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Similaire à Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows Transparents (20) Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows Transparents1. Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps et
l ’actualisation des cash-flows
Plan
Actualisation et capitalisation
Calculs sur le taux d’intérêt et la période
Modalités de calcul des taux d’intérêts
taux simples et composés
taux précomptés et postcomptés
taux proportionnels et taux équivalents
Inflation et fiscalité
Application des concepts
Calcul d ’une annuité constante
Tableau d ’amortissement d ’un emprunt
Evaluation d ’une obligation
1
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2. Capitalisation et actualisation
Exemples :
Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 1050 € dans un an ?
Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 200 € par an sur les
6 prochaines années ?
Un ami vous emprunte 1 000 € et vous promet 3 remboursements
mensuels de 335 € chacun. Est-ce un bon ami ?
« Un euro aujourd’hui n’est pas égal à un euro demain »
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3. Capitalisation et actualisation
Principe :
Deux sommes, apparemment identiques, ne sont pas équivalentes
si elles ne sont pas disponibles à la même date.
L'actualisation et la capitalisation sont indispensables pour
comparer des sommes disponibles à des dates différentes,
afin de rechercher des équivalents à une date commune.
Capitalisation : présent avenir
Actualisation : présent avenir
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4. La capitalisation
100 Placé au taux i pendant une année 100(1+i)
Exemple :
Vous placez une épargne de 1 000 € sur un compte bloqué qui
rapporte du 4% par an.
Au bout d ’un an, vous aurez 1 000 (1+0,04) = 1 040 €
Au bout de deux ans, vous aurez 1 040 (1+0,04) = 1 081,6 €
soit 1 000 (1+0,04)²
Les intérêts ont été capitalisés
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5. La capitalisation
Année 0 1 2 3 n
1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%)
2 3 n
Valeur 1 000
50 000
V aleu r fu tu re d e 1 000 à l'an n ée 0
45 000
40 000
35 000
30 000
25 000
20 000
15 000
10 000
5 000
-
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
5
Année
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6. La capitalisation
Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeur
acquise d'un montant X , capitalisée au taux i durant n
années est égale à :
n
VF = X × (1 + i )
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7. La capitalisation
Exemple
En 1626, Peter Minuit a acheté l’île de Manhattan aux
indiens pour des colifichets valant à peu près 24 dollars. Si
la tribu indienne avait plutôt demandé un règlement en
argent, et avait investi cet argent au taux de 6% capitalisé
annuellement, combien la tribu aurait-elle en l’an 2001, 375
ans après ?
Réponse : 24$ × (1,06)375 = 74 115 785 843 (74 milliards
115 millions 785 mille 843 dollars)
(les indiens, généreux, ignorent les cents)
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8. L ’actualisation
Je dois recevoir 1 000 € dans un an. Or, j’ai besoin d’argent
immédiatement.
J’emprunte donc (à mon banquier, ou sur le marché monétaire).
Quelle somme maximum puis-je emprunter, au taux de 4% ?
La somme S0 telle que les 1 000 € puissent rembourser dans un an le
capital et payer les intérêts. Au total, je devrai payer dans un an :
S1 = S0 × (1 + 4%)
1000
Comme S1 = 1 000 €, on a S0 = = 961.54€
(1 + 4%)
S0 correspond à la valeur actuelle (VA)
de 1 000 € perçus dans un an.
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9. L ’actualisation
Exemple
Valeur actuelle de 2 000 € perçus dans 5 ans ?
C'est une somme S0 telle qu'il m'est indifférent de recevoir S0 tout
de suite, ou 2 000 € dans cinq ans. Si je perçois S0 tout de suite, je
peux placer cette somme pendant cinq ans, au taux de 4% annuel.
Dans cinq ans, j'obtiendrai alors S0 × (1+4%)5. Cette somme doit
être équivalente à 2 000 € perçus dans cinq ans. On peut donc
déduire facilement S0 :
2000 €
S0 × (1+4%)5 = 2 000 € ⇔ S0 = = 1643.85 €
(1+ 4%) 5
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10. L ’actualisation
La valeur actuelle VA d'un montant Xn versé dans n
années est de :
Xn
VA = n
(1+ i )
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11. L’actualisation
Exemple :
Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d’accord
pour l’acheter à 4 000 €, mais il souhaite ne payer cette somme à
Fred que dans deux ans. Si Fred peut placer son argent en
banque avec un taux de 8%, quel est la valeur de l’offre?
Valeur Actuelle de 4 000 € perçus dans 2 ans :
4 000 4 000
VA = = = 3 429.36 €
(1+ 8%)2 1,1664
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12. Capitalisation d ’une séquence de flux
Année 0 1 2 3 n
Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
Valeur future à 1000 × (1 + 4%) n
l’année n
Valeur future à 1000 × (1 + 4%) n −1
l’année n
Valeur future à 1 000
l’année n
12
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13. La capitalisation
d’une séquence de flux
La valeur future (en t= n) d'une série de flux
monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de la
capitalisation de chaque élément de la série. Avec i
constant, on obtient pour n années :
n
VF = ∑ X t × (1 + i )n −t
t =1
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14. Capitalisation d’une séquence de flux identiques A
(« annuités »)
La formule de valeur future
n
VF = ∑ A × (1 + i )n −t
t =1
se simplifie en
(1 + i ) n − 1
VF = A ⋅
i
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15. Capitalisation d’une séquence d ’annuités
Exemple :
Si vous placez 100 euros chaque année pendant les prochaines 20
années sur un compte rémunéré à 10%, en commençant à placer
dans un an, combien aurez-vous d’ici 20 ans ?
Il s ’agit de calculer la valeur future d ’une séquence de 20 annuités
de 100 € placées sur un compte rémunéré à 10% par an.
(1+ 10%)20 − 1 6,7275 − 1
VF = 100 × = 100 × = 5 727,5 €
10% 0,10
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16. Un petit récapitulatif
Vous allez avoir besoin de 50 000 euros dans dix ans.
Vous prévoyez de faire sept versements identiques
chaque année, en commençant dans trois ans, sur un
compte qui rapporte du 11% par an capitalisé
annuellement. Quel doit être le montant de chaque
versement annuel ?
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17. Actualisation d ’une séquence de flux
Année 0 1 2 3 n
Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
Valeur actuelle 1 000
Valeur actuelle 1 000
(1 + 4%)
Valeur actuelle 1 000
(1 + 4%) 2
Valeur actuelle 1 000
(1 + 4%) n
17
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18. Actualisation d ’une séquence de flux
La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires
différents (Xt), est obtenue à partir de l'actualisation de
chaque élément de la série. Les flux peuvent être positifs
ou négatifs
Avec i constant, on obtient pour n années :
n Xt
VA = ∑ t
t =1 (1 + i )
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19. Actualisation d ’une séquence de flux identiques A
(« annuités »)
La formule de valeur actuelle (en t= 0) d'une série de
flux monétaires :
n
Xt
VA = ∑
(1 + i )t
t =1
si on pose Xt = A, se simplifie en
1 − (1 + i ) − n
VA = A ×
i
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20. Actualisation d ’une séquence de flux identiques X
Exemple :
Il y a deux ans, un de vos oncles éloignés, imitant votre signature,
a réussi à emprunter une grosse somme d’argent à votre banquier.
Vous devez rembourser cet emprunt à raison de 5 000 € par an,
sur les 25 prochaines années. Les taux sont actuellement de 6%
par an. Si vous souhaitez tout rembourser immédiatement,
combien devrez-vous verser au banquier ?
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21. Le coût d ’opportunité
Taux d’emprunt ou taux de placement?
En général le calcul d’une valeur actuelle suppose que le taux
d’emprunt et le taux de placement sont identiques.
En réalité une entreprise ou un particulier font souvent face a des
taux d ’emprunt et de placement différents.
Dans cette situation il faut raisonner en coût d’opportunité.
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22. Le coût d’opportunité
Exemple :
Une année après, Fred n’a toujours pas vendu sa voiture, mais il
s’est hautement endetté sur plusieurs années pour acheter une
maison. Il paie un taux d ’intérêt de 15% sur cet emprunt, et par
ailleurs, il peut placer de l ’argent à 5%.
Fred à reçu deux offres pour sa voiture: une à 5 000 € payable
immédiatement et une à 5 500 € payable dans un an.
Si Fred peut rembourser une partie de son emprunt par anticipation,
quelle offre doit-il accepter ?
Est-ce que sa décision changera s’il ne peut pas rembourser une
partie de son emprunt avant l ’échéance ?
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23. Trouver le taux d ’intérêt
Exemple:
Votre banque offre de vous rendre 30 000 € dans 10 ans, si vous
investissez 15 000 € maintenant. Quel est le taux d’intérêt de ce
placement?
15 000 × (1 + i )10 = 30 000
30 000 1
i = 10 − 1 = 2 10 − 1 = 0 . 071773463
15 000
= 7 . 18 %
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24. Trouver le taux d ’intérêt
Formule générale :
n VF
VF = VA × ( 1 + i) ⇒ = ( 1 + i)n
VA
1
VF VF n
⇒ ( 1 + i) = = n
VA VA
VF
i= −1
n
VA
24
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25. Trouver le taux d’intérêt
Exemple :
Votre cousine wallonne vous demande s’il vaut mieux acheter une
obligation à 995 euros, sachant qu’elle sera remboursée 1 200
euros dans cinq ans, ou bien placer son argent sur un compte
rémunéré.
Quel est le taux d ’intérêt (de fait, on parlera ici de taux de
rendement actuariel – TRA) de l’obligation ?
De quelle information supplémentaire avez-vous besoin pour faire
votre choix ?
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26. Trouver la durée du placement
Exemple :
Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million
d ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €.
Si le prix de l’immobilier reste constant et vous pouvez placer votre
argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour
acheter cet appartement ?
26
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27. Trouver la durée du placement
Solution générale
VF
VF = VA × (1 + i ) n ⇔ = (1 + i ) n
VA
⇔
VF
ln
VA
( n
)
= ln (1 + i ) = n × ln (1 + i )
VF
ln
VA ln (VF ) − ln (VA )
⇔ n= =
ln (1 + i ) ln (1 + i )
ln(VF ) − ln(VA)
n=
ln(1 + i )
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28. Rappel sur le logarithme
Les propriétés suivantes sont utilisés en finance:
e ln( x ) = x ( x > 0 )
ln( e x ) = x
ln( x × y ) = ln( x ) + ln( y )
ln( x / y ) = ln( x ) − ln( y )
ln( y x ) = x × ln( y )
ln( x + y ) ≠ ln( x ) × ln( y )
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29. Trouver la durée du placement
Solution de l’exemple :
Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million
d ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix de
l’immobilier reste constant et que vous pouvez placer votre argent à
8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet
appartement ?
100 000
ln
n=
80 000
= 2,89
ln (1 + 0 ,08 )
Vous avez besoin d’environ trois ans
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30. Modalités de calcul des taux d’intérêts
1. Intérêts simples et intérêts composés
L’intérêt est dit simple lorsqu’il est payé en une seule fois et qu’il
est proportionnel à la durée du placement.
Par opposition, capital et intérêts peuvent être additionnés pour
fournir un nouveau capital procurant de l’intérêt au cours de la
période suivante. La différence entre la valeur acquise et le capital
de départ est alors appelée intérêts composés.
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31. Modalités de calcul des taux d’intérêts
2. Intérêts précomptés ou post-comptés
Les intérêts sont à terme à échoir ou précomptés lorsque leur
montant est soustrait de la somme empruntée lors du prêt.
On dit que les intérêts sont à terme échu lorsqu’ils sont post-
comptés : Leur paiement intervient avec le remboursement de la
somme en fin de période.
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32. Modalités de calcul des taux d’intérêts
Exemple:
Vous placez une somme d ’argent sur cinq ans à 3% par an avec
des intérêts simples à terme échu.
Quel est le taux annuel équivalent de ce placement, i.e. le taux
d ’intérêt composé qui vous donne la même richesse dans cinq
ans?
Exemple:
La Banque A vous offre un prêt sur une année avec un taux
d ’intérêt de 8% précompté. La Banque B offre 9% à terme échu.
Quelle est la meilleure offre?
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33. Modalités de calcul des taux d’intérêts
3. Le cas des périodes inférieures à l’année : taux
équivalent et taux proportionnel
Le taux d’intérêt est généralement donné en base annuelle. Il
existe plusieurs façons d ’appliquer un taux annuel à des périodes
inférieures à l’année.
Le taux proportionnel
Le taux équivalent
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34. Le taux proportionnel
Souvent dans la pratique, les taux sont affichés en
taux proportionnels. Dans ce cas, pour un placement
d’une durée inférieure à une année, un simple pro rata
du taux d’intérêt annuel est versé. Par exemple le taux
proportionnel mensuel est
iA
im =
12
Le taux proportionnel trimestriel est
iA
iT =
4
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35. Le taux proportionnel
Exemple :
Votre banquier accepte de vous prêter 10 000 € au taux annuel de
12%, avec un versement mensuel des intérêts.
Calculez le taux proportionnel mensuel.
Calculez quel montant d ’intérêts devra être versé chaque mois.
Si, au lieu d ’exiger le versement des intérêts chaque mois, votre
banquier accepte que ces intérêts mensuels soient capitalisés, et
que le paiement se fasse au bout d ’un an, combien devrez-vous ?
A quel taux d ’intérêt annuel cela est-il équivalent ?
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36. Le taux équivalent
Deux taux d’intérêt se rapportant à différentes périodes sont dits
équivalents si, avec capitalisation des intérêts, ils procurent des
valeurs futures identiques au terme de la même durée de
placement.
Ainsi, par exemple le taux mensuel (im) équivalent au
taux d’intérêt annuel iA résulte de l’égalité suivante :
1 + i A = (1 + im )12 ⇔
1
12
im = (1 + i A ) − 1 = 12 (1 + i A ) − 1
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37. Le taux équivalent
Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la durée
du placement.
En général le taux annuel équivalent iequ d’un taux affiché en taux
proportionnel iprop composé en n périodes est de
n
i prop
iequ = 1+
−1
n
Le taux équivalent est toujours supérieur
au taux proportionnel.
La différence s ’accroît avec la fréquence de capitalisation.
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38. Taux équivalent
Exemple: Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de
i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes
Fréquence de Taux Taux annuel
1
capitalisation proportionnel équivalent 18
= 1 + −1
1
1 18.00% 18.00% 2
18
= 1 + −1
2 9.00% 18.81% 2
4
18
= 1 + −1
4 4.50% 19.25% 4
12
18
12 1.50% 19.56% = 1 + −1
12
52
52 0.35% 19.68% 18
= 1 + −1
52
365 0.05% 19.72% 18
365
= 1 + −1
365
38
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39. Taux équivalent
Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé
sur un nombre croissant de périodes
Fréquence de Taux annuel 365
capitalisation équivalent 18
= 1 + −1
365
365 19.7164%
3650
3650 19.7212% 18
= 1 + −1
… 3650
infini 19.7217% m
i
= Lim 1 + − 1
m →∞ m
Taux d ’intérêt continu = ei − 1
39
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40. Taux proportionnel et taux équivalent
Exemple:
La banque A propose d’emprunter à un taux de 6% par an
capitalisé semestriellement, la banque B offre 5.95% capitalisé
mensuellement et la banque C offre 5.9% capitalisé en continu.
Quelle est la meilleure offre?
40
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41. Taux équivalent et taux effectif
Vous hésitez entre placer votre argent auprès d’une banque qui
vous servira un intérêt de 8%, capitalisé annuellement (Banca), et
une banque qui vous donnera un intérêt de 7,5% par an, capitalisé
quotidiennement (Banco).
En vous fondant sur les taux effectifs annuels, quelle banque
choisissez-vous ?
Banca ne vous propose ce taux d’intérêt que si vous vous engagez
à laisser votre argent bloqué sur une année. Si vous retirez votre
argent avant la fin de l’année, vous perdrez les intérêts de l’année.
Comment allez-vous intégrer cette information supplémentaire dans
votre prise de décision ?
41
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42. Taux d ’intérêt et inflation
Le taux nominal exprime le rendement en argent. C’est le taux
généralement indiqué.
Pour connaître l ’augmentation de votre pouvoir d ’achat dans un
environnement inflationniste il convient de calculer le taux réel.
1 + taux réel = 1 + taux nominal
1 + taux d' inflation
Approximation:
taux réel ≈ taux nominal - taux d' inflation
Toujours actualiser des flux nominaux avec le taux nominal
et les flux réels avec le taux réel.
42
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43. T aux d ’intérêt et fiscalité
L’impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pour
les décisions personnelles) réduit la rémunération après impôt de
votre placement.
Votre rémunération nette d’impôt (ou rémunération après impôt)
représente ce que vous recevrez réellement après avoir payé
l’impôt sur cette rémunération.
Taux d’intérêt après impôt =
Taux d’intérêt avant impôt x (1–Taux d’imposition)
43
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44. Taux d’intérêt et fiscalité
Exemple :
Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus.
Vous placez 1 000 € sur un compte qui rapporte du 8% annuel.
Quel est le taux de rémunération effectif de votre placement ?
44
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45. Prélude à l’annuité constante
Exemple :
Vous voulez créer un fonds qui vous procure 1 000 euros par an
pendant quatre ans, date à laquelle il ne restera plus rien.
Combien devez-vous placer initialement dans ce fonds si le taux
d’intérêt est de 10% par an ?
Réfléchissez au moyen de résoudre ce problème de mathématiques
financières.
45
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46. L’annuité constante
Exemple :
Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel.
Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochaines
années, avec 5 annuités identiques.
Quelle est la valeur d ’une annuité ?
46
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47. L’annuité constante
0 1 2 3 4 5
A A A A A
Valeur actuelle des remboursements ?
1 − (1 + i ) − n
VA = A ⋅
i
On connaît VA (10 000) et on cherche A.
47
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48. Formule de l ’annuité constante
i
A=M ⋅
1 − (1 + i ) − n
Avec A = annuité constante
M = Montant emprunté
i = taux d ’intérêt par période
n = nombre de périodes
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49. Application
Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel.
Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochaines
années, avec 5 annuités identiques.
Quelle est la valeur d ’une annuité ?
i 0,08
A=M ⋅ −n
= 10 000. −5
= 2 504,56
1 − (1 + i ) 1 − (1,08)
49
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50. Amortissement d ’un emprunt
Exemple :
Vous empruntez 300 000 F pour payer vos frais annuels de
scolarité ainsi que quelques dépenses somptuaires. Le
remboursement se fait par annuités constantes sur les 4
prochaines années, au taux - préférentiel - de 5.43% hors
assurance, soit 10.60% tout compris.
Bâtissez le tableau d'amortissement de l'emprunt.
50
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51. Calcul de l’annuité constante
i 0,106
A=M ⋅ −n
= 300 000. −4
= 95 873,33
1 − (1 + i ) 1 − (1,106)
51
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52. Tableau d ’amortissement
Intérêts =
Capital initial x 8%
Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts remboursement Reste à
en principal rembourser
1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 64 073,33 235 926,67
2 95 873,33
3 95 873,33
4 95 873,33
Répartition de l ’annuité entre
intérêts et remboursement en
capital
52
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53. Tableau d ’amortissement
Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts remboursement Reste à
en principal rembourser
1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 64 073,33 235 926,67
2 235 926,67 95 873,33 25 008,23 70 865,11 165 061,56
3 165 061,56 95 873,33 17 496,53 78 376,81 86 684,75
4 86 684,75 95 873,33 9 188,58 86 684,75 0,00
Validation
Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts Part des intérêts Reste à
dans l'annuité rembourser
1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 33,2% 299 999,67
2 299 999,67 95 873,33 25 008,23 26,1% 299 999,41
3 299 999,41 95 873,33 17 496,53 18,2% 299 999,22
4 299 999,22 95 873,33 9 188,58 9,6% 299 999,13
53
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54. Amortissement d ’un emprunt
Vous négociez un remboursement non point sur 4 ans, mais sur 50
ans.
Quel sera le capital restant dû à l'issue du 25ème versement ?
Commentez.
54
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55. Chi va piano va sano
Vous voulez acheter une voiture de 20 000 euros et vous hésitez
entre deux modes de financement :
soit vous empruntez la somme totale au taux de 4% annuel,
soit on vous réduit le prix de 1 500 euros et vous empruntez le
reste à votre banque au taux de 9,5% par an.
Les deux emprunts sont remboursables par mensualités
constantes sur trois ans.
Quel financement choisissez-vous ?
55
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56. Evaluation d ’une obligation
Définition :
Une obligation est un titre de dette, émis par une
société ou par l’Etat, avec les caractéristiques
suivantes :
montant emprunté (nominal)
taux d ’intérêt (taux nominal)
modalité de paiement des intérêts (coupons)
échéance (ou maturité)
56
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57. Evaluation d ’une obligation
Exemple :
Emission d ’un emprunt obligataire avec les
caractéristiques suivantes :
nominal 1000 euros
taux nominal 5,625%
échéance 5 ans
paiement des coupons chaque année
remboursement à l ’échéance
57
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58. Evaluation d ’une obligation
0 1 2 3 4 5
56,25 56,25 56,25 56,25 56,25
+ 1 000
Si le taux du marché obligataire est à 5,625% :
56,25 56,25 56,25 1 000
VA = + + ... + +
1 + 5,625% (1 + 5,625%) 2 (1 + 5,625%)5 (1 + 5,625%)5
5 1 1 000
= 56,25 ⋅ ∑ k
+ 5
k =1(1 + 5,625%) (1 + 5,625%)
1 − (1 + 5,625%) −5 1 000
= 56,25 ⋅ + =?
5,625% (1 + 5,625%)5
58
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59. Evaluation d ’une obligation
0 1 2 3 4 5
56,25 56,25 56,25 56,25 56,25
+ 1 000
Si le taux du marché obligataire passe à 6%,
comment va évoluer la valeur actuelle de
l ’obligation ? 56,25 56,25 56,25 1 000
VA = + + ... + +
1 + 6% (1 + 6%) 2 (1 + 6%)5 (1 + 6%)5
5 1 1 000
= 56,25 ⋅ ∑ k
+ 5
k =1(1 + 6%) (1 + 6%)
1 − (1 + 6%) −5 1 000
= 56,25 ⋅ + 5
=?
59
6% (1 + 6%)
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60. Evaluation d ’une obligation
Quand les taux montent, le cours des obligations
ordinaires (« à coupons ») baisse, et inversement.
Explication en terme de Valeur Actuelle
Explication en terme de bon sens
60
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