Téléchargé 11 fois
![Du Continu au Discret EADS CCR-IECN Nancy 17
Conditions Intégrales avec Ecoulement
∂φa
∂nA0
=
∂φa
∂n
− −ik∞φa +
−−→
M∞.∇φa
−−→
M∞.−→n
Lorentz
−−−−−→ ∇φa
′
.n′
φa
Lorentz
−−−−−→ φa
′
φa
′
et ∇φa
′
.n′
sont couplés via la formulation S.
φa
′
s
= e−ik′
∞M∞z′
[φa]s = Θs [φa]s
∇φa
′
.n′
a
=
Ê
a
e−ik′
∞M∞z′
|a|
∂φa
∂nA0 a
= Θa
∂φa
∂nA0 a
Suresnes, le 15 juin 2006](https://image.slidesharecdn.com/thesispresentation-141230085918-conversion-gate01/85/Thesis-presentation-17-320.jpg)
![Résultats Numériques EADS CCR-IECN Nancy 21
Espaces Fonctionnels Axisymétriques
Ce problème est naturellement bien posé dans les espaces de Sobolev à poids
axisymétrique :
L2
a (Ω) =
¨
u : Ω → Ê, tel que u
√
∈ L2
(Ω)
©
.
H1
a (Ω) = {u ∈ L2
a (Ω) , tel que u√ ∈ L2
(Ω) ,
−→
∇u ∈ L2
a (Ω)},
où on note u√ la fonction u√ (r, z) ≡ u(r,z)
√
r
et u
√
la fonction
u
√
(r, z) ≡
√
ru (r, z). L’application trace notée γ0, qui à v ∈ C∞
a
Ω
¡
(l’ensemble des restrictions à Ω des fonctions indéfiniment dérivables et à support
compact sur ]0, +∞[×Ê) associe ses valeurs au bord γ0v : ∂Ω → Ê, se prolonge de
manière unique en une application linéaire continue de H1
a (Ω) dans L2
a (∂Ω, ∂Ω).
Toute fonction u ∈ H1
a (Ω) vérifie γ0u = 0 sur l’axe. On note H1
0,a (Ω) l’espace de
Hilbert tel que γ0u = 0 sur ΓD. Le problème se formule variationnellement :
Trouver u ∈ H1
0,a (Ω) , tel que : a (u, v) = ℓ (v) , ∀v ∈ H1
0,a (Ω) ,
,a (u, v) =
Ω
−→
∇u
−→
∇v rdrdz +
Ω
uv
drdz
r
et ℓ (v) =
Ω
fv rdrdz +
ΓN
gv rdγ.
Suresnes, le 15 juin 2006](https://image.slidesharecdn.com/thesispresentation-141230085918-conversion-gate01/85/Thesis-presentation-21-320.jpg)
![Résultats Numériques EADS CCR-IECN Nancy 23
Comparaison sur un cas-test analytique
On suppose dans cette partie que Ω =]0, 1[2
et ΓD = ∅. On introduit deux
paramètres réels α 0, β 0, un second membre f donné par :
f (r, z) ≡ rα
α2
− 1
zβ
r2
+ β(β − 1)zβ−2
.
et une donnée de Neumann g telle que g(r, z) = α si r = 1, −βrα
zβ−1
si
z = 0, βrα
si z = 1. La solution du problème modèle s’exprime
simplement : u (r, z) ≡ rα
zβ
. Nous comparons ici les résultats des deux
méthodes (éléments finis H1
0,a-conformes et éléments finis classiques
auxquels on a rajouté une condition de Dirichlet nulle sur l’axe) pour ce
cas-test analytique.
Suresnes, le 15 juin 2006](https://image.slidesharecdn.com/thesispresentation-141230085918-conversion-gate01/85/Thesis-presentation-23-320.jpg)
Téléchargé parStefan Duprey
Thesis presentation
Ce document présente une thèse sur l'analyse mathématique et numérique du rayonnement acoustique des turboréacteurs, en se concentrant sur la minimisation du bruit généré lors du décollage. Il aborde la théorie de l'écoulement porteur et acoustique, ainsi que les méthodes de discrétisation pour améliorer les prévisions du bruit. Les travaux incluent des solutions variées à des équations non linéaires complexes dans un contexte d'écoulement contigu et de potentiel acoustique.
Thesis presentation
- 1. EADS CCR-IECN Nancy1 Analyse Mathématique et Numérique du Rayonnement Acoustique des Turboréacteurs DUPREY Stefan Thèse CIFRE EADS-CCR Suresnes, Département Modélisation Mathématique INRIA Lorraine, Institut Elie Cartan, Université Henri Poincaré Nancy 1 Suresnes, le 15 juin 2006
- 2. Plan de l’ExposéEADS CCR-IECN Nancy 2 Plan 1. Introduction et Enjeux Industriels 2. Théorie du Problème Continu 3. Du Continu au Discret 4. Résultats Numériques 5. Conclusion Suresnes, le 15 juin 2006
- 3. Introduction et EnjeuxIndustriels EADS CCR-IECN Nancy 3 1. Introduction et Enjeux Industriels •Objectif : minimiser le bruit rayonné par les turboréacteurs : bruit issu du contexte précis du décollage : pas le bruit aérodynamique, ni le bruit de jet rayonné à l’arrière, mais le bruit de raies (puissant et monofréquentiel) émis par les pales du moteur et rayonné à l’avant principalement. • Différentes techniques utilisées au niveau de la nacelle (traitement des parois de la nacelle, optimisation de sa forme et de la position des traitements...), dont la mise au point est onéreuse : nécessité du développement d’un code de calcul pour la prévision. • Thématique de décomposition de domaines indispensable pour un traitement numérique abordable de l’avion entier : on se place dans le contexte physique précis des équations de Euler linéarisées. •Question débattue et problématique : influence de la présence d’un écoulement porteur non linéaire par rapport à une propagation acoustique sur un écoulement constant : choix de la position des surfaces rayonnantes. Suresnes, le 15 juin 2006
- 4. Introduction et EnjeuxIndustriels EADS CCR-IECN Nancy 4 Un Contexte Physique Particulier : Euler Linéarisé Potentiel • On est loin du moteur et les nombres de Mach sont largement subsoniques : pas de non-linéarités dues à des Machs transsoniques. Pas de perturbations aérodynamiques (jet ou couche limite). • Mécanique des milieux continus : fluide parfait. • Thermodynamique : gaz parfait adiabatique et isentropique. • Ecoulement porteur non-linéaire et acoustique linéaire. • Hypothèse supplémentaire : l’écoulement et l’acoustique sont potentiels. • Géométrie axisymétrique : Suresnes, le 15 juin 2006
- 5. Théorie du ProblèmeContinu EADS CCR-IECN Nancy 5 2. Théorie du Problème Continu Théorie Ecoulement Porteur • L’écoulement dérive d’un potentiel et son équation est obtenue à l’ordre zéro des équations de l’écoulement total. • Conditions de bord simplifiées : condition glissante+condition de flux. • Le potentiel vérifie une EDP non linéaire. Le régime subsonique (resp. supersonique) détermine le caractère elliptique (resp. hyperbolique) de l’équation (régime transsonique complexe : ondes de choc) div(F∞(|∇φ0|2 )∇φ0) = 0 dans Ω F∞(|∇φ0|2 ) ∂φ0 ∂n = q dans ∂Ω = edp du potentiel porteur φ0, dont une solution faible est cherchée variationnellement : Trouver φ0 ∈ H1 (Ω)/Ê tel que : Ω F∞(|∇φ0|2 )∇φ0∇ψ dx = ∂Ω qψ dγ, ∀ψ ∈ H1 (Ω)/Ê • Les variables de l’écoulement sont adimensionnées par les constantes de l’écoulement à l’infini (a∞, ρ∞ et v∞). Suresnes, le 15 juin 2006
- 6. Théorie du ProblèmeContinu EADS CCR-IECN Nancy 6 Existence et Unicité pour l’Ecoulement Porteur Le problème restreint au convexe fermé non vide des régimes subsoniques Kδ = ¨ v ∈ H1 (Ω)/Ê, ||∇v||∞ ≤ δ < c∗ © admet une unique solution : Trouver φ0 ∈ Kδ tel que : Ω F∞(|∇φ0|2 )∇φ0∇(ψ − φ0) dx ≥ ∂Ω q (ψ − φ0) dγ, ∀ψ ∈ Kδ Cette inégalité variationnelle caractérise φ ∈ Kδ minimimum de la fonctionnelle K sur Kδ, où K (φ) = 1 2 Ê Ω F (|∇φ|) − Ê ∂Ω qφdγ avec F (x) = − Ê ∞ x2 F∞(s)ds Théorème : Supposons que le problème initial admette une unique solution φ ∈ H1 (Ω)/Ê, telle que ∃δ0 < c∗ et ||∇φ||∞ ≤ δ0 < c∗. Alors φ est une solution du problème convexifié, pour tout δ ∈ [δ0, c∗[. Réciproquement, si φ est une solution du problème convexifié pour un certain δ < c∗, telle que l’on peut trouver δ0 < δ et ||∇φ||∞ ≤ δ0 (contrainte de convexité non saturée). Alors φ est une solution du problème initial. Suresnes, le 15 juin 2006
- 7. Théorie du ProblèmeContinu EADS CCR-IECN Nancy 7 L’Ecoulement Porteur comme Limite d’un Point Fixe La fonctionnelle K est elliptique sur Kδ : ∃α > 0, ∀ (φ0, ψ) ∈ K2 δ , −→ ∇2 K(φ0)(ψ, ψ) ≥ α||ψ||2 H1 (Ω) /R , (1) ce qui équivaut encore à : ∃α > 0, ∀ (φ, ψ) ∈ K2 δ , −→ ∇K(φ)− −→ ∇K(ψ), φ−ψ) ≥ α||φ−ψ||2 H1 (Ω) /R (2) L’ellipticité de la fonctionnelle K permet de prouver : Théorème : Pour tout φ ∈ Kδ, la coercivité de B(φ; ., .) (où B(φ; ψ, ξ) = Ω F∞(|∇φ|2 )∇ψ∇ξ) implique l’existence et l’unicité de la solution de : ∀φ ∈ Kδ, ∃ ! ζ = ζ (φ) ∈ Kδ tel que : ∀ψ ∈ Kδ, B(φ; ζ, ψ−ζ) ≥< q, ψ−ζ > La suite définie par φ0 ∈ H1 (Ω)/R et φn+1 = ζ(φn) converge vers l’unique solution du problème convexifié. Suresnes, le 15 juin 2006
- 8. Théorie du ProblèmeContinu EADS CCR-IECN Nancy 8 Théorie Acoustique • Le potentiel acoustique est solution de l’EDP d’ordre 2 à coefficients variables provenant de l’écoulement suivante : div ρ0 I −t −→ M0. −→ M0 ∇φa +ρ0k2 0φa+ik0ρ0 −→ M0.∇φa+div ik0ρ0φa −→ M0 = 0 • Réfraction totale sur les parois rigides. • Moteur=guide d’ondes cylindrique en écoulement uniforme. Source sonore=modes incidents. Condition de rayonnement appropriée permettant la sélection des modes réfléchis pour le potentiel acoustique diffracté. Opérateur Dirichlet-Neumann en écoulement permettant de borner le domaine de calcul. • Les modes sont normalisés : ils ont un flux d’énergie unitaire dans le conduit. • Condition de Sommerfeld "convectée" à l’infini sélectionnant les ondes sortantes et équation intégrale en présence d’écoulement permettant de borner le domaine de calcul. • Les variables acoustiques sont adimensionnées par les valeurs de l’écoulement porteur à l’infini (a∞, ρ∞ et v∞). Suresnes, le 15 juin 2006
- 9. Théorie du ProblèmeContinu EADS CCR-IECN Nancy 9 Existence et Unicité pour l’Acoustique Lorentz fréquentiel=dilatation axiale+φa ′ = e−ik′ ∞M∞z′ φa Suresnes, le 15 juin 2006
- 10. Théorie du ProblèmeContinu EADS CCR-IECN Nancy 10 On note ALm (φam) l’opérateur différentiel appliqué à φam : 1 r ∂ ∂r rρ0 ∂φam ∂r + 1 1 − M2 ∞ ∂ ∂z ρ0 ∂φam ∂z − 1 √ 1 − M2 ∞ ∂ ∂r ρ0M0rM0z ∂φam ∂z − 1 √ 1 − M2 ∞ ∂ ∂z ρ0M0zM0r ∂φam ∂r − 1 1 − M2 ∞ ∂ ∂z ρ0M2 0z ∂φam ∂z − ∂ ∂r ρ0M2 0r ∂φam ∂r +ρ0 ik∞M∞ (1 − M∞) 3 2 1 − M2 0z ¡ + ik0M0z √ 1 − M2 ∞ − M0rM0z r √ 1 − M2 ∞ ∂φam ∂z +ρ0 − M2 0r r + ik0M0r − ik∞M∞M0rM0z 1 − M2 ∞ ∂φam ∂r + ∂ ∂r (ik0ρ0M0rφam) + ik∞M∞ (1 − M2 ∞) 3 2 ∂ (ρ0φam) ∂z − ik∞M∞ 1 − M2 ∞ ∂ ∂r (ρ0M0rM0zφam) + 1 √ 1 − M2 ∞ ∂ ∂z (ρ0ik0M0zφam) − ik∞M∞ (1 − M2 ∞) 3 2 ∂ ∂z ρ0M2 0zφam ¡ +ρ0 − m2 r2 − k2 ∞M2 ∞ (1 − M2 ∞)2 1 − M2 0z ¡ + ik0M0r r φam +ρ0 −ik∞ M0rM0zM∞ r (1 − M2 ∞) + k2 0 − 2k∞M∞k0M0z (1 − M2 ∞) φam = 0 Suresnes, le 15 juin 2006
- 11. Théorie du ProblèmeContinu EADS CCR-IECN Nancy 11 Opérateur Dirichlet-Neumann Modal dans l’Espace de Lorentz TLMm : H 1 2 (ΓM ) → H− 1 2 (ΓM ) φam → n∈N µ− mn (φa, Ξrmn)L2(ΓM ) Ξrmn définit l’opérateur Dirichlet-Neumann modal dans l’espace de Lorentz, où l’on a noté : µ± mn = iρM kM MM − 1 − M2 M ¡ β± mn ¡ : les coefficients de l’opérateur TLMm β± mn = kM MM ± Õ k2 M − k2 rmn(1 − M2 M ) 1 − M2 M : les constantes de propagation axiale dans l’espace physique γ± mn = −k′ ∞M∞ + Ô 1 − M2 ∞β± mn : les constantes de propagation axiale dans l’espace de Lorentz Suresnes, le 15 juin 2006
- 12. Théorie du ProblèmeContinu EADS CCR-IECN Nancy 12 Existence et Unicité du Problème Transformé Théorème : • Le potentiel acoustique transformé dans l’espace de Lorentz cylindrique Ω ∪ Ωe ¡ (ΓR ∪ ΓM ) est solution de ALm (φam) = 0, où l’opérateur ALm est elliptique. • Les conditions aux limites du potentiel transformé s’écrivent : - 1 √ 1 − M2 ∞ M0z −→n .−→ez + M0r −→n .−→er = 0, ∀x ∈ ΓR ∂φam ∂nALm = 0, ∀x ∈ ΓR - ∂ (φam − φam,inc) ∂nALm = TLMm (φam − φam,inc) , ∀x ∈ ΓM , • L’edp se réduit à l’équation de Helmholtz en dehors du domaine perturbé : 1 r ∂ ∂r r ∂φam ∂r − m2 r2 φam + ∂2 φam ∂z2 + k2 ∞ 1 − M2 ∞ φam = 0 • Le potentiel acoustique transformé vérifiant la condition de Sommerfeld lim R→+∞ SR | ∂φam ∂n − i k∞ √ 1 − M2 ∞ φam|2 dγ = 0 existe et est unique. Suresnes, le 15 juin 2006
- 13. Théorie du ProblèmeContinu EADS CCR-IECN Nancy 13 Egalité d’Energie dans l’Espace Transformé Lemme : • On suppose donc la source sonore incidente nulle : φa,inc = 0. Le problème transformé se formule variationnellement dans Ω : Trouver φam ∈ H1 a(Ω) tel que : aLm(φam, ψ) = TLMm (φam) , ψ L2(ΓM ) + Γ∞ −→ ∇φam.−→n ψ, ∀ψ ∈ H1 a(Ω) , • La solution du problème transformé vérifie le bilan d’énergie : ±, (m,n)∈ ×Æ ℑm µ± mn ¡ | φa, Ξrmn L2(ΓM )|2 ||Ξrmn||2 L2(ΓM ) + lim R→+∞ k′ ∞||φa||L2(SR) = 0 , où la somme modale ci-dessus ne se fait que sur les modes propagatifs : ℑm µ± mn ¡ = 0 ⇐⇒ le mode est évanescent ℑm µ± mn ¡ < 0 ⇐⇒ le mode est propagatif incident • En l’absence de modes incidents propagatifs à l’entrée de la nacelle (φa,inc = 0) : lim R→+∞ ||φa||L2(SR) = 0, lim R→+∞ || ∂φa ∂n ||L2(SR) = 0 Suresnes, le 15 juin 2006
- 14. Du Continu auDiscret EADS CCR-IECN Nancy 14 3. Du Continu au Discret Discrétisation Ecoulement Porteur • Méthode de point fixe inspirée de la théorie. • Potentiel calculé à l’étape k par des éléments finis classiques continus H1 -conformes d’ordre 1. • Maillage triangulaire non structuré axisymétrique. • Poids axisymétrique : quadrature de Lagrange à 10 points. • Densité et vitesse calculées à l’étape k+1, constants par éléments. • Nouvelle matrice assemblée à chaque itération. • Matrice creuse et symétrique (solveur creux parallèle du CERFACS). • Assemblage parallélisé. • Contrainte de convexité estimée sur chaque élément. • Flux réparti uniformément au niveau du moteur, mais possibilité de prendre un flux inhomogène donné par les motoristes. • Formulation axisymétrique (seul mode 0 : écoulement indépendant de θ) Suresnes, le 15 juin 2006
- 15. Du Continu auDiscret EADS CCR-IECN Nancy 15 Couplage Numérique Modal au Moteur Etant donné (a+ mn)n∈Æ ∈ Æ Trouver φam ∈ H1 am−ΓM (Ω) et (a− mn)n∈Æ ∈ Æ tel que : a0m (φam, ψm) + n∈Æ a− mna0m (Ξrmn, ψm) − n∈Æ a− mnµ− mn ΓM Ξrmnψm = − n∈Æ a+ mna0m (Ξrmn, ψm) + n∈Æ a+ mnµ+ mn ΓM Ξrmnψm, ∀ψm ∈ H1 am−mod(Ω) Suresnes, le 15 juin 2006
- 16. Du Continu auDiscret EADS CCR-IECN Nancy 16 Conditions Intégrales sans Ecoulement : un Couplage Symétrique (S) Trouver (p, φ =′ v.n′ ) ∈ H1 (Ω) × H−1/2 (Γ) tel que Ω −→ ∇p. −→ ∇pt − k2 ppt = ik 2 Γ φ pt − ik Γ D∗ φ pt + Γ Np pt 1 2 Γ p φt − Γ Dp. φt + ik Γ Sφ.φt = 0 ∀(pt , φt ) ∈ H1 (Ω) × H1/2 (Γ) Conditions Intégrales sans Ecoulement Suresnes, le 15 juin 2006
- 17. Du Continu auDiscret EADS CCR-IECN Nancy 17 Conditions Intégrales avec Ecoulement ∂φa ∂nA0 = ∂φa ∂n − −ik∞φa + −−→ M∞.∇φa −−→ M∞.−→n Lorentz −−−−−→ ∇φa ′ .n′ φa Lorentz −−−−−→ φa ′ φa ′ et ∇φa ′ .n′ sont couplés via la formulation S. φa ′ s = e−ik′ ∞M∞z′ [φa]s = Θs [φa]s ∇φa ′ .n′ a = Ê a e−ik′ ∞M∞z′ |a| ∂φa ∂nA0 a = Θa ∂φa ∂nA0 a Suresnes, le 15 juin 2006
- 18. Du Continu auDiscret EADS CCR-IECN Nancy 18 Discrétisation Acoustique : Formulation Variationnelle Globale ¼ A0m − tΘsNΘs A0mXmn tΘs(− I 2 + D∗ )Θa Xt mn′ A0m Xt mn′ A0mXmn − ¢ µ− mn £ 0 tΘa(− I 2 + D)Θs 0 −tΘaSΘa ½ × ¼ φa(s) a− mn ∂φa ∂nA0m (a) ½ = ¼ A0mXmn′ a+ mn ¡ −Xt mn′ A0mXmn′ + ¢ µ+ m £ a+ mn ¡ 0 ½ φa(s) : Potentiel Acoustique au Sommet du Maillage a− mn : Coefficients Modaux Réfléchis ∂φa ∂nA0m (a) : Dérivées Elliptiques par Arêtes Suresnes, le 15 juin 2006
- 19. Du Continu auDiscret EADS CCR-IECN Nancy 19 Discrétisation Acoustique • Potentiel acoustique discrétisé en éléments finis classiques continus H1 -conformes d’ordre 1. • Maillage triangulaire non structuré. • Matrices assemblées séparément et parallèlement. • Condition de Dirichlet nulle sur l’axe (lignes et colonnes des degrés de liberté correspondant supprimés). • Poids axisymétrique : quadrature de Lagrange à 10 points. • Résolution directe du système linéaire par un complément de Schur. • Solveur creux parallèle du CERFACS utilisé pour la matrice volumique creuse. • Post-traitement et obtention des résultats acoustiques (décibels et SER) à partir du potentiel acoustique et des données de l’écoulement de porteur sur le maillage. Suresnes, le 15 juin 2006
- 20. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 20 4. Résultats Numériques Singularité axiale : un nouvel élément fini axisymétrique Le problème du Laplacien axisymétrique est posé dans le domaine transverse Ω pour un second membre porté uniquement par le mode azimutal 1 : − 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r − ∂2 u ∂z2 + u r2 = f (r, z) , ∀ (r, z) ∈ Ω ∂u ∂n = g (r, z) , ∀ (r, z) ∈ ΓN u = 0, ∀ (r, z) ∈ ΓD Suresnes, le 15 juin 2006
- 21. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 21 Espaces Fonctionnels Axisymétriques Ce problème est naturellement bien posé dans les espaces de Sobolev à poids axisymétrique : L2 a (Ω) = ¨ u : Ω → Ê, tel que u √ ∈ L2 (Ω) © . H1 a (Ω) = {u ∈ L2 a (Ω) , tel que u√ ∈ L2 (Ω) , −→ ∇u ∈ L2 a (Ω)}, où on note u√ la fonction u√ (r, z) ≡ u(r,z) √ r et u √ la fonction u √ (r, z) ≡ √ ru (r, z). L’application trace notée γ0, qui à v ∈ C∞ a Ω ¡ (l’ensemble des restrictions à Ω des fonctions indéfiniment dérivables et à support compact sur ]0, +∞[×Ê) associe ses valeurs au bord γ0v : ∂Ω → Ê, se prolonge de manière unique en une application linéaire continue de H1 a (Ω) dans L2 a (∂Ω, ∂Ω). Toute fonction u ∈ H1 a (Ω) vérifie γ0u = 0 sur l’axe. On note H1 0,a (Ω) l’espace de Hilbert tel que γ0u = 0 sur ΓD. Le problème se formule variationnellement : Trouver u ∈ H1 0,a (Ω) , tel que : a (u, v) = ℓ (v) , ∀v ∈ H1 0,a (Ω) , ,a (u, v) = Ω −→ ∇u −→ ∇v rdrdz + Ω uv drdz r et ℓ (v) = Ω fv rdrdz + ΓN gv rdγ. Suresnes, le 15 juin 2006
- 22. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 22 Discrétisation conforme Nous considérons l’espace discret suivant : XT = u ∈ C0 Ω , u√ |K ∈ P1 , ∀K ∈ T 2 , u|ΓD = 0 . Une fonction uT ∈ XT est de la forme : uT (r, z) = α √ r + βr √ r + γ √ rz, ∀K ∈ T 2 , Pour la formulation discrète, l’espace continu H1 0,a (Ω) est remplacé par l’espace discret XT et nous cherchons uT ∈ XT tel que : a (uT , v) = ℓ (v) , ∀v ∈ XT . Suresnes, le 15 juin 2006
- 23. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 23 Comparaison sur un cas-test analytique On suppose dans cette partie que Ω =]0, 1[2 et ΓD = ∅. On introduit deux paramètres réels α 0, β 0, un second membre f donné par : f (r, z) ≡ rα α2 − 1 zβ r2 + β(β − 1)zβ−2 . et une donnée de Neumann g telle que g(r, z) = α si r = 1, −βrα zβ−1 si z = 0, βrα si z = 1. La solution du problème modèle s’exprime simplement : u (r, z) ≡ rα zβ . Nous comparons ici les résultats des deux méthodes (éléments finis H1 0,a-conformes et éléments finis classiques auxquels on a rajouté une condition de Dirichlet nulle sur l’axe) pour ce cas-test analytique. Suresnes, le 15 juin 2006
- 24. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 24 Isovaleurs et zoom au niveau de l’axe u (r, z) = r 1 4 zβ , nous comparons les isovaleurs de Mercier-Raugel, de notre approche et de la solution analytique Suresnes, le 15 juin 2006
- 25. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 25 Suresnes, le 15 juin 2006
- 26. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 26 Convergence en maillage des isovaleurs pour les deux schémas u (r, z) = r1/4 , nous comparons les résultats de Mercier-Raugel et de notre approche Suresnes, le 15 juin 2006
- 27. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 27 Suresnes, le 15 juin 2006
- 28. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 28 Courbes de convergence pour diverses normes u (r, z) = rα zβ , nous comparons les résultats de Mercier-Raugel et notre approche Suresnes, le 15 juin 2006
- 29. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 29 Suresnes, le 15 juin 2006
- 30. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 30 Cas-Test Ecoulement Porteur : Conduit Vitesse théorique à l’étape k + 1 par récurrence u0 = 0, uk+1 = q F∞(uk) . Débit et Convergence Point Fixe Suresnes, le 15 juin 2006
- 31. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 31 Validation des Equations Intégrales sans Ecoulement ∆φa − M2 ∂2 φa ∂z2 − 2ikM ∂φa ∂z + k2 φa = 0 ∂φa ∂nA0 = Ö 1 − M2 2 +∞ l=0 m=+l m=−l φl,mYl,m arctan Ô 1 − M2tan (θ) , φ φa = l,m φl,m h (1) l (k′ r′ ) k′ d dr′ h (1) l (k′) r′¡ Yl,m arctan Ô 1 − M2tan (θ) , φ e ik′Mz√ 1−M2 Suresnes, le 15 juin 2006
- 32. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 32 Nous présentons les résultats (champ de la partie réelle du potentiel acoustique) pour un nombre de Mach nul et constant de 0, 3 du cas-test analytique précédent pour kR = 2 et pour les conditions de Neumann Y0,0 et Y1,1. Les solutions sont renormalisées par leur maximum. L’erreur relative à la solution analytique sur le maillage est exhibée dans chaque cas. Suresnes, le 15 juin 2006
- 33. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 33 Suresnes, le 15 juin 2006
- 34. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 34 Nous présentons les résultats pour un nombre de Mach constant de 0, 3 du cas-test analytique précédent pour kR = 15 et pour les conditions de Neumann Y0,0 et Y1,1. Suresnes, le 15 juin 2006
- 35. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 35 Suresnes, le 15 juin 2006
- 36. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 36 Validation des Conditions Modales : Tube d’Aspirine ∆φa − M2 ∂2 φa ∂z2 − 2ikM ∂φa ∂z + k2 φa = 0 ∀x ∈ Ω ∂ (φa − φa,inc) ∂nA0 = TM (φa − φa,inc) ∀x ∈ ΓM ∂φa ∂nA0 = 0 ∀x ∈ ΓR , Le coefficient modal de retour pour un mode m′ n′ : β = e 2i √ k2−(1−M2)k2 rm′n′ 1−M2 L . Suresnes, le 15 juin 2006
- 37. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 37 Coefficients Modaux Sans Ecoulement λ = L k = π f = a 2 ⇒ β = 1. THEORIE F(1, 1) = 1. PA2R F(1, 1) = 9.99966 × 10−1 − i8.23800 × 10−3 ACTI3S F(1, 1) = 1.00056 × 10−1 − i1.63131 × 10−3 λ = 16L k = π 16 f = a 32 ⇒ β = e iπ 4 THEORIE F(1, 1) = 7.07106 × 10−1 + i7.07106 × 10−1 PA2R F(1, 1) = 7.07110 × 10−1 + i7.07102 × 10−1 ACTI3S F(1, 1) = 7.07520 × 10−1 + i7.07899 × 10−1 Suresnes, le 15 juin 2006
- 38. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 38 Coefficients Modaux Avec Ecoulement λ = 8L k = π 8 f = a 16 M = 0.1 ⇒ β = e i π 2(1−M2) THEORIE F(1, 1) = −1.58659 × 10−2 + i9.998741 × 10−1 PA2R F(1, 1) = −1.58658 × 10−2 + i9.998745 × 10−1 λ = 16L k = π 16 f = a 32 M = 0.1 ⇒ β = e i π 4(1−M2) THEORIE F(1, 1) = 7.01474 × 10−1 + i7.12694 × 10−1 PA2R F(1, 1) = 7.01479 × 10−1 + i7.12689 × 10−1 Suresnes, le 15 juin 2006
- 39. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 39 On présente ici les résultats du cas-test précédent (champ de la partie réelle du potentiel acoustique) pour un nombre de Mach nul et constant de 0, 3 pour le mode m = 5, n = 5 et pour kR = 6π. Les modes sont renormalisés par leur flux d’énergie. Suresnes, le 15 juin 2006
- 40. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 40 Suresnes, le 15 juin 2006
- 41. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 41 Problème Général Suresnes, le 15 juin 2006
- 42. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 42 Validation Comparative Ecoulement Nul PA2R, m=0, n=0 6085 ddls −2.00150 × 10−1 − i 9.09183 × 10−2 23123 ddls −1.99342 × 10−1 − i 9.24564 × 10−2 86752 ddls −1.99844 × 10−1 − i 9.36297 × 10−2 ACTI3S, m=0, n=0 17137 ddls −1.99854 × 10−1 − i 9.35946 × 10−2 62455 ddls −1.99837 × 10−1 − i 9.36477 × 10−2 226747 ddls −1.99837 × 10−1 − i 9.36477 × 10−2 PA2R, m=1, n=0 6085 ddls 6.35537 × 10−1 − i 4.76084 × 10−1 23123 ddls 6.57412 × 10−1 − i 4.73512 × 10−1 86752 ddls 6.64245 × 10−1 − i 4.76292 × 10−1 ACTI3S, m=1, n=0 17137 ddls 6.29812 × 10−1 − i 4.76084 × 10−1 62455 ddls 6.64129 × 10−1 − i 4.76151 × 10−1 226747 ddls 6.65324 × 10−1 − i 4.76121 × 10−1 Suresnes, le 15 juin 2006
- 43. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 43 Validation Comparative Ecoulement Constant M = 0.1 PA2R, m=0, n=0 6085 ddls −1.92695 × 10−1 − i 1.01288 × 10−1 23123 ddls −1.92537 × 10−1 − i 1.02264 × 10−1 86752 ddls −1.92143 × 10−1 − i 1.02926 × 10−1 ACTI3S, m=0, n=0 17137 ddls −1.92133 × 10−1 − i 1.02915 × 10−1 62455 ddls −1.92111 × 10−1 − i 1.02967 × 10−1 226747 ddls −1.92111 × 10−1 − i 1.02967 × 10−1 PA2R, m=1, n=0 6085 ddls 6.67034 × 10−1 − i 4.08839 × 10−1 23123 ddls 6.89210 × 10−1 − i 4.08321 × 10−1 86752 ddls 6.92364 × 10−1 − i 4.09234 × 10−1 ACTI3S, m=1, n=0 17137 ddls 6.62946 × 10−1 − i 4.05877 × 10−1 62455 ddls 6.96835 × 10−1 − i 4.09237 × 10−1 226747 ddls 6.93515 × 10−1 − i 4.09432 × 10−1 Suresnes, le 15 juin 2006
- 44. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 44 Les résultats des nombres de Mach de l’écoulement porteur sont présentés ci-dessus pour deux valeurs du Mach à l’infini : M∞ = 0 et M∞ = 0, 1 et pour trois valeurs des nombres de Mach au moteur : MM = 0, 1, MM = 0, 2 et MM = 0, 3. Suresnes, le 15 juin 2006
- 45. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 45 Suresnes, le 15 juin 2006
- 46. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 46 La figure ci-après présente la partie réelle et imaginaire de la pression acoustique adimensionnée (ℜe (p∗ a) et ℑm (p∗ a)) se propageant sur un écoulement potentiel MM = 0, 1 et M∞ = 0, 1. Les résultats sont présentés pour le mode non singulier m = 0, n = 0 et pour le mode singulier m = 1, n = 0. La pression acoustique complexe s’obtient à partir du potentiel acoustique complexe : pa = −ρ0(−i ωφa + −→v0. −→ ∇φa). La dernière colonne présente | −→ I∗ |, où −→ I∗ désigne le vecteur réel : 1 2 1 2 ρ0|−→va|2 + |pa|2 2ρ0a2 0 ) −→v0 + 1 4 pa −→va + pa −→va Suresnes, le 15 juin 2006
- 47. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 47 Suresnes, le 15 juin 2006
- 48. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 48 La figure ci-après présente les parties réelles et imaginaires des vitesses acoustiques radiales et axiales (ℜe (v∗ az), ℑm (v∗ az), ℜe (v∗ ar) et ℑm (v∗ ar)) se propageant sur un écoulement potentiel MM = 0, 1 et M∞ = 0, 1. Les résultats sont présentés pour le mode non singulier m = 0, n = 0 et pour le mode singulier m = 1, n = 0. Suresnes, le 15 juin 2006
- 49. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 49 Suresnes, le 15 juin 2006
- 50. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 50 La figure ci-après détaille la comparaison de la propagation acoustique sur un écoulement porteur nul et la propagation acoustique sur un écoulement porteur de Mach constant 0, 1. Les résultats sont présentés pour le mode non singulier m = 0, n = 0 et pour le mode singulier m = 1, n = 0. Suresnes, le 15 juin 2006
- 51. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 51 Suresnes, le 15 juin 2006
- 52. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 52 Les figures ci-après détaillent les effets de l’écoulement potentiel et son accélération à la nacelle sur la propagation de l’intensité du bruit. Les comparaisons s’effectuent par rapport à la référence canonique de l’écoulement constant égal au Mach à l’infini. Les comparaisons sont réalisés pour un Mach à l’infini nul et égal à 0,1 ; et pour un Mach au moteur de 0,1-0,2-0,3. Les résultats sont présentés pour le mode non singulier m = 0, n = 0 et pour le mode singulier m = 1, n = 0. L’intensité physique adimensionnée est comparée dans un premier temps, puis les résultats sont transcrits en décibels (quantité physique pertinente pour l’être humain). Suresnes, le 15 juin 2006
- 53. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 53 Intensité adimensionnée, M∞ = 0 Suresnes, le 15 juin 2006
- 54. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 54 Intensité adimensionnée, M∞ = 0, 1 Suresnes, le 15 juin 2006
- 55. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 55 Intensité en décibels, M∞ = 0 Suresnes, le 15 juin 2006
- 56. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 56 Intensité en décibels, M∞ = 0, 1 Suresnes, le 15 juin 2006
- 57. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 57 Nous présentons ci-après les diagrammes de rayonnement, qui détaillent l’effet de l’écoulement potentiel sur la directivité du son à une longue distance de l’avion. Ces diagrammes sont présentés dans le référentiel galiléen de l’avion. Le rayonnement de l’avion dans un référentiel fixe se déduit via une transformation algébrique de Galilée (effet Doppler). Les résultats sont présentés sous forme de courbe polaire du module |A (θ) | en fonction de θ. On ne présente pas la classique SER du fait de l’adimensionnement des variables physiques : seul la différence du logarithme des courbes présentées pour un même Mach infini peut s’interpréter en vrais décibels physiques. Suresnes, le 15 juin 2006
- 58. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 58 Champ Lointain, M∞ = 0 Suresnes, le 15 juin 2006
- 59. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 59 Champ Lointain, M∞ = 0, 1 Suresnes, le 15 juin 2006
- 60. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 60 Les figures ci-après présentent les isopotentielles et les nombres de Mach d’un écoulement potentiel de même Mach moteur et infini égal à 0, 1, ainsi que les champ acoustiques de la partie réelle du potentiel se propageant sur l’écoulement précédent MM = M∞ = 0, 1 pour les modes m = 1, n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 et pour un nombre d’ondes kR = 60 et sur un maillage raffiné de 300 000 degrés de liberté. Suresnes, le 15 juin 2006
- 61. Résultats Numériques EADSCCR-IECN Nancy 61 Suresnes, le 15 juin 2006
- 62. Conclusion EADS CCR-IECNNancy 62 5. Conclusion • Mise à jour de méthodes numériques alternatives à d’autres méthodes (élément fini axisymétrique, point fixe pour l’écoulement subsonique). • Originalité principal : couplage intégral en présence d’écoulement. • Avantages et inconvénients du couplage intégral en écoulement par rapport aux méthodes type éléments infinis et couche limite absorbante : – Inconvénient : matrice surfacique pleine. – Avantage : surface fictive rayonnante adaptable pour coller au mieux à l’hétérogénéité de l’écoulement (gain d’inconnues par rapport à la limite sphérique (resp. rectangulaire) imposée pour les éléments infinis (les couches limites)) et possiblité de l’utilisation des multipôles. • Nécessité de la prise en compte des non-linéarités de l’écoulement pour le rayonnement du bruit des turboréacteurs. • Perspective : l’approche potentielle simplifie la propagation volumique, mais nécessité de la mise à jour des conditions de raccord avec les méthodes de propagation volumique linéaire complètes Euler linéarisée (Galerkin discontinu, différences finies). Suresnes, le 15 juin 2006