Tp n°1 calcul des structures matricielles

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La méthode matricielle

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Tp n°1 calcul des structures matricielles

  1. 1. Etudier la structure suivante par la méthode de flexibilité SOLUTION Nous allons résoudre le présent problème en suivant la procédure ci-après : 1. Détermination du degré d’hyperstaticité Nous constatons que notre structure est trois fois hyperstatique, d’où nous adoptons pour le système isostatique fondamental (SIF) suivant : E D C B A 𝑃2 𝑃1 5m 5m 10m Dans notre cas nous avons ∶ 𝑃1 = 11kN 𝑃2 = 12𝑘𝑁
  2. 2. 2. Matrice de flexibilité des éléments : les portées étant chacune de 5𝑚 de longueur 𝑓1 = 𝑓2 = 𝑓3 = 𝑓4 = 𝑓5 = 𝑓6 = 𝑓7 = 𝑓8 = 𝑙 6𝐸𝐼 × ⌊ 2 2 1 1 ⌋⌊ 𝑞𝑖 𝑞 𝑗 ⌋ = 5 6𝐸𝐼 × ⌊ 2 2 1 1 ⌋ ⌊ 𝑞𝑖 𝑞 𝑗 ⌋ 3. Matrice de flexibilité des éléments composés 𝑓𝑐 = 5 6𝐸𝐼 [ 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2] [ 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4 𝑞5 𝑞6 𝑞7 𝑞8] 4. Matrice de transformation Nous aurons une matrice de huit lignes et huit colonnes a. Première colonne 𝑊1 = 1 𝑀 𝐸 𝑅 𝐸𝐻 𝑅 𝐸𝑉 D B 13𝑘𝑁 8 7 654 32 1 5m 10m E D C B A 13𝑘𝑁 13𝑘𝑁 5m 8 7 6543 2 1 5m 10m E D C B A 13𝑘𝑁 5m
  3. 3. b. Deuxième colonne 𝑊2 = 1 c. Troisième colonne 𝑅 𝐸𝑉 = 1 E DC B 𝑀𝐴 𝑅 𝐴𝑉 𝑅 𝐴𝐻 𝑊1 = 1 𝑊1 = 1 E D CB 𝑀𝐴 𝑅 𝐴𝑉 𝑅 𝐴𝐻 𝑊2 = 1 ∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑊1 + 𝑅 𝐴𝐻 = 0 𝑑′ 𝑜𝑢 𝑅 𝐴𝐻 = −𝑊1 = −1 (←) ∑ 𝑌 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝑉 = 0 𝑀𝐴 + 5 × 𝑊1 = 0 𝑑′ 𝑜𝑢 𝑀𝐴 = −5 × 𝑊1 = −5 Ce qui nous donne : 𝑀𝐴 = −5; 𝑀 𝐵 = 𝑀 𝐶 = 𝑀 𝐷 = 𝑀 𝐸 = 0 D’où : 𝑞1 = −5; 𝑞2 = 𝑞3 = 𝑞4 = 𝑞5 = 𝑞6 = 𝑞7 = 𝑞8 = 0 ∑ 𝑌 = 0 ∶ −𝑊2 + 𝑅 𝐴𝑉 = 0 𝑑′ 𝑜𝑢 𝑅 𝐴𝐻 = 𝑊2 = 1 (→) ∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝐻 = 0 𝑀𝐴 + 5 × 𝑊2 = 0 𝑑′ 𝑜𝑢 𝑀𝐴 = −5 × 𝑊2 = −5 Ce qui nous donne : 𝑀𝐴 = −5; 𝑀 𝐵 = −5; 𝑀 𝐶 = 𝑀 𝐷 = 𝑀 𝐸 = 0 D’où : 𝑞1 = −5; 𝑞2 = −5; 𝑞3 = −5; 𝑞4 = 𝑞5 = 𝑞6 = 𝑞7 = 𝑞8 = 0 ∑ 𝑌 = 0 ∶ 𝑅 𝐸𝑉 + 𝑅 𝐴𝑉 = 0 𝑑′ 𝑜𝑢 𝑅 𝐴𝑉 = −𝑅 𝐸𝑉 = −1 (←) ∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝐻 = 0 𝑀𝐴 − 10 × 𝑅 𝐸𝑉 = 0
  4. 4. d. Quatrième colonne 𝑀 𝐸 = 1 e. Cinquième colonne 𝑅 𝐸𝐻 = 1 𝑅 𝐸𝑉 = 1 E D CB 𝑀𝐴 𝑅 𝐴𝑉 𝑅 𝐴𝐻 𝑀 𝐸 =1 E DCB 𝑀𝐴 𝑅 𝐴𝑉 𝑅 𝐴𝐻 ∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝐻 = 0 ∑ 𝑌 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝑉 = 0 𝑀𝐴 = 1 Ce qui nous donne : 𝑀𝐴 = 𝑀 𝐵 = 𝑀 𝐶 = 𝑀 𝐷 = 𝑀 𝐸 = 1 D’où : 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3 = 𝑞4 = 𝑞5 = 𝑞6 = 𝑞7 = 𝑞8 = 1 ∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑅 𝐸𝐻 − 𝑅 𝐴𝐻 = 0 𝑑′ 𝑜𝑢 𝑅 𝐴𝐻 = 𝑅 𝐸𝐻 = 1 (→) ∑ 𝑌 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝑉 = 0 𝑀𝐴 = 0 Ce qui nous donne :
  5. 5. Ce qui nous donne la matrice de transformation [ 𝐵] suivante : [ 𝐵] = [ −5 −5 0 −5 −10 −10 1 0 1 5 0 −5 0 0 −10 −5 1 5 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 −5 0 0 0 1 5 1 1 1 5 5 0] 5. Matrice de flexibilité de la structure Nous savons que cette matrice est donnée par l’expression :[ 𝐹] = [ 𝐵] 𝑇[ 𝑓𝐶][ 𝐵] Il vient que : [ 𝐹] = 5 6𝐸𝐼 × [ −5 0 0 −5 −5 −5 −10 1 0 −10 1 5 −10 1 5 0 0 0 0 0 0 −5 1 5 −5 1 5 0 1 5 0 0 0 0 0 1 5 0 1 0] × [ 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2] × [ −5 −5 0 −5 −10 −10 1 0 1 5 0 −5 0 0 −10 −5 1 5 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 −5 0 0 0 1 5 1 1 1 5 5 0] 𝑅 𝐸𝐻 = 1 E D CB 𝑀𝐴 𝑅 𝐴𝑉 𝑅 𝐴𝐻
  6. 6. [ 𝐹] = 5 6𝐸𝐼 × [ −5 0 0 −5 −5 −5 −10 1 0 −10 1 5 −10 1 5 0 0 0 0 0 0 −5 1 5 −5 1 5 0 1 5 0 0 0 0 0 1 5 0 1 0] × [ −10 −15 −5 −15 −30 −30 3 5 3 10 0 −10 0 −5 −25 −20 3 15 3 15 0 0 0 0 0 0 0 0 −10 −5 0 0 3 15 3 3 3 15 10 5 ] [ 𝐹] = 5 6𝐸𝐼 × [ 50 75 150 −15 −25 75 200 425 −45 −150 150 −15 −25 425 −45 −150 1000 −120 −450 −120 24 90 −450 90 400 ] [ ∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5] = 5 6𝐸𝐼 × [ 50 75 150 −15 −25 75 200 425 −45 −150 150 −15 −25 425 −45 −150 1000 −120 −450 −120 24 90 −450 90 400 ] × [ 𝑊1 𝑊2 𝑅 𝐸𝑉 𝑀 𝐸 𝑅 𝐸𝐻] Pour notre structure vue les conditions aux appuis, les déplacements aux encastrements sont nuls :∆3= ∆4= ∆5= 0 [ ∆1 ∆2 0 0 0 ] = 5 6𝐸𝐼 × [ 50 75 150 −15 −25 75 200 425 −45 −150 150 −15 −25 425 −45 −150 1000 −120 −450 −120 24 90 −450 90 400 ] × [ 𝑊1 𝑊2 𝑅 𝐸𝑉 𝑀 𝐸 𝑅 𝐸𝐻] Ce qui nous permet d’écrire : [ 0 0 0 ] = 5 6𝐸𝐼 × {[ 150 425 −15 −45 −25 −150 ] × [ 𝑊1 𝑊2 ] + [ 1000 −120 −450 −120 24 90 −450 90 400 ] × [ 𝑅 𝐸𝑉 𝑀 𝐸 𝑅 𝐸𝐻 ]} Dans notre cas, comme mon nom c’est Kasereka Lukumbuka, K=11 et L=12 nous avons : 𝑊1 = 11𝑘𝑁 𝑒𝑡 𝑊2 = 12𝑘𝑁 − [ 6750 −705 −2075 ] = [ 1000 −120 −450 −120 24 90 −450 90 400 ] × [ 𝑅 𝐸𝑉 𝑀 𝐸 𝑅 𝐸𝐻 ] [ 𝑅 𝐸𝑉 𝑀 𝐸 𝑅 𝐸𝐻 ] = − [ 1000 −120 −450 −120 24 90 −450 90 400 ] −1 × [ 6750 −705 −2075 ] [ 𝑅 𝐸𝑉 𝑀 𝐸 𝑅 𝐸𝐻 ] = − { 1 600000 [ 1500 7500 0 7500 197500 −36000 0 −36000 9600 ] × [ 6750 −705 −2075 ]}
  7. 7. [ 𝑅 𝐸𝑉 𝑀 𝐸 𝑅 𝐸𝐻 ] = [ −8,0625 23,1875 −9,1 ] Donc nous avons : { 𝑤1 = 11𝐾𝑁 𝑊2 = 12𝐾𝑁 𝑅 𝐸𝑉 = −8,0625 𝑀 𝐸 = 23,1875 𝑅 𝐸𝐻 = −9,1 Ainsi il vient que [ 𝑞] = [ 𝐵] × [ 𝑤] [ 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4 𝑞5 𝑞6 𝑞7 𝑞8] = [ −5 −5 0 −5 −10 −10 1 0 1 5 0 −5 0 0 −10 −5 1 5 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 −5 0 0 0 1 5 1 1 1 5 5 0] × [ 11 12 −8,0625 23,1875 −9,1 ] [ 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4 𝑞5 𝑞6 𝑞7 𝑞8] = [ −11,1875 −1,6875 −1,6875 18 18 −22,3125 −22,3125 23,1875 ] Nous résumons les résultats trouvés ci-haut dans un diagramme des moments :

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