NP-complet.ppt

11/12/2023 Dr. Nejib Zaguia 1
CSI 3505 / Automne 2005: Conception et Analyse des Algorithmes I.
 Plan du Cours
 Introduction (Chapitre 1)
 Techniques de résolution: Diviser pour régner (Chapitre 2)
 Techniques de résolution: Programmation dynamique(Chapitre 3)
 Techniques de résolution: Algorithmes voraces(Chapitre 4)
Introduction a la théorie de Complexité du
calcul(Chapitre 9)

CSI 3505
La théorie de Complexité
Un algorithme A est optimal (dans le cas pire) pour P
si on peut montrer qu’il est impossible de trouver un
autre algorithme pour P et qui a une meilleure
complexité (dans le cas pire) que A.
Bornes inférieures pour la complexité d’un
problème

CSI 3505
Comment montrer qu’un algorithme est optimal ?
Trouver une borne inférieure (Lower Bound) sur le nombre
d’opérations nécessaires pour résoudre P. C’est dire que
pour tous les algorithmes A on doit prouver que:
WA(n)  K

CSI 3505
 Exemple: Multiplication des matrices
Algorithme de Strassen: n2.81
Meilleur algorithme connu: n2.376
Il existe une borne inférieure pour ce problème: n2
Pour tout algorithme optimal A de multiplication des matrices:
n2  WA(n)  n2.376

CSI 3505
 Exemple 2: recherche d’un élément dans une liste
de n nombres
Il existe une borne inférieure pour ce problème: n
Donc l’algorithme de recherche séquentielle est
optimal

CSI 3505
Exemple: Tri (basé sur les comparaisons des clefs)
On sait qu’il y a des algorithmes de tri dont la
complexité est (n log n).
Peut on faire mieux?
Quelle est la borne inférieure pour ce problème?

CSI 3505
Arbres de décision:
arbre binaire où chaque nœud interne représente
une comparaison de l’algorithme
Exemple du tri par insertion: pour le cas n=3

CSI 3505
ca  b
non
non
oui
En général: Le nombre maximal de
comparaisons est égal à la longueur du
plus long chemin de la racine aux
feuilles.
Trier trois nombres avec l’algorithme du tri par insertion:
comportement de l’algorithme pour (5,7,2)
Chaque type d’entrée correspond à un
chemin de la racine à une feuille dans
l’arbre de décision.
a < b
b<c
a<c

CSI 3505
 Arbres de décision a < b non
oui
b<c
non
oui
a<c
acb cab
non
oui
a bc
b<c
non
oui
b ac bca
cba
a<c
non
oui

CSI 3505
Propriété des arbres binaires
Profondeur: longueur du plus long chemin de la racine aux
feuilles
Un arbre binaire avec k feuilles a une profondeur
d  log k
Preuve par induction: k  2d
d  log k
log k  log 2d log k  d

CSI 3505
Obtenir une borne inférieure pour tout les algorithmes de tri
qui utilisent des comparaisons
 A: algorithme de tri qui utilise des comparaisons
TA(n): arbre de décision pour A avec un input de taille n
WA(n) = profondeur de TA(n)
WA(n)  log t
(t est le nombre des feuilles dans l’arbre de décision)

CSI 3505
 Nombre de feuilles ?
pour chaque permutation des valeurs a trier x1, …, xn on aura
au moins une feuille
Chaque permutation est une solution pour quelques
ensembles de valeurs (donc elle doit apparaître comme
feuille dans l'arbre
Donc t  n !
WA(n)  log t  log n!

CSI 3505
 log n ! = (n log n )
Donc la complexité de tout algorithme de tri par
comparaisons est:
(n log n)

CSI 3505
Nous savons que il existe des algorithmes de tri avec une
complexité O(n log n) (exemple: tri par fusion)
Puisque la borne inférieure pour les algorithmes de tri est de
n log n
Tri par fusion est un algorithme optimal
(n log n) est un temps nécessaire et suffisant
pour trier n éléments.

CSI 3505
Un algorithme est dit polynomial si sa complexité dans
le pire cas est inférieure ou égale à (p(n)), où p(n) est un
polynôme en n (n est la taille de l'input).
Ex. (n2) oui
(n4) oui
(nn) non
(n!) non
(n200000) oui

CSI 3505
Un algorithme est efficace (polynomial) si sa complexité dans
le pire cas est O(p(n)) ou n est la taille de l’input du
problème.
efficace = polynomial

CSI 3505
Un problème est tractable si l'on connaît un algorithme
polynomial pour le résoudre.
Il existe de nombreux problèmes pour lesquels aucun
algorithme polynomial n'est connu.
Pour certains d'entre eux, des algorithmes
polynomiaux existent mais aucun n'a encore été découvert.
Pour d'autres, nous avons une forte impression
qu'aucun algorithme polynomial ne peut être trouvé.

CSI 3505
 Un problème est non tractable
s’il n’y a aucun algorithme polynomial qui le résout.
(Tous les algorithmes ont une complexité dans le pire cas qui
ne peut être borné par un polynôme p(n) où n est la taille
du problème.)
 Exemples de fonctions non bornés par un polynôme:
f n c n
n n
( ) , ,
log
= etc.

CSI 3505
L’utilité de cette classification?
 Si le problème est non tractable: ne sert a rien d’essayer de
chercher un algorithme efficace.
 Tous les algorithmes seront trop lents pour des données
assez grandes.
 Changer la stratégie en utilisant des approximations,
heuristiques, etc.
 Quelque fois on a besoin de résoudre des versions
restreintes du problème. La version restreinte pourrait être
tractable

CSI 3505
 Non décidable
 problème impossible à résoudre : il ne peut
jamais exister un algorithme.
Turing a montré qu’il existe des problèmes qu’on ne
pourra jamais résoudre: non décidable
Exemple: Problème d’arrêt

CSI 3505
Problème d’arrêt:
Donnée X
OUI P(X) NON (ne s’arrêtera jamais)
P va-t-il s’ arrêter
pour la donnée X
Problème P

CSI 3505
Pour plusieurs problèmes pratiques, personne n’a
jamais trouvé un algorithme efficace pour les
résoudre :
 Exemples :
 Commis voyageur, coloration des graphes, etc.
 La plupart des problèmes en "testing et routing".
 Plusieurs problèmes de réseaux, bases de données,
problèmes sur les graphes, etc.

CSI 3505
 La théorie des problèmes NP-complets
 Cette théorie nous permet de prouver que la
plupart de ces problèmes non-tractables sont
équivalents en termes de difficulté.
 Un problème de ce type “NP complet” ne peut
probablement pas être résolu d’une façon
efficace

CSI 3505
 Besoin de définir
 Problème de décisions
 La classe des problèmes P
 Algorithmes non déterministes
 La classe des problèmes NP
 Le concept de transformations polynomiales
 La classe des problèmes NP-complets

CSI 3505
 Dans toute cette théorie, on ne considère
que les problèmes de décisions
 Un problème est dit de décision si pour tout
input, l’unique output possible est de type
“OUI” ou “NON”

CSI 3505
 Exemples:
 Étant donnés un graphe G, un nombre k et deux
sommets s et t dans G,
existe-t-il un chemin de longueur au plus k?
 Étant donné un graphe G,
existe-t-il un cycle Hamiltonien dans G?
(Un cycle est, dit Hamiltonien si tous les sommets du graphe
apparaissent une et une seule fois dans ce cycle)

CSI 3505
 La plupart des problèmes d’optimisation peuvent
être convertis à des problèmes de décision.
 Il suffit d’ajouter une borne K sur la valeur à
optimiser et changer la question:
 Existe-t-il une solution dont la valeur est au plus K
(Pour les problèmes de minimisation)
 Existe-t-il une solution dont la valeur est au moins K
(Pour les problèmes de maximisation)

CSI 3505
Version du commis voyageur comme problème de
décision
Soient un ensemble de villes C={c1,...,cm}, une
fonction distance d(ci, cj) entre les villes dans C.
Soit un nombre K. Existe-t-il un tour de toutes les
villes dont la longueur est au plus K?
La problème du commis voyageur est tractable
si est seulement si
le problème de décision correspondant est tractable

CSI 3505
Algorithme polynomial non-déterministe
1) Guessing (partie non-déterministe)
retourne un string S pour une instance I donnée du
problème
2) Vérification (partie déterministe)
retourne oui/non pour l'instance I et le string S
(ou bien ne s'arrête pas)

CSI 3505
 Définition: La classe P
 Un problème de décision est dans la classe P s’il a des
algorithmes polynomiaux déterministe qui le résout.
 Définition: La classe NP
 Un problème de décision est dans la classe NP s’il a
des algorithmes polynomiaux non déterministe qui le
résoud.
 NP “Non-deterministic Polynomially bounded.”

CSI 3505
 Classe NP: classe des problèmes pour
lesquels on est capable de vérifier dans un
temps polynomial si S (une proposition de
solution) est ou non une solution.
 Théorème: P  NP

CSI 3505
Algorithme de vérification pour le problème
du commis voyageur :
 Vérification si un ensemble de sommets représente
une solution:
 Vérifier que c’est un cycle.
 Vérifier que sa longueur est au plus K.
 Il y a un algorithme polynomial qui fait cette
vérification
Le problème du commis voyageur est dans NP

CSI 3505
CHEMIN :(Étant données un graphe G, un nombre k et deux
sommets s et t, existe-t-il un chemin de longueur au plus k?)
 Vérification si un ensemble de sommets représente une
solution:
 Vérifier que c’est un chemin de s a t.
 Vérifier que sa longueur est au plus K.
Il y a un algorithme polynomial qui fait cette vérification. Le
problème CHEMIN est dans NP

CSI 3505
Soit G = (V,E) un graphe orienté dont on veut colorer les
Sommets avec la condition suivante:
Deux sommets reliés par une arête, ont deux
couleurs différentes.
Problème: Étant donnée un graphe G, trouver un algorithme
qui colore proprement G et qui utilise le nombre minimum
possible de couleurs
Forme de Décision: Étant données un graphe G et un entier
positif k, est-ce qu'il existe une coloration qui utilise au plus k
couleurs ?
Coloration d'un graphe

CSI 3505
Ordonnancement des Examens: exemple d’un problème qui
peut s'exprimer en termes de coloration d'un graphe:
CSI 3505
Phy 1500
ENG 1000
ENG 3300
CSI 3503
Un graphe dont les sommets sont tous les cours, et on met une arête entre
u et v s’il existe au moins un étudiant qui prends les cours u et v en
même temps.

CSI 3505
 Exemple:
Deux couleurs
1 2
3
4
5

CSI 3505
 Autres exemples:
5 couleurs
2 couleurs
3 couleurs
2 couleurs

CSI 3505
COLORATION :
 Vérification si une coloration des sommets
représente une solution:
 Vérifier que le nombre de couleurs utilisées est au
plus K.
 Pour chaque arête (u, v) dans le graphe, Vérifier que
u et v sont colorés différemment.
Il y a un algorithme polynomial qui fait cette vérification. Le
problème COLORATION est dans NP

CSI 3505
HAMILTONIEN:
 Vérification si un ensemble de sommet représente
une solution:
 Vérifier que ce ensemble contient tous les sommets
du graphe une seule fois.
Il y a un algorithme polynomial qui fait cette
vérification. Le problème HAMILTONIEN est
dans NP

CSI 3505
Une question ouverte (personne n’a pu la
résoudre)
 Est ce que P = NP?

CSI 3505
La classe des problèmes NP-complets est
l’ensemble de tous les problèmes P
vérifiant les propriétés suivantes:
1- P est dans NP.
2- Il existe une algorithme polynomial pour
résoudre P si est seulement si pour tout problème
Q dans la classe NP il existe un algorithme
polynomial pour résoudre Q.

CSI 3505
 Comment prouver:
Il existe un algorithme polynomial pour
résoudre P
si est seulement si
pour tout autre problème dans la classe NP il
existe un algorithme polynomial pour le
résoudre?

CSI 3505
Réduction des problèmes.
Problème P1
Input X
Problème P2,
Input T(X)
Transformation T (algorithme)
1. La transformation doit se faire en temps polynomial
2. La réponse correcte de P1 pour x est « OUI"
si et seulement si
la réponse correcte de P2 pour T(x) est aussi " OUI ".

CSI 3505
Si la fonction T peut être calculer en temps polynomial,
nous dirons que P1 est polynomialement réductible en P2
( P1  P2)
P1  P2 :s’il existe une fonction T qui transforme
tout input x de P1 en T(x), un input de P2, de
telle sorte que la réponse correcte de P1 pour x
soit "oui" si et seulement si la réponse correcte de
P2 pour T(x) est aussi "oui".

CSI 3505
P1  P2
P2 est au moins, aussi difficile à résoudre que P1
La composition de la fonction T et de l'algorithme
résolvant P2 nous donne un algorithme pour
résoudre P1.
T
Algorithme
pour P2
T(x)
input
pour P2
x
(input
pour P1)
Réponse
OUI ou NON

CSI 3505
Théorème:
Si P1  P2 et P2 est dans P, alors P1 est aussi dans P.
Définition équivalente de la classe NP-complet
Un problème P1 est NP-complet si
P1 est dans NP et,
pour tout autre problème P2 dans NP, P2  P1

CSI 3505
Conséquence trés importante:
si l'on parvient à montrer qu'un problème NP-complet
se trouve dans P, alors on aura démontré que tous les
problèmes de NP sont dans P ! ET DONC P = NP!!!
Prenons un problème P2 quelconque dans NP.
Puisque P est NP-complet, alors P2  P1.
La composition de la transformation (polynomiale) et
l’algorithme polynomial de P1 nous donne un algorithme
polynomial pour P2.
Très improbable que ceci soit vrai

CSI 3505
Définition: Forme normale conjonctive (FNC)
Littéral = variable booléenne ou sa négation (x ou x)
Clause = littéral ou une disjonction de littéraux ()
Une expression booléenne est en Forme normale conjonctive
(FNC) si elle est une clause ou une conjonction () de clauses
(x1  x2  x3 )  (x1  x4 )  (x2  x3  x4 )
K-FNC: les clauses contenant un maximum de k littéraux

CSI 3505
 Problème de Satisfaisabilité
Une expression booléenne est satisfaisable s'il existe
(au moins) une assignation de valeurs a ses variables
booléenne qui la rende vraie
K-SAT: Problème de décider, étant donnée une expressions
booléenne avec  k littéraux, si elle est satisfaisable
SAT: Problème de décider, étant donnée une expressions
booléenne, si elle est satisfaisable

CSI 3505
SAT-FNC
la restriction de SAT aux formes normales conjonctives
k-SAT-FNC
la restriction de SAT aux formes normales conjonctives
avec au plus k littéraux
(exemple: 2-SAT est resolvable en temps polynomial)

CSI 3505
 Exemples:
(x1  x2  x3 )  (x1  x4 )  (x2  x3  x4 ) OUI
(x1  x2)  (x1)  (x2) NON
x1 = vrai x2 = vrai x3 = faux x4 = faux

CSI 3505
Theorème de Cook:
SAT-FNC est un problème NP-complet
Conséquence:
3-SAT-FNC est un problème NP-complet

CSI 3505
 C est une Clique dans un graphe G si toutes les paires de
sommets dans C sont adjacentes. “C est un sous graphe
complet dans G”
 Problème “CLIQUE”:
Étant donnée un graphe G, un nombre k, existe-t-il
une clique de taille k?
G contient une clique de taille 4

CSI 3505
 CLIQUE est NP-complet
Clique est dans NP
 Vérification si un ensemble de sommet représente une
solution:
 Vérifier que ce ensemble contient k sommets.
 Vérifier que ce ensemble de sommets représente
une clique “toutes les paires sont reliées”.
 Il y a un algorithme polynomial qui fait cette
vérification. Le problème CLIQUE est dans NP

CSI 3505
 Il suffit de réduire 3-SAT au probléme CLIQUE
3-SAT  CLIQUE
 Transformer une expression booléenne 3-FNS en un
graphe tel que ce graphe contient une clique de taille k
si est seulement si
l’expression booléenne est satisfaisable.

CSI 3505
 La réduction:
 Soit B = C1  C2  …  Ck une formule en 3-CNF, avec
k clauses, contenant chacune 3 littéraux distincts.
 Pour chaque clause on crée 3 sommets, un pour chaque
littéral dans la clause.
 On relie deux sommets s’ils proviennent de deux
clauses différentes et que leurs littéraux sont consistents
“l’un n’est pas la négation de l’autre”
 Exemple:
B = (x  y  z)  (x  y  z )  (x  y  z )

CSI 3505
Exemple: E = (x  y  z)  (x  y  z )  (x  y  z )
x1 y1 z1
x2
y2
z2
x3
y3
z3

CSI 3505
 Preuve:
 Si E est satisfaisable, alors chaque clause a au moins un
littéral “sommet” avec une valeur “Vraie”
 Prends le sommet correspondant de chaque littéral. Ça
doit former une clique de taille k. (Pourquoi?)
 Si G a une clique V’ de taille k, alors V’ contient un
sommet (littéral) dans chacune des clause de E.
(Pourquoi?)
 Il suffit de donner la valeur “Vraie” pour ces littéraux.
Ceci satisfait la formule E, sans risque d’avoir des
contradictions.

CSI 3505
Exemple: E = (x  y  z)  (x  y  z )  (x  y  z)
x1 y1 z1
x2
y2
z2
x3
y3
z3
X = Vrai
Y= Vrai
Z= Faux

CSI 3505
 Autres exemples de problèmes NP-complets
Vertex Cover (VC)
Instance: Graphe G=(V,E) et un entier k
Question: Existe-t-il une couverture de G par un ensemble de
sommets de taille au plus k?
(V’ V une couverture de G si pour tout (u,v)E, on a uV’ou vV’).
Ensemble Indépendant (IND)
Question: Existe-t-il un ensemble indépendant dans G de
taille au moins k?
(V’ V est indépendant si pour tous u,vV’, (u,v)E.)

CSI 3505
Cycle Hamiltonien (HAM)
Question: Existe-t-il un cycle Hamiltonien dans G?
Coloration des graphes(COLORATION)
Question: Peut on colorer les sommets de G avec au plus k
couleurs, tel que toute paire de sommets adjacents ont des
couleurs differentes.
3-Coloration des graphes (lorsque k=3)
Somme
Instance: Un ensemble d’entiers E et un entier T
Question: Existe-t-il un sous ensemble de E dont la somme
est T?

CSI 3505
Arrêt
Problèmes NP-Complets
Problèmes P
TSP
TRI
Tous les problèmes
Problèmes NP

CSI 3505
SAT
Exemples
Somme
VertexCover
Commis Voyageur
Clique
Hamiltonien
3-SAT-CNF

CSI 3505
 Prouver qu’un problème Q est NP-complet?
 Prouver que Q est dans NP (Vérification si un ensemble représente
une solution en un temps polynomial)
 Trouver un problème R qu’on sait deja qu’il est NP-complet et
trouver une fonction T qui transforme chaque instance du probléme
R en une instance du probléme Q avec les propriétés suivantes:
 La transformation T se fait en un temps polynomial
 Si la réponse a l’instance I du problème R est “OUI” alors la
réponse a l’instance T(I) du problème Q est “OUI”
 Si la réponse a l’instance T(I) du problème Q est “OUI” alors la
réponse a l’instance I du problème R est “OUI”

CSI 3505
Exemple: Problème du plus long cycle (PLC).
Soit un graphe G et un entier k, déterminer si G possède un
cycle de longueur  k.
Le problème PLC est NP-complet.
Supposons qu’on a déjà prouver que le Problème Hamiltonien
est NP-complet

CSI 3505
1) PLC est dans NP: une solution proposée peut clairement
être vérifiée en temps polynomial.
2) Montrons que le problème du cycle hamiltonien (HAM) est
polynomialement réductible en PLC, HAM  PLC.
Supposons que le graphe G=(V,E) soit l'input de HAM, et
que nous désirions donc savoir s'il existe un cycle
hamiltonien pour G. Nous transformons cet input en un
input pour PLC: étant donné G, déterminer si G possède un
cycle de longueur  |V|.

CSI 3505
Clairement,
Si G possède un cycle hamiltonien alors G a un cycle de
longueur supérieure ou égale à |V'|.
Si G a un cycle de longueur supérieure ou égale à |V'| alors G
possède un cycle hamiltonien.
Nous avons ainsi montré que HAM  PLC.
PLC est NP-complet
HAM
Input G=(V,E)
PLC, ou k=|V|
Input T(G)=G=(V,E)
Transformation T

CSI 3505
Problème du commis voyageur (TSP).
Soit un graphe G complet et pondéré avec n sommets, et
soit une valeur k, existe-t-il un tour de poids  k?.
Le problème TCP est NP-complet.
Supposons qu’on a déjà prouver que le Problème Hamiltonien
est NP-complet

CSI 3505
1) TSP est dans NP: une solution proposée peut clairement être vérifiée
en temps polynomial.
1) Vérifier que c’est un cycle.
2) Vérifier que sa longueur est au plus k
2) Montrons que le problème du cycle hamiltonien (CH) est
polynomialement réductible en TSP, HAM  TSP.
Supposons que le graphe G=(V,E) soit l'input de HAM, et que nous
désirions donc savoir s'il existe un cycle hamiltonien pour G. Nous
transformons cet input en un input G’ pour TSP ou n = |V|:
Ajoute a G’ toutes les arêtes qui manquent dans G pour obtenir un
graphe complet
Les arêtes qui existaient dans G’ auront un poids de 1, et les
nouvelles arêtes auront un poids de 2.

CSI 3505
 Transformation:
CH
Input G=(V,E)
TSP, ou n=|V|
Input T(G)=G’=(V,E)
Transformation T
1
2
3
5
20 5
50
50
10
10
30
4
1
2
3
5
1
1
1
1
1
1
1
1
4
2
2
2

CSI 3505
1) On a besoin d’au plus (n2) pour effectuer la transformation (Créer la
matrice d’adjacence pour G’).
2) Supposons qu’il existe un cycle Hamiltonien v1, v2, …, vn pour G.
Ce cycle est un tour dans G’ et son poids est n “puisque toutes les
arêtes de G ont un poids de 1”. Donc la réponse est “OUI” à l’input
G’ pour le problème TSP.
3) Supposons qu’il existe un tour dans G’ de poids n. Puisque ce tours
contient tous les sommets de G’ et donc n arêtes et puisque chaque
arête a un poids 1, alors le poids du tour est n et toutes ses arêtes ont
un poids de 1. Donc les arête du tours sont toutes dans G. Ce qui
représente un cycle Hamiltonien dans G. Donc la réponse est “OUI”
à l’input G pour le problème Hamiltonien (HAM).

CSI 3505
Qui faire si le problème est NP-complet?
Approche 1
Chercher à obtenir autant d'amélioration que possible sur la simple
recherche exhaustive. (Tout en acceptant l'apparente inévitabilité que
l’algorithme aura une complexité exponentiel)
Approche 2
Tenter de trouver une "bonne" solution (pas nécessairement optimale)
en un temps acceptable.
Ces algorithmes sont appelés algorithmes approximatifs ou
heuristiques; ils sont souvent basés sur quelques règles empiriques
intelligemment choisies.

CSI 3505
Exemple: Un heuristique vorace pour le problème
du commis voyageur: "plus proche voisin"
Choisir une ville initiale puis toujours choisir comme ville
suivante la ville non encore visitée la plus proche de la
ville courante.
Heuristique simple
La différence entre la solution trouver et la solution
optimale pourrait être arbitrairement grande

CSI 3505
Les algorithmes approximatifs sont habituellement
évalués par une combinaisons d'études
empiriques.
Certains offrent des garanties théoriques d'efficacité,
alors que d'autres n'en offrent guère et peuvent même
s'avérer extrêmement mauvais pour certaines
instances de problèmes.

CSI 3505
Bornes inférieures sur les solutions optimales pour calibrer
les solutions heuristiques
Cas des solutions heuristiques pour les problème de
minimisation
La valeur d'une solution optimale à notre problème

la valeur d'une solution heuristique à notre problème.
Si la solution heuristique n'offre pas de garantie théorique
d'efficacité, ces deux valeurs peuvent être très éloignées -
aucun moyen d'évaluer la qualité de notre solution heuristique.

CSI 3505
On ne connaît pas la valeur de la solution optimale, par contre
supposons que nous obtenions une borne inférieure
(pas trop petite) sur la valeur d'une solution optimale.
La valeur de la borne inférieure

la valeur d'une solution optimale à notre problème

la valeur d'une solution heuristique à notre problème.
Si la différence entre la borne inférieure et la solution
heuristique est petite ….
Si par contre cette différence est grande …..

CSI 3505
 Borne inférieure pour le problème du commis
voyageur (avec des poids non-négatifs)
 Prenons un tour T de poids minimal et soit T’ obtenu de
T en éliminant une arête quelconque.
 T’ est un arbre recouvrant du graphe de départ et
Poids(T’)  Poids(T)
 On est capable de construire facilement un arbre
recouvrant minimal (MST) et donc
Poids(MST)  Poids(T’)  Poids(T)

CSI 3505
Le poids d’un arbre recouvrant minimal
représente une borne inférieure pour le
problème du commis voyageur

CSI 3505
 2-approximation pour le problème du
commis voyageur (TSP)
 On suppose qu’on a l’inégalité triangulaire
w(a,b) + w(b,c) ≥ w(a,c) pour tout les sommets a, b et c.
Même dans ce cas, le problème est NP-complet
a
b
c
5 4
7

CSI 3505
Algorithme d’approximation
 Construire un arbre recouvrant minimale T avec
une racine quelconque r (en utilisant par exemple
l’algorithme de Prim)
 On explore l’arbre en utilisant un “pre-ordre”
(visiter sommet avant les fils). Soit L la liste des
sommets par ordre de “visite”
 Retourner le tour qui correspond a l’ordre des
sommets dans L.

CSI 3505
Exemple:
Tour correspondent T pour TSP
Tour d’Euler P a partir du MST

CSI 3505
Un tour pour TSP (moins une arête) représente un arbre recouvrant
donc |M|<|OPT|.
Le tour d’Euler P visite chacune des arêtes de M deux fois, donc
|P|=2|M|
Les raccourcis qu’on fait dans P, n’augmente pas le poids total du tour
[à cause de l’inégalité triangulaire w(a,b) + w(b,c) > w(a,c) ] donc,
|T|<|P|.
Conclusion, |T|<|P|=2|M|<2|OPT|
Tour T obtenu de P Tour Optimal OPT
Tour d’Euler P

CSI 3505
3/2-approximation TSP (Christofides 1976)
Meilleure approximation connue pour TSP

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