 7.4BUM kNm= ×− + ×− = − En C Figure 25.Cas de chargement2 - à l’ELS ( ) 3 3 2 2.36 3.69 2.08 1.71 . 3 8.5 3.69 2.36 CGM kNm ⎛ ⎞+ = − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠ ( ) 3 2.36 1.32 0.34 . 8.5 3.69 3.68 CQM kNm ⎛ ⎞ = − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠ Donc 2 1.71 0.34 2.05 .CSM kN m= − − = − - à l’ELU Donc 2 1.35 1.71 1.5 0.34 2.82 .CUM kN m= ×− + ×− = − • Calcul de M 3 Le schéma général de calcul de M 3 en B et en C (l’appui intermédiaire étant l’appui B ou C) est le suivant : Figure 26.Cas de chargement 3
  • 52. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 52 En B - à l’ELS : 2.82 . .BGM kN m= − ( ) 3 2.36 1.32 0.28 . . 8.5 4.8 2.36 BQM kN m ⎛ ⎞ = − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠ 3 2.82 0.28 3.1 .BSM kN m= − − = − - à l’ELU : 3 1.35 2.82 1.5 0.28 4.22 .BUM kN m= ×− + ×− = − En C : - à l’ELS : 1.71 .CGM kN m= − 3 1.71 1.29 3 .CSM kN m= − − = − ( ) 3 3.69 1.32 1.29 . 8.5 3.69 2.36 CQM kN m ⎛ ⎞ = − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟× +⎝ ⎠ - à l’ELU : 3 1.35 1.71 1.5 1.29 4.25 .CUM kN m= ×− + ×− = − • Calcul de M 4 Le schéma général de calcul de M 4 en B et en C est le suivant (l’appui intermédiaire étant l’appui B ou C). Figure 27.Cas de chargement 4 Ce cas de charge correspond aux moments maximaux sur appuis. Ce cas a été traité précédemment.
  • 53. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 53 On rappelle les résultats obtenus : • à l’ELU ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 1.35 1.5 1.35 2.92 1.5 2.78 8.11 . 1.35 1.5 1.35 1.71 1.5 1.62 4.73 . 0 . UA UB BG BQ UC CG CQ UD M kN m M M M kN m M M M kN m M kN m = = × + × = × − + × − = − = × + × = × − + × − = − = • à l’ELS 0 . . 5.7 . 3.33 . 0 . SA SB BG BQ SC CG CQ SD M kN m M M M kN m M M M kN m M kN m = = + = − = + = − = Pour récapituler, on dresse le tableau13 suivant. Tableau 13.Récapitulatif des moments Appuis il (m) 4.8 2.95 3.69 ' il (m) 4.8 2.36 3.69 E.L.U. 0 -3.8 -2.3 0 ( )1 .M kN m E.L.S. 0 -2.81 -1.71 0 E.L.U. 0 -7.44 -2.82 0 ( )2 .M kN m E.L.S. 0 -5.22 -2.05 0 E.L.U. 0 -4.22 -4.25 0 ( )3 .M kN m E.L.S. 0 -3.1 -3 0 E.L.U. 0 -8.11 -4.73 0 ( )4 .M kN m E.L.S. 0 -5.7 -3.33 0 A B C D
  • 54. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 54 3. Moments en travées a. Moments maximaux en travées Figure 28.Portées des travées Le moment maximal en travée i est donné par : 23 10max 41 i i i ii t M l x M l x m l x M +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= − Avec : i iii l m MMl x × × − += − 0 3 1 2 82 : Abscisse du moment maximal. ( ) 8 2 0 iQG lQG m ××+× = γγ : Moment isostatique de la travée associée. • Travée AB l = 4.8 m À l’ELU 2 0 4.79 4.8 13.8 . 8 m kN m × = = .07.28.4 8.138 044.7 2 8.4 mx =× × −− += ( )max 2.07 2.07 2 1 4 13.8 0 7.44 10.44 . 4.8 4.8 4.8 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × + + × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ À l’ELS 2 0 3.4 4.8 9.8 . 8 m kN m × = = .08.28.4 8.98 022.5 2 8.4 mx =× × −− += ( )max 2.08 2.08 2.08 1 4 9.8 0 5.22 7.36 . 4.8 4.8 4.8 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × + + × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  • 55. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 55 • Travée BC l = 2.95 m À l’ELS 2 0 3.4 2.95 3.7 . 8 m kN m × = = .58.195.2 7.38 1.305.2 2 95.2 mx =× × +− += ( )max 1.58 1.58 1.58 1 4 3.7 3.1 2.05 1.14 . 2.95 2.95 2.95 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × − + × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ À l’ELU 2 0 4.79 2.95 5.21 . 8 m kN m × = = .57.195.2 21.58 22.482.2 2 95.2 mx =× × +− += ( )max 1.57 1.57 1.57 1 4 5.21 4.22 2.82 1.71 . 2.95 2.95 2.95 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × − + × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • Travée CD l = 3.69 m À l’ELS 2 0 3.4 3.69 5.78 . 8 m kN m × = = .08..269.3 78.58 3 2 69.3 mx =× × += max 2.08 2.08 2.08 1 4 5.78 3 0 4.38 . 3.69 3.69 3.69 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × − + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ à l’ELU 2 0 4.79 3.69 8.15 . 8 m kN m × = = .08.269.3 15.88 25.4 2 69.3 mx =× × += max 2.08 2.08 2.08 1 4 8.15 4.25 0 6.16 . 3.69 3.69 3.69 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × − + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  • 56. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 56 b. Moments minimaux en travées L’intérêt de la détermination des valeurs des moments minimaux en travée est de vérifier que ces moments sont positifs. Dans le cas contraire, on aura des aciers supérieurs à dimensionner avec les valeurs négatives des moments trouvés. 32 10min 41 i i i ii t M l x M l x m l x M +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +×××⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= − Avec : i iii l m MMl x × × − += − 0 2 1 3 82 : abscisse du moment minimal ( ) 8 2 0 iG lG m ×× = γ : moment isostatique de la travée associée • Travée AB l = 4.8 m À l’ELS 2 0 2.08 4.8 6 . 8 m kN m × = = .09.28.4 68 1.3 2 8.4 mx =× × − += ( )min 2.09 2.09 2.09 1 4 6 0 3.1 4.55 . 0. 4.8 4.8 4.8 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × + + × − = ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ À l’ELU 2 0 2.81 4.8 8.1 . 8 m kN m × = = .09.28.4 1.88 22.4 2 8.4 mx =× × − += ( )min 2.09 2.09 2.09 1 4 8.1 0 4.22 6.12 . 0. 4.8 4.8 4.8 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × + + × − = ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • Travée BC l = 2.95 m À l’ELS 2 0 2.08 2.95 2.26 . 8 m kN m × = =
  • 57. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 57 .82.195.2 26.28 22.51.3 2 95.2 mx =× × +− += ( )min 1.82 1.82 1.82 1 4 2.26 5.22 3 1.71 . 0. 2.95 2.95 2.95 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × − + × − = − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ À l’ELU 2 0 2.81 2.95 3.05 . 8 m kN m × = = .86.195.2 05.38 44.725.4 2 95.2 mx =× × +− += ( )min 1.86 1.86 1.86 1 4 3.05 7.44 4.25 2.58 . 0. 2.95 2.95 2.95 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × − + × − = − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • Travée CD l = 3.69 m À l’ELS ( ) 2 0 2.08 3.69 3.54 . 8 m kN m × = = .11.269.3 54.38 05.2 2 69.3 mx =× × += min 2.11 2.11 2.11 1 4 3.54 2.05 0 2.59 . 0. 3.69 3.69 3.69 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × − + × = ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ À l’ELU ( ) 2 0 2.81 3.69 4.78 . 8 m kN m × = = .11.269.3 78.48 82.2 2 69.3 mx =× × += min 2.11 2.11 2.11 1 4 4.78 2.82 0 3.47 . 0. 3.69 3.69 3.69 t M kN m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − × × × − + × = ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  • 58. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 58 c. Récapitulatif Pour récapituler, on dresse le tableau14 suivant : Tableau14.Moments en travées 4. Détermination des efforts tranchants maximaux Le calcul des efforts tranchants est mené à l’ELU. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 4 1max 43 1 max 1 2 5.135.1 2 5.135.1 . + + + − − − +× ×+× −= − +× ×+× = − +=−= i ii i d i i ii i g i i ii l MM l QG T l MM l QG T l MM xt dx xdM xT Figure 29.Efforts tranchants sur appuis On pose 1.35 1.5 4.79= × + × =P G Q kN En A 4 2 0 4.79 4.8 3.8 10.7 2 2 4.8 = × − × = − + = − + = − Ag AB A B Ad AB T kN P l M M T kN l Travées A-B B-C C-D Longueur(m) 4.8 2.95 3.69 Etat Limite ELU ELS ELU ELS ELU ELS maxx (m) 2.07 2.08 1.57 1.58 2.08 2.08 t Mmax (kN.m) 10.44 7.36 1.71 1.14 6.16 4.38 minx (m) 2.09 2.09 1.86 1.82 2.11 2.11 t Mmin (kN.m) 6.12 4.55 -2.58 -1.71 3.47 2.59
  • 59. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 59 En B 3 4 4 2 4.79 4.8 8.11 13.18 . 2 2 4.8 4.79 2.95 8.11 2.82 8.26 . 2 2 4.4 AB A B Bg AB BC B C Bd BC P l M M T kN l P l M M T kN l × − × = + = + = × − × − + = − + = − + = − En C 3 4 4 2 4.79 2.95 4.22 4.73 7.23 . 2 2 2.95 4.79 3.69 4.73 10.12 . 2 2 3.69 BC B C Cg BC CD C D Cd CD P l M M T kN l P l M M T kN l × − × − + = + = + = × − × − = − + = − + = − En D 3 4 4.79 3.69 4.25 7.68 . 2 2 3.69 0 . CD C D Dg cd Dd P l M M T kN l T kN × − × − = + = + = = Figure 30.Diagramme des efforts tranchants sur appuis 5. Armatures longitudinales • En travée AB ( )0 0 0.33 0.05 11.33 09 0.21 0.025 0.0306 . 2 u T bu h M b h f d MN m ⎛ ⎞ = × × × − = × × × × − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Or, .1044.10 3 MNmMu − = u u T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions (0.33 m x 0.21 m) : ( ) 3 22 10.44 10 0.078 0.276 0.33 0.9 0.21 11.33 ' 0. − × = = = ≤ = × × × × × ⇒ → = u u lu bu sc M b d f Pas d aciers comprimés A µ µ
  • 60. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 60 [ ] 1.021125.1 =×−−×= µα .66.1 .66.1 34818.0 1044.10 .18.0)4.01( 2 2 3 cmA cm Fz M A mdz ed u = = × = × = =−= − α On prend alors 1HA16 .01.2 2 cmA =⇒ Vérification à l’ELS ( )2 1 3 1 1 15 3 ydA yb orI I yM stSRH SRH ser bc −××+ × = × =σ 1y est la solution de l’équation de second degré suivante : .0107.5003.0165.0 .01515 2 4 1 2 1 1 2 1 =×−×+×⇒ =××−××+× − yy dAyAy b stst La résolution de cette équation donne : 1y =0.015 m. Ainsi, obtient-on : ( ) 3 24 4 4 SRH 3 bc 4 0.33 0.015 I 15 2.01 10 0.189 0.015 0.91 10 m . 3 10.44 10 0.015 1.72MPa. 0.91 10 − − − − × = + × × × − = × × × σ = = × .126.0 28 MPafcbc =×=σ Donc, on a bien bcbc σσ ≤ -OK- Condition de non-fragilité 28 min 0 28 28 0.23 . 0.06 0.6 1.8 . t e t c f A b d f or f f MPa = × × × = × + = okmmA →×≤×=×××= −− .1001.21054.0189.033.0 400 8.1 23.0 2424 min • Sur appui B 8.11 . .uM kN m= − u u T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions (0.07 m x 0.21 m) :
  • 61. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 61 ( ) 3 22 8.11 10 0.286 0.07 0.189 11.33 0. u bu lu bu sc M b d f A µ µ − × = = = ≥ × × × × ⇒ ≠ 1.25 1 1 2 1.25 (1 (1 2 0.276) 0.41luα µ⎡ ⎤= × − − × = × − − × =⎣ ⎦ 2 2 1 21 1 (1 0.4 ) 0.158 . 0.276 0.07 0.189 11.33 0.0078 . 0.0078 1.42 . 0.158 348 = − = = × × × = × × × = = = = × × lu bu ed z d m M b d f MN m M A cm z F α µ 2 22 2 0.4 0.0032 . 0.0032 0.59 . ( ') 348(0.189 0.032) ≤ = = = = × − − u ed M M MN m M A cm F d d Donc la section d’acier tendue est : A’u = A1 + A2 =2.01cm2 1 16→ HA et la section d’acier comprimé est égale à Au = 0.59 cm2 1 10→ HA • En travée BC Or, 1.71 . .uM MN m= u u T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions (0.33 m x 0.21 m) : ( ) .0 012.0 33.11189.033.0 1071.1 2 3 2 =⇒ ≤= ×× × = ×× = − sc lu bu u bu A fdb M µµ 015.0=α .26.0 .26.0 348188.0 1071.1 .188.0)4.01( 2 2 3 cmA cm Fz M A mdz ed u = = × = × = =−= − α On prend 1HA10 .79.0 2 cmA =⇒ Vérification à l’ELS ( )2 1 3 1 1 15 3 ydA yb orI I yM stSRH SRH ser bc −××+ × = × =σ 1y est la solution de l’équation de second degré suivante :
  • 62. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 62 .01024.21018.1165.0 .01515 2 4 1 32 1 1 2 1 =×−××+×⇒ =××−××+× −− yy dAyAy b stst La résolution de cette équation donne : 1y =0.032m. Ainsi, on obtient : ( ) .11.1 10328.0 032.01014.1 .10328.0032.0189.01079.015 3 032.033.0 4 3 4424 3 MPa morI bc SRH = × ×× = ×=−×××+ × = − − −− σ Donc, on a bien bcbc σσ ≤ OK Condition de non-fragilité .1079.0 24 min mA − ×≤ • Sur appui C .73.4 KNmM u −= u u T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions (0.07 m x 0.21 m) : ( ) 3 22 4.73 10 0.166 0.07 0.189 11.33 0. u bu lu bu sc M b d f A µ µ − × = = = ≤ × × × × ⇒ = 0.228α = 3 2 (1 0.4 ) 0.171 . 4.7310 0.79 . 0.171 348 u ed z d m M A cm z F α − = − = = = = × × On prend alors 1HA10 .79.0 2 cmA =⇒ Ce résultat vérifie la condition bcbc σσ ≤ à l’ELS • En travée CD 6.16 .uM kN m= u u T MM ≥ Le dimensionnement se fait pour une section rectangulaire de dimensions : (0.33 m x 0.21 m) : ( ) .0 046.0 33.11189.033.0 1016.6 2 3 2 =⇒ ≤= ×× × = ×× = − sc lu bu u bu A fdb M µµ
  • 63. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 63 058.0=α .96.0 348184.0 1016.6 .184.0)4.01( 2 3 cm Fz M A mdz ed u = × = × = =−= − α On prend alors 1HA12 2 1.13 .A cm⇒ = Condition de non-fragilité .13.1 2 min mA ≤ Soit 1HA12 .13.1 2 cmA = Vérification à l’ELS ( )2 1 3 1 1 15 3 ydA yb orI I yM stSRH SRH ser bc −××+ × = × =σ 1y étant la solution de l’équation de second degré suivante : .0102.30017.0165.0 .01515 2 4 1 2 1 1 2 1 =×−×+×⇒ =××−××+× − yy dAyAy b stst La résolution de cette équation donne : 1y =0.037 m. Ainsi, obtient-on : ( ) 3 24 4 4 SRH 3 bc 4 0.33 0.037 I 15 1.13 10 0.189 0.037 0.447 10 m . 3 3.33 10 0.037 2.75MPa. 0.447 10 − − − − × = + × × × − = × × × σ = = × Donc, on a bien bcbc σσ ≤ OK 6. Armatures transversales La contrainte tangente ultime est donnée par : db Vu u ⋅ =τ 0 Or l’effort tranchant maximal est : max 13.18uV kN= Donc MPa db Vu u 21.0 189.033.0 18.13 0 max max = × = ⋅ =τ
  • 64. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 64 mcm b S A u t t /76.3 5.211 21.033.015.1 5,211 15.1 20 = ×× = ×× ≥ τ 6étrier1Soit Φ Soit At = 0.58 cm2 . Or l’espacement maximal est défini comme suit: cmcm d St 01.17 0Asi15 40 9,0 min '' minl ≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠⋅ ⋅ ≤ φ Soit St = 15 cm Le pourcentage minimal d’armatures est donné par la formule suivante: mm f b S A ett t /1061.54,0 240 − =≥ Donc soit St = 10 cm Vérification du béton Dans l’âme : .66.25,2.0inf 28 MPaMPa f b c u =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ×= γ τ ( )u umax 0.21MPa OKτ = ≤ τ ⇒ Jonction table-nervure table umax 1 u 0 table u u V b 13.18 0.13 0.61MPa. 0.9 d b h 0.9 0.189 0.33 0.05 OK × × τ = = = × × × × × × τ ≤ τ ⇒ Vérification des aciers de glissement Appui de rive : .64.0 235 15.11018.1315.1 2 3max cm f V A e u g = ×× = × ≥ − Il suffit alors de prolonger la barre inférieure. Bielle d’about a = 0.2 - 0.02 - 0.025 = 0.155 m ; .515.0 33.0155.0 1018.1322 3 0 max MPa ba Vubielle c = × × = × × = − σ bielle c28 c 0.8 f 10.66MPa OK 1.5 × σ ≤ = ⇒
  • 65. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 65 7. Plan de ferraillage Figure 31.Ferraillage de la nervure hyperstatique 7.1 Comparaison entre calcul manuel et calcul ARCHE Dans cette partie, on va comparer les sollicitations et les sections d’aciers données par le calcul manuel et par le calcul d’ARCHE. Tableau 15. Comparaison entre calcul manuel et calcul ARCHE Appuis A B C D Mu 0 -8.11 -4.73 0Calcul manuel Mu 0 -8 -5 0Calcul ARCHE 0 0.59 0 0Calcul manuel At Ac 0 2.01 0.79 0 At 0 2.02 0 0Calcul ARCHE Ac 0 5.62 1.54 0 • Interprétations On peut conclure que les sollicitations et parsuite les sections d’armatures données par ARCHE sont supérieures aux sollicitations calculées manuellement.
  • 66. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 66 7.2 Plan de ferraillage • Travée A-B Figure 32.Ferraillage T1
  • 67. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 67 • Travée B-C Figure 33.FerraillageT2
  • 68. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 68 • Travée C-D Figure 34.FerraillageT3
  • 69. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 69 Chapitre 6 : Etude des poteaux 1. Introduction [5] Un poteau est une poutre droite verticale soumise uniquement à la compression centrée. L’ensemble des forces extérieurs agissant à gauche d’une section se réduit à un effort normal unique N de compression perpendiculaire à la section et appliquée au centre de gravité G. Le béton résiste très bien à la compression ; les armatures sont donc inutiles, en effet, les charges appliquées ne sont jamais parfaitement centrées (dissymétrie de chargement, imperfections d’exécution, solidarité avec les poutres). Pour cette raison, on introduit des armatures destinées à résister aux moments ainsi créés. Ces moments sont difficiles à évaluer. Les armatures sont donc calculées forfaitairement dans le cas de bâtiments courants. Le poteau ainsi constitué de béton et d’armatures longitudinales seules a une résistance médiocre au flambement des armatures ; on introduit donc des armatures transversales pour y remédier. 2. Hypothèses On considère conventionnellement comme soumis à une compression centrée pour faire la distinction avec la flexion composée tout poteau sollicité par : • Un effort normal de compression N. • Des moments n’intervenant pas dans les calculs de stabilité et de résistance des éléments qui lui sont liés lorsque les excentricités sont faibles (point d’application de l’effort normal à l’intérieur d’une zone réduite du noyau central par une homothétie de rapport 1/2. Dans un poteau en compression centrée le centre de gravité du béton et celui des armatures sont confondus. 3. Exemple de calcul d’un poteau rectangulaire 3.1 Présentation Nous détaillerons dans ce qui suit une étude complète du poteau P6 de sous-sol. Ce poteau est soumis à une compression simple. [4] Le poteau est soumis à : • Un effort de compression permanent 1415.72GN kN= • Un effort de compression d’exploitation 573QN kN= On adoptera l’hypothèse que plus de la moitié des charges est appliquées avant 90 jours. On note que la durée d’application des charges est supérieure à 24 heures. 3.2 Sollicitation à l’état limite ultime MNkNNNN QGu 7777.272.27775735.172.141535.1.5.1.35.1 ==×+×=+= 3.3 Coffrage a. Dimension imposée L’épaisseur de la poutre du plancher est mb 4.0=
  • 70. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 70 b. Dimensionnement • La longueur de flambement : Poteau de section rectangulaire : Figure 35.Caractéristiques de la section ( ) 3 poutre 4 3 poutre I 0.3 0.4 K 4.14.10 m l 12 3.86 −× = = = × l : étant la plus grande travée voisine au poteau La raideur du poteau est égale à : ( ) 34 3 10.66.10 312 4.06.0 m l I K poteau poteau poteau − = × × == poutre poteauK K< mllf 3.30 == • L’élancement Section rectangulaire : 57.28 4.0 123.312 12 = × ==⇒= a la i f λ • Le coefficient β 13.1 35 57.28 2.01 35 2.0150 2 2 2 2 =+=+=⇒≤ λ βλ • La section réelle calculée 100 .85.0 9.0 .. edbu u r ff NK B +θ β ≥ jours.90jàappliquéeestchargesdesmoitiéladepluscar10.1 <=k
  • 71. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 71 2 22.0 100 348 .85.0 9.0 33.11 1 7777.213.11.1 mBr = + ×× ≥ a = 40cm et b = 60 cm. rB = 0.2204 m2 > 0.22 m2 OK 3. 4 Armatures longitudinales a. Effort normal ultime Charges sur plancher : 2777.7 kN Poids propre du poteau : 26.73 kN Nu = 2804.43kN = 2.804MN. b. La section résistante • L’effort équilibré par le béton ( )( ) MN fB N bur b 77.2 9.0 33.11.02.06.0.02.04.0 .1 9.0 . . = −− == θ • L’effort équilibré par les aciers MNNNkN bus 71.077.2804.213.110.1.. =−××=−= β • La section des aciers longitudinaux 24 cm2410 34885.0 71.0 .85.0 = × == ed s f N A c. Les sections extrêmes ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 100 B 0.2 perimetrede/4 max 2 min mcm A ( ) ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = × =+× = 2 2 min cm8.4 100 4006 0.2 84.06.0.24 max cm A 100 5max B A = ( ) 2 max 120 100 4060 5 cmA = × ×= d. La section retenue 16HA 14 : 2 cm64.2454.116 =×
  • 72. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 72 3. 5 Armatures transversales a. Choix des armatures transversales On prend 16 HA 16 et 2 cadres et 2 étriers RL de diamètre 6 mm comme suit : Figure 36.Ferraillage poteau mm mm mm t t lt 6 12 666.414 3 1 3 1 =φ⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ≤φ ==φ≈φ Suivant (b = 60) et avec un enrobage de 2.5 cm et 144φ , l’espacement des armatures est : ⇒<= ×−×−− = cmcmc 4066.15 3 )6.04()4.14(560 Ok Suivant (a= 40) et avec un enrobage de 2.5 cm et 144φ on aura ⇒<= ×−×−− = cmcmc 409 3 )4.14()6.04(540 ' Ok b. Espacement en zone courante ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥Φ +≤ minlmin AApour15 cm10a cm40 MinSt cmMinSt 21 21cm15.1.4 cm1040 cm40 = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = +≤ 2 Cadre +2 épingle φ6 St=20 cm c. Zone de recouvrement La longueur de recouvrement pour les Barres HA Fe E 400 est donnée par la formule suivante : φ40=sl . cmls 564.14014 =×=⇒φ Cas courants sr ll .6.0=⇒ cmlr 356.33566.014 ==×=⇒φ Recouvrement des φ 14 : 3 (2cadre + 2 épingle) φ 6 :
  • 73. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 73 cmSt 6.16 2 6.0335 = ×− = Soit cmSt 6.16= Figure 37.Détail de ferraillage d’un poteau type P6 4. Exemple détaillé de calcul d’un poteau circulaire P8 On se propose d’étudier un poteau circulaire de type P8 de sous-sol. On a pour un poteau circulaire: a la i a B a I f.4 4 4 . 64 . 2 4 =⇒= ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = = λ π π Ce poteau est soumis à une compression simple estimée à : • 1200GN kN= Un effort de compression permanent. • 450QN kN= Un effort de compression d’exploitation. 4.1 Sollicitation à l’état limite ultime MNkNNNN QGu 295.222954505.1120035.1.5.1.35.1 ==×+×=+=
  • 74. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 74 4.2 Coffrage a. Dimension imposée L’épaisseur de la poutre du plancher est mb 4.0= b. Dimensionnement • La longueur de flambement ( ) 3 poutre 4 3 poutre I 0.3 0.4 K 4.14.10 m l 12 3.86 −× = = = × En estimant la longueur du poteau à 3 m, la raideur du poteau est égale à : ( ) 34 3 10.45.20 364 5.0 m l I K poteau poteau poteau − = × × == π poteaupoutre KK < mllf 3.30 == • L’élancement Section circulaire : 4.26 5.0 3.34.4 4 = × ==⇒= a la i f λ • Le coefficient β 11.1 35 4.26 2.01 35 2.0150 2 2 2 2 =+=+=⇒≤ λ βλ • La section réelle calculée jours.90jàappliquéeestchargesdesmoitiéladepluscar10.1 <=k 2 168.0 100 348 .85.0 9.0 33.11 1 295.207.11.1 mBr = + ×× ≥ . Or pour un cercle de diamètre a =0.5 m : 2 22 18.0 4 )48.0( 4 )2( m a Br == − = ππ OK 4.3 Armatures longitudinales a. Effort normal ultime Charges sur plancher : 2295 kN Poids propre du poteau : 1.35 x 16.2 kN Nu = 2316kN = 2.316MN
  • 75. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 75 b. La section résistante • L’effort équilibré par le béton MN fB N bur b 28.2 9.04 33.1148.0 .1 9.0 . . 2 = × ×× == π θ • L’effort équilibré par les aciers MNNNkN bus 54.028.2316.211.110.1.. =−××=−= β • La section des aciers longitudinaux 24 cm25.1810 34885.0 54.0 .85.0 = × == ed s f N A c. Les sections extrêmes ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 100 B 0.2 perimetrede/4 max 2 min mcm A ( ) ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = × × =××× = 2 2 2 min cm92.3 1004 50 0.2 28.625.02.4 max π π cm A 100 5max B A = ( ) 2 2 max 98 1004 50 5 cmA = × × ×= π d. La section retenue 12A 14 : 2 cm48.1854.112 =× 4.4 Armatures transversales a. Choix des armatures transversales On adopte le ferraillage (12HA14+1cerce+4épinglesD6) représenté sur la figure38. Figure 38.Détail de ferraillage du poteau
  • 76. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 76 mm mm mm t t lt 6 12 666.414 3 1 3 1 =φ⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ≤φ ==φ≈φ b. Espacement en zone courante ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥Φ +≤ minlmin AApour15 cm10a cm40 MinSt ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =+≤ 21cm15.1.4 06cm1050 cm40 cmMinSt St=18cm 5. Ferraillage a. Poteau rectangulaire Figure 39.Détail de ferraillage du poteau
  • 77. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 77 b. Poteau circulaire Figure 40.Détail de ferraillage du poteau circulaire
  • 78. PFE ENIT 2008 CHAIBI&JENZRI 78 Chapitre 7 : Etude des escaliers 1. Terminologie Un escalier se compose d’un certain nombre de marches. On définira dans ce qui suit la terminologie spécifique aux escaliers : - L’emmarchement : largeur des marches perpendiculairement à la pente - g : Le giron (marche) : largeur d’une marche, variant de 0.26 à 0.36m - h : la hauteur d’une marche (contremarche), variant de 0.13 à 0.17m - Le mur d’échiffre : mur qui limite l’escalier - La paillasse : plafond qui monte sous les marches - Pente : g h = - α : inclinaison de la volée ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = g h arctgα - H : hauteur de la volée, égale à la hauteur libre sous plafond + épaisseur du plancher fini. - L : longueur projetée de la volée. - e : épaisseur de dalle (paillasse ou palier). - La cage : volume circonscrit à l’escalier. - La volée : ensemble de marches (3 au minimum) entre deux parties horizontales. - Le palier : partie horizontale d’accès ou d’arrivée d’une volée. - Profondeur de marche = giron +débord de nez de marche. a paillasse h(contre-marche) g(marche) palier nez de la marche e e L H Figure 41.Coupe d’une volée escalier