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intégrale triple

Kum Visal
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intégrale triple

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Elaboré par M. NUTH Sothan
I- Notion de l’intégrale triple:
Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté
au repère cartésien OXYZ .
Soit f(x, y, z) une fonction bornée et définie dans V.
Divisons V par ∆V1, ∆V2, ... , ∆Vn, .
Prenons Mi (xi , yi , zi ) ∈ ∆Vi , (i=1, 2, ... , n ).
La somme :
où ∆Vi est le volume du i-ème parallélépipède, s’appelle
somme de Riemann tridimensionnelle .
1
( , , ) , (1)
n
n i i i i
i
S f x y z V

 
I- Notion de l’intégrale triple
(suite)
Soit di le diamètre de ∆Vi .
Soit
Alors, l’intégrale triple, étendue au domaine V, de la
fonction f(x, y, z) :
Dans les coordonnées rectangles OXYZ, on peut prend
∆Vi comme ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk .
0
1
( , , ) lim ( , , ) (2)
n
i i i i
d
iV
f x y z dV f x y z V


 
max i
i
d d
I- Notion de l’intégrale triple
(suite)
On a ainsi :
dV = dx dy dz (3)
D’après (3), l’intégrale triple s’écrit sous forme :
Supp. : V={(x, y, z), (x, y) ∈ S, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}
On a :
( , , ) ( , , ) (4)
V V
f x y z dV f x y z dxdydz 
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , ) (5)
z x y
V S z x y
f x y z dxdydz dxdy f x y z dz  
I- Notion de l’intégrale triple
(suite)
Soit S={(x, y), a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} un
domaine standard par rapport à l’axe OY.
On a :
Analogiquement, si le domaine est standard par rapport
à l’axe OX : S={(x, y), c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}
on a :
2 2
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( ) ( , )
( ) ( , )
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y x z x yb
V a y x z x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz   
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( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) (7)
x y z x yd
V c x y z x y
f x y z dxdydz dy dx f x y z dz   
II- Changement des variables
dans l’intégrale triple:
1. Coordonnées cylindrique :
Pour passer aux coordonnées cylindriques on pose :
x = r cos φ , y = r sin φ , z = z (1)
où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2π , − < z < +.
On a :
où r est un jacobien J de coordonnées cylindriques.
2
1
( , )2
0 0 ( , )
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f x y z dxdydz d rdr f r r z dz
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  • 1. Elaboré par M. NUTH Sothan
  • 2. I- Notion de l’intégrale triple: Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté au repère cartésien OXYZ . Soit f(x, y, z) une fonction bornée et définie dans V. Divisons V par ∆V1, ∆V2, ... , ∆Vn, . Prenons Mi (xi , yi , zi ) ∈ ∆Vi , (i=1, 2, ... , n ). La somme : où ∆Vi est le volume du i-ème parallélépipède, s’appelle somme de Riemann tridimensionnelle . 1 ( , , ) , (1) n n i i i i i S f x y z V   
  • 3. I- Notion de l’intégrale triple (suite) Soit di le diamètre de ∆Vi . Soit Alors, l’intégrale triple, étendue au domaine V, de la fonction f(x, y, z) : Dans les coordonnées rectangles OXYZ, on peut prend ∆Vi comme ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk . 0 1 ( , , ) lim ( , , ) (2) n i i i i d iV f x y z dV f x y z V     max i i d d
  • 4. I- Notion de l’intégrale triple (suite) On a ainsi : dV = dx dy dz (3) D’après (3), l’intégrale triple s’écrit sous forme : Supp. : V={(x, y, z), (x, y) ∈ S, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)} On a : ( , , ) ( , , ) (4) V V f x y z dV f x y z dxdydz  2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) (5) z x y V S z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dz  
  • 5. I- Notion de l’intégrale triple (suite) Soit S={(x, y), a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} un domaine standard par rapport à l’axe OY. On a : Analogiquement, si le domaine est standard par rapport à l’axe OX : S={(x, y), c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)} on a : 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) (6) y x z x yb V a y x z x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz    2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) (7) x y z x yd V c x y z x y f x y z dxdydz dy dx f x y z dz   
  • 6. II- Changement des variables dans l’intégrale triple: 1. Coordonnées cylindrique : Pour passer aux coordonnées cylindriques on pose : x = r cos φ , y = r sin φ , z = z (1) où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2π , − < z < +. On a : où r est un jacobien J de coordonnées cylindriques. 2 1 ( , )2 0 0 ( , ) ( , , ) ( cos , sin , ) (2) z x y V z x y f x y z dxdydz d rdr f r r z dz         
  • 7. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): En effet : cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 cos sin (3) sin cos x x x r z r y y y j r r z z z z r z r r r                                     y x z φ o r M(x,y, z) z N(x,y)
  • 8. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): 2. Coordonnée sphérique : Pour passer aux coordonnées sphérique on pose : x = r sinθ cosφ , y = r sinθ sinφ , (4) z = r cosθ , où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π. y x z φ o r M(x,y, z) z θ N(x,y)
  • 9. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): On a : Où : sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin 0 x x x r r r y y y j r r r r z z z r                                            ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ) (5) V V f x y z dxdydz f r r r J d d dr          
  • 10. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): Et : En fin : J= r2 sinθ (6) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos (sin cos cos cos sin sin ) sin (sin cos sin sin ) cos sin sin sin (cos sin ) sin r r r r r r r r r r r r r                                                     
  • 11. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): On peut poser aussi : x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , (7) z = r sinθ où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2. On a : J= r2 cosθ (8) y x z φ o r M(x,y, z) z θ N(x,y)
  • 12. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): 3. En général : On peut passer aux coordonnées (u, v, w) : x = x(u, v, w) , y = y(u, v, w) , z = z(u, v, w) (9) Le jacobien 0 (10) x x x u v w y y y j u v w z z z u v w                    
  • 13. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): Et l’intégrale triple s’écrit sous forme : ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) (11) V V f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J dudvdw    
  • 14. III- Application géométrique: Calculer le volume d’un corps limité par le domaine V. Ex.1 : Calculer le volume d’un sphère de centre d’origine de coordonnées et de rayon R. V V dV  x y z o M(x, y, z) φ θ r N(x, y)
  • 15. Exemple: Une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R définie sous forme V: x2 + y2 + z2 = R2 . En passant aux coordonnées sphériques, on pose : x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθ où 0 ≤ r < R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2. V: r = R et J= r2 cosθ . 2 32 2 32 20 0 2 4 cos 2 sin 3 3 R V R V dV d d r dr R                    
  • 16. Exemple: Ex.2 : Calculer l’intégrale où V est une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R. En passant aux coordonnées sphériques, on pose : x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθ où 0 ≤ r ≤ R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2. V: r = R et J= r2 cosθ . 2 2 2 4 0 0 2 cos R I d d rr dr R             2 2 2 V I x y z dxdydz  
  • 17. Exemple: Calculer le volume limité par les surface suivantes : Ex.3 : Ex.4 : Ex.5 : Ex.6 : Ex.7 : Ex.8 : 2 2 2 2 2 , 2 , 0x y ax x y az z     2 2 2 2 2 2 2 ,x y z a x y z     2 2 2 2 2 4, 3x y z x y z     2 2 2 2 2 2 ,x y ax x y z a    22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 0 x y z x y z a b c a b c      