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Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
1
1
Chapitre 3:
Annuités et rentes
3.1 Les annuités
3.2 Les rentes perpétuelles
3.3 L’amortissement d’un emprunt
3.4 L’actualisation et le cours de change
3.5 L’actualisation et l’inflation
3.6 Le choix de placement et l’impôt
2
3.1 Les annuités
Dans plusieurs cas, les cash-flows futurs sont d’un
même montant:
• obligation avec coupon annuel de 500 dhs;
• emprunt remboursé à raison de 1 000 dhs par
mois;
• épargne constituée de versements mensuels de
500 dhs…
3
Une annuité constante est une séquence de cash-
flows identiques, qui peuvent être des
remboursements d’un emprunt ou la perception de
revenus.
Un cash-flow perçu ou versé au début de la période
est appelé annuité immédiate.
Un cash-flow perçu ou versé en fin de période est
appelé annuité ordinaire.
Un emprunt bancaire est généralement remboursé
par annuités ordinaires.
4
Valeur future d’une annuité constante
Vous voulez épargner 1 000 dhs par an sur les trois
prochaines années. Si le taux d’intérêt annuel est de
10%, combien allez-vous obtenir à la fin de ces
trois années?
VF = 1000  1.1 + 1000  1.12 + 1000  1.13
VF = 1000  (1.1 + 1.12 + 1.13) = 3641 dhs
On peut réaliser ce calcul avec une calculatrice
financière en utilisant les touches n, i et PMT.
5
Nombre
d’années, n
Taux
d’intérêt, i
Paiement,
PMT
BEG/END
6
Avant d’utiliser la touche PMT, il faudrait spécifier
s’il s’agit d’une annuité immédiate ou ordinaire.
Dans notre exemple, on place 1 000 dhs au début
de chaque année, il s’agit donc d’une annuité
immédiate.
Dépendamment de la calculatrice, on utilise la
touche BEG/END (ou BGN) pour sélectionner ou
basculer dans le mode BEGIN.
En introduisant les valeurs de n = 3, i = 10 et PMT
= –1000 , on obtient le résultat 3641 en appuyant
sur la touche FV.
Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
2
7
Dans le cas d’une annuité ordinaire, le résultat est
tout autre:
VF = 1000 + 1000  1.1 + 1000  1.12
VF = 1000  (1 + 1.1 + 1.12) = 3310 dhs
0 1 2 3
1000 1000 1000
Temps
Annuité immédiate
1000 1000 1000Annuité ordinaire
8
Dans le cas d’une annuité immédiate, l’intérêt est
versé sur une période supplémentaire (la première
année).
Un placement par annuités immédiates a une VF
égale à (1 + i) fois la VF d’un placement par
annuités ordinaires. En effet, on a:
3641 = 3310  1.1
De manière générale, la VF d’une annuité ordinaire
de 1 dh est donnée par:
 1 1
n
i
VF
i
 
 (1)
9
Ce résultat peut être prouvé comme suit. On a:
     
2 1
1 1 1 1
n
VF i i i

       
On a aussi:
       
     
 
2
2 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
n
n
n
i VF VF i i i
i i i
i

        
       
  
D’où:
 
 1 1
1 1
n
n i
iVF i VF
i
 
    
10
Dans notre exemple, on obtient:
 
3
1 0.1 1 0.331
1000 1000 3310 dhs
0.1 0.1
VF
 
    
Valeur actuelle d’une annuité constante
Souvent, on a plutôt besoin de calculer la VA d’une
annuité, et non pas la VF.
Combien faudrait-il placer aujourd’hui pour
pouvoir retirer 1 000 dhs par an les trois prochaines
années, si le taux d’intérêt annuel est 10%?
11
La réponse à cette question est la VA des trois cash-
flows futurs:
   
2 3
1000 1000 1000
1.1 1.1 1.1
VA   
   
2 3
1 1 1
1000 2486.85 dhs
1.1 1.1 1.1
VA
 
    
  
12
Année
Montant
en début
d'année
Multiplié
par Montant
en fin d'année
Montant après
retrait de 1000 dhs
1 2486.85 1.1 2735.54 1735.54
2 1735.54 1.1 1909.09 909.09
3 909.09 1.1 1000.00 0.00
Tableau 3.1 : Placement de 2 486.85 dhs
De manière générale, la VA d’une annuité de 1 dh
est donnée par:
 1 1
n
i
VA
i

 
 (2)
Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
3
13
Le calcul de la VA de notre exemple peut être fait
sur une calculatrice financière en introduisant les
valeurs de n = 3, i = 10 et PMT = 1000. On obtient
le résultat – 2486.85 en appuyant sur la touche PV.
Exercice 3.1:
Démontrer la formule (2) de la VA d’une annuité de
1dh.
14
Achat d’une rente
Une personne de 65 ans envisage l’achat d’une
rente auprès d’une compagnie d’assurances. La
compagnie exige le paiement immédiat d’une prime
de 100 000 dhs, en contrepartie de quoi elle versera
10 000 dhs/année pour tout le reste de la vie de la
personne.
15
1. Si l’espérance de vie de cette personne est 15 ans
et si les Sicav monétaires rapportent 8% par an, est-
ce que l’achat de cette rente est intéressant?
2. Quelle est le taux d’intérêt implicite proposé par
la compagnie?
3. À partir de quel nombre d’années de vie restante
l’achat de cette rente devient-il intéressant?
16
1. Nous allons calculer la VAN de cette rente.
En supposant des annuités ordinaires, celles-ci sont
au nombre de 15: la première à l’âge de 66 ans et la
dernière à 80 ans.
L’investissement initial est 100 000 dhs.
Le taux d’actualisation à utiliser est 8%.
La VAN de la rente est donnée par:
 
15
1 1.08
VAN 10 000 100 000
0.08
85 594.79 100 000 14 405.21 dhs


  
   
17
Cette rente ne constitue donc pas un achat
intéressant.
On peut obtenir 10 000 dhs/année en plaçant
seulement 85 594.79 dhs dans les Sicav monétaires.
2. Nous allons maintenant calculer le TIR, i.e. le
taux d’intérêt pour lequel la VAN s’annule:
 
 
15
15
1 1
VAN 10 000 100 000 0
1 1 10
i
i
i i


 
   
   
18
Pour trouver le taux i qui résout cette équation, on
compose, dans une calculatrice financière: n = 15,
PV = –100 000, PMT = 10 000 et FV = 0, et on
appuie sur i ou IRR. Le résultat est: 5.56%.
Comme le TIR est inférieur au taux des Sicav, alors
l’achat de la rente n’est pas intéressant.
3. Méthode du délai de récupération des 100 000
dhs avec des versements annuels de 10 000 dhs:
 1 1.08
VAN 10 000 100 000 0
0.08
n

   
Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
4
19
 
  1
1 1.08 0.8
1.08 0.2 5
ln1.08 ln5
ln5
20.91
ln1.08
n
n
n
n


  
  
 
  
Il faut donc attendre de vivre jusqu’à 86 ans pour
que l’achat devienne rentable.
Si la personne vit jusqu’à 86 ans, alors le TIR sera
de 8%.
20
Prêt immobilier
Vous envisagez l’achat d’une maison au prix de 1
million de dirhams. Une première banque vous
propose un prêt immobilier sur 30 ans, à
rembourser en 360 mensualités, au taux annuel de
12%.
Une deuxième banque vous propose un prêt sur 25
ans avec des mensualités de 11 000 dhs.
Quel prêt devriez-vous choisir?
21
Nous allons calculer la mensualité, notée m, dans le
cas du premier prêt.
Les cash-flows associés à ce prêt sont:
• la perception de 1 000 000 dhs immédiatement, et
• le versement de 360 mensualités de m dhs.
La VA des mensualités est donnée par:
 
360
1 1 i
VA m
i

 
 
22
La mensualité m est donc donnée par:
 
360
1 1
i
m VA
i

 
 
De manière générale, l’annuité constante m d’un
emprunt VA remboursable sur n périodes au taux i
est donnée par:
 1 1
n
i
m VA
i

 
 
23
Dans notre exemple, le taux d’intérêt à utiliser est le
taux proportionnel 1% (taux mensuel) et la VA est le
montant du prêt. La mensualité m est donc égale à:
 
360
0.01
1 000 000 10 286.13 dhs
1 1.01
m 
  

Cette mensualité est plus petite que celle du
deuxième prêt (11 000 dhs). Le deuxième prêt
cependant ne porte que sur 25 ans.
Calculons le taux d’intérêt associé à ce prêt.
24
Le deuxième prêt comprend 300 mensualités de
11 000 dhs. Il s’agit donc de calculer le TIR avec
les données suivantes: n = 300, PV = 1 000 000,
FV = 0 et PMT = –11 000.
On obtient comme résultat: 1.05%, soit un taux
annuel de 12.6%.
Comme ce taux est supérieur à 12%, alors le
premier prêt sur 30 ans est plus intéressant.
Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
5
25
3.2 Les rentes perpétuelles
Une rente perpétuelle est un contrat ou un titre qui
rapporte un montant fixe à chaque période, et ce
jusqu’à l’infini.
On peut citer comme exemples:
• les actions de préférence (preferred stocks) aux
États-Unis;
• les actions à dividende prioritaire en France.
Ces actions versent un dividende régulier et ne sont
jamais remboursées.
26
La VF d’une rente perpétuelle est infinie. Sa VA est
par contre finie et facilement calculable.
Quelle est la VA d’une rente perpétuelle de 100
dhs/an, si le taux d’actualisation est 10%?
La réponse est 1 000 dhs.
Intuition: si vous placez 1 000 dhs dans un compte
qui rapporte 10% par an, alors vous pouvez retirer
100 dhs après la première année. Le nouveau solde
après ce retrait est 1 000 dhs. Vous pouvez
continuer ce processus à l’infini.
27
De manière générale, pour un taux d’intérêt i, la VA
d’une rente perpétuelle correspondant au versement
régulier d’un même cash-flow CF (à l’infini) est
donnée par:
 Rente perpétuelle
CF
VA
i

 1 1
lim
n
n
i
VA CF
i


  
  
  
Cette valeur est obtenue en calculant la limite
suivante:
28
Actions à dividende prioritaire (ADP)
Le marché monétaire offre actuellement un taux de
rendement annuel de 8%.
Les ADP d’une entreprise versent un dividende
annuel de 10 dhs. Le cours de ces ADP est
actuellement de 100 dhs.
Devriez-vous acheter ces ADP?
La réponse consiste à calculer le taux de rendement
de ces ADP et à le comparer au rendement du
marché.
29
Le rendement d’une action est donné par le rapport:
dividende annuel
Rendement annuel de l'action
cours de l'action

Dans notre exemple, ce rendement est de 10%, ce
qui est supérieur au rendement du marché.
Une analyse plus complète cependant intégrerait le
risque associé à chaque actif.
30
Rente croissante (growth annuity)
Une rente croissante est une séquence de
versements réguliers qui croissent à un taux
constant.
Si on note par CF1 le premier cash-flow et si le taux
de croissance du cash-flow est g, i.e.
CFt + 1 = (1 + g) CFt
alors la VA d’une rente croissante à l’infini est:
  1
Rente croissante
CF
VA
i g


Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
6
31
Exemple:
Si le revenu de la première année est 1 000 dhs, le
taux d’intérêt est de 9% et le taux de croissance est
de 4%, alors la VA de l’annuité croissante est:
1 000
20 000 dhs
0.09 0.04
VA  

32
Exercice 3.2:
Une entreprise verse un dividende croissant de 3%
par année. Le prochain dividende, qui s’élève à 10
dhs, sera versé dans un an. Le taux de rendement
des autres placements possibles est de 10%. Quel
est le prix maximal auquel vous accepteriez
d’acheter cette action?
33
3.3 L’amortissement d’un emprunt
Les crédits à la consommation, les prêts
immobiliers et d’autres emprunts sont remboursés
par annuités constantes.
Chaque annuité comprend des intérêts sur le
montant restant, en plus d’une part de
remboursement du capital.
La répartition de l’annuité entre intérêts et
remboursement du capital est variable, puisqu’à
chaque paiement de l’annuité, une partie du capital
a déjà été remboursée.
34
Comme le montant restant est de plus en plus
faible, alors la part des intérêts dans l’annuité est de
plus en plus faible.
Exemple:
Considérons un emprunt de 100 000 dhs, au taux
annuel de 9%, qui sera remboursé en trois annuités
constantes.
Si note par VA le montant de l’emprunt, alors
l’annuité constante A est donnée par:
 1 1
n
i
A VA
i

 
 
35
Quelle est la part de l’intérêt et du capital remboursé
dans la première annuité?
Comme le taux d’intérêt est de 9%, alors les intérêts
de 9% du montant initial: 0.09100 000 = 9 000dhs.
Le remboursement du capital est donc 30 505.48dhs.
Le capital restant après paiement de cette annuité est
100 000 – 30 505.48 = 69 494.52 dhs.
 
3
0.09
100 000 39 505.48 dhs
1 1.09
A 
  

36
Quelle est la part de l’intérêt et du capital remboursé
dans la deuxième annuité?
Comme le taux d’intérêt est de 9%, alors les intérêts
de 9% du montant restant à rembourser sont de:
0.0969 494.52 = 6 254.51 dhs.
Le remboursement du capital est donc 33 250.97dhs.
Le capital restant après paiement de cette annuité est
69 494.52 – 33 250.97 = 36 243.55 dhs.
Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
7
37
Quelle est la part de l’intérêt et du capital remboursé
dans la troisième annuité?
Comme le taux d’intérêt est de 9%, alors les intérêts
de 9% du montant restant à rembourser sont de:
0.0936 243.55 = 3 261.92 dhs.
Le remboursement du capital est donc 36 243.55dhs.
Le dernier paiement n’est en fait que le
remboursement du capital restant plus intérêts:
36 243.55  (1 + 0.09) = 39 505.48 dhs.
38
La démarche qui consiste à rembourser progressi-
vement un emprunt s’appelle amortissement d’un
emprunt.
Le tableau d’amortissement (Tableau 3.2) montre
comment la part des intérêts diminue et celle du
remboursement du capital augmente avec le
paiement des annuités.
39
Année Montant
initial
Annuité dont
intérêts
capital
remboursé
Montant
final
1 100,000.00 39,505.48 9,000.00 30,505.48 69,494.52
2 69,494.52 39,505.48 6,254.51 33,250.97 36,243.55
3 36,243.55 39,505.48 3,261.92 36,243.55 0.00
Total 118,516.44 18,516.43 100,000.00
Tableau 3.2 : Tableau d’amortissement
40
Exercice 3.3:
Vous envisagez d’emprunter 10 000 dhs au taux
annuel de 12%, à rembourser en 12 mensualités
égales de 888.50 dhs chacune.
Le prêteur vous dit, qu’en réalité, vous ne
supporterez qu’un taux de 6.62%, puisque:
888.5012 – 10 000 = 10 662 – 10 000 = 662 dhs
et
662/10 000 = 0.0662 = 6.62%.
Comment allez-vous montrer au prêteur que son
raisonnement est erroné?
41
3.4 L’actualisation et le cours de change
Exemple:
On veut placer 100 000 dhs pendant un an et on a le
choix entre des obligations en dirhams, au taux
annuel de 10%, et des obligations en dollars, au
taux annuel de 7%.
Quel est le meilleur investissement?
La réponse dépend du taux de change dirham/dollar
dans un an.
42
• Si le dirham vaut aujourd’hui 0.1175 dollars, alors
les 100 000 dhs valent aujourd’hui 11 750 dollars.
• Si on investit dans les obligations en dollars, alors
on aura 12 572.50 dollars (i.e. 11 750  1.07).
• Si on investit dans les obligations en dirhams,
alors on aura 110 000 dhs (i.e. 100 000  1.1).
• Quel sera le montant le plus élevé?
Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
8
43
• Si le dirham perd durant l’année 5% de sa valeur
par rapport au dollar, alors il ne vaudra que
0.111625 dollars dans un an, soit 0.1175(1 – 0.05).
• Les obligations en dollars auront une valeur de
112 631.58 dhs.
• Ce montant dépasse le rendement des obligations
en dirhams de 2 631.58 dhs.
• Si le dirham ne perd que 2% de sa valeur, alors les
obligations en dollars paieront 109 183.67 dhs. Ce
qui est de 816.33 dhs inférieur à la valeur des
obligations en dirhams.
44
Quel est le cours de change à un an qui égalise les
deux placements?
Il s’agit de diviser 12 572.50 dollars par 110 000
dhs pour obtenir environ 0.11430 dollars/dirham.
Ce qui équivaut à une dépréciation du dirham
d’environ 2.73%.
45
Exercice 3.4:
Le cours de change actuel est de 0.1464 dinars
tunisiens pour un dirham et les taux d’intérêt
annuels sur les marchés monétaires marocain et
tunisien sont 6% et 4%, respectivement.
Vous voulez placer 25 000 dhs et vous anticipez une
dépréciation de 3% du dirham par rapport au dinar
tunisien d’ici un an.
1. Sur quel marché devriez-vous faire votre
placement?
2. À quel cours de change seriez-vous indifférent
entre les deux marchés?
46
Calcul de la VAN avec plusieurs devises
Règle importante: dans tout calcul financier, les
cash-flows et les taux d’intérêt doivent être
exprimés dans une même devise.
Par exemple, pour calculer la VA de cash-flows en
euros, on doit utiliser les taux d’intérêt sur l’euro.
47
Vous avez à choisir entre deux investissements, l’un
au Maroc et l’autre en Espagne.
Dans les deux cas, l’investissement initial est de
20 000 dhs.
Le projet marocain vous rapportera 8 000 dhs par
an, alors que le projet espagnol 875 euros par an.
Le taux d’intérêt sur le dirham est 7% et le taux
d’intérêt sur l’euro est 4%.
Le cours de change actuel est 0.1175 euros pour un
dirham.
Lequel des projets présente la plus grande VAN
pour les cinq prochaines années?
48
Calculons la VAN du projet marocain:
n i VA VF PMT Résultat
5 7 ? 0 8 000 dhs VA = 32 801.58 dhs
En soustrayant l’investissement initial, on obtient
une VAN de +12 801.58 dhs.
Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
9
49
La VAN du projet espagnol est donnée par:
n i VA VF PMT Résultat
5 4 ? 0 875 euros VA = 3 895.34 euros
La VA des cash-flows espagnols est donnée en
euros. Au cours de change actuel, elle équivaut
33 151.83 dhs.
En soustrayant l’investissement initial, on obtient
une VAN de +13 151.83 dhs.
Le projet espagnol est donc plus rentable.
50
Si on avait utilisé le taux d’intérêt sur le dirham (i.e.
7%), on aurait obtenu une VAN pour le projet
espagnol de +10 533.36 dhs. On aurait alors opté,
par erreur, pour le projet marocain.
51
3.5 L’actualisation et l’inflation
Dans l’Exercice 1.1, on avait calculé que si, à l’âge
de 20 ans, on place 1 000 dhs dans un compte
d’épargne au taux annuel de 8% pendant 45 ans,
alors la VF sera 31 920.45 dhs.
Mais que valent les 31 920.45 dhs dans 45 ans, en
termes de pouvoir d’achat? Valent-ils plus ou moins
que 1 000 dhs aujourd’hui?
Si le niveau général des prix a augmenté de 8% par
an, alors, en réalité, on n’a gagné aucun intérêt.
52
On distingue entre:
• le taux d’intérêt nominal: le taux d’intérêt
exprimé en unités monétaires; et
• le taux d’intérêt réel: taux d’intérêt nominal
corrigé de l’inflation (variation du pouvoir d’achat).
Dans l’exemple précédent, si le taux d’inflation est
de 8% par an et le taux d’intérêt nominal est de 8%,
alors le taux d’intérêt réel est nul.
L’inflation est généralement mesurée avec l’Indice
des Prix à la Consommation (IPC).
53
Si le taux d’intérêt nominal est de 8% et si le taux
de variation de l’IPC est de 5% par an, quel sera
alors le taux d’intérêt réel?
• Si on place 100 dhs, on aura 108 dhs après un an.
• Un panier de biens qui coûte 100 dhs aujourd’hui
coûtera 105 dhs dans un an.
• En termes de biens de consommation, les 108 dhs
vaudront 108/105 = 1.02857 panier.
• Le taux d’intérêt réel est donc 2.857%.
54
De manière générale, nous avons la relation
suivante:
1 taux d'intérêt nominal
1 taux d'intérêt réel
1 taux d'inflation

 

Ce qui peut également s’écrire:
taux d'intérêt réel
taux d'intérêt nominal taux d'inflation
1 taux d'inflation



Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
10
55
Avec les données de notre exemple, cette formule
donne:
0.08 0.05 0.03
taux d'intérêt réel 0.02857
1.05 1.05

  
Avec des taux continus (capitalisation en continu),
la formule devient plus simple:
taux d’intérêt réel =
taux d’intérêt nominal – taux d’inflation
56
Inflation et valeurs futures
Revenons à l’Exercice 1.1. Il existe deux méthodes
pour calculer la valeur future des 1 000 dhs en
termes de pouvoir d’achat:
• Première méthode: on calcule la valeur future
réelle en utilisant le taux d’intérêt réel. On a alors:
45
réelle 1 000 1.02857 3 552.41VF   
57
• Deuxième méthode: on calcule d’abord la valeur
future nominale:
45
nominale 1 000 1.08 31 920.45VF   
On calcule ensuite ce que sera le niveau des prix
dans 45 ans.
45
Niveau des prix futur 1.05 8.985 
58
nominale
réelle
Niveau des prix futur
31 920.45
3 552.64
8.985
VF
VF 
 
La valeur future réelle est alors donnée par:
59
Inflation et valeurs actuelles
Vous voulez placer un montant en compte
d’épargne pour pouvoir acheter une voiture dans 4
ans. Le taux d’intérêt est de 8% et la voiture coûte
aujourd’hui 150 000 dhs.
Le montant à placer aujourd’hui pour couvrir le
prix de la voiture dépend du taux d’inflation. Si
celui-ci est de 5% par an, alors le prix de la voiture
dans 4 ans sera:
4
150 000 1.05 182 325.94 dhs 
60
Il existe deux méthodes pour calculer le montant à
placer aujourd’hui en tenant compte de l’inflation:
• Première méthode: on calcule la valeur actuelle
d’une valeur future réelle de 150 000 dhs en
utilisant le taux d’intérêt réel. On a alors:
4
150 000
134 015.75 dhs
1.02857
VA  
0.08 0.05
taux d'intérêt réel 0.02857
1.05

 
et:
Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
11
61
• Deuxième méthode: on calcule la valeur actuelle
de la valeur future nominale de la voiture, au taux
d’actualisation de 8%:
4
182 325.94
= 134 015.01dhs
1.08
VA 
62
Règle importante: dans tout calcul financier, les
cash-flows et les taux d’intérêt doivent être
exprimés dans une même mesure:
• avec des valeurs nominales, on utilise des taux
d’intérêt nominaux; et
• avec des valeurs réelles, on utilise des taux
d’intérêt réels.
63
Exercice 3.5:
Vous avez une fille de 10 ans et vous voulez lui
ouvrir un compte d’épargne pour payer ses études
supérieures qu’elle devrait entreprendre à l’âge de
20 ans.
Les frais de scolarité sont actuellement de 60 000
dhs et augmenteront de 5% par an.
1. Si vous placez 30 000 dhs aujourd’hui, au taux
annuel de 8%, cela va-t-il suffire pour couvrir le
coût des études?
2. Combien faudrait-il placer aujourd’hui pour
couvrir les frais de scolarité?
64
Annuités réelles
Supposons maintenant que pour payer les frais de
scolarité futurs de votre fille, qui s’élèvent à 90 000
dhs, vous vouliez épargner un même montant par
année.
Si le taux d’intérêt réel est de 3%, combien devriez-
vous épargner par année?
Le montant annuel à placer est donné par:
n i VA VF PMT Résultat
10 3 0 90 000 dhs ? PMT = –7 850.75 dhs
65
Attention: Le montant 7 850.75 dhs est exprimé en
valeur réelle, i.e. en dirhams d’aujourd’hui.
Si le taux d’inflation est de 5% par an, alors les
montants effectifs à épargner sont donnés dans le
tableau 3.4.
Notons qu’à ce taux d’inflation de 5%, les frais de
scolarité dans 10 ans seront de 146 600.52 dhs.
66
Année
Épargne en valeur
réelle
Coefficient
d'inflation
Épargne en valeur
nominale
1 7,850.75 1.05 8,243.29
2 7,850.75 1,05² 8,655.45
3 7,850.75 1,05
3
9,088.22
4 7,850.75 1,05
4
9,542.64
5 7,850.75 1,055
10,019.80
6 7,850.75 1,05
6
10,520.80
7 7,850.75 1,05
7
11,046.80
8 7,850.75 1,058
11,559.10
9 7,850.75 1,05
9
12,179.10
10 7,850.75 1,05
10
12,788.00
Tableau 3.4 : Valeur nominale des annuités réelles
Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013
12
67
Nous allons maintenant montrer que l’épargne
nominale (colonne de droite du tableau 3.4), permet
réellement d’arriver à un montant futur de 146
600.52 dhs à la fin des 10 années.
Nous devons d’abord déterminer le taux d’intérêt
nominal afin de calculer la VF nominale des cash-
flows.
La relation entre taux nominal et taux réel est:
1 taux d'intérêt nominal
1 taux d'intérêt réel
1 taux d'inflation

 

68
On en déduit donc que:
   
1 taux d'intérêt nominal
1 taux d'intérêt réel 1 taux d'inflation
 
  
Le taux d’intérêt nominal est finalement donné par:
taux d'intérêt nominal
taux d'intérêt réel taux d'inflation
taux d'intérêt réel taux d'inflation


 
taux d'intérêt nominal 0.03 0.05 0.03 0.05
0.0815
   

69
Le taux d’intérêt nominal est donc de 8.15% par an.
Dans le tableau 3.5, on présente les valeurs futures
nominales de tous les versements: le premier est
capitalisé sur 9 ans, le deuxième sur 8 ans, …
On note que la somme totale des versements
capitalisés (colonne de droite) donne bien la valeur
future des frais des études, i.e. 146 600.50 dhs.
70
Année
Épargne en
valeur réelle
Épargne en valeur
nominale
Facteur
de capitalisation
Valeur future
nominale
1 7,850.75 8,243.29 x 1,0815
9
16,685.50
2 7,850.75 8,655.45 x 1,08158
16,199.50
3 7,850.75 9,088.22 x 1,08157
15,727.70
4 7,850.75 9,542.64 x 1,08156
15,269.60
5 7,850.75 10,019.80 x 1,08155
14,824.80
6 7,850.75 10,520.80 x 1,08154
14,393.10
7 7,850.75 11,046.80 x 1,08153
13,973.80
8 7,850.75 11,559.10 x 1,08152
13,566.80
9 7,850.75 12,179.10 x 1,08151
13,171.70
10 7,850.75 12,788.00 x 1 12,788.00
Total 146,600.50
Tableau 3.5 : Valeur future nominale des annuités
réelles
71
3.6 Le choix de placement et l’impôt
L’État prélève de l’impôt sur la plupart des intérêts
gagnés.
Supposons que le taux d’imposition soit de 30% et
qu’il s’applique à tout intérêt perçu.
Si vous placez 1 000 dhs au taux annuel de 8%,
alors la rémunération avant impôt est:
1 0001.08 = 1 080 dhs
La rémunération nette d’impôt ou rémunération
après impôt est la rémunération que vous touchez
après avoir déduit l’impôt.
72
Le taux d’intérêt après impôt est défini par:
 
taux d'intérêt après impôt
1 taux d'imposition taux d'intérêt avant impôt

 
Dans notre exemple, on a:
 taux d'intérêt après impôt 1 0.3 0.08 0.056   
La rémunération nette d’impôt est:
1 0001.056 = 1 056 dhs
Règle importante: on choisit les investissements qui
maximisent la VA des cash-flows après impôt.

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Math financier Chapitre 3

  • 1. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 1 1 Chapitre 3: Annuités et rentes 3.1 Les annuités 3.2 Les rentes perpétuelles 3.3 L’amortissement d’un emprunt 3.4 L’actualisation et le cours de change 3.5 L’actualisation et l’inflation 3.6 Le choix de placement et l’impôt 2 3.1 Les annuités Dans plusieurs cas, les cash-flows futurs sont d’un même montant: • obligation avec coupon annuel de 500 dhs; • emprunt remboursé à raison de 1 000 dhs par mois; • épargne constituée de versements mensuels de 500 dhs… 3 Une annuité constante est une séquence de cash- flows identiques, qui peuvent être des remboursements d’un emprunt ou la perception de revenus. Un cash-flow perçu ou versé au début de la période est appelé annuité immédiate. Un cash-flow perçu ou versé en fin de période est appelé annuité ordinaire. Un emprunt bancaire est généralement remboursé par annuités ordinaires. 4 Valeur future d’une annuité constante Vous voulez épargner 1 000 dhs par an sur les trois prochaines années. Si le taux d’intérêt annuel est de 10%, combien allez-vous obtenir à la fin de ces trois années? VF = 1000  1.1 + 1000  1.12 + 1000  1.13 VF = 1000  (1.1 + 1.12 + 1.13) = 3641 dhs On peut réaliser ce calcul avec une calculatrice financière en utilisant les touches n, i et PMT. 5 Nombre d’années, n Taux d’intérêt, i Paiement, PMT BEG/END 6 Avant d’utiliser la touche PMT, il faudrait spécifier s’il s’agit d’une annuité immédiate ou ordinaire. Dans notre exemple, on place 1 000 dhs au début de chaque année, il s’agit donc d’une annuité immédiate. Dépendamment de la calculatrice, on utilise la touche BEG/END (ou BGN) pour sélectionner ou basculer dans le mode BEGIN. En introduisant les valeurs de n = 3, i = 10 et PMT = –1000 , on obtient le résultat 3641 en appuyant sur la touche FV.
  • 2. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 2 7 Dans le cas d’une annuité ordinaire, le résultat est tout autre: VF = 1000 + 1000  1.1 + 1000  1.12 VF = 1000  (1 + 1.1 + 1.12) = 3310 dhs 0 1 2 3 1000 1000 1000 Temps Annuité immédiate 1000 1000 1000Annuité ordinaire 8 Dans le cas d’une annuité immédiate, l’intérêt est versé sur une période supplémentaire (la première année). Un placement par annuités immédiates a une VF égale à (1 + i) fois la VF d’un placement par annuités ordinaires. En effet, on a: 3641 = 3310  1.1 De manière générale, la VF d’une annuité ordinaire de 1 dh est donnée par:  1 1 n i VF i    (1) 9 Ce résultat peut être prouvé comme suit. On a:       2 1 1 1 1 1 n VF i i i          On a aussi:                 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n i VF VF i i i i i i i                      D’où:    1 1 1 1 n n i iVF i VF i        10 Dans notre exemple, on obtient:   3 1 0.1 1 0.331 1000 1000 3310 dhs 0.1 0.1 VF        Valeur actuelle d’une annuité constante Souvent, on a plutôt besoin de calculer la VA d’une annuité, et non pas la VF. Combien faudrait-il placer aujourd’hui pour pouvoir retirer 1 000 dhs par an les trois prochaines années, si le taux d’intérêt annuel est 10%? 11 La réponse à cette question est la VA des trois cash- flows futurs:     2 3 1000 1000 1000 1.1 1.1 1.1 VA        2 3 1 1 1 1000 2486.85 dhs 1.1 1.1 1.1 VA           12 Année Montant en début d'année Multiplié par Montant en fin d'année Montant après retrait de 1000 dhs 1 2486.85 1.1 2735.54 1735.54 2 1735.54 1.1 1909.09 909.09 3 909.09 1.1 1000.00 0.00 Tableau 3.1 : Placement de 2 486.85 dhs De manière générale, la VA d’une annuité de 1 dh est donnée par:  1 1 n i VA i     (2)
  • 3. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 3 13 Le calcul de la VA de notre exemple peut être fait sur une calculatrice financière en introduisant les valeurs de n = 3, i = 10 et PMT = 1000. On obtient le résultat – 2486.85 en appuyant sur la touche PV. Exercice 3.1: Démontrer la formule (2) de la VA d’une annuité de 1dh. 14 Achat d’une rente Une personne de 65 ans envisage l’achat d’une rente auprès d’une compagnie d’assurances. La compagnie exige le paiement immédiat d’une prime de 100 000 dhs, en contrepartie de quoi elle versera 10 000 dhs/année pour tout le reste de la vie de la personne. 15 1. Si l’espérance de vie de cette personne est 15 ans et si les Sicav monétaires rapportent 8% par an, est- ce que l’achat de cette rente est intéressant? 2. Quelle est le taux d’intérêt implicite proposé par la compagnie? 3. À partir de quel nombre d’années de vie restante l’achat de cette rente devient-il intéressant? 16 1. Nous allons calculer la VAN de cette rente. En supposant des annuités ordinaires, celles-ci sont au nombre de 15: la première à l’âge de 66 ans et la dernière à 80 ans. L’investissement initial est 100 000 dhs. Le taux d’actualisation à utiliser est 8%. La VAN de la rente est donnée par:   15 1 1.08 VAN 10 000 100 000 0.08 85 594.79 100 000 14 405.21 dhs          17 Cette rente ne constitue donc pas un achat intéressant. On peut obtenir 10 000 dhs/année en plaçant seulement 85 594.79 dhs dans les Sicav monétaires. 2. Nous allons maintenant calculer le TIR, i.e. le taux d’intérêt pour lequel la VAN s’annule:     15 15 1 1 VAN 10 000 100 000 0 1 1 10 i i i i             18 Pour trouver le taux i qui résout cette équation, on compose, dans une calculatrice financière: n = 15, PV = –100 000, PMT = 10 000 et FV = 0, et on appuie sur i ou IRR. Le résultat est: 5.56%. Comme le TIR est inférieur au taux des Sicav, alors l’achat de la rente n’est pas intéressant. 3. Méthode du délai de récupération des 100 000 dhs avec des versements annuels de 10 000 dhs:  1 1.08 VAN 10 000 100 000 0 0.08 n     
  • 4. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 4 19     1 1 1.08 0.8 1.08 0.2 5 ln1.08 ln5 ln5 20.91 ln1.08 n n n n              Il faut donc attendre de vivre jusqu’à 86 ans pour que l’achat devienne rentable. Si la personne vit jusqu’à 86 ans, alors le TIR sera de 8%. 20 Prêt immobilier Vous envisagez l’achat d’une maison au prix de 1 million de dirhams. Une première banque vous propose un prêt immobilier sur 30 ans, à rembourser en 360 mensualités, au taux annuel de 12%. Une deuxième banque vous propose un prêt sur 25 ans avec des mensualités de 11 000 dhs. Quel prêt devriez-vous choisir? 21 Nous allons calculer la mensualité, notée m, dans le cas du premier prêt. Les cash-flows associés à ce prêt sont: • la perception de 1 000 000 dhs immédiatement, et • le versement de 360 mensualités de m dhs. La VA des mensualités est donnée par:   360 1 1 i VA m i      22 La mensualité m est donc donnée par:   360 1 1 i m VA i      De manière générale, l’annuité constante m d’un emprunt VA remboursable sur n périodes au taux i est donnée par:  1 1 n i m VA i      23 Dans notre exemple, le taux d’intérêt à utiliser est le taux proportionnel 1% (taux mensuel) et la VA est le montant du prêt. La mensualité m est donc égale à:   360 0.01 1 000 000 10 286.13 dhs 1 1.01 m      Cette mensualité est plus petite que celle du deuxième prêt (11 000 dhs). Le deuxième prêt cependant ne porte que sur 25 ans. Calculons le taux d’intérêt associé à ce prêt. 24 Le deuxième prêt comprend 300 mensualités de 11 000 dhs. Il s’agit donc de calculer le TIR avec les données suivantes: n = 300, PV = 1 000 000, FV = 0 et PMT = –11 000. On obtient comme résultat: 1.05%, soit un taux annuel de 12.6%. Comme ce taux est supérieur à 12%, alors le premier prêt sur 30 ans est plus intéressant.
  • 5. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 5 25 3.2 Les rentes perpétuelles Une rente perpétuelle est un contrat ou un titre qui rapporte un montant fixe à chaque période, et ce jusqu’à l’infini. On peut citer comme exemples: • les actions de préférence (preferred stocks) aux États-Unis; • les actions à dividende prioritaire en France. Ces actions versent un dividende régulier et ne sont jamais remboursées. 26 La VF d’une rente perpétuelle est infinie. Sa VA est par contre finie et facilement calculable. Quelle est la VA d’une rente perpétuelle de 100 dhs/an, si le taux d’actualisation est 10%? La réponse est 1 000 dhs. Intuition: si vous placez 1 000 dhs dans un compte qui rapporte 10% par an, alors vous pouvez retirer 100 dhs après la première année. Le nouveau solde après ce retrait est 1 000 dhs. Vous pouvez continuer ce processus à l’infini. 27 De manière générale, pour un taux d’intérêt i, la VA d’une rente perpétuelle correspondant au versement régulier d’un même cash-flow CF (à l’infini) est donnée par:  Rente perpétuelle CF VA i   1 1 lim n n i VA CF i            Cette valeur est obtenue en calculant la limite suivante: 28 Actions à dividende prioritaire (ADP) Le marché monétaire offre actuellement un taux de rendement annuel de 8%. Les ADP d’une entreprise versent un dividende annuel de 10 dhs. Le cours de ces ADP est actuellement de 100 dhs. Devriez-vous acheter ces ADP? La réponse consiste à calculer le taux de rendement de ces ADP et à le comparer au rendement du marché. 29 Le rendement d’une action est donné par le rapport: dividende annuel Rendement annuel de l'action cours de l'action  Dans notre exemple, ce rendement est de 10%, ce qui est supérieur au rendement du marché. Une analyse plus complète cependant intégrerait le risque associé à chaque actif. 30 Rente croissante (growth annuity) Une rente croissante est une séquence de versements réguliers qui croissent à un taux constant. Si on note par CF1 le premier cash-flow et si le taux de croissance du cash-flow est g, i.e. CFt + 1 = (1 + g) CFt alors la VA d’une rente croissante à l’infini est:   1 Rente croissante CF VA i g  
  • 6. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 6 31 Exemple: Si le revenu de la première année est 1 000 dhs, le taux d’intérêt est de 9% et le taux de croissance est de 4%, alors la VA de l’annuité croissante est: 1 000 20 000 dhs 0.09 0.04 VA    32 Exercice 3.2: Une entreprise verse un dividende croissant de 3% par année. Le prochain dividende, qui s’élève à 10 dhs, sera versé dans un an. Le taux de rendement des autres placements possibles est de 10%. Quel est le prix maximal auquel vous accepteriez d’acheter cette action? 33 3.3 L’amortissement d’un emprunt Les crédits à la consommation, les prêts immobiliers et d’autres emprunts sont remboursés par annuités constantes. Chaque annuité comprend des intérêts sur le montant restant, en plus d’une part de remboursement du capital. La répartition de l’annuité entre intérêts et remboursement du capital est variable, puisqu’à chaque paiement de l’annuité, une partie du capital a déjà été remboursée. 34 Comme le montant restant est de plus en plus faible, alors la part des intérêts dans l’annuité est de plus en plus faible. Exemple: Considérons un emprunt de 100 000 dhs, au taux annuel de 9%, qui sera remboursé en trois annuités constantes. Si note par VA le montant de l’emprunt, alors l’annuité constante A est donnée par:  1 1 n i A VA i      35 Quelle est la part de l’intérêt et du capital remboursé dans la première annuité? Comme le taux d’intérêt est de 9%, alors les intérêts de 9% du montant initial: 0.09100 000 = 9 000dhs. Le remboursement du capital est donc 30 505.48dhs. Le capital restant après paiement de cette annuité est 100 000 – 30 505.48 = 69 494.52 dhs.   3 0.09 100 000 39 505.48 dhs 1 1.09 A      36 Quelle est la part de l’intérêt et du capital remboursé dans la deuxième annuité? Comme le taux d’intérêt est de 9%, alors les intérêts de 9% du montant restant à rembourser sont de: 0.0969 494.52 = 6 254.51 dhs. Le remboursement du capital est donc 33 250.97dhs. Le capital restant après paiement de cette annuité est 69 494.52 – 33 250.97 = 36 243.55 dhs.
  • 7. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 7 37 Quelle est la part de l’intérêt et du capital remboursé dans la troisième annuité? Comme le taux d’intérêt est de 9%, alors les intérêts de 9% du montant restant à rembourser sont de: 0.0936 243.55 = 3 261.92 dhs. Le remboursement du capital est donc 36 243.55dhs. Le dernier paiement n’est en fait que le remboursement du capital restant plus intérêts: 36 243.55  (1 + 0.09) = 39 505.48 dhs. 38 La démarche qui consiste à rembourser progressi- vement un emprunt s’appelle amortissement d’un emprunt. Le tableau d’amortissement (Tableau 3.2) montre comment la part des intérêts diminue et celle du remboursement du capital augmente avec le paiement des annuités. 39 Année Montant initial Annuité dont intérêts capital remboursé Montant final 1 100,000.00 39,505.48 9,000.00 30,505.48 69,494.52 2 69,494.52 39,505.48 6,254.51 33,250.97 36,243.55 3 36,243.55 39,505.48 3,261.92 36,243.55 0.00 Total 118,516.44 18,516.43 100,000.00 Tableau 3.2 : Tableau d’amortissement 40 Exercice 3.3: Vous envisagez d’emprunter 10 000 dhs au taux annuel de 12%, à rembourser en 12 mensualités égales de 888.50 dhs chacune. Le prêteur vous dit, qu’en réalité, vous ne supporterez qu’un taux de 6.62%, puisque: 888.5012 – 10 000 = 10 662 – 10 000 = 662 dhs et 662/10 000 = 0.0662 = 6.62%. Comment allez-vous montrer au prêteur que son raisonnement est erroné? 41 3.4 L’actualisation et le cours de change Exemple: On veut placer 100 000 dhs pendant un an et on a le choix entre des obligations en dirhams, au taux annuel de 10%, et des obligations en dollars, au taux annuel de 7%. Quel est le meilleur investissement? La réponse dépend du taux de change dirham/dollar dans un an. 42 • Si le dirham vaut aujourd’hui 0.1175 dollars, alors les 100 000 dhs valent aujourd’hui 11 750 dollars. • Si on investit dans les obligations en dollars, alors on aura 12 572.50 dollars (i.e. 11 750  1.07). • Si on investit dans les obligations en dirhams, alors on aura 110 000 dhs (i.e. 100 000  1.1). • Quel sera le montant le plus élevé?
  • 8. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 8 43 • Si le dirham perd durant l’année 5% de sa valeur par rapport au dollar, alors il ne vaudra que 0.111625 dollars dans un an, soit 0.1175(1 – 0.05). • Les obligations en dollars auront une valeur de 112 631.58 dhs. • Ce montant dépasse le rendement des obligations en dirhams de 2 631.58 dhs. • Si le dirham ne perd que 2% de sa valeur, alors les obligations en dollars paieront 109 183.67 dhs. Ce qui est de 816.33 dhs inférieur à la valeur des obligations en dirhams. 44 Quel est le cours de change à un an qui égalise les deux placements? Il s’agit de diviser 12 572.50 dollars par 110 000 dhs pour obtenir environ 0.11430 dollars/dirham. Ce qui équivaut à une dépréciation du dirham d’environ 2.73%. 45 Exercice 3.4: Le cours de change actuel est de 0.1464 dinars tunisiens pour un dirham et les taux d’intérêt annuels sur les marchés monétaires marocain et tunisien sont 6% et 4%, respectivement. Vous voulez placer 25 000 dhs et vous anticipez une dépréciation de 3% du dirham par rapport au dinar tunisien d’ici un an. 1. Sur quel marché devriez-vous faire votre placement? 2. À quel cours de change seriez-vous indifférent entre les deux marchés? 46 Calcul de la VAN avec plusieurs devises Règle importante: dans tout calcul financier, les cash-flows et les taux d’intérêt doivent être exprimés dans une même devise. Par exemple, pour calculer la VA de cash-flows en euros, on doit utiliser les taux d’intérêt sur l’euro. 47 Vous avez à choisir entre deux investissements, l’un au Maroc et l’autre en Espagne. Dans les deux cas, l’investissement initial est de 20 000 dhs. Le projet marocain vous rapportera 8 000 dhs par an, alors que le projet espagnol 875 euros par an. Le taux d’intérêt sur le dirham est 7% et le taux d’intérêt sur l’euro est 4%. Le cours de change actuel est 0.1175 euros pour un dirham. Lequel des projets présente la plus grande VAN pour les cinq prochaines années? 48 Calculons la VAN du projet marocain: n i VA VF PMT Résultat 5 7 ? 0 8 000 dhs VA = 32 801.58 dhs En soustrayant l’investissement initial, on obtient une VAN de +12 801.58 dhs.
  • 9. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 9 49 La VAN du projet espagnol est donnée par: n i VA VF PMT Résultat 5 4 ? 0 875 euros VA = 3 895.34 euros La VA des cash-flows espagnols est donnée en euros. Au cours de change actuel, elle équivaut 33 151.83 dhs. En soustrayant l’investissement initial, on obtient une VAN de +13 151.83 dhs. Le projet espagnol est donc plus rentable. 50 Si on avait utilisé le taux d’intérêt sur le dirham (i.e. 7%), on aurait obtenu une VAN pour le projet espagnol de +10 533.36 dhs. On aurait alors opté, par erreur, pour le projet marocain. 51 3.5 L’actualisation et l’inflation Dans l’Exercice 1.1, on avait calculé que si, à l’âge de 20 ans, on place 1 000 dhs dans un compte d’épargne au taux annuel de 8% pendant 45 ans, alors la VF sera 31 920.45 dhs. Mais que valent les 31 920.45 dhs dans 45 ans, en termes de pouvoir d’achat? Valent-ils plus ou moins que 1 000 dhs aujourd’hui? Si le niveau général des prix a augmenté de 8% par an, alors, en réalité, on n’a gagné aucun intérêt. 52 On distingue entre: • le taux d’intérêt nominal: le taux d’intérêt exprimé en unités monétaires; et • le taux d’intérêt réel: taux d’intérêt nominal corrigé de l’inflation (variation du pouvoir d’achat). Dans l’exemple précédent, si le taux d’inflation est de 8% par an et le taux d’intérêt nominal est de 8%, alors le taux d’intérêt réel est nul. L’inflation est généralement mesurée avec l’Indice des Prix à la Consommation (IPC). 53 Si le taux d’intérêt nominal est de 8% et si le taux de variation de l’IPC est de 5% par an, quel sera alors le taux d’intérêt réel? • Si on place 100 dhs, on aura 108 dhs après un an. • Un panier de biens qui coûte 100 dhs aujourd’hui coûtera 105 dhs dans un an. • En termes de biens de consommation, les 108 dhs vaudront 108/105 = 1.02857 panier. • Le taux d’intérêt réel est donc 2.857%. 54 De manière générale, nous avons la relation suivante: 1 taux d'intérêt nominal 1 taux d'intérêt réel 1 taux d'inflation     Ce qui peut également s’écrire: taux d'intérêt réel taux d'intérêt nominal taux d'inflation 1 taux d'inflation   
  • 10. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 10 55 Avec les données de notre exemple, cette formule donne: 0.08 0.05 0.03 taux d'intérêt réel 0.02857 1.05 1.05     Avec des taux continus (capitalisation en continu), la formule devient plus simple: taux d’intérêt réel = taux d’intérêt nominal – taux d’inflation 56 Inflation et valeurs futures Revenons à l’Exercice 1.1. Il existe deux méthodes pour calculer la valeur future des 1 000 dhs en termes de pouvoir d’achat: • Première méthode: on calcule la valeur future réelle en utilisant le taux d’intérêt réel. On a alors: 45 réelle 1 000 1.02857 3 552.41VF    57 • Deuxième méthode: on calcule d’abord la valeur future nominale: 45 nominale 1 000 1.08 31 920.45VF    On calcule ensuite ce que sera le niveau des prix dans 45 ans. 45 Niveau des prix futur 1.05 8.985  58 nominale réelle Niveau des prix futur 31 920.45 3 552.64 8.985 VF VF    La valeur future réelle est alors donnée par: 59 Inflation et valeurs actuelles Vous voulez placer un montant en compte d’épargne pour pouvoir acheter une voiture dans 4 ans. Le taux d’intérêt est de 8% et la voiture coûte aujourd’hui 150 000 dhs. Le montant à placer aujourd’hui pour couvrir le prix de la voiture dépend du taux d’inflation. Si celui-ci est de 5% par an, alors le prix de la voiture dans 4 ans sera: 4 150 000 1.05 182 325.94 dhs  60 Il existe deux méthodes pour calculer le montant à placer aujourd’hui en tenant compte de l’inflation: • Première méthode: on calcule la valeur actuelle d’une valeur future réelle de 150 000 dhs en utilisant le taux d’intérêt réel. On a alors: 4 150 000 134 015.75 dhs 1.02857 VA   0.08 0.05 taux d'intérêt réel 0.02857 1.05    et:
  • 11. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 11 61 • Deuxième méthode: on calcule la valeur actuelle de la valeur future nominale de la voiture, au taux d’actualisation de 8%: 4 182 325.94 = 134 015.01dhs 1.08 VA  62 Règle importante: dans tout calcul financier, les cash-flows et les taux d’intérêt doivent être exprimés dans une même mesure: • avec des valeurs nominales, on utilise des taux d’intérêt nominaux; et • avec des valeurs réelles, on utilise des taux d’intérêt réels. 63 Exercice 3.5: Vous avez une fille de 10 ans et vous voulez lui ouvrir un compte d’épargne pour payer ses études supérieures qu’elle devrait entreprendre à l’âge de 20 ans. Les frais de scolarité sont actuellement de 60 000 dhs et augmenteront de 5% par an. 1. Si vous placez 30 000 dhs aujourd’hui, au taux annuel de 8%, cela va-t-il suffire pour couvrir le coût des études? 2. Combien faudrait-il placer aujourd’hui pour couvrir les frais de scolarité? 64 Annuités réelles Supposons maintenant que pour payer les frais de scolarité futurs de votre fille, qui s’élèvent à 90 000 dhs, vous vouliez épargner un même montant par année. Si le taux d’intérêt réel est de 3%, combien devriez- vous épargner par année? Le montant annuel à placer est donné par: n i VA VF PMT Résultat 10 3 0 90 000 dhs ? PMT = –7 850.75 dhs 65 Attention: Le montant 7 850.75 dhs est exprimé en valeur réelle, i.e. en dirhams d’aujourd’hui. Si le taux d’inflation est de 5% par an, alors les montants effectifs à épargner sont donnés dans le tableau 3.4. Notons qu’à ce taux d’inflation de 5%, les frais de scolarité dans 10 ans seront de 146 600.52 dhs. 66 Année Épargne en valeur réelle Coefficient d'inflation Épargne en valeur nominale 1 7,850.75 1.05 8,243.29 2 7,850.75 1,05² 8,655.45 3 7,850.75 1,05 3 9,088.22 4 7,850.75 1,05 4 9,542.64 5 7,850.75 1,055 10,019.80 6 7,850.75 1,05 6 10,520.80 7 7,850.75 1,05 7 11,046.80 8 7,850.75 1,058 11,559.10 9 7,850.75 1,05 9 12,179.10 10 7,850.75 1,05 10 12,788.00 Tableau 3.4 : Valeur nominale des annuités réelles
  • 12. Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013 12 67 Nous allons maintenant montrer que l’épargne nominale (colonne de droite du tableau 3.4), permet réellement d’arriver à un montant futur de 146 600.52 dhs à la fin des 10 années. Nous devons d’abord déterminer le taux d’intérêt nominal afin de calculer la VF nominale des cash- flows. La relation entre taux nominal et taux réel est: 1 taux d'intérêt nominal 1 taux d'intérêt réel 1 taux d'inflation     68 On en déduit donc que:     1 taux d'intérêt nominal 1 taux d'intérêt réel 1 taux d'inflation      Le taux d’intérêt nominal est finalement donné par: taux d'intérêt nominal taux d'intérêt réel taux d'inflation taux d'intérêt réel taux d'inflation     taux d'intérêt nominal 0.03 0.05 0.03 0.05 0.0815      69 Le taux d’intérêt nominal est donc de 8.15% par an. Dans le tableau 3.5, on présente les valeurs futures nominales de tous les versements: le premier est capitalisé sur 9 ans, le deuxième sur 8 ans, … On note que la somme totale des versements capitalisés (colonne de droite) donne bien la valeur future des frais des études, i.e. 146 600.50 dhs. 70 Année Épargne en valeur réelle Épargne en valeur nominale Facteur de capitalisation Valeur future nominale 1 7,850.75 8,243.29 x 1,0815 9 16,685.50 2 7,850.75 8,655.45 x 1,08158 16,199.50 3 7,850.75 9,088.22 x 1,08157 15,727.70 4 7,850.75 9,542.64 x 1,08156 15,269.60 5 7,850.75 10,019.80 x 1,08155 14,824.80 6 7,850.75 10,520.80 x 1,08154 14,393.10 7 7,850.75 11,046.80 x 1,08153 13,973.80 8 7,850.75 11,559.10 x 1,08152 13,566.80 9 7,850.75 12,179.10 x 1,08151 13,171.70 10 7,850.75 12,788.00 x 1 12,788.00 Total 146,600.50 Tableau 3.5 : Valeur future nominale des annuités réelles 71 3.6 Le choix de placement et l’impôt L’État prélève de l’impôt sur la plupart des intérêts gagnés. Supposons que le taux d’imposition soit de 30% et qu’il s’applique à tout intérêt perçu. Si vous placez 1 000 dhs au taux annuel de 8%, alors la rémunération avant impôt est: 1 0001.08 = 1 080 dhs La rémunération nette d’impôt ou rémunération après impôt est la rémunération que vous touchez après avoir déduit l’impôt. 72 Le taux d’intérêt après impôt est défini par:   taux d'intérêt après impôt 1 taux d'imposition taux d'intérêt avant impôt    Dans notre exemple, on a:  taux d'intérêt après impôt 1 0.3 0.08 0.056    La rémunération nette d’impôt est: 1 0001.056 = 1 056 dhs Règle importante: on choisit les investissements qui maximisent la VA des cash-flows après impôt.