Le document traite de divers concepts mathématiques, notamment les différences et dérivées des fonctions, ainsi que des méthodes de différenciation. Il explore également les relations implicites entre variables et présente des exemples d'applications mathématiques. Les sections décrivent les formulations réduites et les équations différentielles, en soulignant les connexions entre les variations de variables dans un contexte d'analyse mathématique.

1. shito@seinan-gu.ac.jp
2020 6 25
•
•
•
•
y = f(x0, x1, x2, . . . , xn) ∂y/∂x0 x1, xn, . . . , xn
x1, xn, . . . , xn x0 x1, xn, . . . , xn
∆x0 → 0
Y = C + I0 + G0
C = C(Y, T0)
Y = C(Y, T0) + I0 + G0
Y ∗
= Y (I0, T0, G0) ∂Y ∗
/∂T0
2 Y ∗
= C(Y ∗
::
, T0) + I0 + G0
↑
Y ∗
T0, I0, G0
reduced form Y ∗
= f( )
⇓
C Y
1

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1 (differential)
(1)
y = f(x) dy/dx 2 dy dx
: ∆y ≡
: dy ≡ ≡ x
dy: y (the differential of y)
dx: x (the differential of x)
dy dx (differentiation)
(2) dy/dx
differentiation x y (differential) differentiation
dy/dx x (differentiation respect to x)
y x
(3)
II 2

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(4)
2 dy dx
y = f(x) : x 1% y %
x −→ x + dx
y −→ y + dy
x 1% y % ε
ε ≡
x → x + dx 1
+1
−→ 2 %
100
+1
−→ 101 %
(5)
: Q = Q(P)
P Q
=⇒ dQ/dP
dQ/dP
II 3

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(1) pp.220–227
(2) 8.1 1–5
• 1 (c) x (b)
• 1 (d)
2
y = f(x) (differential) dy = dy
dx dx
2
• 1 x1 1 y
• 2 x1 dx1 y
• 3 y x1 x2 2
=⇒ dy =
=
dy (total differential) dy (total differentiation)
x2 dx2 = 0
dy = f1dx1
↔
dy
dx1 x2
=
∂y
∂x1
y = f(x1, x2, , . . . , xn)
dy =
∂y
∂x1
dx1 +
∂y
∂x2
dx2 + · · · +
∂y
∂xn
dxn
= f1dx1 + f2dx2 + · · · + fndxn
=
n
i=1
fidxi
(1) pp.228–231
(2) 8.2 1–4
II 4

5. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
3
1 d(cun
) = cnun−1
du
2 d(u ± v) = du ± dv
3 d(uv) = vdu + udv
4 d
u
v
=
vdu − udv
v2
(1) pp.231–233
(2) 8.3 1–3
4
y = f(x, w) x = g(w)
• 1
dy =
• 2 dw
dy
dw
=
II 5

6. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
u y
y = f(x1, x2, u, v)
x1 = g(u, v)
x2 = h(u, v)
• ∂y/∂u
=⇒ x1 x2 v x1 x2 u y
y = f(g(u, v), h(u, v), u, v)
v u y u x1
x2
=⇒ dy dv = 0
• 1:
dy =
• 2: du dv = 0
dy
du dv=0
=
II 6

7. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
(1) 45
Y = C + I0 + G0
C = C(Y, T0)
(a) G Y ∗
= Y (I0, T0, G0)
(b) T G
dG
(c) C = c(Y − T) + A c A ∂C/∂Y
∂C/∂T
(2) pp.234–239
(3) 8.4 1–5
5
45 2 (reduced
form) Y = · · · IS I(r) + G = S(Y ) + T
Y = · · ·
dY
dT dG=0
dY
dG dT =0
=⇒
(1) (Implicit function)
y = f(x)
y = 3x4
y = . . . (explicit)
⇓
II 7

8. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
y − 3x4
= 0
F(y, x) = 0
y = . . . y x (implicit)
y = · · ·
⇓
• y − 3x4
= 0 x y y = f(x)
• y = . . . F(y, x) = 0 y = . . .
x y y = f(x)
↑
IS I(r) = S(Y ) Y = . . .
r Y Y = f(r)
•
F(y, x) = x2
+ y2
− 9 = 0
↔ x2
+ y2
= 9
↔ y = ± 9 − x2
x y ±2
y = . . . -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
上半分
下半分
y−
= −
√
9 − x2
y+
= +
√
9 − x2
y
F(y, x) = x2
+ y2
− 9 = 0
y > 0 y = f(x) = +
√
9 − x2
y < 0 y = g(x) = −
√
9 − x2
II 8

9. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
•
F(y, x) = 0 dF = 0 =
F(y, x) = 0
Fy = 0 x
y
⇓
Fy = 0 x F(y, x) = 0 y
y = f(x)
F(y, x1, · · · , xm) = 0 (a) F
Fy F1 · · · Fm (b)
F(y, x1, · · · , xm) = 0 (y0, x10, · · · , xm0) Fy
(x10, · · · , xm0) m- N
N y y = f(x1, · · · , xm) x1, · · · , xm
y0 = f(x10, · · · , xm0)
N m (x1, · · · , xm)
F(y, x1, · · · , xm) = 0 F(y, x1, · · · , xm) = 0
f
f1, · · · , fm
x2
+ y2
− 9 = 0
(a) Fy = Fx =
(b) Fy Fy = 0
2 y = f(x)
f fx
II 9

10. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
(2)
dy = −
Fx
Fy
dx ↔
dy
dx
= −
Fx
Fy
Fy = 0 dy
dx Fy = 0
(3)
(a) Fy = 0
(b) Fy = 0 f f
=⇒ y−
y
(c) y = f(x1, x2, · · · , xm)
y
f1, f2, · · · , fm
II 10

11. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
(4)
• F(y, x1, · · · , xm) = 0 y = f(x1, · · · , xm) y
=⇒ ∂y/∂x1
• F(y, x1, · · · , xm) = 0 y
Fy = 0
∂y
∂x1
= fi, (i = 1, · · · , m)
Fy = 0 ∂y/∂xi
Fy = 0 ∂y/∂xi
= ⇐⇒ d = d
dF(y, x1, · · · , xm) = d0 = 0
←→ Fydy + F1dx1 + · · · + Fmdxm = 0
←→ Fy
dy
dx1
+ F1
dx1
dx1
+ F2
dx2
dx1
+ · · · + Fm
dxm
dx1
= 0
←→ Fy
dy
dx1
+ F1 + F2
dx2
dx1
+ · · · + Fm
dxm
dx1
= 0
dx2 = dx3 = · · · = dxm = 0 y x1
Fy
dy
dx1
+ F1 = 0
←→
dy
dx1
≡
∂y
∂x1
=
∂y
∂xi
= (i = 1, 2, · · · , m)
2 F(y, x) = 0
II 11

12. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
1 F(y, x) = y − 3x4
= 0 dy/dx
2 F(Q, K, L) = 0 Q =
f(K, L) K MPK ≡
∂Q/∂K L MPL ≡ ∂Q/∂L F
F(Q, K, L) = 0 ∂K/∂L = −FL/FK
II 12

13. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
(5)
F1
(y1, · · · , yn, x1, · · · , xm) = 0
F2
(y1, · · · , yn, x1, · · · , xm) = 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Fn
(y1, · · · , yn, x1, · · · , xm) = 0
∂yi
∂xj
(i = 1, · · · , n, j = 1, · · · , m)
(a)
∂F1
∂y1
dy1 +
∂F1
∂y2
dy2 + · · · +
∂F1
∂yn
dyn = −
∂F1
∂x1
dx1 +
∂F1
∂x2
dx2 + · · · +
∂F1
∂xm
dxm
∂F2
∂y1
dy1 +
∂F2
∂y2
dy2 + · · · +
∂F2
∂yn
dyn = −
∂F2
∂x1
dx1 +
∂F2
∂x2
dx2 + · · · +
∂F2
∂xm
dxm
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
∂Fn
∂y1
dy1 +
∂Fn
∂y2
dy2 + · · · +
∂Fn
∂yn
dyn = −
∂Fn
∂x1
dx1 +
∂Fn
∂x2
dx2 + · · · +
∂Fn
∂xm
dxm
(b) x1 y1, y2, · · · , yn
x x1
dyi
dx1 x2,··· ,xm
=
∂yi
∂x1
=⇒ dx1 x1 x
∂F1
∂y1
∂y1
∂x1
+
∂F1
∂y2
∂y2
∂x1
+ · · · +
∂F1
∂yn
∂yn
∂x1
= −
∂F1
∂x1
∂F2
∂y1
∂y1
∂x1
+
∂F2
∂y2
∂y2
∂x1
+ · · · +
∂F2
∂yn
∂yn
∂x1
= −
∂F2
∂x1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
∂Fn
∂y1
∂y1
∂x1
+
∂Fn
∂y2
∂y2
∂x1
+ · · · +
∂Fn
∂yn
∂yn
∂x1
= −
∂Fn
∂x1
II 13

14. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
(c)














∂F1
∂y1
∂F1
∂y2
. . .
∂F1
∂yn
∂F2
∂y1
∂F2
∂y2
. . .
∂F2
∂yn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂Fn
∂y1
∂Fn
∂y2
. . .
∂Fn
∂yn



























∂y1
∂x1
∂y2
∂x1
...
∂yn
∂x1













=













−
∂F1
∂x1
−
∂F2
∂x1
...
−
∂Fn
∂x1













|J| |J| = 0
∂Fi
∂yj
= 0 (i = 1, · · · , n j = 1, · · · , n)
(d) (Cramer’s rule)
∂yi
∂x1
=
|Ji|
|J|
(i = 1, 2, · · · , n)
(6)
(a) ∂yi/∂x1 x1 yi
(b) Fi
( ) = 0 (i = 1, · · · , n)
∂Fi
/∂yj = 0 |J| = 0
∂yi/∂x1 1
∂yi/∂x1
6
45



Y = C + I + G
C = c(Y − T) + A
T = tY + T0
(1)
II 14

15. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
: Y, C, T
: I, G, A, T0, c, t
Y ∗
= f1
(I, G, A, T0, c, t)
C∗
= f2
(I, G, A, T0, c, t)
T∗
= f3
(I, G, A, T0, c, t)
(1) ∂Y ∗
/∂I
1 f1
(·)
∂Y ∗
∂I
=
∂f1
∂I
f1
(·) (1)
2 Y ∗
= · · · ∂Y ∗
/∂I
(1) F(·) = 0



Y − C − I − G = 0
C − c(Y − T) − A = 0
T − tY − T0 = 0
(2)
II 15

16. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
F1
(Y, C, T, I, G, A, T0, c, t) = 0
F2
(Y, C, T, I, G, A, T0, c, t) = 0
F3
(Y, C, T, I, G, A, T0, c, t) = 0
∂Y ∗
/∂I I I
Y ∗
, C∗
, T∗
Y ∗
I
∂Y
∂I
=
II 16

17. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
(1) pp.240–252
(2) 8.5 (p.252) 1–7 6 (8.23) 1
7
•
•
1
Qd = Qs
Qd = D(P, Y0) where
∂D
∂P
< 0,
∂D
∂Y0
> 0
Qs = S(P) where
dS
dP
> 0
• Y0
• Qd, Qs, P 3 3 3
• Q∗
d, Q∗
s, P∗
•
11
F1
(Qd, Qs, P, Y0) =
F2
(Qd, Qs, P, Y0) =
F3
(Qd, Qs, P, Y0) =
1 Qd = Qs = Q
II 17

18. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
3 Qd, Qs, P
|J| =
∂F1
∂Qd
∂F1
∂Qs
∂F1
∂P
∂F2
∂Qd
∂F2
∂Qs
∂F2
∂P
∂F3
∂Qd
∂F3
∂Qs
∂F3
∂P
=
dY0
II 18

19. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
(Cramer’s rule)
dQd
dY0
=
dQs
dY0
=
II 19

20. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
dP
dY0
=
2
1 reduce 1 reduce



Qd = Qs
Qd = D(P, Y0)
Qs = S(P)
=⇒
↔
P = P(Y0) dP/dY0
II 20

21. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
F(P, Y0) =
(1) F(·) P Yo D(·) S(·)
(2) FP =
dP
dY0
dP/dY0
dQd/dY0 dQs/dY0
II 21

22. www.seinan-gu.ac.jp/˜shito 2020 6 25 10:41
(1) pp.252–265
(2) 8.6 (p.264) 1–4
1 Qs S0
∂D/∂P < 0
t0
t0
8
•
•
2
=⇒
II 22