Le document décrit le fonctionnement d'une serrure de sécurité, qui s'ouvre avec au moins deux des trois clés. Il explique également des concepts liés à l'algèbre de Boole, y compris la définition de fonctions logiques, les tables de vérité et les formes canoniques. Des exemples pratiques illustrent comment modéliser ces fonctions et traiter les cas impossibles.

1. 1
Exemple
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois
clés.
Le fonctionnement de la serrure est définie comme
suite:
– La serrure est ouverte si au moins deux
clés sont utilisées.
– La serrure reste fermée dans les autres cas
‫اللقل‬ ‫على‬ ‫ع أ‬‫ع‬ ‫م‬ ‫بمفتاحين‬ ‫يفتح‬ ،‫مفاتيح‬ ‫ةثلةثة‬ ‫ذو‬ ‫لقفل‬

2. 2
Algèbre de Boole
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com
Module: Structure Machine
1ère
MI S2

3. Fonctions logiques
‫المنطقية‬ ‫الدوال‬

4. 4
Étude d’une fonction logique
‫منطقية‬ ‫دالة‬ ‫دراسة‬

5. 5
Tableau de Karnaugh
Solution de l'exercice 5 de l'examen
00 01 11 10
00 1 1
01 1
11 1 1
10 1 1 1 1
CD
AB

6. 00 01 11 10
00 1 1
01 1
11 1 1
10 1 1 1 1
CD
AB
AB' + C'D + AD + B'C'

7. 7
Étude d’une fonction logique
• Définition textuelle d’une fonction logique
• Les entrées et les sorties
• Table de vérité
• Formes algébriques
• Simplification:
– Algébrique
– Table de Karnaugh
• Logigramme
‫منطقية‬ ‫دالة‬ ‫دراسة‬
-،‫تعريف‬
-‫والمخارج‬ ‫المداخل‬
-،‫الحقيقة‬ ‫جدول‬
-،‫جبري‬ ‫شكل‬
-،‫تبسيط‬
-‫المخطط‬ ‫رسم‬

8. 8
Définition textuelle d’une fonction
• Généralement la définition du fonctionnement d’un
système est donnée sous un format textuelle .
• Pour faire l’étude et la réalisation d’un tel système on
doit avoir son modèle mathématique (fonction logique).
• Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de
la description textuelle.
‫صي‬‫ص‬ ‫ن‬ ‫بوصف‬ ‫النظام‬ ‫عمل‬ ‫تعريف‬ ‫تعطى‬ ‫عادة‬
•‫منطقية‬ ‫دالة‬ ‫رياضي‬ ‫نموذج‬ ‫وضع‬ ‫علينا‬ ‫النظام‬ ‫هذا‬ ‫لدراسة‬( )
•‫صي‬‫ص‬ ‫الن‬ ‫الوصف‬ ‫من‬ ‫يتستنتج‬‫ي‬

9. 9
Exemple

10. 10
Les entrées/sorties
●
Trois entrées :
●
chaque entrée représente une clé.
●
Une seule sortie :
●
l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).

11. 11
Les entrées/sorties
●
Trois entrées :
– Clé A : utilisé 1 non utilisé 0
– Clé B : utilisé 1 non utilisé 0
– Clé C : utilisé 1 non utilisé 0
●
Une seule sortie :
●
l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).
S : Ouverte 1 Fermé 0

12. 12
Fonction logique
S=F(A,B,C)
F(A,B,C)= 1 si au mois deux clés sont introduites
F(A,B,C)=0 si non .
Circuit
A
S=F(A,B,C)
B
C

13. 13
2. Table de vérité ( Exemple )
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A+B+C : max terme
A+B+C : max terme
A+B+C : max terme
A. B . C : min terme
A+B+C : max terme
A .B. C : min terme
A . B .C : min terme
A . B . C : min terme

14. 14
Formes canoniques
●
La 1ère forme : forme disjonctive
●
La 2ème forme : conjonctive

15. 15
Formes numériques
• Il existe une autre représentation des formes canoniques
d’une fonction , cette représentation est appelée forme
numérique.
• R : pour indiquer la forme disjonctive
• P : pour indiquer la forme conjonctive.
R( 2,4,6)=∑(2,4,6)=R( 010,100,110)=ABC+ ABC+ABC
P(0,1,3,5,7)=∏(0,1,3,5,7)=P(000,001,011,101,111 )
=(A+B+C)(A+B+C)(A +B+C)(A+B+C) (A+B+C)

16. 16
Formes numériques R
• R : pour indiquer la forme disjonctive
• R(2, 4, 6) =
= ∑(2,4,6)
– = R(010, 100, 110)
– = A'BC' +AB'C' + ABC'

17. Formes numériques P
• P : pour indiquer la forme conjonctive.
• P(0,1,3,5,7)
– = ∏(0,1,3,5,7)
– = P(000,001,011,101,111)
– = (A+B+C)(A+B+C')(A+B'+C')(A'+B+C')
(A'+B'+C')

18. Exercice
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Donner les formes canoniques numériques

19. Exercice
A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
Donner les formes canoniques numériques
∑(3,5,6,7)
R(3,5,6,7)
∏(0,1٫2٫4)
P(0,1,2,4)

20. 20
Fonction non totalement définie
‫ناقص‬ ‫تعريفها‬ ‫دالة‬

21. 21
Exemple
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés A, B, C
Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
S(A,B,C)= 1 si au moins deux clés sont utilisées
S(A,B,C)= 0 sinon
Les clés A et C ne peuvent pas être utilisées en même temps.
‫مفاتيح‬ ‫بثلةثة‬ ‫قفل‬A,B,C،‫القل‬ ‫على‬ ‫معا‬ ‫بمفتاحين‬ ‫يفتح‬ ،
‫المفتاحان‬A‫, و‬C‫عا‬‫ع‬ ‫م‬ ‫استعمالهما‬ ‫يمكن‬ ‫ل‬

22. Remarque
On remarque que si la clé A et C sont utilisées en même temps
l’état du système n’est pas déterminé.
Ces cas sont appelés cas impossibles ou interdites  comment
représenter ces cas dans la table de vérité ?.
‫ل‬‫المفتاحين‬ ‫استعمال‬ ‫يمكن‬A‫و‬C‫واحد‬ ‫ولقت‬ ‫في‬
‫جدول‬ ‫في‬ ‫نمثلها‬ ‫كيف‬ ،‫ممنوعة‬ ‫أو‬ ‫متستحيلة‬ ‫حال ت‬ ‫تتسمى‬ ‫الحال ت‬ ‫هذه‬
‫الحقيقة‬

23. Table de vérité
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 X
1 1 0 1
1 1 1 X
Les cas interdits notés par x

24. TV = Karnaugh
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 X
1 1 0 1
1 1 1 X
00 01 11 10
0 1
1 X X 1
BC
A

25. Tableau de Karnaugh
00 01 11 10
0 1
1 1 X X 1
BC
A
F(A, B, C) = AB + BC

26. 26
Exercice
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de quatre clés A, B, C,
D
Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
S(A,B,C, D)= 1 si au moins deux clés sont utilisées
S(A,B,C, D)= 0 sinon
Les clés A et D ne peuvent pas être utilisées en même temps.
‫مفاتيح‬ ‫بأربعة‬ ‫قفل‬A,B,C,D،‫القل‬ ‫على‬ ‫معا‬ ‫بمفتاحين‬ ‫يفتح‬ ،
‫المفتاحان‬A‫, و‬D‫عا‬‫ع‬ ‫م‬ ‫استعمالهما‬ ‫يمكن‬ ‫ل‬

27. 27
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 X
1 0 1 0 1
1 0 1 1 X
1 1 0 0 1
1 1 0 1 X
1 1 1 0 1
1 1 1 1 X
•Pour les cas impossibles ou interdites
il faut mettre un X dans la T.V .
•Les cas impossibles sont représentées
aussi par des X dans la table de karnaugh
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
CD
AB

28. 28
• Il est possible d’utiliser les X dans des regroupements :
– Soit les prendre comme étant des 1
– Ou les prendre comme étant des 0
• Il ne faut pas former des regroupement qui contient uniquement des X
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
CD
AB
CD

29. 29
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
AB
CD
CD+ AB

30. 30
AB + CD + BD
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
AB
CD

31. 31
ACBDCDAB 
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
AB
CD

32. 32
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 x x 1
10 0 x x 1
BCACBDCDAB 
AB
CD

33. 33
Exercice 1
Trouver la fonction logique simplifiée à partir de la table
suivante ?
00 01 11 10
00 1 X
01 1 X 1
11 1 X 1
10 X 1 X
CD
Ab

34. 34