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Hydrologie : cycle de l'eau et modélisation pluie-débit


                                          Eric   Gaume
                                       2 novembre 2000


Table des matières
1 Introduction                                                                                     1
   1.1   La notion de bassin versant      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    1
   1.2   Les diérents termes du bilan hydrologique         . . . . . . . . . . . . . . . . . .    2
   1.3   Les ressources souterraines     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     4
   1.4   En guise de conclusion partielle : la notion de régime d'écoulement          . . . . .    5


2 L'Eau, le sol, la plante : éléments du bilan hydrique à l'échelle de la
  parcelle                                                                                         8
   2.1   Les besoins en eau des plantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        8
   2.2   disponibilité de l'eau du sol    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    9
   2.3   Estimation de l'évapotranspiration potentielle et de l'évapotranspiration réelle 10
         2.3.1   La formule de Penman         . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   12
         2.3.2   Autres formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      13
   2.4   calcul de l'évapotranspiration réelle à partir de l'ETP . . . . . . . . . . . . .        13


3 La circulation de l'eau dans les sols                                                           15
   3.1   Sols saturés   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15
   3.2   Sols insaturés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     16
   3.3   L'inltration : l'entrée de l'eau dans le sol    . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17
   3.4   Le cas particulier de la battance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      19
   3.5   La redistribution de l'eau dans le sol après une averse . . . . . . . . . . . . .        20
   3.6   On retiendra en conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       22


4 La constitution des débits de crue à l'échelle du bassin versant : une
  énigme dicile à résoudre                                              23
   4.1   Les processus possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      23
   4.2   conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     25


5 La modélisation hydrologique                                                                    26
   5.1   Quelques éléments de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         26
   5.2   Pourquoi des modèles hydrologiques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         27
   5.3   Diérentes approches de modélisation         . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   29


6 Travail dirigé : applications hydrologiques de modèles pluie-débit glo-
  baux                                                                    32
   6.1   Avant propos     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   32
   6.2   Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     32
         6.2.1   Présentation du logiciel Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      32
         6.2.2   Mise en route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      33



                                                 i
6.2.3   Les données et les fonctions utilisées    . . . . . . . . . . . . . . . . . .    33
6.3   Première partie : calage et choix de modèles hydrologiques . . . . . . . . . .           33
      6.3.1   Les modèles proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       33
      6.3.2   Le calage   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    35
      6.3.3   La validation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    36
      6.3.4   Travail à réaliser   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   37
6.4   Deuxième partie : prévision à courte échéance        . . . . . . . . . . . . . . . . .   37
      6.4.1   Les diérentes techniques de prévision      . . . . . . . . . . . . . . . . .    37
      6.4.2   Travail à réaliser   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   39
6.5   Troisième partie : dimensionnement de barrages-réservoirs          . . . . . . . . . .   40
      6.5.1   Travail à réaliser   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   40




                                              ii
1 Introduction
1.1 La notion de bassin versant
   An de pouvoir mettre en relation les précipitations (pluie, neige) et les débits d'un
cours d'eau, il est nécessaire de délimiter les surfaces qui contribuent à alimenter l'écou-
lement de ce cours d'eau. L'ensemble de ces surfaces constitue le            bassin versant .   Sa
délimitation se base généralement sur la topographie (gure 1). Le bassin versant regroupe
alors toutes les surfaces qui, par ruissellement superciel, contribuent à l'écoulement au
niveau de la section de rivière considérée. On parle aussi d'      impluvium .




  Fig. 1     Exemple de délimitation d'un bassin versant à partir des courbes de niveau


   Il faut cependant conserver à l'esprit que l'alimentation d'un cours d'eau ne se fait
pas uniquement par ruissellement superciel - nous y reviendons dans ce qui suit. Les
écoulements souterrains sont guidés par le       pendage 1     des couches géologiques les moins
perméables ou par un réseau karstique s'il en existe
                                                           2 . Le rapport entre les volumes d'eau

tombés sur l'impluvium et les volumes écoulés peuvent donc être trompeurs. Le cas extrême
est celui de la Sorgue : rivière du Vaucluse alimentée par l'une des résurgences karstiques
les plus importantes d'Europe. Le débit moyen annuel de la Sorgue est de 18.5         m3 /s.   Son
bassin versant délimité par la topographie au droit de cette résurgence est d'environ 15
km2 .   L'écoulement moyen annuel de la Sorgue rapporté à la surface de son bassin versant
équivaut à 38 000 mm !!! De fait, l'ensemble des surfaces contribuant à l'alimentation de
la source de Fontaine de Vaucluse est estimé à 2500            km2 .   L'écoulement moyen annuel
rapporté à cette nouvelle surface est beaucoup plus raisonnable : 476 mm.


   On retiendra que la délimitation du bassin versant permet de comparer les lames d'eau
précipitées et l'écoulement observé dans le cours d'eau, qui peut alors être exprimé en mil-
limètres. La délimitation du bassin versant se base le plus souvent sur la topographie. Elle
peut cependant être trompeuse. La géométrie d'un bassin versant évolue donc en fonction

  1. inclinaison des formations géologiques sédimentaires
  2. La dénition du karst est donnée dans la partie 1.3 de ce document



                                                  1
Fig. 2    Coupe géologique transversale d'un relief illustrant la diérence entre un bassin
versant délimité à partir de la topographie et les surfaces contribuant à un écoulement.



des processus dominants d'alimentation de l'écoulement (superciels et souterrains), pro-
cessus variables suivant la période de l'année et l'événement pluvieux.


1.2 Les diérents termes du bilan hydrologique
    Le territoire français reçoit en moyenne 700 mm de précipitations annuellement. Les
cumuls annuels de pluie sont relativement homogènes à l'échelle nationale : 788 mm à
Nantes, 762 mm à Nîmes, 610 mm à Strasbourg et 670 mm à Paris. Ne se distinguent
nettement que le Pays Basque (1500 mm à Biarritz) et les régions à relief marqué soumises
aux précipitations   orographiques 3 (980 mm à Grenoble, 2200 mm à la station du Mont-
Aigoual dans le Gard).
    Cependant, plus de la moitié des précipitations retourne vers l'atmosphère par évapora-
tion et transpiration des végétaux (cf g. 3). Il s'agit là toujours d'une moyenne. L'         indince
ou coecient d'écoulement            (rapport écoulements/précipitations) varie très sensible-
ment d'un cours d'eau à l'autre. Il dépend en particulier du climat, du cumul annuel de
pluie, de sa répartition au cours de l'année, des caractéristiques géomorphologiques et géo-
logiques des bassins versants et de l'occupation des sols. L'indice d'écoulement est généra-
lement supérieur à 50% dans le cas des bassins versants méditerranéens ou de montagne.
En revanche, il est inférieur à 20% dans le cas de certains cours d'eau de l'Eure ou de la
Sarthe (l'écoulement moyen annuel de l'Eure est inférieur à 100 mm).
    Si l'on superpose le   hyetogramme des pluies (série chronologique des intensités de
pluie mesurées) et    l'hydrogramme (série chronologique des débits) des débits mesurés
pour un bassin versant, on observe un fort eet d'atténuation lié à la transformation pluie-
débit (gure 4). On constate de plus que les débits ne décroissent que progressivement
lorsque la pluie est nulle ou très faible. Ceci suggère que les écoulements sont réalimentés
par un réservoir à temps de réponse élevé : les réserves d'eau souterraines ou nappes.


    On retiendra que plus de 50% des précipitations retourne à l'atmosphère par évapo-
transpiration dans le cas des cours d'eau à alimentation pluviale sous nos climats tempérés.

    3. Les précipitations orographiques sont provoquées par l'ascendance des masses d'air sous l'eet du
relief


                                                   2
Fig. 3    Ordres de grandeur des termes du bilan hydrologique sous un climat océanique
tempéré




Fig. 4    Pluies et débits mesurés en 1981 pour le Sauzay, auent de l'Yonne à la station
de Corvol l'Orgueilleux (bassin versant de 81  km2 )




                                             3
La part des contributions souterraines aux écoulements superciels est très variable mais
constitue aussi en moyenne plus de 50%. Attention, le cas des cours d'eau de montagne
alimentés par la fonte de neige ou de glaciers est diérents. Nous y reviendrons un peu plus
loin.



1.3 Les ressources souterraines
    Nous ne présenterons ici que quelques idées importantes nécessaires à la compréhension
de la constitution des écoulements : quelle est la nature des formations géologiques pouvant
renfermer des nappes et quelle est le volume de ces réserves souterraines et leur contribution
aux écoulements de surface ?
    Certaines formations géologiques sont poreuses et perméables et constituent un lieu de
stockage et d'écoulement souterrain de l'eau. Il s'agit essentiellement


    des formations sédimentaires calcaires. c'est le domaine du           karst :   ssures plus ou
        moins élargies, galeries ou diaclases constituées par dissolution du calcaire. La cir-
        culation de l'eau dans les aquifères karstiques est un cas tout-à-fait particulier. Elle
        s'apparente plus à un système de drainage par chevelu de rivières souterraines qu'à
        un écoulement dans un milieu poreux, et l'étude des systèmes karstiques est une spé-
        cialité spécique de l'hydrogéologie. Les principaux aquifères karstiques français sont
        situés sur les grands plateaux calcaires du Jura, des Causses, du Vaucluse. Citons
        aussi la nappe de la craie du bassin parisien.

    des formations des bassins sédimentaires qui n'ont pas été compactées et métamor-
        phosées lors d'orogénèses postérieures à leur constitution. Il s'agit des formations
        des deux grands bassins sédimentaires parisiens et aquitains, et de certains dépôts de
        l'aire tertiaire (Limagne, Vallée du Rhône).

    des plaines alluviales présentes le long de la majeure partie des cours d'eau. Les maté-
        riaux alluvionaires déposés au cours de l'aire quaternaire sont constitués de matériaux
        parfois grossiers (graviers) peu consolidés. Les nappes alluviales, souvent en relation
        directe avec le cours d'eau sont aussi appelées nappes d'accompagnement. Elle sont
        en équilibre dynamique avec le cours d'eau. Suivant la période de l'année et le niveau
        d'exploitation de la nappe, le cours d'eau réalimentera la nappe ou la drainera.


    Dans les régions montagneuses sur socles ou terrains sédimentaires plissés, les nappes
sont rares et fragmentaires. On les rencontre essentiellement dans les zones d'altération
(arènes), les dépôts alluviaux, les zones ssurées ou encore au sein de certaines formations
volcaniques (massif central).
   Les stocks d'eau souterrains situés à moins de 800 mètres de profondeur représentent
4 millions de km3 soit 0.31% de l'eau à la surface du globe. Ce chire est à comparer
                     3
avec les 120 mille km que représentent l'ensemble des eaux douces supercielles terrestres
(de Marsilly, 1981). Les nappes sont donc une ressource importante d'eau.
    La plupart des nappes peu profondes réalimentent les écoulements de surface, qu'elles
soient directement drainées par un cours d'eau, ou qu'elles les alimentent par des sources.
                                                                             3
Le débit total provenant des nappes en France représente 280 millions de m /j , soit 1/4 à
1/5 des précipitations et 60% du débit total des cours d'eau.
    Il est important de noter qu'un    aquifère 4 est un système en équilibre dynamique réali-
menté par les pluies ou la réinltration d'écoulements superciels. Un prélèvement eectué

   4. désigne un terrain perméable contenant une nappe d'eau souterraine en géologie, et le réservoir
souterrain d'eau en hydrogéologie


                                                  4
dans une nappe modiera cet équilibre et se traduira par une réduction de la                      charge    de
la nappe et donc la diminution des débits des cours d'eau et des sources alimentées par la
nappe ou à terme par le tarrissement des puits artésiens
                                                                      5




Fig. 5  Exemple d'une nappe captive et mise en évidence de l'artésianisme : nappe des

sables éocènes de Gironde. (de Marsilly, 1981)




Fig. 6  Exemple d'un système de nappes superposées typique des bassins sédimentaires :

nappes des sables de Fontainebleau et des calcaires de Brie (de Marsilly, 1981)




    On retiendra que la contribution des nappes souterraines représente environ 60% des
écoulements superciels en moyenne à l'échelle nationale. Que le système nappe-rivière
et plus encore nappe alluviale - rivière est un système en équilibre. Un prélèvement dans
une nappe modiera les débits des cours d'eau qui y sont reliés .



1.4 En guise de conclusion partielle : la notion de régime d'écoulement
    Les éléments présentés plus haut permettent de comprendre que les débits des cours
d'eau uctuent au cours de l'année. La forme générale de la courbe d'évolution annuelle
des débits dépend essentiellement de l'évolution des précipitations et de l'évaporation (cf.

   5. Un puit artésien est au sens large un puit où l'eau monte plus haut que le niveau où on l'a rencontré
(toit de la nappe). Au sens stricte, c'est un puit où l'eau remonte plus haut que le niveau de la surface
(Foucault  Raoult, 1984). Dans les deux cas l'eau dans la nappe est sous pression (i.e. la cote piezométrique
est située au dessus du toit de la nappe).


                                                      5
gure 7) et du volume et du rythme de mobilisation des stocks d'eau de surface (neige et
de glace) et des stocks d'eau souterrains.




             Fig. 7  Diagramme     ombrothermique       station de Montélimar


   Inversement le   régime d'écoulement d'une rivière, la plus ou moins grande sensibilité
de ses débits aux uctuations saisonnières de pluviométrie et de température est révélateur
de ses principaux mécanismes d'alimentation. On distingue en climat tempéré plusieurs
régimes d'écoulement suivant l'origine principale des débits des cours d'eau (cf. gure 8):


    Le régime tempéré océanique où l'évolution des débits est essentiellement contrôlé par
     les précipitations et l'évapotranspiration. L'amplitude de la uctuation annuelle des
     débits et en particulier le niveau des écoulements en période d'   étiage   (faibles débits
     estivaux) dépendra de la puissance des nappes alimentant le cours d'eau (cf. gure
     8).

    Le régime méditerranéen où les contrastes saisonniers sont plus marqués que dans
     le cas du régime tempéré océanique avec parfois une interruption des écoulements en
     été. La reprise des écoulements est aussi plus brutale à l'automne du fait des fortes
     précipitations observées en cette saison.

    Le régime à fusion nivale présentant un pic d'écoulements au début du printemps
     (mars-avril) plus marqué lié à la fonte de neige.

    Le régime montagnard à fusion glaciaire est caractéristique des bassins versants rece-
     vant la majeure partie des précipitations hivernales sous forme de neige. Les écoule-


                                             6
ments correspondants à la fonte du manteau neigeux et des glaciers suivent l'évolution
     des températures




Fig. 8  Régimes d'écoulement caractéristiques (les débits mensuels sont normés par le

débit moyen annuel. Les diagrammes de la seconde ligne montrent la variabilité au sein du
régime tempéré océanique(source inconnue)


   En régime tempéré océanique l'étiage se produit en saison estivale. Dépendant de la
puissance des nappes présentes sur le bassin versant, cet étiage peut être plus ou moins
prononcé comme l'illustre la seconde série d'hydrogrammes de la gure 8.




                                            7
2 L'Eau, le sol, la plante : éléments du bilan hydrique à l'échelle
  de la parcelle
    Nous avons vu dans la partie précédente le rôle important que jouent l'évaporation
et l'inltration de l'eau dans les sols et les couches géologiques perméables dans le cycle
hydrologique. Nous verrons par la suite le rôle majeur que joue les sols et l'inltration dans
les sols à l'échelle d'une crue. Cette partie est consacrée à la présentation des principaux
mécanisme contôlant la dynamique de l'évapotranspiration et la circulation de l'eau dans
les sols.


2.1 Les besoins en eau des plantes
    Ressource indispensable à la croissance des plantes, l'eau est un élément constitutif
majeur de la matière végétale, mais aussi une source d'hydrogène et d'oxygène pour la
photosynthèse : hydrolyse. La majeure partie de l'eau consommée par les plantes n'est ce-
pendant pas consacrée à la formation de matière végétale mais à la          transpiration .   La
quantité d'eau que la plante transpire pour synthétiser un gramme de matière sèche,       le
coecient de transpiration , varie suivant les plantes. Il oscille entre 300 et 700 g d'eau
par gramme de matière sèche pour les plantes cutivées (environ 336 g pour le maïs, 700
pour la courgette).
    La transpiration des plantes permet leur régulation thermique et constitue le principal
moteur de circulation des sèves brutes et élaborées. Le taux de transpiration dépend des
conditions climatiques (température, rayonnement solaire, décit d'humidité de l'air, vent),
du type de plante, du stade végétatif et de sa croissance (en particulier de l'indice foliaire
comme l'illustrent les gures 9 et 10), et disponibilité de l'eau du sol.




Fig. 9  Rapport entre l'évapotranspiration réelle et potentielle en fonction de la surface

foliaire (exprimée en indice foliaire) (Soltner, 1990)


    Si la ressource en eau dont dispose la plante n'est pas limitée (ie le sol est saturé en
eau) le taux de transpiration est maximal : on parle      d'évapotranspiration maximale
réelle   . Dans le cas contraire la plante sourira de   stress hydrique . La plante réduira
son activité biologique et photosynthétique, et donc sa consommation en eau.


    On retiendra que les plantes ont besoin pour assurer leurs fonctions biologiques de
transpirer une quantité importante d'eau qui peut atteindre 4 à 6 mm/jour pendant les



                                               8
Fig. 10  Evolution annuelle de l'évapotranspiration maximale de diérentes espèces végé-

tales cultivées (Soltner, 1990)



périodes des besoins les plus forts. Si l'eau la quantité d'eau disponible dans le sol est limi-
tée, la plante sourira de stress hydrique. Elle réduira alors son activité photosynthétique
et biologique et sa consommation en eau .



2.2 disponibilité de l'eau du sol
    Le terme de sol désigne l'ensemble hétérogène des matériaux issus de l'évolution d'un
substrat minéral sous l'action combinée de facteurs climatiques (température, précipitation)
et de l'activité biologique (racines de végétaux, animaux fouisseurs, accumulation de ma-
tière organique en décomposition, micro-organismes). Le sol constitue la principale réserve
en eau dans laquelle puisent les végétaux grâce à leurs systèmes racinaires. Les sols sont
extrêmement variés par leur composition chimique, minéralogique, leur épaisseur, leurs
propriétés mécaniques. On retiendra cependant quelques idées et ordres de grandeur clés.
    Le sol est un milieu poreux.     La porosité     des sols (ie pourcentage du volume total d'un
bloc de sol occupé par les pores) se situe généralement entre 40 et 60%. Sous l'eet des
pluies et des circulations souterraines, les pores du sol peuvent se remplir d'eau. Une partie
cette eau est libre de s'écouler par gravité : on parle      d'eau gravitaire .   Elle ne séjourne
donc que transitoirement dans le sol. Une autre partie de l'eau est retenue dans les sols
par la capillarité, les forces électrochimiques et les liaisons moléculaires. Elle ne peut-être
extraite que par l'application d'une force de succion supérieure à la force d'adhésion entre
l'eau et le sol. Plus le   taux d'humidité        du sol (ie pourcentage du volume total d'un bloc
de sol occupé par l'eau) diminue plus les forces d'adhésion entre le sol et l'eau, on parle de
forces de   succion du sol , sont importantes. La succion du sol est le plus souvent exprimée
en unités de pression en     g/cm2   ou en   cm   d'eau (cf. tableau 1).
    Le taux d'humidité correspondant au volume maximal d'eau qu'un sol peut retenir
après ressuyage (écoulement de l'eau gravitaire) est appelé par les agronomes            capacité
au champ .     Au delà d'une certaine succion les racines des plantes ne sont plus en me-
                                                                 point de étrissement
sure d'extraire l'eau du sol. La plante se fane ; on parle alors de
permanent . La quantité d'eau qui peut être libérée entre la capacité au champ et le point
de étrissement permanent est la réserve utile du sol exprimée en mm/m de sol. La
profondeur explorée par les racines d'un végétal détermine la réserve utile globale en mm.
    La relation entre l'humidité et la succion dépend du sol et en particulier de sa     texture

                                                    9
Succion P (g/cm )
                                      2    Pf =   log(P )        Taux d'humidité


                            0                                       Saturation
                           10                     1
                           100                    2
                           500                  2.7            Capacité au Champ
                         1 000                    3
                         10 000                   4
                         16 000                 4.2           Point de étrissement
                                                                    permanent
                        100 000                   5            Terre séchée à l'air
                                                            (humidité relative 92%)
                       1 000 000                  6            Terre séchée à l'air
                                                            (humidité relative 48%)



Tab. 1  Valeurs de la succion ou du potentiel capillaire (pF) correspondant aux valeurs

caractéristiques de l'humidité du sol



et de sa teneur en acides humiques issus de la décomposition de la matière organique végé-
tale (cf. gure 11). La texture désigne la proportion relative d'éléments grossiers (sables :
diamètre    50µm), d'éléments intermédiaires (limons : diamètres compris entre 2 et 50 µm)
et d'éléments ns (argiles : diamètres inférieurs à2µm) dans la composition du sol 6 .
    La réserve utile des sols se situe entre 70 mm/m pour des sols à texture sableuse et 150
mm/m pour des sols limoneux et argileux.
    Cependant, si cette eau peut être extraite par les plantes, au delà d'une certaine succion
la plante est soumise à un stress hydrique (cf. gure 12). Elle ne dépérit pas totalement,
mais réduit son activité biologique et donc son évapotranspiration. Le taux d'humidité pour
lequel apparaît le stress dépend des conditions climatiques auxquelles est soumise la plante.
Il est d'autant plus élevé que l'évapotranspiration potentielle est forte.


    On retiendra que l'eau du sol existe dans trois états. L'eau libre qui peut s'écouler
gravitairement et donc réalimenter les nappes plus profondes ou le cours d'eau. La quantité
maximale d'eau libre se situe généralement entre 150 et 250 mm/m suivant les sols. La
réserve utile qui ne peut s'écouler gravitairement mais peut, du moins dans les horizons
explorés par les racines, être remobilisée par les plantes. La reserve utile représente entre
70 et 150 mm/m. Le reste de l'eau est lié trop fortement aux sol pour pouvoir en être
extrait, du moins naturellement .



2.3 Estimation de l'évapotranspiration potentielle et de l'évapotranspi-
    ration réelle
    L'évapotranspiration potentielle (      ETp)      est théoriquement la quantité d'eau que cède
une culture en pleine croissance couvrant totalement un sol largement pourvu d'eau par
transpiration des plantes et évaporation du sol. Elle dépend donc du stade végétatif, de la
plante, et des conditions climatiques.
    L'ETp est aussi une mesure climatique, dont la valeur est établie à partir de relevés

   6. Attention de ne pas confondre les termes d'argiles et de limons utilisés ici comme qualicatifs tex-
turaux avec ceux désignant les minéraux argileux ou les formations géologiques limoneuses (limon des
plateaux).


                                                      10
Fig. 11  Evolution schématique de la réserve utile du sol en fonction de sa texture (Soltner,

1990)




Fig. 12  Rapport entre l'évapotranspiration réelle et l'évapotranspiration potentielle en

fonction du pourcentage de la réserve utile disponible (Soltner, 1990)




                                              11
culture          mai    juin   juillet     août     septembre


                  Prairie de Fauche      0.95   1.15   1.15        1.10        1.20
                         Maïs            0.60   0.75    1.05       1.15        0.95
                  Betterave à sucre      0.65   1.10   1.30        1.15        0.90
                   Pomme de terre        0.65   1.35    1.45       1.35        0.90
                       Tournesol         0.65   1.20    1.50       1.65        1.30




Tab. 2  Rapport entre ETP Penman et ETM pour diérentes cultures et diérents stades

végétatifs



météorologique selon des formules plus ou moins complexes impliquant des variables mé-
téorologiques mesurables. Il est à noter que l'ETp correspond à une valeur moyenne tous
couverts végétaux confondus. L'évapotranspiration maximale (ETM) d'une formation vé-
gétale peut être supérieure à l'ETP (cf tableau 2). Notons que l'ETP moyenne annuelle
est essentiellement contrôlée par la lattitude en France. Elle évolue de 500 mm pour les
régions les plus septentrionales à 900 mm dans les régions les plus méridionales : valeurs à
comparer avec les 700 mm de précipitations en moyenne annuelle.
   Nous citons ici pour mémoire trois formules utilisées en France.


2.3.1 La formule de Penman
   La formule de Penman, actuellement utilisée par Météo-France, qui fournit pour la plu-
part de ses stations météorologiques des estimations d'ETP décadaires et mensuelles. Cette
formule fait intervenir de nombreux paramètres dont certains sont dicilement mesurables.
La méthode est présentée en détail dans la Monographie n.65 de la Météorologie Nationale
(Brochet  Gerbier, 1974). Nous donnons ici pour mémoire l'expression mathématique de
la formule de Penman.
   Penman a estimé le ux de chaleur latente au niveau du sol et donc le ux d'eau évaporé
à partir d'un simple bilan énergétique :


          Rn−A−S
   R=        L


     Rn      radiation nette reçue au sol
      A      ux de chaleur au bénéce de l'athmosphère
      S      ux de chaleur sensible au bénéce du sol
      R      ux d'eau évaporé
      L      chaleur latente


   La formule développée prend la forme suivante :


                 1     IgaFT                       h       σFT                   √              h
     ET P =       FT    59γ    (1 − a)(0.18 + 0.62 H ) −   59γ   T 4 (0.56 − 0.08 e)(0.10 + 0.9 H )
               1+ γ
                                                                            0.26
                                                                       +      FT   (ew − e)(1 + 0.54V )
                                                                           1+ γ




                                                 12
ET P    évapotranspiration potentielle en mm/j
        Iga    radiation directe solaire en l'absence d'athmosphère en           cal/cm2 /j
          a    albédo de la surface évaporante (0.2 pour la végétation)
          h    durée réelle d'insolation en heures du jour considéré
          H    durée maximale possible d'insolation pour ce jour en heures
          σ                                       7        2
               constante de Boltzman soit 1.18 10 cal/cm /jour/K
          T    température moyenne sous abri en degrés Kelvin
           e   tension moyenne de vapeur d'eau de l'air en millibars
         FT    Pente de la courbe de tension de vapeur saturante à la température T
          γ    constante psychrométrique
         ew    tension de vapeur saturante à la température T
          V    Vitesse moyenne journalière du vent à deux mètres du sol en               m/s

2.3.2 Autres formules
    La formule de Turc permet d'estimer une valeur d'ETP décadaire ou mensuelle en mm. :




                                                      t
                                     Etp = 0.13           (Ig + 50)
                                                   t + 15

   t     température moyenne décadaire en degrés Celsius
  Ig                                        2
         radiation solaire globale en cal/cm /j




    La formule de Bouchet relie l'ETp en mm et l'évaporation               E   en mm mesurée avec un
                  7
évaporomètre Piche pour la période considérée (jour, décade, mois):




                                               Etp = λE



    Le paramètre    λ   dépend de la température :     λ   est inférieur à 1 lorsque la température est
inférieure à 15{° C et supérieur à 1 au delà. Cette formule présente l'intérêt d'expliciter le
lien entre l'évapotranspiration et l'évaporation.



2.4 calcul de l'évapotranspiration réelle à partir de l'ETP
    Dans la plupart des modèles hydrologiques l'évapotranspiration réelle est déduite de
l'évapotranspiration potentielle. De nombreuses formules empiriques sont proposées dans
la littérature. Dans le cas des cultures irriguées on peut se contenter d'appliquer de simples
ratios pour calculer l'évapotranspiration réelle. Les cultures étant supposées disposer de
susamment d'eau l'évapotranspiration réelle est égale à l'évapotranspiration maximale (cf
tableau 2). Dans le cas de la modélisation hydrologique, les couverts végétaux sont souvent
variés sur un bassin versant. De plus, la désaturation des sols et donc le stress hydrique
sont sensibles. On utilise alors des modèles empiriques. Dans plupart des cas on calcule

  7. Tube gradué rempli d'eau dont l'orice supérieur est fermé et l'orice inférieur obstrué par un papier
buvard constituant la surface évaporante. La hauteur d'eau évaporée correspond à la diminution du niveau
dans le tube. L'évaporomètre de Piche doit être placé sous abri pour limiter l'inuence du vent sur la
mesure.


                                                    13
l'évaporation à partir du stock d'eau disponible dans les premiers mètres de sol (approche
de modélisation à base physique) ou dans un réservoir ctif (modèles conceptuels). Nous
donnons ici deux exemples de formulations employées :
   Formule utilisée dans le modèle CREC



                                                        S
                              ET R = ET P 1 − exp −
                                                        X
Formule utilisée dans le modèle GR4j




                                              S        S
                              ET R = ET P         2−
                                              X        X

  S   hauteur d'eau stockée dans le réservoir sol
  X   paramètre à caler




   Compte tenu des incertitudes dans l'estimation de l'évapotranspiration réelle, une va-
leur moyenne décadaire d'ETP, voire une moyenne décadaire interannuelle d'ETP est lar-
gement susante pour la modélisation hydrologique.




                                            14
3 La circulation de l'eau dans les sols
3.1 Sols saturés
   Dans un milieu poreux homogène l'écoulement de l'eau suit généralement la loi de
Darcy (gure 13) :


                                     Q = KA(h1 + l − h2 )/l
  Q   débit traversant le milieu poreux en    m3 /s
  A   section d'écoulement en   m2
  K   conductivité hydraulique à saturation du milieu traversé en       m/s




                         Fig. 13    Dispositif expérimental de Darcy

   La loi Darcy stipule que la vitesse macroscopique apparente d'écoulement au travers
d'un milieu poreux est directement proportionnelle au gradiant de charge hydraulique
auquel il est soumis. L'équation précédente peut s'écrire sous une forme plus générale,
toujours dans une dimension de l'espace :



                                                   δh
                                           q=K
                                                   δz
  q   vitesse macroscopique aparente d'inltration      m/s
  h   charge hydraulique en m    h = z + P/(ρg)
  z   altitude
  ρ   densité de l'eau
  g   accélération de la pesanteur
  P   pression




                                              15
Il est à noter que    q   est une vitesse macroscopique apparente : c'est la vitesse moyenne
d'écoulement sur l'ensemble de la section. La vitesse moyenne macroscopique - vitesse
de propagation d'un traceur non réactif -              v = q/ne          où   ne   est la porosité du milieu, est
supérieure à    q.   Dans un milieu poreux hétérogène comme le sont la plupart des sols, seule
une partie des pores participent activement à l'écoulement (les macropores). La diérence
entre vitesse macroscopique apparente et vitesse macroscopique moyenne peut être encore
plus marquée.
     Le paramètre      K   - conductivité hydraulique à saturation - représente la vitesse d'inl-
tration verticale de l'eau libre dans un sol saturé. Le gradiant hydraulique est alors égal à
1:P est dans ce cas        indépendant de la profondeur et égal à la pression athmosphérique et
h = z . La valeur de       K (cf tableau 3 donne une indication des capacités d'inltration des
sols naturels. Les valeurs du tableau sont à comparer aux intensités de pluie usuellement
mesurées sous nos climats.


 type de sol                             K ( cm/s)                             K (mm/h)
 Limon argileux peu perméable            1.6 10−4                              6
 Alluvions assez perméables              5.5 10
                                               −4                              20
 Alluvion perméable                      de 8.4 10
                                                   −4           à   3.410−3    de 30 à 120
 Terre sableuse très perméable           1.4 10
                                               −2                              500




     Tab. 3     Ordre de grandeur des conductivités hydraulique des sols (Soltner, 1990)




3.2 Sols insaturés
     Dans la plupart des cas les horizons superciels des sols sont partiellement désaturés
au début des événements pluvieux. Dans un sol non saturé, certaines pores sont remplies
d'air et la proportion de pores dans lesquelles l'eau est susceptible de s'écouler diminue
de paire. On peut donc s'attendre à ce que la conductivité hydraulique diminue lorsque
la teneur en eau d'un sol décroît. de plus, alors que la gravité est le principal moteur des
écoulements dans les sols saturés, les forces de succion deviennent dominantes en sol non
saturé.
     Par analogie avec les écoulements saturés, Richards (1931) a proposé une relation entre
la vitesse d'inltration et le gradiant de charge hydraulique incluant les termes de gravité
mais aussi les termes de succion :


                                                                    δh
                                                   q = K(Ψ)                                                   (1)
                                                                    δz
     h    charge hydraulique en m         h = z + Ψ(θ)
     z    altitude en m
     θ    teneur en eau volumique
  Ψ(θ)    potentiel matriciel ou succion généralement exprimée en m ou cm




     La relation entre la teneur en eau        θ   et le   potentiel matriciel          Ψ n'est pas bi-univoque.
L'expérience montre en particulier que la courbe d'évolution du potentiel matriciel en
fonction de la teneur en eau obtenue par humidication (sorption) progressive d'un sol
n'est pas la même que celle obtenue par désaturation (désorption). La succion d'un sol
équilibré pour une teneur en eau donnée est en générale plus grande en désorption qu'en




                                                           16
sorption (cf gure 14). Cet eet, appelé   hystérèse est en particulier du à la non uniformité
géométrique des pores et au piégeage de l'air lors de l'humidication des sols.




Fig. 14    Courbe caractéristique d'humidité en sorption et désorption (de Marsilly, 1981)


   Dans la plupart des modèles mathématiques d'écoulement en milieu poreux non saturé,
l'eet d'hystérèse est négligé.
   Les relations entre la conductivité hydraulique, la succion matricielle et la teneur vo-
lumique en eau du sol les plus couramment utilisées sont dues à Brooks et Corey (1966) :



                                                           −1/m
                                                      θ
                                  Ψ(θ) = Ψ(θs )
                                                      θs
  Ψ    succion généralement exprimée en     cm
   θ   teneur en eau du sol généralement exprimée en        cm3 /cm3
  θs   teneur en eau à saturation (porosité)
  m    paramètre




                                                      (2+3m)/m
                                                 θ
                                  K(θ) = Ks
                                                 θs
  K    conductivité hydraulique généralement exprimée en          cm/h
  Ks   conductivité hydraulique à saturation




   Lorsque la teneur en eau du sol diminue, la conductivité hydraulique décroît, mais la
succion matricielle augmente. Les deux eets sont antagonistes, mais on observe le plus
souvent que la vitesse d'inltration de l'eau dans le sol croît lorsque la teneur en eau du
sol diminue.



3.3 L'inltration : l'entrée de l'eau dans le sol
   Nous ne considérerons ici que l'initration verticale : inltration à partir d'un sol ho-
mogène plan et conditions uniformes à la surface du sol. Dans un sol homogène lorsque



                                               17
la surface du sol est submergée, le prol d'inltration présente une zone saturée de plu-
sieurs millimètres sous la surface du sol, une zone proche de la saturation appelée   zone de
transmission ,    et une zone d'humidication présentant un front au gradiant d'humidité
très élevé.




Fig. 15      prol d'humidité au cours de l'inltration dans le cas où la surface est saturée
d'eau (Hillel, 1984)


   Au cours de l'inltration, le front progresse en profondeur et la zone de transmis-
sion s'étale. La conductivité hydraulique décroissant rapidement avec la teneur en eau, le
gradiant de teneur en eau et donc de succion doit être très élevé au niveau du front d'hu-
midication pour assurer un ux vertical équivalent au ux de la zone de transmission.
   La circulation de l'eau lors de l'inltration est souvent considérée comme essentielle-
ment verticale. L'équation générale unidimensionnelle de l'écoulement en sol non saturé
est obtenue en combinant l'équation 1 avec l'équation de continuité :


                                           δθ    δq
                                              =−                                           (2)
                                           δt    δz
   d'où :
                                      δθ     δ      δh
                                         =−    K(θ)                                        (3)
                                      δt    δz      δz
   ou encore :


                                δθ     δ          δΨ(θ)
                                   =−    K(θ) 1 +                                          (4)
                                δt    δz           δz
   Cette dernière équation est souvent reformulée, en introduisant la notion de diusivité :




                                                      dΨ
                                        D(θ) = K(θ)
                                                      dθ


   En remplaceant dans l'équation 4, on obtient :


                                  δθ     δ     δθ
                                     =−    D(θ) + K(θ)                                     (5)
                                  δt    δz     δz
   Il n'existe pas de solution analytique générale de l'équation 5. Certains auteurs ont
proposé des solutions approchées en particulier dans le cas où la teneur en eau est uniforme
dans le prol de sol en début de pluie, et où la surface du sol est maintenue saturée pendant
toute la période d'inltration.




                                               18
Ainsi Philip en 1969 a proposé la solution approchée suivante :


                                          i(t) = 1/2st−1/2 + K                                      (6)


              i(t)   taux d'inltration à la surface du sol en mm/h
       où :     K    conductivité hydraulique à saturation
                 s   sorptivité




       De même Eagleson en 1970 a montré que l'équation de Horton (1939) était une solution
approchée de l'équation 5 :
                                         i(t) = fc + (f0 − fc )e−αt                                 (7)

         f0    taux d'inltration initial à la surface du sol en mm/h
où :     fc    taux minimal d'inltration à la surface du sol en mm/h
          α    paramètre




       Enn citons pour mémoire le modèle empirique développé par le Soil Conservation
Service (SCS, 1968), reliant le volume total ruisselé depuis le début d'un événement pluvial
à la hauteur totale de pluie. Cette formule ne comporte qu'un seul paramètre             S : la capacité
de totale de stockage du sol en mm. Le modèle repose sur l'hypothèse que le coecient
d'écoulement global à un instant donné d'un événement pluvieux est égal au taux de
saturation des sols :


                                               Q    Pe − Q
                                                  =
                                               Pe      S
  Q         Volume total d'eau ruisselé depuis le début de la pluie en mm
  Pe        hauteur cumulée de pluie ecace depuis le début de la pluie mm
   S        capacité maximale de stockage des sols




       L'expérience montre que      Pe   est souvent proche de   P − 0.2S   où   P   est la pluie brute.
L'équation du SCS s'écrit donc :


                                                  (P − 0.2S)2
                                            Q=                                                      (8)
                                                   (P + 0.8S)

       La valeur de    S   dépend du type de sol et des conditions antécédentes d'humidité. Ces
valeurs ont été déterminées expérimentalement pour de nombreux sols aux Etats-Unis et
sont tabulées (Bras, 1990).



3.4 Le cas particulier de la battance
       La   battance est un phénomène mécanique et chimique bien connu des agronomes. Dans
son acception stricte, la battance correspond à la formation sous l'eet de la pluie d'une
croute en surface du sol (Lozet  Mathieu, 1997; Musy  Soutter, 1991; Hillel, 1984). Dans
une acception plus large, on entend par battance la réduction des capacités d'inltration
des sols liée à la destructuration et à la compaction de sa couche supercielle sous l'eet
l'impact des gouttes de pluie. Le taux d'inltration de sols battants est généralement
inférieur à 10 mm/h et peut atteindre 1 mm/h (Bissonnais  Singer, 1993; Hardy et al. ,
1983). Le calcium et les hydroxydes de fer et d'alluminium assurent la liaison entre les



                                                    19
acides humiques et les argiles et jouent donc un rôle majeur dans la stabilité structurale
des sols. Les eaux de pluie faiblement concentrées en calcium ont tendance à disperser les
complexes argilo-humiques et à destabiliser les sols les rendant plus sensibles à l'impact
des gouttes de pluie : le phénomène de battance moins marqué lorsque l'on soumet des
échantillons de sol à une pluie d'eau enrichie en sel de calcium (Hardy et al. , 1983).
    La battance est une propriété souvent associée aux sols limoneux : lorsqu'ils manquent
d'argile, d'humus et de calcium, les limons sont battants (Soltner, 1990). En eet, dans
le cas de sols peu cohésifs, les éléments ns (sables ns et limons) sont entrainés par l'eau
s'inltrant dans le sol et peuvent en colmater les pores. Après assèchement, ces éléments
ns cimentent formant une véritable croûte compacte. Alors que dans la plupart des cas,
la battance est un processus réversible (i.e. l'horizon superciel retrouve pour partie sa
perméabilité initiale en s'assèchant après la pluie), la croûte de battance est stable (Hardy
et al. , 1983).
    Des expériences menées sur des échantillons en laboratoire (Bissonnais  Singer, 1993)
conrment que tous les types de sols peuvent être battants au sens large du terme. Une
couche de battance ne se développe sur les sols à forte teneur en matière organique et en
hydroxydes de fer et d'alluminium, facteurs de stabilisation de la structure, que lorsqu'ils
sont soumis à des intensités de pluie élevées, rarement mesurées (plus de 70 mm/h). La
formation de la couche de battance est progressive : les coecients de ruissellement ne se
stabilisent qu'au bout de 30 minutes à 1 heure dans la plupart des essais des études citées
plus haut. Elle est plus rapide lorsque le sol est initialement sec.
    La couverture végétale brise l'énergie cinétique de la pluie (Ellison, 1945). Par ailleurs
les racines des végétaux stabilisent le sol superciel. La battance concerne donc essentiel-
lement les sols nus directements exposés à l'impact des gouttes de pluie : sols agricoles
travaillés, sols des régions arides et semi arides, chemins de terre (Hillel, 1984). Mis à part
le cas des sols peu cohésifs comme les limons du pays de Caux, l'énergie nécessaire à la
destructuration des sols est élevée. Les intensités moyennes des pluies appliquées dans les
expérimentations en laboratoires citées plus haut - de 30 à 40 mm/h pendant une heure
- correspondent à des pluies de période de retour annuelle en milieu méditerranéen et
décennale en milieu tempéré.
    La battance peut jouer un rôle important dans la génèse des crues majeures de bassins
versants agricoles ou de climat arides et semi arides. Or, elle est très peu évoquée dans la
littérature hydrologique. La plupart des modèles hydrologiques, y compris ceux qui ont été
développés spéciquement pour les bassins semi arides comme KINEROS (Smith et al. ,
1995), ne la prenne pas explicitement en compte.



3.5 La redistribution de l'eau dans le sol après une averse
    Lorsque l'apport d'eau en surface cesse (pluie ou irrigation) les mouvements d'eau
en particulier vers le bas se poursuivent. Une partie de l'eau des couches supercielles
saturées du sols va s'écouler vers les couches plus profondes sous l'inuence de la gravité
et des gradients de succion. Ces mouvements d'eau sont qualiés de        redistribution     car
ils consistent à redistribuer l'eau des couches supercielles les plus saturées en eau après
la période d'inltration (gure 16). Le terme de   ressuyage    est aussi souvent employé.
    Ajoutons quelques remarques.


     En présence d'une nappe d'eau proche de la surface, le prol d'humidité tendra vers
      un prol d'équilibre au cours du ressuyage, pour lequel la succion en chaque point
      sera égal à sa hauteur par rapport au niveau de la nappe d'eau libre. En revanche,
      en l'absence de nappe et dans le cas d'un sol profond le processus de ressuyage
      initialement dominé par la pesanteur, sera progressivement contrôlé par les gradients



                                              20
Fig. 16    prols successifs d'humidité au cours du ressuyage d'un sol à texture moyenne.
Les courbes représentent des prols types 1 ,4 et 15 jours après une pluie (Hillel, 1984)



     de succion. Le processus de ressuyage ressemblera au remplissage d'un tonneau sans
     fond, la vitesse d'inltration dimunuant progressivement à l'image des gradients de
     succion. Dans ce dernier cas la teneur en eau des couches supercielles du sol prendra
     des valeurs inférieures à la capacité au champ.


    La notion de capacité au champ est pédagogique mais n'a pas de réalité physique,
     dans la mesure où nous venons de voir que le prol d'humidité à l'équilibre d'un
     sol et donc la teneur en eau de ses horizons, prol qui est d'ailleurs rarement at-
     teint, dépend essentiellement de la profondeur de la nappe d'eau libre. Un équivalent
     de la capacité au champ ne pourra réellement être mesuré que dans les sols où la
     conductivité hydraulique chutte rapidement quand la succion matricielle augmente :
     sols à structure grossière. La distinction entre écoulements gravitaires et écoulements
     contrôlés par les gradients de succion (très faibles dans ce cas) est alors possible.


    Le ressuyage a été décrit ici sans tenir compte de l'évapotranspiration qui désature
     les premières dizaines de centimètres voire les premiers mètres de sol. Dans un sol
     à structure grossière, le ressuyage étant rapide, on peut négliger l'évaporation pour
     décrire l'évolution des prols d'humidité. Ce n'est pas le cas pour des sols limoneux
     et argileux.


    On imagine aisément, à partir des éléments présentés ici, la compléxité de la dyna-
     mique d'inltrations et de ressuyages successifs en particulier dans un sol à texture
     ne. Une période de temps sec permet rarement l'établissement d'un prol d'humidité
     d'équilibre entre deux averses. De plus, ce prol ne correspond pas aux hypothèses
     usuellement utilisées pour dériver des formules simpliées d'inltration (partie 3.3).


    L'hystérèse complique encore le processus de redistribution, dans la mesure où simul-
     tanément des horizons du même prol de sol s'humectent et se drainent.




                                             21
3.6 On retiendra en conclusion
   Cette partie du cours était consacrée à la présentation des bases physiques des écou-
lements de l'eau dans le milieu poreux que constituent les sols. La représentation de la
circulation de l'eau dans un milieu homogène posent des dicultés comme nous avons
tenté de l'illustrer : coexistence d'horizons saturés et insaturés dans les mêmes pols de sol,
incertitudes sur la relation taux de saturation - succion, représentation macroscopique
(Darcy ou Richards) imparfaite d'un écoulement dans un résau maillé de pores irrégulières
aux diamètres variés, incertitudes concernant les reprises d'eau par évapotranspiration et
l'état de la surface du sol (battance). Le problème de la représentation des écoulements dans
des sols en place se complique encore dans la mesure où ces sols sont rarement homogènes.
La texture et la structure d'un sol peuvent uctuer, en particulier avec la profondeur. Les
racines, et les conduits creusés par les animaux fouisseurs et en particulier les vers de terre,
modient sensiblement les capacités et la dynamique d'inltration des premiers horizons.
Elles constituent des lieux d'écoulement préférentiel conduisant en profondeur les eaux
d'inltration avant que la matrice des horizons superciels ait pu se saturer. Ces écoule-
ments dans les macropores du sol est un des processus invoqués pour expliquer la réaction
rapide du niveau des nappes phréatiques proche de la surface lors des pluies (Novakowski
 Gillham, 1988). C'est aussi l'un des processus mis en avant pour expliquer la rapidité
des apport subsuperciels observés lors de crues sur des bassins versants expérimentaux
(Freeze, 1974; Ambroise, 1998).




                                               22
4 La constitution des débits de crue à l'échelle du bassin
  versant : une énigme dicile à résoudre
   La conception de la genèse des débits dans les cours d'eau proposée par Horton (1933) a
longtemps séduit les hydrologues, en particulier les modélisateurs, par sa simplicité. Selon
le modèle de Horton, les écoulements rapides (écoulement de crue) sont essentiellement
dus au dépassement des capacités d'inltration des sols d'un bassin versant, ces capacités
d'inltration évoluant au cours d'un événement pluvieux (cf partie 3.3).
   Cette conception a cependant été rapidement remise en question, en particulier dans le
cas des bassins versants tempérés. En eet, le ruissellement superciel direct est rarement
observé. S'il apparaît, il est, sauf cas extrême, très localisé, et les eaux de ruissellement
générées en un point du bassin versant peuvent se réinltrer plus à l'aval. Par ailleurs,
des crues sont observées même lorsque les intensités de pluie sont faibles et nettement
inférieures à la conductivité hydraulique à saturation des sols du bassin versant. Enn, les
nombreuses expérimentations de traçage géochimique (décomposition des hydrogrammes
de crue sur la base de leur composition chimique) suggèrent qu'une proportion importante
(de 20% à 80%) des écoulements lors de crues modestes et moyennes sur de petits bassins
versants ont transité par le sol.



4.1 Les processus possibles
   L'inventaire des processus qui peuvent être impliqués dans la genèse des débits est large
(Freeze, 1974), et malgré les eorts importants de recherche déployés depuis 30 ans sur
des bassins versants expérimentaux, aucun des processus envisagés (gure 17) n'apparaît
aujourd'hui comme nettement dominant quels que soient le bassin versant et l'événement
pluvieux étudiés.
   Les principaux processus générateurs d'écoulements sont :


    les précipitations directes sur les surfaces déjà en eau et sur les surfaces imperméables.
      La plupart du temps ce terme ne représente que quelques dixièmes de pour cent des
      pluies, soit nettement moins que les quelques pour-cent à quelques dizaines de pour-
      cent de coecient d'apports mesurés habituellement lors des crues.


    l'exltration d'écoulements souterrains ou subsuperciels sur les versants.


    le ruissellement par saturation des sols. L'inltration dans le sol n'est possible que si
      le sol à des capacités de stockage. Les secteurs où la nappe et proche de la surface,
      en particulier à proximité du cours d'eau, peuvent se saturer rapidement et ruisseler
      (Dunne  Black, 1970). Ce processus a été observé sur de petites parcelles expéri-
      mentales. Mais l'origine essentiellement supercielle des débits de crue qu'il suggère
      n'est pas en accord avec les résultats de campagnes de mesures géochimiques.


    Les écoulements subsuperciels le long des versants venant réalimenter les thalwegs
      et saturant progessivement les fonds de vallons. Ce processus, combiné avec le pré-
      cédent a rencontré un certain succès parmis les hydrologues (surfaces contributives
      variables) et est le processus majeur représenté dans le modèle hydrologique distri-
      bué le plus populaire : TOPMODEL (Beven et al. , 1995). Cependant, les processus
      pouvant expliquer un écoulement subsuperciel susamment rapide pour pouvoir
      expliquer une contribution importante des versants lors des crues restent mystérieux
      (Freeze, 1974; Beven, 1982). L'écoulement piston le long d'un versant souvent invoqué
      semble irréaliste. Par ailleurs, les écoulements dans des macropores non capillaires,
      ayant le bon goût d'être continus et de suivre la pente du terrain naturel semblent



                                              23
Fig. 17    Les diérents processus impliqués dans la genèse des débits de crue (Ambroise,
1998)




                                            24
anecdotiques, et ne sont observés que sur quelques sites particuliers. Remarquons
      que ce dernier processus ne résoud pas le problème de la contribution importante des
      eaux souterraines en crue. L'eau circulant dans un macropore souterrain ne se mé-
      lange pas beaucoup plus avec l'eau de la matrice du sol qu'une eau de ruissellement
      superciel.


    l'intumescence de nappe est un processus possible qui a été très astucieusement mis
      en évidence à la n des années 1970 (Sklash  Farvolden, 1979). Il a pu être démontré
      numériquement, que la nappe en équilibre avec un cours d'eau réagit rapidement lors
      des pluies dans les zones où elle est peu profonde (quelques mètres de part et d'autre
      d'un cours d'eau). Le débit d'alimentation du cours d'eau par la nappe augmente alors
      proportionnellement au gradient hydraulique. Ce processus à lui seul peut conduire à
      un doublement ou un triplement temporaire du débit de base d'un cours d'eau mais
      guère plus.



4.2 conclusion
   Il apparaît que les débits de crue sont générés le plus souvent par plusieurs processus
simultannément ou successivement, dans des combinaisons variables dans le temps et dans
l'espace (Ambroise, 1998). Les variabilités spatiales qu'il s'agisse des uctuations verticales
des propriétés hydrauliques des sols ou de la variabilité des types et des profondeurs de
sols jouent un rôle majeur dans la réponse hydrologique d'un bassin versant. Or il apparaît
dicile de mesurer, et plus encore de décrire dans un modèle mathématique cette varia-
bilité. Nous y reviendrons dans la dernière partie du document. De même, les variations
temporelles à court et long terme de l'état hydrique des sols, de leurs propriétés phy-
siques (gonement, retrait, battance), de l'activité biologique (stades végétatifs, activité
de la faune du sol) et anthropiques (imperméabilisation, opérations culturales), peuvent
provoquer à certains endroits et moments l'apparition ou la disparition de processus.




                                              25
5 La modélisation hydrologique
5.1 Quelques éléments de vocabulaire
   La modélisation hydrologique comme la modélisation mathématique d'une manière
générale a son vocabulaire propre que nous présentons succintement ici.




              Fig. 18    Représentation schématique d'un modèle hydrologique



      Variables indépendantes ou variables d'entrée ou fonctions de forçage :
       données d'entrée du modèle. Dans le cas des modèles hydrologiques, il s'agit essentiel-
       lement des mesures pluie. Les modèles hydrologiques sont des modèles dynamiques,
       les données d'entrée uctuent en fonction du temps. Certains modèles utilisent des
       données d'entrée spatialement distribuées.


      Variables dépendantes ou variables de sortie :         il s'agit essentiellement des dé-
       bits simulés à l'exutoire du bassin versant.


      Variables d'état:   variables permettant de caractériser l'état du système modélisé,
       qui peuvent évoluer en fonction du temps dans un modèle dynamique. Il s'agit, par
       exemple, du niveau de remplissage des diérents réservoirs d'eau du bassin versant,
       du taux de saturation des sols, mais aussi de la profondeur des sols, des pentes ...
       Certaines variables d'état sont mesurables.


      paramètres : la notion de paramètre est intimement liée à celle de modèles concep-
       tuels ou empiriques. Dans de nombreux cas, il n'est pas possible de représenter dans
       un modèle le processus physique parce que l'échelle de ce processus est trop petite et
       que les variables d'état contrôlant le processus ne sont pas accessibles à la mesure.
       Un modèle plus global est alors utilisé pour décrire le processus, mais certaines de ses
       variables d'état n'ont plus de sens physique, et ne peuvent plus être reliées à des va-
       riables mesurables. Ces variables, dont la valeur doit être déterminée par calage, sont
       appelées paramètres. La loi de Darcy est un exemple de modèle empirique global.



                                               26
Le processus sous-jacent - écoulements d'eau dans un réseau complexe de pores - ne
       peut être décrit nement. La conductivité hydraulique d'un sol n'est pas accessible
       directement à la mesure et doit être évalué à partir de tests d'inltration.

      erreur de modélisation :       c'est une mesure de l'écart entre les valeurs simulées
       à l'aide du modèle et les valeurs mesurées. Le critère le plus souvent employé en
       hydrologie pour quantier l'erreur est l'écart quadratique.



                                                  N
                                          Err =         (Qi − Qm )2
                                                               i
                                                  i=1

          N       nombre d'observations
          Qi      débit simulé pour le pas de temps i
         Qm
          i       débit mesuré pour le pas de temps i




      calage :   au sens strict du terme, c'est l'opération qui consiste à trouver les valeurs
       des paramètres du modèle qui minimisent l'erreur de modélisation.


5.2 Pourquoi des modèles hydrologiques?
   Les modèles hydrologiques, comme nous l'avons vu plus haut, sont nés bien avant l'avè-
nement de l'informatique. A quel besoin répondaient et répondent encore ces modèles ? La
littérature scientique présente une très grande diversité de modèles dont très peu ont
trouvé une utilisation opérationnelle. La question de l'utilisation de modèles en hydrologie
- pour eectuer des prévision, dimensionner des ouvrages d'art, délimiter des zones inon-
dables - se pose en particulier pour les bassins versants pour lesquels on dispose de séries
de débits mesurés. Nous aurons l'occasion de l'aborder dans le cadre du Travail dirigé
consacré à la modélisation hydrologique.
   Ceci dit, on peut distinguer trois types d'utilisation des modèles mathématiques en
hydrologie.

      La modélisation comme outil de recherche .                La modélisation peut être utili-
       sée pour interpréter des données mesurées. Diérents scénarios de fonctionnement
       hydrologique des bassins versants peuvent être confrontés aux mesures. Un exemple
       d'une telle utilisation de modèles hydrologiques est donnée en gure 19. Les hydro-
       grammes de crue simulés avec diérentes hypothèses sur le coecient d'apport sont
       confrontés à un hydrogramme mesuré. de Sklash et Farvolden dont il a été question
       en est une autre illustration : la modélisation hydrologique a conrmé dans ce cas
       que l'intumescence de nappe pouvait expliquer au moins en partie la réponse rapide
       des bassins versants lors des crues.

      La modélisation comme outil de prévision               : anticipation des évolutions futures
       du débit d'un cours d'eau. Il s'agit de l'utilisation opérationnelle la plus courante des
       modèles hydrologiques. Dans la plupart des cas cependant, les modèles développés
       sont basés sur des régressions linéaires entre les variables indépendantes (pluie, débits
       amont) et les variables dépendantes (débits aval), et font peu appel aux connaissances
       sur les processus hydrologiques. La gure 20 présente les résultats de prévision des
       débits moyens journaliers de la Seine en amont de Paris à l'aide de modèles linéaires.
       Trois modèles diérents sont utilisés pour les trois horizons de prévision : 1 jour
       (rond), 2 jours (triangles), 3 jours (losanges).



                                                  27
Fig. 19    Simulation de la crue de l’Auzonnet (Gard) des 6 et 7 Octobre 1997 (Gaume
 Livet, 1999)




Fig. 20    Prévision des débits moyens journaliers de la Seine en amont de Paris (Gaume
 Tassin, 1998)




                                           28
La modélisation comme outil d'extrapolation            : reconstitution de séries de débits
       plausibles. Dans certains cas, comme par exemple le dimensionnement de déversoirs
       de sécurité de barrages hydroélectriques ou encore la délimitation de zones inondables
       dans le cadre d'un Plan de prévention des risques, il est nécessaire de proposer des
       scénarios de crues, ou éventuellement d'étiages, de période de retour nettement su-
       périeure à la durée d'observation des débits sur le site étudié. L'utilisation de longues
       séries de pluies - éventuellement générées à l'aide d'un modèle stochastique de pluie
       - couplées à un modèle hydrologique permet de reconstituer des scénarios rares. Les
       distributions de débits de pointe de crue d'un bassin versant ctif reconstituées à
       l'aide de deux modèles hydrologiques diérents sont présentées dans la gure 21.




Fig. 21  Reconstitution de la distribution des débits de pointe de crue d’un bassin versant

ctif de 10   km2   (Gaume et al., 1999)




5.3 Diérentes approches de modélisation
   Le terme de modèle recouvre une large variété d'outils, à la phylosophie et aux objectifs
diérents. Les approches habituellement utiliseés en modélisation pluie-débit apparaissent
en sombre dans la gure 22. Quelques outils de modélisation hydrologique seront présentés
dans le cadre du travail dirigé, nous nous contentons de donner ici quelques dénitions


      modèle déterministe        : modèle qui associe à chaque jeu de variables de forçage,
       de variables d'état et de paramètres une valeur réalisation unique des variables de
       sortie.


      modèle stochastique :      l'une au moins des variables de forçage ou des variables
       d'état ou des paramètres est une variable aléatoire. Par voies de conséquence, la ou
       les variables de sortie sont des variables aléatoires. La reconstitution de la distribution
       des variables de sortie nécessite des simulations répétées en tirant aléatoirement la
       valeur de la variable d'entrée. On parle de simulation de     Monte Carlo .

                                                29
Fig. 22    Les diérentes approches de modélisation



   modèle à base physique : modèle basé uniquement sur des équations de la phy-
    sique, et ne comportant idéalement aucun paramètre. Il n'existe pas de modèle à
    base physique au sens strict en hydrologie comme nous l'avons vu plus haut. Cer-
    tains modèles comme le SHE (Refsgaard  Storm, 1995) tendent à s'en rapprocher.
    L'importance de l'hétérogénéité spatiale dans la réponse hydrologique des bassins
    versants rend cependant dicile voire impossible l'utilisation de tels modèles. La
    précision spatiale des données disponibles en particulier concernant les types de sols
    et leurs profondeurs n'est pas susante. Dans la pratique, les profondeurs et les
    conductivités moyennes des sols représentatives de sous parties du bassin versant
    doivent être évaluées par calage et deviennent, de fait, des paramètres.


   modèle paramétrique :       modèle incluant des paramètres dont la valeur doit être
    estimée par calage.


   modèle conceptuel :      modèle dans lequel le fonctionnement du bassin versant est
    représenté par des analogies : concepts. L'analogie la plus souvent utilisée pour re-
    présenter le fonctionnement des sols et des nappes est celle du réservoir dont le débit
    de vidange dépend du taux de remplissage.


   modèle analytique : modèle pour lequel les relations entre les variables de sortie et
    les variables de forçage ont été établies par analyse de séries de données mesurées.
    L'exemple type est celui des modèles linéaires : les paramètres du modèles sont liés
    aux coecients de corrélation entre les variables. Notons que l'analyse des données
    peut conduire au choix de relations non linéaires entre les variables.


   modèles empiriques :      le type de fonctions reliant les variables est xé à priori
    (fonctions polynômiales, fonctions sigmoïdes). Le niveau de complexité (nombre de
    fonctions à utiliser, ordre du polynôme) étant xé, le calage consiste alors à déter-
    miner la combinaison de fonctions s'ajustant le mieux aux données mesurées. Les




                                           30
réseaux de neurones sont l'exemple le plus répendu de ce type de modèles en hydro-
logie. Les outils d'interpolation s'avèrent généralement être de piètres extrapolateurs.
Ils sont donc à utiliser avec prudence en dehors de la gamme de valeurs pour laquelle
ils ont été calés.




                                        31
6 Travail dirigé : applications hydrologiques de modèles pluie-
  débit globaux
6.1 Avant propos
   Ce TD n.1 a pour but de familiariser les étudiants avec la manipulation de modèles
pluie-débit et l'exploitation des résultats qu'ils fournissent pour diverses applications : di-
mensionnement de barrages-réservoirs, prévisions hydrologiques, analyse de bassins ver-
sants. Les modèles proposés fonctionnent au pas de temps journalier. Pour de nombreuses
applications ce pas de temps peut se révéler insusant comme les étudiants pourront le
découvrir au cours du TD. Mais les données hydrologiques sont plus facilement accessibles
à ce pas de temps et surtout, la manipulation et la compréhension du fonctionnement des
modèles sont plus aisées. Le TD comporte trois parties. La première est consacrée au calage
des modèles. On s'interrogera sur le choix des critères de calage, sur les dicultés d'opti-
misation que l'on peut rencontrer lorsque le nombre de paramètres à caler augmente, sur
la dynamique des processus hydrologiques et le choix des formulations mathématiques les
plus appropriées, et enn sur l'importance de la validation. Cette partie du TD permettra
de choisir le modèle le plus adapté au bassin versant étudié. La seconde partie du TD
portera sur l'une des principales applications opérationnelles des modèles hydrologiques :
la prévision à cours terme des débits d'un cours d'eau. Diérentes techniques de prévision
basées sur une modélisation pluie-débit, mais aussi sur des modèles linéaires de type AR-
MAX très employés dans les services d'annonce des crues seront comparées. Enn, dans
une troisième partie, les étudiants auront à dimensionner divers types de barrages réser-
voirs (écrêtement des crues, soutien d'étiage), et jugeront de l'intérêt de l'utilisation d'un
modèle pluie-débit par rapport à une simple exploitation des données de débit mesurées.




   ATTENTION : Les outils de modélisation utilisés dans le TD, à savoir le
logiciel Scilab et les routines qui l'accompagnent, sont du domaine public. En
revanche les données ne peuvent être utilisées dans un autre cadre que celui de
cet enseignement sans un accord de Météo-France pour les données de pluie et
d'ETP et du Ministère de l'aménagement du territoire et de l'environnement
pour les données de débit.

6.2 Introduction
6.2.1 Présentation du logiciel Scilab
   Scilab est un logiciel de calcul numérique cousin de Matlab distribué gratuitement par
l'INRIA. Il peut être téléchargé depuis l'adresse internet suivante : http://www-rocq.inria.fr/scilab/.
Il a été utilisé dans ce TD car le langage de programmation est relativement simple et per-
mettra aux étudiants assez rapidement de lancer des commandes ou d'écrire des scripts
complexes. De plus, de nombreuses librairies intéressantes pour l'hydrologie sont associées
au logiciel Scilab : graphiques, statistiques, optimisation non linéaire, modèles ARMA, ré-
seaux de neurones…
   Le logiciel, une fois lancé, se présente sous la forme d'une fenêtre de commande où peut
être exécutée toute instruction (lecture et écriture de chiers, calcul sur des vecteurs et des
matrices, graphiques, et lancements de scripts en langages Scilab ou de routines en langage
C ou Fortran). Il propose une aide en ligne et une série de démos accessibles avec la barre
de menu. Les démonstrations et la liste des fonctions de l'aide permettent une première
familiarisation avec les possibilités de ce logiciel.



                                                32
Les démos  introduction to Scilab  et  Graphics : Introduction  seront parcourues
en début de TD et complétées par quelques petits exercices de manipulation de matrices,
de calcul et de graphisme.



6.2.2 Mise en route
   Lancez le logiciel Scilab. Sélectionnez si nécessaire votre répertoire de travail en utilisant
la commande  File / Change directory  du menu de Scilab. Tapez ensuite dans la fenêtre
de commande l'instruction     exec tdinit.sci    qui permet le chargement des fonctions et
exécutables en langage C qui ont été programmés pour les besoins du TD.
   Vous êtes prêts à travailler.



6.2.3 Les données et les fonctions utilisées
   Les chiers de données utilisés ont été établis spéciquement pour ce TD et ne doivent
pas être utilisés en dehors de ce cadre. Ils rassemblent les mesures de pluies journalières et
d'ETP (exprimées en mm/j) collectées par Météo-France ainsi que les mesures de débits
(exprimés en m3/s) d'un certain nombre de bassins versants extraites de la banque Hydro.
Les séries de données couvrent pour chaque bassin la période 1981-1995. Les chiers de
données sont lus automatiquement lorsqu'on lance la commande tdhydro. Les débits sont
convertis en mm/j.


      [P,E,Qm] = tdhydro() : Commande qui permet la lecture des chiers de données.
       La commande renvoie trois vecteurs de données classées par ordre chronologique : P
       (vecteur des pluies en mm/j), E (vecteur des ETP en mm/j) et Qm (vecteur des
       débits mesurés en mm/j).


      [Q,f,xopt]=calhyd(P,E,Qm) : Commande de calage des modèles. Diérents menus
       permettent de choisir le modèle et les options de calage. Cette commande a pour
       argument les données mesurées et renvoie la série des débits simulés, les valeur du
       critère optimal et des paramètres optimaux. Le suivi de l'évolution du critère de Nash
       permet de vérier que l'algorithme d'optimisation a convergé. Si ce n'est pas le cas,
       il faut augmenter le nombre d'itérations.


      Q=modele(par,P,E,Qm,mod) : Commande permettant la simulation d'une série
       de débits. Les arguments sont les valeurs des paramètres, des données mesurées, et
       le numéro du modèle (1 Pour GR4 et 2 pour IHACRES).



6.3 Première partie : calage et choix de modèles hydrologiques
6.3.1 Les modèles proposés
   Deux modèles conceptuels pluie-débit à pas de temps journalier sont proposés dans ce
TD. Cette première partie du TD porte sur le calage et le choix du modèle qui sera utilisé
dans la suite du TD.



Le modèle IHACRES modié (gure 23)                    La pluie nette dépend d'un indice de
saturation S des sols du bassin versant qui est recalculé à chaque pas de temps en fonction
de la pluie brute et de l'ETP (paramètres X2 et X6). Cette pluie nette est ensuite répartie
entre un écoulement rapide et un écoulement lent (paramètre X5), la dynamique de ces
deux écoulements étant reproduite à l'aide d'un modèle de réservoir linéaire (i.e. le débit
du réservoir est directement proportionnel à la quantité d'eau stockée) : paramètres X3 et




                                               33
X1. Les hydrogrammes obtenus sont enn décalés dans le temps (paramètre X4). Notons
que pour faciliter la convergence de l'algorithme d'optimisation, les valeurs  vraies  des
paramètres sont transformées. Les relations entre les valeurs des paramètres  vraies 
(X1 à X6) et les valeurs sur lesquelles porte l'optimisation (x1 à x6) sont les suivantes :
 X1 = exp(x1) + 1
 X2 = exp(x2)
 X3 = exp(x3) + 1
 X4 = 11 + x4
 X5 = (x5 + 9.99)/19.98
 X6 = exp(x6)




                 Fig. 23    Organigramme du modèle IHACRES modié




Le modèle GR4J (gure 24)           Il s'agit d'un modèle développé conjointement au CE-
MAGREF et au CEREVE. Si la pluie est supérieure à l'ETP on calcule la pluie ecace
(Pn-Ps), la pluie  non ecace  alimentant un premier réservoir. Dans le cas contraire,
on calcule le volume qui s'évapotranspire du premier réservoir. Dans les deux cas, le cal-
cul de la pluie ecace et de l'évapotranspiration dépendent du taux de remplissage du
premier réservoir (R) et d'un paramètre X1. La pluie ecace est répartie en 90% d'écoule-
ment lent et 10% d'écoulement rapide. Ces deux composantes sont transformées par deux
hydrogrammes unitaires de même paramètre X4. L'écoulement lent alimente ensuite un
réservoir (paramètre X2) dont le débit de vidange dépend de son taux de remplissage (T)
à la puissance 4. Des échanges sont possibles avec des nappes profondes, leur débit F dé-
pend du taux de remplissage du second réservoir. Selon la valeur du paramètre X3 ce ux
alimente ou se retranche du second réservoir et de l'écoulement rapide. Tout comme dans



                                             34
le modèle précédent on travaille avec des valeurs de paramètres transformées. Les relations
entre les valeurs vraies (X1 à X4) et les valeurs optimisées (x1 à x4) sont les suivantes :


     X1 = exp(x1)             (mm)
     X2 = exp(x2)             (mm)
     X3 = sinh(x3)            (mm)
     X4 = 0.325.x4 + 3.75     (jours)




                        Fig. 24    Organigramme du modèle GR4j



6.3.2 Le calage
   La fonction calhyd a été programmée pour les besoins du TD. Elle permet une utilisa-
tion guidée de la fonction leastsq (least-square : moindres carrés) proposée dans Scilab pour
l'optimisation non linéaire. Les arguments de calhyd sont les séries de pluie, ETP et débits
mesurés sur lesquels on souhaite ajuster le modèle. Il est donc possible suivant les arguments
choisis de faire porter le calage sur une sous partie de la série de données disponibles. Par
exemple la commande    [Q,f,xopt]=calhyd(P(500 :1000),E(500 :1000),Qm(500 :1000))
permet de caler le modèle sur les valeurs des vecteurs des données mesurées comprises entre
les rangs 500 et 1000. Attention, le vecteur Q renvoyé par la fonction calhyd ne comportera
lui aussi que 501 valeurs. Si l'on souhaite reconstituer les débits simulés pour l'ensemble
de la série avec le jeu de paramètres xopt, il faut relancer une simulation en utilisant la
commande    Q=modele(xopt,P,E,Qm,mod) .
   Il est important de noter que le modèle pluie-débit nécessite une mise en route. La
première année de simulation n'est pas considérée pour calculer le critère de calage. Il n'est
donc pas possible de caler le modèle sur des séries de données de durée inférieure à une




                                              35
année.
   Trois critères de calage sont proposés. On note Q (débits mesurés), F (débits simulés),
t (indice de temps), P (données de pluie), E (données d'ETP),  (paramètres du modèle).
   La somme des carrés des écarts :
                                             n
                                 C1 (α) =         (Qt − Ft (α, P, E))2
                                            t=1
C'est le critère le plus employé. Le résultat du calage est fortement inuencé par les valeurs
importantes des écarts, correspondant souvent aux périodes de crues. On rapporte souvent
la somme des carrés à la variance des débits mesurés. On parle alors de critère de Nash :
                                                  n                       2
                                                  t=1 (Qt − Ft (α, P, E))
                             N ash = 1 −            n                   2
                                                    t=1 (Qt − moy(Qt ))
Si le critère de Nash est négatif, le modèle est moins bon que l'utilisation de la moyenne
des valeurs mesurées. Pour un modèle s'ajustant parfaitement aux données mesurées le
critère de Nash vaut 1. En général on attend d'un modèle hydrologique que son critère de
Nash soit supérieur à 0.8.
   La somme des écarts absolus :
                                             n
                               C2 (α) =           | Qt − Ft (α, P, E) |
                                            t=1
La somme des écarts relatifs :
                                            n
                                                  | Qt − Ft (α, P, E) |
                               C3 (α) =
                                            t=1
                                                      Ft (α, P, E)
Ces deux critères, moins inuencés par les fortes valeurs d'écarts ou de débits, devraient
permettre un meilleur ajustement du modèle en période d'étiage. Ils peuvent cependant
conduire à des fonctions critères discontinues (utilisation de valeurs absolues) aux minimum
moins bien localisé, et donc compliquer la tâche de l'algorithme d'optimisation.
   Les exercices du TD ont pour objet d'étudier la capacité des modèles proposés à repro-
duire les données hydrologiques mesurées, et de révéler l'inuence du critère de calage, du
jeu de paramètres initiaux et du choix du modèle sur le résultat de calage.
   Cet exercice révélera qu'il est dicile de proposer un modèle conceptuel universel,
les bassins versants ayant des comportement hydrologiques très diérenciés. Vous pourrez
aussi noter que la diculté à caler un modèle augmente avec le nombre de paramètres.
Le calage consiste à rechercher le minimum d'une fonction critère dont la valeur dépend
des paramètres du modèle. Cette recherche sera d'autant plus facile que la fonction critère
aura une forme régulière et concave (gure 25). Le risque d'apparition de minima locaux,
de zones  plates , de discontinuités augmente avec le nombre de paramètres.


6.3.3 La validation
   Le calage indique que le modèle choisi est un outil d'interpolation satisfaisant, il ne
permet pas de juger des capacités d'extrapolation du modèle : de ses performances lorsqu'il
est utilisé avec des données qui n'ont pas servi à son calage. C'est l'objet de la validation. Le
pari du modélisateur est qu'il a réussi à synthétiser au sein de son modèle la dynamique du
processus qu'il étudie. De ce fait, on peut accorder une certaine conance aux résultats du
modèle utilisé en extrapolation. Il s'agit cependant toujours d'un pari dans la mesure où un
modèle n'est jamais totalement validé. Il faudrait pour cela le confronter à toutes les jeux
de données possibles. Le contrôle des performances du modèle sur des jeux de données
n'ayant pas servi à son calage donne cependant quelques indications sur les capacités
d'extrapolation du modèle.



                                                    36
Fig. 25    Exemples de recherche du minimum d'une fonction      C(x)


6.3.4 Travail à réaliser
    Calez le modèle GR4j sur les données en utilisant le critère des moindres carrés.
     Augmentez le nombre d'itérations si vous constatez que le critère de Nash ne s'est
     pas stabilisé. Le modèle donne-il de bons résultats dans tous les cas. Commentez.


    Choisissez un bassin versant pour lequel le critère de Nash nal dépasse 80


    Découpez vos données en 3 sous ensembles. Calez successivement le modèle sur chacun
     des sous ensembles et validez-le sur les deux sous-ensembles restants. Commentez ?


    Tracez les erreurs du modèle retenu en fonction du débit simulé. La variance des
     erreurs vous semble-t-elle indépendante du débit ?



6.4 Deuxième partie : prévision à courte échéance
6.4.1 Les diérentes techniques de prévision
   Prévoir l'évolution à court terme des débits d'un cours d'eau, en particulier en période
de crue, permet de mieux se préparer aux désordres engendrés par la montée des eaux :
évacuation de biens et de populations exposés, vidange préventive de barrages réservoirs,
constitution de stocks d'eau potable dans les usines de traitement … L'échéance choisie
dépend du temps de réponse, et donc de la taille du bassin versant considéré. Elle est
souvent inférieure à la journée : par exemple huit heures pour la prévision des crues de la
Garonne à Toulouse. Par ailleurs, le débit moyen journalier n'est une variable pertinente
que dans le cas de bassins versants à réponse hydrologique lente et aux crues persistantes :
Loire, Rhône ou Seine aval pour la France. Ces bassins de grande dimension ne peuvent pas




                                             37
être représentés par des modèles hydrologiques globaux tels que GR4J dans la mesure où,
entre autres, la répartition spatiale des pluies ne peut pas être négligée. L'exercice présenté
dans le TD a donc une vocation essentiellement pédagogique.
      Parmi les méthodes de prévision, les modèles linéaires sont de loin les plus employés, en
particulier dans les services d'annonce de crues. Ces modèles appelés  ARMAX  (Auto
regressive mooving average with external data) consistent à mettre en relation linéaire
le débit que l'on souhaite prévoir avec les variables explicatives (débits au pas de temps
précédents mesurés à la même station, débits amont, pluie, évaporation).



                                      n                 n        m
                              Qt =         aj Qt−j +                 bi,j Xi,t−j +   t
                                     j=k               j=k i=1

  Q         débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisions
  Xi        autres variables explicatives retenues
  k         horizon de prévision
            bruit blanc
  t         indice de temps




      La première partie de l'exercice proposé consiste à tester plusieurs modèles linéaires
calés en utilisant la fonction armax de Scilab (consultez l'aide de scilab pour cette fonction).
      Exemple d'utilisation de armax :
      armax(2,2,Qm',P')


résultat affiché :
A(z^-1)y=B(z^-1)u + D(z^-1) e(t)
A(x) = 1 - 1.2748167x + 0.3334485x2
B(x) = 0.0032846 + 0.0284380x - 0.0021230x2
D(x) = 1
e(t)=Sig*w(t); w(t) 1-dim white noise
Sig= | 0.2040354 |

Le modèle optimal résultant s'écrit :
Qt = 1.27 Qt-1 - 0.33 Qt-2 + 0.003 Pt + 0.03 Pt-1 - 0.002 Pt-2 + et

      Les modèles pluie-débit conceptuels sont encore peu utilisés pour eectuer des prévi-
sions. En eet, les écarts entre les valeurs simulées par les modèles et les données mesurées
sont bien souvent plus importants que les uctuations inter journalières ou d'un pas de
temps à l'autre des débits. Un modèle pluie-débit donne donc, s'il est utilisé en prévision à
un jour ou à un pas de temps, des résultats moins bons qu'une prévision naïve consistant
à reconduire le débit mesuré au pas de temps précédent. On peut cependant notablement
améliorer les prévisions eectuées à l'aide d'un modèle hydrologique en corrigeant la sortie
du modèle. Deux méthodes sont proposées :
      (1)   Etudier l'autocorrélation des erreurs de modélisation, développer un modèle AR
(autorégressif ) sur ces erreurs, et corriger les valeurs prévues en ajoutant l'erreur prévue.
Le nouveau modèle de prévision s'écrit alors :



                                                             n
                                   Qt = F (P, E) +                aj   t−j   +   t
                                                            j=k


                                                       38
Q            débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisions
  F (P, E)     valeur de débit calculée par le modèle hydrologique
               écarts entre les débits mesurés et simulés par le modèle hydrologique
               bruit blanc
  t            indice de temps




      (2) Dans la partie précédente du TD, vous avez éventuellement pu remarquer que la
variance des erreurs augmente avec la valeur du débit simulé : on parle d'erreurs hétéroscé-
dastiques. Il est donc plus judicieux dans certains cas de travailler sur les erreurs relatives
et non les erreurs absolues. Comme dans le cas précédent on peut développer un modèle
AR sur les erreurs relatives. Le nouveau modèle de prévision s'écrit :


                                                                   
                                                       n
                              Qt = F (P, E) 1 +            aj   t−j    +   t
                                                      j=k


 Q             débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisions
 F (P, E)      valeur de débit calculée par le modèle hydrologique
               écarts relatifs entre les débits mesurés et simulés par le modèle hydrologique
               bruit blanc
 t             indice de temps




6.4.2 Travail à réaliser
      Pour l'ensemble des exercices on divisera la série de données en un ensemble de calage
(2/3 de la série) et un ensemble de validation (1/3) de la série. On calculera pour les deux
ensembles de données un critère d'ecacité dont l'expression est la suivante :



                                                    n           2
                                                    1 (Qt − Zt )
                             Ef f = 100 1 −       n−1
                                                  1   (Qt+1 − Qt )2

  Q      débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisions
  Z      valeur prédite




      Ce critère permet de comparer les performances des diérentes techniques de prévision
par rapport à une prévision naïve consistant à reconduire le débit du jour précédent. Si
E est négatif, la méthode proposée est moins bonne que la méthode naïve au sens des
moindres carrés. Si E est proche de 0, le gain par rapport à la prévision naïve est faible.
      Les résultats comprendront les valeurs des critères d'ecacité et la comparaison gra-
phique de quelques hydrogrammes mesurés et prévus.


       Calez un modèle linéaire de prévision des débits basé sur les seuls débits mesurés aux
        pas de temps antérieurs en utilisant la fonction  armax  de scilab. Essayez plusieurs
        ordres pour le modèle ARMAX en partant de (1,1). Observe-t-on un gain important
        par rapport la méthode de prévision naïve ?



                                                 39
Calez un modèle linéaire basé sur les débits mesurés au pas de temps précédents et
      les pluies mesurées au pas de temps précédents. Est-il nécessaire de choisir des ordres
      importants pour le modèle ARMAX ?

    Calez un modèle linéaire reliant les diérences inter journalières des débits mesurés
      et les pluies. Observez-vous un gain par rapport au modèle précédent ? Pourquoi ?

    Comparer les performances de GR4j sans traitement des erreurs avec le meilleur des
      modèles linéaires précédent.

    Calez un modèle linéaire de prévision des erreurs de GR4j basé sur les erreurs anté-
      rieures. Comment se situe le nouvel outil de prévision (GR4j + prévision des erreurs)
      par rapport au modèle linéaire ?

    On sait par expérience que les erreurs dépendent des débits. Calez un modèle li-
      néaire de prévision des erreurs relatives. Cette nouvelle approche vous permet-elle
      d'améliorer les prévisions ?


6.5 Troisième partie : dimensionnement de barrages-réservoirs
   Dans cette troisième partie du TD, il est proposé aux étudiants, à partir de deux cas
simples, d'analyser si le modèle pluie-débit retenu peut être utilisé pour dimensionner des
réservoirs. On comparera les résultats obtenus en utilisant les données de débits mesurées
et simulées. S'il s'avère que le modèle donne des résultats assez proches des séries mesurées,
on pourra envisager de l'utiliser en extrapolation : l'utilisation de séries de pluies de longue
durée (mesurées ou simulées à l'aide d'un modèle stochastique de pluie) permettrait alors
de reconstituer de longue séries de débits et de dimensionner le réservoir ou d'étudier son
comportement pour des crues de périodes de retour élevées.
   Les deux applications proposées portent sur le dimensionnement d'un réservoir pour
l'écrêtement des crues et le dimensionnement d'un réservoir pour l'alimentation en eau.
Dans les deux cas, il sera nécessaire de programmer une fonction Scilab permettant de
reproduire l'évolution du remplissage du réservoir au cours du temps en fonction de ses
caractéristiques : relation hauteur-volume, loi de vidange, fonction de demande en eau.
   On considérera dans le TD que la loi de vidange d'un barrage écrêteur de crue doté
d'un évacuateur de fond de section circulaire a pour expression :



                                                 D2
                                      Q = 0.6π        2gh
                                                 4
  Q    débit de vidange
  D    diamètre de la conduite de vidange
  g    accélération de la pesanteur
  h    charge hydraulique (hauteur d'eau dans le barrage dans ce cas)




6.5.1 Travail à réaliser
    0n veut satisfaire un besoin en eau de 0.3 mm/j tout en respectant un débit réservé
      égal au dixième du module inter annuel. Calculez le débit minimum qui doit donc
      s'écouler à l'aval de l'ouvrage. Calculez le volume nécessaire pour satisfaire la de-
      mande toutes les années de la période 1981-1995 en utilisant les données de débits
      mesurées et les données de débit simulées.



                                               40
Comparez les résultats obtenus dans les deux cas.


 On souhaite réaliser un barrage-réservoir qui permette de réduire de 10% le débit
  journalier de crue de période de retour 1 an. Sur le site retenu la loi hauteur-volume
  a pour expression   V = 6000 ∗ 2.5H .   Trouvez le diamètre de la conduite de vidange
  qui permet d'atteindre cet objectif en utilisant les données de débit mesurées et les
  données générées par le modèle hydrologique. An de faciliter les calculs on considé-
  rera chaque jour que le débit de vidange est le débit correspondant au volume stocké
  dans le barrage le jour précédent auquel est ajouté le volume entrant dans la jour-
  née. Cette simplication conduira à surévaluer les débits de vidange et sous évaluer
  les volumes stockés. Quel est dans les deux cas le volume maximum stocké dans le
  barrage durant la période 1981-1995 ?


 Comparer à nouveau les résultats obtenus dans les deux cas.


 Que pensez-vous de l'utilisation de modèles hydrologiques pour le dimensionnement
  d'ouvrages ?




                                          41
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57934829 hydrologie-cycle-de-l-eau-et-modelisation-pluie-debit

  • 1. Hydrologie : cycle de l'eau et modélisation pluie-débit Eric Gaume 2 novembre 2000 Table des matières 1 Introduction 1 1.1 La notion de bassin versant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Les diérents termes du bilan hydrologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Les ressources souterraines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 En guise de conclusion partielle : la notion de régime d'écoulement . . . . . 5 2 L'Eau, le sol, la plante : éléments du bilan hydrique à l'échelle de la parcelle 8 2.1 Les besoins en eau des plantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 disponibilité de l'eau du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Estimation de l'évapotranspiration potentielle et de l'évapotranspiration réelle 10 2.3.1 La formule de Penman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Autres formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 calcul de l'évapotranspiration réelle à partir de l'ETP . . . . . . . . . . . . . 13 3 La circulation de l'eau dans les sols 15 3.1 Sols saturés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Sols insaturés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 L'inltration : l'entrée de l'eau dans le sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 Le cas particulier de la battance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 La redistribution de l'eau dans le sol après une averse . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 On retiendra en conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 La constitution des débits de crue à l'échelle du bassin versant : une énigme dicile à résoudre 23 4.1 Les processus possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 La modélisation hydrologique 26 5.1 Quelques éléments de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 Pourquoi des modèles hydrologiques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.3 Diérentes approches de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6 Travail dirigé : applications hydrologiques de modèles pluie-débit glo- baux 32 6.1 Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2.1 Présentation du logiciel Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2.2 Mise en route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 i
  • 2. 6.2.3 Les données et les fonctions utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.3 Première partie : calage et choix de modèles hydrologiques . . . . . . . . . . 33 6.3.1 Les modèles proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.3.2 Le calage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.3.3 La validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.3.4 Travail à réaliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.4 Deuxième partie : prévision à courte échéance . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.4.1 Les diérentes techniques de prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.4.2 Travail à réaliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.5 Troisième partie : dimensionnement de barrages-réservoirs . . . . . . . . . . 40 6.5.1 Travail à réaliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ii
  • 3. 1 Introduction 1.1 La notion de bassin versant An de pouvoir mettre en relation les précipitations (pluie, neige) et les débits d'un cours d'eau, il est nécessaire de délimiter les surfaces qui contribuent à alimenter l'écou- lement de ce cours d'eau. L'ensemble de ces surfaces constitue le bassin versant . Sa délimitation se base généralement sur la topographie (gure 1). Le bassin versant regroupe alors toutes les surfaces qui, par ruissellement superciel, contribuent à l'écoulement au niveau de la section de rivière considérée. On parle aussi d' impluvium . Fig. 1 Exemple de délimitation d'un bassin versant à partir des courbes de niveau Il faut cependant conserver à l'esprit que l'alimentation d'un cours d'eau ne se fait pas uniquement par ruissellement superciel - nous y reviendons dans ce qui suit. Les écoulements souterrains sont guidés par le pendage 1 des couches géologiques les moins perméables ou par un réseau karstique s'il en existe 2 . Le rapport entre les volumes d'eau tombés sur l'impluvium et les volumes écoulés peuvent donc être trompeurs. Le cas extrême est celui de la Sorgue : rivière du Vaucluse alimentée par l'une des résurgences karstiques les plus importantes d'Europe. Le débit moyen annuel de la Sorgue est de 18.5 m3 /s. Son bassin versant délimité par la topographie au droit de cette résurgence est d'environ 15 km2 . L'écoulement moyen annuel de la Sorgue rapporté à la surface de son bassin versant équivaut à 38 000 mm !!! De fait, l'ensemble des surfaces contribuant à l'alimentation de la source de Fontaine de Vaucluse est estimé à 2500 km2 . L'écoulement moyen annuel rapporté à cette nouvelle surface est beaucoup plus raisonnable : 476 mm. On retiendra que la délimitation du bassin versant permet de comparer les lames d'eau précipitées et l'écoulement observé dans le cours d'eau, qui peut alors être exprimé en mil- limètres. La délimitation du bassin versant se base le plus souvent sur la topographie. Elle peut cependant être trompeuse. La géométrie d'un bassin versant évolue donc en fonction 1. inclinaison des formations géologiques sédimentaires 2. La dénition du karst est donnée dans la partie 1.3 de ce document 1
  • 4. Fig. 2 Coupe géologique transversale d'un relief illustrant la diérence entre un bassin versant délimité à partir de la topographie et les surfaces contribuant à un écoulement. des processus dominants d'alimentation de l'écoulement (superciels et souterrains), pro- cessus variables suivant la période de l'année et l'événement pluvieux. 1.2 Les diérents termes du bilan hydrologique Le territoire français reçoit en moyenne 700 mm de précipitations annuellement. Les cumuls annuels de pluie sont relativement homogènes à l'échelle nationale : 788 mm à Nantes, 762 mm à Nîmes, 610 mm à Strasbourg et 670 mm à Paris. Ne se distinguent nettement que le Pays Basque (1500 mm à Biarritz) et les régions à relief marqué soumises aux précipitations orographiques 3 (980 mm à Grenoble, 2200 mm à la station du Mont- Aigoual dans le Gard). Cependant, plus de la moitié des précipitations retourne vers l'atmosphère par évapora- tion et transpiration des végétaux (cf g. 3). Il s'agit là toujours d'une moyenne. L' indince ou coecient d'écoulement (rapport écoulements/précipitations) varie très sensible- ment d'un cours d'eau à l'autre. Il dépend en particulier du climat, du cumul annuel de pluie, de sa répartition au cours de l'année, des caractéristiques géomorphologiques et géo- logiques des bassins versants et de l'occupation des sols. L'indice d'écoulement est généra- lement supérieur à 50% dans le cas des bassins versants méditerranéens ou de montagne. En revanche, il est inférieur à 20% dans le cas de certains cours d'eau de l'Eure ou de la Sarthe (l'écoulement moyen annuel de l'Eure est inférieur à 100 mm). Si l'on superpose le hyetogramme des pluies (série chronologique des intensités de pluie mesurées) et l'hydrogramme (série chronologique des débits) des débits mesurés pour un bassin versant, on observe un fort eet d'atténuation lié à la transformation pluie- débit (gure 4). On constate de plus que les débits ne décroissent que progressivement lorsque la pluie est nulle ou très faible. Ceci suggère que les écoulements sont réalimentés par un réservoir à temps de réponse élevé : les réserves d'eau souterraines ou nappes. On retiendra que plus de 50% des précipitations retourne à l'atmosphère par évapo- transpiration dans le cas des cours d'eau à alimentation pluviale sous nos climats tempérés. 3. Les précipitations orographiques sont provoquées par l'ascendance des masses d'air sous l'eet du relief 2
  • 5. Fig. 3 Ordres de grandeur des termes du bilan hydrologique sous un climat océanique tempéré Fig. 4 Pluies et débits mesurés en 1981 pour le Sauzay, auent de l'Yonne à la station de Corvol l'Orgueilleux (bassin versant de 81 km2 ) 3
  • 6. La part des contributions souterraines aux écoulements superciels est très variable mais constitue aussi en moyenne plus de 50%. Attention, le cas des cours d'eau de montagne alimentés par la fonte de neige ou de glaciers est diérents. Nous y reviendrons un peu plus loin. 1.3 Les ressources souterraines Nous ne présenterons ici que quelques idées importantes nécessaires à la compréhension de la constitution des écoulements : quelle est la nature des formations géologiques pouvant renfermer des nappes et quelle est le volume de ces réserves souterraines et leur contribution aux écoulements de surface ? Certaines formations géologiques sont poreuses et perméables et constituent un lieu de stockage et d'écoulement souterrain de l'eau. Il s'agit essentiellement des formations sédimentaires calcaires. c'est le domaine du karst : ssures plus ou moins élargies, galeries ou diaclases constituées par dissolution du calcaire. La cir- culation de l'eau dans les aquifères karstiques est un cas tout-à-fait particulier. Elle s'apparente plus à un système de drainage par chevelu de rivières souterraines qu'à un écoulement dans un milieu poreux, et l'étude des systèmes karstiques est une spé- cialité spécique de l'hydrogéologie. Les principaux aquifères karstiques français sont situés sur les grands plateaux calcaires du Jura, des Causses, du Vaucluse. Citons aussi la nappe de la craie du bassin parisien. des formations des bassins sédimentaires qui n'ont pas été compactées et métamor- phosées lors d'orogénèses postérieures à leur constitution. Il s'agit des formations des deux grands bassins sédimentaires parisiens et aquitains, et de certains dépôts de l'aire tertiaire (Limagne, Vallée du Rhône). des plaines alluviales présentes le long de la majeure partie des cours d'eau. Les maté- riaux alluvionaires déposés au cours de l'aire quaternaire sont constitués de matériaux parfois grossiers (graviers) peu consolidés. Les nappes alluviales, souvent en relation directe avec le cours d'eau sont aussi appelées nappes d'accompagnement. Elle sont en équilibre dynamique avec le cours d'eau. Suivant la période de l'année et le niveau d'exploitation de la nappe, le cours d'eau réalimentera la nappe ou la drainera. Dans les régions montagneuses sur socles ou terrains sédimentaires plissés, les nappes sont rares et fragmentaires. On les rencontre essentiellement dans les zones d'altération (arènes), les dépôts alluviaux, les zones ssurées ou encore au sein de certaines formations volcaniques (massif central). Les stocks d'eau souterrains situés à moins de 800 mètres de profondeur représentent 4 millions de km3 soit 0.31% de l'eau à la surface du globe. Ce chire est à comparer 3 avec les 120 mille km que représentent l'ensemble des eaux douces supercielles terrestres (de Marsilly, 1981). Les nappes sont donc une ressource importante d'eau. La plupart des nappes peu profondes réalimentent les écoulements de surface, qu'elles soient directement drainées par un cours d'eau, ou qu'elles les alimentent par des sources. 3 Le débit total provenant des nappes en France représente 280 millions de m /j , soit 1/4 à 1/5 des précipitations et 60% du débit total des cours d'eau. Il est important de noter qu'un aquifère 4 est un système en équilibre dynamique réali- menté par les pluies ou la réinltration d'écoulements superciels. Un prélèvement eectué 4. désigne un terrain perméable contenant une nappe d'eau souterraine en géologie, et le réservoir souterrain d'eau en hydrogéologie 4
  • 7. dans une nappe modiera cet équilibre et se traduira par une réduction de la charge de la nappe et donc la diminution des débits des cours d'eau et des sources alimentées par la nappe ou à terme par le tarrissement des puits artésiens 5 Fig. 5 Exemple d'une nappe captive et mise en évidence de l'artésianisme : nappe des sables éocènes de Gironde. (de Marsilly, 1981) Fig. 6 Exemple d'un système de nappes superposées typique des bassins sédimentaires : nappes des sables de Fontainebleau et des calcaires de Brie (de Marsilly, 1981) On retiendra que la contribution des nappes souterraines représente environ 60% des écoulements superciels en moyenne à l'échelle nationale. Que le système nappe-rivière et plus encore nappe alluviale - rivière est un système en équilibre. Un prélèvement dans une nappe modiera les débits des cours d'eau qui y sont reliés . 1.4 En guise de conclusion partielle : la notion de régime d'écoulement Les éléments présentés plus haut permettent de comprendre que les débits des cours d'eau uctuent au cours de l'année. La forme générale de la courbe d'évolution annuelle des débits dépend essentiellement de l'évolution des précipitations et de l'évaporation (cf. 5. Un puit artésien est au sens large un puit où l'eau monte plus haut que le niveau où on l'a rencontré (toit de la nappe). Au sens stricte, c'est un puit où l'eau remonte plus haut que le niveau de la surface (Foucault Raoult, 1984). Dans les deux cas l'eau dans la nappe est sous pression (i.e. la cote piezométrique est située au dessus du toit de la nappe). 5
  • 8. gure 7) et du volume et du rythme de mobilisation des stocks d'eau de surface (neige et de glace) et des stocks d'eau souterrains. Fig. 7 Diagramme ombrothermique station de Montélimar Inversement le régime d'écoulement d'une rivière, la plus ou moins grande sensibilité de ses débits aux uctuations saisonnières de pluviométrie et de température est révélateur de ses principaux mécanismes d'alimentation. On distingue en climat tempéré plusieurs régimes d'écoulement suivant l'origine principale des débits des cours d'eau (cf. gure 8): Le régime tempéré océanique où l'évolution des débits est essentiellement contrôlé par les précipitations et l'évapotranspiration. L'amplitude de la uctuation annuelle des débits et en particulier le niveau des écoulements en période d' étiage (faibles débits estivaux) dépendra de la puissance des nappes alimentant le cours d'eau (cf. gure 8). Le régime méditerranéen où les contrastes saisonniers sont plus marqués que dans le cas du régime tempéré océanique avec parfois une interruption des écoulements en été. La reprise des écoulements est aussi plus brutale à l'automne du fait des fortes précipitations observées en cette saison. Le régime à fusion nivale présentant un pic d'écoulements au début du printemps (mars-avril) plus marqué lié à la fonte de neige. Le régime montagnard à fusion glaciaire est caractéristique des bassins versants rece- vant la majeure partie des précipitations hivernales sous forme de neige. Les écoule- 6
  • 9. ments correspondants à la fonte du manteau neigeux et des glaciers suivent l'évolution des températures Fig. 8 Régimes d'écoulement caractéristiques (les débits mensuels sont normés par le débit moyen annuel. Les diagrammes de la seconde ligne montrent la variabilité au sein du régime tempéré océanique(source inconnue) En régime tempéré océanique l'étiage se produit en saison estivale. Dépendant de la puissance des nappes présentes sur le bassin versant, cet étiage peut être plus ou moins prononcé comme l'illustre la seconde série d'hydrogrammes de la gure 8. 7
  • 10. 2 L'Eau, le sol, la plante : éléments du bilan hydrique à l'échelle de la parcelle Nous avons vu dans la partie précédente le rôle important que jouent l'évaporation et l'inltration de l'eau dans les sols et les couches géologiques perméables dans le cycle hydrologique. Nous verrons par la suite le rôle majeur que joue les sols et l'inltration dans les sols à l'échelle d'une crue. Cette partie est consacrée à la présentation des principaux mécanisme contôlant la dynamique de l'évapotranspiration et la circulation de l'eau dans les sols. 2.1 Les besoins en eau des plantes Ressource indispensable à la croissance des plantes, l'eau est un élément constitutif majeur de la matière végétale, mais aussi une source d'hydrogène et d'oxygène pour la photosynthèse : hydrolyse. La majeure partie de l'eau consommée par les plantes n'est ce- pendant pas consacrée à la formation de matière végétale mais à la transpiration . La quantité d'eau que la plante transpire pour synthétiser un gramme de matière sèche, le coecient de transpiration , varie suivant les plantes. Il oscille entre 300 et 700 g d'eau par gramme de matière sèche pour les plantes cutivées (environ 336 g pour le maïs, 700 pour la courgette). La transpiration des plantes permet leur régulation thermique et constitue le principal moteur de circulation des sèves brutes et élaborées. Le taux de transpiration dépend des conditions climatiques (température, rayonnement solaire, décit d'humidité de l'air, vent), du type de plante, du stade végétatif et de sa croissance (en particulier de l'indice foliaire comme l'illustrent les gures 9 et 10), et disponibilité de l'eau du sol. Fig. 9 Rapport entre l'évapotranspiration réelle et potentielle en fonction de la surface foliaire (exprimée en indice foliaire) (Soltner, 1990) Si la ressource en eau dont dispose la plante n'est pas limitée (ie le sol est saturé en eau) le taux de transpiration est maximal : on parle d'évapotranspiration maximale réelle . Dans le cas contraire la plante sourira de stress hydrique . La plante réduira son activité biologique et photosynthétique, et donc sa consommation en eau. On retiendra que les plantes ont besoin pour assurer leurs fonctions biologiques de transpirer une quantité importante d'eau qui peut atteindre 4 à 6 mm/jour pendant les 8
  • 11. Fig. 10 Evolution annuelle de l'évapotranspiration maximale de diérentes espèces végé- tales cultivées (Soltner, 1990) périodes des besoins les plus forts. Si l'eau la quantité d'eau disponible dans le sol est limi- tée, la plante sourira de stress hydrique. Elle réduira alors son activité photosynthétique et biologique et sa consommation en eau . 2.2 disponibilité de l'eau du sol Le terme de sol désigne l'ensemble hétérogène des matériaux issus de l'évolution d'un substrat minéral sous l'action combinée de facteurs climatiques (température, précipitation) et de l'activité biologique (racines de végétaux, animaux fouisseurs, accumulation de ma- tière organique en décomposition, micro-organismes). Le sol constitue la principale réserve en eau dans laquelle puisent les végétaux grâce à leurs systèmes racinaires. Les sols sont extrêmement variés par leur composition chimique, minéralogique, leur épaisseur, leurs propriétés mécaniques. On retiendra cependant quelques idées et ordres de grandeur clés. Le sol est un milieu poreux. La porosité des sols (ie pourcentage du volume total d'un bloc de sol occupé par les pores) se situe généralement entre 40 et 60%. Sous l'eet des pluies et des circulations souterraines, les pores du sol peuvent se remplir d'eau. Une partie cette eau est libre de s'écouler par gravité : on parle d'eau gravitaire . Elle ne séjourne donc que transitoirement dans le sol. Une autre partie de l'eau est retenue dans les sols par la capillarité, les forces électrochimiques et les liaisons moléculaires. Elle ne peut-être extraite que par l'application d'une force de succion supérieure à la force d'adhésion entre l'eau et le sol. Plus le taux d'humidité du sol (ie pourcentage du volume total d'un bloc de sol occupé par l'eau) diminue plus les forces d'adhésion entre le sol et l'eau, on parle de forces de succion du sol , sont importantes. La succion du sol est le plus souvent exprimée en unités de pression en g/cm2 ou en cm d'eau (cf. tableau 1). Le taux d'humidité correspondant au volume maximal d'eau qu'un sol peut retenir après ressuyage (écoulement de l'eau gravitaire) est appelé par les agronomes capacité au champ . Au delà d'une certaine succion les racines des plantes ne sont plus en me- point de étrissement sure d'extraire l'eau du sol. La plante se fane ; on parle alors de permanent . La quantité d'eau qui peut être libérée entre la capacité au champ et le point de étrissement permanent est la réserve utile du sol exprimée en mm/m de sol. La profondeur explorée par les racines d'un végétal détermine la réserve utile globale en mm. La relation entre l'humidité et la succion dépend du sol et en particulier de sa texture 9
  • 12. Succion P (g/cm ) 2 Pf = log(P ) Taux d'humidité 0 Saturation 10 1 100 2 500 2.7 Capacité au Champ 1 000 3 10 000 4 16 000 4.2 Point de étrissement permanent 100 000 5 Terre séchée à l'air (humidité relative 92%) 1 000 000 6 Terre séchée à l'air (humidité relative 48%) Tab. 1 Valeurs de la succion ou du potentiel capillaire (pF) correspondant aux valeurs caractéristiques de l'humidité du sol et de sa teneur en acides humiques issus de la décomposition de la matière organique végé- tale (cf. gure 11). La texture désigne la proportion relative d'éléments grossiers (sables : diamètre 50µm), d'éléments intermédiaires (limons : diamètres compris entre 2 et 50 µm) et d'éléments ns (argiles : diamètres inférieurs à2µm) dans la composition du sol 6 . La réserve utile des sols se situe entre 70 mm/m pour des sols à texture sableuse et 150 mm/m pour des sols limoneux et argileux. Cependant, si cette eau peut être extraite par les plantes, au delà d'une certaine succion la plante est soumise à un stress hydrique (cf. gure 12). Elle ne dépérit pas totalement, mais réduit son activité biologique et donc son évapotranspiration. Le taux d'humidité pour lequel apparaît le stress dépend des conditions climatiques auxquelles est soumise la plante. Il est d'autant plus élevé que l'évapotranspiration potentielle est forte. On retiendra que l'eau du sol existe dans trois états. L'eau libre qui peut s'écouler gravitairement et donc réalimenter les nappes plus profondes ou le cours d'eau. La quantité maximale d'eau libre se situe généralement entre 150 et 250 mm/m suivant les sols. La réserve utile qui ne peut s'écouler gravitairement mais peut, du moins dans les horizons explorés par les racines, être remobilisée par les plantes. La reserve utile représente entre 70 et 150 mm/m. Le reste de l'eau est lié trop fortement aux sol pour pouvoir en être extrait, du moins naturellement . 2.3 Estimation de l'évapotranspiration potentielle et de l'évapotranspi- ration réelle L'évapotranspiration potentielle ( ETp) est théoriquement la quantité d'eau que cède une culture en pleine croissance couvrant totalement un sol largement pourvu d'eau par transpiration des plantes et évaporation du sol. Elle dépend donc du stade végétatif, de la plante, et des conditions climatiques. L'ETp est aussi une mesure climatique, dont la valeur est établie à partir de relevés 6. Attention de ne pas confondre les termes d'argiles et de limons utilisés ici comme qualicatifs tex- turaux avec ceux désignant les minéraux argileux ou les formations géologiques limoneuses (limon des plateaux). 10
  • 13. Fig. 11 Evolution schématique de la réserve utile du sol en fonction de sa texture (Soltner, 1990) Fig. 12 Rapport entre l'évapotranspiration réelle et l'évapotranspiration potentielle en fonction du pourcentage de la réserve utile disponible (Soltner, 1990) 11
  • 14. culture mai juin juillet août septembre Prairie de Fauche 0.95 1.15 1.15 1.10 1.20 Maïs 0.60 0.75 1.05 1.15 0.95 Betterave à sucre 0.65 1.10 1.30 1.15 0.90 Pomme de terre 0.65 1.35 1.45 1.35 0.90 Tournesol 0.65 1.20 1.50 1.65 1.30 Tab. 2 Rapport entre ETP Penman et ETM pour diérentes cultures et diérents stades végétatifs météorologique selon des formules plus ou moins complexes impliquant des variables mé- téorologiques mesurables. Il est à noter que l'ETp correspond à une valeur moyenne tous couverts végétaux confondus. L'évapotranspiration maximale (ETM) d'une formation vé- gétale peut être supérieure à l'ETP (cf tableau 2). Notons que l'ETP moyenne annuelle est essentiellement contrôlée par la lattitude en France. Elle évolue de 500 mm pour les régions les plus septentrionales à 900 mm dans les régions les plus méridionales : valeurs à comparer avec les 700 mm de précipitations en moyenne annuelle. Nous citons ici pour mémoire trois formules utilisées en France. 2.3.1 La formule de Penman La formule de Penman, actuellement utilisée par Météo-France, qui fournit pour la plu- part de ses stations météorologiques des estimations d'ETP décadaires et mensuelles. Cette formule fait intervenir de nombreux paramètres dont certains sont dicilement mesurables. La méthode est présentée en détail dans la Monographie n.65 de la Météorologie Nationale (Brochet Gerbier, 1974). Nous donnons ici pour mémoire l'expression mathématique de la formule de Penman. Penman a estimé le ux de chaleur latente au niveau du sol et donc le ux d'eau évaporé à partir d'un simple bilan énergétique : Rn−A−S R= L Rn radiation nette reçue au sol A ux de chaleur au bénéce de l'athmosphère S ux de chaleur sensible au bénéce du sol R ux d'eau évaporé L chaleur latente La formule développée prend la forme suivante : 1 IgaFT h σFT √ h ET P = FT 59γ (1 − a)(0.18 + 0.62 H ) − 59γ T 4 (0.56 − 0.08 e)(0.10 + 0.9 H ) 1+ γ 0.26 + FT (ew − e)(1 + 0.54V ) 1+ γ 12
  • 15. ET P évapotranspiration potentielle en mm/j Iga radiation directe solaire en l'absence d'athmosphère en cal/cm2 /j a albédo de la surface évaporante (0.2 pour la végétation) h durée réelle d'insolation en heures du jour considéré H durée maximale possible d'insolation pour ce jour en heures σ 7 2 constante de Boltzman soit 1.18 10 cal/cm /jour/K T température moyenne sous abri en degrés Kelvin e tension moyenne de vapeur d'eau de l'air en millibars FT Pente de la courbe de tension de vapeur saturante à la température T γ constante psychrométrique ew tension de vapeur saturante à la température T V Vitesse moyenne journalière du vent à deux mètres du sol en m/s 2.3.2 Autres formules La formule de Turc permet d'estimer une valeur d'ETP décadaire ou mensuelle en mm. : t Etp = 0.13 (Ig + 50) t + 15 t température moyenne décadaire en degrés Celsius Ig 2 radiation solaire globale en cal/cm /j La formule de Bouchet relie l'ETp en mm et l'évaporation E en mm mesurée avec un 7 évaporomètre Piche pour la période considérée (jour, décade, mois): Etp = λE Le paramètre λ dépend de la température : λ est inférieur à 1 lorsque la température est inférieure à 15{° C et supérieur à 1 au delà. Cette formule présente l'intérêt d'expliciter le lien entre l'évapotranspiration et l'évaporation. 2.4 calcul de l'évapotranspiration réelle à partir de l'ETP Dans la plupart des modèles hydrologiques l'évapotranspiration réelle est déduite de l'évapotranspiration potentielle. De nombreuses formules empiriques sont proposées dans la littérature. Dans le cas des cultures irriguées on peut se contenter d'appliquer de simples ratios pour calculer l'évapotranspiration réelle. Les cultures étant supposées disposer de susamment d'eau l'évapotranspiration réelle est égale à l'évapotranspiration maximale (cf tableau 2). Dans le cas de la modélisation hydrologique, les couverts végétaux sont souvent variés sur un bassin versant. De plus, la désaturation des sols et donc le stress hydrique sont sensibles. On utilise alors des modèles empiriques. Dans plupart des cas on calcule 7. Tube gradué rempli d'eau dont l'orice supérieur est fermé et l'orice inférieur obstrué par un papier buvard constituant la surface évaporante. La hauteur d'eau évaporée correspond à la diminution du niveau dans le tube. L'évaporomètre de Piche doit être placé sous abri pour limiter l'inuence du vent sur la mesure. 13
  • 16. l'évaporation à partir du stock d'eau disponible dans les premiers mètres de sol (approche de modélisation à base physique) ou dans un réservoir ctif (modèles conceptuels). Nous donnons ici deux exemples de formulations employées : Formule utilisée dans le modèle CREC S ET R = ET P 1 − exp − X Formule utilisée dans le modèle GR4j S S ET R = ET P 2− X X S hauteur d'eau stockée dans le réservoir sol X paramètre à caler Compte tenu des incertitudes dans l'estimation de l'évapotranspiration réelle, une va- leur moyenne décadaire d'ETP, voire une moyenne décadaire interannuelle d'ETP est lar- gement susante pour la modélisation hydrologique. 14
  • 17. 3 La circulation de l'eau dans les sols 3.1 Sols saturés Dans un milieu poreux homogène l'écoulement de l'eau suit généralement la loi de Darcy (gure 13) : Q = KA(h1 + l − h2 )/l Q débit traversant le milieu poreux en m3 /s A section d'écoulement en m2 K conductivité hydraulique à saturation du milieu traversé en m/s Fig. 13 Dispositif expérimental de Darcy La loi Darcy stipule que la vitesse macroscopique apparente d'écoulement au travers d'un milieu poreux est directement proportionnelle au gradiant de charge hydraulique auquel il est soumis. L'équation précédente peut s'écrire sous une forme plus générale, toujours dans une dimension de l'espace : δh q=K δz q vitesse macroscopique aparente d'inltration m/s h charge hydraulique en m h = z + P/(ρg) z altitude ρ densité de l'eau g accélération de la pesanteur P pression 15
  • 18. Il est à noter que q est une vitesse macroscopique apparente : c'est la vitesse moyenne d'écoulement sur l'ensemble de la section. La vitesse moyenne macroscopique - vitesse de propagation d'un traceur non réactif - v = q/ne où ne est la porosité du milieu, est supérieure à q. Dans un milieu poreux hétérogène comme le sont la plupart des sols, seule une partie des pores participent activement à l'écoulement (les macropores). La diérence entre vitesse macroscopique apparente et vitesse macroscopique moyenne peut être encore plus marquée. Le paramètre K - conductivité hydraulique à saturation - représente la vitesse d'inl- tration verticale de l'eau libre dans un sol saturé. Le gradiant hydraulique est alors égal à 1:P est dans ce cas indépendant de la profondeur et égal à la pression athmosphérique et h = z . La valeur de K (cf tableau 3 donne une indication des capacités d'inltration des sols naturels. Les valeurs du tableau sont à comparer aux intensités de pluie usuellement mesurées sous nos climats. type de sol K ( cm/s) K (mm/h) Limon argileux peu perméable 1.6 10−4 6 Alluvions assez perméables 5.5 10 −4 20 Alluvion perméable de 8.4 10 −4 à 3.410−3 de 30 à 120 Terre sableuse très perméable 1.4 10 −2 500 Tab. 3 Ordre de grandeur des conductivités hydraulique des sols (Soltner, 1990) 3.2 Sols insaturés Dans la plupart des cas les horizons superciels des sols sont partiellement désaturés au début des événements pluvieux. Dans un sol non saturé, certaines pores sont remplies d'air et la proportion de pores dans lesquelles l'eau est susceptible de s'écouler diminue de paire. On peut donc s'attendre à ce que la conductivité hydraulique diminue lorsque la teneur en eau d'un sol décroît. de plus, alors que la gravité est le principal moteur des écoulements dans les sols saturés, les forces de succion deviennent dominantes en sol non saturé. Par analogie avec les écoulements saturés, Richards (1931) a proposé une relation entre la vitesse d'inltration et le gradiant de charge hydraulique incluant les termes de gravité mais aussi les termes de succion : δh q = K(Ψ) (1) δz h charge hydraulique en m h = z + Ψ(θ) z altitude en m θ teneur en eau volumique Ψ(θ) potentiel matriciel ou succion généralement exprimée en m ou cm La relation entre la teneur en eau θ et le potentiel matriciel Ψ n'est pas bi-univoque. L'expérience montre en particulier que la courbe d'évolution du potentiel matriciel en fonction de la teneur en eau obtenue par humidication (sorption) progressive d'un sol n'est pas la même que celle obtenue par désaturation (désorption). La succion d'un sol équilibré pour une teneur en eau donnée est en générale plus grande en désorption qu'en 16
  • 19. sorption (cf gure 14). Cet eet, appelé hystérèse est en particulier du à la non uniformité géométrique des pores et au piégeage de l'air lors de l'humidication des sols. Fig. 14 Courbe caractéristique d'humidité en sorption et désorption (de Marsilly, 1981) Dans la plupart des modèles mathématiques d'écoulement en milieu poreux non saturé, l'eet d'hystérèse est négligé. Les relations entre la conductivité hydraulique, la succion matricielle et la teneur vo- lumique en eau du sol les plus couramment utilisées sont dues à Brooks et Corey (1966) : −1/m θ Ψ(θ) = Ψ(θs ) θs Ψ succion généralement exprimée en cm θ teneur en eau du sol généralement exprimée en cm3 /cm3 θs teneur en eau à saturation (porosité) m paramètre (2+3m)/m θ K(θ) = Ks θs K conductivité hydraulique généralement exprimée en cm/h Ks conductivité hydraulique à saturation Lorsque la teneur en eau du sol diminue, la conductivité hydraulique décroît, mais la succion matricielle augmente. Les deux eets sont antagonistes, mais on observe le plus souvent que la vitesse d'inltration de l'eau dans le sol croît lorsque la teneur en eau du sol diminue. 3.3 L'inltration : l'entrée de l'eau dans le sol Nous ne considérerons ici que l'initration verticale : inltration à partir d'un sol ho- mogène plan et conditions uniformes à la surface du sol. Dans un sol homogène lorsque 17
  • 20. la surface du sol est submergée, le prol d'inltration présente une zone saturée de plu- sieurs millimètres sous la surface du sol, une zone proche de la saturation appelée zone de transmission , et une zone d'humidication présentant un front au gradiant d'humidité très élevé. Fig. 15 prol d'humidité au cours de l'inltration dans le cas où la surface est saturée d'eau (Hillel, 1984) Au cours de l'inltration, le front progresse en profondeur et la zone de transmis- sion s'étale. La conductivité hydraulique décroissant rapidement avec la teneur en eau, le gradiant de teneur en eau et donc de succion doit être très élevé au niveau du front d'hu- midication pour assurer un ux vertical équivalent au ux de la zone de transmission. La circulation de l'eau lors de l'inltration est souvent considérée comme essentielle- ment verticale. L'équation générale unidimensionnelle de l'écoulement en sol non saturé est obtenue en combinant l'équation 1 avec l'équation de continuité : δθ δq =− (2) δt δz d'où : δθ δ δh =− K(θ) (3) δt δz δz ou encore : δθ δ δΨ(θ) =− K(θ) 1 + (4) δt δz δz Cette dernière équation est souvent reformulée, en introduisant la notion de diusivité : dΨ D(θ) = K(θ) dθ En remplaceant dans l'équation 4, on obtient : δθ δ δθ =− D(θ) + K(θ) (5) δt δz δz Il n'existe pas de solution analytique générale de l'équation 5. Certains auteurs ont proposé des solutions approchées en particulier dans le cas où la teneur en eau est uniforme dans le prol de sol en début de pluie, et où la surface du sol est maintenue saturée pendant toute la période d'inltration. 18
  • 21. Ainsi Philip en 1969 a proposé la solution approchée suivante : i(t) = 1/2st−1/2 + K (6) i(t) taux d'inltration à la surface du sol en mm/h où : K conductivité hydraulique à saturation s sorptivité De même Eagleson en 1970 a montré que l'équation de Horton (1939) était une solution approchée de l'équation 5 : i(t) = fc + (f0 − fc )e−αt (7) f0 taux d'inltration initial à la surface du sol en mm/h où : fc taux minimal d'inltration à la surface du sol en mm/h α paramètre Enn citons pour mémoire le modèle empirique développé par le Soil Conservation Service (SCS, 1968), reliant le volume total ruisselé depuis le début d'un événement pluvial à la hauteur totale de pluie. Cette formule ne comporte qu'un seul paramètre S : la capacité de totale de stockage du sol en mm. Le modèle repose sur l'hypothèse que le coecient d'écoulement global à un instant donné d'un événement pluvieux est égal au taux de saturation des sols : Q Pe − Q = Pe S Q Volume total d'eau ruisselé depuis le début de la pluie en mm Pe hauteur cumulée de pluie ecace depuis le début de la pluie mm S capacité maximale de stockage des sols L'expérience montre que Pe est souvent proche de P − 0.2S où P est la pluie brute. L'équation du SCS s'écrit donc : (P − 0.2S)2 Q= (8) (P + 0.8S) La valeur de S dépend du type de sol et des conditions antécédentes d'humidité. Ces valeurs ont été déterminées expérimentalement pour de nombreux sols aux Etats-Unis et sont tabulées (Bras, 1990). 3.4 Le cas particulier de la battance La battance est un phénomène mécanique et chimique bien connu des agronomes. Dans son acception stricte, la battance correspond à la formation sous l'eet de la pluie d'une croute en surface du sol (Lozet Mathieu, 1997; Musy Soutter, 1991; Hillel, 1984). Dans une acception plus large, on entend par battance la réduction des capacités d'inltration des sols liée à la destructuration et à la compaction de sa couche supercielle sous l'eet l'impact des gouttes de pluie. Le taux d'inltration de sols battants est généralement inférieur à 10 mm/h et peut atteindre 1 mm/h (Bissonnais Singer, 1993; Hardy et al. , 1983). Le calcium et les hydroxydes de fer et d'alluminium assurent la liaison entre les 19
  • 22. acides humiques et les argiles et jouent donc un rôle majeur dans la stabilité structurale des sols. Les eaux de pluie faiblement concentrées en calcium ont tendance à disperser les complexes argilo-humiques et à destabiliser les sols les rendant plus sensibles à l'impact des gouttes de pluie : le phénomène de battance moins marqué lorsque l'on soumet des échantillons de sol à une pluie d'eau enrichie en sel de calcium (Hardy et al. , 1983). La battance est une propriété souvent associée aux sols limoneux : lorsqu'ils manquent d'argile, d'humus et de calcium, les limons sont battants (Soltner, 1990). En eet, dans le cas de sols peu cohésifs, les éléments ns (sables ns et limons) sont entrainés par l'eau s'inltrant dans le sol et peuvent en colmater les pores. Après assèchement, ces éléments ns cimentent formant une véritable croûte compacte. Alors que dans la plupart des cas, la battance est un processus réversible (i.e. l'horizon superciel retrouve pour partie sa perméabilité initiale en s'assèchant après la pluie), la croûte de battance est stable (Hardy et al. , 1983). Des expériences menées sur des échantillons en laboratoire (Bissonnais Singer, 1993) conrment que tous les types de sols peuvent être battants au sens large du terme. Une couche de battance ne se développe sur les sols à forte teneur en matière organique et en hydroxydes de fer et d'alluminium, facteurs de stabilisation de la structure, que lorsqu'ils sont soumis à des intensités de pluie élevées, rarement mesurées (plus de 70 mm/h). La formation de la couche de battance est progressive : les coecients de ruissellement ne se stabilisent qu'au bout de 30 minutes à 1 heure dans la plupart des essais des études citées plus haut. Elle est plus rapide lorsque le sol est initialement sec. La couverture végétale brise l'énergie cinétique de la pluie (Ellison, 1945). Par ailleurs les racines des végétaux stabilisent le sol superciel. La battance concerne donc essentiel- lement les sols nus directements exposés à l'impact des gouttes de pluie : sols agricoles travaillés, sols des régions arides et semi arides, chemins de terre (Hillel, 1984). Mis à part le cas des sols peu cohésifs comme les limons du pays de Caux, l'énergie nécessaire à la destructuration des sols est élevée. Les intensités moyennes des pluies appliquées dans les expérimentations en laboratoires citées plus haut - de 30 à 40 mm/h pendant une heure - correspondent à des pluies de période de retour annuelle en milieu méditerranéen et décennale en milieu tempéré. La battance peut jouer un rôle important dans la génèse des crues majeures de bassins versants agricoles ou de climat arides et semi arides. Or, elle est très peu évoquée dans la littérature hydrologique. La plupart des modèles hydrologiques, y compris ceux qui ont été développés spéciquement pour les bassins semi arides comme KINEROS (Smith et al. , 1995), ne la prenne pas explicitement en compte. 3.5 La redistribution de l'eau dans le sol après une averse Lorsque l'apport d'eau en surface cesse (pluie ou irrigation) les mouvements d'eau en particulier vers le bas se poursuivent. Une partie de l'eau des couches supercielles saturées du sols va s'écouler vers les couches plus profondes sous l'inuence de la gravité et des gradients de succion. Ces mouvements d'eau sont qualiés de redistribution car ils consistent à redistribuer l'eau des couches supercielles les plus saturées en eau après la période d'inltration (gure 16). Le terme de ressuyage est aussi souvent employé. Ajoutons quelques remarques. En présence d'une nappe d'eau proche de la surface, le prol d'humidité tendra vers un prol d'équilibre au cours du ressuyage, pour lequel la succion en chaque point sera égal à sa hauteur par rapport au niveau de la nappe d'eau libre. En revanche, en l'absence de nappe et dans le cas d'un sol profond le processus de ressuyage initialement dominé par la pesanteur, sera progressivement contrôlé par les gradients 20
  • 23. Fig. 16 prols successifs d'humidité au cours du ressuyage d'un sol à texture moyenne. Les courbes représentent des prols types 1 ,4 et 15 jours après une pluie (Hillel, 1984) de succion. Le processus de ressuyage ressemblera au remplissage d'un tonneau sans fond, la vitesse d'inltration dimunuant progressivement à l'image des gradients de succion. Dans ce dernier cas la teneur en eau des couches supercielles du sol prendra des valeurs inférieures à la capacité au champ. La notion de capacité au champ est pédagogique mais n'a pas de réalité physique, dans la mesure où nous venons de voir que le prol d'humidité à l'équilibre d'un sol et donc la teneur en eau de ses horizons, prol qui est d'ailleurs rarement at- teint, dépend essentiellement de la profondeur de la nappe d'eau libre. Un équivalent de la capacité au champ ne pourra réellement être mesuré que dans les sols où la conductivité hydraulique chutte rapidement quand la succion matricielle augmente : sols à structure grossière. La distinction entre écoulements gravitaires et écoulements contrôlés par les gradients de succion (très faibles dans ce cas) est alors possible. Le ressuyage a été décrit ici sans tenir compte de l'évapotranspiration qui désature les premières dizaines de centimètres voire les premiers mètres de sol. Dans un sol à structure grossière, le ressuyage étant rapide, on peut négliger l'évaporation pour décrire l'évolution des prols d'humidité. Ce n'est pas le cas pour des sols limoneux et argileux. On imagine aisément, à partir des éléments présentés ici, la compléxité de la dyna- mique d'inltrations et de ressuyages successifs en particulier dans un sol à texture ne. Une période de temps sec permet rarement l'établissement d'un prol d'humidité d'équilibre entre deux averses. De plus, ce prol ne correspond pas aux hypothèses usuellement utilisées pour dériver des formules simpliées d'inltration (partie 3.3). L'hystérèse complique encore le processus de redistribution, dans la mesure où simul- tanément des horizons du même prol de sol s'humectent et se drainent. 21
  • 24. 3.6 On retiendra en conclusion Cette partie du cours était consacrée à la présentation des bases physiques des écou- lements de l'eau dans le milieu poreux que constituent les sols. La représentation de la circulation de l'eau dans un milieu homogène posent des dicultés comme nous avons tenté de l'illustrer : coexistence d'horizons saturés et insaturés dans les mêmes pols de sol, incertitudes sur la relation taux de saturation - succion, représentation macroscopique (Darcy ou Richards) imparfaite d'un écoulement dans un résau maillé de pores irrégulières aux diamètres variés, incertitudes concernant les reprises d'eau par évapotranspiration et l'état de la surface du sol (battance). Le problème de la représentation des écoulements dans des sols en place se complique encore dans la mesure où ces sols sont rarement homogènes. La texture et la structure d'un sol peuvent uctuer, en particulier avec la profondeur. Les racines, et les conduits creusés par les animaux fouisseurs et en particulier les vers de terre, modient sensiblement les capacités et la dynamique d'inltration des premiers horizons. Elles constituent des lieux d'écoulement préférentiel conduisant en profondeur les eaux d'inltration avant que la matrice des horizons superciels ait pu se saturer. Ces écoule- ments dans les macropores du sol est un des processus invoqués pour expliquer la réaction rapide du niveau des nappes phréatiques proche de la surface lors des pluies (Novakowski Gillham, 1988). C'est aussi l'un des processus mis en avant pour expliquer la rapidité des apport subsuperciels observés lors de crues sur des bassins versants expérimentaux (Freeze, 1974; Ambroise, 1998). 22
  • 25. 4 La constitution des débits de crue à l'échelle du bassin versant : une énigme dicile à résoudre La conception de la genèse des débits dans les cours d'eau proposée par Horton (1933) a longtemps séduit les hydrologues, en particulier les modélisateurs, par sa simplicité. Selon le modèle de Horton, les écoulements rapides (écoulement de crue) sont essentiellement dus au dépassement des capacités d'inltration des sols d'un bassin versant, ces capacités d'inltration évoluant au cours d'un événement pluvieux (cf partie 3.3). Cette conception a cependant été rapidement remise en question, en particulier dans le cas des bassins versants tempérés. En eet, le ruissellement superciel direct est rarement observé. S'il apparaît, il est, sauf cas extrême, très localisé, et les eaux de ruissellement générées en un point du bassin versant peuvent se réinltrer plus à l'aval. Par ailleurs, des crues sont observées même lorsque les intensités de pluie sont faibles et nettement inférieures à la conductivité hydraulique à saturation des sols du bassin versant. Enn, les nombreuses expérimentations de traçage géochimique (décomposition des hydrogrammes de crue sur la base de leur composition chimique) suggèrent qu'une proportion importante (de 20% à 80%) des écoulements lors de crues modestes et moyennes sur de petits bassins versants ont transité par le sol. 4.1 Les processus possibles L'inventaire des processus qui peuvent être impliqués dans la genèse des débits est large (Freeze, 1974), et malgré les eorts importants de recherche déployés depuis 30 ans sur des bassins versants expérimentaux, aucun des processus envisagés (gure 17) n'apparaît aujourd'hui comme nettement dominant quels que soient le bassin versant et l'événement pluvieux étudiés. Les principaux processus générateurs d'écoulements sont : les précipitations directes sur les surfaces déjà en eau et sur les surfaces imperméables. La plupart du temps ce terme ne représente que quelques dixièmes de pour cent des pluies, soit nettement moins que les quelques pour-cent à quelques dizaines de pour- cent de coecient d'apports mesurés habituellement lors des crues. l'exltration d'écoulements souterrains ou subsuperciels sur les versants. le ruissellement par saturation des sols. L'inltration dans le sol n'est possible que si le sol à des capacités de stockage. Les secteurs où la nappe et proche de la surface, en particulier à proximité du cours d'eau, peuvent se saturer rapidement et ruisseler (Dunne Black, 1970). Ce processus a été observé sur de petites parcelles expéri- mentales. Mais l'origine essentiellement supercielle des débits de crue qu'il suggère n'est pas en accord avec les résultats de campagnes de mesures géochimiques. Les écoulements subsuperciels le long des versants venant réalimenter les thalwegs et saturant progessivement les fonds de vallons. Ce processus, combiné avec le pré- cédent a rencontré un certain succès parmis les hydrologues (surfaces contributives variables) et est le processus majeur représenté dans le modèle hydrologique distri- bué le plus populaire : TOPMODEL (Beven et al. , 1995). Cependant, les processus pouvant expliquer un écoulement subsuperciel susamment rapide pour pouvoir expliquer une contribution importante des versants lors des crues restent mystérieux (Freeze, 1974; Beven, 1982). L'écoulement piston le long d'un versant souvent invoqué semble irréaliste. Par ailleurs, les écoulements dans des macropores non capillaires, ayant le bon goût d'être continus et de suivre la pente du terrain naturel semblent 23
  • 26. Fig. 17 Les diérents processus impliqués dans la genèse des débits de crue (Ambroise, 1998) 24
  • 27. anecdotiques, et ne sont observés que sur quelques sites particuliers. Remarquons que ce dernier processus ne résoud pas le problème de la contribution importante des eaux souterraines en crue. L'eau circulant dans un macropore souterrain ne se mé- lange pas beaucoup plus avec l'eau de la matrice du sol qu'une eau de ruissellement superciel. l'intumescence de nappe est un processus possible qui a été très astucieusement mis en évidence à la n des années 1970 (Sklash Farvolden, 1979). Il a pu être démontré numériquement, que la nappe en équilibre avec un cours d'eau réagit rapidement lors des pluies dans les zones où elle est peu profonde (quelques mètres de part et d'autre d'un cours d'eau). Le débit d'alimentation du cours d'eau par la nappe augmente alors proportionnellement au gradient hydraulique. Ce processus à lui seul peut conduire à un doublement ou un triplement temporaire du débit de base d'un cours d'eau mais guère plus. 4.2 conclusion Il apparaît que les débits de crue sont générés le plus souvent par plusieurs processus simultannément ou successivement, dans des combinaisons variables dans le temps et dans l'espace (Ambroise, 1998). Les variabilités spatiales qu'il s'agisse des uctuations verticales des propriétés hydrauliques des sols ou de la variabilité des types et des profondeurs de sols jouent un rôle majeur dans la réponse hydrologique d'un bassin versant. Or il apparaît dicile de mesurer, et plus encore de décrire dans un modèle mathématique cette varia- bilité. Nous y reviendrons dans la dernière partie du document. De même, les variations temporelles à court et long terme de l'état hydrique des sols, de leurs propriétés phy- siques (gonement, retrait, battance), de l'activité biologique (stades végétatifs, activité de la faune du sol) et anthropiques (imperméabilisation, opérations culturales), peuvent provoquer à certains endroits et moments l'apparition ou la disparition de processus. 25
  • 28. 5 La modélisation hydrologique 5.1 Quelques éléments de vocabulaire La modélisation hydrologique comme la modélisation mathématique d'une manière générale a son vocabulaire propre que nous présentons succintement ici. Fig. 18 Représentation schématique d'un modèle hydrologique Variables indépendantes ou variables d'entrée ou fonctions de forçage : données d'entrée du modèle. Dans le cas des modèles hydrologiques, il s'agit essentiel- lement des mesures pluie. Les modèles hydrologiques sont des modèles dynamiques, les données d'entrée uctuent en fonction du temps. Certains modèles utilisent des données d'entrée spatialement distribuées. Variables dépendantes ou variables de sortie : il s'agit essentiellement des dé- bits simulés à l'exutoire du bassin versant. Variables d'état: variables permettant de caractériser l'état du système modélisé, qui peuvent évoluer en fonction du temps dans un modèle dynamique. Il s'agit, par exemple, du niveau de remplissage des diérents réservoirs d'eau du bassin versant, du taux de saturation des sols, mais aussi de la profondeur des sols, des pentes ... Certaines variables d'état sont mesurables. paramètres : la notion de paramètre est intimement liée à celle de modèles concep- tuels ou empiriques. Dans de nombreux cas, il n'est pas possible de représenter dans un modèle le processus physique parce que l'échelle de ce processus est trop petite et que les variables d'état contrôlant le processus ne sont pas accessibles à la mesure. Un modèle plus global est alors utilisé pour décrire le processus, mais certaines de ses variables d'état n'ont plus de sens physique, et ne peuvent plus être reliées à des va- riables mesurables. Ces variables, dont la valeur doit être déterminée par calage, sont appelées paramètres. La loi de Darcy est un exemple de modèle empirique global. 26
  • 29. Le processus sous-jacent - écoulements d'eau dans un réseau complexe de pores - ne peut être décrit nement. La conductivité hydraulique d'un sol n'est pas accessible directement à la mesure et doit être évalué à partir de tests d'inltration. erreur de modélisation : c'est une mesure de l'écart entre les valeurs simulées à l'aide du modèle et les valeurs mesurées. Le critère le plus souvent employé en hydrologie pour quantier l'erreur est l'écart quadratique. N Err = (Qi − Qm )2 i i=1 N nombre d'observations Qi débit simulé pour le pas de temps i Qm i débit mesuré pour le pas de temps i calage : au sens strict du terme, c'est l'opération qui consiste à trouver les valeurs des paramètres du modèle qui minimisent l'erreur de modélisation. 5.2 Pourquoi des modèles hydrologiques? Les modèles hydrologiques, comme nous l'avons vu plus haut, sont nés bien avant l'avè- nement de l'informatique. A quel besoin répondaient et répondent encore ces modèles ? La littérature scientique présente une très grande diversité de modèles dont très peu ont trouvé une utilisation opérationnelle. La question de l'utilisation de modèles en hydrologie - pour eectuer des prévision, dimensionner des ouvrages d'art, délimiter des zones inon- dables - se pose en particulier pour les bassins versants pour lesquels on dispose de séries de débits mesurés. Nous aurons l'occasion de l'aborder dans le cadre du Travail dirigé consacré à la modélisation hydrologique. Ceci dit, on peut distinguer trois types d'utilisation des modèles mathématiques en hydrologie. La modélisation comme outil de recherche . La modélisation peut être utili- sée pour interpréter des données mesurées. Diérents scénarios de fonctionnement hydrologique des bassins versants peuvent être confrontés aux mesures. Un exemple d'une telle utilisation de modèles hydrologiques est donnée en gure 19. Les hydro- grammes de crue simulés avec diérentes hypothèses sur le coecient d'apport sont confrontés à un hydrogramme mesuré. de Sklash et Farvolden dont il a été question en est une autre illustration : la modélisation hydrologique a conrmé dans ce cas que l'intumescence de nappe pouvait expliquer au moins en partie la réponse rapide des bassins versants lors des crues. La modélisation comme outil de prévision : anticipation des évolutions futures du débit d'un cours d'eau. Il s'agit de l'utilisation opérationnelle la plus courante des modèles hydrologiques. Dans la plupart des cas cependant, les modèles développés sont basés sur des régressions linéaires entre les variables indépendantes (pluie, débits amont) et les variables dépendantes (débits aval), et font peu appel aux connaissances sur les processus hydrologiques. La gure 20 présente les résultats de prévision des débits moyens journaliers de la Seine en amont de Paris à l'aide de modèles linéaires. Trois modèles diérents sont utilisés pour les trois horizons de prévision : 1 jour (rond), 2 jours (triangles), 3 jours (losanges). 27
  • 30. Fig. 19 Simulation de la crue de l’Auzonnet (Gard) des 6 et 7 Octobre 1997 (Gaume Livet, 1999) Fig. 20 Prévision des débits moyens journaliers de la Seine en amont de Paris (Gaume Tassin, 1998) 28
  • 31. La modélisation comme outil d'extrapolation : reconstitution de séries de débits plausibles. Dans certains cas, comme par exemple le dimensionnement de déversoirs de sécurité de barrages hydroélectriques ou encore la délimitation de zones inondables dans le cadre d'un Plan de prévention des risques, il est nécessaire de proposer des scénarios de crues, ou éventuellement d'étiages, de période de retour nettement su- périeure à la durée d'observation des débits sur le site étudié. L'utilisation de longues séries de pluies - éventuellement générées à l'aide d'un modèle stochastique de pluie - couplées à un modèle hydrologique permet de reconstituer des scénarios rares. Les distributions de débits de pointe de crue d'un bassin versant ctif reconstituées à l'aide de deux modèles hydrologiques diérents sont présentées dans la gure 21. Fig. 21 Reconstitution de la distribution des débits de pointe de crue d’un bassin versant ctif de 10 km2 (Gaume et al., 1999) 5.3 Diérentes approches de modélisation Le terme de modèle recouvre une large variété d'outils, à la phylosophie et aux objectifs diérents. Les approches habituellement utiliseés en modélisation pluie-débit apparaissent en sombre dans la gure 22. Quelques outils de modélisation hydrologique seront présentés dans le cadre du travail dirigé, nous nous contentons de donner ici quelques dénitions modèle déterministe : modèle qui associe à chaque jeu de variables de forçage, de variables d'état et de paramètres une valeur réalisation unique des variables de sortie. modèle stochastique : l'une au moins des variables de forçage ou des variables d'état ou des paramètres est une variable aléatoire. Par voies de conséquence, la ou les variables de sortie sont des variables aléatoires. La reconstitution de la distribution des variables de sortie nécessite des simulations répétées en tirant aléatoirement la valeur de la variable d'entrée. On parle de simulation de Monte Carlo . 29
  • 32. Fig. 22 Les diérentes approches de modélisation modèle à base physique : modèle basé uniquement sur des équations de la phy- sique, et ne comportant idéalement aucun paramètre. Il n'existe pas de modèle à base physique au sens strict en hydrologie comme nous l'avons vu plus haut. Cer- tains modèles comme le SHE (Refsgaard Storm, 1995) tendent à s'en rapprocher. L'importance de l'hétérogénéité spatiale dans la réponse hydrologique des bassins versants rend cependant dicile voire impossible l'utilisation de tels modèles. La précision spatiale des données disponibles en particulier concernant les types de sols et leurs profondeurs n'est pas susante. Dans la pratique, les profondeurs et les conductivités moyennes des sols représentatives de sous parties du bassin versant doivent être évaluées par calage et deviennent, de fait, des paramètres. modèle paramétrique : modèle incluant des paramètres dont la valeur doit être estimée par calage. modèle conceptuel : modèle dans lequel le fonctionnement du bassin versant est représenté par des analogies : concepts. L'analogie la plus souvent utilisée pour re- présenter le fonctionnement des sols et des nappes est celle du réservoir dont le débit de vidange dépend du taux de remplissage. modèle analytique : modèle pour lequel les relations entre les variables de sortie et les variables de forçage ont été établies par analyse de séries de données mesurées. L'exemple type est celui des modèles linéaires : les paramètres du modèles sont liés aux coecients de corrélation entre les variables. Notons que l'analyse des données peut conduire au choix de relations non linéaires entre les variables. modèles empiriques : le type de fonctions reliant les variables est xé à priori (fonctions polynômiales, fonctions sigmoïdes). Le niveau de complexité (nombre de fonctions à utiliser, ordre du polynôme) étant xé, le calage consiste alors à déter- miner la combinaison de fonctions s'ajustant le mieux aux données mesurées. Les 30
  • 33. réseaux de neurones sont l'exemple le plus répendu de ce type de modèles en hydro- logie. Les outils d'interpolation s'avèrent généralement être de piètres extrapolateurs. Ils sont donc à utiliser avec prudence en dehors de la gamme de valeurs pour laquelle ils ont été calés. 31
  • 34. 6 Travail dirigé : applications hydrologiques de modèles pluie- débit globaux 6.1 Avant propos Ce TD n.1 a pour but de familiariser les étudiants avec la manipulation de modèles pluie-débit et l'exploitation des résultats qu'ils fournissent pour diverses applications : di- mensionnement de barrages-réservoirs, prévisions hydrologiques, analyse de bassins ver- sants. Les modèles proposés fonctionnent au pas de temps journalier. Pour de nombreuses applications ce pas de temps peut se révéler insusant comme les étudiants pourront le découvrir au cours du TD. Mais les données hydrologiques sont plus facilement accessibles à ce pas de temps et surtout, la manipulation et la compréhension du fonctionnement des modèles sont plus aisées. Le TD comporte trois parties. La première est consacrée au calage des modèles. On s'interrogera sur le choix des critères de calage, sur les dicultés d'opti- misation que l'on peut rencontrer lorsque le nombre de paramètres à caler augmente, sur la dynamique des processus hydrologiques et le choix des formulations mathématiques les plus appropriées, et enn sur l'importance de la validation. Cette partie du TD permettra de choisir le modèle le plus adapté au bassin versant étudié. La seconde partie du TD portera sur l'une des principales applications opérationnelles des modèles hydrologiques : la prévision à cours terme des débits d'un cours d'eau. Diérentes techniques de prévision basées sur une modélisation pluie-débit, mais aussi sur des modèles linéaires de type AR- MAX très employés dans les services d'annonce des crues seront comparées. Enn, dans une troisième partie, les étudiants auront à dimensionner divers types de barrages réser- voirs (écrêtement des crues, soutien d'étiage), et jugeront de l'intérêt de l'utilisation d'un modèle pluie-débit par rapport à une simple exploitation des données de débit mesurées. ATTENTION : Les outils de modélisation utilisés dans le TD, à savoir le logiciel Scilab et les routines qui l'accompagnent, sont du domaine public. En revanche les données ne peuvent être utilisées dans un autre cadre que celui de cet enseignement sans un accord de Météo-France pour les données de pluie et d'ETP et du Ministère de l'aménagement du territoire et de l'environnement pour les données de débit. 6.2 Introduction 6.2.1 Présentation du logiciel Scilab Scilab est un logiciel de calcul numérique cousin de Matlab distribué gratuitement par l'INRIA. Il peut être téléchargé depuis l'adresse internet suivante : http://www-rocq.inria.fr/scilab/. Il a été utilisé dans ce TD car le langage de programmation est relativement simple et per- mettra aux étudiants assez rapidement de lancer des commandes ou d'écrire des scripts complexes. De plus, de nombreuses librairies intéressantes pour l'hydrologie sont associées au logiciel Scilab : graphiques, statistiques, optimisation non linéaire, modèles ARMA, ré- seaux de neurones… Le logiciel, une fois lancé, se présente sous la forme d'une fenêtre de commande où peut être exécutée toute instruction (lecture et écriture de chiers, calcul sur des vecteurs et des matrices, graphiques, et lancements de scripts en langages Scilab ou de routines en langage C ou Fortran). Il propose une aide en ligne et une série de démos accessibles avec la barre de menu. Les démonstrations et la liste des fonctions de l'aide permettent une première familiarisation avec les possibilités de ce logiciel. 32
  • 35. Les démos introduction to Scilab et Graphics : Introduction seront parcourues en début de TD et complétées par quelques petits exercices de manipulation de matrices, de calcul et de graphisme. 6.2.2 Mise en route Lancez le logiciel Scilab. Sélectionnez si nécessaire votre répertoire de travail en utilisant la commande File / Change directory du menu de Scilab. Tapez ensuite dans la fenêtre de commande l'instruction exec tdinit.sci qui permet le chargement des fonctions et exécutables en langage C qui ont été programmés pour les besoins du TD. Vous êtes prêts à travailler. 6.2.3 Les données et les fonctions utilisées Les chiers de données utilisés ont été établis spéciquement pour ce TD et ne doivent pas être utilisés en dehors de ce cadre. Ils rassemblent les mesures de pluies journalières et d'ETP (exprimées en mm/j) collectées par Météo-France ainsi que les mesures de débits (exprimés en m3/s) d'un certain nombre de bassins versants extraites de la banque Hydro. Les séries de données couvrent pour chaque bassin la période 1981-1995. Les chiers de données sont lus automatiquement lorsqu'on lance la commande tdhydro. Les débits sont convertis en mm/j. [P,E,Qm] = tdhydro() : Commande qui permet la lecture des chiers de données. La commande renvoie trois vecteurs de données classées par ordre chronologique : P (vecteur des pluies en mm/j), E (vecteur des ETP en mm/j) et Qm (vecteur des débits mesurés en mm/j). [Q,f,xopt]=calhyd(P,E,Qm) : Commande de calage des modèles. Diérents menus permettent de choisir le modèle et les options de calage. Cette commande a pour argument les données mesurées et renvoie la série des débits simulés, les valeur du critère optimal et des paramètres optimaux. Le suivi de l'évolution du critère de Nash permet de vérier que l'algorithme d'optimisation a convergé. Si ce n'est pas le cas, il faut augmenter le nombre d'itérations. Q=modele(par,P,E,Qm,mod) : Commande permettant la simulation d'une série de débits. Les arguments sont les valeurs des paramètres, des données mesurées, et le numéro du modèle (1 Pour GR4 et 2 pour IHACRES). 6.3 Première partie : calage et choix de modèles hydrologiques 6.3.1 Les modèles proposés Deux modèles conceptuels pluie-débit à pas de temps journalier sont proposés dans ce TD. Cette première partie du TD porte sur le calage et le choix du modèle qui sera utilisé dans la suite du TD. Le modèle IHACRES modié (gure 23) La pluie nette dépend d'un indice de saturation S des sols du bassin versant qui est recalculé à chaque pas de temps en fonction de la pluie brute et de l'ETP (paramètres X2 et X6). Cette pluie nette est ensuite répartie entre un écoulement rapide et un écoulement lent (paramètre X5), la dynamique de ces deux écoulements étant reproduite à l'aide d'un modèle de réservoir linéaire (i.e. le débit du réservoir est directement proportionnel à la quantité d'eau stockée) : paramètres X3 et 33
  • 36. X1. Les hydrogrammes obtenus sont enn décalés dans le temps (paramètre X4). Notons que pour faciliter la convergence de l'algorithme d'optimisation, les valeurs vraies des paramètres sont transformées. Les relations entre les valeurs des paramètres vraies (X1 à X6) et les valeurs sur lesquelles porte l'optimisation (x1 à x6) sont les suivantes : X1 = exp(x1) + 1 X2 = exp(x2) X3 = exp(x3) + 1 X4 = 11 + x4 X5 = (x5 + 9.99)/19.98 X6 = exp(x6) Fig. 23 Organigramme du modèle IHACRES modié Le modèle GR4J (gure 24) Il s'agit d'un modèle développé conjointement au CE- MAGREF et au CEREVE. Si la pluie est supérieure à l'ETP on calcule la pluie ecace (Pn-Ps), la pluie non ecace alimentant un premier réservoir. Dans le cas contraire, on calcule le volume qui s'évapotranspire du premier réservoir. Dans les deux cas, le cal- cul de la pluie ecace et de l'évapotranspiration dépendent du taux de remplissage du premier réservoir (R) et d'un paramètre X1. La pluie ecace est répartie en 90% d'écoule- ment lent et 10% d'écoulement rapide. Ces deux composantes sont transformées par deux hydrogrammes unitaires de même paramètre X4. L'écoulement lent alimente ensuite un réservoir (paramètre X2) dont le débit de vidange dépend de son taux de remplissage (T) à la puissance 4. Des échanges sont possibles avec des nappes profondes, leur débit F dé- pend du taux de remplissage du second réservoir. Selon la valeur du paramètre X3 ce ux alimente ou se retranche du second réservoir et de l'écoulement rapide. Tout comme dans 34
  • 37. le modèle précédent on travaille avec des valeurs de paramètres transformées. Les relations entre les valeurs vraies (X1 à X4) et les valeurs optimisées (x1 à x4) sont les suivantes : X1 = exp(x1) (mm) X2 = exp(x2) (mm) X3 = sinh(x3) (mm) X4 = 0.325.x4 + 3.75 (jours) Fig. 24 Organigramme du modèle GR4j 6.3.2 Le calage La fonction calhyd a été programmée pour les besoins du TD. Elle permet une utilisa- tion guidée de la fonction leastsq (least-square : moindres carrés) proposée dans Scilab pour l'optimisation non linéaire. Les arguments de calhyd sont les séries de pluie, ETP et débits mesurés sur lesquels on souhaite ajuster le modèle. Il est donc possible suivant les arguments choisis de faire porter le calage sur une sous partie de la série de données disponibles. Par exemple la commande [Q,f,xopt]=calhyd(P(500 :1000),E(500 :1000),Qm(500 :1000)) permet de caler le modèle sur les valeurs des vecteurs des données mesurées comprises entre les rangs 500 et 1000. Attention, le vecteur Q renvoyé par la fonction calhyd ne comportera lui aussi que 501 valeurs. Si l'on souhaite reconstituer les débits simulés pour l'ensemble de la série avec le jeu de paramètres xopt, il faut relancer une simulation en utilisant la commande Q=modele(xopt,P,E,Qm,mod) . Il est important de noter que le modèle pluie-débit nécessite une mise en route. La première année de simulation n'est pas considérée pour calculer le critère de calage. Il n'est donc pas possible de caler le modèle sur des séries de données de durée inférieure à une 35
  • 38. année. Trois critères de calage sont proposés. On note Q (débits mesurés), F (débits simulés), t (indice de temps), P (données de pluie), E (données d'ETP), (paramètres du modèle). La somme des carrés des écarts : n C1 (α) = (Qt − Ft (α, P, E))2 t=1 C'est le critère le plus employé. Le résultat du calage est fortement inuencé par les valeurs importantes des écarts, correspondant souvent aux périodes de crues. On rapporte souvent la somme des carrés à la variance des débits mesurés. On parle alors de critère de Nash : n 2 t=1 (Qt − Ft (α, P, E)) N ash = 1 − n 2 t=1 (Qt − moy(Qt )) Si le critère de Nash est négatif, le modèle est moins bon que l'utilisation de la moyenne des valeurs mesurées. Pour un modèle s'ajustant parfaitement aux données mesurées le critère de Nash vaut 1. En général on attend d'un modèle hydrologique que son critère de Nash soit supérieur à 0.8. La somme des écarts absolus : n C2 (α) = | Qt − Ft (α, P, E) | t=1 La somme des écarts relatifs : n | Qt − Ft (α, P, E) | C3 (α) = t=1 Ft (α, P, E) Ces deux critères, moins inuencés par les fortes valeurs d'écarts ou de débits, devraient permettre un meilleur ajustement du modèle en période d'étiage. Ils peuvent cependant conduire à des fonctions critères discontinues (utilisation de valeurs absolues) aux minimum moins bien localisé, et donc compliquer la tâche de l'algorithme d'optimisation. Les exercices du TD ont pour objet d'étudier la capacité des modèles proposés à repro- duire les données hydrologiques mesurées, et de révéler l'inuence du critère de calage, du jeu de paramètres initiaux et du choix du modèle sur le résultat de calage. Cet exercice révélera qu'il est dicile de proposer un modèle conceptuel universel, les bassins versants ayant des comportement hydrologiques très diérenciés. Vous pourrez aussi noter que la diculté à caler un modèle augmente avec le nombre de paramètres. Le calage consiste à rechercher le minimum d'une fonction critère dont la valeur dépend des paramètres du modèle. Cette recherche sera d'autant plus facile que la fonction critère aura une forme régulière et concave (gure 25). Le risque d'apparition de minima locaux, de zones plates , de discontinuités augmente avec le nombre de paramètres. 6.3.3 La validation Le calage indique que le modèle choisi est un outil d'interpolation satisfaisant, il ne permet pas de juger des capacités d'extrapolation du modèle : de ses performances lorsqu'il est utilisé avec des données qui n'ont pas servi à son calage. C'est l'objet de la validation. Le pari du modélisateur est qu'il a réussi à synthétiser au sein de son modèle la dynamique du processus qu'il étudie. De ce fait, on peut accorder une certaine conance aux résultats du modèle utilisé en extrapolation. Il s'agit cependant toujours d'un pari dans la mesure où un modèle n'est jamais totalement validé. Il faudrait pour cela le confronter à toutes les jeux de données possibles. Le contrôle des performances du modèle sur des jeux de données n'ayant pas servi à son calage donne cependant quelques indications sur les capacités d'extrapolation du modèle. 36
  • 39. Fig. 25 Exemples de recherche du minimum d'une fonction C(x) 6.3.4 Travail à réaliser Calez le modèle GR4j sur les données en utilisant le critère des moindres carrés. Augmentez le nombre d'itérations si vous constatez que le critère de Nash ne s'est pas stabilisé. Le modèle donne-il de bons résultats dans tous les cas. Commentez. Choisissez un bassin versant pour lequel le critère de Nash nal dépasse 80 Découpez vos données en 3 sous ensembles. Calez successivement le modèle sur chacun des sous ensembles et validez-le sur les deux sous-ensembles restants. Commentez ? Tracez les erreurs du modèle retenu en fonction du débit simulé. La variance des erreurs vous semble-t-elle indépendante du débit ? 6.4 Deuxième partie : prévision à courte échéance 6.4.1 Les diérentes techniques de prévision Prévoir l'évolution à court terme des débits d'un cours d'eau, en particulier en période de crue, permet de mieux se préparer aux désordres engendrés par la montée des eaux : évacuation de biens et de populations exposés, vidange préventive de barrages réservoirs, constitution de stocks d'eau potable dans les usines de traitement … L'échéance choisie dépend du temps de réponse, et donc de la taille du bassin versant considéré. Elle est souvent inférieure à la journée : par exemple huit heures pour la prévision des crues de la Garonne à Toulouse. Par ailleurs, le débit moyen journalier n'est une variable pertinente que dans le cas de bassins versants à réponse hydrologique lente et aux crues persistantes : Loire, Rhône ou Seine aval pour la France. Ces bassins de grande dimension ne peuvent pas 37
  • 40. être représentés par des modèles hydrologiques globaux tels que GR4J dans la mesure où, entre autres, la répartition spatiale des pluies ne peut pas être négligée. L'exercice présenté dans le TD a donc une vocation essentiellement pédagogique. Parmi les méthodes de prévision, les modèles linéaires sont de loin les plus employés, en particulier dans les services d'annonce de crues. Ces modèles appelés ARMAX (Auto regressive mooving average with external data) consistent à mettre en relation linéaire le débit que l'on souhaite prévoir avec les variables explicatives (débits au pas de temps précédents mesurés à la même station, débits amont, pluie, évaporation). n n m Qt = aj Qt−j + bi,j Xi,t−j + t j=k j=k i=1 Q débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisions Xi autres variables explicatives retenues k horizon de prévision bruit blanc t indice de temps La première partie de l'exercice proposé consiste à tester plusieurs modèles linéaires calés en utilisant la fonction armax de Scilab (consultez l'aide de scilab pour cette fonction). Exemple d'utilisation de armax : armax(2,2,Qm',P') résultat affiché : A(z^-1)y=B(z^-1)u + D(z^-1) e(t) A(x) = 1 - 1.2748167x + 0.3334485x2 B(x) = 0.0032846 + 0.0284380x - 0.0021230x2 D(x) = 1 e(t)=Sig*w(t); w(t) 1-dim white noise Sig= | 0.2040354 | Le modèle optimal résultant s'écrit : Qt = 1.27 Qt-1 - 0.33 Qt-2 + 0.003 Pt + 0.03 Pt-1 - 0.002 Pt-2 + et Les modèles pluie-débit conceptuels sont encore peu utilisés pour eectuer des prévi- sions. En eet, les écarts entre les valeurs simulées par les modèles et les données mesurées sont bien souvent plus importants que les uctuations inter journalières ou d'un pas de temps à l'autre des débits. Un modèle pluie-débit donne donc, s'il est utilisé en prévision à un jour ou à un pas de temps, des résultats moins bons qu'une prévision naïve consistant à reconduire le débit mesuré au pas de temps précédent. On peut cependant notablement améliorer les prévisions eectuées à l'aide d'un modèle hydrologique en corrigeant la sortie du modèle. Deux méthodes sont proposées : (1) Etudier l'autocorrélation des erreurs de modélisation, développer un modèle AR (autorégressif ) sur ces erreurs, et corriger les valeurs prévues en ajoutant l'erreur prévue. Le nouveau modèle de prévision s'écrit alors : n Qt = F (P, E) + aj t−j + t j=k 38
  • 41. Q débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisions F (P, E) valeur de débit calculée par le modèle hydrologique écarts entre les débits mesurés et simulés par le modèle hydrologique bruit blanc t indice de temps (2) Dans la partie précédente du TD, vous avez éventuellement pu remarquer que la variance des erreurs augmente avec la valeur du débit simulé : on parle d'erreurs hétéroscé- dastiques. Il est donc plus judicieux dans certains cas de travailler sur les erreurs relatives et non les erreurs absolues. Comme dans le cas précédent on peut développer un modèle AR sur les erreurs relatives. Le nouveau modèle de prévision s'écrit :   n Qt = F (P, E) 1 + aj t−j  + t j=k Q débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisions F (P, E) valeur de débit calculée par le modèle hydrologique écarts relatifs entre les débits mesurés et simulés par le modèle hydrologique bruit blanc t indice de temps 6.4.2 Travail à réaliser Pour l'ensemble des exercices on divisera la série de données en un ensemble de calage (2/3 de la série) et un ensemble de validation (1/3) de la série. On calculera pour les deux ensembles de données un critère d'ecacité dont l'expression est la suivante : n 2 1 (Qt − Zt ) Ef f = 100 1 − n−1 1 (Qt+1 − Qt )2 Q débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisions Z valeur prédite Ce critère permet de comparer les performances des diérentes techniques de prévision par rapport à une prévision naïve consistant à reconduire le débit du jour précédent. Si E est négatif, la méthode proposée est moins bonne que la méthode naïve au sens des moindres carrés. Si E est proche de 0, le gain par rapport à la prévision naïve est faible. Les résultats comprendront les valeurs des critères d'ecacité et la comparaison gra- phique de quelques hydrogrammes mesurés et prévus. Calez un modèle linéaire de prévision des débits basé sur les seuls débits mesurés aux pas de temps antérieurs en utilisant la fonction armax de scilab. Essayez plusieurs ordres pour le modèle ARMAX en partant de (1,1). Observe-t-on un gain important par rapport la méthode de prévision naïve ? 39
  • 42. Calez un modèle linéaire basé sur les débits mesurés au pas de temps précédents et les pluies mesurées au pas de temps précédents. Est-il nécessaire de choisir des ordres importants pour le modèle ARMAX ? Calez un modèle linéaire reliant les diérences inter journalières des débits mesurés et les pluies. Observez-vous un gain par rapport au modèle précédent ? Pourquoi ? Comparer les performances de GR4j sans traitement des erreurs avec le meilleur des modèles linéaires précédent. Calez un modèle linéaire de prévision des erreurs de GR4j basé sur les erreurs anté- rieures. Comment se situe le nouvel outil de prévision (GR4j + prévision des erreurs) par rapport au modèle linéaire ? On sait par expérience que les erreurs dépendent des débits. Calez un modèle li- néaire de prévision des erreurs relatives. Cette nouvelle approche vous permet-elle d'améliorer les prévisions ? 6.5 Troisième partie : dimensionnement de barrages-réservoirs Dans cette troisième partie du TD, il est proposé aux étudiants, à partir de deux cas simples, d'analyser si le modèle pluie-débit retenu peut être utilisé pour dimensionner des réservoirs. On comparera les résultats obtenus en utilisant les données de débits mesurées et simulées. S'il s'avère que le modèle donne des résultats assez proches des séries mesurées, on pourra envisager de l'utiliser en extrapolation : l'utilisation de séries de pluies de longue durée (mesurées ou simulées à l'aide d'un modèle stochastique de pluie) permettrait alors de reconstituer de longue séries de débits et de dimensionner le réservoir ou d'étudier son comportement pour des crues de périodes de retour élevées. Les deux applications proposées portent sur le dimensionnement d'un réservoir pour l'écrêtement des crues et le dimensionnement d'un réservoir pour l'alimentation en eau. Dans les deux cas, il sera nécessaire de programmer une fonction Scilab permettant de reproduire l'évolution du remplissage du réservoir au cours du temps en fonction de ses caractéristiques : relation hauteur-volume, loi de vidange, fonction de demande en eau. On considérera dans le TD que la loi de vidange d'un barrage écrêteur de crue doté d'un évacuateur de fond de section circulaire a pour expression : D2 Q = 0.6π 2gh 4 Q débit de vidange D diamètre de la conduite de vidange g accélération de la pesanteur h charge hydraulique (hauteur d'eau dans le barrage dans ce cas) 6.5.1 Travail à réaliser 0n veut satisfaire un besoin en eau de 0.3 mm/j tout en respectant un débit réservé égal au dixième du module inter annuel. Calculez le débit minimum qui doit donc s'écouler à l'aval de l'ouvrage. Calculez le volume nécessaire pour satisfaire la de- mande toutes les années de la période 1981-1995 en utilisant les données de débits mesurées et les données de débit simulées. 40
  • 43. Comparez les résultats obtenus dans les deux cas. On souhaite réaliser un barrage-réservoir qui permette de réduire de 10% le débit journalier de crue de période de retour 1 an. Sur le site retenu la loi hauteur-volume a pour expression V = 6000 ∗ 2.5H . Trouvez le diamètre de la conduite de vidange qui permet d'atteindre cet objectif en utilisant les données de débit mesurées et les données générées par le modèle hydrologique. An de faciliter les calculs on considé- rera chaque jour que le débit de vidange est le débit correspondant au volume stocké dans le barrage le jour précédent auquel est ajouté le volume entrant dans la jour- née. Cette simplication conduira à surévaluer les débits de vidange et sous évaluer les volumes stockés. Quel est dans les deux cas le volume maximum stocké dans le barrage durant la période 1981-1995 ? Comparer à nouveau les résultats obtenus dans les deux cas. Que pensez-vous de l'utilisation de modèles hydrologiques pour le dimensionnement d'ouvrages ? 41