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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Gabes
Département de Génie Civil
Dynamique des Structures
BEL HADJ ALI N.
Section : GCV3
Date : 05 janvier 2016
Devoir de Synthèse
Durée : 2h00 – Les documents ne sont pas autorisés
Exercice 1:
Considérons le portique à deux étages de la figure ci-dessous.
Données : H = 4 m ; E = 210 000 MPa ; I = 17 100 cm4
; m1 = 7000 kg ; m2 = m3 = 5000 kg ;
1. Déterminer une estimation de la pulsation fondamentale de la structure en utilisant le Quotient de Rayleigh;
2. Un calcul exacte des pulsations propres et des modes de vibration donne les valeurs ci-dessous:
1
2
28.18
65.52
rad s
ω
ω
ω
=
 
=  
=
 
;
1
1
1.416
Mode
 
=  
 
;
0.59
2
1
Mode
−
 
=  
 
Le portique est soumis à une forces d’excitation F2(t) qui s'applique au niveau du plancher haut du premier
étage. On supposera pour cette partie que l’amortissement est négligeable et que la structure était au repos à
l'instant 0
t s
= .
Déterminer dans ce cas l'expression de la réponse de la structure sous l’effet de la force d’excitation.
Exercice 2:
On se propose d'étudier la réponse dynamique d'une cheminée d'usine construite en maçonnerie. La cheminée est
sujette à une charge de vent q(t) supposée uniformément répartie sur la hauteur de la cheminée.
On considère les données suivantes :
La hauteur de la cheminée : H = 18 m;
ENIG
m3
m1
EI
EI
EI EI
m2
H
H
EI
F0
F2(t)
F0= 50 kN
t
t0
t0= 1 s
page 2
La masse par unité de hauteur : 700
m kg m
= ;
La rigidité flexionnelle de la cheminée : EI = 1600 MN.m² ;
Nous supposons aussi que la charge du vent a la forme
suivante :
( ) ( )
0 sin
q t q t
ω
=
avec : 0 50 ; 15
q kN rad s
ω
= =
Déterminer l'expression de la réponse de la structure à la charge dynamique due au vent en considérant des conditions
initiales nulles.
Exercice 3:
Cet exercice porte sur la détermination des sollicitations provoquées par un séisme de composante horizontale agissant
dans le plan d'un portique. La structure étudiée est un portique simple à deux niveaux. Le séisme est décrit par un
spectre de pseudo-accélération dans le plan {période propre T, accélération Se} assorti des équations correspondantes
(Figure ci-dessous).
Nous considérons les propriétés suivantes pour la structure étudiée :
6000 0
0 7000
kg
 
=  
 
M ;
5 5
5 5
5 10 210
210 210
N m
 
−
=  
−
 
K
Les pulsations propres et les vecteurs des modes propres de la structure sont donnés par :
1
2
3.83
9.86
rad s
ω
ω
ω
=
 
=  
=
 
;
1
1
2.06
Mode
 
=  
 
;
2.40
2
1
Mode
−
 
=  
 
En considérant uniquement le premier mode de vibration de la structure, Déterminer le déplacement maximal au
niveau de chaque traverse correspondant à la réponse de la structure au séisme considéré.
Bon Courage
Barème : Exercice 1 : (3pts) + (7pts); Exercice 2 : (6pts); Exercice 3: (4pts)
H
q(t)
m2
m1
k2
k2
k1
k1
x1(t)
x2(t)
T
TB
1 m/s2
TC TD
2.5 m/s2
Se
( )
( )
( )
( )
0 1 1.5
2.5
2.5
4 2.5
B
C
C D
T
B e T
B C e
T
C D e T
T T
D e T
T T S T
T T T S T
T T T S T
T T s S T
≤ ≤ = +
≤ ≤ =
≤ ≤ =
≤ ≤ =
0.15 ; 0.40 ; 2.00
B C D
T s T s T s
= = =
page 3
Annexes :
 Réponse d'un système en oscillations libres non amorties :
   
0
0
( ) sin cos
n n
n
V
x t t x t
 

 
2
0 0
2
0
0
( ) cos n
n n
V V
x t x t arctg
x

 
    
 
 
  
 
 
 
 
 
   
 
 
 Réponse d'un système en oscillations libres amorties :
   
0 0
0
( ) cos sin
t V x
x t e x t t
 
 

 
 
 
 
 
 
2
0 0
2
0
( ) cos( )
t
V x
x t x e t


 



  
 Réponse d'un système en oscillations forcées harmoniques :
0
2 2 2
2
2 2 2
( ) ( ) ( )
cos( ) sin( )
(1 ) 4
h p
t
n n n
x t x t x t
F
k
D e t t b

  
  
  

 
    
  
2 2
2
n
b arctg

 
 

 
  
 
 
 
 Réponse d'un système en oscillations forcées avec force quelconque :
Intégrale de Duhamel pour un système non amorti:
 
0
1
( ) ( )sin ( )
t
n
n
x t F t d
m
   

 

Intégrale de Duhamel pour un système amorti:
 
( )
0
1
( ) ( ) sin ( )
t
t
x t F e t d
m
 
   

 
 

Formule d'intégration par parties :
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  • 1. page 1 Ecole Nationale d’Ingénieurs de Gabes Département de Génie Civil Dynamique des Structures BEL HADJ ALI N. Section : GCV3 Date : 05 janvier 2016 Devoir de Synthèse Durée : 2h00 – Les documents ne sont pas autorisés Exercice 1: Considérons le portique à deux étages de la figure ci-dessous. Données : H = 4 m ; E = 210 000 MPa ; I = 17 100 cm4 ; m1 = 7000 kg ; m2 = m3 = 5000 kg ; 1. Déterminer une estimation de la pulsation fondamentale de la structure en utilisant le Quotient de Rayleigh; 2. Un calcul exacte des pulsations propres et des modes de vibration donne les valeurs ci-dessous: 1 2 28.18 65.52 rad s ω ω ω =   =   =   ; 1 1 1.416 Mode   =     ; 0.59 2 1 Mode −   =     Le portique est soumis à une forces d’excitation F2(t) qui s'applique au niveau du plancher haut du premier étage. On supposera pour cette partie que l’amortissement est négligeable et que la structure était au repos à l'instant 0 t s = . Déterminer dans ce cas l'expression de la réponse de la structure sous l’effet de la force d’excitation. Exercice 2: On se propose d'étudier la réponse dynamique d'une cheminée d'usine construite en maçonnerie. La cheminée est sujette à une charge de vent q(t) supposée uniformément répartie sur la hauteur de la cheminée. On considère les données suivantes : La hauteur de la cheminée : H = 18 m; ENIG m3 m1 EI EI EI EI m2 H H EI F0 F2(t) F0= 50 kN t t0 t0= 1 s
  • 2. page 2 La masse par unité de hauteur : 700 m kg m = ; La rigidité flexionnelle de la cheminée : EI = 1600 MN.m² ; Nous supposons aussi que la charge du vent a la forme suivante : ( ) ( ) 0 sin q t q t ω = avec : 0 50 ; 15 q kN rad s ω = = Déterminer l'expression de la réponse de la structure à la charge dynamique due au vent en considérant des conditions initiales nulles. Exercice 3: Cet exercice porte sur la détermination des sollicitations provoquées par un séisme de composante horizontale agissant dans le plan d'un portique. La structure étudiée est un portique simple à deux niveaux. Le séisme est décrit par un spectre de pseudo-accélération dans le plan {période propre T, accélération Se} assorti des équations correspondantes (Figure ci-dessous). Nous considérons les propriétés suivantes pour la structure étudiée : 6000 0 0 7000 kg   =     M ; 5 5 5 5 5 10 210 210 210 N m   − =   −   K Les pulsations propres et les vecteurs des modes propres de la structure sont donnés par : 1 2 3.83 9.86 rad s ω ω ω =   =   =   ; 1 1 2.06 Mode   =     ; 2.40 2 1 Mode −   =     En considérant uniquement le premier mode de vibration de la structure, Déterminer le déplacement maximal au niveau de chaque traverse correspondant à la réponse de la structure au séisme considéré. Bon Courage Barème : Exercice 1 : (3pts) + (7pts); Exercice 2 : (6pts); Exercice 3: (4pts) H q(t) m2 m1 k2 k2 k1 k1 x1(t) x2(t) T TB 1 m/s2 TC TD 2.5 m/s2 Se ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1.5 2.5 2.5 4 2.5 B C C D T B e T B C e T C D e T T T D e T T T S T T T T S T T T T S T T T s S T ≤ ≤ = + ≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤ = 0.15 ; 0.40 ; 2.00 B C D T s T s T s = = =
  • 3. page 3 Annexes :  Réponse d'un système en oscillations libres non amorties :     0 0 ( ) sin cos n n n V x t t x t      2 0 0 2 0 0 ( ) cos n n n V V x t x t arctg x                                   Réponse d'un système en oscillations libres amorties :     0 0 0 ( ) cos sin t V x x t e x t t                  2 0 0 2 0 ( ) cos( ) t V x x t x e t            Réponse d'un système en oscillations forcées harmoniques : 0 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) (1 ) 4 h p t n n n x t x t x t F k D e t t b                      2 2 2 n b arctg                   Réponse d'un système en oscillations forcées avec force quelconque : Intégrale de Duhamel pour un système non amorti:   0 1 ( ) ( )sin ( ) t n n x t F t d m         Intégrale de Duhamel pour un système amorti:   ( ) 0 1 ( ) ( ) sin ( ) t t x t F e t d m             Formule d'intégration par parties :