Ce document traite des formes quadratiques et des notions associées, telles que les formes polaires, la représentation matricielle, et les propriétés d'équivalence des formes quadratiques. Il aborde également des concepts de base orthogonale, de dimension, de rang, et de signature, tout en présentant des théorèmes sur la diagonalisation des formes quadratiques. Enfin, il classifie les formes quadratiques selon leurs propriétés positives et négatives.

1. C H A P I T R E 2
F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S
1. Définitions et exemples
DEFINITION 13 : FORME QUADRATIQUE
Soit b une forme bilinéaire sur E.
L’application et appelée forme quadratique associée.
Remarque :
l’ensemble des formes quadratiques sur E est un espace vectoriel sur
Remarque :
La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée.
est linéaire.
Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées.
PROPOSITION 13 :
Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique. On
l’appelle a forme polaire et on la note .
d’où Q(E)= dim
est un isomorphisme (car inj et de même dimension)
Pour calculer la partie symétrique de b
PROPOSITION 14 : FORME DE POLARISATION
Soit q une forme quadratique de forme polaire . Alors est donnée par .
PREUVE:
 Il faut montrer que est bilinéaire symétrique
 q lui est associée.

2. FORMES QUADRATIQUES
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Exemples :
1) f,g forme linéaires sur E
q : est forme quadratique
est bilinéaire
2)
est bilinéaire symétrique
b est la forme polaire de q
est quadratique
3) forme quadratique
elles sont linéaires
C’est bien une forme quadratique de forme polaire
n’est pas quadratique
4)
( )
( )
5)
forme quadratique
DEFINITION 14 : ESPACE QUADRATIQUE
On appelle un espace quadratique la donnée d’un espace vectoriel et d’une forme quadratique.

3. FORMES QUADRATIQUES
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2. Représentation d’une forme quadratique dans une base.
E dim finie, muni d’une base
DEFINITION 14 : REPRESENTATION MATRICIELLE
On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire
PROPOSITION 15 :
Soit q forme quadratique représentée par A dans B. Soit B’ une autre base et A’ la matrice de q dans
B’ et P la matrice de passage de B à B’.
Alors et
DEFINITION 15 : REPRESENTATION POLYNOMIALE
∑
homogène de degré d.
ex :
P Homogène de degré 2. ∑ ∑
On lui associe la matrice
( ) ( ) matrice sym
{
Réciproquement à une matrice symétrique m lui associe un polynôme homogène de degré 2.
Rmq :
On dit que P représente la forme quadratique q dans la base.

4. FORMES QUADRATIQUES
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3. Equivalence de formes quadratiques
DEFINITION 16 : MORPHISME
et espaces quadratiques :
Un morphisme d’espaces quadratiques :
Et
 Un morphisme injectif est une isometrie
 Un morphisme bijectif est un isomorphisme
Morphisme : diagramme commutatif
E u F
q q’
K
Remarque : Les isomorphismes d’espaces quadratiques donnent une relation d’équivalence sur
l’ensemble des formes quadratiques , si et ) sont isomorphes alors que q est équivalente
à q’ et on le note
et
on a est un isomorphisme
d’espace quadratique
PROPOSITION 16 :
et espaces quadratiques. , formes polaires associées à alors les assertions
suivantes sont équivalentes :
1)
2)
PREUVE:
linéaire bijection tel que
donc ( ) donc
tel que
On considère l’application
( )
 C’est une forme bilinéaire
 Elle est symétrique
 Sa forme quadratique associée est ( )
Donc il s’agit de (par unicité de sa forme polaire)

5. FORMES QUADRATIQUES
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CORROLAIRE 17 :
q,q’ 2 formes quadratiques sur des espaces de dimensions finies sont équivalentes :
1)
2) Leurs matrices associées sont congruentes
3) Dans les bonnes bases elle ont la même matrice et même polynôme
4. Domaine, dimension, rang, noyau
E dim finie
q forme quadratique, b forme polaire
DEFINITION 17 : DOMAINE
est représenté par q si tel que .
On appelle domaine de q l’ensemble { } { }
On dit que q est universelle si
Exemple :
1) est universelle ,
2) Toute forme quadratique non nulle sur est universelle. Soit tel que .
Soit . Soit
et il existe tel que
donc
3) q forme quadratique sur qui n’est pas négative ni positive alors elle est universelle
PROPOSITION 18 :
Si alors
E u F
q q’
K
Si , , donc
Si , , donc
DEFINITION 18 : DIMENSION
La dimension de q est la dimension de l’espace E.
DEFINITION 19 : DIMENSION
Le noyau de q est l’ensemble.
{ }

6. FORMES QUADRATIQUES
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PROPOSITION 19 :
Pour tout le noyau de q est le noyau de .
Le rang de q, noté est
Exemple :
( )
( )
Remarque : Si alors
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE
On dit que q est régulière (ou non dégénérée)
Si { }. Sinon on dit qu’elle est dégénérée.
Ex :
si
En particulier , ( )
( ) ( ) ( )
donc q est régulière.
5. Cône isotrope et conique projective
DEFINITION 21 : ISOTROPE
est isotrope si
S’il existe un vecteur isotrope non nul, on dit que q est isotrope.
Exemple :
les vecteurs isotropes sont les éléments de { } { }
Remarque : Si X est isotrope alors tous les , sont isotropes.
DEFINITION 22 : LE CONE ISOTROPE
Le cône isotrope est l’ensemble { }
Remarque : alors donc d’où
Exemple :
( ) { } par contre ( )
Remarque : Co(q) n’est pas en général un sous-espace vectoriel de E

7. FORMES QUADRATIQUES
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DEFINITION 23 : LA CONIQUE PROJECTIVE
L’ensemble des droites vectorielles de Co(q) est appelé la conique projective
:ensemble des droites vectorielles de E ss-e.v. de dim⁡1
6. Les déterminants
Notation: { }
DEFINITION 24 : DETERMINANT D’UNE FORME QUADRATIQUE
{ }
Cette application est bien définie
On appelle det(q) l’image de q par cette application c’est le déterminant de q.
Exemple :
( )
COROLLAIRE 20 :
Si alors
DEFINITION 25 : AUTOMORPHISME
Un automorphisme orthogonal de est un isomorphisme u de dans
L’ensemble des automorphismes orthogonaux est noté
PROPOSITION 21 :
L’ensemble O(q) est un sous-groupe de GL(E)
exemple : non isotrope
C’est la réflexion orthogonal de E associée à a. C’est un automorphisme orthogonal de E.
: est la symétrie de E par rapport à parallèlement à Vect(a)
PROPOSITION 22 :
Soit q non dégénérée, alors

8. FORMES QUADRATIQUES
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PREUVE:
̃ {
où
DEFINITION 26 : GROUPE SPECIAL ORTHOGONAL
On note { }
C’est le groupe special orthogonal
On le note aussi souvent .
On note son complémentaire .
7. La diagonalisation de formes quadratiques
(E,q) espace quadratique, b forme polaire de q.
Bases orthogonales.
DEFINITION 27 : BASE ORTHOGONALE
Une base de E est orthogonale
Si { }
{ }
i.e. tous les vecteurs de la base sont deux à deux orthogonaux.
exemple :
1.
la base canonique est orthogonale
DEFINITION 28 : BASE ORTHONORMEE
Une base est orthonormée si elle est orthogonale et ,
LEMME 23:
Si famille orthogonale de vecteurs non isotropes.
Alors elle est libre.

9. FORMES QUADRATIQUES
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PREUVE:
(∑ ) ∑
Donc et donc la famille est libre.
Existence de bases orthogonales.
THEOREME 24:
Tout espace quadratique de dimension finie admet une base orthogonale.
CONSEQUENCE :
 Il existe une matrice diagonale qui représente q.
 q représenté par un polynôme , .
 base de et des tel que
PREUVE:
Par récurrence sur
Si n=1, il n’y a rien à démontrer
Supposons que c’est vrai
Soit de dimension n.
Si toutes les bases sont orthogonales
Sinon, tq
Soit { }
: linéaire.
et
Si
mais
donc
On applique l’hypothèse de récurrence à H.
Soit base orthogonale de H, on a donc est une base orthogonal de E.
COROLLAIRE 25:
Toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale
Réduction de Gauss.
q représentée par ∑ ∑
but écrire q comme somme de carrés de formes linéaires.
1) Si tel que quitte à permuter les variables on suppose
⏟ ⏟

10. FORMES QUADRATIQUES
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( )
⏟ ⏟
Si tous les , on peut supposer
⏟ ⏟ ⏟
( ) ( )
exemple :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
remarque : Si Q polynôme représente q dans la base B cette méthode donne une base de
telle que la base anteduale de est orthogonale pour q.
Réduction de Gauss matricielle.
méthode qui assure que toute matrice symétrique congruente à une matrice diagonale.
FAIT 26:
toute matrice est congruente à une matrice triangulaire par blocs.
( ) où ( )
8. Formes quadratiques réelles et complexes
1. Classification sur
THEOREME 27: Toute forme quadratique complexe de dimension n et rang r est représentée par la
matrice. ( ) q représentée par .
PROPOSITION 28 :2 Formes quadratiques de même dimension & même rang sont équivalentes

11. FORMES QUADRATIQUES
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PREUVE:
( )
( )
8. Classification sur
THEOREME 29: Soit q une forme quadratique de rang t. Elle est représentée par la matrice de la
forme
( )
. On verra que le couple ne dépend que de q.
PREUVE:
Soit q forme quadratique sur .
q représentée pour
( )
on peut supposer
q est représentée par
( )
.
9. Formes quadratiques positives et négatives.
DEFINITION 29 : FORME POSITIVE ET NEGATIVE
 q est positive si , on le note
 q est négative si , on le note
 q est définie positive si négative si

12. FORMES QUADRATIQUES
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THEOREME 30: Soit q une forme quadratique réelle positive de rang r alors q est représentée par une
matrice de la forme ( ) :
 q peut donc s’écrire de la forme où tous les sont des formes linéaires
indépendantes.
Exemple :
 Sur , est définie positive.
 Sur est définie positive.
 Sur n’est ni positive ni négative.
DEFINITION 30 : MATRICE SYMETRIQUE
Une matrice symétrique est dite positive (resp.négative, déf pos, déf néga) si la fq
associée est positive (resp.négative, déf pos, déf néga)
Notation :
mat de positive.
mat de def positive.
mat de négative.
mat de def négative.
DEFINITION 31 : SIGNATURE D’UNE FORME REELLE
espace quadratique réel dim finie.
{ F ss-ev de E tel que }
{ G ss-ev de E tel que }
La signature de q est le couple
THEOREME 31 : THEOREME D’INERTIE DE SYLVESTER
Soit q une fq réelle de dimension n. on suppose que q est représenté par une matrice.
( ) où et
Alors la signature de q est et
PREUVE:
base dans laquelle q est représentée par ( ).
F= car représentée par la matrice A.
G= car représentée par la matrice( ).
On en déduit que
Soit ss-ev de E tq et
Regardons { } alors ⏟

13. FORMES QUADRATIQUES
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Donc
On a de même .
Rmq :
2 formes quadratiques réelles de même dimension ayant la même signature sont équivalentes.
équivalentes même signature.
Rmq :
2 formes quadratiques dans ayant le même rang sont équivalentes.
Alors que dans ce n’est pas suffisant il faut aussi qu’elles aient la même signature.