Slides du cours de systèmes multivariables donné à l'EPFL, 2011

1. Modèle d’état/State-space Model
Analogique/Continuous Discret/Discrete
Non linéaire
Nonlinear
x (t) = f [x (t) , u (t) , t]
˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]
y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]
x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t)
˙
Linéaire
x (k + 1) = Φ(k)x (k) + Γ(k)u (k)
Linear
y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t) y (k) = C(k)x (k) + D(k)u (k)
time-invariant
stationnaire
Linéaire et
Linear and
x (t)
˙ = Ax (t) + Bu (t) x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k)
y (t) = Cx (t) + Du (t) y (k) = Cx (k) + Du (k)
Denis Gillet @ EPFL 1

2. 3.2 Grandeurs Nominales
u Système y
dynamique
non linéaire
et stationnaire
x
x (t) = f [x (t) , u (t) , t]
˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]
linéaire
Non
y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]
Station-
x (k + 1) = f [x (k) , u (k)] x (t) = f [x (t) , u (t)]
˙
naire
y (k) = g [x (k) , u (k)] y (t) = g [x (t) , u (t)]
Trajectoire
nominale
˙
x (t) = f [¯ (t) , u (t)]
¯ x ¯ x (k + 1) = f [¯ (k) , u (k)]
¯ x ¯
y (t) = g [¯ (t) , u (t)]
¯ x ¯ y (k) = g [¯ (k) , u (k)]
¯ x ¯

3. 3.2.3 Point de fonctionnement
Point de fonctionnement = état nominal = point d’équilibre
Si le système se trouve à son point de fonctionnement et en
l’absence de perturbation, il y reste
La trajectoire nominale n’évolue plus au cours du temps
x(t) = x;
¯ ¯ u(t) = u;
¯ ¯ y (t) = y
¯ ¯
Analogique Discret
˙ ˙
x (t) = x = 0
¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x
¯ ¯ ¯ ∀k
0 = f [¯, u]
x ¯ x = f [¯, u]
¯ x ¯
y = g [¯, u]
¯ x ¯ y = g [¯, u]
¯ x ¯
n+p équations algébriques à résoudre
r degrés de liberté

4. Linéarisation par la tangente
Analogique Discret
x (t) = f [x (t) , u (t) , t]
˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]
y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]
Forme commune des fonctions non linéaires
f [x, u]
g[x, u]
On cherche une approximation linéaire valable autour d’une
trajectoire nominale ou d’un point de fonctionnement

x(t)
¯ u(t)
¯ y (t)
¯ 
→ ¯
x ¯
u ¯
y
x(k)
¯ u(k)
¯ y (k)
¯
4

5. Linéarisation par la tangente
Exacte
Ecarts
f (x)
x=x−x
˜ ¯
y =y−y
˜ ¯
z Approchée
u=u−u
˜ ¯
˜
z
z = f (¯)
¯ x
˜
x
¯
x x
Fonction de x uniquement
d df
z=
˜ f (x)|x=¯ x =
x ˜ (¯)˜
xx
dx dx
5

6. Linéarisation par la tangente
Exacte
Ecarts
f (x)
x=x−x
˜ ¯
y =y−y
˜ ¯
z Approchée
u=u−u
˜ ¯
˜
z
z = f (¯)
¯ x
˜
x
Fonction de x et de u (n=r=1)
¯
x x
f (x, u) − f (¯, u) ∼ z − z = z =
x ¯ = ¯ ˜ ∂x f (¯, u)˜
∂
x ¯x + ∂u f (¯, u)˜
∂
x ¯u
g(x, u) − g(¯, u) ∼ y − y = y =
x ¯ = ¯ ˜ ∂x g(¯, u)˜
∂
x ¯x + ∂u g(¯, u)˜
∂
x ¯u
Analogique ˜ = ˙ ˙
¯ ˙
z (t) ∼ x(t) − x(t) = x(t)
˜
Discret z (k) ∼ x(k + 1) − x(k + 1) = x(k + 1)
˜ = ¯ ˜
6

7. Linéarisation par la tangente
∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1
z1 =
˜ ∂x1 (¯, u)˜1
x ¯x + ... + ∂xn (¯, u)˜n
x ¯x + ∂u1 (¯, u)˜1
x ¯u + ... + ∂ur (¯, u)˜r
x ¯u
.
.
.
zn = ∂fn (¯, u)˜1 + . . . + ∂xn (¯, u)˜n +
˜ ∂x1 x ¯x ∂f
n
x ¯x ∂fn
∂u1 (¯, u)˜1
x ¯u + ... + ∂fn
∂ur (¯, u)˜r
x ¯u
∂g1 ∂g1 ∂g1 ∂g1
y1 =
˜ ∂x1 (¯, u)˜1
x ¯x + ... + ∂xn (¯, u)˜n
x ¯x + ∂u1 (¯, u)˜1
x ¯u + ... + ∂ur (¯, u)˜r
x ¯u
.
.
.
∂g ∂gp ∂gp ∂gp
yp = ∂xp (¯, u)˜1 + . . . + ∂xn (¯, u)˜n +
˜ 1
x ¯x x ¯x ∂u1 (¯, u)˜1
x ¯u + ... + ∂ur (¯, u)˜r
x ¯u

˙
x(t) 
˜
∂f ∂f
=z=
˜ ∂x (¯, u)˜
x ¯x + ∂u (¯, u)˜
x ¯u

x(k + 1)
˜
∂g ∂g
y=
˜ ∂x (¯, u)˜
x ¯x + ∂u (¯, u)˜
x ¯u
7

8. Linéarisation par la tangente
 ∂f1 ∂f1 ∂f1

∂x1 (¯, u)
x ¯ ∂x2 (¯, u)
x ¯ ... ∂xn (¯, u)
x ¯
 
 
∂f  ∂f2 ∂f2 ∂f2 
(¯, u) = 
x ¯ ∂x1 (¯, u)
x ¯ ∂x2 (¯, u)
x ¯ ... ∂xn (¯, u)  = A
x ¯
∂x  . . . 
 . . . 
 . . . 
∂fn ∂fn ∂fn
∂x1 (¯, u)
x ¯ ∂x2 (¯, u)
x ¯ ... ∂xn (¯, u)
x ¯
 ∂f1 ∂f1 ∂f1

∂u1 (¯, u)
x ¯ ∂u2 (¯, u)
x ¯ ... ∂ur (¯, u)
x ¯
 
 
∂f  ∂f2 ∂f2 ∂f2 
(¯, u) = 
x ¯ ∂u1 (¯, u)
x ¯ ∂u2 (¯, u)
x ¯ ... ∂ur (¯, u)  = B
x ¯
∂u  . . . 
 . . . 
 . . . 
∂fn ∂fn ∂fn
∂u1 (¯, u)
x ¯ ∂u2 (¯, u)
x ¯ ... ∂ur (¯, u)
x ¯
8

9. Linéarisation par la tangente
 ∂g1 ∂g1 ∂g1

∂x1 (¯, u)
x ¯ ∂x2 (¯, u)
x ¯ ... ∂xn (¯, u)
x ¯
 
 
∂g  ∂g2
(¯, u)
x ¯ ∂g2
(¯, u)
x ¯ ... ∂g2
(¯, u)  = C
x ¯ 
(¯, u) = 
x ¯  ∂x1 ∂x2 ∂xn

∂x  .
. .
. .
. 
 . . . 
∂gp ∂gp ∂gp
∂x1 (¯, u)
x ¯ ∂x2 (¯, u)
x ¯ ... ∂xn (¯, u)
x ¯
 ∂g1 ∂g1 ∂g1

∂u1 (¯, u)
x ¯ ∂u2 (¯, u)
x ¯ ... ∂ur (¯, u)
x ¯
 
 
∂g  ∂g2
(¯, u)
x ¯ ∂g2
(¯, u)
x ¯ ... ∂g2
(¯, u)  = D
x ¯ 
(¯, u) = 
x ¯  ∂u1 ∂u2 ∂ur

∂u  .
. .
. .
. 
 . . . 
∂gp ∂gp ∂gp
∂u1 (¯, u)
x ¯ ∂u2 (¯, u)
x ¯ ... ∂ur (¯, u)
x ¯
9

10. Résumé linéarisation par la tangente
Analogique Discret
x (t) = f [x (t) , u (t) , t]
˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]
linéaire
Non
y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]
x(t) = x(t) − x(t)
˜ ¯ x(k) = x(k) − x(k)
˜ ¯
y (t) = y(t) − y (t)
˜ ¯ y (k) = y(k) − y (k)
˜ ¯
Trajectoire
nominale
u(t) = u(t) − u(t)
˜ ¯ u(k) = u(k) − u(k)
˜ ¯
˙
x (t) = f [¯ (t) , u (t)]
¯ x ¯ x (k + 1) = f [¯ (k) , u (k)]
¯ x ¯
y (t) = g [¯ (t) , u (t)]
¯ x ¯ y (k) = g [¯ (k) , u (k)]
¯ x ¯
fonctionnement
˙ ˙
x (t) = x = 0
¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x
¯ ¯ ¯ ∀k
Point de
0 = f [¯, u]
x ¯ x = f [¯, u]
¯ x ¯
y = g [¯, u]
¯ x ¯ y = g [¯, u]
¯ x ¯
˙ ∂f ∂f
x (t) = ∂f x (t) + ∂u
˜ ∂x ˜ u (t) x (k + 1) = ∂f x (k) +
˜ ˜ ∂x ˜ ∂u u (k)
˜
linéarisé
Modèle
x,¯
¯u x,¯
¯u x,¯
¯u x,¯
¯u
∂g ∂g ∂g ∂g
y (t) = ∂x
˜ x (t) + ∂x
˜ u (t)
˜ y (k) = ∂x
˜ x (k) + ∂x
˜ u (k)
˜
x,¯
¯u x,¯
¯u x,¯
¯u x,¯
¯u
10

11. Systèmes intrinsèquement linéaires
Analogique Discret
x (t)
˙ = Ax (t) + Bu (t) x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k)
y (t) = Cx (t) + Du (t) y (k) = Cx (k) + Du (k)
x(t) = x(t) − x(t)
˜ ¯ x(k) = x(k) − x(k)
˜ ¯
y (t) = y(t) − y (t)
˜ ¯ y (k) = y(k) − y (k)
˜ ¯
u(t) = u(t) − u(t)
˜ ¯ u(k) = u(k) − u(k)
˜ ¯
fonctionnement
˙ ˙
x (t) = x = 0
¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x
¯ ¯ ¯ ∀k
Point de
0 = A¯ + B u
x ¯ x = Φ¯ + Γ¯
¯ x u
y = C x + D¯
¯ ¯ u y = C x + D¯
¯ ¯ u
{¯, x, y } = {0, 0, 0}
u ¯ ¯
−1
x = −A−1 B u
¯ ¯ x = (I − Φ)
¯ Γ¯
u
“linéarisé”
˙
x (t)
˜ = A˜ (t) + B u (t)
˜ x (k + 1) = Φ˜ (k) + Γ˜ (k)
˜
Modèle
x x u
y (t)
˜ = C x (t) + D˜ (t)
˜ u y (k) = C x (k) + D˜ (k)
˜ ˜ u
11

12. Sustentation: Linéarisation par la tangente
Modèle physique
1 L
F (x, i) = i2
2 (1 + x)2
m¨ = mg − F (x, i)
x
1 L
x=g−
¨ i2
2m (1 + x)2
Modèle d’état
u = i, x1 = x x2 = x
˙
x1 = x = x2 = f1 (x, u)
˙ ˙
x2 = x = g −
˙ ¨ L
2m(1+x1 ) 2u
2
= f2 (x, u)
y = x1 = g1 (x, u)
12

13. Sustentation: Linéarisation par la tangente
Modèle d’état
x1 = x = x2 = f1 (x, u)
˙ ˙
x2 = x = g −
˙ ¨ L
2m(1+x1 ) 2u
2
= f2 (x, u)
y = x1 = g1 (x, u)
Point de fonctionnement y = yo
¯
0 = x2
¯
0=g− L
2m(1+¯1 )
x ¯2
2u
y = x1 = yo
¯ ¯
2mg
u=
¯ (1 + yo )
L
13

14. Sustentation: Linéarisation par la tangente
Modèle d’état non linéaire
x1 = x = x2 = f1 (x, u)
˙ ˙
x2 = x = g −
˙ ¨ L
2m(1+x1 ) 2u
2
= f2 (x, u)
y = x1 = g1 (x, u)
Modèle linéarisé y = yo
¯
 
∂f1 ∂f1
∂x1 (¯, u)
x ¯ ∂x2 (¯, u)
x ¯ ∂f1
˙ ∂u (¯, u)
x ¯
x=
˜ x +
˜ ˜
u
∂f2 ∂f2 ∂f2
∂x1 (¯, u)
x ¯ ∂x2 (¯, u)
x ¯ ∂u (¯, u)
x ¯
∂g1 ∂g1 ∂g1
y=
˜ ∂x1 (¯, u)
x ¯ ∂x2 (¯, u)
x ¯ x+
˜
∂u
(¯, u) u
x ¯ ˜
14

15. Sustentation: Linéarisation par la tangente
Modèle d’état non linéaire
x1 = x = x2 = f1 (x, u)
˙ ˙
x2 = x = g −
˙ ¨ L
2m(1+x1 ) 2u
2
= f2 (x, u)
y = x1 = g1 (x, u)
Modèle linéarisé y = yo
¯
0 1 0
˙
x=
˜ L¯2 x+
˜ L¯
u ˜
u
u
m(1+¯1 )3
x
0 m(1+¯1 )2
x
y=
˜ 1 0 ˜
x
15

16. Cuve de mélange: Modèle d’état
u1 = q1 u2 = q2
c1 c2
1
y1 = h = x1 x1 = V
S
y2 = x2 = c
x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t)
˙ S
x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)}
˙ (t)
y1 (t) = S x1 (t)
1
y (t) = x (t)
2 2 16

17. Cuve de mélange: Point de fonctionnement
u1 = q1 u2 = q2
c1 c2
1
y1 = h = x1 x1 = V
S
y2 = x2 = c
x1 (t)
x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K
˙ y1 (t) = S x1 (t)
1
S
y (t) = x (t)
x2 (t) =
˙ {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)}
1
x1 (t)
2 2
0 = u1 + u2 − K x1
¯ ¯ ¯
y1 = S x1
¯ 1
¯
S
y =x
¯2 ¯2
0= 1
x1
¯ {[c1 − x2 ] u1 + [c2 − x2 ] u2 }
¯ ¯ ¯ ¯
17

18. Cuve de mélange: Modèle d’état linéarisé
u1 = q1 u2 = q2
c1 c2
1
y1 = h = x1 x1 = V
S
y2 = x2 = c
˙
˜
x1 1 K x1
¯
0 ˜
x1 1 1 ˜
u1
˙ =− 2 S + (c1 −¯2 ) (c2 −¯2 )
˜
x2 ¯
x1 0 u1 + u2
¯ ¯ ˜
x2 x1
¯
x
x1
¯
x
˜
u2
2 3 2 3
a 0 4
1 1 5
4 5
0 b p q
˜
y1 1
0 ˜
x1
= S
˜
y2 0 1 ˜
x2 18

19. Résumé linéarisation par la tangente
u Modèle d’état non linéaire y
et stationnaire
f [x, u]
g [x, u]
x
u ˜
u Modèle d’état ˜
y y
linéarisé
A˜ + B u
x ˜
− C x + D˜
˜ u +
¯
u ¯
y
19

20. Linéarisation par contre-réaction
u(t)
Système y(t)
MIMO
x(t)
u(t)
Système
w(t) Modèle inverse y(t)
MIMO
Globale
Prix à payer: Besoin de l’état
Pas toujours possible !

21. Sustentation: Modèle inverse
Modèle physique
1 L
F (x, i) = i2
2 (1 + x)2
m¨ = mg − F (x, i)
x
1 L
x=g−
¨ i2
2m (1 + x)2
Modèle d’état
u = i, x1 = x x2 = x
˙
x1 = x = x2 = f1 (x, u)
˙ ˙
x2 = x = g −
˙ ¨ L
2m(1+x1 ) 2u
2
= f2 (x, u)
y = x1 = g1 (x, u)
21

22. Sustentation: Modèle inverse
Modèle d’état
x1 = x = y
x1 = x = x2
˙ ˙
x2 = x = y = g −
˙ ¨ ¨ L
2m(1+x1 )2 u
2
y = x1
Modèle inverse
y = x1
y = x1 = x2
˙ ˙
y = x2 = g −
¨ ˙ 1 L
2m (1+x1 ) 2u
2
≡w
2m(g − w)
u= (1 + x1 )
L
22

23. Sustentation: Modèle inverse
u(t)
Système y(t)
MIMO
x(t)
w(t) u(t) y(t)
2m(g − w) 1 L
u= (1 + x1 ) y=g−
¨ u2
L 2m (1 + x)2
double intégrateur
y=w
¨ w(t) 1 y(t)
s2
23

24. 3.5 Découplage non linéaire
u(t)
Système y(t)
MIMO
3.4 Linéarisation par x(t)
contre-réaction
u(t)
w(t)
Découpleur Système y(t)
Modèle inverse MIMO
Si le modèle inverse Intégrateurs
existe
w1 (t) Sous-système 1 y1 (t)
.
. r=p
.
wp (t) Sous-système r yp (t)
24

25. Cuve de mélange: Modèle inverse
u1 = q1 u2 = q2
c1 c2
1
y1 = h = x1 x1 = V
S
y2 = x2 = c
x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) y1 (t) = S x1 (t)
˙
1
S
y (t) = x (t)
x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)}
˙ (t)
2 2
y1 (t) = 1 x1 (t) = 1 u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) ≡ w1 (t)
˙ S ˙ S S
y2 (t) = x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ≡ w2 (t)
˙ ˙ (t)
25

26. Cuve de mélange: Modèle inverse
u1 = q1 u2 = q2
c1 c2
1
y1 = h = x1 x1 = V
S
y2 = x2 = c
y1 (t) =
˙ u1 (t) + u2 (t) − K x1S
(t)
S x1 (t)
˙ = ≡ w1 (t)
1 1
S
y2 (t) = x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ≡ w2 (t)
˙ ˙ (t)
u1 (t) = c2 −c1 [c2 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S
1 (t)
− w2 (t)x1 (t)
u2 (t) = 1
w2 (t)x1 (t) − [c1 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S
(t)
c2 −c1 26

27. Cuve de mélange: Modèle inverse
u(t)
Système y(t)
MIMO
x(t)
x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t)
˙
w(t) u(t)
S
y(t)
u1 (t) = 1
[c2 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S
(t)
− w2 (t)x1 (t) x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)}
˙ (t)
c2 −c1
u (t) = 1
w2 (t)x1 (t) − [c1 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S
(t)
2 c2 −c1 y1 (t) = S x1 (t)
1
y (t) = x (t)
2 2
Intégrateurs
w1 (t) 1/ y1 (t)
s
w2 (t) 1/ y2 (t)
s
27

28. Implantation discrète
Intégrateurs
w1 (t) 1/ y1 (t)
s
w2 (t) 1/ y2 (t)
s
yi (t) = wi (t)
˙ Φ = eAh = e0 = 1
h Aη h
xi (t) = yi (t) Γ = 0 e dηB = 0 dηB = h
xi (t) = 0xi (t) + 1wi (t)
˙ xi (k + 1) = xi (k) + hw(k) 28