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INTRODUCTION A LA METHODE
ELEMENTS FINIS
ASS KUNDENGA MASSAMBA JULES

PLANS CU COURS
• Rappel sur le calcul matriciel
• Présentation de mef
• Modèle barre
• Calcul statique des treillis
• Modèle poutre
• Calcul statique des portiques

CHAP1. RAPPEL SUL LE CALCUL MATRICIEL
• Définitions
• Matrice particulière
• Opération sur les matrices
• Décomposition des matrices en blocs
• Dérivation et intégration d’une matrice
• Transformation de coordonnée

1.1.Définitions
On appelle matrice de dimension m x n un tableau
de nombres comportant lignes n et m colonnes. Ces
nombres sont appelés coefficients de la matrice et
sont notés 𝑎𝑖𝑗 .
𝐴 =
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
1.1

1.2. Matrices particulières
• Une matrice comportant une seule ligne s’appelle
un vecteur-ligne. Un vecteur-ligne a donc 1𝑋𝑛 pour
dimension. Dans ce cas, m=1
• Une matrice comportant une seule colonne
s’appelle un vecteur-colonne. Un vecteur-colonne a
donc 𝑚𝑥1pour dimension. Dans ce cas, n=1.
• Une matrice comportant autant de lignes que de
colonnes s’appelle une matrice carrée. Une matrice
carrée a donc m x m pour dimension. Dans ce cas,
m=n.

• On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont
tous les coefficients sont nuls, exceptés ceux de la
diagonale issue du coin en haut à gauche. Autrement
dit, A est une matrice diagonale si: 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑘 (𝑘 ∈ ℝ)si
𝑖 = 𝑗et 𝑎𝑖𝑗 = 0 si 𝑖 ≠ 𝑗
• On appelle matrice identité (ou matrice unité) une
matrice carrée dont tous les coefficients de la diagonale
issue du coin en haut à gauche sont égaux à 1, et dont
tous les autres coefficients sont nuls. Autrement dit, A
est une matrice identité si 𝑎𝑖𝑗 = 1 si 𝑖 = 𝑗et 𝑎𝑖𝑗 = 0 si
𝑖 ≠ 𝑗 On note 𝐼𝑛 la matrice identité d’ordre.
• On appelle matrice nulle toute matrice dont les
coefficients sont tous nuls. Dans ce cas, 𝑎𝑖𝑗

EXEMPLES :
•
2
7
Est un vecteur-colonne de dimension 2X1.
• 2 4 −1 Est un vecteur -ligne de dimension 1X3.
•
1 4
−2 3
Est une matrice carrée de dimension 2X2ou d’ordre
2.
•
2 0 0
0 3 0
0 0 1
Est une matrice diagonale d’ordre 3.

EXEMPLES :
•
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Est une matrice identité d’ordre4 que
l’on note𝐼4.
•
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Est une matrice nulle.

1.3. Opération sur les matrices
MATRICES EGALES
• Deux matrices sont égales si elles ont même dimension
et si les coefficients situés à la même place sont égaux.
Autrement dit, deux matrices A et B sont égales si
• 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗(Pour tout 𝑖 ligne et 𝑗 colonne).
• Exemples :
• Les matrices 𝐴 =
1 3 2
7 2 −1
𝑒𝑡 𝐵
1 7
3 2
2 −1
ne sont
pas égales car n’ont pas la même dimension.
• Les matrices 𝐴 =
1 2
4 −1
𝑒𝑡 𝐵 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
sont deux
matrices carrées de même ordre ; elles sont égales que
ssi : 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 4 𝑒𝑡 𝑑 = −1

SOMME DE MATRICE
• On appelle somme de deux matrices A et B (de
même dimension m x n ) la matrice C obtenue en
additionnant les coefficients qui ont la même
position. C=A+B, alors
• 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗.

•
𝑐11 ⋯ 𝑐1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑐𝑚1 ⋯ 𝑐𝑚𝑛
=
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
+
𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑏𝑚1 ⋯ 𝑏𝑚𝑛
=
𝑎11 + 𝑏11 ⋯ 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛
1.2

• On ne peut pas additionner deux matrices de
dimensions différentes.
• Propriété
• L’associativité : 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
• La commutativité : 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

Exemple : soit 𝐴 =
1 3 −5
0 −4 2
2 1 −3
𝑒𝑡
• 𝐵 =
−1 4 2
5 3 6
1 2 3
.
• 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 =
1 − 1 3 + 4 −5 + 2
0 + 5 −4 + 3 2 + 6
2 + 1 1 + 2 −3 + 3
=
0 7 −3
5 −1 8
3 3 0

• LA SOUSTRACTION DEMATRICES
• La soustraction n’est une particularité de la
somme.
• 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵
• C=A-B, alors 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗

• LA SOUSTRACTION DEMATRICES
•
𝑐11 ⋯ 𝑐1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑐𝑚1 ⋯ 𝑐𝑚𝑛
=
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
−
𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑏𝑚1 ⋯ 𝑏𝑚𝑛
=
𝑎11 − 𝑏11 ⋯ 𝑎1𝑛 − 𝑏1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 − 𝑏𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 − 𝑏𝑚𝑛
1.3

• La soustraction de matrices n’est pas commutative,
ni associatives

MATRICE TRANSPOSEE
• On appelle matrice transposée de la matrice A la
matrice obtenue en permutant les lignes et les
colonnes de A Ainsi, à tout coefficient 𝑎𝑖𝑗 de la
matrice A correspond le coefficient 𝑎𝑗𝑖 matrice
transposée𝐴𝑇
. Si A est de dimension m x n, alors
𝐴𝑇
est de dimension n x m.
Exemple :Soit 𝐴 =
3 5 −2
−1 0 6
𝐴𝑇 =
3 −1
5 0
−2 6

• Soit une matrice A carrée est dit symétrique si et
seulement si elle est égale a sa transposée
𝐴 = 𝐴𝑇 1.4
• A est antisymétrique si et seulement si elle est
égale à l’opposé de sa transposée
𝐴 = −𝐴𝑇 1.5

PRODUIT D’UNE MATRICE PAR UN RÉEL
• On appelle produit d’une matrice A par un réel 𝑘 la
matrice obtenue en multipliant tous les coefficients
de 𝐴 par . Cette matrice est notée 𝑘𝑥𝐴 ou 𝑘𝐴.
• 𝑘𝑋𝐴 =
𝑘𝑋𝑎11 ⋯ 𝑘𝑋𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑘𝑋𝑎𝑚1 ⋯ 𝑘𝑋𝑎𝑚𝑛
1.6
La matrice −1 𝐴 = −𝐴 est appelée la matrice
opposée.

Propriétés
Pour tous réels 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 et pour toutes matrices A et B
les propriétés de linéarité suivantes sont :
• 𝛼 + 𝛽 𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴
• 𝛼𝛽 𝐴 = 𝛼 𝛽𝐴
• 𝛼 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵

• PRODUIT DE DEUX MATRICES
• Soit A une matrice de dimension mx p et B une matrice de
dimension 𝑝 𝑥 𝑛. On appelle produit de deux matrices
𝐴 𝑋 𝐵 la matrice 𝐶 de dimension 𝑚 𝑥 𝑛 ou chaque
coefficient 𝑐𝑖𝑗 est le produit de la 𝑖𝑖𝑒𝑚
ligne de A et de
𝑗𝑖𝑒𝑚𝑒 colonne de B. La matrice 𝐴𝑋𝐵 n’est définie que si le
nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B
(regle de LICO).
• Propriétés
• La multiplication de matrices n’est pas commutative
𝐴 𝑋 𝐵 ≠ 𝐵 𝑋 𝐴
• La multiplication de matrices est associative 𝐴 𝑋 𝐵 𝑋 𝐶 =
𝐴 𝑋 𝐵 𝑋 𝐶
• La multiplication des matrices est distributive par rapport à
l’addition :
• 𝐴 𝑋 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 𝑋 𝐵 + 𝐴 𝑋 𝐶

• PRODUIT DE DEUX MATRICES
• La transposée du produit 𝐴𝐵est egale au produit de
la transposée de 𝐵 par la tansposée de 𝐴
𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇 1.8
• Le produit d’une matrice quelconque 𝐴 par sa
transposée résulte en une matrice carrée
symétrique
𝐴𝐴𝑇 = 𝑆 = 𝑆𝑇 1.9

• La multiplication d’une matrice 𝐴par la matrice
identité donné la matrice 𝐴
𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 1.10
• Les produit d’une matrice carrée 𝐶 par elle-même
definssent les puissances de 𝐶
𝐶𝑛
= 𝐶𝐶 … 𝐶 1.11
C à d, 𝐶2 = 𝐶𝐶 et 𝐶3 = 𝐶𝐶𝐶.

MATRICE INVERSE
• Soit A une matrice carrée d’ordre n, La matrice
inverse de 𝐴, notée 𝐴−1est definie telle que :
𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼 et peut etre calculer par la
relation :
𝐴−1
=
1
𝑑𝑒𝑡(𝐴)
𝑐𝑜𝑚(𝐴)𝑇
1.12
Avec :
• 𝑑𝑒𝑡 𝐴 :est le determinant de 𝐴 et 𝑐𝑜𝑚(𝐴)𝑇
:est la
comatrice de la transposée de 𝐴

• D’ordre deux
• Soit 𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
une matrice carre d’ordre
deux, le déterminant de 𝐴 noté 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ou 𝐴 est
egal :
𝑑𝑒𝑡 𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
= 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12

• D’ordre trois
Soit 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
une matrice d’ordre trois :

proprietés
• une matrice carrée 𝐴 est dite singuliere si son
déterminant est nul ; sinon, elle est dite régulière.
Il est évident que :
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑇 1.13
On peut également démontrer que :
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑑𝑒𝑡 𝐵 1.14

• LA COMATRICE
• La matrice de A, notée Com 𝐴 , correspond à la
matrice des cofacteurs de A .Le cofacteur du terme i, j
de la matrice A est obtenu en multipliant par −1 𝑖+𝑗
le déterminant de la sous-matrice issue de la
suppression de ligne 𝑖 et colonne j.
• D’ordre 2
• Soit 𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
, alors 𝑐𝑜𝑚 𝐴 =
𝑎21 −𝑎22
−𝑎12 𝑎11
L’inverse de 𝐴 est :
𝐴−1 =
1
𝑑𝑒𝑡(𝐴)
𝑎21 −𝑎22
−𝑎12 𝑎11

• LA COMATRICE
• D’ordre trois
• Soit 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
,
• 𝑐𝑜𝑚 𝐴 =
+
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
−
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
+
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
−
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
+
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
−
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
+
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
−
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
+
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
• 𝐴−1 =
1
det(𝐴)
𝑎22𝑎33 − 𝑎23𝑎32 𝑎23𝑎31 − 𝑎21𝑎33 𝑎21𝑎32 − 𝑎22𝑎31
𝑎13𝑎32 − 𝑎12𝑎33 𝑎11𝑎33 − 𝑎13𝑎31 𝑎12𝑎31 − 𝑎11𝑎32
𝑎12𝑎23 − 𝑎13𝑎22 𝑎13𝑎21 − 𝑎11𝑎23 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21

Propriétés
• Pour que la matrice A soit inversible il faut qu’elle soit
régulière 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0
• L’inverse du produit de deux matrice 𝐴 et 𝐵 obeit a la
regle :
𝐴𝐵 −1 = 𝐴−1𝐵−1 1.15
• L’inverse d’une matrice transposée est égale à la
transposée de son inverse.
𝐴𝑇 −1
= 𝐴−1 𝑇
1.16
• Les puissances négatives d’une matrice régulière sont
obtenues en élevant l’inverse de la matrice aux
puissances positives.
𝐴−𝑘
= 𝐴−1 𝑘
1.18

• L’inverse d’une matrice symétrique est à nouveau
une matrice symétrique.
• L’inverse d’une matrice triangulaire est également
une matrice triangulaire de même type.

1.4. Décomposition Des Matrices En Sous
Matrices
• Une matrice 𝐴 peut être partagée par division
horizontal et verticale en matrice plus petites,
appelées sous matrices.
• Par exemple :

1.4. Décomposition Des Matrices En Sous
Matrices
𝐴11 = 𝑎11 , 𝐴12 = 𝑎12 𝑎13 𝐴21 =
𝑎21
𝑎31
𝐴22 =
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
Propriete :
On peut vérifier que :
𝐴 = 𝐵1 𝐵2
𝐶1
𝐶2
= 𝐵1𝐶1 + 𝐵2𝐶2 1.17
• Les sous matrice peuvent alors être manipulées
comme des éléments ordinaire, avec quelques
restrictions évidentes . si par exemple les sous
matrices 𝐵𝑖 𝑖 = 1,2 possède 𝑛𝑖 colonnes, les sous
matrice 𝐶𝑖 doivent avoir 𝑛𝑖 lignes pour que les
produit 𝐵𝑖𝐶𝑖 existent.

1.5. DERIVATION ET INTEGRATION D’UNE
MATRICE
• Si les éléments d’une matrice 𝐴 sont des fonctions
d’une ou de plusieurs indépendantes, la matrice 𝐴
peut être dérivée et intègre : il suffit de driver ou
d’integrer chacun de ses éléments.
• On peut démontrer que la dérivée des matrices
obéissent aux mêmes règles que celle connues
pour les fonctions par exemple, pour les matrices
𝐴 𝑠 et 𝐵 𝑠

1.5. DERIVATION ET INTEGRATION D’UNE
MATRICE
•
𝑑
𝑑𝑠
𝐴𝐵 =
𝑑
𝑑𝑠
𝐴 𝐵 + 𝐴
𝑑
𝑑𝑠
𝐵
•
𝑑
𝑑𝑠
𝐴 + 𝐵 =
𝑑
𝑑𝑠
𝐴 +
𝑑
𝑑𝑠
𝐵

1.6. Résolution D’un Système D’équations
Linéaire
Un système d’équations linéaires
•
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑚𝑥𝑚 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑚𝑥𝑚 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑚𝑥𝑚 = 𝑏𝑚
1.18𝑎

Linéaire
Peut s’écrit sous forme matriciel
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
⋯
⋯
⋱
⋯
𝑎1𝑚
𝑎2𝑚
⋮
𝑎𝑚𝑚
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑚
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
1.18𝑏
Ou encore plus simplement
𝐴𝑋 = 𝐵 1.18𝑐

Linéaire
• On peut directement tirer la matrice 𝑋 = 𝐴−1𝐵 il
est evident que ces solutions n’existe qu’à la
condition que la matrice A ne soit pas singulière et
admet un inverse 𝐴−1.
• cela revient à dire que les n équations doivent être
linéairement indépendantes.

1.7. Transformation De Coordonnée
TRANSFORMATION ORTHOGONALE
Un cas particulier de transformation est la
transformation orthogonale. Cette transformation,
par le quelle un vecteur 𝑥1 𝑥2 𝑥3 est transformé
en 𝑦1 𝑦2 𝑦3
𝑦1
𝑦2
𝑦3
=
𝑅11 𝑅12 𝑅13
𝑅21 𝑅22 𝑅23
𝑅31 𝑅32 𝑅31
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑌 = 𝑅𝑋 1.19

TRANSFORMATION ORTHOGONALE
Correspond soit à une rotation d’un corps rigide
autour de l’origine, soit à une rotation du système
d’axes autour de l’origine. Dans les deux cas les
éléments 𝑅𝑖𝑗 de la matrice R sont les cosinus
directeurs.

IMPORTANCE DE LA TRANSFORMATION DANS LES ELEMENTS FINIS
• Le système matriciel d'un élément est toujours déterminé
dans le système local de coordonnées de
l'élément afin d'en simplifier le calcul. Ainsi, les
déplacements (degrés de liberté) de l'élément sont
orientés dans la direction des coordonnées locales de
l'élément.
• Pour obtenir le système matriciel de l'ensemble d'un
maillage nous devons ensuite réaliser l'assemblage des
matrices de chacun des éléments qui le composent.
Cependant, avant de procéder à cet assemblage nous
devrons effectuer les transformations nécessaires pour
orienter les déplacements de l'élément dans la direction des
coordonnées de déplacement des nœuds (système de
coordonnées global). Ce système est le seul qui est commun
à tous les éléments. Pour simplifier la nomenclature nous
allons l'appeler le système global de coordonnées.

• MATRICE DE ROTATION
• Considérons le cosinus des angles entre chacun des
axes de deux systèmes de coordonnées différents
(Figure 1.1). Posons aussi que x’, y’ et z’ sont de
longueur unitaire.

𝑅 =
cos 𝑥′, 𝑥 cos 𝑥′, 𝑦 cos 𝑥′, 𝑧
cos 𝑦′, 𝑥 cos 𝑦′, 𝑦 cos 𝑦′, 𝑧
cos 𝑧′
, 𝑥 cos 𝑧′
, 𝑦 cos 𝑧′
, 𝑧
1.20
On peut voir que :
• La matrice 𝑅 n’est pas symétrique : 𝑅12 ≠ 𝑅21
• La matrice 𝑅 est orthogonale : 𝑅−1
= 𝑅𝑇
• Le déterminant de 𝑅 est l’unité 𝑅 = 1

• TRANSFORMATION D'UN VECTEUR
• En notation matricielle, un vecteur peut être
représenté en utilisant ses trois composantes dans
la direction de chacun des axes d'un système de
coordonnées de référence (Figure 2.2).

• En projetant les composantes du vecteur 𝑉 dans
la direction des axes x', y' et z' nous aurons:

Sous forme matricielle :
𝑣′
𝑥
𝑣′
𝑦
𝑣′
𝑦
= 𝑅
𝑣𝑥
𝑣𝑦
𝑣𝑦
ou 𝑉′ = 𝑅 𝑉 1.21
Les déplacements, les forces de même que les
rotations (lorsqu'elles sont petites) sont des
quantités
vectorielles. Nous pouvons donc écrire:
Déplacement :
𝑢′
𝑣′
𝑤′
= 𝑅
𝑢
𝑣
𝑤
ou 𝑑′ = 𝑅 𝑑 ⟹
𝑑 = 𝑅 𝑇 𝑑 puisque 𝑅−1 = 𝑅𝑇

Force :
𝐹′
𝑥
𝐹′
𝑦
𝐹′
𝑦
= 𝑅
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑦
ou 𝐹′ = 𝑅 𝐹 ⟹
𝐹 = 𝑅 𝑇 𝐹
Rotation :
𝜃′
𝑥
𝜃′
𝑦
𝜃′
𝑦
= 𝑅
𝜃𝑥
𝜃𝑦
𝜃𝑦
ou 𝜃′ = 𝑅 𝜃 ⟹
𝜃 = 𝑅 𝑇 𝜃

CHAP2. PRESENTATION DE MEF
• Concept de la méthode des éléments finis
• Modélisation Et Discrétisation
• Étapes De La Méthode Des Eléments Finis
• Types D’élément Fini
• Les Propriétés D'un Elément Fini
• Programme De Résolution Statique Par La MEF
• Modèles d'éléments finis
• Les Avantages de la M.E.F
• Equation équilibre

2.1. CONCEPT DE LA MÉTHODE DES
ÉLÉMENTS FINIS
Le concept de base de la méthode des éléments finis est la
subdivision du modèle mathématique à des composants
disjoints de géométrie simple appelés (Éléments finis ), le
comportement de chaque élément est exprimé en terme d’un
nombre fini de degrés de liberté, le comportement (réponse)
du modèle mathématique est considéré, approximativement,
celui du modèle discret obtenu par connexion ou assemblage
des éléments

2.1. CONCEPT DE LA MÉTHODE DES
ÉLÉMENTS FINIS

2.2. Modélisation Et Discrétisation
La méthode des éléments finis est donc une procédure
générale de discrétisation pour la résolution des problèmes
des milieux continus. Donc pour avoir une analyse numérique
qui simulera au mieux un problème, il faut effectuer deux
opérations essentielles la modélisation et la discrétisation, ces
opérations se font en deux temps.
• La modélisation d’abord ;
• La discrétisation ensuite.
Et portent sur les deux aspects principaux du problème
pratique.
Représentation de la géométrie, des charges, des conditions
aux limites ; Choix des éléments finis et du maillage.

2.2. Modélisation Et Discrétisation

1.Modélisation
• Géométrie
On distingue des: poutres, plaques…
• Matériaux
On considère que le solides sont élastique linéaire

2.3. Étapes De La Méthode Des Eléments
Finis
• Découpage du domaine en un maillage d’éléments finis ;
• Interpolation en respectant les critères de convergence ;
• Calcul des caractéristiques de chaque élément c à d calcul des matrices
des rigidités élémentaires ;
• Assemblage de ces matrices de rigidités sous forme d’une matrice
globale de rigidité 𝑲 ;
• introduction des conditions aux limites essentielles ou géométriques ;
• résolution du système d’équations 𝑭 = 𝑲 𝑼 par intersection
matricielle (plusieurs méthodes numériques existent pour cela.) afin
déterminer les déplacements 𝑼 = 𝒅 ;
• calcul des actions de liaisons et des champs dérivées : contraintes,
suivant les lois de comportement associées au modèle ;
• Interprétation des résultats.

2.4. Types D’élément Fini
• Les éléments 1D : barres, poutres rectilignes ou
courbes.
• Les éléments 2D : élasticité plane (déformation ou
contrainte plane), plaque en flexion, coques
courbes.
• Les éléments 3D : éléments de volume ou coques
épaisses.

2.5. Les Propriétés D'un Elément Fini
• La Géométrie
• Les frontières
• Le Matériau
• Les nœuds
• Les forces nodales
• Les Degrés des libertés
• La matrice de rigidité 𝑲
• Les Conditions aux limites

Les nœuds
• La jonction entre plusieurs poutres ou l’extrémité
d’une poutre
• Un point correspondant à un changement de
section droite
• Le lieu d’une liaison avec l’extérieure
• Le point d’application d’un effort ou d’u moment
concentré
• L’origine et l’extrémité d’une charge repartie

• Les Degrés des libertés

Les Conditions aux limites
• condition aux limites géométriques (touchent les
ddl)
• conditions aux limites statiques. (touchent les
forces)
Elle a engendre la notion de forces nodales et de
déplacements nodales

2.6. Programme De Résolution Statique
Par La MEF

2.7. Modèles d'éléments finis
Le plus souvent, le champ interpolé est celui des
déplacements, et il est rarement celui des
déformations ou des contraintes. Ces interpolations
portent sur tout l'élément ou une partie de celuici, à
l'intérieur ou à la frontière. On peut créer divers
types, dits « modèles » d'éléments finis selon la
combinaison choisie comme

modèle déplacement
modèle en déformation

modèle déplacement
Ce modèle est le plus populaire, le plus connu et le
plus développé. Dans cette catégorie, les éléments
finis sont basés sur une interpolation du champ des
déplacements, étendu à tout l'élément. Alors, les
déplacements sont déterminés de manière détaillée
et unique dans la structure, donc les contraintes ne
peuvent être connues que par certaines moyennes et
ne sont pas continues aux frontières.

modèle en déformation
Ce modèle présente une approximation qui se fait
sur le champ de déformation, puis on intègre pour
retrouver le champ de déplacement de telle sorte
que les équations d’équilibres et de compatibilité
soient satisfaites à l’intérieur de l’élément

2.8. Les Avantages de la M.E.F
• Par rapport aux autres méthodes numériques, la méthode des éléments
finis présente les avantages suivants :
• Applicable à tout problème de champ, incluant : mécanique du solide,
transfert de chaleur, champ magnétique, écoulement des fluides, etc..
• Il n’y a pas de restriction sur la géométrie des modèles.
• Pas de restriction également sur les conditions aux rives et les types de
chargement.
• On peut modéliser différents comportements de matériau dans le
même modèle (ex : matériau isotopique (métal) et non-isotopique
(composite)
• On peut combiner des composantes (éléments) ayant des
comportements différents dans un modèle É.F. (ex. poutres avec
plaques).
• Un modèle ÉF ressemble de très près à la structure réelle.
• La réponse approximative peut être facilement améliorée en raffinant le
maillage de tout le modèle ou de seulement une partie de celui-ci.

2.9. Equation de équilibre
𝑭 = 𝑲 𝑼
K est la matrice de rigidité
F Le vecteur forces nodale
U le vecteur déplacement nodale

CHAP. 3 MODÈLE BARRE
• Rappel théorique de la RDM
• Mise en équation
• Matrice de rigidité dans un repère local
• Matrice de rigidité globale ou de la structure
• Equation d’équilibre et résolution du système

3.1. Rappel théorique de la RDM

3.2. Matrice de rigidité d’une barre

3.2. Matrice de rigidité d’une barre
La matrice de rigidité d’une barre est :
𝐾 =
𝐸𝑆
𝐿
1 −1
−1 1

3.3. Matrice De Rigidité Globale Ou De La
Structure

Structure
considérons figure 5.3 une structure
unidimensionnelle de barre orienté suivant l’axe de
𝑥 et maillée par trois éléments finis, puisque
représentant trois tronçons de caractéristiques
géométriques et mécaniques différentes
(𝐸𝑛, 𝑆𝑛, 𝐿𝑛, ; 𝑛 = 1à 3) on suppose dans un premier
temps que sont imposées aux noueds 1,2,3 et 4
respectivement dans le sens de 𝑥 les forces
exterieures nodales 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3 𝑒𝑡 𝐹4 ce quit entraine
d’un point de vue general l’existence de deplacement
𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 𝑒𝑡 𝑢4.

Structure
• Elément 1-2
𝐹1
𝐹2
=
𝐸1𝑆1
𝐿1
1 −1
−1 1
𝑢1
𝑢2
,
Posons : 𝑘1 =
𝐸1𝑆1
𝐿1
⟹
𝐹1
𝐹2
=
𝑘1 −𝑘1
−𝑘1 𝑘1
𝑢1
𝑢2

Structure
− Elément 2-3
𝐹2
𝐹3
=
𝐸2𝑆2
𝐿2
1 −1
−1 1
𝑢2
𝑢3
Posons : 𝑘2 =
𝐸2𝑆2
𝐿2
⟹
𝐹2
𝐹3
=
𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
𝑢2
𝑢3

Structure
• Elément 3-4
𝐹3
𝐹4
=
𝐸3𝑆3
𝐿3
1 −1
−1 1
𝑢3
𝑢4
Posons : 𝑘3 =
𝐸3𝑆3
𝐿3
⟹
𝐹3
𝐹4
=
𝑘3 −𝑘3
−𝑘3 𝑘3
𝑢2
𝑢3

Structure
• L’équation l’équilibre de la structure sera :

Structure
• La matrice de rigidité globale est symétrique.

3.4. Condition Aux Limites Et Résolution

• L’équation d’équilibre devient :
𝑅1
𝐹2
𝐹3
𝑅4
=
𝑘1
−𝑘1
0
0
−𝑘1
𝑘1 + 𝑘2
−𝑘2
0
0
−𝑘2
𝑘2 + 𝑘3 −
−𝑘3
0
0
𝑘3
𝑘3
𝑢1 = 0
𝑢2
𝑢3
𝑢4 = 0
Regroupons en vis-à-vis dans cette relation, les termes de
forces connues face aux déplacements inconnus ainsi que les
actions de liaison inconnues face aux déplacent,

• cela est une conséquence l’ordre de la nomenclature de
nœuds. Cela conduit à créer une partition de la matrice de
rigidité et des vecteurs nodaux de forme :

Avec :
• 𝐹𝑎 =
𝐹1
𝐹4
Vecteur forces inconnues (action de liaisons)
• 𝐹𝑏 =
𝐹2
𝐹3
Vecteur force nodales connues
• 𝑢𝑎 =
𝑢1
𝑢4
Vecteur déplacements nodaux connus (pas
nécessairement nuls)
• 𝑢𝑏 =
𝑢2
𝑢3
Vecteur déplacements nodaux inconnus
• 𝐾𝑖𝑖 Sont les sous matrices de rigidité,

On considéré à nouveau la structure de barre étudier, on
modifie, en les permutant des nœuds 2 et 4. La matrice de
rigidité de la structure se réécrit et partition de la matrice
globale donne :

3.5. Résolution Du Système
Dans l’équation, on distingue deux sous système :
𝐹𝑎 = 𝐾𝑎𝑎 𝑢𝑎 + 𝐾𝑎𝑏 𝑢𝑏 5.8
Et
𝐹𝑏 = 𝐾𝑏𝑎 𝑢𝑎 + 𝐾𝑏𝑏 𝑢𝑏 5.9
Calcul des déplacements inconnus
𝑢𝑏 = 𝐾𝑏𝑏
−1 𝐹𝑏 − 𝐾𝑏𝑏
−1 𝐾𝑏𝑎 𝑢𝑎 5.10

• calcul des réactions
𝐾𝑏𝑏
−1 =
1
𝑘1𝑘2 + 𝑘2𝑘3 + 𝑘3𝑘1
𝑘2 + 𝑘3 𝑘2
𝑘2 𝑘1 + 𝑘2
• On remarque que le vecteur 𝑢𝑎 est nul, la relation 5.10
s’écrit simplement :
𝑢𝑏 =
𝑢2
𝑢3
=
1
𝑘1𝑘2 + 𝑘2𝑘3 + 𝑘3𝑘1
𝑘2 + 𝑘3 𝐹2 + 𝑘2𝐹3
𝑘2𝐹2 + 𝑘1 + 𝑘2 𝐹3

La relation 5.8 qui s’ecrit simplement 𝐹𝑎 = 𝐾𝑎𝑏 𝑢𝑏
pemert d’obetenir
𝐹𝑎 =
𝑅1
𝑅4
=
−𝑘1𝑢2
−𝑘3𝑢3

CHAP4. CALCULS STATIQUE DES
TREILLIS
• Définition
• Utilisation
• Conception de treillis plans
• Matrice de rigidité d’une barre dans un repère
global
• Matrice de rigidité de la structure
• Equation d’équilibre et résolution du système

TREILLIS

TREILLIS
• Définition
Un treillis est constitué d'éléments barres qui ne
travaillent qu'en traction compression.

TREILLIS
• Utilisation
Ces poutres sont légères, économiques, leur inertie
flexionnelle peut être adaptée par variation de hauteur
de la poutre, disons que la matière de part sa distribution
est bien utilisée. Cependant elles exigent des temps de
main-d'œuvre importants pour le découpage des
éléments ainsi que la réalisation de nombreux
assemblages qui ne les rendent plus compétitives que
pour :
• les grandes portées,
• les bâtiments légers standardisés, produits en grande
série en usine.

TREILLIS
• Utilisation
Ces poutres sont constituées généralement de 2
membrures reliées par diagonales (barres inclinées)
et parfois des montants ( barres verticales ). La
terminologie utilisée est variable et spécifique du
matériau utilisé (acier, bois,...). Lorsque les
membrures sont horizontales on utilise la
dénomination : poutre treillis. Les poutres treillis les
plus utilisées sont du type : Poutres PRATT (N),
HOWE (Z), WARREN (W), en K. Lorsque les
membrures supérieures sont inclinées les treillis sont
généralement dénommés : Ferme.

TREILLIS
• Conception de treillis plans

Chap. 5 Modèle poutre
Nous allons considérer donc ce chapitre une
structure plane poutre. Rappelons hypothèse, nous
négligeons les déformations dues à l’efforts
tranchant devant celles issues de la flexion.

CAS DE CHARGEMENT ENTRE LES NOEUDS
• Equation de équilibre
𝑭 + 𝑭𝟎 = 𝑲 𝑼
𝑭 : Le vecteur forces nodales
𝑭𝟎
: le vecteur forces nodales de substitution
𝑲 : est la matrice de rigidité
𝑼 : le vecteur déplacement nodale

Chap6. Calcul statique des
portiques
Si On considère une poutre avec trois degrés liberté
par nœuds généralement, le cas de poutres de
portique.

portiques
La matrice de rigidité est déterminer par superposition des
effets:
Elément unidimensionnel:

portiques
Element bidimensionnel:

Elément tridimensionnel dans un repère local

Elément tridimensionnel dans un repère global

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