COURS THERMIQUE

1. Transferts de chaleur par rayonnement:
Partie 2: Rayonnement du corps noir
Cours de transferts thermiques
3ème Génie Electrique
Mme. Fatma Bouzgarrou
2019-2020
1

2. Introduction et définition
2
• Tout corps dont la température est supérieure à 0K émet un rayonnement thermique.
• Un corps noir est un corps idéal qui absorbe tout le rayonnement incident quel que soit sa
longueur d’onde et quel que soit sa direction.
Propriétés du corps noir
a. L’énergie émise = l’énergie absorbée = l’énergie incidente ; il est un émetteur parfait.
b. Le rayonnement du corps noir est isotrope.
Pour une onde λ donnée, la luminance ne dépend que de la température T.
Dans la suite, les grandeurs relatives au corps noir seront affectées d’un indice supérieur 0.

3. 3
• Pour des ondes spectrales monochromatiques ;
• Pour des ondes totales ;
c. La réflectivité ρ Ω, λ = 0
d. La transmissivité τ Ω, λ = 0
e. L′
absorptivité α Ω, λ = 0

4. 4
Lois de rayonnement du corps noir
Loi de Planck
• Cette loi relie la luminance monochromatique du corps noir à la longueur d’onde λ et à la
température absolue T :
Où - h est la constante de Planck ; h = 6.6255. 10−34 J.s
- k est la constante de Boltzmann ; k = 1.38. 10-23 J/K
- c représente la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le milieu
considéré. Elle est donnée par 𝑐 =
𝑐0
𝑛
- n est l’indice de réfraction du milieu, et c0= 3.108 m/s est la vitesse du rayonnement dans le
vide.
𝑳𝛌
𝟎
𝐓 =
𝟐 𝒉 𝒄𝟐
𝝀𝟓 𝒆𝒙𝒑
𝒉 𝒄
𝒌 𝝀 𝑻
− 𝟏

5. 5
• Dans le cas d’un milieu dont l’indice de réfraction est égal à l’unité (n=1), la loi de Planck
peut se mettre sous la forme simplifiée suivante :
Relation de Wien
• Pour des courtes longueurs d’onde, la loi de Planck peut être approximée pour donner
naissance à une nouvelle loi ce qu’on appelle « relation de Wien ».
λT ≪
ℎ 𝑐0
𝑘
=>
h c0
k λT
≫ 1
𝑒𝑥𝑝
ℎ 𝑐0
𝑘 𝜆 𝑇
− 1 ≅ 𝑒𝑥𝑝
ℎ 𝑐0
𝑘 𝜆 𝑇
=>
𝑳𝝀
𝟎
𝑻 =
𝟐 𝒉 𝒄𝟎
𝟐
𝝀𝟓 𝒆𝒙𝒑
𝒉 𝒄𝟎
𝒌 𝝀 𝑻
; 𝝀 𝑻 < 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝝁𝒎. 𝑲
𝑳𝛌
𝟎
𝐓 =
𝟐 𝒉 𝒄𝟎
𝟐
𝝀𝟓 𝒆𝒙𝒑
𝒉 𝒄𝟎
𝒌 𝝀 𝑻
− 𝟏

6. 6
Relation de Rayleigh
• Pour des grandes longueurs d’onde, la loi de Planck peut être approximée pour donner
naissance à une nouvelle loi ce qu’on appelle « relation de Rayleigh ».
λT ≫
ℎ 𝑐0
𝑘
=>
h c0
k λT
≪ 1
• Le développement de exp
h c0
k λ T
au voisinage de 0 donne :
exp
h c0
k λ T
= 1 +
h c0
k λ T
+
1
2
h c0
k λ T
2
+ ⋯ +
1
𝑛!
h c0
k λ T
𝑛
𝑳𝛌
𝟎
𝐓 =
𝟐 𝒌 𝑻 𝒄𝟎
𝝀𝟒 ; 𝛌 𝐓 < 𝟏𝟎𝟓
𝛍𝐦. 𝐊

7. 7
Lois de Wien
• Le rayonnement du corps noir est isotrope, l’émittance s’exprime comme suit :
𝑴𝛌
𝟎
𝐓 = 𝛑 𝐋𝛌
𝟎
𝐓
Tel que
c1 = 2 π h c0
2
; 𝑐2 =
ℎ 𝑐0
𝑘
𝑴𝛌
𝟎
𝐓 =
𝟐 𝝅 𝒉 𝒄𝟎
𝟐
𝝀𝟓 𝒆𝒙𝒑
𝒉 𝒄𝟎
𝒌 𝝀 𝑻
− 𝟏
=
𝒄𝟏
𝝀𝟓 𝒆𝒙𝒑
𝒄𝟐
𝝀 𝑻
− 𝟏

8. 8
• La figure suivante représente l’émittance monochromatique du corps noir pour différentes
valeurs de température en particulier celle du soleil (5800 K).
• D’après la figure précédente on note qu’un maximum de puissance est observé pour chaque
courbe. Ce maximum est d’autant plus prononcé que la température est plus élevée.
• Deux lois déterminent respectivement l’abscisse λmax et l’ordonnée du maximum d’émittance
monochromatique du corps noir à chaque température Mλmax
0
, ce sont les deux lois de Wien :

9. 9
a. 1ère loi de Wien : Loi de déplacement de Wien
• ∀ λ, elle existe une longueur d’onde λ pour laquelle Mλ
0
est maximale.
𝜕𝑀𝜆
0
𝜕𝜆 𝜆𝑚𝑎𝑥
= 0 =>
𝜕
𝜕𝜆
𝑐1
𝜆5 𝑒𝑥𝑝
𝑐2
𝜆 𝑇
−1
= 0
• Après calcul et des itérations, la première loi de Wien a été déterminée donnée par :
𝛌𝐦𝐚𝐱 𝐓 = 2897.6 𝛍𝐦. 𝐊
b. 2ème loi de Wien
La deuxième loi de Wien donne la valeur du maximum en fonction de la température :
𝐌𝛌𝐦𝐚𝐱
𝟎
(T) = 1.287. 10-5. T5
Dans cette équation Mλmax
0
est en W.m-3.K-5 et T en Kelvin (K)

10. 10
Lois de Stefan Boltzmann
• En intégrant la loi de Planck sur l’ensemble du spectre (𝜆 ∈ 0, +∞ ), on obtient l’expression
de l’émittance totale du rayonnement du corps noir dans le vide, en fonction de sa température
absolue :
𝐌0(𝐓) = 𝛔 𝐓4
Avec σ = 5.67.10-8 W/m2.K4
Remarque :
Pour le calcul de l’intégrale, on donne 0
+∞ 𝑢3
𝑒𝑢−1
𝑑𝑢 =
𝜋4
15

11. 11
Fraction de l’énergie radiative émise par un corps noir
La fraction de l’énergie radiative émise par un corps noir dans le spectre [λ1, λ2] est donnée par :
𝑭𝝀𝟏−𝝀𝟐
=
𝝀𝟏
𝝀𝟐 𝑴𝝀
𝟎
𝑻 𝒅𝝀
𝟎
+∞𝟐 𝑴𝝀
𝟎
𝑻 𝒅𝝀
comprise entre 0 et 1
𝐅𝛌𝟏−𝛌𝟐
=
𝟏
𝛔 𝐓𝟒 𝛌𝟏
𝛌𝟐
𝐌𝛌
𝟎
𝐓 𝐝𝛌 : Fraction de l’énergie radiative
Fλ1−λ2
=
1
σ T4
λ1
0
Mλ
0
T dλ +
0
λ2
Mλ
0
T dλ
=
1
σ T4
0
λ2
Mλ
0
T dλ −
1
σ T4
0
λ1
Mλ
0
T dλ
𝐅𝛌1−𝛌2
= 𝐅0−𝛌2
− 𝐅0−𝛌1

12. 12
Récapitulation
Pour un corps noir :
- Rayonnement isotrope
- Mλ
0
𝑇 =
2 𝜋 ℎ 𝑐0
2
𝜆5 𝑒𝑥𝑝
ℎ 𝑐0
𝑘 𝜆 𝑇
−1
- λmax T = 2897.6 μm. K
- M0
(T) = σ T4